高中数学人教A版实用资料附答案高二下学期周练十一文6
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第六章-平面向量及其应用(含答案)
人教A版高中数学必修第二册第六章 平面向量及其应用全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则EB=( ),6.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=m OC,S△AOBS△ABC =47,则实数m=( )A.2B.-2C.4D.-47.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与DE方向相同的单位向量为i,∵AB+ BC=AC,∴i·(AB+BC)=i·AC,进而得i·AB+i·BC=i·AC,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC 的边和内角之间的等量关系为( )8.9.11.已知△ABC 的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )A.OA ·OB =OA ·OC =OB ·OCB.AO ·AB =12AB2C.向量AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线D.过点G 的直线l 分别与AB,AC 交于E,F 两点,若AE =λAB ,AF =μAC (λ,μ≠0),则1λ+1μ=3三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在△ABC中,AB·AC<0,S△ABC=154,|AB|=3,|AC|=5,则∠BAC= .13.在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=x CA+y CB(x,y∈R),则6x+yxy的最小值是 .14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则1tan A -1tan B的取值范围为 .四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,cos C=-33.(1)求sin B和a的值;(2)求△ABC的面积.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.(1)用AB与AC表示AM,并计算AM的长;(2)求∠NPM的余弦值.17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=tan Btan A+tan C.(1)求B;(2)若b=2,求a+c的最大值.18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R 处有一个路灯,经测量,点R 到区域边界PA,PB 的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R 修建一条长椅MN(点M,N 分由答案全解全析1.B ∵AD 为BC 边上的中线,∴AD =12(AB +AC ),又∵点E 为AD 的中点,∴EB =ED +DB =12AD +12CB =14(AB +AC )+12(AB -AC )=34AB -14AC .故选B.2.B 因为BD =BC +CD =5a +4b +a +2b =6a +6b ,且A,B,D 三点共线,所以存在实数λ,使得AB =λBD ,即a +m b =λ(6a +6b ),又a ,b 不共线,所以1=6λ,m =6λ,解得m=1.故选B.3.D 因为a=2ccos B,所以a=2c·a 2+c 2-b 22ac ,整理得b=c.因为ccos B+bcos C=2c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin C,所以sin(B+C)=2sin C,即sin A=2sin C,所以a=2c,又a=2ccos B,所以2c=2ccos B,所以cos B=22,因为B ∈(0,π),所以B=π4,所以C=π4,A=π2,故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.D 由题意得a ·b =1×1×cos π3=12,故(a +2b )·(a -b )=a 2+a ·b -2b 2=-12,|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=7,|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1,所以cos<a +2b ,a -b >=(a +2b )·(a -b )|a +2b ||a -b |=-127×1=-714.故选D.5.D ∵O,G,H 依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴OG =12GH ,∴OG =13OH ,OH =32GH ,A 错误,B 错误;AG =AO +OG =AO +13OH =AO +13(AH -AO )=2AO +AH3,C 错误;BG =BO +OG =BO +13OH =BO +13(BH -BO )=2BO +BH3,D 正确.故选D.6.D 由OA +2OB =m OC 得13OA +23OB =m 3OC ,易知m<0,设m 3OC =OD ,则13OA +23OB =OD ,∴A,B,D 三点共线,且OC ,OD 反向共线,如图所示,∵sin B=cos Asin ∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin ∠ACBcos A,即sin Acos ∠ACB+cos Asin ∠ACB=sin ∠ACBcos A,∴sin Acos ∠ACB=0,∵sin A≠0,∴cos ∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB ·AC =9,S △ABC =6,∴bccos A=9,12bcsin A=6,∴tan A=43,根据三角形ABC 是直角三角形可得sin A=45,cos A=35,∴bc=15,∴c=5,b=3,a=4.以C 为原点,AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA =(3,0),CB =(0,4).∵P 为线段AB 上一点(不含端点),∴存在实数λ,使得CP =λCA +(1-λ)CB =(3λ,4-4λ)(0<λ<1).易得CA |CA |=(1,0),CB |CB |=(0,1),∴CP =x·CA|CA |+y·CB|CB |=(x,0)+(0,y)=(x,y),∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x ∈(0,3),y ∈(0,4).则1x +1y =112(4x+3y)++3y x+≥712+112×23y x ·4x y =7+4312,当且仅当3y x =4xy,即x=12-63,y=83-12时,等号成立,故1x +1y 的最小值为7+4312.故选D.9.BD A 选项,2a +b =(2n+1,3+m)=(2,6),则2n +1=2,3+m =6,解得m =3,n =12,则a ,2,b =(1,2),所以不存在实数λ,使b =λa ,即a ,b 不共线,A 错误;B 选项,若a =-2b ,则n =−2,2=−2(m -1),解得m =0,n =−2,所以b =(1,-1),|b |=12+(−1)2=2,所以与b 同向的单位向量为b|b |=正确;C 选项,当n=1时,a =(1,2),因为a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1×1+2×(m -1)>0,m -1≠2,解得m>12,且m≠3,故m ,3∪(3,+∞),C 错误;D 选项,若a ⊥b ,则a ·b =n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,所以z=2n +4m =2n +22m ≥22n ·22m =222m +n =4,当且仅当2n =22m ,即n=2m=1时,等号成立,D 正确.故选BD.10.BD 对于A,CA ·AB =|CA |·|AB |cos(π-A)=-bccos A=-1,A 错误;对于B,|AC -t AB |2=AC 2-2t AC ·AB +t 2AB 2=b 2-2tbccos A+t 2c 2=4-2tc+t 2c 2=3+(1-tc)2≥3,当且仅=|AB ||BC |cos(|AB |cos B +|AC ||BC |cos |AC |cos C=-|BC |+|BC |=0,所以AB|AB |cos B +AC|AC |cos C与BC 垂直,又因为AH⊥BC ,所以AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线,故C 中结论正确;如图,取BC 的中点D,连接AD,则G 为AD 上靠近D 的三等分点,所以AG =23AD =13(AB +AC )=13λAE +13μAF ,因为E,G,F三点共线,所以13λ+13μ=1,故1λ+1μ=3,故D 中结论正确.故选BCD.12.答案 5π6解析 因为AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠BAC<0,所以∠BAC>π2,因为S △ABC =12|AB |·|AC |sin ∠BAC=12×3×5sin ∠BAC=154,所以sin ∠BAC=12,故∠BAC=5π6.13.答案 16解析 因为BD =13BC ,所以CB =32CD ,因为CE =x CA +y CB ,所以CE =x CA +32y CD ,又因为A,D,E 三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0,则6x +y xy =6y +1x =++32y =6x y +3y2x +10≥26x y ·3y2x+10=16,=3y2x,32y =1,即x =14,y =12时,等号成立,所以6x +yxy 的最小值是16.14.答案 1,解析 因为b 2-a 2=ac,b 2=a 2+c 2-2accos B,所以ac=c 2-2accos B,所以a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),因为△ABC 为锐角三角形,所以A,B ∈0,所以B-A ∈-π2所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A.由A,B,C ∈0,可得A 故B 1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin(B -A )sin A sin B =sin A sin A sin B =1sin B,∴|BN |2-AB 2=14AC 2+AB 2-AC ·AB =14×62+22-6=7,∴BN=7.(12分)∵AM =14AC +34AB ,BN =12AC -AB ,∴AM ·BN =-AB =18AC 2-34AB 2+18AC ·AB =94,(14分)∴cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)解法二:(1)以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,3),C(6,0),∵AC 边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)∵M 为BC 边上靠近B 的四等分点,∴分)设AM =x AC +y AB (x,y ∈R ),,=x(6,0)+y(1,3),y =94,=334,解得x =14,y =34,所以AM =14AC +34AB ,|AM |==332,即AM 的长为332.(9分)(2)易知∠NPM 为向量AM 与BN 的夹角,∴cos ∠NPM=AM ·BN |AM ||BN |,易知AM =,BN =(2,-3),(12分)则AM ·BN =94×2+334×(-3)=94,|BN |=7,(14分)故cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)17.解析 (1)因为2cos Acos C=tan Btan A +tan C ,所以2cos Acos Csin A cos A +sin Ccos C=sin Bcos B ,即2cos Csin A+2cos Asin C=sin Bcos B ,所以2sin(A+C)=sin Bcos B ,(4分)又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=12,(7分)因为B ∈(0,π),所以B=π3.(9分)(2)由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-2ac-b 22ac ,即(a +c )2-2ac-42ac=12,故(a+c)2-4=3ac,(12分)因为ac≤14(a+c)2,所以(a+c)2-4≤34(a+c)2,解得0<a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,故a+c 的最大值为4.(15分)18.解析 (1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT 中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,∴S △PMN =34PM·PN≥34×128=323,故当PM 为83时,三角形PMN 的面积最小,最小面积为323.(17分)19.解析 (1)g(x)=sin x x =sin xcos 5π6+cos xsin 5π6+cos x=-32sin x+32cos x,∴g(x)的相伴特征向量OM =-32,分)(2)向量ON =(1,3)的相伴函数为f(x)=sin x+3cos x,令f(x)=sin x+3cos x=85,即2sin x =85,∴sin x +=45.∵x ∈-π3,∴x+π3∈0,∴cos x +=35,∴sin x=sin x +=12sin x -32cos x +=4−3310.(5分)(3)假设存在满足条件的点P.∵h(x)=msin x =32msin x-12mcos x,OT =(-3,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,∴=2cos x2.(7分)设P x ,2cos∵A(-2,3),B(2,6),∴AP =x +2,2cos x 2-3,BP =x -2,2cos x 2-6,∵AP⊥BP ,∴AP ·BP =0,∴(x+2)(x-2)+2cos x 2-32cos x 2-6=0,即x 2-4+4cos 2x2-18cos x 2+18=0,(9分)∴2cos x 2=254-x 2,∵-2≤2cos x 2≤2,∴-132≤2cos x 2-92≤-52,∴254≤2cos x 2≤1694.又∵254-x 2≤254,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得AP⊥BP .(17分)。
高二人教版数学书习题答案
高二人教版数学书习题答案高二人教版数学书习题答案数学是一门让人爱恨交加的学科，有人觉得它枯燥无味，有人却觉得它充满了挑战和乐趣。
无论你对数学有何感觉，作为一个高中生，我们都需要通过学习数学来提高自己的逻辑思维和解决问题的能力。
而高二人教版数学书习题则是我们学习的重要资源之一。
在这篇文章中，我将为大家提供一些高二人教版数学书习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习数学。
首先，让我们来看一道代数题。
题目如下：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
解答如下：将x替换为3，得到f(3) = 3^2 - 2 × 3 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4。
所以f(3)的值为4。
接下来，我们来看一道几何题。
题目如下：已知△ABC中，∠A = 60°，AB = AC，BC = 3。
求△ABC的面积。
解答如下：根据正弦定理，我们可以得到BC/AB = sin∠A/sin∠B。
由于∠A = 60°，所以sin∠A = √3/2。
又因为AB = AC，所以BC/AB = BC/AC = 3/AB。
将这些信息代入公式，得到3/AB = √3/2。
解得AB = 2√3。
根据海伦公式，△ABC的面积可以用边长和半周长来计算，即S = √[s(s-AB)(s-AC)(s-BC)]，其中s为半周长。
代入已知信息，得到S =√[3(3-2√3)(3-2√3)(3)] = √[3(9-12√3+12)(3)] = √[3(36-24√3)] = √[108-72√3]。
最后，我们来看一道概率题。
题目如下：有一袋子里有5个红球和3个蓝球。
从袋子里随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答如下：首先，我们计算总的取球方式。
从8个球中取出2个球的方式有C(8,2) = 8!/(2!6!) =28种。
然后，我们计算取出两个红球的方式。
从5个红球中取出2个球的方式有C(5,2) = 5!/(2!3!) = 10种。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
高二数学下学期周练十一文6
p V x iX2^R (f(x 2)- f(x i ))(x 2-x i )0 ""p ()22. x=-8y()AB CD8. x R,3 2f (x)二 x ax 7ax1. (A) x iX2E R (f(x 2)- f(x i ))(x 2-x 1)(B) -x i X 2W R (f(x 2)- f(x i ))(x 2-x i ) (C) -I x i X 2^R (f(x 2)- f(x i))(x 2-x i )<0(D) -x iX 2^ R (f(x 2)- f(x i ))(x 2-x i )<0A (0,2)B (0,-2)C (0,4)D (0,-4)a,b,c a 2 +b 2 =応2cosC(A)辽(B)2(C)224.yA 75B 逅C 晅525. y=f(x)1(D)1 22y= 2xD 2、55y=f ' (x)4 2丄6.y = x +ax +1(-1,a+2)8 a=A. 9B. 6C. -9D. -67. a >0 a式1f(x)二 a xR3g(x)=(2-a)xR3.MBCA,B,C(A).O w a w 21 (B).a= 0 或a=7 (C).a<0 或a>21 (D).a=0 或a=212 29. 已知双曲线乞一爲=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，贝U该双曲线的焦点到其渐4 b2近线的距离等于()(A)、、5 (B) 4 2 (C)3 (D)510. 设斜率为2的直线I过抛物线y2二ax(a =0)的焦点F,且和y轴交于点A,已知O为坐标原点，"A O F的面积是4，则抛物线的方程是()2 2 2 2(A). y = 4x (B). y= 8x (C). y = 4x (D). y = 8xf 1 j11. 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为2x|xv-1或x> —'，则f(10x)>0的解集为I 2J —A. {x|x<-1或x>lg2 }B. {x|-1vx<lg2 }C. {x|x>-lg2 }D. {x|x<-lg2 }12. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A. (「p )V(「q)B. p q)C. (「p )A(「q)D.p Vq二.填空题：2 1 113. 若函数f(x) =x ax -在(二，=)是增函数，则a的取值范围是()x 214. 设AB是椭圆M的长轴，点C在M上，且.CBA=—.若AB=4, BC- 2，则此椭圆M的两4个焦点之间的距离为.15. 已知双曲线x2一y2=1，点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P R丄PF2,则I PF1 I + I P F 2 I 的值为_______16. 在一组样本数据(X1, y1) , (X2, y2),…，(x n, y n) (n>2, X1,X2,…,x n不全相等)的散点1 、图中，若所有样本点(X i,y i) (i=1,2，…,n)都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数r为三.解答题：1 — a17. 已知命题p: -2 2，命题q：集合A={x| x2 (a 2)x * 1 =0, x • R} , B=3{x | x 0}且A「l B二•一，如果p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围18. 已知函数f (x^ ax21(a - 0) , g(x) =x3• bx，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线①求a、b的值②假设h(x)=g(x)-f(x) ，试判断h(x)=0零点的个数高中数学319.1003xp,x N .4x 32Tx3 220. f (x >x +3ax +3x+1. I a = _w'2f(x )II[2,兄) f (x 戶0, a21. l In x C y = ---------x(1 0) . (I) l •(II)(1 0)C22. M(x,y) l:x=4N(1,0)2(1) M C；(2)P(0,3)mCA, BA PB1-6.CBCABD 7-12.AAABDA 13.[3, ::) 14.15.2、3 16.1200 Px17. a _7或 -5 ：：： a 匕-4 18.(1) a =b =3 (2)仅有一个零点高中数学20. （ 1）函数在（二,、、2_1）,（ .、2 1,二）是增函数,21. ( 1) y=x-1 (2 )略2 222. ( 1) — y 1 (2)4 319.2(1)」5x 1600x(2) 16 件（.2 _1,、、2 1）上是减函数3。
新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)
人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量． 【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同， 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确． 【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ， 故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍， 即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来． 【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)． 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确． 【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同； 当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.【答案】－17．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】c ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 设c ，a 的夹角为α，c ，b 的夹角为θ，又因为cos α＝c ·a |c ||a |，cos θ＝c ·b |c ||b |，由题意知c ·a |a |＝c ·b |b |，即5m ＋85＝8m ＋2025. 解得m ＝2. 【答案】2 三、解答题8．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解析】(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， |a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， |a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.【解析】(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.10．在△PQR 中，PQ →＝(2,3)，PR →＝(1，k )，且△PQR 的一个内角为直角，求k 的值． 【解析】(1)当∠P 为直角时，PQ ⊥PR ， ∴PQ →·PR →＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23.(2)当∠Q 为直角时，QP ⊥QR ，易知QP →＝(－2，－3)，QR →＝PR →－PQ →＝(－1，k －3)． 由QP →·QR →＝0，得2－3(k －3)＝0，∴k ＝113.(3)当∠R 为直角时，RP ⊥RQ ，易知RP →＝(－1，－k )，RQ →＝PQ →－PR →＝(1,3－k )． 由RP →·RQ →＝0，得－1－k (3－k )＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k 的值为－23或113或3＋132或3－132.6．4 平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)【解析】F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)． 【答案】D2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24C.34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.【答案】B3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/s D ．12 m/s【解析】由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)． 【答案】B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 【答案】B 二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳． 【解析】设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．【答案】506．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． 【答案】等腰梯形7．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________ km.【解析】如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)． 【答案】3 2 三、解答题 8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明：方法一 设正方形ABCD 的边长为1，。
高二下学期数学第二次周练试卷(文科A卷)含答案
高二数学第二次周练试卷（文科A 卷）（试卷总分：100分 考试时间：80分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( )A ．过P 只能作一条直线与平面α相交B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直C ．过P 只能作一条直线与平面α平行D ．过P 可作无数条直线与平面α平行2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定 3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若l ⊥β，l ∥α，则l ⊥β 4．下列关于直棱柱的描述不正确的是( )A ．侧棱都相等，侧面是矩形B ．底面与平行于底面的截面是全等的多边形C ．侧棱长等于棱柱的高D ．有两个矩形的侧面的棱柱是直棱柱 5．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A ．底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直B ．底面是正方形，两个侧面垂直于底面C ．底面是正方形有两个侧面是矩形D ．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱 6.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．28．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1内运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 在( )A ．线段B 1C 上 B ．线段BC 1上C ．BB 1中点与CC 1中点的连线上D ．B 1C 1中点与BC 中点的连线上10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分.)11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是D 1A 1、A 1B 1、B 1C 1的中点，则面AEF 与平面GBD 的关系为________．12．如图，△A ′O ′B ′是水平放置的△AOB 的直观图， 其中O ′B ′＝O ′A ′＝2cm ，则原△AOB 的面积为________cm 2.13.设P 是ABC ∆外一点，则使点P 在此三角形所在平面内的射影是ABC ∆的垂心的条件为________________________(填一种即可).14．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．姓名班级学号得分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案11． 12．13． 14．三、解答题（34分）15．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.16． 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .17.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGA B FHED C G CD EAB号题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10案答DC BD D AC B A B二、填空题11. 平行 12. 4 13. AC PB BC PA ⊥⊥, 14. ②④⑤三、解答题15. (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD . (2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE 平面PAD ，AD 平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知PA ⊥底面ABCD .所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD . 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥BE ，BE ∩EF ＝E ，所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD . 16. I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD ,又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH . 证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中，G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ⊂平面ABED ，所以//BD 平面FGH .(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=， 所以BC ⊥平面EGH ，又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 17(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示 (Ⅱ)平面BEG ∥平面ACH .证明如下 因为ABCD －EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH 于是BCEH 为平行四边形 所以BE ∥CH又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH 同理BG ∥平面ACH 又BE ∩BG ＝B 所以平面BEG ∥平面ACH(Ⅲ)连接FH 因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD 又DF ⊂平面BFDH ，所以DF ⊥EG 同理DF ⊥BG 又EG ∩BG ＝G 所以DF ⊥平面BEG .F。
河南省正阳县第二高级中学2018_2019学年高二数学下学期周练十一理含答案
22.已知函数 f (x) ln x a e 2 (a 0) x
（1）y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线(1-e)x-y+1=0 平行，求 a 值
（2）不等式 f (x) a 对于一切 x>0 恒成立，求实数 a 的取值范围
参考答案： 1-6.ABBCAB 7-12.DDCBCB 13.-80 14.312
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
3.在等差数列{an}中，前 4 项之和为 20，最后 4 项之和为 60，前 n 项之和为 100，则 n=（ ）
A.9
B.10
C.11
D.12
4.若 (x 1 )n 的展开式中第三项的二项式系数为 15，则展开式中所有项系数之和为（ ） 2x
21.已知抛物线 y2 2 px( p 0) ，过点 M（5，-2）的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，当直线 l 的斜
率为-1 时，点 M 恰好为 AB 的中点 （1）求抛物线的方程（2）抛物线上是否存在一定点 P，使得以 AB 为直径的圆恒过 P 点，若存在，求 出 P 点坐标；若不存在，说明理由
使用时间 t
t<4
4≤t<6
t≥6
每件产品利润 y
-20
20
40
若从大量的 A 型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为 X（元），求 X 的分布列
20.在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC=1， BB1 2, BCC1 60°，AB⊥面 BB1C1C ， （1）求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值（2）在线段 CC1 （不含端点）确定一点 E 的位置，使得 EA EB1
高中数学 质量检测A课后练习同步导学 新人教A版选修11
高中数学 质量检测A 课后练习同步导学 新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 C ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0 D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0解析： 全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0. 答案： C2．命题“若a >b ，则ac <bc (a ，b ，c ∈R )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析： 原命题为假，逆命题为假，否命题及逆否命题也为假． 答案： D3．已知p ：2x －3<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： ∵p ：{x |x <2}，q ：{x |0<x <3}， ∴p ⇒/ q ，q ⇒/ p . 答案： D4．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)解析： 设P 0(x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2，得f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4，即3x 20＋1＝4，得x 0＝1 或x 0＝－1，∴P 0(1,0)或P 0(－1，－4)．故选C. 答案： C5．若双曲线经过点(6，3)，且渐近线方程是y ＝±x3，则这条双曲线的方程是( )A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1 C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 解析： 设双曲线方程为y 2－x 29＝λ(λ≠0)将点(6，3)代入求出λ.故选C.答案： C6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ；若a ＞b ，则1a ＜1b，给出下列四个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③¬p ；④¬q .其中真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： 因为p 真q 假，所以p ∨q 为真，¬q 为真．故选B. 答案： B7．下列求导正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案： B8．方程x 215－k ＋y 2k －9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(9,12)B ．(12,15)C ．(12，＋∞)D ．(9,15)解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧15－k >0k －9>015－k <k －9∴9<k <12. 答案： A9．函数y ＝1＋x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上是( )A ．单调递增函数B ．单调递减函数C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2上是递增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是递减函数D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2上是递减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是递增函数 解析： y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝1＋x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上是增函数．答案： A10．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析： 由题意知，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，由抛物线的定义知，点P 的轨迹是抛物线．答案： D11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2解析： ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 又∵函数f (x )有极大值和极小值， ∴f ′(x )＝0有两个不相等的实数根， 即Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0， 解之得a <－3或a >6. 答案： C12．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1解析： 设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin 60°＝2c ·32＝3c ， ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ∴a ＝3－12c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析： 导函数在某点处的函数值表示曲线上该点的切线的斜率． ∵k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3. 答案： 314．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案： [－22，22]15．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为________．解析： |MF |可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，|MF |＋|MA |取得最小值，即y M ＝2，代入y 2＝2x ，得x M ＝2，即M (2,2)．答案： (2,2)16．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．解析： 若焦点在x 轴上，则m －4＝1，∴m ＝5， 若焦点在y 轴上，则4－m ＝1，∴m ＝3. 答案： 3或5三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知命题p ：x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解析： p 真，则有9－m >2m >0， 即0<m <3.q 真，则有m >0，e ＝c a ，c 2a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52<m <5.若p 、q 中有且只有一个为真命题，则p 、q 一真一假． ①若p 真，q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52；②若p 假，q 真，则m ≥3或m ≤0， 且52<m <5， 即3≤m <5.故所求m 的范围为：0<m ≤52或3≤m <5.18．(本小题满分12分)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间．解析： (1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞) f ′(x )＝2x 2－4x ＋31＋x＝2x －1x －31＋x当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)f (x )的单调减区间是(1,3)．19．(本小题满分12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －1.则k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－x 222＋x 212x 2－x 1＝－x 1＋x 22由k OA ＋k OB ＝y 1x 1＋y 2x 2＝1. 即－x 212x 1＋－x 222x 2＝1.∴－x 12－x 22＝1， ∴k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－x 22得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2＝0Δ＝4＋8>0符合题意，∴直线l 的方程为y ＝x －1.20．(本小题满分12分)某物理实验室做实验时，需要一个体积为32m 3，高为2 m 的长方体封闭纸盒，若用x (2≤x ≤a ，a 为常数)表示长方体底面的一边的长，S 表示长方体的侧面积．(1)试写出S 与x 间的函数关系式；(2)当x 取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸最少？(纸的厚度忽略不计) 解析： (1)由题意知，该长方体的底面积为322＝16(m 2)，故它的底面另一边长为16x(m)，所以S (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (2≤x ≤a )．(2)要使用纸最少，即是使方长体的表面积最小，而底面积是16保持不变，从而就是求S的最小值，S ′＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－16x 2当a <4时，S ′<0，S (x )在[2，a ]上是减函数，故当x ＝a 时，S 有最小值S (a )＝4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋16a .当a ≥4时，令S ′＝0，解得x 1＝4或x 2＝－4(舍去)． 易得S (x )在[2,4]上是减函数，在[4，a ]上是增函数， 故当x ＝4时，S 取得最小值S (4)＝32.综上所述，当a <4时，S 有最大值S (a )＝4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋16a (m 2)，当a ≥4时，S 取最大值32(m 2)．21．(本小题满分12分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R )，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，当m ＝5时，求双曲线G 的方程．解析： 椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25，当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4.∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x .(1)设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；(2)设a ∈R ，解关于x 的方程lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32fx －1－34＝2lg h (a －x )－2lg h (4－x )．解析： (1)F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2＝－x 3＋12x ＋9(x ≥0)． 所以F ′(x )＝－3x 2＋12.令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－2舍去)． 当x ∈(0,2)时，F ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )<0. 故当x ∈[0,2)时，F (x )为增函数；当x ∈[2，＋∞)时，F (x )为减函数．x ＝2为F (x )的极大值点，且F (2)＝－8＋24＋9＝25.(2)原方程变为lg(x －1)＋2lg 4－x ＝2lg a －x ，⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >1，4－x >0，a －x >0，x －14－x ＝a －x .⇔⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，x <a ，a ＝－x －32＋5.①当1<a ≤4时，原方程有一解x ＝3－5－a ；②当4<a <5时，原方程有两解x 1＝3＋5－a 或x 2＝3－5－a ；③当a ＝5时，原方程有一解x ＝3； ④当a ≤1或a >5时，原方程无解．。
2022-2023学年人教A版高二下数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确 A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则2. 从图中的个点中任取个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）A.B.C.D.3. “读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书两读能够扩大阅读空间．某小学四年级以上在开学初开展本“整本书阅读活动”，其中四年班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古诗，活动开展一月后，老师抽四名同学（四名同学编号为，，，）了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复：说：“比背的少”；说：“比背的多”；说：“我比背的多”；说：“比背的多”．经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个，四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是（ ）A.B.C.D.4. 设，是不同的直线， ，，是不同的平面，下列命题正确的是( )m n αβγ()m//αn //αm//nα⊥γβ⊥γα//βm ⊥αn ⊥αm//nm//αm//βα//β12320820420019611234124213344324231324124134312m n αβγm//αm//nA.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，，则5. 如图，正方体 的棱长为，，分别是线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（ ）A. 存在某个位置，使 B. 存在某个位置，，使面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等6. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7. 干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如年为癸；再用年除以余数为，为巳．那么年就是癸巳年了．m//αn ⊂αm//nm//βn//βm ⊂αn ⊂αα//βα⊥βm ⊥βm//αα⊥γβ⊥γα∩β=m n ⊂γm ⊥nABCD −A 1B 1C 1D 11E F C A 1B 1C 1EF =32E ，F BE ⊥DFE F EF//BC A 1D 1−BEF B 1△AEF △BEF ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =1AD =2A =3A 1A 1B 1AC 114−−√1483–√1413−−√13136020133201312992013年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大岁，问李东的父亲是哪一年出生( )A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯8. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的种主食，种素菜、种大荤、种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )A.种B.种C.种D.种9. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排了包括琵琶、二胡在内的五节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，并要求琵琶、二胡互不相邻，且琴不能安排在第一节课，则不同的排课方式种数有( )A.B.C.D.10. 从，，，…，中选取四元数组，且满足，，，则这样的四元数组的个数是（ ） A. B. C.202025232448362412126037802520326012320(,,,)a 1a 2a 3a 4−≥3a 2a 1−≥4a 3a 2−≥5a 4a 3(,,,)a 1a 2a 3a 4D.11. 四色定理（ ）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里（））提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”，要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方案有（ ）A.种B.种C.种D.种12. 年月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办“一带一路”是由中国倡议，积极发展中国与沿线国家经济合作伙伴关系的区域合作平台，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的利益、命运和责任共同体，深受有关国家的积极响应某公司搭乘这班快车，计划对沿线甲、乙、丙三个国进行投资，其中选择一国投资两次，其余两国各投资一次，共四次投资．每次投资，公司设置投资金额共有、、、(亿元）四个档次，其中档投资至多为一次，档投资至少为一次，档投资不能在同一国中被投两次，则不同的投资方案（不考虑投资的先后顺序）有( )A.种B.种C.种D.以上答案均不正确卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知是正整数，若，则的取值范围是________．14. 某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这项工程的不同排法种数是________．（用数字作答）15. 为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部个班级分别去个革命老区开展研学游，每个班级只去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）.16. 学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语，物理，化学，生物最多上一节，则不同的功课安排有________种情况．Four color theorem 1852FrancisGuthrie 197641836487220194..a b c d b c a 182430n +<C 2n C 3n C 4nn 6610010313三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 某单位男女若站成一排，求满足下列条件的排法：(算出数字)任何名女生都不相邻有多少种排法？男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？若抽调人分到个贫困村参加精准扶贫工作，每村至少一人共有多少种安排方法？(算出数字) 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，点为的中点，，平面平面．求证：平面平面；已知为的中点，是上一点，且，求证平面．19. 如图所示，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且面．求证：；若，求二面角的余弦值．64(1)2(2)(3)(4)64P −ABC △PBC O BC AC ⊥PB PBC ⊥ABC (1)PAC ⊥PBC (2)E PO F AB BF =3AF EF//PAC ABC −A 1B 1C 1ABB 1A 1AB =2A =2A 12–√D AA 1BD AB 1O CO ⊥ABB 1A 1(1)BC ⊥AB 1(2)OC =OA D −BC −A参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】通过举反例可得、、不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得正确，从而得出结论．【解答】解：，，平行于同一个平面，故，可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故错误；，， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故错误；，，平行于同一条直线，故， 可能相交，可能平行，故错误；，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确．故选.2.【答案】C【考点】组合及组合数公式【解析】这是一个组合数的应用问题，先看在个点中任取个点的组合数，因为要组成三角形，所以三个点不能在同一直线上，去掉不合题意的三个点的组数，得到结果．【解答】解：在个点中任取个点的组合数为，在同一直线上的点的组数为，则可构成三角形的组数为．故选．3.A B C D A m n m n A B αβγαβB C αβm αβC D D D 123123C 312320−20=200C 312C【考点】进行简单的合情推理【解析】由题可得说的一定是假话，则背的比少；然后依次假设，，说的是真话，推出矛盾或正确结果，继而可以得解．【解答】由题可得说的一定是假话，则背的比少；若说的是真话，则，那么说的是假话，说的是假话，则比背的多，比背的少，又背的比少，则，即背诵最少的是编号不是编号，与题目矛盾，故说的是假话；若说的是真话，则，那么说的是假话，说的是假话，则比背的多，比背的少，又背的比少，则，显然矛盾，故说的是假话；若说的是真话，则，那么说的是假话，说的是假话，则比背的多，比背的少，又背的比少，则，又背诵数量最少的应为编号，满足题目条件，故说的是真话；则背诵数量由多到少组成的四位数为．4.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】对于，与平行或异面；对于，与相交或平行；对于，或；对于，由面面垂直的性质得．【解答】解：由，是不同的直线，，，是不同的平面知，，若，，则与平行或异面，故错误；，若，，，，则与相交或平行，故错误；，若，，则或，故错误；，若，，，，则由面面垂直的性质得，故正确．故选．5.33424133421>3142432342>4>332243>2122413344>3>2>4412<4243132344>2>3>1114231A m n B αβC m//αm ⊂αD m ⊥n m n αβγA m//αn ⊂αm n A B m//βn//βm ⊂αn ⊂ααβB C α⊥βm ⊥βm//αm ⊂αC D α⊥γβ⊥γα∩β=m n ⊂γm ⊥n D D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】余弦定理异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴异面直线与所成的角即为与所成的角，即,∵在中，，，，∴，.∴由余弦定理得：.故选.7.【答案】C【考点】//C 1D 1A 1B 1A 1B 1AC 1C 1D 1AC 1∠AC 1D 1Rt △AC 1D 1AB =1AD =2A =3A 1A ==D 1+2232−−−−−−√13−−√A ==C 1++122232−−−−−−−−−−√14−−√cos ∠A =C 1D 1A +−A C 21D 1C 21D 212A ⋅C 1D 1C 1==14+1−132××114−−√14−−√14A进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：李东是壬午年即年出生，父亲为年出生，为丁，，为巳，即丁巳年出生.故选.8.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，依次分析主食、素菜、荤菜选择方法，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，要配成一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，有种主食，则主食的选法有种；种素菜，则素菜的选法有种；种荤菜，则荤菜的选法有种，故可以配制种不同的选取方法.故选.9.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】利用分类原则讨论.【解答】解：根据题意，分两种情况进行分析：①不含琴：从除琵琶、二胡之外的种乐器中任选不含琴的种全排列，有种排法，排好后，有个空位可用，任选个，安排琵琶、二胡，有种情况，2002197771977÷12=164…99C 2233662×3×6=36B 83A 3742A 243=25202故有种排法；②含琴：从除琵琶、二胡之外的种乐器中任选不含琴的种乐器，有种，这种乐器与琴全排列，有种排法，再安排琵琶、二胡，有种情况，减去其中琴安排在第一节课的情况，有种，故有种，所以共有种情况.故选．10.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】将连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组的个数相当于从个元素中选取个，【解答】将连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组的个数相当于从个元素中选取个，故这样的四元数组的个数是．11.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】【解析】不同的染色方案有 种．故选．12.【答案】D A 37=2520A 2482C 272A 33A 24A 27A 23−=1260C 27A 33A 24A 27A 232520+1260=3780B a 12a 23a 34(,,,)a 1a 2a 3a 4114a 12a 23a 34(,,,)a 1a 2a 3a 4114(,,,)a 1a 2a 3a 44×3×2×(2+1)=72D排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：首先选择一国进行二轮投资，有种情况，再考虑档投资是否在二次投资里，二次投资国共有几种情况，分类讨论可算出共种情况.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】且【考点】组合及组合数公式【解析】根据题意，由组合数的性质可将变形为，由组合数公式将其展开可得，整理变形可得，解可得的取值范围，结合为正整数，综合可得答案．【解答】解：根据题意，，则，即，变形可得；解可得或，又由是正整数，则且，故答案为且．14.【答案】3c ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cc ，cd ，dd 246D n ≥9n ∈N ++<C 2n C 3n C 4n <C 3n+1C 4n <(n +1)n(n −1)3×2×1n ×(n −1)×(n −2)×(n −3)4×3×2×1−9n +2>0n 2n n +=C 2n C 3n C 3n+1+<⇒<C 2n C 3n C 4n C 3n+1C 4n <(n +1)n(n −1)3×2×1n ×(n −1)×(n −2)×(n −3)4×3×2×1−9n +2>0n 2n >9+73−−√2n <9−73−−√2n n ≥9n ∈N +n ≥9n ∈N +20分步乘法计数原理【解析】本题是不相邻问题，可以插空法解答．【解答】依题意，乙必须在甲后，丙必须在乙后，丙丁必相邻，且丁在丙后，只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可，第一个插入时有种，第二个插入时共个空，有种方法；可得有＝种不同排法．15.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】无【解答】解：由题意，个班级分别去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，分成组有，再把组分到三个革命老区有种，所以共有种.故答案为：．16.【答案】【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】4555×4201260010333==2100C 310C 37C 44A 22×10×9×83×2×17×6×53×2×12×13=3×2×1=6A 332100×6=1260012600336根据题意，分种情况讨论：①，语文和数学都安排在上午，②，语文和数学分别安排上午和下午，分别求出每一种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分种情况讨论：①语文和数学都安排在上午，此时语文和数学的安排方法有种，在剩下的门课中任选门，安排在下午，有种情况，则此时有种安排方法；②语文和数学分别安排上午和下午，若语文在上午，有种安排方法，数学在下午，有种安排方法，在剩下的门课中任选门，安排在其他时间，有种情况，则语文在上午、数学在下午的安排方法有种，同理：数学在上午，语文在下午的安排方法也有种，则不同的安排方法有种.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有种．甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有（种）排法．男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，种.第一步抽：，第二步分组：：或：，第三步分配：，.【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有种．甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，22243A 342×=48A 343243A 343×2×=144A 3414448+144+144=336336(1)=604800A 66A 47(2)A 99A 18A 18A 88(+)=2943360A 99A 18A 18A 88(3)=604800A 1010A 33(4)C 6102211C 26C 24C 12C 11A 22A 223111C 36C 13C 12C 11A 33A 33(+)=210(45+20)6=81900C 610C 26C 24C 12C 11A 22A 22C 36C 13C 12C 11A 33A 33(1)=604800A 66A 47(2)A 99118若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有（种）排法．男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，种.第一步抽：，第二步分组：：或：，第三步分配：，.18.【答案】证明：∵为等边三角形，点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面．取中点，连结，，如图，∵为的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴.∵为的中点，为的中点，∴，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴平面平面.∵平面，∴平面.A 18A 18A 88(+)=2943360A 99A 18A 18A 88(3)=604800A 1010A 33(4)C 6102211C 26C 24C 12C 11A 22A 223111C 36C 13C 12C 11A 33A 33(+)=210(45+20)6=81900C 610C 26C 24C 12C 11A 22A 22C 36C 13C 12C 11A 33A 33(1)△PBC O BC PO ⊥BC PBC ⊥ABC PBC∩ABC =BC PO ⊂PBC PO ⊥ABC AC ⊂ABC AC ⊥PO AC ⊥PB PO ∩PB =P AC ⊥PBC AC ⊂PAC PAC ⊥PBC (2)CO G FG EG E PO EG//PC EG ⊂PAC PC ⊂PAC EG//PAC BF =3AF AF =AB 14O BC G OC CG =CB 14FG//AC FG ⊂PAC AC ⊂PAC FG//PAC EG ∩FG =G EFG//PAC EF ⊂EFG EF//PAC【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】【解答】证明：∵为等边三角形，点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面．取中点，连结，，如图，∵为的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴.∵为的中点，为的中点，∴，∴.∵平面，平面，∴平面.∵，∴平面平面.∵平面，∴平面.19.【答案】(1)△PBC O BC PO ⊥BC PBC ⊥ABC PBC∩ABC =BC PO ⊂PBC PO ⊥ABC AC ⊂ABC AC ⊥PO AC ⊥PB PO ∩PB =P AC ⊥PBC AC ⊂PAC PAC ⊥PBC (2)CO G FG EG E PO EG//PC EG ⊂PAC PC ⊂PAC EG//PAC BF =3AF AF =AB 14O BC G OC CG =CB 14FG//AC FG ⊂PAC AC ⊂PAC FG//PAC EG ∩FG =G EFG//PAC EF ⊂EFG EF//PAC (1)ABB A证明：由题意，因为是矩形，为中点，，，，所以在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，又，，所以在三角形中，，即，又因为侧面，侧面，所以,所以，面，因为面，所以．解：如图，分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设面的法向量的坐标为，则即令，则，，故，面的法向量的坐标为，则即令，则，设二面角的大小为,则.(1)ABB 1A 1D AA 1AB =2A =2A 12–√AD =2–√ABB 1tan ∠A B ==B 1AB BB 12–√2ABD tan ∠ABD ==AD AB 2–√2∠A B =∠ABD B 1∠BA +∠A B =B 1B 190∘∠BA +∠ABD =B 190∘ABO ∠BOA =90∘BD ⊥AB 1CO ⊥ABB 1A 1A ⊂B 1ABB 1A 1CO ⊥AB 1A ⊥B 1BCD BC ⊂BCD BC ⊥AB 1(2)OD OB 1OC x y z O A(0,−,0)23–√3B(−,0,0)26–√3C(0,0,)23–√3D(,0,0)6–√3=(−，，0)AB −→−26–√323–√=(，0，)BC −→−26–√323–√3=(,0,0)BD −→−6–√ABC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1 ⋅=0，n 1−→AB −→−⋅=0,n 1−→BC −→− −+=0，26–√3x 123–√y 1+=0,26–√3x 123–√3z 1=1x 1=y 12–√=−z 12–√=(1,,−)n 1−→2–√2–√BCD =(,,)n 2−→x 2y 2z 2 ⋅=0，n 2−→BC −→−⋅=0,n 2−→BD −→− +=0，26–√3x 223–√3z 2=0,6–√x 2=1y 2=(0,1,0)n 2−→D −BC −A θcos θ==∣∣⋅n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→∣∣10−−√5【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】要证明，可证明垂直于所在的平面，已知垂直于侧面，所以垂直于，只要在矩形内证明垂直于即可，可利用角的关系加以证明；分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】证明：由题意，因为是矩形，为中点，，，，所以在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，又，，所以在三角形中，，即，又因为侧面，侧面，所以,所以，面，因为面，所以．解：如图，分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设面的法向量的坐标为，(I)BC ⊥AB 1AB 1BC BCD CO ABB 1A 1CO AB 1ABB 1A 1BD AB 1(II)OD OB 1OC x y z O CD −→−ABC (1)ABB 1A 1D AA 1AB =2A =2A 12–√AD =2–√ABB 1tan ∠A B ==B 1AB BB 12–√2ABD tan ∠ABD ==AD AB 2–√2∠A B =∠ABD B 1∠BA +∠A B =B 1B 190∘∠BA +∠ABD =B 190∘ABO ∠BOA =90∘BD ⊥AB 1CO ⊥ABB 1A 1A ⊂B 1ABB 1A 1CO ⊥AB 1A ⊥B 1BCD BC ⊂BCD BC ⊥AB 1(2)OD OB 1OC x y z O A(0,−,0)23–√3B(−,0,0)26–√3C(0,0,)23–√3D(,0,0)6–√3=(−，，0)AB −→−26–√323–√=(，0，)BC −→−26–√323–√3=(,0,0)BD −→−6–√ABC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1 +=0，2–√则即令，则，，故，面的法向量的坐标为，则即令，则，设二面角的大小为,则. ⋅=0，n 1−→AB −→−⋅=0,n 1−→BC −→− −+=0，26–√3x 123–√y 1+=0,26–√3x 123–√3z 1=1x 1=y 12–√=−z 12–√=(1,,−)n 1−→2–√2–√BCD =(,,)n 2−→x 2y 2z 2 ⋅=0，n 2−→BC −→−⋅=0,n 2−→BD −→−+=0，26–√3x 223–√3z 2=0,6–√x 2=1y 2=(0,1,0)n 2−→D −BC −A θcos θ==∣∣⋅n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→∣∣10−−√5。
2022-2023学年人教A版高二下数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.2. 正项数列满足，则( )A.B.C.D.3. 若直线与函数和的图象都相切，则( )A.B.C.D.4. 在和两数之间插人个数，使它们与，组成一个等差数列，则当时，该数列的ABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3){}a n =1,−(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 1a 2n a n−1a n a n−1++⋯+1a 1a 31a 3a 5=1a 2019a 202112003534101060611220202120205461y =kx f (x)=e x g(x)=ln x +a a =32112n (n ∈)N +12n =10所有项和为（ ）A.B.C.D.5. 曲线与曲线的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6. 已知两条互相平行的直线分别过点，，并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为，则的最大值是( )A.B.C.D.7. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则( )A.B.C.D.8. 设函数是定义在上的函数， 是函数的导函数，若，，则不等式的解集是（ ）A.15161718+=1x 216y 29+=1(9<k <16)x 216−k y 29−kA(6,2)B(−3,−1)A B d d 34310−−√410−−√F 1F 2C +=1x 24y 2D C ∠D =F 1F 2120∘O |OD|=6–√25–√2132f (x)R (x)f ′f (x)f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (0)=1f (x)>2+1e x (0,+∞)(1,+∞)B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是 10. 已知数列的前项和为，且，（为非零常数），则下列结论正确的是( )A.是等比数列B.当时，C.当时，D.数列是递减数列11. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ）A.为偶函数B.在上单调递减C.关于对称D.12. 椭圆的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的值可能是 A.B.(1,+∞)(−∞,0)(0,1)P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6){}a n n S n =p a 12−=2p S n+1S n p {}a n p =1=S 374p =12⋅=a m a n a m+n {}a n f (x)R x =−3f (x +3)=f (x −3)x ∈[0,3]f (x)=+2x −112x f (x)f (x)[−6,−3]f (x)x =3f (2021)=−7C :+=1x 29y 25F P C |PF|()23C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若数列满足，且，则________．14. 斜率为的直线被双曲线截得的弦长为，则直线的方程是________．15. 已知四面体，，，，，则该四面体外接球半径为________．16. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程． 19. 如图，已知四边形中，且．是正三角形，且，是的中点，平面．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积．20. 已知等差数列满足＝，＝．（1）求的通项公式；（2）等比数列的前项和为，且＝，再从①＝，②＝，③这三个条件中选择两个作为已知条件，求的前项和．56{}a n ={a n+12a n −1a n (0≤≤1)a n (>1)a n =a 167=a 20172l −=1x 25y 2425–√l ABCD AB =4AC =AD =6∠BAC =∠BAD =60∘∠CAD =90∘f (x)=+ax e x x ≥0f (x)≥0a (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C ABDE AE//BD BD =AE 12△ABC AB =AE =2M AC AE ⊥ABC BM ⊥CE C −ABDE {}a n a 33+a 8a 928{}a n {}b n n S n b 1a 2b 3++a 2a 3a 4S 313>b n+1b n {||}a n b n n T n21. 已知函数.（1）证明：当时，不等式恒成立；（2）当时，若方程有两个不等实根，求实数的取值范围.22. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−−→−−→−，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.2.【答案】B【考点】数列的求和【解析】，，因为，，数列是，公差为的等差数列，．选 . 【解答】解：，.因为，，数列是，公差为的等差数列，=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n+1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+=[−+⋯+−]=[1−]=1a 1a 31a 3a 51a 2019a 2021161a 11a 31a 20191a 202116160110106061B −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n−1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+1a1a 31a 3a 51a 2019a 2021=[−+⋯+−]=[1−]161a 11a 31a 20191a 202116160611010．故选 .3.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，由导数的几何意义可得切线的斜率，直线与函数的切点坐标为，则.，则有，解得，代入直线方程得，直线与的切点坐标为，将切点坐标代入得，，.故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】=10106061B (x)=f ′e x k =e x y =kx f (x)=e x (1,e)k =e (x)=g ′1x k =e =1x x =1e y =kx =1y =kx g(x)=ln x +a (，1)1eg(x)1=−1+a a =2B此题暂无解答5.【答案】C【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为，，利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离的表示式，两端平方，整理成关于斜率的二次方程，利用其有解的条件即可求得的变化范围；【解答】解：如图所示，，显然有．而．故所求的的变化范围为．故的最大值是.故选.7.【答案】:y −2=k(x −6)l 1:y +1=k(x +3)l 2d k d 0<d ≤|AB ||AB |==3[6−(−3)+[2−(−1)]2]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√10−−√d (0,3]10−−√d 310−−√CC【考点】椭圆的定义和性质余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以 .故选.8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意，设出新函数，求导，将问题进行转化，求出新函数的单调性，进而求解即可.【解答】解：令，则，因为，即，所以，即，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：.|D |=m F 2|D |=4−m F 1|=|D +|D −2|D |F 1F 2|2F 1|2F 2|2F 1|D |cos ∠D F 2F 1F 2+−2m(4−m)×(−)=12(4−m)2m 212−4m +4=0m 2m =2|D |=|D |=2F 1F 2D C |OD|=1C g(x)=(+1)f (x)e x (x)=f (x)+(+1)(x)g ′e x e x f ′f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (x)+(1+)(x)>0e −xf ′f (x)+(+1)(x)>0e x e x f ′(x)>0g ′g(x)R f (x)>2+1e x (+1)f (x)>2e x g(x)>g(0)x >0f (x)>2+1e x (0,+∞)A二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设 ，则，因为点在圆 上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离 ，解得 或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或 ，故错误；A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B =2选项，圆的圆心到直线的距离 ，而点是圆外一点，所以 ，所以 ，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足 ，解得 ，故正确．故选．10.【答案】A,B,C【考点】等比数列的通项公式数列递推式等比数列的性质【解析】．由得，所以}是首项为中公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．故选．【解答】解：，，，即．，，，，所以}是首项为，公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD 2−=2p,2−=2p,S n+1S n S n S n−12−=0,=(n ≥2)a n+1a n a n+112a n =p,2−a 1S 2=2p S 12(+)−−2p,−=a 1a 2a 1a 2p 212a 1{a n 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=,⋅=a n ()12n a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC ∵2−=2p S n+1S n ∴2−=2p (n ≥2)S n S n−1∴2−=0a n+1a n =(n ≥2)a n+112a n ∵=p a 12−S 2=2p S 1∴2(+)−=2p a 1a 2a 1==a 2p 212a 1{a n p 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=a n ()12n ⋅=a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC故选．11.【答案】A,C,D【考点】函数奇偶性的性质奇偶函数图象的对称性函数的图象与图象变化奇偶性与单调性的综合函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】略12.【答案】A,B,C【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的定义【解析】由是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，可知，而，从而，所以可能取到的值是2,3,5.【解答】解：由题意，是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，则由椭圆的几何性质可知，而，从而，所以可能取到的值是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ABC P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|2,3,5ABC13.【答案】【考点】数列递推式【解析】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力.【解答】解：依题意得∴，，，，，，……可知数列为周期数列，且周期为，所以故答案为：．14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】先设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和判别式大于，再由弦长公式求出弦长，让弦长为，即可求出参数的值．【解答】解：设直线的方程为，与双曲线交于，两点．设，两点的坐标分别为，，127=2=a 2a 1127=−1=a 3a 257=2=a 4a 3107=−1=a 5a 437=2=a 6a 567=2=a 7a 6127{}a n 5==a 2017a 2127127y =2x ±125–√5l 025–√l y =2x +m A B A B A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=122将代入双曲线，并整理得：，，即为，解得或．∴，，∴，∴，解得：．∴所求直线的方程为：．故答案为：．15.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，为的外心，为球心，平面，，则，∴，，．设该四面体外接球半径为，，则，∴，，∴，故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题y =2x +m −=1x 25y 2416+20mx +5(+4)=0x 2m 2Δ=400−4×16×5(+4)>0m 2m 2>16m 2m >4m <−4+=−m x 1x 254=(+4)x 1x 2516m 2(−=(+−4=−(+4)x 1x 2)2x 1x 2)2x 1x 22516m 254m 2|AB =(1+)(−=5(−=−(+4)=20|2k 2x 1x 2)2x 1x 2)212516m 2254m 2m =±125–√5y =2x ±125–√5y =2x ±125–√525–√O'△ACD O BE ⊥ACD BF⊥AC EF ⊥AC AF =2AE =22–√BE ==216−8−−−−−√2–√R OO'=d 2+(2+d =+(32–√)2d 22–√)2d =2–√CD =62–√R ==22+18−−−−−√5–√25–√[−e,+∞)【解析】无【解答】解：由题意可得.因为，所以.当时，，则在上单调递增，从而恒成立，故符合题意.当时，令，得.因为在 上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，则.因为，所以，即，解得，综上，的取值范围为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为(x)=+a f ′e x x ≥0(x)≥a +1f ′a ≥−1(x)≥0f ′f (x)[0,+∞)f =f (0)=1>0(x)min a ≥−1a <−1(x)=0f ′x =ln(−a)(x)f ′R f (x)(0,ln(−a))(ln(−a),+∞)f =f (ln(−a))=−a +a ln(−a)(x)min f (x)≥0−a +a ln(−a)≥0ln(−a)≤1−e ≤a <−1a [−e,+∞)[−e,+∞)(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=122C :+−6x −8y +m =022∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2【答案】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】{}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}b n q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1b n q >3q 3b n 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n {}d d（1）先设等差数列的公差为，然后根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题计算出＝，然后分别根据两个已知条件列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出的前项和．【解答】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．21.{}a n d a 1d a 1d {}a n b 11q q {}b n {}a n b n {||}a n b n n T n {}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}bn q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1bn q >3q 3bn 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b 31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n【答案】（1）证明见解析；（2）【考点】利用导数研究函数的最值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）将代入得到的表达式，根据不等式两边的式子，通过构造新函数，对新函数进行求导得到单调区间，进而得出结论．（2）方程有两个不等实根，等价于有两个不等实根，结合导数研究函数单调性的知识，从而求出的取值范围．【解答】（1）方程有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令则①若则有一个零点，不符合题意；②若，由可得令，得，所以在上单调递减，令，得，所以在上单调递增．所以若，即时，无零点，不符合题意；（ī）若，即时，有且只有一个零点，不符合题意；ⅲī若，即时，，又所以在（2）上有一个零点．当时，由（1）得所以令，得，取，因为，所以且，所以，在上有一个零点．⋅a <232a =1f (x)f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2a f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x (x >0)12x 2F (x)=−x +(a −1)−=−a −2x (x −1)[x −(a −2)]x a =2F (x)=−+x 12x 2F (x)=0x =2a <2x >0x −(a −2)>0(x)<0F ′x >1F (x)(1,+∞)(x)>0F ′0<x <1F (x)(0,1)F (x)≤F (1)=a −32(i)a −<032a <32F (x)i a −=032a =32F (x)()a −>032>>v 加v 加v 加F (1)>0F (2)=(a −2)(2−ln 2)<0F (x)0<x <11nx ∵x −1F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x 12x 2=−+(a −1)x +(2−a)ln x <−+(a −1)x +(2−a)(x −1)12x 212x 2=−+x −(2−a)<x −(2−a)12x 2x −(2−a)<0x <2−a =2−a x 0>>v 加v 加v 加∈(0,)x 012F ()<0x 0F (x)(,1)x 0F (x)(0,+∞)即在上有两个不同的零点．所以实数的取值范围为22.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，F (x)(0,+∞)α<a <232(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2−=(x −)8直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423。
高二下学期数学第六次周练试卷(文科A卷)含答案
x y O x y O x y O xy O高二数学第六次周练试卷（文科A 卷）.（试卷总分：100分 考试时间：80分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )．A ．一个圆台、两个圆锥B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆锥D ．一个圆柱、两个圆锥2.在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面； ③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则//αβ；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直. 其中正确的两个命题是（ ）A.①、③ .B.②、④C.①、④D.②、③ 3．三个平面将空间最多能分成（ ）A ．6部分B ．7部分C ．8部分D ．9部分4. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长， 则12a b+ 的最小值为 （ ） A ．1 B ．5C ．D ．3+6．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则 （ ）Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ. 2,4a b ==7．直三棱柱ABC －A 111C B 的底面为等腰直角三角形ABC ，∠C ＝900，且,1a AA BC AC ===则1AB 与1BC 所成角为（ ）A.300B.450C.600D.900O t h h t O h t O O t h O t h h t O t 8．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图，正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为( )A.12B.22C.33D.6610. 如图，PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E, F 分别是点A 在PB, PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥BC .正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11.已知直线过点P （-2，-1）且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程_____________。
2022-2023学年全国高中高二下数学人教A版同步练习(含解析)
2022-2023学年全国高二下数学同步练习考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面( )A.若，，则B.若， ，则C.若，，则D.若，，则2. 等于（ ）A.B.C.D.3. 某校成立了舞蹈、机器人和无人机三个兴趣小组，甲、乙、丙名同学均报名参加，三人在不同的小组，且每人只参加一个兴趣小组，对于他们参加兴趣小组的情况，有如下三种猜测，每种猜测都只猜对了一半．第一种：甲参加了舞蹈组，乙参加了机器人组；第二种：丙没参加机器人组，乙参加了舞蹈组；第三种：甲没参加舞蹈组，乙参加了无人机组．则甲、乙、丙三名同学分别参加的是（ ）A.机器人组、舞蹈组和无人机组B.无人机组、机器人组和舞蹈组C.舞蹈组、无人机组和机器人组D.机器人组、无人机组和舞蹈组4. 若，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，则下列判断中正确的是（ ）．m n αβm//αn//αm//nm//αm//βα//βm//n m ⊥αn ⊥αm//αα⊥βm ⊥β+C 512C 612C 513C 613C 1113A 712m n α,βγm ⊂βα⊥βA.若，，则B.若 ， ，则C.若，，则D.若，，则5. 如图，正方体 的棱长为，，分别是线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（ ）A. 存在某个位置，使 B. 存在某个位置，，使面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等6. 在正方体中，为的中点，为的中点，平面过顶点，且平面，平面，平面平面，则直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共得到个组成，周而复始，循环记录，年是“干支纪年法”中的甲午年，那么年是“干支纪年法”中的（ ）A.乙亥年m ⊂βα⊥βm ⊥αm ⊥βm//αα⊥βα⊥γα⊥ββ//γm//αα//βm//βABCD −A 1B 1C 1D 11E F C A 1B 1C 1EF =32E ，F BE ⊥DFE F EF//BC A 1D 1−BEF B 1△AEF △BEF ABCD −A 1B 1C 1D 1P BC Q CC 1αC α//APQ α∩ABCD =m APQ∩AD =n D 1A 1m n −10−−√1010−−√103–√10−3–√1060201420208. 现有份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有（ ）A.种B.种C.种D.种9. 一个正方形花圃，被分为份、、、、，种植红、黄、蓝、绿种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植方法有( )A. 种B. 种C.种D.种10. 现有个红球、个黄球、个白球，个黑球，同色球不加区分，将这个球排成一列，有多少种不同的方法（ ）A.B.C.D.11. 高三（）班某天安排节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节．若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ）A.种4101420285A B C D E 42448849622331024000252002560026540264212. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 A.种B.种C.种D.种卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 计算的值为________．14. 有个座位连成一排，人就坐，要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位，则不同的坐法有________种（用数字作答）．15. 为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部个班级分别去个革命老区开展研学游，每个班级只去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）.16. 张，王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为________．（数字作答）三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 从名男生和名女生中选人担任个不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数.女生必须少于男生；女生甲担任语文课代表.18. 在三棱锥中，平面为的中点.APP ()192240432528+C 36C 2674100103135355(1)(2)P 一ABC PA ⊥ABC,AB =AC,M ，N BC ，AB求证：平面；求证：平面平面 19. 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．求证：；若，求二面角的余弦值．(1)MN//PAC (2)PBC ⊥PAM.ABC −A 1B 1C 1ACC 1A 1CBB 1C 1∠AC =∠C =C 1C 1B 160∘AC =2(1)A ⊥C B 1C 1(2)A =B 16–√C −A −B 1A 1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】．根据线面平行的性质进行判断．．根据线面平行的性质和面面平行的判定定理进行判断．．利用线面垂直和直线平行的性质进行判断．．利用线面垂直和面面垂直的性质进行判断．【解答】解：，同时平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，也可能是异面直线，故错误；，同时平行于同条直线的两个平面，不一定平行，可能相交，故错误；，若，，则根据直线平行的性质可知，成立，故正确；，当，，则不一定成立，可能相交，可能平行，故错误．故选．2.【答案】B【考点】组合及组合数公式【解析】由组合数的性质可得答案．【解答】解：由组合数的性质可得，故选：．3.【答案】BA B C D A A B B C m//n m ⊥αn ⊥αC D m//αα⊥βm ⊥βD C +=C 512C 612C 613B进行简单的合情推理【解析】按第一种猜测，若甲参加了舞蹈组，则可以得到乙参加了无人机组，丙参加了机器人组，不满足第二种假设，若甲参加了无人机组，乙参加了机器人组，丙参加了舞蹈组，则三种假设全满足，问题得以解决．【解答】若甲参加了舞蹈组，乙参加了无人机组，丙参加了机器人组，则不满足第二种猜想，若甲参加了无人机组，乙参加了机器人组，丙参加了舞蹈组，则三种假设全满足，4.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】对选项，，举出反例，得到结论不成立，对于选项，通过面面垂直的判断定理即可论证【解答】解：，，，则与的关系有三种，即，或与相交，故选项错误；，，，则内存在与平行的直线与垂直，则 ，故选项正确；，若 ，，则与相交或平行，故选项错误；，若，，则有可能，故选项 错误；故选.5.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线及其所成的角A C DB A m ⊂βα⊥βm αm//αm ⊂αm αA B m ⊥βm//ααm βα⊥βBC α⊥γα⊥ββγCD m//αα//βm ⊂βD B此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，利用余弦定理求解即可.【解答】解：由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，则，，，在中，，即直线与所成角的余弦值为．故选．7.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】根据天干地支的纪年方法，经过了年，可以推算出年是庚子年．【解答】从年到年，总共经过了年，所以天干中的甲变为子，地支中的午变为子，即年是“干支纪年法”中的庚子年．8.m n AP PQ 2m n AP PQ 2AP =5–√PQ =2–√AQ =3△APQ cos ∠APQ ==−5+2−92××5–√2–√10−−√10m n 10−−√10B 620202014202062020B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：解：根据题意，假设个人为甲和乙，分种情况讨论：①、甲份而乙份，有种安排方法；②、甲乙各份，有种安排方法；③、甲份而乙份，有种安排方法；则一共有种分配方案；9.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】区域、、两两相邻，共有种不同的种植方法，讨论区域与区域种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果【解答】解：区域、、两两相邻，共有种不同的种植方法，当区域与区域种植相同颜色的花时，种植、有种不同的种植方法，当区域与区域种植不同颜色的花时，种植、有种不同的种植方法，∴不同的种植方法有种，故选.10.【答案】B【考点】2313=4C 142=6C 2431=4C 344+6+4=14A C D =24A 34E A A C D =24A 34E A B E 1×2=2E A B E 2×1=2×(2+2)=96A 34D排列、组合及简单计数问题【解析】10．第一步，从个位置中选出个位置，分给相同的红球，有种选法；第二步，从剩余的个位置中选出个位置，分给相同的黄球，有种选法；第三步，从剩下的个位置选出个分给个白球，有种选法，余下个位置给黑球．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有（种）【解答】B 11.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则课程编排方案共有种．故选．12.【答案】C【考点】排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则有种可能；若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题板块，则有种可能，故共有种可能.故选.B 102C 21082C 28633C 363=25200C 210C 28C 36C =12012A 25A 25C ×=240A 22A 55××=192A 22C 14A 44432C二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】组合及组合数公式【解析】直接展开组合数公式计算．【解答】解：．故答案为．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】先将个人排好，将个空位看成一组与另一个空位插入前个人形成的个空位中，共有种方法．再减去其中甲乙相邻的排法，共计种，即得所求．【解答】解：先将个人排好，有种，将个空位看成一组与另一个空位插入前个人形成的个空位中，共有种方法．再除去甲乙相邻的情况：把甲乙看成一组，与另外个人排列，再把空位插入，方法有种．故满足条件的排法有种，故答案为：．15.【答案】【考点】35+=+=+=35C 36C 266!3!⋅3!6!2!⋅4!6×5×43×26×523533642455×4×A 44⋅×4×3A 22A 334A 442455×4×A 442⋅×4×3A 22A 335×4×−⋅×4×3=336A 44A 22A 3333612600排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】无【解答】解：由题意，个班级分别去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，分成组有，再把组分到三个革命老区有种，所以共有种.故答案为：．16.【答案】【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】根据题意，分步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分步进行分析：①，先分派两位爸爸，必须一首一尾，有种排法，②，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有种排法，③，将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有种排法，则共有种排法.故答案为：．三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：先从名学生中任选名，共有种选法，其中女生比男生多的情况有：选名男生和名女生，共有种选法，10333==2100C 310C 37C 44A 22×10×9×83×2×17×6×53×2×12×13=3×2×1=6A 332100×6=12600126002433=2A 22=2A 22=6A 332×2×6=2424(1)85C 5823⋅C 25C 33(−⋅)523所以女生少于男生的选法为，再让选出的名学生分别担任门不同学科的课代表，有种，由分步乘法计数原理和，共有种不同的方法.从剩余人中选出人分别担任另门不同学科的课代表，共有种不同的方法.【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：先从名学生中任选名，共有种选法，其中女生比男生多的情况有：选名男生和名女生，共有种选法，所以女生少于男生的选法为，再让选出的名学生分别担任门不同学科的课代表，有种，由分步乘法计数原理得，共有种不同的方法.从剩余人中选出人分别担任另门不同学科的课代表，共有种不同的方法.18.【答案】证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面平面因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以因为，所以平面.因为平面,所以平面平面【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】(−⋅)C 58C 25C 3355A 55(−⋅)⋅=5520C 58C 25C 33A 55(2)744⋅=840C 47A 44(1)85C 5823⋅C 25C 33(−⋅)C 58C 25C 3355A 55(−⋅)⋅=5520C 58C 25C 33A 55(2)744⋅=840C 47A 44(1)M ，N BC ，AB MN//AC MN ⊂PAC AC ⊂PAC ，∴MN//PAC.(2)PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB =AC M BC AM ⊥BC.AM ∩PA =A BC ⊥PAM BC ⊂PBC PBC ⊥PAM.此题暂无解析【解答】证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面平面因为平面，平面，所以.因为，为的中点，所以因为，所以平面.因为平面,所以平面平面19.【答案】证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则；解：由知，，又，所以．以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取，设平面的法向量为，因为，，所以取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．(1)M ，N BC ，AB MN//AC MN ⊂PAC AC ⊂PAC ，∴MN//PAC.(2)PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB =AC M BC AM ⊥BC.AM ∩PA =A BC ⊥PAM BC ⊂PBC PBC ⊥PAM.(1)AC1CB1△ACC 1△C B 1C 1CC 1O OA OB1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C1B 1(2)(1)OA =O =B 13–√A =B 16–√OA ⊥OB 1OB 1OC 1OA C(0,−1,0)(,0,0)B 13–√A(0,0,)3–√CAB 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,−1,−)AC −→−3–√{+0×−=0，3–√x 1y 13–√z 10×−1×−=0，x 1y 13–√z 1=(1,−,1)m →3–√A A 1B 1=(,,)n →x 2y 2z 2=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,2,0)AA 1−→−{+0×−=0，3–√x 2y 23–√z 20×−1×−0×=0，x 2y 2z 2=(1,0,1)n →cos <，>===m →n →⋅m →n →||||m →n →2×5–√2–√10−−√5C −A −B 1A 1C −A −B 1A 1−10−−√5【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）证明：连，，证明，，得到平面，即可证明．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，求出，，，求出平面的法向量，平面的法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值．【解答】证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则；解：由知，，又，所以．以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取，设平面的法向量为，因为，，所以取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．AC 1CB 1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C 1B 1OB 1OC 1OA C B 1A CAB 1m →A A 1B 1n →C −A −B 1A 1(1)AC 1CB 1△ACC 1△C B 1C 1CC 1O OA OB 1C ⊥OA C 1C ⊥O C 1B 1C ⊥C 1OAB 1C ⊥A C 1B 1(2)(1)OA =O =B 13–√A =B 16–√OA ⊥OB 1OB 1OC 1OA C(0,−1,0)(,0,0)B 13–√A(0,0,)3–√CAB 1=(,,)m →x 1y 1z 1=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,−1,−)AC −→−3–√{+0×−=0，3–√x 1y 13–√z 10×−1×−=0，x 1y 13–√z 1=(1,−,1)m →3–√A A 1B 1=(,,)n →x 2y 2z 2=(,0,−)AB 1−→−3–√3–√=(0,2,0)AA 1−→−{+0×−=0，3–√x 2y 23–√z 20×−1×−0×=0，x 2y 2z 2=(1,0,1)n →cos <，>===m →n →⋅m →n →||||m →n →2×5–√2–√10−−√5C −A −B 1A 1C −A −B 1A 1−10−−√5。
高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析
高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.【考点】定积分的概念.2.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【解析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．3.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.4.已知复数，则（）A．B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【答案】C【解析】由题意可得，所以A错；C,D均错。
所以选B5.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.试题解析：(1)因为为奇函数，所以即，所以， 2分因为的最小值为，所以， 4分又直线的斜率为，因此，，∴． 6分(2)单调递增区间是和． 9分在上的最大值是，最小值是． 12分【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.6.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是 ( )A．B．C．且D．或【答案】C【解析】略7.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.8.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程为必过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】回归直线必过点（），而，，所以回归直线过点，故选D.【考点】线性回归直线方程9.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.【考点】1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.10.已知,函数,若.(1)求的值并求曲线在点处的切线方程;(2)设,求在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）在上有最大值1,有最小值.【解析】解:(1) ,由得,所以;当时,, ,又,所以曲线在处的切线方程为,即; 6分(2)由(1)得,又, , ,∴在上有最大值1,有最小值.- 12分【考点】导数的运用点评：主要是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题。
江苏省昆山震川高级中学高中数学 周练试题11 新人教A版必修2
江苏省昆山震川高级中学高中数学必修二周练试题：111.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线8822=-ky kx 的渐近线方程为________．2.抛物线)0(42≠-=a ax y 的准线方程为 .3.与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点，且以x y 34±=为渐近线的双曲线方程为 .4.设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且021=⋅PF PF ，则=+21PF PF ________.5.已知21,F F 是椭圆2213620x y +=的左右两个焦点，P 点是椭圆上的一点，2F 关于21PF F ∠的外角平分线的对称点为Q ,则点Q 所在的曲线方程为 .6.已知21,F F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个焦点，过2F 作垂直于y 轴的直线交双曲线于点P ，且 3021=∠F PF ，双曲线的渐近线方程为 .7.已知双曲线11222=--ny n x 的离心率是3，则=n ________. 8.设M 是抛物线x y =2上的任一点，d 是M 到y 轴的距离，点)21(，A ，则MA d +的最小值为 .9.经过点)32(，A 的抛物线的标准方程为 . 10.已知动点),(y x P 在椭圆2212516x y +=上，若A 点坐标为）（0,3，||1,0AM PM AM =⋅=，则||PM 的最小值是11.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，且4121=⋅k k ，则椭圆的离心率为 . 12.已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为12,F F ，点P (00,x y )满足2200012x y <+<，则12PF PF +的取值范围为 .13.已知椭圆的焦点为)0,3(),0,3(21F F -，且椭圆与直线09=+-y x 有公共点，求其中长轴最短的椭圆的方程.14.如图，从椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线OM AB //.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上一点，当AB QF ⊥2，延长2QF 与椭圆交于另一点P ，若PQ F 1∆的面积为320，求此时椭圆的方程.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为3，若准线方程为33x =. (1)求双曲线方程；(2)设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y 其中00(0)x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，求证OA OB ⊥.xy A B O 1F MQ 2F P。
高中数学周练卷1习题(含解析)新人教A版选修11
周练卷(一)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思2．命题“若x>1，则x>－1”的否命题是()A．若x>1，则x≤－1B．若x≤1，则x>－1C．若x≤1，则x≤－1D．若x<1，则x<－13．命题“已知a，b都是实数，若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．34．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集．②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数．④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5>0；⑥作△ABC ≌△A 1B 1C 1.其中是命题的是________，是真命题的是________(填序号)．8．命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．9．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是________．10．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数”的________． 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)11．(15分)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn <0时，方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根．答案1．A 本题考查命题的概念．“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．C 本题考查否命题．原命题的否命题是对条件“x >1”和结论“x >－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.3．C 本题考查四种命题之间的关系及命题真假性的判断．逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b >0”为假命题．又原命题的否命题与逆命题有相同的真假性，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 全为0，则a ＋b ≤0”为真命题．故选C.4．C 本题主要考查充要条件的判断．∵x >1，∴x 3x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.5．B 本题考查命题真假性的判断．对于①，Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以①为真命题；对于②，由不等式的性质知②为真命题；对于③，等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，所以③是假命题；对于④，由等式的性质知④是真命题，故选B.6．B 本题综合考查函数零点与充分条件、必要条件的判断．当a ＝－1时，函数f (x )＝ax 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1只有一个零点1；若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝－1或a “a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.7．①③⑤ ⑤解析：本题考查命题的概念及命题真假性的判断．①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，所以⑤是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．8．真解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a 满足a >2，则a 2≥4”，这是一个真命题．9．m ∈[－1,3]解析：本题考查直线与圆的位置关系以及充要条件的知识．直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3. 10．(1)③ (2)①解析：本题考查充分条件、必要条件的判断．(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p “p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数”的充分不必要条件．11．解：(1)将命题写成“若p ，则q ”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(2)将命题写成“若p ，则q ”的形式为：若mn <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn <0.否命题：若mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0. ————————————————————————————12.(15分)指出下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC 中，p ：sin A >12，q ：A >π6. 13．(20分)设数列{a n }的各项都不为零，求证：对任意n ∈N *且n ≥2，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n 成立的充要条件是{a n }为等差数列．答案12.解：(1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为A ∈(0，π)时，sin A ∈(0,1]，且A ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y ＝sin A 单调递增，A ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，y ＝sin A 单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6 ⇒/ sin A >12. 所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．13．证明：(充分性){a n }为等差数列，设其公差为d .若d ＝0，则a 1＝a 2＝…＝a n ，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n. 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n＝ 1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1－1a n ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＝a n －a 1da 1a n ＝n －1a 1a n. (必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，两式相减，得1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1－n －1a 1a n⇒a 1＝na n －(n －1)a n ＋1， ①于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2， ②由①②，得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2)．又由1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3⇒a 3－a 2＝a 2－a 1， 所以对任意n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列．。
2020年高二数学人教A版选修4-5练习11 Word版含答案
学业分层测评（十一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ≥b >0，P ＝a 3＋b 3，Q ＝a 2b ＋ab 2，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <Q D ．P ≤Q 【解析】 ∵a ≥b >0，∴a 2≥b 2>0. 因此a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(排序不等式)， 则P ≥Q . 【答案】 B2．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )A ．反序和≥乱序和≥顺序和B ．反序和＝乱序和＝顺序和C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 【答案】 C3．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D.12【解析】 设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 3≥1a 2≥1a 1＞0，由乱序和不小于反序和知， a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3， ∴a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为3，故选A. 【答案】 A4．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D.A≤B【解析】依序列{x n}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤x n，则x2，x3，…，x n，x1为序列{x n}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋x n x n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1，即x21＋x22＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1.故选C.【答案】 C5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零 D.小于等于零【解析】设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.【答案】 B二、填空题6．若a，b，c∈R＋，则bca＋cab＋abc________a＋b＋c.【解析】不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，1a≤1b≤1c，∴bca＋cab＋abc≥acc＋aba＋bcb＝a＋b＋c.【答案】≥7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.【解析】等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．【答案】418．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为________.【导学号：32750058】【解析】不妨设a3>a1>a2>0，则1a3<1a1<1a2，所以a1a2<a2a3<a3a1.设乱序和S＝a1a3a3＋a1a2a1＋a3a2a2＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和S′＝a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2.由排序不等式得a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2≥a1＋a2＋a3＝1，所以a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为1.【答案】 1三、解答题9．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1abc.【证明】(1)不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1ab(a＋b)＋abc＋1bc(b＋c)＋abc＋1ac(a＋c)＋abc＝1a＋b＋c⎝⎛⎭⎪⎫1ab＋1bc＋1ca＝1a＋b＋c·c＋a＋babc＝1abc.故原不等式得证．10．已知a ，b ，c 都是正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b的最小值．【解】 由对称性，不妨设0＜c ≤b ≤a ，则有a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ＞0，所以0＜1a ＋b ≤1a ＋c ≤1b ＋c. 由排序不等式得 a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥a a ＋c ＋b a ＋b ＋c b ＋c，① a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥c a ＋c ＋a a ＋b ＋b b ＋c .② 由①②知2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32. [能力提升]1．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD.不能确定【解析】 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ≥R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P .【答案】 C2．已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 为正数，则1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b的最小值是________．【解析】 不妨设a ≥b ≥c ，∴1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b，① a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ，② ①＋②得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b≥32， ∴1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ≥92. 【答案】 923．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________.【导学号：32750059】【解析】 不妨设a ≥b ＞0， 则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎬⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )，∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 【答案】 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )4．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．【证明】 ∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.根据排序不等式得：乱序和>反序和．∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．故原不等式得证．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
数学高二必修同步练习人教A版
2019数学高二必修同步练习人教A版
高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了2019数学高二必修同步练习，希望对大家有帮助。
1. 在圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.(☆P3 例3)
2. 如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. (☆P15 例2)
3. 直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积. (◎P36 10)
4. 如图，∥ ∥ ，直线与分别交 , , 于点和点，求证：. (◎P63 B3)
5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (◎P79 B2)
求证：(1)B1D平面A1C1B; (2)B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心.
6. (06年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
(1)求证： ; (2)求证：平面 ;(3)求二面角的大小. (☆P38 9)
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高中数学人教A 版实用资料附答案
高二文科数学周练（十一）
一.选择题：
1.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)- f(x 1))(x 2-x 1)≥0，则p ⌝
是( )
(A) ∃ x 1，x 2∈R ，(f(x 2)- f(x 1))(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)- f(x 1))(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1，x 2∈R ，(f(x 2)- f(x 1))(x 2-x 1)<0(D) ∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)- f(x 1))(x 2-x 1)<0 2.抛物线2
8x y =-的焦点坐标是( )
（ A ）(0,2) （B ）(0,-2) （C ）(0,4) （D ）(0,-4)
3.在ABC ∆中，角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，若2222a b c +=，则cosC 的最小值为（）
(A)
3 (B)22 (C)12 (D)1
2
- 4.已知双曲线的焦点在y 轴上，其渐近线与直线y=±2x 垂直，则其离心率为（） （A ）5（B ）
5（C ）5（D ）25
5.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )
6.已知曲线4
2
1y x ax =++在点(-1,a+2)处的切线斜率为8，则a=（）
A.9
B.6
C.-9
D.-6
7.设0a >且1a ≠，则“函数()x
f x a =在R 上是减函数”是“函数3
()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件
8.对任意的x∈R,函数32
()7f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是_____: (A).0≤a≤21 (B).a=0或a=7 (C).a<0或a>21 (D).a=0或a=21
9.已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
(B)
(C)3 (D)5
10.设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，已知O 为坐标
原点，⊿A O F 的面积是4，则抛物线的方程是（）
(A).2
4y x =± (B).2
8y x =± (C).2
4y x = (D).2
8y x =
11.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1x|<-1>2⎧⎫⎨⎬⎩⎭
或x x ，则(10)>0x
f 的解集为 ___
A ．|<-1>lg2x x x 或 B.|-1<<lg2x x C. |>-lg2x x D.|<-lg2
x x
12.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（） A.（﹁p ）∨（﹁q ） B. p∨（﹁q ） C. （﹁p ）∧（﹁q ） D.p∨q 二.填空题：
13.若函数x
ax x x f 1
)(2+
+=在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是（）
14.设AB 是椭圆M 的长轴，点C 在M 上，且4
π
=∠CBA .若AB=4，BC=2，则此椭圆M 的两
个焦点之间的距离为 .
15. 已知双曲线x 2
- y 2
=1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥PF 2,则∣P
F 1∣+∣P F 2∣的值为_______
16. 在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点
图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i=1,2,…,n)都在直线y=1
2
x+1上，则这组样本数据的
样本相关系数r 为_____
三.解答题： 17.已知命题p:1223
a
--<
<，命题q:集合A=2{|(2)10,}x x a x x R +++=∈，B= {|0}x x >且A B =∅，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围
18.已知函数2
()1(0)f x ax a =+>，3
()g x x bx =+，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们
的交点(1,c)处具有公共切线①求a 、b 的值②假设h(x)=g(x)-f(x)，试判断h(x)=0零点的个
数
19.某厂生产一种电子元件，如果生产出一件正品，则可获利200元，如果生产出一件次品，
则损失100元。
已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 之间的函数关系
是3,432
x
p x N x +=
∈+
①将该厂的日盈利额T （元）表示成日产量x 件的函数 ②为获得最大盈利额，该厂的日产量应为多少件？
20.已知函数()3
2
=33 1.f x x ax x +++
（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围
21.设l 为曲线C ：ln x
y x
=
在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程.(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方.
22.已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
参考答案：
1-6.CBCABD 7-12.AAABDA 13.[3,)+∞ 14.
3
15.17.7a ≥或54a -<≤- 18.（1）3a b ==（2）仅有一个零点
19.（1）22516008
x x
T x -+=+（2）16件
20.（1）函数在(1,)-∞+∞是增函数，在1)上是减函数 （2）5[,)4
-+∞ 21.（1）y=x-1（2）略
22.（1）22143x y +=（2）32±。