2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题(A类)
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
广州大学高等数学期末试题2006-2007(2)(90) (11)
广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx ∂=∂1y yx -,z y∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx ∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uuuv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T = (1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1)221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+ arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y ->。
北航-工科数学分析2006-2007 期末试题
2006-2007学年第二学期期末考试试题数学分析一、 填空题 （每小题6分，共30分）1． 设向量场),,(222222y x x z z y F +++=，则_,____________________=F div ._______________________________=F rot ２．在曲面0:2=−Σ−z x e y 上点)2,1,1(处的法线方程是.________________________３．设}0,1|),{(22≥=+=y y x y x L ，则.___________2=∫L ds x４．锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的曲面的面积为._______________ ５．求极限._____________)1(lim 2200222=+∫∫→xx t x t x dt e x dt e二、 （本题满分１０分）计算定积分∫−=10ln 1dx x x I ．三、 （本题满分１０分）计算∫∫∫V z dxdydz e ||，其中1:222≤++z y x V ． 四、 （本题满分１０分）设函数)(x f 在),(+∞−∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ．记∫−++=L dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222，（１） 证明曲线积分I 与路径L 无关；（２） 当cd ab =时，求I 的值．（３）五、 （本题满分１０分）求解微分方程0)sin ()(22=+−−dy y x dx y x ．六、 （本题满分１０分）计算∫∫Σ−+−xzdxdyxydzdx dydz x 48)1(22，其中Σ是由曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与x 轴正向的夹角恒大于2π．七、 （本题满分１０分）计算∫−+−+−=L dzy x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为平面1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形Σ的边界，若从x 轴的正向看去，定向为顺时针方向．八、 （本题满分１０分） 证明∫∞+−+18sin dx y x x e xy 在),0[+∞上一致收敛．九、 加选题（本题满分１０分）设L 是不经过点)0,2(及点)0,2(−的分段光滑的简单闭曲线，试就L 的不同情形计算曲线积分∫ +++−+−−+ ++++−=L dy y x x y x x dx y x y y x y I .)2(2)2(2)2()2(22222222 其中L 取正向．1.解：0)()()(222222=+∂∂++∂∂++∂∂=y x zx z y z y x F div ,222222y x x z z y z y xk j i F rot +++∂∂∂∂∂∂= , ),,(2y x x z z y F rot −−−= , 或k y x j x z i z y F rot )(2)(2)(2−+−+−=.2.解：z x e y F −−=2, ),1,2(),,(22z x z x z y x e e F F F −−−=,)1,1,2(|),,()2,1,1(−==z y x F F F n , 于是所求法线方程为121121−=−=−−z y x 3.解：。
武汉大学2006-2007学年第二学期考试试卷及答案
武汉大学2006-2007学年第二学期考试试卷《计算方法》 （A 卷） （36学时用）学院： 学号： 姓名： 得分： 一、（10分）解答下列各题 1、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5021A ，求谱半径)(A ρ及条件数∞)(A Cond 2、确定求积公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰- 的代数精度，并问是否是Gauss 型公式。
二、（10分）证明迭代格式 ⎩⎨⎧3),,2,1,0(,201==+=+x k x x k k 收敛，并求出kk xlim ∞→三、（10分）已知方程 )0(0272)(323>=+-=a a ax x x f 在]32,0[a 及],32[a a 内各有一个根，（1）建立求根的牛顿迭代格式；（2）如何选取初值0x ，使牛顿迭代序列k x 收敛到],32[a a 内的根。
四、（10分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5421214512A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122711b五、（10分）设常数0≠a ，分别写出求解方程组 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛212111b b x x a a 的Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式并给出用Gauss-Seidel 迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。
六、（10分）已知 2)(xex f y -== 的一组值：求二次拉格朗日插值多项式及余项。
七、（10分）已知数据求形如 c bx ax y ++=2 的拟合曲线。
八、（10分）已知)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算⎰2.20)(dx x f九、（10分）用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y y xdx dy ]1,0[∈x（取5位有效数字计算） 十、（10分）证明求积公式∑⎰=≈nk k k bax f dx x f 0)()(λ的代数精度大于等于n 的充分必要条件是),2,1,0(,)( ==⎰k dx x lbakk λ。
实变函数本科试题及答案
实变函数本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 实变函数论主要研究的是：A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案：C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理？A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案：C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案：A4. 若函数f在区间[a,b]上连续，则以下哪个命题一定成立？A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义，则f在[a,b]上是______的。
答案：有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。
答案：1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。
答案：可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加，则f在[a,b]上是______的。
答案：可积三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。
答案：实变函数论主要研究实数域上的函数，关注的是函数的实值性质，如连续性、可积性等。
而复变函数论研究的是复数域上的函数，关注的是函数的解析性质，如解析延拓、复积分等。
2. 描述勒贝格积分的定义过程。
答案：勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间，然后选择每个子区间上的样本点，计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和，最后取这个和的极限，当这个极限存在时，就定义为函数的勒贝格积分。
3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。
答案：实变函数论在数学分析中的应用非常广泛，例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。
一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理，它在处理函数序列的极限问题时非常有用，特别是在概率论和统计学中，勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。
2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷
2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。
1．假定函数f (x,,y )在点),(0y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是 【 】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零.（C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222xy z ++≤)的值等于 【 】 （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【 】（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定4．将三重积分dvz y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x，化为球面坐标下的三次积分为 【 】 （A ）⎰⎰⎰120drd d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰1220rdrd d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰1420sin drr d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin drr d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS【 】（A ）0 (B) π（C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z ty t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ， 法平面方程为12．计算二次积分2()a x y aI a dx e dy-=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x x dyxydxxeyxIϕϕ与积分路径无关，其中()xϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ.1.求()xϕ；2.求)1,1(I.15． 求（1）幂级数112n n n n x ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2nnn n ∞=-∑的和.16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x ax xf x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =， 求a 的值及函数)(x f .12()(2)x x e xe xf x e e ee--+-+=-+四、 证明题: 本题共1题，6分.17. 已知无穷级数2n n u ∞=∑满足 22222ln 1xy nx y a nun dxdyπ--+≤=-⎰⎰,其中实数0a >, 证明: 级数2n n u ∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u ∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期 《高等数学》期末试卷 参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题 6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11． 解：设 ,x u y x v ye =-=， 则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12． 解：()2222211.2a xa aa yy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。
实变与泛函期末试题答案
实变与泛函期末试题答案06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即E x U ?),(0δ,故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分)证明一设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0,即 E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分证明二对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分知 E E E E =?= ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分证明三由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证.2. 证明Egorov 定理：设,{()}n m E f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且.)\(δδ<="" e="" m="" p="">证明任选一列自然数}{i n ,与此相应作E 的子集1111[{}][,][||,],i i k i i i E n E n E f f k n i i ∞∞====-<≥则)(x f n 必在}][{i n E 上一致收敛于)(x f .事实上,对0ε?>,选0,i 使01,i ε<则当0i n n >时,对一切00101[{}][,][,],o i i k i i x E n E n E f f k n i ∈?=-<≥都有 01()()n f x f x i ε-<<. ……………………… 6分所以, 0>?δ, 若能适当的选取}{i n , 使(\[{}])i m E E n δ<, 则令[{}]i E E n δ=即可.利用引理, 0,(\[,])0()m E E n n εε?>→→∞. 故对任给的0δ>, 对1,i ε=1,2,3,i =, i n ?,使得1(\[,])2i i m E E n i δ<,取}],[{i n E E =δ所以)}({x f n 在δE 上一致收敛.且……………………………………… 12分1111(\)(\[{}])(\[,])(\[,])i i i i i i i m E E m E E n m E E n mE E n δ∞∞=====111(\[,]),2i i i i m E E n i δδ∞∞==≤<=∑∑……………………………. 15分结论得证.3．证明勒贝格控制收敛定理：设(1) {})(x f n 是可测集E 上的可测函数列；(2) a.e.)()(x F x f n ≤于E ,n =1,2,…,)(x F 在E 上可积分； (3) )()(xf x f n ?, 则)(x f 在E 上可积分,且 ?=EEn ndx x f dx x f )()(lim. (15分)证明证明一由于)()(x f x f n ?,根据Rieze 定理,存在子列{})(x f i n a.e.收敛于)(x f .由于()()a.e.n f x F x ≤于E ,从而a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,得 a.e.)()(x F x f ≤于E .因为)(x F 可积,可得到)(x f 在E 上是可积的,且每个)(x f n 在E 上是可积的. …………… ..2分下证lim ()()n Enf x dx f x dx =??.我们分两步证明：(1) 先设mE <+∞.对任何0ε>,因为()F x 在E 上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在0δ>,使当e E ?且me δ<时有()4eF x dx ε,使当n N ≥时有[]n mE f f σδ-≥<,其中02mEεσ=>.所以当n N ≥时,[]()4n E f f F x dx σε-≥<,………….………………… ..6分因此-EE n dx x f dx x f )()(＝(()())n Ef x f x dx -?()()n Ef x f x dx ≤-?=[][]()()()()n n n n E f f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-≥-<-+-?≤[][](()())()()n n n n E f f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-≥-<++-?[]2()[]n n E f f F x dx mE f f σσσ-≥≤+-<?24mE εσ<?+?=22εεε+= ………………………….……….………………… ..9分这就证明了当mE <+∞时,成立lim ()()n EEnf x dx f x dx =??.(2)设mE =+∞.因()F x 在E 上可积,由非负可测函数L 积分的定义[](lim ()(),kk E E k F x dx F x dx →∞=?[]()()),kk E E F x dx F x dx ≤?? 知对任何0ε>,存在,k E E ?k mE <+∞,使得[]()()4kk EEF x dx F x dx ε<+?,所以dx x F kE E ?-)(=??-EE dx xF dx x F k)()(≤()[()]kk EE F x dx F x dx -?4ε<..……………… .11分另一方面,在k E 上的可测函数列{}n f f -满足：()()2()..n f x f x F x a e -≤于,1,2,k E n =,()()0n f x f x -?（从)()(x f x f n ?）,故在k E 上利用(1)的结论（从(1)有lim ()()n EEnf x dx f x dx =??,所以由()()0n f x f x -?,得lim ()()0n Enf x f x dx -=?）,知存在正整数N ,使当n N ≥时,()()2kn E f x f x dx ε-<, (13)(注意: 上一步若直接由(1)得到亦正确) 因此()()n EEf x dx f x dx -≤?-En dx x f x f )()(()()()()kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-?2()2kE EF x dx ε-≤+242εεε证毕.证明二由)()(x f x f n ?及黎斯定理 ,存在子列{} )(x f i n a.e.收敛于)(x f . 因为a.e.)()(x F x f n ≤于E ,所以a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,因此a.e.)()(x F x f ≤于E .由)(x F 可积,得到每个)(x f n 和)(x f 都是L 可积的. (2) 因为)(x F 在E 上可积,即[]?∞→=EE k k dx xF dx x F k)(lim )(,所以0>?ε,存在0>k ,使得[]?+<e< p="">E k dx xF dx x F k5)()(ε,因此dx x F kE E ?-)(=??-EE dx xF dx x F k)()())()()](([x F x F x F k k ≤=()()5kk E E F x dx F x dx ε≤-<.…………………6分由绝对连续性,0>?δ,使得E e ?,δ<=""><edx x F 5)(ε,对此δ,由)()(x f x f n ?（在E 上,从而在k E 上）,所以存在0>N ,使得当N n ≥时,δε<??+≥-)1(5k n k mE f f mE ,……………………10分当N n ≥时,记n H =+≥-)1(5k n k mE f f E ε,所以从δ<n<="" mh="" p="">H dx x F 5)(ε. 因为)()()(n k k n n n H E E E H H E H E --=-= ,所以当N n ≥时-EEn dx x f dx x f )()(=[]?-En dx x f x f )()(≤-En dx x f x f )()(＝?--nk H E n dx x f x f )()(＋--kE E n dx x f x f )()(＋?-nH n dx x f x f )()(([]5(1)k n k n k E H E f f mE ε-=-<+)≤k k mE mE )1(5+ε＋2?-k E E dx x F )(＋2?n H dx x F )(＜εεε52525++ ＝ε.…………………………………………………………………………...................15分这证明了?=EEn ndx x f dx x f )()(lim.4．证明康托尔(Cantor)集合的测度为零. (10分) 证明证明一 Cantor 集[]??-= )98,97()92,91()32,31(1,0P ,………....................4分所以[]?+++-=?+++-= 3223232311 27492311,0m mP …………………................8分.0 3211311 3232321311 3322=-?-=++++-= …………………..............10分证明二去掉过程进行到第n 步时，剩下2n个长度为3n -的闭区间,n I 这些区间的总长为22()033n nn =→ (当n →∞时),……………….....4分故,0)32(*→≤n P m ………………………….............8分因此*0,m P = 即0.mP =……………………………………………….……….............10分 5.证明1(0,)lim 11nnndtt t n ∞=??+. (15分)证明当)1,0(∈t 时,2,11111≥≤+n tt n t nn ；……………………………..........2分当),1[+∞∈t 时,1121111112nnn n t t t t t nn =-??+++??+222124,2112n t t n n n t n--≤=<>--.………………............4分+∞∈∈=),,1[,4),1,0(,1t t t tt F 令则当2>n 时,有,)(111t F tn t nn ≤??? ?+………………………………..............6分且+∞∞=+=),0(12164)(dt tt dtdt t F , 即)(t F 在()∞,0上Lebesgue 可积. ……………………….…………………………..........8分又因为tn n ne t n t -∞→??→+111,所以由Lebesgue 控制收敛定理得………...........12分原式=+∞+∞-+∞→==,0(),0(111limdt e t n t dt t n n n .………………............15分6. 证明Banach 不动点定理：设X 是完备的度量空间, T 是X 上的压缩映射, 那么T 有且只有一个不动点. (15分) 证明设0x 为X 中的任一点,令,,,,01021201x T Tx x x T Tx x Tx x n n n =====-. (3)分下面证明点列{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列.因为11(,)(,)m m m m d x x d Tx Tx +-=112(,)(,)m m m m d x x d Tx Tx αα---≤= 21210(,)(,),m m m d x x d x x αα--≤≤≤所以当m n >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤+++011(,),1n mmd x x ααα--=-又因为,10<<α所以,11<--mn α从而 )(),(1),(10m n x x d x x d m n m >-≤，αα.,0),(,,→∞→∞→n m x x d n m 时所以当即{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列, …………...8分由X 的完备性知,存在x X ∈,使x x m →.因为…………..................................................10分(,)(,)(,)m m d x Tx d x x d x Tx ≤+1(,)(,)0,m m m d x x d x x α→∞-≤+→ 故(,)0d x Tx =,即x Tx =,所以x 为T 的不动点. ………..................................................12分下证其唯一性.如果又有X x ∈~,使x x T ~~=,则)~,()~,()~,(x x d x T Tx d x x d α≤=,因1<α,故0)~,(=x x d ,即x x ~=,得证. ………....................................................................15分7. 设0mE >, 又设E 上可积函数(),()f x g x 满足()()f x g x <, 试证:()d ()d EEf x xg x x <?. (5分)证明因为()()0g x f x ->, 所以[()()]d 0Eg x f x x -≥?…………………………………3分若[()()]d 0Eg x f x x -=?,则()()0g x f x -=, a.e. …………………………………………….…………………………5分与题设矛盾, 故得()d ()d EEf x xg x x <?.8. 设()f x 在[,]a b 上可导, 证明: ()f x 的导函数()f x '在[,]a b 上可测. (10分) 证明补充定义()()f x f b =(x b >时), 则()f x 在[,)a b 上可导, 对任意N n ∈, 令1()()(),[,)1n f x f x n g x x a b n+-=?∈..………………3分由f 连续, 知每个n g 连续，故可测. …………………………….…………………………5分由f 的可导性知()lim (),[,)n n f x g x x a b →∞'=?∈…….………………7分因此()f x '作为一列可测函数的极限在[,)a b 上必可测, 故在[,]a b 上亦可测….………10分</e<>。
06级高数(下)试题及答案
南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4==，则当y =时, a b ⊥;当y = 时, //a b . 2. 函数 (,,)u x y z z x y=--221 的间断点是.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是: A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是: 0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是: A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 z x y z e ++= 所确定的隐函数, 则z x∂=∂( ). (A) z e -11. (B) z e-21.(C) z e -11. (D) z e -1.3．函数 33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( ).(A) 1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( ).(A) 若 lim 0n n u →+∞=, 则级数1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数 1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠.(C) 若级数 1n n u ∞=∑ 发散, 则lim n n s →+∞=∞. (D) 若 lim 0n n u →+∞≠, 则 级数1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( ).(A) 0x y +=. (B) y x =.(C) y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面 x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f 具有二阶连续偏导数,求zx y ∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算二重积分x y De d σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.2、计算曲线积分 2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分):1、 利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧.2、判别正项级数 122n n n ∞=+∑ 的敛散性. 六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、设幂级数 11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 .(2). 求和函数.2、求微分方程 '''x y y y e ++=222 的通解.七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4==，则当y =-103时, a b ⊥; 当y = 6时, //a b .2. 函数 (,,)u x y z z x y =--221 的间断点 是{}(,,)|x y z z x y =+22.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =()xydx x y dy++222. 4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是P Q y x ∂∂=∂∂.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是: A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是: 0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是: A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 z x y z e ++= 所确定的隐函数, 则z x∂=∂( C ). (A) z e -11. (B) z e-21.(C) z e -11. (D) z e -1.3．函数 33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( B ).(A) 1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若 lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑必收敛.(B) 若级数 1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠.(C) 若级数 1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞.(D) 若 lim 0n n u →+∞≠, 则 级数 1nn u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( D ).(A) 0x y +=. (B) y x =.(C) y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面 x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632.则 (,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446. 取 (,,)n =-223.故所求平面方程为: x y z +-=2230.解法二: 设所求平面法向量(,,),n A B C =则,(,,)n OM n ⊥⊥-412.于是有 ,.A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩6320420 解得: ,A B C B ==-32.由平面的点法式方程可知,所求平面方程为Ax By Cz ++=0. 将,A B C B ==-32代入上式,并约去()B B ≠0,便得：x y z +-=2230. 即为所求平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f 具有二阶连续偏导数,求zx y ∂∂∂2.解: '.zy f x ∂=⋅∂2()'''''z f y f f x x y ∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算二重积分x y De d σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.解: x y D e d d e d πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰2222240012122、计算曲线积分 2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-⎰, 其中L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.解: ,,QPx x x y ∂∂=-=-∂∂2422.QPx y ∂∂-=-∂∂2由格林公式,有原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分):1、 利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧.解: ,,.P x Q y R z === ,,P Q Rx y z ∂∂∂===∂∂∂111则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰11132、判别正项级数 122n n n ∞=+∑ 的敛散性.解: lim lim n n n n n n u nu n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222lim .()n n n →∞+==<+311222所以原级数收敛.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、设幂级数 11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 .(2). 求和函数.解: (1). lim lim .n n n n a n a nρ+→∞→∞+===111所以收敛半径.R =1当x =1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为: (,)-11.(2). 设和函数为: ()n n S x nx ∞-==∑11. ()x xx n n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰1100011 .x n n n n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101 故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭2111112、求微分方程 '''x y y y e ++=222 的通解.解: ..r r r r ++===-2122101()x Y C C x e -∴=+12. λ=2不是特征根,所以设特解为: *x y Ae =2.则(*)',(*)''x xy Ae y Ae ==2224,代入原方程得A =29. *x y e ∴=229. 故通解为: ().x x y C C x e e -=++21229七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200 则： x y x Ce =--+22.把 ()y =00 代入上式, 得C =2.故 ().x y e x =--21。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
2006-2007学年度第二学期高一数学期末复习题
实用文档2006-2007学年度第二学期高一数学期末复习试题 班别： 学号： 姓名：一、选择题：1.如果下边程序执行后输出的结果是“条件”应为 ( )A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<92．用秦九韶算法求多项式()543254321f x x x x x x =+++++, 当2x =时的值的过程中，做的乘法和加法次数分别为A 、4，5B 、5，4C 、5，5D 、6，53．十进制数25对应的二进制数是 （ ）A 、11001B 、10011C 、10101D 、100014．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A 、40B 、30C 、20D 、125．假设一部机器在一天内随机发生一次故障，那么在晚上8点到11点内出故障的概率是（ ）A 、12 B 、18 C 、112 D 、1246．若α是锐角，则角180()k k Z α⋅+∈所在的象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第一、三象限D 、第一、四象限7．角α的终边上有一点P （,a a ）,(,0a R a ∈≠),则cos α的值是（ ）A 、2B 、2-C 、2±D 、18、1sin 2y αα=+的最大值为（ ） A 、12B 、1 D 、29、若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c =（ ）实用文档A 、32a b -+B 、1322a b -C 、3122a b -D 、3122a b -+10、已知1,i j i j ==⊥且23,4,a i j b ki j =+=+若a b ⊥，则k 的值为（ ）A 、6B 、 6-C 、3D 、3-二、填空：11、已知1tan 3α=-，计算12sin cos αα的值为12、5a =，4b =，a 与b 的夹角为120°，则a b -=13、甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是计算它们的标准差=s 甲 ，=s 乙 ， 机床的性能较好的是14、某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为 三、解答题：15、已知1sin()2πα+=-,求cos(2)πα-的值.16、设12a =，9b =，542a b ⋅=-a 与b 的夹角。
中央广播电视大学2006―2007学年度第二学期“开放本科”汇总
试卷代号：1088中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试数学专业数学建模试题2007年7月一、填空题(每题5分，共20分1．若初始人口数x0，时刻t的人口数为x(t，增长率为r，则有马尔萨斯的人口模型 rx,x(o＝xo，若允许的最大人口数为xm,那么人口增长率设置为，则有罗捷斯蒂克模型为2．若按照复利计算20万元10年后的终值是 (万元，则年利率应为3，一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元／天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为4.0.080两种情况．二、分析判断题(每小题15分，共30分1．我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费．为了建设节约型学校，需要你对节水问题给予解决．那么你将考虑哪些相关因素?试至少给出5个．2．求解生产计划问题的数学模型其中x1，x2表示A、B两种产品的生产量，300、600和810分别表示生产用三种原料可供给量，0.000和 350 则是生产单位产品 A 、 B 所获利润．并分析解决下述问题；(1最优生产方案是什么，最优值达到多少?最优解是否唯一?(2三种原料的使用情况如何?是否都被充分利用?三、计算题[每题25分，共50分1．求解混合整数规划模型：5月6日案．(提示；求初始方案用最大元素法，当所有检验数时为最忧解，检验数求法不变表l 单位：万元／吨试卷代号：1088中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试数学专业数学建模试题答案及评分标准(供参考2007年7月一、填空题(每题5分，共20分0.057二、分析判断题(每小题15分，共30分1．(1更换自来水龙头及其费用、节约下来的水费两个因素，两者的比较可用于确定建模目标；………………………—……………………………………………… (7分(2数据调查:学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水限量、定时定量供水的可行性调查，临时申请用水问题等因素 (15)2．(1使用图解法可知最优解为，而最优值为万，最优解是唯一的．………………………………………………(7分(2将最优解代人约束条件可知第一个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式．这说明第一种资源尚有90个单位未被利用，利用串仅为70尹J，又将x·代人约束条件(2和(3，两约束条件均成为严格等式，这说明原料Ⅱ和Ⅲ的进货量被完全充分地利用了．—…(150.057三、计算题(每题25分，共50分0.043分别求解问题①、②． (12)注意到，则第二个条件必不成立，故问题②无解，故求解①．仍采用以前解法有即为所求最优解，目标值为y min＝6.1 ……………………………………………(25分. 2．首先利用“最大元素法”求出初始方案如表2：0.071 表2 单位：万元／吨。
实变函数期末考试卷A
实变函数期末考试卷A附件一东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 实变函数 考试学期 11-12-2 得分 适用专业 数学系 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料） 卷无一. (10分)试叙述可数集的定义，并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。
二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义，并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集，证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。
(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。
五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。
(2) 若在E 上，()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。
六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。
七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。
如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。
八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限： 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九．设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。
(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数，证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。
(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ，总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立，证明上述(2)中结论仍然成立。
中国石油大学2006至2007学年第二学期高等数学期末考试试题A
中国石油大学2006至2007学年第二学期高等数学期末考试试题 A
A卷
中国石油大学2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2007年7月 2 日
页号一二三四五总分
得分
阅卷人
说明：1.本试卷正文共5页。
2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得
写在草稿纸中，
否则答案无效。
一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项
中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有; （B）必有;。
实变函数期末考试卷A及参考答卷
实变函数期末考试卷A及参考答卷Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数)5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是7．若()E R ?是可数集，则__0mE8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立）二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I（C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I3. 若()n E R ?是闭集，则（）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '=三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点2．若()E R ?的外测度为0，则（）（A ）E 是可测集（B ）0mE =（C ）E 一定是可数集（D ）E 一定不是可数集3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（）（A ）()E f x dx ?存在（B ）()f x 在E 上L -可积（C ）.()()()a en f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E En f x dx f x dx →∞=?? 4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（）（A ）()()f x L E +∈与()()f x L E -∈至少有一个成立（B ）()()f x L E +∈且()()f x L E -∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值（D ）|()|()f x L E ∈四、判断题1. 可列个开集的交集仍为开集（）2. 任何无限集均是可列集（）3. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ?，且()\0m E F =. （）4. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：?实数a 都有()E x f x a ?≥是可测集（）五、定义题1. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？3. [],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设()[][]101001x D x x ??=为，上的有理点为，上的无理点，求()[]01D x dx ?，.2. 求()0ln lim cos x n x n e xdx n+∞-→∞+?.七、证明题1．设n E R ?是有界集，则*m E <+∞2．1R 上的实值连续函数()f x 是可测函数3．设mE <+∞，函数()f x 在E 上有界可测，则()f x 在E 上L -可积，从而[,]a b 上的连续函数是L -可积的4．设()n f x （1,2,n =L ）是E 上的L -可积函数，如果lim |()|0n n E n f x dx →∞=?，则()0n f x ?实变函数试题库及参考答案（2）本科一、填空题1.=2.开集3.构成区间4.=5.=6.可测集7.=8.不一定成立二、单选题1.D2.A3.B三、多选题1.AC2.AB3.ABCD4.AD四、判断题××√√五、定义题1.答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ?.反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}n f x 存在子列(){}kn f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()nf x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件mE <+∞，结论也成立.2.答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、解答题1.证明记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则[]12120,1,E E E E ==?U I，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+，所以 ()[]120,1100D x dx mE mE =+=?.2.解易知()ln lim cos 0x n x n e x n-→∞+= 对任意0,1x n ≥≥，()()ln ln cos x x n x n e x n n-++≤ 设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2ln ()y x y x y f y y-++'=，当3y ≥时，()1ln y x y x y <<++，()0f y '<. 则()ln ()x n f n n+=是单调减函数且非负（3n ≥）；又()ln 1lim lim 0n n x n nx n →∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得 ()()000ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n +∞+∞+∞→∞→∞++===，即()ln ()x n L E n +∈，再由Lebsgue 控制收敛定理得()()000ln ln lim cos lim cos 00x x n n x n x n e xdx e xdx dx n n+∞+∞+∞--→∞→∞++===?七、证明题1..证明因为E 是有界集，所以存在开区间I ，使E I ?由外测度的单调性，**m E m I ≤，而*||m I I =<+∞（其中||I 表示区间I 的体积），所以*m E <+∞ 2.证明因为()f x 连续，所以对任何实数a ，{|()}xf x a >是开集，而开集为可测集，因此()f x 是可测函数3.证明因为()f x 在E 上有界可测，所以存在0M >，使|()|f x M <，x E ∈，|()|f x 是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，|()|E E f x dx Mdx M mE <=?<+∞??故|()|f x 在E 上L -可积，从而()f x 在E 上L -可积因为[,]a b 上的连续函数是有界可测函数，所以L -可积的4.证明对任何常数0σ>，[|()|][|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥?≥≤?所以[|()|]1[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥≥≤? 1|()|0()n E f x dx n σ≤→→∞?因此 ()0n f x ?。
2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题(A类)
———————————————————— 密封 线内 不要 答 题————————————————————————————2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题（A 类）注：A 类试卷供统招学生使用B 类试卷供中外合作办学学生使用一、填空：（共10分）1．如果 则称E 是自密集，如果则称E 是开集，如果E E ⊂'则称E 是，E E E '= 称为E 的 .2．设集合G 可表示为一列开集}{i G 之交集： ∞==1i iGG ，则G 称为 .若集合F 可表示为一列闭集}{i F 之并集： ∞==1i iFF ，则F 称为 .3．（Fatou 引理）设}{n f 是可测集q R E ⊂上一列非负可测函数，则 . 4．设)(x f 为],[b a 上的有限函数，如果对于],[b a 的一切分划b x x x a T n =<<<= 10:，使⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=-n i i i x f x f 11|)()(|成一有界数集，则称)(x f 为],[b a 上的 ，并称这个数集的上确界为)(x f 在],[b a 上的 ，记为 . 二、选择填空：（每题4分，共20分）1．下列命题或表达式正确的是A ．}{b b ⊂B ．2}2{=C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂D ．φφ⊂2．下列命题不正确的是A ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *B ．若点集E 是有界集，则+∞<E m *C ．可数点集的外测度为零D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是A ．}0),(max{)(x f x f -=+B ．)()()(x f x f x f -++=C ．)()(|)(|x f x f x f -+-=D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是A ．开集、闭集都是可测集B ．可测集都是Borel 集C ．外测度为零的集是可测集D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是A ．康托集PB ．)1,0(C ．设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =D ．区间)1,0(中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin ）定理的逆定理———————————————————— 密封 线内 不要 答 题————————————————————————————四、（20分）设R E '⊂，)(x f 是E 上..e a 有限的可测函数，证明：存在定义在R '上的一列连续函数}{n g ，使得..)()(lim e a x f x g n n =∞→于E五、（10分）证明01sin )(lim sin 22200710=+-∞→⎰dx e x n nx nx R nx n六、（10分）设)(x f 是满足Lipschitz 条件的函数，且..0)(e a x f ≥'于],[b a ，则)(x f 为增函数七、（10分）设f 是],[b a 上的有界变差函数，证明2f也是],[b a 上的有界变差函数。
2007.7微积分下(06级)期末试卷a
上海金融学院2006~20 07学年度，第二学期，代码：13440079 《__高等数学（二）》课程期末考试试卷A本试卷系A卷，采用闭卷方式，集中考试考试时只能使用简单计算器(无存储功能)。
（请将横线上不需要的文字用红笔划去）交教务处时间: 年月日送印时间: 年月日试题内容分布命题教师：刘煦室主任签章：________ 系、部主任签章：________上 海 金 融 学 院2006--2007 学年度 第 二学期《高等数学（二）》课程 代码：13440079__________ 专业 _________ 班 姓名 __________ 学号 _______（集中考试 考试形式：闭卷 考试用时: 120 分钟）试 题 纸 一、选择题（2⨯5=10分）1、定积分定义i ba ni i x f dx x f ∆=⎰∑=→)(lim )(1ξλ，说明（ ）A ],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点。
B ],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点。
C ],[b a 可任意分法，0max →∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
D ],[b a 必须等分，0max →∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
2．若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（）正确（其中=n s ∑=ni i u 1）。
A.;0lim =∞→n n s B.n n s ∞→lim 存在；C.n n s ∞→lim 可能不存在； D.{}n s 为单调数列。
3、),(y x f z =在()00,y x 点可微是二元函数),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数()00,y x f x '，()00,y x f y '存在的（）. A ．充分必要条件；B. 非充分非必要条件； C ．充分非必要条件； D. 必要非充分条件4、设),(y x f z =连续，且()σd y x f xy y x f D⎰⎰+=,),(，其中D 是由1,,02===x x y y 所围成的区域，则=),(y x f （）.A ．xy ；B.2xy ；C ．81+xy ； D. xy+15、方程x x y sin +=''的通解是( )..cos 2.sin 6.;sin 6.;sin 6.22133213C x xy D C x C x x y C Cx x x y B C x C x x y A +-='+++=+-=++-= 二、填空题（2⨯5=10分）1、设)(x f 在],[b a 上连续，当20a b -=时，()2baf x dx ⎰ _________.2、当P_________时，级数211pn n∞=∑是收敛的. 3、设级数∑∞=1n n u 的部分和为12-=n ns n ，则级数∑∞=1n n u __________（填收敛或发散）.4、xdy xdx y dz sin cos +=，则=∂∂xz5、设二重积分⎰⎰=2),(2e ey dx y x f dy I ,交换积分次序,则=I .三、计算下列各题（4⨯5=20分）1、21cos 02limxdte xt x ⎰-→ 2、;ln 121⎰+e xx dx3、⎰+411dx x4、()⎰-2211dx x四、解答题（4⨯5=20分） 1、判别级数()∑∞=-+-11131n n n n的敛散性. 2、判别级数()∑∞=--11231n nn 的敛散性 3、求幂级数⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=∑∞=nnn n n n x x x n x 222212220的收敛区间.4、将函数()()()211--=x x x f 在展开成x 的幂级数，并求其收敛域.五、解答题（5⨯6=30分） 1、求函数xy e x z ⋅=2sin 的全微分。
电子科大实变函数期末考题2006A
电子科大实变函数期末考题2006A………密………封………线………以………内………答………题………无………效……]电子科技大学二零零六至二零零七学年第一学期期末考试《实变函数》课程考试题 A 卷（120分钟）考试形式：笔试考试日期 2007年1月日课程成绩构成：平时分，期中分，实验分，期末分一二三四五六七八九十合计一、填空题（每小题3分，共18分）1.设[11/,11/],1,2,...n A n n n =?+?=，则limsup n nA =[ ].2. [0，1]中无理数集的外测度为[ ].3.设[0,1]上的函数 0,[0,1](),[0,1]xcx Q f x e x Q ∈∩?=?∈∩?，则Lebesgue 积分值[0,1]()f x dx ∫=[ ]. 4.设()(),()(),1,2,3...,p p n f x L E f x L E n ∈∈=称()n f x 按()p L E 中的范数收敛到()f x ，如果[ ]5.直线上Borel 集全体作成的集合的势为[ ].6.若集合E 的聚点x 不属于E ，则x 必是E 的[ ].二、（满分12分）叙述Lebesgue 可测的定义, 并且证明：直线上Lebesgue 可测集全体的势为2c .………密………封………线………以………内………答………题………无………效……三、（满分12分）证明：若**1221()()m E E m E E ?=?=0，则：****121212()()()()m E m E m E E m E E ===∪∩四、（满分12分）设在[0,1]中有Lebesgue 可测集1E 与2E ，满足条件12()()1m E m E +>，证明：12()0m E E >∩.………密………封………线………以………内………答………题………无………效……五、（满分12分）设()m E <∞，()f x 是E 上的非负可测函数，证明：()f x 是E 上可积函数的充要条件是1()k k m E ∞=<∞∑，其中{}|()k E x f x k =≥.六、（满分16分）求解下列问题：(1) 叙述Lebesgue 有界收敛定理及依测度收敛的定义.(2) 证明：设∞<="">1()n n Ef x dx f x +∫收敛于零与()n f x 依测度收敛于0是等价的.………密………封………线………以………内………答………题………无………效……七、（满分10分）求解下列问题： (1) 叙述Egoroff 定理.(2) 设{}()n f x 是][b a ，上一列几乎处处有限的可测函数，且有lim ()(),..n n f x f x a e →∞=，证明：存在一列可测集[,],1,2,...,n E a b n ?=使得1([,])0n n m a b E ∞=?=∪，而{}()n f x 在每一个n E 上一致收敛到()f x .八、（满分8分）设()()p f x L E ∈，A 是E 的可测子集，证明：()()()()()()p p p L E L A L E A f x f x f x ?≤+。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
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———————————————————— 密
封 线
内 不
要 答 题
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2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题（A 类）
注：A 类试卷供统招学生使用
B 类试卷供中外合作办学学生使用
一、填空：（共10分）
1．如果 则称E 是自密集，如果
则称E 是开集，如果E E ⊂'则称E 是
，E E E '= 称为E 的 .
2．设集合G 可表示为一列开集}{i G 之交集： ∞
==
1i i
G
G ，则G 称为 .
若集合F 可表示为一列闭集}{i F 之并集： ∞
==
1
i i
F
F ，则F 称为 .
3．（Fatou 引理）设}{n f 是可测集q R E ⊂上一列非负可测函数，则 . 4．设)(x f 为],[b a 上的有限函数，如果对于],[b a 的一切分划b x x x a T n =<<<= 10:，
使⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-∑=-n i i i x f x f 11|)()(|成一有界数集，则称)(x f 为],[b a 上的 ，并称这个数集的上确界为)(x f 在],[b a 上的 ，记为 . 二、选择填空：（每题4分，共20分）
1．下列命题或表达式正确的是
A ．}{b b ⊂
B ．2}2{=
C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂
D ．φφ⊂
2．下列命题不正确的是
A ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *
B ．若点集E 是有界集，则+∞<E m *
C ．可数点集的外测度为零
D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是
A ．}0),(max{)(x f x f -=+
B ．)()()(x f x f x f -++=
C ．)()(|)(|x f x f x f -+-=
D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是
A ．开集、闭集都是可测集
B ．可测集都是Borel 集
C ．外测度为零的集是可测集
D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是
A ．康托集P
B ．)1,0(
C ．设i n n
x x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =
D ．区间)1,0(中的无理数全体
三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin ）定理的逆定理
———————————————————— 密
封 线
内 不
要 答 题
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四、（20分）设R E '⊂，)(x f 是E 上..e a 有限的可测函数，
证明：存在定义在R '上的一列连续函数}{n g ，使得
..)()(lim e a x f x g n n =∞
→于E
五、（10分）证明01sin )(lim sin 222007
1
0=+-∞→⎰dx e x n nx nx R nx n
六、（10分）设)(x f 是满足Lipschitz 条件的函数，且.
.0)(e a x f ≥'于],[b a ，则)(x f 为增函数
七、（10分）设f 是],[b a 上的有界变差函数，证明2
f
也是],[b a 上的
有界变差函数。