04高数B上答案A卷
04年4月全国自学考试高等数学(工本)统一考试试题及答案
-第 1 页 共 6 页-2004年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题（课程代码 0023）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数f(x)=xx1x 37-+-的定义域是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-37,B ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞37,0)0,(C ．)37,0()0,( -∞D ．)37,(-∞2．设是，则数列}a {1n 2n1a n n +-=（ ） A ．单调减而下有界 B ．单调减而下无界 C ．单调增而下有界 D ．单调增而下无界3．极限=---→21x )1x ()1x cos(1lim （ ） A ．21- B ．0 C ．1D ．21 4．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0x ,20x 22x1，在x=0处（ ）A ．左连续B ．右连续C ．连续D ．前三个均不成立5．设函数f(x)在x 0处可导，则极限=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （ ） A ．)x (f 20' B ．)x (f 210'C ．)x (f 0'D ．06．设函数=''+-=⎰)(,11)(x f xxx 则（ ） A ．3)x 1(4+B ．2)x 1(4+--第 2 页 共 6 页-C ．3)x 1(x 2+- D ．3)x 1(x 2+7．下列结论正确的是（ ） A ．函数y=x 2在[)+∞,0上是单调减函数B ．x=0是曲线y=x 3的拐点C ．直线y=0是曲线y=|x|在点（0，0）处的切线D ．.x=0是函数y=x 3的驻点8．不定积分⎰=-dx x311（ ） A ．C x 31+-- B ．C x 31+- C ．C x 3123+--D ．C x 3132+--9．定积分⎰=+10dx x11（ ） A ．2+22lnB ．2lnC ．2-ln 4D ．1-ln 210．曲线2y 2x -=和x=|y|所围成的平面图形面积为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．23π 11．在下列方程中其图形是圆柱面的方程是（ ） A ．x 2+y 2-3=0 B ．x 2+y 2+z 2-3=0 C ．x 2+y 2-z 2-3=0 D ．x 2+y 2-z-3=0 12．与平面3x-4y-5z=0平行的平面方程为（ ） A ．6x-8y+10z-9=0 B ．3x+4y-5z-8=0 C ．6x-8y-10z-7=0 D ．3x-4y+5z-10=0 13．设z=f(x,y)在（x 0,y 0）处的偏导数存在，则=∂∂)y ,x (00xz（ ）A ．x)y ,x (f )y y ,x x (f lim00000x ∆-∆+∆+→∆B ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 000x ∆-∆+→∆C ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 0x ∆-∆+→∆D ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 00000x ∆-∆+→∆14．函数z=(6x-x 2)(4y-y 2)的驻点个数为（ ）-第 3 页 共 6 页-A ．2B ．3C ．4D ．515．设积分区域B 是连结三点（1,1）,（4,1），（4,2）的线段所围成的三角形，则⎰⎰=σBd 4（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1216．设G 是由坐标面和平面x+y+z=1所围成的区域，则三重积分⎰⎰⎰Gdv 化为累积分为（ ） A ．⎰⎰⎰11010dz dy dxB ．⎰⎰⎰--yx 101010dz dxdy C ．⎰⎰⎰---yx 10x 101dz dydxD ．⎰⎰⎰---xy 10z 1010dz dxdy17．微分方程是x sin xydx dy =+（ ） A ．可分离变量的微分方程 B ．齐次微分方程 C ．一阶线性齐次微分方程 D ．一阶线性非齐次微分方程 18．下列函数中，是微分方程0y 3y =-'的通解的是（ ） A ．y=e -3x+CB ．y=Ce 3xC ．y=Ce -3xD ．y=Ce x+319．设a 是非零常数，则当|q|<1时，级数∑∞=-0n n naq )1(收敛于（ ） A ．q 11- B ．q 11+ C ．q1a +D ．q1a - 20．幂级数∑∞=-1n nn )1x (的收敛区间是（ ）A ．（-1,1）B ．[)2,0C ．[)1,1-D ．(0,2)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2004年天津市高考理科数学真题及答案
2004年天津市高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位， i 3(1)(2)(i i i -++=)A ． B ．C ．D ．1i +1i --13i +13i --2．（5分）若不等式的解集为 213x x-…()A ．， B ．， [1-0)[1-)+∞C ．，D ．，(-∞1]-(-∞1](0,)-+∞3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则 b (1,2)a =-180︒||b = (b = )A ．B ．C ．D ．(3,6)-(3,6)-(6,3)-(6,3)-4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双P 22219x y a -=340x y +=1F 2F 曲线的左、右焦点，若，则等于 1||10PF =2||PF ()A ．2B ．18C ．2或18D ．165．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于 ()log (01)a f x x a =<<[a 2]a a ()A B C ．D ．14126．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、1111ABCD A B C D -O ABCD E F 1CC 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 AD OE 1FD ()A B C ．D ．45237．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为 (2,1)P -22(1)25x y -+=AB AB ()A ．B ．C ．D ．10x y +-=230x y +-=30x y --=250x y --=8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”{}n a *n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 的 ()A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）函数，，为增函数的区间是 2sin(2)6y x π=-[0x ∈])π()A ．，B ．，C ．，D ．，[0]3π[12π7]12π[3π5]6π5[6π]π10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平1111ABCD A B C D -6AB =4AD =13AA =BC 11A D 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截111AEA DFD V V -=11113B E B C F C V V ==123::1:4:1V V V =面的面积为 11A EFD ()A ．B ．C ．D ．1611．（5分）函数的反函数是 213(10)xy x -=-<…()A ．B ．1)3y x = (1))3y x =…C ．D ．1(1)3y x =< (1)(1)3y x =<…12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，R ()f x ()f x π[0x ∈2π时，，则的值为 ()sin f x x =5()3f π()A ．B ．C ．D 12-12二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法A B C 2:3:5抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量 ．n A n =14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围(,0)A a (0,)B a 223y x x =--a是 ． 15．（4分）若，则2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋯+∈ ．（用数字作答） 010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋯++=16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． 1tan()42πα+=（Ⅰ）求的值；tan α（Ⅱ）求的值．2sin 2cos 1cos 2ααα-+18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人ξ数．（1）求的分布列和的数学期望；ξξ（2）求“所选3人中女生人数”的概率．1ξ…19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 是的中点，作交于点． PC EF PB ⊥PB F （1）证明平面； //PA EDB （2）证明平面； PB ⊥EFD （3）求二面角的大小．C PBD --20．（12分）已知函数在处取得极值． 32()3f x ax bx x =+-1x =±（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；f (1)f -()f x（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．(0,16)A ()y f x =21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5．22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，的准线与轴相交于O (F c 0)(0)c >l x 点，，过点的直线与椭圆相交于、两点． A ||2||OF FA =A P Q （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQ =PQ （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． (1)AP AQ λλ=> P l M FM FQ λ=-2004年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位， i 3(1)(2)(i i i -++=)A ． B ． C ． D ．1i +1i --13i +13i --【解答】解：，3(1)(2)3i i ii i i-++-+==-(3)13i i -+=--故选：． D 2．（5分）若不等式的解集为 213x x-…()A ．， B ．， [1-0)[1-)+∞C ．， D ．，(-∞1]-(-∞1](0,)-+∞ 【解答】解： 21211330010x x x x x x x--+⇒-⇒⇒-<…………故选：．A3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则 b (1,2)a =-180︒||b = (b = )A ．B ．C ．D ．(3,6)-(3,6)-(6,3)-(6,3)-【解答】解向量与向量的夹角是， b (1,2)a =-180︒向量与向量反向，∴b a令（则， (,2)b a λλλ==-0)λ<又， ||b =∴=解得3λ=-故 (3,6)b =-故选：．A 4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双P 22219x y a -=340x y +=1F 2F 曲线的左、右焦点，若，则等于 1||10PF =2||PF ()A ．2B ．18C ．2或18D ．16【解答】解：整理准线方程得，34y x =-，， ∴334a =4a =或 12||||28PF PF a ∴-==21||||28PF PF a -==或18，2||2PF ∴=故选：．C 5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于 ()log (01)a f x x a =<<[a 2]a a ()A B C ．D ．1412【解答】解：， 01a << 是减函数． ()log a f x x ∴=．log 3log 2a a a a ∴= ．1log 23a a ∴=． 11log 23a ∴+=． 2log 23a ∴=-． a ∴=故选：．A 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、1111ABCD A B C D -O ABCD E F 1CC 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 AD OE 1FD ()A B C ．D ．4523【解答】解：取的中点．连接，再取的中点，连接、，则为异面直BC G 11//GC FD GC H HE OH OEH ∠线所成的角．在中，，． OEH ∆OE =HE =OH =由余弦定理，可得． cos OEH ∠=故选：．B 7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为 (2,1)P -22(1)25x y -+=AB AB ()A ．B ．C ．D ．10x y +-=230x y +-=30x y --=250x y --=【解答】解：是圆的弦，圆心为 AB 22(1)25x y -+=(1,0)C 设的中点是满足∴AB (2,1)P -AB CP ⊥因此，的斜率 AB 1110112CP k k --===+-可得直线的方程是，化简得 AB 12y x +=-30x y --=故选：．C 8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”{}n a *n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 的 ()A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：点都在直线上 (,)n n P n a 21y x =+， 21n a n ∴=+ “为等差数列，∴{}n a 若“为等差数列，可设，则点都不在直线上，{}n a 22n a n =+(,)n n P n a 21y x =+对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的充分而不必要条件，∴*n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 故选：．B 9．（5分）函数，，为增函数的区间是 2sin(2)6y x π=-[0x ∈])π()A ．，B ．，C ．，D ．，[0]3π[12π7]12π[3π5]6π5[6π]π【解答】解：由其增区间可由的减区间得到，2sin(2)2sin(266y x x ππ=-=--2sin(26y x π=-即， 3222262k x k πππππ+-+……k Z ∈，． 536k x k ππππ∴++……k Z ∈令，， 0k =536x ππ……故选：．C 10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平1111ABCD A B C D -6AB =4AD =13AA =BC 11A D 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截111AEA DFD V V -=11113BE B CF C V V ==123::1:4:1V V V =面的面积为11A EFD ()A ．B ．C ．D ．16【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11//A D EF 1111B C E F 截面是一个矩形，并且长方体的体积，∴64372V =⨯⨯=，， 123::1:4:1V V V = ∴111172126AEA DFD V V -==⨯=则，解得， 11122AE A A AD =⨯⨯⨯2AE =在直角中， 1AEA ∆1EA ==故截面的面积是 1EF EA ⨯=故选：．C 11．（5分）函数的反函数是 213(10)xy x -=-<…()A ．B ．1)3y x = (1))3y x =…C ．D ．1(1)3y x =< (1)(1)3y x =<…【解答】解：函数，可得213xy -=231log x y -=，， 231log x y =+10x -< …∴x =所以函数的反函数是：213(10)x y x -=-< (1)(1)3y x =<…故选：．D 12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，R ()f x ()f x π[0x ∈2π时，，则的值为 ()sin f x x =5()3f π()A ．B ．C ．D 12-12【解答】解：的最小正周期是 ()f x π 55()(2)(333f f f ππππ∴=-=-函数是偶函数 ()f x5()(sin 333f f πππ∴===故选：．D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法A B C 2:3:5抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量 80 ． n A n =【解答】解：216235n ⨯=++80n ∴=故答案是8014．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是 (,0)A a (0,)B a 223y x x =--a ． 13(,4-∞-【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：． A B x y a +=223y x x =--230x x a ---=因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△， 14(3)0a =++<解之得． 134a <-故答案为： 13(,)4-∞-15．（4分）若，则2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋯+∈ 2004 ．（用数字作答） 010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋯++=【解答】解：令，得； 0x =01a =令，得，1x =01220041a a a a =+++⋯+故． 0102030200400122004()()()()20032004a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++⋯+=故答案为：200416．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 300 个．（用数字作答） 【解答】解：①四位数中包含5和0的情况：．1131234322()120C C A A A += ②四位数中包含5，不含0的情况：．123343108C C A = ③四位数中包含0，不含5的情况：．21334372C C A =四位数总数为．∴12010872300++=故答案为：300．三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． 1tan()42πα+=（Ⅰ）求的值；tan α（Ⅱ）求的值．2sin 2cos 1cos 2ααα-+【解答】解：（Ⅰ）解：，tantan 1tan 4tan()41tan 1tantan 4παπααπαα+++==--由，有，解得； 1tan()42πα+=1tan 11tan 2αα+=-1tan 3α=-（Ⅱ）解法一： 222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 212cos 1ααααααα--=++-． 2sin cos 1115tan 2cos 2326αααα-==-=--=-解法二：由（1），，得 1tan 3α=-1sin cos 3αα=-， ∴222211sin cos 1cos cos 99αααα=-=∴29cos 10α=于是， 24cos 22cos 15αα=-= 223sin 22sin cos cos 35αααα==-=-代入得． 239sin 2cos 551041cos 2615ααα---==-++18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人ξ数．（1）求的分布列和的数学期望；ξξ（2）求“所选3人中女生人数”的概率．1ξ…【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2．ξξ． 32436(),0,1,2k k C C P k k C ξ-=== 的分布列为ξ∴ξ0 1 2 P 15 35 15的数学期望为 ξ∴1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知“所选3人中女生人数”的概率为 1ξ…4(1)(0)(1)5P P P ξξξ==+==…19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 是的中点，作交于点．PC EF PB ⊥PB F （1）证明平面；//PA EDB（2）证明平面；PB ⊥EFD （3）求二面角的大小．C PBD --【解答】解：方法一：（1）证明：连接，交于，连接．AC AC BD O EO 底面是正方形，点是的中点ABCD ∴O AC 在中，是中位线，PAC ∆EO //PA EO ∴而平面且平面，EO ⊂EDB PA ⊂/EDB 所以，平面//PA EDB（2）证明：底面且底面，PD ⊥ ABCD DC ⊂ABCD PD DC ∴⊥，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，PD DC = PDC ∆DE PC ．①DE PC ∴⊥同样由底面，得．PD ⊥ABCD PD BC ⊥底面是正方形，有，平面．ABCD DC BC ⊥BC ∴⊥PDC 而平面，．②DE ⊂PDC BC DE ∴⊥由①和②推得平面．DE ⊥PBC 而平面，PB ⊂PBC DE PB ∴⊥又且，所以平面．EF PB ⊥DE EF E = PB ⊥EFD（3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角．PB DF ⊥EFD ∠C PB D --由（2）知，，．DE EF ⊥PD DB ⊥设正方形的边长为，ABCD a则，．,PD DC a BD =====12PC PC ====在中，． Rt PDB∆PD BD DF PB == 在中，，． Rt EFD ∆sin DE EFD DF ===∴3EFD π∠=所以，二面角的大小为．C PBD --3π方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设．D DC a =（1）证明：连接，交于，连接．AC AC BD G EG 依题意得． (,0,0),(0,0,),(0,,22a a A a P a E 底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且 ABCD G ∴G (,,0)22a a ． (,0,),(,0,)22a a PA a a EG =-=- ，这表明．∴2PA EG = //PA EG 而平面且平面，平面．EG ⊂EDB PA ⊂/EDB //PA ∴EDB（2）证明；依题意得，，，．(B a a 0)(,,)PB a a a =- 又，故． (0,,)22a a DE = 220022a a PB DE =+-= ．PB DE ∴⊥由已知，且，所以平面．EF PB ⊥EF DE E = PB ⊥EFD（3）解：设点的坐标为，，，，则，，，，．F 0(x 0y 0)z PF PB λ= 0(x 0y 0)(z a a λ-=a )a -从而，，．所以． 0x a λ=0y a λ=0(1)z a λ=-00011(,,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=--- 由条件知，，即，解得 EF PB ⊥0FE PB = 22211()()022a a a λλλ-+---=13λ=点的坐标为，且， ∴F 2(,,)333a a a (,,)366a a a FE =-- 2(,,333a a a FD =--- ∴22220333a a a PB FD =--+=即，故是二面角的平面角．PB FD ⊥EFD ∠C PB D --，且，， 222291896a a a a FE FD =-+=||FE ==||FD == ．∴21cos 2||||FE FD EFD FE FD ===． ∴3EFD π∠=所以，二面角的大小为．CPB D --3π20．（12分）已知函数在处取得极值．32()3f x ax bx x =+-1x =±（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；f (1)f -()f x （Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．(0,16)A ()y f x =【解答】（Ⅰ）解：，依2()323f x ax bx '=+-题意，（1），f '(1)0f '=-=即 32303230.a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得，．1a =0b =，．3()3f x x x ∴=-2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-令，得，．()0f x '=1x =-1x =若，，，(x ∈-∞1)(1-⋃)+∞则，()0f x '>故在上是增函数，在上是增函数．()f x (,1)-∞-()f x (1,)+∞若，(1,1)x ∈-则，故在上是减函数．()0f x '<()f x (1,1)-所以，是极大值；（1）是极小值．(1)2f -=f 2=-（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上．33y x x =-(0,16)A 设切点为，，0(M x 0)y 则点的坐标满足． M 30003y x x =-因， 200()3(1)f x x '=-故切线的方程为 20003(1)()y y x x x -=--注意到点在切线上，有 (0,16)A 32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--化简得， 308x =-解得．02x =-所以，切点为，切线方程为．(2,2)M --9160x y -+=21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，（点数为偶数）；（3分） P ∴3162==（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，（点数大于2且小于．（6分） P ∴215)63=22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，的准线与轴相交于O (F c 0)(0)c >l x 点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．A ||2||OF FA =A P Q （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQ = PQ （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．(1)AP AQ λλ=> P l M FM FQ λ=- 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为． 2221(2x y a a +=>由已知得 22222().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得 2a c ==所以椭圆的方程为，离心率． 22162x y +=e =（2）解：由（1）可得．(3,0)A 设直线的方程为．由方程组 PQ (3)y k x =-22162(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(31)182760k x k x k +-+-=依题意△，得． 212(23)0k =->k <<设，，，，则，① 1(P x 1)y 2(Q x 2)y 21221831k x x k +=+．② 212227631k x x k -=+由直线的方程得，．于是．③ PQ 11(3)y k x =-22(3)y k x =-2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，．④0OP OQ = 12120x x y y ∴+=由①②③④得，从而． 251k=(k =所以直线的方程为或PQ 30x -=30x -=（3）证明：．1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=- 由已知得方程组 1212221122223(3)162 1.62x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩注意，解得 1λ>2512x λλ-=因，，，故． (2,0)F 1(M x 1)y -11211211(2,)((3)1,)(,)(,)22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=- 而，所以． 2221(2,)(,)2FQ x y y λλ-=-= FM FQ λ=-。
高中数学B版 必修4 教科书 课后习题 参考答案
新课标人教A高一数学必修1测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于A.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.2.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于A.21B.8C.6D.73. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|4.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4〕上递减,则a的取值范围是A.〔-3,+∞〕B.(-∞,-3)C.(-∞,5〕D.〔3,+∞)5. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是A.y=( )2B.y=C.y=D.y=6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是10. 已知函数f(n)= 其中n∈N，则f(8)等于A.2B.4C.6D.711．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（）A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:（）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知f(x)=x2－1(x<0)，则f－1(3)=_______.14．函数的定义域为______________15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是_______.16. 函数y= 的最大值是_______.三、解答题17. 求函数y= 在区间〔2,6〕上的最大值和最小值.（10分）18.(本小题满分10分) 试讨论函数f(x)=loga (a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.答案一. BACCB BDCAD BA 二。
高数试题A卷试题及答案
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
2004年广东高考数学考试(附答案)
2004年全国普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤则AB =（ ）A ．[)(]3,21,2--B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数322,(2)()(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a=（ ）A ．12- B ．14-C ．14 D ．134．123212lim 12311n n nn n n n n →∞--+-+-+++++（）的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．12D ．15．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ） A ．0.1536 B ． 0.1808 C ． 0.5632 D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ） A ．23B ．76 C ． 45D ．568．若双曲线2220)x y k k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f (1)>f (-1)C ． 1f （）>f (0)>f (-1)D ． f （0）>f (-1)>f (1)12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( ) A ． 第四象限 B ． 第三象限 C ．第二象限 D ． 第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分) 13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)14．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . 15．由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P ABCV V '''--=16．函数10)f x In x =>（））（的反函数1().f x -=图(2)图(1)三、解答题(共6小题,74分)17． (12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.18．如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.DC A19． (12分)设函数110,f x x x=->（），(1) 证明: 当0< a < b ,且()()f a f b =时,ab >1;(2) 点P (x 0, y 0 ) (0< x 0 <1 )在曲线()y f x =上,求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x 0表达).20． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)21． (12分)设函数f x x In x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数.(1) 当m 为何值时,0f x ≥（）；(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ-m ]内有两个实根.22．(14分)设直线与椭圆2212516x y+=相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB．求直线的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案一、选择题：二、填空题：（13）75 （14）－2i (15)PCPB PA PC PB PA ⋅⋅⋅⋅''' (16))(22R x ee xx ∈+三、解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 18．解：（I ）以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC设向量),,(z y x n =与平面C 1DE 垂直，则有22tan 36400411220101||||cos ,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001=∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z zz z z n z y x z y x y x EC DE n 的平面角为二面角所成的角垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则142122)4(2312223)4(1cos 2222221111=++-⨯++⨯+⨯+-⨯==β 19．证明：（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x xx xx x f 故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b 且f(a)=f(b)得0<a<1<b 和ab b a ab ba b a 22211,1111>+=⇒=+-=-即 故1,1>>ab ab 即 （II ）0<x<1时，10,1)(,11|11|)(0200'<<-=∴-=-==x x f xx x f y x 曲线y=f(x)在点P （x 0，y 0）处的切线方程为：020202),(1x x xy x x y y x x -+-=--=-即∴切线与x 轴、y 轴正向的交点为)2(1,0()0),2((0000x x x x --和 故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(x x x x x x A -=-⋅-=20．解：如图，y xoABC P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.21．（I ）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且m x x f mx x f -==+-=1,0)(,11)(''得令 当x ∈(-m,1-m)时,f ’（x ）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x ∈(1-m, +∞)时,f ’（x ）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0(II)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数.,)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m ef m e m m e m e m e f mm m m m -->>=+---=------由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使而当整数m>1时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-⇒>>--++>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
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2004年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合{1,2,3,4}P =，{}2,Q x x x R =≤∈，则P Q I 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数22cos 1y x =+(x R ∈)的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ） A ．33π100cm B ．33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm 5．若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时7．4(2x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48时间(小时)8．若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则 （ ）A ．a =2，b =2B ．ab =2 C ．a =2，b =1 D ．a，b9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1911．设1k >，()(1)f x k x =-(x R ∈) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数()y f x =的图象与x 轴交于A 点，它的反函数1()y fx -=的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32 C ．43 D ．6512．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间M =[a ，b ](a <b )，集合N ={(),y y f x x M =∈}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数2y ax bx c =++(x R ∈)的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_______________________.14．以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=相切的圆的方程是________________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(31)2n n a S -=(对于所有1n ≥)，且454a =，则1a 的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分)17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin()3πα-的值.18．在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？· B 1P A C D A 1C 1D 1 B O H·20．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m ,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M . 若2MQ QF =u u u u r u u u r，求直线l 的斜率.22．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有2121212()()[()()]x x x x f x f x λ-≤--和1212()()f x f x x x -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足0()0f a =和()b a f a λ=- (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00b a ≠，使得0()0f b =；(Ⅱ)证明22200()(1)()b a a a λ-≤--；(Ⅲ)证明222[()](1)[()]f b f a λ≤-.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．),3()2,(+∞--∞Y 14．25)2()1(22=-+-y x 15．216．)53,54(-三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知25tancot22sin 2ααα+==，得4sin 5α=..53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπαΘ从而 3sincos 3cos sin )3sin(παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解法一：（I ）连结BP .∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB , ∵CC 1=4CP ,CC 1=4，∴CP =I .在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC =4，CP =1，故BP =17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB =,17174=BP AB∴∠APB =.17174arctan19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y =6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07>Θ ∴当x =4，y =6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大. 20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22()k k S S =，得422211()22k k k k +=+，即 0)141(3=-k k 又0k ≠，所以4k =.（II ）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k =1,2,得211242()()S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即211211,43214(2)22a a a d a d ⎧=⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩ 由（1）得 10a =或1 1.a =当10a =时，代入（2）得0d =或6,d =若10,0a d ==，则0,0n n a S ==，从而2()k k S S =成立若10,6a d ==，则6(1)n a n =-，由23318,()324,216n S S S ===知 293(),S S ≠故所得数列不符合题意.当11a =时，代入（2）得246(2)d d +=+，解得0d =或2d =（1） （2）若11,0a d ==，则1,n n a S n ==，从而22()k k S S =成立；若11,2a d ==，则221,13(21)n n a n S n n =-=+++-=L ，从而2()n S S =成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线:()l y k x m =+，则点(0,)M km当2MQ QF =u u u u r u u u r时，由于(,0),(0,),F m M km -由定比分点坐标公式，得02201,.123123Q Q m m km x y km -+==-==++ 又点2(,)33m kmQ -在椭圆上，所以22222499 1.43m k m m m +=解得k =±.当2MQ QF =-u u u u r u u u r 时，0(2)()2,1212Q Q m kmx m y km +-⨯-==-==---于是222224143m k m m m+=，解得0k =．故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 证明：（I ）任取1212,,x x R x x ⊂≠，则由)]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而1≤λ. 假设有00b a ≠，使得0()0f b =，则由①式知20000000()()[()()]0a b a b f a f b λ<-≤--=矛盾．∴不存在00b a ≠，使得0()0.f b =（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=2005年高考数学（江苏卷）试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A Y I =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(321R x y x∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ）A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ）A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617 B ．1615 C ．87D ．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是 （ ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （ ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．9711.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．2112.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若b a >，则122->ba ”的否命题为__________14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________16.若[)1,,618.03+∈=k k a a，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +•的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小（本小问不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立参考答案(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B （13）若b a >，则122->b a （14）014=--y x （15）]1,43()0,41[Y -（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），由已知PN 2PM =，得22PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4)32(81答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为8165； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则278)321()32()(242242=-=-C A P ，6427)431()43()(143342=-=-C B P ， 由于甲、乙设计相互独立，故86427278)()()(2222=⋅==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×41）=102445，答：乙恰好射击51024（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46， ∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA I BA=A ，∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282-π （22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2-=x x x f当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ； 当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+(Ⅱ)设此最小值为m①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=， 因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=)32(332)('2x a x x ax x f -=-=若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以)1(-==a f m若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37172)2(421011a a a a a a a m（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：一组数据的方差 ])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-=Λ其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2004年高考.全国卷Ⅱ.理科数学试题及答案(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)
2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54，53)，点O (0，0)和A (1，－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511（C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 解题思路：1、 已知集合M={x|x 2<4}，N={x|x 2-2x-3<0},则集合M ∩N=( C )A {x|x<-2}B {x|x>3}C {x|-1<x<2}D {x|2<x<3} 解法一：(直接求解)由M={x|x 2<4}={x|-2<x<2}，N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3} 则：M ∩N={x|-2<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|-1<x<2}。
2004年高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512, 所以ξ的概率分布为图2Cy图1根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab a y b x 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+=由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x e x f xx x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x ex解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn nnn n n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
2004年高考数学试题(江苏)及答案-精编解析版
复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）)2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题在做试卷之前，给大家推荐一个视频学习网站，我之前很长时间一直是做试卷之后，再到这上面去找一些相关的学习视频再复习一遍，效果要比只做试题要好很多，真不是打广告。
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◆高考语文类在线听课地址：/yuwen◆高考数学类在线听课地址：/shuxue◆高考英语类在线听课地址：/yingyu◆高考化学类在线听课地址：/huaxue◆高考物理类在线听课地址：/wuli 其他学科的大家自己去找吧！◆高考在线题库：/exams一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( )(A)2π(B)π (C)π2 (D)π43.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个 二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如右表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_____________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k kS S =成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率. 22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；· B 1P A C D A 1 C 1D 1 BO H·复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题参考答案一、选择题：ABDCA BCADC BA 二、填空题；13、{2x x <-或3}x >； 14、22(1)(1)25x y -+-=； 15、2； 16、43(,)55b =-。
高等数学A、B(上)A卷参考答案
高等数学A 、B(上)试题A 参考答案与评分标准（20110119）一、单项选择题(每小题3分，共18分)1:A 2: B 3:A 4:A 5: C 6:D 二、填空(每小题2分，共16分)1：4π， 2：153y x =-， 3：1(1)!n -， 4ln(x C -++， 5：()()f x f a -， 6：8π， 7：21ln 2x ， 8：2x cx -+。
三、计算题(每小题7分，共14分)12200ln(1)1/(1)11lim lim (ln(1)1)2limx t t t t t x x t x t e e e e -→+∞→→+-+-+-24571.原式解:====.2. 解1dy dx t==，4分2223(1/)1t d y t dx t'+==-.7分四、计算题(每小题7分，共14分)1.解 0,y x e y y xy ''++=两边对求导：3分 yyy e x'=-+, 5分 .y ydy dx e x=-+7分2.解2222211111ln(1)ln(1)(1)-d ln(1)(1)ln(1)22122-1242x x x x x dx x x x x x x c x x ----+--++-+-⎰⎰212+2原式===五、计算题(每小题7分，共14分) 10101110110111221()[ln(1)]|ln(1)|[1ln 2ln(1)]ln 2111ln(1)ln(1).t t x t dt dt f t dt t e t e t e e e -----+-=+=-+++=-+++++=++=+=⎰⎰⎰11.解原式或=2. 解 ln ln ln 2ln 22ln ln ln ln |,3|().722b b y y by y ba y a aaA e dy e b a V e dy e b a πππ===-===-⎰⎰分分六、计算题(每小题8分，共16分)1.解 特征方程为 21210,1,1r r r -===-， 对应齐次方程通解12x x Y c e c e -=+，4分1λ=是单根，设*()x y x ax b e =+， 1,1a b ==-， 7分(1+1+1)通解 212()x x x y c e c e x x e -=++-。
2004年高考试题全国卷2文科数学及答案(必修 选修Ⅰ四川吉林黑龙江云南等地区)
2004年高考试题全国卷2文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）函数y ＝51+x (x ≠－5)的反函数是 （A ）y ＝x1－5(x ≠0) （B ）y ＝x ＋5(x ∈R ) （C ）y ＝x1＋5(x ≠0) （D ）y ＝x －5(x ∈R ) （3）曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（A ）y ＝3x －4 （B ）y ＝－3x ＋2 （C ）y ＝－4x ＋3 （D ）y ＝4x －5（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30° （7）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称（D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称2（8）已知点A (1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为（A ）4x ＋2y ＝5 （B ）4x －2y ＝5 （C ）x ＋2y ＝5 （D ）x －2y ＝5 （9）已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）6 （10）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）已知a 为实数，(x ＋a )10展开式中x 7的系数是－15，则a ＝ （14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本题满分12分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5 ＝21 (Ⅰ)求{a n }的通项公式；2004年高考试题全国卷2 文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学王新敞 当前第3 页共6页(Ⅱ)令b n ＝n a2，求数列{b n }的前n 项和S n（18） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （19）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率． （20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． （21）(本题满分12分)若函数f (x )＝31x 3－21ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4) 内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围（22）(本小题满分14分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．42004年高考试题全国卷2文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)参考答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）B （4）C （5）A （6）C （7）D （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）－21 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．解：a 5-a 2=3d,d=4,a n =a 2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1 {b n }是首项为32公比为16的等比数列，Sn=)12(15324-n. 18．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan =设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+19．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率2481533482523=+C C C C C C 20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2，BA'C'2004年高考试题全国卷2 文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学王新敞 当前第5 页共6页∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23. ∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=(22,21,21),=A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .33||||11-=∙=G B CD θ 所以所求二面角的大小为π21．解：=)('x f x 2-ax+a-1, 函数f(x)在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,＋∞)上为增函数. 设=)('x f x 2-ax+a-1=0的两根为1,a-1,则614≤-≤a ,75≤≤a .622．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1……………………………………(3) 联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是34,43[]43,34[ --解：(II)由定比分点公式求解。
2004年全国高考理科数学试题及答案-安徽
2004年高考试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A)∪(I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P ，则||2PF =（ ）A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91B ．94C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513B ．12516C ．12518D ．1251912．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线，已知某一时刻A 、B 占线的概率均为0.5，C 、D 占线的概率均为0.4，各部是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角， 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FGBC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=Y Θ的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得Θ 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1.{a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年上海高考理科数学真题及答案
2004年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）若，则 ． 1tan 2α=tan()4πα+=2．（4分）设抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则它的焦点坐标为 ． (2,0)1x =-3．（4分）设集合，，集合，．若，则 ． {5A =2log (3)}a +{B a =}b {2}A B = A B = 4．（4分）设等比数列的公比，且，则 ．{}()n a n N ∈12q =-135218lim()3n n a a a a -→∞+++⋯+=1a =5．（4分）设奇函数的定义域为，，若当，时，的图象如图，则不等式的()f x [5-5][0x ∈5]()f x ()0f x <解集是 ．6．（4分）已知点，若向量与同向，，则点的坐标为 ． (1,2)A -AB (2,3)a =||AB = B 7．（4分）在极坐标系中，点到直线的距离 ．(4,)3M π:(2cos sin )4l ρθθ+=d =8．（4分）圆心在直线上的圆与轴交于两点、，则圆的方程为 ． 270x y --=C y (0,4)A -(0,2)B -C 9．（4分）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ． （结果用分数10(1)x +表示）10．（4分）若函数在，上为增函数，则实数、的取值范围是 ． ()||2f x a x b =-+[0)+∞a b 11．（4分）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 ． 12．（4分）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，{}n a q 下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号） {}n a ①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和． 1S 2S 2a 3S 1a n a q n a n n S {}n a n )二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是 l m αβ()A ．若，且，则B ．若，且，则l β⊂αβ⊥l α⊥l β⊥//αβl α⊥C ．若，且，则D ．若，且，则m αβ= l m ⊥//l αl β⊥αβ⊥//l α14．（4分）三角方程的解集为 2sin()12x π-=()A ．， B ．， {|23x x k ππ=+}k Z ∈5{|23x x k ππ=+}k Z ∈C ．，D ．，{|23x x k ππ=±}k Z ∈{|(1)K x x k π=+-}k Z ∈15．（4分）若函数的图象可由的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则等于 ()y f x =(1)y lg x =+O 2π()f x ()A ． B ． C ． D ．101x --101x -110x --110x -16．（4分）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 2158302002501546767457065280行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是 ()A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，1z 1(1)15i z i +=-+22z a i =--i a R ∈121||||z z z -<求的取值范围．a 18．（12分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：的矩形．上x y )m 部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到时用料最省？28m x y 0.001)m19．（14分）记函数的定义域为，，的定义域为．若()f x =A ()[(1)(2)]g x lg x a a x =---(1)a <B ，求实数的取值范围．B A ⊆a 20．（14分）已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线1()y f x =(1,1)2()y f x =的两个交点间距离为8，． y x =12()()()f x f x f x =+（1）求函数的表达式；()f x （2）证明：当时，关于的方程（a ）有三个实数解．3a >x ()f x f =21．（16分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，P ABC -D E F PA PB PC 截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有//DEF ABC DEF ABC -P ABC -棱的长度之和）（1）证明：为正四面体； P ABC -（2）若求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） 12PD DA ==D BC A --（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -V V 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，DEF ABC -请说明理由．22．（18分）设，，，，，，，是二次曲线上的点，且，11(P x 1)y 12(P x 2)y ⋯(n n Px )(3n y n …)n N ∈C 211||a OP =，，构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记222||a OP =⋯2||n n a OP =(0)d d ≠O ．12n n S a a a =++⋯+（1）若的方程为，．点及，求点的坐标；（只需写出一个） C 22110025x y +=3n =1(10,0)P 3255S =3P （2）若的方程为．点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最C 22221(0)x y a b a b +=>>1(,0)P a n d n S 小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上的一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，C C 1P n 1P ，存在的充要条件，并说明理由．2P n P ⋯符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号向量坐标 ，{a x =}y(,)a x y =正切tgtan2004年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）若，则 3 ． 1tan 2α=tan()4πα+=【解答】解： 1tan 2α=11tan 12tan(3141tan 12πααα++∴+===--故答案为：3．2．（4分）设抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则它的焦点坐标为 ． (2,0)1x =-(5,0)【解答】解：顶点到准线距离是， 2(1)3--=则焦点到顶点距离是3，且和准线在顶点两侧所以横坐标是． 235+=它的焦点坐标是．∴(5,0)故答案为．(5,0)3．（4分）设集合，，集合，．若，则 ，2， ． {5A =2log (3)}a +{B a =}b {2}A B = A B = {15}【解答】解：，． {2}A B = 2log (3)2a ∴+=．．1a ∴=2b ∴=，，，．，2，，{5A ∴=2}{1B =2}{1A B ∴= 5}故答案为，2，．{15}4．（4分）设等比数列的公比，且，则 2 ．{}()n a n N ∈12q =-135218lim()3n n a a a a -→∞+++⋯+=1a =【解答】解：，12q =- ． ∴1135218lim()1314n n a a a a a -→∞+++⋯+==-．12a ∴=故答案为2．5．（4分）设奇函数的定义域为，，若当，时，的图象如图，则不等式的()f x [5-5][0x ∈5]()f x ()0f x <解集是 或 ．{|20x x -<<25}x <…【解答】解：由奇函数图象的特征可得在，上的图象． ()f x [5-5]由图象可解出结果．故答案为或．{|20x x -<<25}x <…6．（4分）已知点，若向量与同向，，则点的坐标为 ． (1,2)A -AB (2,3)a =||AB = B (5,4)【解答】解：设点坐标为，，点坐标为，．A (A x )A yB (B x )B y 与同向，可设，．ABa ∴(2AB a λλ== 3)(0)λλ>，．||AB ∴==2λ∴=则，，， (B A AB x x =-)(4B A y y -=6) ∴46.B A B A x x y y -=⎧⎨-=⎩ 12A A x y =⎧⎨=-⎩∴54.B Bx y =⎧⎨=⎩点坐标为． B ∴(5,4)故答案为：(5,4)7．（4分）在极坐标系中，点到直线的距离 (4,)3M π:(2cos sin )4l ρθθ+=d 【解答】解：将原极坐标方程， (2cos sin )4ρθθ+=化成直角坐标方程为：， 240x y +-=点化成直角坐标方程为，．(4,)3M π(2点到直线的距离． ∴M l ==8．（4分）圆心在直线上的圆与轴交于两点、，则圆的方程为 270x y --=C y (0,4)A -(0,2)B -C ．22(2)(3)5x y -++=【解答】解：圆与轴交于，， C y (0,4)A -(0,2)B -由垂径定理得圆心在这条直线上．∴3y =-又已知圆心在直线上，联立，解得，270x y --=∴3270y x y =-⎧⎨--=⎩2x =圆心为，∴C (2,3)-半径 ∴||r AC ===所求圆的方程为．∴C 22(2)(3)5x y -++=故答案为．22(2)(3)5x y -++=9．（4分）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ． （结果用分10(1)x +411数表示）【解答】解：展开式中共有11项，其中只有4项的系数，，，为奇数．010C 210C 810C 1010C 该项的系数为奇数的概率是 411故答案为41110．（4分）若函数在，上为增函数，则实数、的取值范围是 且()||2f x a x b =-+[0)+∞a b 0a > ．0b …【解答】解：的图象可看作把的图象 ()||2f x a x b =-+||y a x = 向左或向右平移个单位，再向上平移2个单位得到的． ||b 由已知画出图形，如图所示， 可得且， 0a >0b …故答案为：且．0a >0b…11．（4分）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 用代数的方法研究图形的几何性质 ．【解答】解：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质． 故答案为用代数的方法研究图形的几何性质12．（4分）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，{}n a q 下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组．（写出所有符合要求的组号） {}n a ①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和． 1S 2S 2a 3S 1a n a q n a n n S {}n a n )【解答】解：（1）由和，可知和．由可得公比，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①1S 2S 1a 2a 21a a q 对；（2）由与，设其公比为，首项为，可得，，， 2a 3S q 1a 21a a q =21a a q=23111S a a q a q =++，； 2322a S a a q q∴=++22232()0a q a S q a ∴+-+=满足条件的可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的基本量，②不对；q（3）由与，可得，当为奇数时，可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定1a n a 11n n a a q -=n q 是数列的一个基本量．（4）由与由，故数列 能够确定，是数列 的一个基本量； q n a 11n n a a q -={}n a {}n a 故答案为：①④．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是 l m αβ()A ．若，且，则 B ．若，且，则 l β⊂αβ⊥l α⊥l β⊥//αβl α⊥C ．若，且，则D ．若，且，则m αβ= l m ⊥//l αl β⊥αβ⊥//l α【解答】解：不正确，由面面垂直的性质定理可推出；不正确，可能；A C l α⊂正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；B 不正确，由面面垂直的性质定理可知，，且，，则； D m αβ= l m ⊥l β⊥l α⊂故选：．B 14．（4分）三角方程的解集为 2sin()12x π-=()A ．， B ．， {|23x x k ππ=+}k Z ∈5{|23x x k ππ=+}k Z ∈C ．，D ．， {|23x x k ππ=±}k Z ∈{|(1)K x x k π=+-}k Z ∈【解答】解： 12sin()12cos 1cos 22x x x π-=∴=∴=，23x k ππ∴=±k Z ∈故选：．C 15．（4分）若函数的图象可由的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则等于 ()y f x =(1)y lg x =+O 2π()f x ()A ． B ． C ． D ．101x --101x -110x --110x -【解答】解：函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，得到的函数与原函数的反函数的图象关于轴对O 90︒y 称．故由题意知，函数与的反函数的图象关于轴对称． ()y f x =(1)y lg x =+y ，，反函数为，即，(1)y lg x =+ 101y x ∴=-∴101x y =-()101x f x -=-故选：．A 16．（4分）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 2158302002501546767457065280行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是 ()A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张【解答】解：用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， 建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，∴建筑行业人才是供不应求，物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436， 物流行业是供大于求，∴就业形势是建筑行业好于物流行业，∴故选：．B 三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，1z 1(1)15i z i +=-+22z a i =--i a R ∈121||||z z z -<求的取值范围． a 【解答】解：由题意得， 115231iz i i-+==++于是，， 12|||42|z z a i -=-+1||z =<得，．2870a a -+<17a <<18．（12分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：的矩形．上x y )m 部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到时用料最省？28m x y 0.001)m【解答】解：由题意得， 2184xy x +=．2884(04x x y x x x -∴==-<<框架用料长度为，．31622)(2l x y x x x=++=+…当，即时等号成立．316(2x x +=8x =-此时，，．2.343x≈ 2.828y =≈故当为，为时，用料最省．x 2.343m y 2.828m 19．（14分）记函数的定义域为，，的定义域为．若()f x =A ()[(1)(2)]g x lg x a a x =---(1)a <B ，求实数的取值范围．B A ⊆a 【解答】解：由得：，解得或， 3201x x +-+ (101)x x -+…1x <-1x …即，(,1)[1A =-∞- )+∞由得：(1)(2)0x a a x --->(1)(2)0x a x a ---<由得，1a <12a a +>(2,1)B a a ∴=+，或B A ⊆ 21a ∴…11a +-…即或，而，或 12a …2a -…1a <∴112a <…2a -…故当时，实数的取值范围是 B A ⊆a 1(,2][,1)2-∞- 20．（14分）已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线1()y f x =(1,1)2()y f x =的两个交点间距离为8，．y x =12()()()f x f x f x =+（1）求函数的表达式；()f x （2）证明：当时，关于的方程（a ）有三个实数解．3a >x ()f x f =【解答】解：（1）由已知，设，过点，21()f x ax =(1,1)即（1），得，1f 1=1a =．21()f x x ∴=设，它的图象与直线的交点分别为 2()(0)k f x k x=>y x =A (B 由，得，．．故． ||8AB =8k =28()f x x ∴=28()f x x x =+（2）证法一：（a ），得， ()f x f =2288x a x a +=+即． 2288x a x a=-++在同一坐标系内作出和的大致图象， 28()f x x =2238()f x x a a =-++其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，2()f x 与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线． 3()f x 28(0,a a+因此，与的图象在第三象限有一个交点，2()f x 3()f x 即（a ）有一个负数解．()f x f =又（2），（2） 2f 4=3f 284a a =-++当时，．（2）（2）， 3a >3f 2f -2880a a=+->当时，在第一象限的图象上存在一点，（2）在图象的上方． ∴3a >3()f x (2f )2()f x 与的图象在第一象限有两个交点，即（a ）有两个正数解．2()f x ∴3()f x ()f x f =因此，方程（a ）有三个实数解．()f x f =证法二：由（a ），得， ()f x f =2288x a x a +=+即，得方程的一个解． 8()(0x a x a ax -+-=1x a =方程化为， 80x a ax+-=2280ax a x +-=由，△，得3a >4320a a =+>， 2x 3x =，，，且．20x < 30x >12x x ∴≠23x x ≠若，即，则，， 13x x =a =23a =44a a =得或，这与矛盾，．0a =a =3a >13x x ∴≠故原方程（a ）有三个实数解．()f x f =21．（16分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，P ABC -D E F PA PB PC 截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有//DEF ABC DEF ABC -P ABC -棱的长度之和）（1）证明：为正四面体；P ABC -（2）若求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） 12PD DA ==D BC A --（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -V V 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，DEF ABC -请说明理由．【解答】证明：（1）棱台与棱锥的棱长和相等，DEF ABC -P ABC -．DE EF FD PD OE PF ∴++=++又截面底面，//DEF ABC ，，是正四面体 DE EF FD PD PE PF ∴=====60DPE EPF FPD ∠=∠=∠=︒P ABC ∴-解：（2）取的中点，连拉，．．BC M PM DM AM ，，平面，，BC PM ⊥ BC AM ⊥BC ∴⊥PAM BC DM ⊥则为二面角的平面角．DMA ∠D BC A --由（1）知，的各棱长均为1，P ABC -是的中点，得 PM AM ∴==D PA． sin AD DMA AM ∠==DMA ∴∠=（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台的棱长和为定值6，体积为．DEF ABC -V 设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为， 12α则该六面体棱长和为6，体积为． 1sin 8V α=正四面体，，．可知 P ABC -0V ∴<<081V <<arcsin(8)V α=故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求． 12arcsin(8)V22．（18分）设，，，，，，，是二次曲线上的点，且，11(P x 1)y 12(P x 2)y ⋯(n n Px )(3n y n …)n N ∈C 211||a OP =，，构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记222||a OP =⋯2||n n a OP =(0)d d ≠O ．12n n S a a a =++⋯+（1）若的方程为，．点及，求点的坐标；（只需写出一个） C 22110025x y +=3n =1(10,0)P 3255S =3P （2）若的方程为．点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最C 22221(0)x y a b a b+=>>1(,0)P a n d n S 小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上的一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，C C 1P n 1P ，存在的充要条件，并说明理由．2P n P ⋯符号意义本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号 向量坐标， {a x = }y (,)a x y = 正切 tgtan 【解答】解：（1），由，得． 211||100a OP ==3133()2552S a a =+=333||70a OP ==由，得，222211002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩226010x y ⎧=⎨=⎩点的坐标可以为．∴3P（2）原点到二次曲线上各点的最小距离为，最大距离为． O 2222:1(0)x y C a b a b+=>>b a ，2211||a OP a ==，且， 0d ∴<222||(1)n n a OP a n d b ==+-…．， ∴2201b a d n -<-…3n …(1)02n n ->在，上递增， 2(1)2n n n S na d -∴=+22[1b a n --0)故的最小值为． n S 22222(1)()212n n b a n a b na n --++=-（3）若双曲线，点， 2222:1x y C a b -=1(,0)P a 则对于给定的，点，，存在的充要条件是．n 1P 2P n P 0d >原点到双曲线上各点的距离，，且，O C [||h a ∈)+∞21||OP a =点，，存在当且仅当，即． ∴1P 2P n P 221||||n OPOP >0d >。
2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生北京卷理工农医类数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷1至2页第II卷3至9页共150分考试时间120分钟第I卷（选择题共40分）注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c’，c分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长球体的表面积公式其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设全集是实数集R，，，则等于A. B.C. D.（2）满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆（3）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④（4）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线（5）函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A. B. C. D.（6）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中一定成立的是A. B. C. D.（7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于A. B. C. D.（8）函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确判断有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第II卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上（9）函数的最小正周期是___________（10）方程的解是___________________（11）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2（12）曲线C：（为参数）的普通方程是__________，如果曲线C 与直线有公共点，那么实数a的取值范围是_______________-- （13）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）在中，，，，求的值和的面积如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC 上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）PC和NC的长（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）（17）（本小题满分14分）如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分（I）求及，的值，并归纳出的表达式（II）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值（19）（本小题满分12分）某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围（20）（本小题满分13分）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止（I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：2004年普通高等学校招生北京卷理工农医类数学试题参考答案一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分40分（1）A （2）C （3）A （4）D（5）D （6）C （7）B （8）B（8）函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确判断有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：∵函数∴＝≠＝≠当时，有且只有{0}∴0∈，故②正确.当P∩M＝时，可以列举P、M，的某些或全部元素有可能在P中，故①错.当时，可以列举P、M，或若，则, ∴.故③错.当时，存在，则从而故④正确.综上，正确判断有2个，故选B.二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分（9）（10）（11）（12）（13）大-3（14）3 当n为偶数时，；当n为奇数时，三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力满分13分解法一：又解法二：（1）（2）（1）+（2）得：（1）－（2）得：（以下同解法一）（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分14分解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为（II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线设，则，在中，由勾股定理得求得（III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，AB CA1B 1C1PNMP 1H就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）在中，在中，故平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小为（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I）当时，又抛物线的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为由，相减得故同理可得由PA，PB倾斜角互补知即所以故设直线AB的斜率为由，相减得所以将代入得，所以是非零常数（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I）由，得由及，得同理，归纳得（II）当时所以是首项为，公比为的等比数列所以的定义域为1，当时取得最小值（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以（*）当时，（*）式变形为解得当时，（*）式变形为解得当时，（*）式变形为解得综上所述，的取值范围是[39，]（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分解：（I）除第N组外的每组至少含有个数（II）当第n组形成后，因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即由此可得因为，所以（III）用反证法证明结论，假设，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差，且故余下的每个数（*）因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于此时第11组的余差这与（*）式中矛盾，所以。
2004高考天津卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第一卷1至2页，第二卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第一卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+。
如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅。
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式Sh V =柱体。
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，3)2)(1(i i i ++-=A. i +1B. i --1C. i 31+D. i 31--2. 不等式21≥-xx 的解集为 A. )0,1[- B. ),1[∞+-C. ]1,(--∞D. ),0(]1,(∞+--∞3. 若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，则=b A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-4. 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF A. 1或5B. 6C. 7D. 95. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a= A.42B.22 C.41 D.21 6. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A.510 B.515 C.54 D.32 ACC 1D E7. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x8. 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[π B. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ10. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，31=AA 。
2004年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（ ）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x 2．复数ii 31)31(2++-的值是（ ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ）A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+- 4．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 7．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21 C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P=QD ．P Q=11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312∈++=t t y ππ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k 则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A ⊄ B ⇔=B A φ③A ⊄B ⇔AB④A ⊄ B ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱 CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.AC A 1C 119．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.A BC20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防 方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围.2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠AC A 1C 1..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1， 于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF. 连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF.∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点. ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分 （II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ， 设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42， ∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）BPFAB E D CD F x x D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AF AB E D 111111111111,.21210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-⇔=⋅⇔⇔⊥⊥=-=⋅∴==--=∴（1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.31898983||||cos ).0,43,43(),1,41,41(),0,43,43(),1,1,1(11111-=⨯-=⋅=∠∴--==HC HA AHC HC H C.31arccos .31arccos )31arccos(11----=-=∠ππ的大小为故二面角即A EF C AHC19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一 .cos 2121)(222222θa a BCPQ a BCPQ a a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a a by cx abycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→.24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n nn n n n n n（III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a ab 得令.,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥=k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k.212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a aa a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn。
04普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题及答案(Word最新版)
04普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题及答案通过整理的04普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题及答案相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若的终边所在象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．对于，给出下列四个不等式① ② ③ ④ 其中成立的是A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 3．已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题 . 则的A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．设复数z满足A．0 B．1 C．D．2 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A．B．C．D．6．已知点、，动点，则点P的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．已知函数，则下列命题正确的是A．是周期为1的奇函数B．是周期为2的偶函数C．是周期为1的非奇非偶函数D．是周期为2的非奇非偶函数8．已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m 则A．B．C．D．9．已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是A．B．C．D．2 10．设A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是A．B．C．D．11．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是A．B．C．D．12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A．234 B．346 C．350 D．363 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 . 14．= . 15．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 . 16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值. 18．（本小题满分12分）设全集U=R （1）解关于x的不等式（2）记A为（1）中不等式的解集，集合，若恰有3个元素，求a的取值范围. 19．（本小题满分12分）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值. 20．（本小题满分12分）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t（吨）满足函数关系.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？21．（本小题满分14分）已知函数的最大值不大于，又当（1）求a的值；（2）设22．（本小题满分12分）已知函数. （1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围. 2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题答案与评分参考一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13．1 14．15．a 16．三、解答题17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 满分12分. （1）证明：连接BD. 为等边三角形. 是AB中点，…………2分面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.…………4分面PAB，面PAB. ……………………6分（2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PED，为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分设AD=2，那么PF=FD=1，DE=. 在即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分12分. 解：（1）由当时，解集是R；当时，解集是……………………3分（2）当时，=；当时，=……………………5分因由…………8分当怡有3个元素时，a就满足解得12分19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组② ① 的解.…………………………2分将①代入②并化简得，，所以于是…………6分设点P的坐标为则消去参数k得③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为………………8分解法二：设点P 的坐标为，因、在椭圆上，所以④ ⑤ ④—⑤得，所以当时，有⑥ 并且⑦ 将⑦代入⑥并整理得⑧ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为………………8分（2）解：由点P的轨迹方程知所以……10分故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为……………………12分注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分. 21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力. 满分14分. （1）解：由于的最大值不大于所以① ………………3分又所以. ② 由①②得………………6分（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；因时不等式也成立. （ii）假设时，不等式成立，因为的对称轴为知为增函数，所以由得………………8分于是有…………12分所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时， (8)分因所以……12分于是因此当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分证法三：（i）当n=1时，不等式成立；（ii）假设时. 若则①…………8分所以都是增函数. 因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得………………12分解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于③…7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式③成立当且仅当即………………12分。
2004年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)(WORD版)
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第一卷1至2页，第二卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第一卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+。
如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅。
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式Sh V =柱体。
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，3)2)(1(ii i ++-= A. i +1 B. i --1C. i 31+D. i 31--2. 不等式21≥-xx 的解集为 A. )0,1[- B. ),1[∞+-C. ]1,(--∞D. ),0(]1,(∞+--∞3. 若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则=b A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-4. 设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PFA. 1或5B. 6C. 7D. 95. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=A. 42B. 22 C.41 D.21 6. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A. 510 B. 515 C.54 D.32C. 01=-+y xD. 052=--y x8. 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ10. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，31=AA 。
人教B版高中数学必修四模块4测试样卷B版--答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学模块测试样题参考答案数学4（人教B 版）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.1. A2. B3. C4. D5. B6. C7. B8. D 9.D 10. B 11. D 12.A 13.D 14. A 提示：1．1sin150sin 302==. 2. 903AB =+=.3. 在直角坐标系中作出43π-终边即知. 4. 由cos 0α>知，α为第一、四象限或x 轴正方向上的角；由sin 0α<知，α为第三、四象限或y 轴负方向上的角，所以α的终边在第四象限.5. 3sin 20cos 40cos 20sin 40sin 602+== . 6. 如图，在平行四边形ABCD 中，根据向量加法的平行四边形法则知AD AB AC +=.7. 由2T ππω==，得2ω= .8. 因为a //b ，所以24520x -=⨯=，解得10x =-.9. 43tan tan 13tan()1tan tan 143αβαβαβ---===++． 10. 因为cos x 的最大值和最小值分别是1和1-，所以函数2cos 1y x =-的最大值、最小值分别是1和3-．11. 211cos60122--=-=a a a b =a a b ⋅⋅. 12. 画出函数的图象即知A 正确.13. 因为 02A π<<，所以24sin 1cos 5A A =-=，24sin 22sin cos 25A A A == . 14. 设q (,)x y =，由运算“⊗”的定义，知(,2)(3,4)x y ⊗==--p q ，所以q (3,2)=--.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，其中18题每空2分，共16分.15. 35 16. 34π 17. (3,5)-- 18. 47；30sin()6y t π=+. 提示： 15. 因为5r =，所以3cos 5α=. 16. 在[0,)π上，满足tan 1α=-的角α只有34π，故34πα=． 17. 3b -a (0,3)(3,2)(3,5)=--=--.18. 所求高度为3230sin 47m 6π+=；由已知，0P OP t ∠=rad ，所以()6xOP t π∠=+rad ， 根据三角函数定义30sin()6y t π=+.三、解答题：本大题共3小题，共28分.19.（本小题满分8分）解：（1）因为02πα<<，4sin 5α=,所以3cos 5α=，故34tan =α.………………3分 （2）23238cos 2sin()12sin cos 1225525παααα+-=-+=-+=.………………8分 20. （本小题满分10分）解：（1）(1,)AC c =，(4,)BC c =-，由AC BC ⊥，得0AC BC ⋅=，所以，240c -=，所以，2c =±. …………5分（2）当3c =时，10CA =，5CB =，(1,3)CA =--，(4,3)CB =- 因此，10cos 10CA CB ACB CA CB ⋅∠==. …………………………………………10分 21.（本小题满分10分）解：（1）由已知，所求函数解析式为()sin()6g x x π=-. ………………………4分 （2）由()y f x =的图象过2(,0)3π点，得2sin 03πω=，所以23k πωπ=，k ∈Z . 即32k ω=，k ∈Z .又0ω>，所以*k ∈N . 当1k =时，32ω=，3()sin 2f x x =，其周期为43π， 此时()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数； 当k ≥2时，ω≥3，()sin f x x ω=的周期为2πω≤2433ππ<， 此时()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是增函数. 所以，32ω=. ……………………………………………10分。
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1 Q = 0 ，得 Q = 5000 ，----------------------(5 分) (5 500 1 又 L' ' ( x ) = − < 0 ,----------------------------------------------(7 分) (7 500
∴当 x = 5000 时，获得最大利润 L(5000) = 15000 .-----------(8 分) (8
小, sin 2 x ≤ 1 为有界变量，-------(2 分) 无穷小 x →∞ x + 1 x sin 2 x = 0.-------------------------------------------(5 分) ∴ lim 2 (5 x →∞ x + 1
八、证明 设 x = 1 − y ，则 dx = − dy , 1 − x = y .-------------------------------(1 分) (1
∫ x [ f ( x ) + f (1 − x )] dx
1 0
= ∫ (1 − y )[ f (1 − y ) + f ( y )](− dy ) -----------------------------------(2 分) (2
η=
＝
Q' EQ ＝ P -------------------------------------------------(3 分) (3 Q EP
100000e −4 P ⋅ ( −4) P ＝ 4 P .----------------------------------(6 分) (6 100000e −4 P
1 1 0 0
1 (4 ∫ x [ f ( x ) + f (1 − x )] dx = 2 ∫ [ f ( x ) + f (1 − x )] dx .--------------------(4 分)
1 1 0 0
(
)
−
1 dy = 2 x arctan − 1 dx .-----------------------------------------(6 分) (6 x （ 2） 解 dy = 2 xf ' ( x 2 ) ,-----------------------------------------------------(3 分) (3 dx
∫
4 0
16 − x dx = ∫ 2 16 cos 2 tdt -------------------------------------(3 分) (3
2 0
π
= ∫ 2 8(1 + cos 2t )dt ---------------------------------------(4 分) (4
2
ex −1− x ex −1 1 1 ＝ lim x ---------(3 分) （2）解 lim − x (3 ＝ lim x →1 xe + e x − 1 x →1 x e − 1 x →1 x e x − 1
(
)
ex 1 ＝ lim x ＝ .-------------------------(5 分) (5 x →1 xe + 2e x 2
d2y = 4 x 2 f ' ' ( x 2 ) − 2 f ' ( x 2 ) .--------------------------------------(6 分) (6 2 dx （3）解 各项关于 x 求导,得, 1 − dy dy (4 = e x + y 1 + = 0 ,----------------(4 分) dx dx
1
= ln 2 − [ x − ln(1 + x )] 0 -----------------------------------(5 分) (5
1
= 2 ln 2 − 1 .-------------------------------------------------(6 分) (6 （2）解令 x = 4 sin t (0 ≤ t ≤ π ) , 2 则 dx = 4 cos tdt , 16 − x 2 = 4 cos t ,------------------------------- (2 分) --------------------------------(2
= =
1 1 (4 ∫ 1 − t dt ---------------------------------------------(4 分) 2
1 (t + ln t ) + C -------------------------------------------(5 分) (5 2 1 = 1 + 4 x + ln 1 + 4 x + C .-------------------------(6 分) (6 2
0
π
= [8t + 4 sin 2t ] 02 -----------------------------------------(5 分) (5 = 4π .-------------------------------------------------------(6 分) (6
π
（ 七 、 1） 解
dy 1 − e x + y 1 − x + y = = .----------------------------------------- (6 分) dx 1 + e x + y 1 + x − y
（ 五、 1）解 ∫ xe 2 x dx =
1 2x (3 ∫ xd e -----------------------------------------------(3 分) 2 1 x = e 2 x − ∫ e 2 x dx ---------------------------------------(4 分) (4 2 2 1 x = e 2 x − e 2 x + C ---------------------------------------(6 分) (6 2 4
1 1 Q 2 − 10000 − 8Q − Q 2 − 3Q （2）解 利润 L(Q ) = 21Q − 500 1001
＝ 10Q − 令 L' (Q ) = 10 −
1 Q 2 − 10000 ，--------------------------(3 分) (3 1000
( )
（ 2） 解 令 t = 1 + 4 x , 则 x =
(t − 1)2 , dx = t − 1 dt ,-------------------(2 分) (2
4 2
∫1+
dx 4x
=∫
t −1 dt ------------------------------------------------(3 分) (3 2t
0 1
= ∫ (1 − y )[ f (1 − y ) + f ( y )] dy
1 0
= ∫ (1 − x )[ f (1 − x ) + f ( x )] dx
1 0
= ∫ 1[ f (1 − x ) + f ( x )] dx − ∫ x [ f (1 − x ) + f ( x )] dx .------------(3 分) (3
武汉理工大学 2004 级经济各专业
试题（ 高等数学 B（上）试题（A 卷）答案及评分标准
（ 一、 1）A; （2）C; （3）B; （4）D; （5）A .
nπ （ 二、 1） e 2 ;（2） 3 n sin 3 x + ;（3） 1 − x ;（4） − f (cos x ) + C ;（5） 1 . 2
(
)
（ 六、 1）解 ∫ ln(1 + x )dx = [ x ln(1 + x )]0 − ∫ xd [ln(1 + x )] -------------------(2 分) (2
1 1 1 0 0
= ln 2 − ∫
x dx ----------------------------------------(4 分) (4 01+ x
1 1 dy x 2 -------------------------------(3 分) 四 、 1） 解 （ = 2 x arctan + 1 + x 2 (3 1 dx x 1+ 2 x 1 = 2 x arctan − 1 ,----------------------------(4 分) (4 x