雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法

解：
雅 克 比 迭 代 格 式
1 3 10 x3 14
x ( k 1) 1
(14 3x2(k)
x3(k ) ) 10
x(k 1) 2
(5
2 x1(k )
3x3(k) ) (10)
x ( k 1) 3
(14
x(k) 1
3x2(k) ) 10
迭高
代斯
格 式
塞 德
尔
-
x ( k 1) 1
(14 3x2(k)
结 果
0.0001 10 (0.9999541 1.0001253 0.9999541)
0.00001 14 (0.9999981 1.0000020 0.9999981)
高斯-塞德尔迭代法 取初值 x (0 0 0)T
要求 迭代
计 精度 次数
方程组的近似解
算 0.001 5 (0.9997916 0.9998479 1.0000664)
x3(k ) ) 10
x ( k 1) 2
(5
2 x1(k1)
3x3(k) ) (10)
x ( k 1) 3
(14
x ( k 1) 1
3x2(k1) ) 10
雅克比迭代法 取初值 x (0 0 0)T
要求 迭代
计 精度 次数
方程组的近似解
算 0.001 9 (1.0002507 1.0000694 1.0002507)
0 an,n1 0
0 an1,n 0
如果aii 0(i 1, 2, , n) 原方程组可化为 x D1(L U )x D1b Bx f
其中 B D1( L U ); f D1b
相应的迭代格式 x(k1) Bx(k) f ; k 0,1, 2,
上述方法称为雅克比迭代法，简称J法或简单迭代法
A Rnn，存在唯一实数 A与之对应，且满足
非负性：A 0,A Rnn且 A 0 A 0
❖齐次性： A A , A Rnn , R
三角不等性： A B A B , A, B Rnn AB A B A, B Rnn
则称 A为 R中n矩n 阵 的范A数。
➢常用的几种矩阵范数： 记 A (aij )nn
思 路
与不动点迭代相似 ， 将方程组
形式x ， B从x而建f立迭代格式
A
x
等b价改写成
x(k1) B x(k) f ，从 x(出0) 发，生成迭代序列 { x(k) }
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数 矩阵为大型稀疏矩阵 的方程组。
高斯-塞德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进。
➢ 高斯-塞德尔迭代法的分量形式：
i 1
n
bi
aij
x ( k 1) j
aij
x
(k j
)
x(k 1) i
j 1
百度文库
j i 1
a ii
;i 1, 2, , n
例1：利用雅克比和高斯-塞德尔迭代法求解方程组
10 3 1 x1 14
2 10 3 x2 5
非负实值 函数
➢常用的几种向量范数：
n
设
x
( x1,
x2 ,
, xn )T
1-范数： x 1
xi
i 1
❖ 2-范数：
n
x ( 2
xi2
)
1 2
(x, x)
i 1
-范数：
x
max
1 i n
xi
上述3种向量范数统称为P-范数
n
x ( p
xi p ) 1 p
1 p
i 1
二、 矩阵范数
定义：设 f ( A是) Rnn的一个R映射，若对
第三节 向量范数和矩阵范数
一、 向量范数
定义：设 f ( x是) Rn的一R个映射，若对
x Rn
存在唯一实数 x与之对应，且满足
非负性： x 0,x Rn 且 x 0 x 0
❖齐次性： x x ,x Rn , R
三角不等性：x y x y , x, y Rn
则称 x为 中Rn向量 的x范数。
结 果
0.0001
7 (0.9999929 0.9999949 1.0000022)
0.00001 8 (1.0000013 1.0000009 0.9999996)
n
列范数：
A
1
max
1 jn
i 1
aij
谱半径
n
❖行范数：
A
max
1 i n
j 1
aij
(
A)
max
1 i n
i
1
谱范数： A 2
1 ( AT A) 2
其中
是
1
A的T A最大特征值
第四节 解线性方程组的迭代法
求解 A x b, A Rnn det( A) 0
迭代法
从一个初始向量出发,按照一定的递推 格式,产生逼近方程组的近似解序列。
一、雅克比迭代法
设方程组 Ax b; A (aij )nn , b (bi )1n;det( A) 0
将系数矩阵分裂为： A D L U
其中 D diag(a11, a22 , , ann )
0
a21 0
L a31 a32 0
0 a12 a13
a1n
0 a23
a2n
U
0
an1 an2
分量形式：
i 1
n
bi
aij
x(k) j
aij
x
(k j
)
x ( k 1) i
j 1
ji 1
a ii
;i 1, 2, , n
二、高斯-塞德尔迭代法
在雅克比迭代公式中，计算x
( i
k
1)
时，利用已经算
出来的新的 x1(k 1) , x2(k 1) ,
,
x(k 1) i 1
值，从而得到
高斯-塞德尔迭代法。