【原创】2014—2015学年高一数学必修四随堂练习及答案：平面向量的基本定理(1)
【原创】江苏省2014—2015学年高一数学必修四本章检测及答案：15平面向量]
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平面向量的综合测试1．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3； ④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是2．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝3．在五边形ABCDE 中 (如图) AB ＋BC －DC ＝ 4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝6．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ＝2CB ，则实数a 等于8．一艘船以5 km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h ，则船的实际航行速度范围是9．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（1）．P P 12·P P 13 （2）．P P 12·P P 14 （3）．P P 12·P P 15 （4）．P P 12·P P 16 10．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝11．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角θ为________．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝BA ·BC ＝1，那么c ＝________.13．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 14．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．15．(本小题满分12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．17．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.18．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝|AD |＝2，|CB －CD |＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值； (2)求CB ·BA 的值．答案：1．解析：∵AB ＝(－7，－92)，∴与AB 平行的向量有①②③. 答案：①②③2．解析：AB ＝OB －OA ＝(13OA ＋23OC )－OA ＝23(OC －OA )，BC ＝OC －OB ＝OC －(13OA ＋23OC )＝13(OC －OA )，∴|AB |∶|BC |＝2∶1.答案：2：13．解析：∵AB ＋BC －DC ＝AC ＋CD ＝AD . 答案：AD4．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2) ＝ke 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22 ＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52，∵a·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案：k ＝545．解析：∵BC 2＝16，∴|BC |＝4. ∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|CB |＝4. ∵M 为BC 中点，∴AM ＝12(AB ＋AC )，∴|AM |＝12|AB ＋AC |＝2.答案：26．解析：由题意知a ＋b ＝(－1，－2)，设a ＋b 与c 夹角为θ，∵(a ＋b )·c ＝52，∴|a ＋b |·|c |cosθ＝52，∴cos θ＝12，∴θ＝60°.又∵a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ， ∴a 与c 夹角为120°. 答案：120°7．解析：设C (x ，y )，则AC ＝(x －7，y －1)，CB ＝(1－x,4－y )，∵AC＝2CB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.答案：28．解析：实际航行的速度为静水中的速度与河水流速的合速度，所以||v 静|－|v 水||≤|v |≤|v 静|＋|v 水|， 即|5－2|≤|v |≤|2＋5|,3≤|v |≤7. 答案：[3,7]9．解析：由于P P 12⊥P P 15，故其数量积是0，可排除（3）；P P 12与P P 16的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除（4）；设正六边形的边长是a ，则P P 12·P P 13＝|P P 12|·|P P 13|·cos 30°＝32a 2，P P 12·P P 14＝|P P 12|·|P P 14|·cos 60°＝a 2. 答案：（1）10．解析：由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°， 所以MA ·MD ＝(MB ＋BA )·(MC ＋CD ) ＝MB ·MC ＋MB ·CD ＋BA ·MC ＋BA ·CD ＝22×22×cos 180°＋22×1×cos 135°＋2×22×cos 45°＋2×1×cos 0°＝2. 答案：211．解析：设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：π312．解析：由题知AB ·AC ＋BA ·BC ＝2， 即AB ·AC －AB ·BC ＝AB ·(AC ＋CB )＝AB 2＝2⇒c ＝|AB |＝ 2.答案： 213．解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， 可得AE ·BD ＝1. 答案：114．解析：AO ＝12(AB ＋AC )＝m 2AM ＋n2AN ， NO ＝AO －AN ＝m 2AM ＋n －22AN ，NM ＝AM －AN .∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＝－n －22，∴m＋n＝2.答案：215．解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c|<5，∴|c|的取值范围为(13，5)．16．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－t OC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－t OC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－11 5.17．解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4) ∴|a－b|＝22＋(－4)2＝2 5.18．解：(1)因为BC＝λAD，所以BC∥AD，且|BC|＝λ|AD|.因为|AB|＝|AD|＝2，所以|BC|＝2λ.又|CB－CD|＝23，所以|BD|＝2 3.作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．在Rt△AHB中，有cos∠ABH＝BHAB＝32，于是∠ABH＝30°，所以∠ADB＝∠DBC＝30°.而∠BDC＝90°，所以BD＝BC·cos 30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC＝60°，|CB|＝4，所以CB与BA的夹角为120°，故CB·BA＝|CB|·|BA|cos 120°＝－4.。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
高一数学必修4平面向量测试题(含答案)[1]
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黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级 姓名 座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A 。
)(21→→-b a B 。
)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A −→−AD ＝−→−BCB 。
−→−AD ＝2−→−BC C 。
−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。
《平面向量》练习题及答案
《平面向量》练习题及答案《平面向量》练习题及答案向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。
接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。
一、教材分析全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。
这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。
应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。
二、教学目标【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。
【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、求两简单向量的夹角的方法。
【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。
三、教学重点平面向量基本定理及其意义，两向量夹角的简单计算。
四、教学难点平面向量基本定理的.探究，向量夹角的判断。
五、学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
六、学法指导教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
七、教学基本流程定理探究↓形成定理↓定理思考与应用↓定义形成与应用八、教学情境设计。
高一数学必修四平面向量基础练习题及答案
平面向量的基本定理及坐标表示、选择题1、若向量a=（1,1）,b=(1, - 1), c =( —1,2),则c 等于()13 1 3 . 3 1 -3 1 ,A、一a+ —bB、一a — bC、 a — bD、a+ b22 2 2 2 222 2、已知，A (2, 3), B （—4, 5）,则与AB共线的单位向量是( )—r 3.10.10 3.10 10 , 3 1010、A、e (, ---- -)B、e (——, ------ )或( -------- ,)101010 10 1010C、e (6,2)D、e ( 6,2)或(6,2)—*3、已知a，(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为( )A、171B、18C、19D、204、已知向量OP=(2, 1), OA =(1 , 7), OB =(5 , 1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量m (1,2),n（2,1）分别是直线ax+(b —a)y —a=0 和ax+4by+b=0 的方向向量，贝U a,b的值分别可以是( )A、 1 , 2B、—2 , 1C、 1 , 2D、2 , 16、若向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin）,则a与b 一定满足( )A、a与b的夹角等于一B、(a + b)丄(a —b)C、a// bD、a 丄b7、设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP 3cos i3sin j ,(0,?),OQ i。
若用来表示OP与OQ的夹角，贝U 等于（）A、B、—2c、—2D、8、设0 2 ，已知两个向量OR cos , sin , OP2 2 sin , 2 cos ，则向量P-l P2长度的最大值是( )A、、2B、.3C、32D、二、填空题9、已知点A(2 , 0), B(4 , 0)，动点P在抛物线y2=- 4x运动，则使AP BP取得最小值的点P的坐标是____________________________________ 、10、把函数y 、.3cosx si nx的图象，按向量a m,n (m>0)平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为____________________ 、11、_____________________________________________________________ 已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m ________________________________ 、三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q (cosx,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x);(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx, 1)，其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;um uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k|PC|、量P-l P2长度的最大值是( )(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、4min14、解：⑴ f(x)= OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 2cos(2x、选择题参考答案I 、 B ; 2、B ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、D ; 8、C 二、 填空题 9、 (0, 0)510、 m 一 6II 、 4 三、 解答题12、解：设A3 x2，则有L 25 y 2解得1、所以 A/(1，- 1)o13、解：(1)OP OQ 2cosx,|OP||OQ| 12cos x, cosOP OQ |OP| |OQ|2cosx 1 cos 2 xf (x)(2) COSf(x)2cosx 1 2cos2 cosxcosxcosx2T 1]2 cosx3.2cosx◎ f(x) 1,即 口33cos 1max2(2 arccos一 3AP BP(x, y1) (x, y 1) (2x,2y) •••I AP BP |5■/ 0$w ,_w2+— <— 2 4 4 4• ••当 2X+ —= 一，即 x=0 时，f(X )max =1 ；4 4当 2x+ 一= n,即 x= — n 时，f(x) min =- 2、4 8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、428此时 | AB |, (2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=.4sin 2 x cos 2 x 4sin xcosx (cos2x 1)27 72— —cos2x 2sin2x cos 2x 2 22 7cos — 2sin — cos2 — 2 2 4 44=1 ■16 3.2、2的圆、|1 k|, 方 程化 为 (x 2)2 y 2115、解:(1 ）设动点P 的坐标为(x, y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1),PC (1 x,y)AP BP k | PC |2,• x 2y 21 k (x2 21) y即 (1 k)x 2(1 k)y 22kx k 10。
2014-2015学年高中数学(人教版必修四)课时训练第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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基 础 梳 理
一、向量的概念 1．向量的实际背景． 有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质
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量 、 密 度 ， 其 中 位 移 、 速 度 、 力 都大小 是 既 有 ______ 又有 方向
________的量．路程、速率、质量、密度都是 只有大小 ________的 量．
解析：A 正确． B 不正确．共线向量包括方向相同和相反． C 不正确．共起点长度相等的向量方向不一定相同． D 不正确．向量不能比较大小． 答案：A 点评：共线向量包括同向和反向，向量相等指向量的大 小相等方向相同，0 与任意向量共线．
栏 目 链 接
自 测 自 评
→ 、OB → 、OC → 是( 3．如图，在圆 O 中，向量AO A．有相同的起点 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
)
栏 目 链 接
答案：C
自 测 自 评
→ ＝DC → ，则相等的向 4．如图，在四边形 ABCD 中，AB 量是( D )
大小 方向 2．平面向量是既有 ________ 又有 ________ 的量，向 不能
量________比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数
量能比较大小．
基 础 梳 理
练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是 向量？
栏 目 链 接
答案：位移、力
基 础 梳 理
三、共线向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量 1．平行向量： _________________________叫做平行向量，
向量 a 与 b 平行，通常记作________ a∥b ． 我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，
【优质文档】必修四《平面向量》全章练习题(带测试含答案)
∵ |A→D |＝ 2，
∴ |E→G|＝ |B→H |＝ 2.
又
|B→C
|＝
5，
∴
→ |HC
|＝
3.
又 E、 F 分别为腰 AB、 DC 的三等分点．
∴ G 为 DH 的三等分点，
∴
G→F
∥
Hห้องสมุดไป่ตู้C
且|G→F
|＝
1 3|
→ HC
|，
∴ |G→F |＝ 1，
∴
|E→F
|＝
→ |EG
|＋
→ |GF
|＝
2＋
2
鸡西市第十九中学高一数学组 3
鸡西市第十九中学高一数学组
答案
1． D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.①③④ 7.菱形
8． 解 (1) 与 a 的模相等的向量有 23 个．
(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有
→ OD
，
B→C
，
A→O
，
F→E.
(3)与
a 共线的向量有
→ EF
，B→C
，O→D
1＝
3.
11．解 (1) 向量 A→D， D→C，C→B ，A→B如图所示．
(2)由题意知 A→D＝ B→C，
∴ AD 綊 BC ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ A→B＝ D→C，则 B 地相对于 A 地的位置向量为 “北偏东 60°， 6 千米 ”． 12． 证明 (1) ∵AA→′＝ B→B′ ，
与 b 都是单位向量．其中能使 a∥ b 成立的是 ________． (填序号 )
7．
在四边形
ABCD
中，
→ AB
＝
D→C
苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：平面向量的基本定理(2).docx
平面向量的基本定理（2）1．等腰直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，则AB u u u r 与BC u u u r 的夹角是________．2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD u u u r ＝a ，BE u u u r ＝b ，则BC u u u r ＝3．如图，在矩形ABCD 中，若BC u u u r ＝5e 1，DC u u u r ＝3e 2，则OC u u u r ＝ （用e 1,e 2 来表示）4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR u u u r 等于 （用a,b 来表示）5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．°6．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB u u u r ，AC u u u r 表示AD u u u r ，则AD u u u r ＝________________.7．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC u u u r ＝a ，CA u u r ＝b ，给出下列结论：①AD u u u r ＝－12a －b ；②BF u u u r ＝a ＋12b ； ③CF u u u r ＝－12a ＋12b ；④EF u u u r ＝12a . 其中正确结论的序号为________．8．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，试用a ，b 表示DC u u u r ，EF u u u r ，FC u u u r .9．如图，平行四边形ABCD 中，AD u u u r ＝b ，AB u u u r ＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．答案：1.解析：作线段AB 的延长线AD ，则∠DBC 是AB u u u r 与BC u u u r 的夹角．又∠DBC ＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.答案：135°2.解析：设AD 与BE 交点为F ，则AF u u u r ＝23a ，BF u u u r ＝23b . 由AB u u u r ＋BF u u u r ＋FA u u u r ＝0，得AB u u u r ＝23(a －b )， 所以BC u u u r ＝2BD u u u r ＝2(AD u u u r －AB u u u r )＝23a ＋43b .答案：23a ＋43b 3.解析：OC u u u r ＝12AC u u u r ＝12(AB u u u r ＋BC u u u r )＝12(DC u u u r ＋BC u u u r ) ＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：12(5e 1＋3e 2) 4.解析：如图，a ＝12(OR u u u r ＋OQ uuu r )，b ＝12(OQ uuu r →＋OR u u u r )， 相减得b －a ＝12(OR u u u r －OP u u u r )． ∴PR u u u r ＝2(b －a )．答案：2(b －a )5.解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.答案：906.解析：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD u u u r ＝14BC u u u r ＝14(AC u u u r －AB u u u r ) ∴AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝AB u u u r ＋14(AC u u u r －AB u u u r ) ＝34AB u u u r ＋14AC u u u r . 答案：34AB u u u r ＋14AC u u u r 7.解析：如图，AD u u u r ＝AC u u u r ＋CD u u u r＝－b ＋12CB u u u r ＝－b －12a ，①正确； BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝a ＋12b ，②正确； AB u u u r ＝AC u u u r ＋CB u u u r ＝－b －a ，CF u u u r ＝CA u u r ＋12AB uu u r ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF u u u r ＝12CB uu u r ＝－12a ，④不正确．答案：①②③8.解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC u u u r ＝AD u u u r ＝a ，DC u u u r ＝AF u u u r ＝12AB u u u r ＝12b .EF u u u r ＝ED u u u r ＋DA u u u r ＋AF u u u r＝－12DC u u u r －AD u u u r ＋12AB u u u r＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .9.证明：在△ABD 中，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ，因为AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，所以BD u u u r ＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN u u u r ＝13BD u u u r ＝13(b －a )．∵BC u u u r ＝b ，∴CN u u u r ＝BN u u u r －BC u u u r ＝13(b －a )－b＝－13a －23b . ① ∵M 为AB 中点，∴MB u u u r ＝12a ，∴CM u u u r ＝－MC u u u r ＝－(MB u u u r ＋BC u u u r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b＝－12a －b . ② 由①②可得CM u u u r ＝32CN u u u r.由共线向量定理知CM u u u r ∥CN u u u r ，又∵CM u u u r 与CN u u u r 有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．。
苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：平面向量的基本定理(1)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作随堂练习：平面向量的基本定理（1）1．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AE ＝3．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为4．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2满足的关系为__________．5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .6．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD ＝e 1，AB＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .答案：1.解析：AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )．答案：12(a ＋b )2.解析：如图，∵AE ＝12(AO ＋AD )，且AO ＝12a ，AD ＝AO ＋OD＝12a ＋12b ，∴AE ＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14b .答案：12a ＋14b3.解析：如图，AD 与CD 的夹角为∠ADC ＝150°. 答案：150°4.解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)．∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2.∴λ1λ2＝1.答案：λ1λ2＝15.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136.解：如图，因为AB ＝e 2，DC ∥AB 且DCAB ＝k ，所以DC ＝k AB ＝ke 2.因为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，所以BC ＝－AB －CD －DA ＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2.。
苏教版高中数学必修四学同步训练平面向量Word含答案(2)
2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理一、填空题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1 ②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2 ③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 ④e 1＋e 2，e 1－e 22．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 3．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________.5．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →＝________.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB＝________.二、解答题9. 如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.10．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .11. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展12. 如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．答案1．②④ 2.②③ 3.－74m ＋138n 4.11＋λa ＋λ1＋λb5．0 6.23b ＋13c 7.43 8.1109．解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．证明 设BE →＝λBA →.则OE →＝OB →＋BE →＝OB →＋λBA → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λa ＋(1－λ)b . OD →＝OB →＋BD →＝13a ＋b .∵O 、E 、D 三点共线，∴OE →与OD →共线， ∴λ13＝1－λ1，∴λ＝14.即BE ＝14BA . 11．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →， BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.12．解 设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：平面向量的坐标运算(1)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作随堂练习：平面向量的坐标运算（1）1．已知a ＝(3,1)，b ＝(－2,5)，则3a －2b 等于2．(2012·广东高考)若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝3．已知a ＝(－5,6)，b ＝(－3,2)，c ＝(x ，y )，若a －3b ＋2c ＝0，则c 等于4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．5．已知点A (－1,2)，若向量AB ＝3a ，a ＝(1,3)，则点B 的坐标为________．6．已知两点M (3，－2)和N (－5，－1)，点P 满足MP ＝12MN ，求点P 的坐标．答案：1.解析：3a －2b ＝(9,3)－(－4,10)＝(13，－7)．答案：(13，－7)2,解析：AC ＝AB ＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．答案：(4,6)3.解析：∵a －3b ＋2c ＝0，∴(－5,6)－(－9,6)＋(2x,2y )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＋9＝0，2y ＋6－6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0. 即c ＝(－2,0)．答案：(－2,0)4.解析：在平行四边形ABCD 中，OB ＋OD ＝OA ＋OC ，∴OD ＝OA ＋OC －OB ＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即D 点坐标为(0，－2)． 答案：(0，－2)5.解析：设B (x ，y )，则AB ＝(x ＋1，y －2)∴(x ＋1，y －2)＝(3,9)∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝11. ∴点B 的坐标为(2,11)．答案：(2,11)6.解：由已知两点M (3，－2)和N (－5，－1)，可得12MN ＝12(－5－3，－1＋2)， 即12MN ＝⎝⎛⎭⎫－4，12.设点P 的坐标是(x ，y )，则MP ＝(x －3，y ＋2)．由已知MP ＝12MN ，可得(x －3，y ＋2)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－32. 所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－1，－32.。
高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
a an t 1平面向量练习题一、选择题1、若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于()abc cA 、+B 、C 、D 、+ 21-a 23b 21a 23-b 23a 21-b23-a 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是（ ）AB A 、B 、)1010,10103(-=e 1010,10103()1010,10103(--=或e C 、D 、)2,6(-=e )2,6()2,6(或-=e 3、已知垂直时k 值为（）b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最OP OA OB XB XA ⋅小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a,b 的值分别可以是)1,2(),2,1(-==n m （ ）A 、 －1 ，2B 、 －2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （）αβαβA 、a 与b 的夹角等于－B 、(a ＋b )⊥(a －b )αβC 、a ∥bD 、a ⊥b7、设分别是轴，轴正方向上的单位向量，，。
若用 来表示j i ,x y j i OP θθsin 3cos 3+=i OQ -=∈),2,0(πθ与的夹角，则 等于（）OP OQ A 、B 、C 、D 、θθπ+2θπ-2θπ-8、设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是πθ20<≤()θθsin ,cos 1=OP ()θθcos 2,sin 22-+=OP 21P P （）A 、B 、C 、D 、2323二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使取得最小值的点P 的坐标是BP AP ⋅i r t 2、10、把函数的图象，按向量（m>0）平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最sin y x x =-(),a m n =-y 小正值为__________________、11、已知向量 、=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点、/A 13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P （1）求向量的夹角的余弦用x 表示的函数；OQ OP 和θ)(x f （2）求的最值、θ14、设其中x ∈[0，]、，)2cos ,sin 2(x x OA =，x ，OB )1cos (-=2π(1)求f(x)=的最大值和最小值；OB OA ·(2)当 ⊥，求||、OA OB AB 15、已知定点、)1,0(-B 、，动点P 满足：、)1,0(A )0,1(C 2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP （1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；P （2）当时，求的最大值和最小值、2=k ||−→−−→−+BP APa t i me l i ng i nt e n t 3参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0)10、56m π=11、4三、解答题12、解：设（ｘ，ｙ），则有，解得、所以（1，－1）。
苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：平面向量的坐标运算(2)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）随堂练习：平面向量的坐标运算（2）1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中，正确结论的个数是2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则m＝n＝3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝5．已知A(2,3)，B(1,4)，且12AB＝(sin α，cos β)，α、β∈(－π2，π2)，则α＋β＝______.6．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．7．在▱ABCD中，已知AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则CO的坐标是________．8．已知点A(1,2)，B(2,5)，AC＝2AB，则点C的坐标为________．9．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD.10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)．(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图像上？(2)设点P 在第三象限，求λ的取值范围．1.解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．答案：12.解析：∵ma ＋nb ＝m (3，－1)＋n (－1,2)＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2. 答案：m ＝4，n ＝23.解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．答案：(－2，－6)4.解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16). ② ①＋②得2a ＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)∴a ＝(－3,4)．答案：(－3,4)5.解析：∵12AB ＝12(－1,1)＝(－12，12)＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－12且cos β＝12，∴α＝－π6，β＝π3或－π3. ∴α＋β＝π6或－π2. 答案：π6或－π26.解析：设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧ λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2. 答案：a ＝17e 1＋47e 2 7.解析：CO ＝－12AC ＝－12(AB ＋AD ) ＝－12[(－2,3)＋(3,7)]＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 答案：(－12，－5) 8.解析：∵AB ＝(1,3)，∴AC ＝(2,6)．则OC ＝OA ＋AC ＝(1,2)＋(2,6)＝(3,8)．答案：(3,8)9.解：∵AB →＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)， BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)，∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m 、n ，使得 AD ＋BD ＋CD ＝m AB ＋n AC ，∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，即(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22. ∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB －22AC .10解：设P 点坐标为(x 1，y 1)，则AP ＝(x 1－2，y 1－3)． AB ＋λAC ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，即AB ＋λAC ＝(3＋5λ，1＋7λ)，由AP ＝AC ＋λAC ，可得(x 1－2，y 1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2＝3＋5λ，y 1－3＝1＋7λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝5＋5λ，y 1＝4＋7λ.∴P 点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12， ∴当λ＝12时，P 点在函数y ＝x 的图像上． (2)因为点P 在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，解得λ＜－1， ∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．。
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随堂练习：平面向量的基本定理（1）
1．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于
2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AE
＝
3．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD
的夹角为
4．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC
＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2满足的关系为__________．
5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .
6．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB
＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC
.
答案：
1.解析：AD
＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )． 答案：12
(a ＋b ) 2.解析：如图，∵AE
＝1
2(AO ＋AD )，且AO ＝12
a ，AD ＝AO ＋OD ＝12a ＋12
b ，
∴AE ＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14b .
答案：12a ＋14b
3.解析：如图，AD 与CD 的夹角为∠ADC ＝150°. 答案：150°
4.解析：∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB ＝k AC (k ≠0)．
∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .
又∵a ，b 不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝k ，
1＝kλ2.∴λ1λ2＝1.
答案：λ1λ2＝1
5.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1
＝13a －23b ，
e 2＝13a ＋13b .
故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b
＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .
答案：23 －13
6.解：如图，
因为AB ＝e
2，DC ∥AB 且DC AB ＝k ，所以DC ＝k AB
＝ke 2.
因为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，
所以BC ＝－AB －CD －DA ＝－AB ＋DC ＋AD
＝e1＋(k－1)e2.。