2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一(上)期末数学试卷
浙江省高一上册期末数学试卷
基础课程教学资料高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）= 7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y （x，y∈R），则2x+y=；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E 的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁R B={x|x≤2}，又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁R B）={x|1＜x≤2}，故选A．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故选：B．3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，∴＜，由﹣=====．故选C．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除．函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对．故选A．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故f（x）=sin（2x﹣）．当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，故选：C．8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=2．【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l+2R=30，∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣）2+，∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30﹣2R=15，α=2，故答案为，2．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=﹣；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣．【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0，即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα=﹣．∵⊥，∴•=12﹣20sinα=0，解得sinα=．则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，故答案为：﹣，﹣．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为R；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[，] ．【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=﹣∈[﹣2，+∞）；当x≥1时，f（x）=≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．若函数f（x）=在R上单调递减，则，求得≤a≤，故答案为：R；[，]．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y （x，y∈R），则2x+y=2；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=4．【解答】解：如图所示，①=+=+，与=x+y（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．则2x+y=2．②由②可得：=+，同理可得：=+，∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）=+，又=，∴=1，=1．则3λ+3μ=4．故答案为：2，4．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=+1．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴4﹣x2=b2﹣x2，即b2=4，解得b=±2，当b=﹣2时，函数f（x）=log a=f（x）=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=2时，函数f（x）=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣2，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣2，2a）上单调递增，∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（2a）=1，即f（2a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，∴a+b=﹣1+2=+1，故答案为：+1．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为8．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]，g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为②③．【解答】解：对于①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f（x）=是奇函数h（x）=左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由题意可得：A=2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2），可得：=（x0+）﹣x0=，可得：T=π，∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=，∵|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…4分由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2＜m≤0时，两根和为；当1≤m＜2时，两根和为…15分18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E 的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴=，∴2（t﹣2）x=0，∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2；（2）由（1）得，f（x）=，∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0，}，而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，∴λ∈E；（3）∵f（x）=1﹣，∴f（x）在[a，b]递增，∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，∴，∵b＞a＞0，解得：a=1，b=4．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．【解答】解：（1）依题意，tanα═﹣2，∴==﹣；（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+，|=|||，∴四边形OAQP为菱形，∴S=2S=sinθ，△OAP∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），∴=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2∵﹣≤cosθ≤，∴当cosθ=，即θ=时，f（θ）max=2；当cosθ=﹣，即θ=时，f（θ）min=1．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，此时函数为增函数；当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，此时函数在（﹣1，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数；综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[，+∞）；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=，①当﹣a≤﹣2，即a≥2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；②当﹣a≥2，即a≤﹣2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；④当﹣2＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；综上可得：g（a）=0。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015-2016年浙江省杭州四中吴山校区高一上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=﹣x2+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{（0，1）}C．{1}D．以上均不对2．（3分）与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列函数在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x2 B．y=C．y=（）x D．y=3﹣x4．（3分）函数f（x）=（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值是（）A．a=1或a=2 B．a=1 C．a=2 D．a＞0或a≠15．（3分）已知对数函数f（x）过点（2，4），则f（）的值为（）A．﹣1 B．C．D．16．（3分）函数f（x）=+ln的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，2）与（2，3）7．（3分）设g（x）为R上不恒等于0的奇函数，（a＞0且a≠1）为偶函数，则常数b的值为（）A．2 B．1 C．D．与a有关的值8．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣69．（3分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）10．（3分）设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）11．（4分）幂函数y=xα（α是常数）的图象一定经过点．12．（4分）如图甲是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象：在这些图象中，反映了建议（Ⅰ），反映了建议（Ⅱ）13．（4分）函数f（x）=log2（x﹣1）+的定义域是．14．（4分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足以下两个条件：（1）f（x）在[m，n]上是单调函数；（2）f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（填上所有正确的序号）①f（x）=x2（x≥0）②f（x）=e x（x∈R）③④．15．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2016，且对任意x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3•2x，f（x+6）﹣f（x）≥63•2x则f（2016）=．三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分）16．（10分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}．（1）请用列举法表示集合B，集合C；（2）若A∩B≠∅，求a的值；（3）若∅⊊A∩B，且A∩C=∅，求a的值．17．（10分）设函数f（x）=，且f（﹣2）=3，f（﹣1）=f（1）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）画出f（x）的图象．18．（10分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（﹣x）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=，（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明；（3）当k取何值时，方程f（x）=k在[﹣1，1]上有解．19．（10分）函数f（x）=log a（x﹣3a）与函数（a＞0，且a≠1）在给定区间[a+2，a+3]上有意义．（1）求a的取值范围；（2）若在给定区间[a+2，a+3]上恒有|f（x）﹣g（x）|≤1，求a的取值范围．20．（10分）已知函数，x∈（0，1）．（1）令x1，x2∈（0，1），证明：（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]≥0；（2）若x∈（0，1）时，恒有，求a的值；（3）若x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求的最小值．2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=﹣x2+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{（0，1）}C．{1}D．以上均不对【解答】解；集合M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞），N={y|y=﹣x2+1，x∈R}=（﹣∞，1]，∴M∩N={1}故选：C．2．（3分）与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数B、∵两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数C、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴不是同一个函数D、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数故选：B．3．（3分）下列函数在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x2 B．y=C．y=（）x D．y=3﹣x【解答】解：A．y=x2在（﹣∞，0）上为减函数；B．反比例函数在（﹣∞，0）上为增函数，即该选项正确；C．指数函数在（﹣∞，0）上为减函数；D．一次函数y=3﹣x在（﹣∞，0）上为减函数．故选：B．4．（3分）函数f（x）=（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值是（）A．a=1或a=2 B．a=1 C．a=2 D．a＞0或a≠1【解答】解：由指数函数的定义，得，解得a=2．故选：C．5．（3分）已知对数函数f（x）过点（2，4），则f（）的值为（）A．﹣1 B．C．D．1【解答】解：设对数函数为：f（x）=log a x，对数函数f（x）过点（2，4），可得4=log a2，解得a=，对数函数为：f（x）=log x，f（）==1．故选：D．6．（3分）函数f（x）=+ln的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，2）与（2，3）【解答】解：显然函数f（x）=+ln在定义域内单调递减，故该函数至多有一个零点，故排除D．因为x→1（x＞1）时，ln→+∞，故此时f（x）→+∞；f（2）=2＞0；f（3）=，因为＜1．故f（3）＜0．故f（2）•f（3）＜0．故零点所在的大致区间为（2，3）．故选：B．7．（3分）设g（x）为R上不恒等于0的奇函数，（a＞0且a≠1）为偶函数，则常数b的值为（）A．2 B．1 C．D．与a有关的值【解答】解：因为g（x）是奇函数，f（x）是偶函数，则根据函数奇偶性的性质可得出函数为奇函数，所以m（﹣x）=﹣m（x），即即，解得b=2．故选：A．8．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m 为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4故选：B．9．（3分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x 0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A．10．（3分）设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是（）A．2 B．C．D．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2t2+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （因为2a2t2+at＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴2a2t2+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：t＞或者t＜﹣（舍去），∴≤1，∴a≥，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）11．（4分）幂函数y=xα（α是常数）的图象一定经过点（1，1）．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．故答案为：（1，1）．12．（4分）如图甲是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象：在这些图象中，（1）反映了建议（Ⅰ），（3）反映了建议（Ⅱ）【解答】解：∵建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴图（1）反映了建议（Ⅰ），∵建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴图（3）反映了建议（Ⅱ）．故答案为（1），（3）．13．（4分）函数f（x）=log2（x﹣1）+的定义域是（1，2] ．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得1＜x≤2，即函数的定义域为（1，2]；故答案为：（1，2]；14．（4分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足以下两个条件：（1）f（x）在[m，n]上是单调函数；（2）f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①③④（填上所有正确的序号）①f（x）=x2（x≥0）②f（x）=e x（x∈R）③④．【解答】解：函数中存在“倍值区间”的两个条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数，②，对于①，f（x）=x2（x≥0）在[0．+∞）上单增调，若存在“倍值区间[m，n]，⇒f（m）=2m，f（n）=2n⇒⇒，∴f（x）=x2（x≥0），存在“倍值区间”[0，2]；对于②，f（x）=e x（x∈R）在R上单增调，构建函数g（x）=e x﹣2x，∴g′（x）=e x﹣2，∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2﹣ln2，∴g（x）＞0，∴e x﹣2x=0无解，故函数不存在“倍值区间“；对于③，f（x）=（x≠0），故f（x）在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减，f（0）=0．f（1）=2∴存在“倍值区间”[0，1]；对于④，f（x）=log2（2x﹣），则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[m，n]，∴m，n是方程log2（2x﹣）=2x的两个根，∴m，n是方程22x﹣2x+=0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．故答案为：①③④．15．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2016，且对任意x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3•2x，f（x+6）﹣f（x）≥63•2x则f（2016）=2015+22016．【解答】解：由f（x+2）﹣f（x）≤3•2x①，f（x+6）﹣f（x）≥63•2x②，②﹣①，得f（x+6）﹣f（x+2）≥60•2x=15•2x+2，即f（x+4）﹣f（x）≥15•2x③，由f（x+2）﹣f（x）≤3•2x，得f（x+4）﹣f（x+2）≤3•2x+2，两式相加，得f（x+4）﹣f（x）≤3•2x+3•2x+2=15•2x④，由①④，得f（x+4）﹣f（x）=15•2x，∴f（2016）=f（2012）+15•22012=f（2008）+15•22004+15•22008=…=f（0）+15•22012+15•22008+…+15•24+15•20=2016+15•=2015+22016，故答案为：2015+22016三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分）16．（10分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}．（1）请用列举法表示集合B，集合C；（2）若A∩B≠∅，求a的值；（3）若∅⊊A∩B，且A∩C=∅，求a的值．【解答】解：（1）由题意得：B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3}，C={x|（x﹣2）（x+4）=0}={﹣4，2}；（2）∵A∩B≠∅，∴2∈A或3∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0或9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣3，a=5或a=﹣2，a=5，当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=﹣2时，A={﹣5，3}，满足题意；当a=5时，A={2，3}满足题意，则a=﹣3，﹣2或5；（3）∵∅⊊A∩B且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A，∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得：a=﹣2或a=5，当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}，此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2．17．（10分）设函数f（x）=，且f（﹣2）=3，f（﹣1）=f（1）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）画出f（x）的图象．【解答】解：（Ⅰ）∵f（﹣2）=3，f（﹣1）=f（1），∴；解得，∴f（x）=；（Ⅱ）画出f（x）的图象，如图所示．18．（10分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（﹣x）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=，（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明；（3）当k取何值时，方程f（x）=k在[﹣1，1]上有解．【解答】解：（1）设x∈（﹣1，0）则﹣x∈（0，1）∵∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），且x∈（0，1）时，，∴x∈（﹣1，0）时，有f（x）=﹣f（﹣x）=﹣=﹣．在f（﹣x）=﹣f（x）中，令x=0，f（﹣0）=﹣f（0）⇒f（0）=0．根据周期性和奇函数的特性可得f（1）=0，f（﹣1）=0．综上：当x∈[﹣1，1]时，有：f（x）=．（2）f（x）在（0，1）上是减函数，证明：设0＜x1＜x2＜1则x2﹣x1＞0，0＜x1+x2＜2，∴＞1，．∴f（x2）﹣f（x1）=﹣=＜0，∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在（0，1）上是减函数．（3）由已知可得：当x∈[﹣1，1]时，有：f（x）=．①x∈（0，1），2x∈（1，2），=k，k==，≤=，当且仅当x=0时，表达式取得最大值，当x→1时，k→，方程f（x）=k在（0，1]上有解，k∈（，）．②x∈（﹣1，0），2x∈（，1），﹣=k，k=﹣=﹣，≤=，当且仅当x=0时，表达式取得最小值﹣，当x→﹣1时，k→﹣，方程f（x）=k在（﹣1，0）上有解，k∈（﹣，﹣）．③x=±1，x=0时，f（x）=0，k=0，∴方程f（x）=k在[﹣1，1]上有解，k∈（﹣，﹣）∪{0}∪（，）．19．（10分）函数f（x）=log a（x﹣3a）与函数（a＞0，且a≠1）在给定区间[a+2，a+3]上有意义．（1）求a的取值范围；（2）若在给定区间[a+2，a+3]上恒有|f（x）﹣g（x）|≤1，求a的取值范围．【解答】解：（1）要使f（x）与g（x）有意义，则有，要使f（x）与g（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：，所以0＜a＜1．（2）在给定区间[a+2，a+3]上恒有|f（x）﹣g（x）|≤1，等价于|log a（x﹣3a）（x﹣a）|≤1，即a≤（x﹣2a）2﹣a2≤对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．设h（x）=（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，⇔⇔，∴0＜a≤．20．（10分）已知函数，x∈（0，1）．（1）令x1，x2∈（0，1），证明：（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]≥0；（2）若x∈（0，1）时，恒有，求a的值；（3）若x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求的最小值．【解答】解：（1）令x1，x2∈（0，1），且x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=∵x1，x2∈（0，1），且x1＞x2，∴x1﹣x2＞0，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，故函数，在（0，1）上递增，∴：（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]≥0．（2）当x=时，a∈R，当x∈（0，）时，恒有，⇒a≥，由（1）得，⇒y，在（0，1）上递增，∴a≥；当x∈（，1）时，恒有，⇒a≤，由（1）得，⇒y，∈（，1）上递增∴a≤；综上：a=（3）∵x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，∴x1，x2，x3∈（0，1），由（1）得a=x∈（0，1）时，恒有，≥=．的最小值为0．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
浙江省杭州市高一上期末数学试卷有答案-名师版
2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）x+x﹣3的零点所在的区间是（）4．（3分）函数f（x）=log3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f （x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ．16．（3分）（）+（）= ；log412﹣log43= ．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x 3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=logx+x﹣3的零点所在的区间是（）3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f （x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即xC =或xG=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得xE=，由图象知若f （x ）在区间[m ，n]上的值域为[，]，则区间[m ，n]长度的最大值为x E ﹣x C =﹣=， 故选：B ．14．（3分）设函数f （x ）=|﹣ax|，若对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1，4]，使得f （x 0）≥m ，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1，4]，使得f （x 0）≥m ⇔m ≤f （x ）max ，x ∈[1，4]．令u （x ）=﹣ax ，∵a ＞0，∴函数u （x ）在x ∈[1，4]单调递减， ∴u （x ）max =u （1）=4﹣a ，u （x ）min =1﹣4a ．①a ≥4时，0≥4﹣a ＞1﹣4a ，则f （x ）max =4a ﹣1≥15．②4＞a ＞1时，4﹣a ＞0＞1﹣4a ，则f （x ）max ={4﹣a ，4a ﹣1}max ＞3． ③a ≤1时，4﹣a ＞1﹣4a ≥0，则f （x ）max =4﹣a ≥3． 综上①②③可得：m ≤3．∴实数m 的取值范围为（﹣∞，3]． 故选：D ．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁UM= {1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁UM={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）= 3 ；log412﹣log43= 1 ．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h （x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1 ．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln （x+a ）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A ， 即满足时，（ax+2）•ln（x+a ）≤0对x ∈（﹣a ，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f （x ）=x+，g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则[2﹣f （x 1）]•[2﹣f （x 2）]•[2﹣f （x 3）]•[2﹣f （x 4）]的值为 16 ． 【解答】解：∵令t=f （x ），则y=g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a=t 2﹣at+2a ， ∵g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 故t 2﹣at+2a=0有两个根t 1，t 2，且t 1+t 2=a ，t 1t 2=2a ，且f （x 1），f （x 2），f （x 3），f （x 4）恰两两相等，为t 2﹣at+2a=0的两根， 不妨令f （x 1）=f （x 2）=t 1，f （x 3）=f （x 4）=t 2，则[2﹣f （x 1）]•[2﹣f （x 2）]•[2﹣f （x 3）]•[2﹣f （x 4）] =（2﹣t 1）•（2﹣t 1）•（2﹣t 2）•（2﹣t 2）=[（2﹣t 1）•（2﹣t 2）]2=[4﹣2（t 1+t 2）+t 1t 2]2=16． 故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（ 2分）。
2017杭四分高一上学期期末数学 含答案
20.【解析】（1） f (x) = sin(4x + π ) 6
（2） g(x) = sin(2x − π ) ， 2x − π ∈[− π , 2π ] ，
3
3 33
g(x) = −k ，∴− 3 ≤ k ≤ 3 或 k = −1
2
2
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，又因为
tan
α
= 3 ，代入得：原式 = 9 +1 = − 5 . 1−9 4
19.【解析】（1）若 a = −1 ，则 f (x) = − 2 sin(x + π ) + b −1 ， 4
π + 2kπ < x + π < 3π + 2kπ ，所以单调增区间为：[π + 2kπ , 5π + 2kπ ](k ∈ Z ) .
杭四分（吴山）校区 2016 学年高一（上）数学试卷
命题人：万文涛 审核人：胡俊梅
考试时间：90 分钟 满分：100 分
一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.设集合 S={0,2}，T={0，- 2}，则 S I T =（ ）.
A. {0}
B. {0,2}
C.{- 2,0}
2.若函数
16.函数 y = Asin(ωx + ϕ ) （ A，ω，ϕ 为常数，A>0，ω > 0 ）的部分图象如图所示，下列结论：
①最小正周期为π ；
②将 f (x) 的图象向左平移 π 个单位，所得到的函数是偶函数；
6
③ f (0) = 1；
④ f 12π < f 14π ； 11 13
⑤ f (x) = − f 5π − x
浙江省杭州市高一上学期数学期末调测试卷
浙江省杭州市高一上学期数学期末调测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二下·唐山期中) 已知集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·淄博期中) log15225+lg +lg2+lg5=（）A . 6B . ﹣7C . 14D . 13. （2分）若,的值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 函数f（x）=（x﹣）0+ 的定义域为（）A .B . [﹣2，+∞）C .D .5. （2分） (2020高一下·东莞月考) 若，则点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2020高二下·天津期中) 三个数，，的大小顺序是A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·合肥月考) 函数在上的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·黑龙江模拟) 定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2 ，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，1]B .C . [1，+∞）D .9. （2分）(2020·鄂尔多斯模拟) 若函数的大致图像如图所示，则的解析式可以为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·河南期中) 定义函数为不大于的最大整数，对于函数，有以下四个结论：① ；②在每一个区间 , 上, 都是增函数；③ ；④ 的定义域是 ,值域是 .其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共1题；共1分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 设当时，函数取得最大值，则________.三、解答题 (共5题；共25分)12. （5分） (2016高一下·东莞期中) 计算（1）求值：sin（﹣90°）+3cos0°﹣2tan135°﹣4cos300°．（2）已知tanθ= ，其中θ∈（0，）．求sinθ﹣cosθ的值．13. （5分） (2020高二下·九台期中) 已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数在时有极值，求的解析式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.14. （5分） (2017高一上·黑龙江期末) 已知集合A={x|x＜﹣1或x＞4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．15. （5分） (2019高一上·新津月考) 已知函数，在区间上有最大值，最小值，设函数 .（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.16. （5分） (2018高一上·湖州期中) 已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数．（Ⅰ）求常数k的值；（Ⅱ）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若a=2，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值为1，求实数m的值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共1题；共1分)答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共25分)答案：12-1、答案：12-2、考点：解析：答案：13-1、答案：13-2、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、答案：15-2、答案：15-3、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：。
浙江省杭州市余杭区2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题 含答案
2015学年第一学期期末教学质量检测高一数学试题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，则UCA =A 。
∅ B. {1,3，5｝ C 。
{1,3,6,7} D.{1,3,5,7}2. 当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a =与log ay x =的图象是3．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．2log y x = B ．1y x x=- C ．3y x =- D ．x y tan =4. 把函数sin 3y x =的图像向右平移4π个长度单位，所得曲线的对应函数式 A 。
)433sin(π-=x y B 。
)43sin(π+=x yC.)43sin(π-=x y D 。
)433sin(π+=x y5。
若3cos θ=5(0)2πθ-<<,则cos()6πθ-的值是A ．10433± B ．10334± C ．10433- D ．10433+ 6．函数||()5x f x =的值域是 A.]1,(-∞B. ),1[+∞ C 。
]1,0( D 。
),0(+∞7. 函数230()30151x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 已知()f x 是R 上的增函数，对实数,a b ,若0a b +>，则有A 。
()()()()f a f b f a f b +>-+- B.()()()()f a f b f a f b +<-+- C 。
()()()()f a f b f a f b ->--- D 。
()()()()f a f b f a f b -<-+-9．若log2log 20ab <<，则a ,b 满足的关系是A ．1a b <<B ．1b a <<C ．01a b <<<D ．01b a <<<10．函数sin tan y x x =+，[,]44x ππ∈-的值域是 A。
浙江省杭州市2015_2016学年高一下期末数学试卷附答案解析
2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题.每小题3分.共45分.在每个小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0.1.2}.则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．cos150°的值等于（）A．B．C．D．4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1.1） B．[﹣1.1] C．[﹣1.1） D．（﹣1.1]5．若3x=2.则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．6．设向量=（x.1）.=（1.y）.若•=0.则（）A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =7．设x0为方程2x+x=8的解．若x∈（n.n+1）（n∈N*）.则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象.只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．已知向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.则向量.的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°10．当时.函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1.最小值是﹣1 B．最大值是1.最小值是﹣C．最大值是2.最小值是﹣2 D．最大值是2.最小值是﹣111．若a＞0且a≠1.则函数y=a x与y=loga（﹣x）的图象可能是（）A．B． C．D．12．设G是△ABC的重心.a.b.c分别是角A.B.C所对的边.若a+b+c=.则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0.]恒成立.则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．314．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+.8] B．[2+.+∞） C．[2.+∞） D．[2+.4]15．若直角△ABC内接于单位圆O.M是圆O内的一点.若||=.则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2二、填空题：本大题共8个小题.每小题6分.共36分.16．若集合A={x|x2﹣x≥0}.则A= ；∁R（A）= ．17．若10x=2.10y=3.则103x﹣y= ．18．若扇形的半径为π.圆心角为120°.则该扇形的弧长等于；面积等于．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为.单调递减区间为．20．设α、β∈（0.π）.sin（α+β）=.tan=.则tanα=.tanβ=．21．在矩形ABCD中.AB=2AD=2.若P为DC上的动点.则•﹣的最小值为．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.则实数a的取值范围为．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限.则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共2小题.共719分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中.||=c.||=b．（Ⅰ）若b=3.c=5.sinA=.求||；（Ⅱ）若||=2.与的夹角为.则当||取到最大值时.求△ABC外接圆的面积．25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0.b.c∈R）.若f（1+x）=f（1﹣x）.f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点.从左到右依次为A.B.C.D.是否存在实数t.使得线段|AB|.|BC|.|CD|能构成锐角三角形.如果存在.求出t的值；如果不存在.请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题.每小题3分.共45分.在每个小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0.1.2}.则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合中元素的确定性解答．【解答】解：由题意.集合M中含有三个元素0.1.2．∴A选项1∈M.正确；B选项2∉M.错误；C选项3∈M.错误.D选项{0}∈M.错误；故选：A．2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】不等关系与不等式．【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.∴m＞0..因此.解得m=1．故选：C．3．cos150°的值等于（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把所求式子中的角150°变为180°﹣30°.利用诱导公式cos=﹣cosα化简后.再根据特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos150°=cos=﹣cos30°=﹣．故选D4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1.1） B．[﹣1.1] C．[﹣1.1） D．（﹣1.1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式.解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣x2＞0.解得：﹣1＜x＜1.故函数的定义域是（﹣1.1）.故选：A ．5．若3x =2.则x=（ ）A ．lg3﹣1g2B ．lg2﹣1g3C ．D ．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由 3x =2.根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log 32.再利用换底公式化为．【解答】解：∵3x =2.由指数式与对数式的互化关系可得 x=log 32=.故选D ．6．设向量=（x.1）.=（1.y ）.若•=0.则（ ）A ．||＞||B ．||＜||C ．||=||D ． = 【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断．【解答】解：∵向量=（x.1）.=（1.y ）.•=0.∴•=x+y=0.∴||=.||=.∴||=||.故选：C ．7．设x 0为方程2x +x=8的解．若x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.则n 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得+x 0﹣8=0．令f （x ）=2x +x ﹣8=0.由f （2）＜0.f （3）＞0.可得x 0∈（2.3）．再根据x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.可得n 的值．【解答】解：∵x 0为方程2x +x=8的解.∴+x 0﹣8=0．令f （x ）=2x +x ﹣8=0.∵f （2）=﹣2＜0.f （3）=3＞0.∴x 0∈（2.3）． 再根据x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.可得n=2. 故选：B ．8．要得到函数f （x ）=2sin （2x ﹣）的图象.只需将函数g （x ）=2sin （2x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换.左加右减可得答案．【解答】解：∵f（x）=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）].∴g（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣++）]=2sin[2（x﹣+）]=f（x+）.∴将函数g（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位.得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象．故选：C．9．已知向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.则向量.的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式.求出两个向量的数量积.利用数量积公式求夹角．【解答】解：因为向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.所以4.即64﹣27﹣4=61.所以=﹣6.所以cosθ=.所以θ=120°；故选：C．10．当时.函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1.最小值是﹣1 B．最大值是1.最小值是﹣C．最大值是2.最小值是﹣2 D．最大值是2.最小值是﹣1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先对三角函数式变形.提出2变为符合两角和的正弦公式形式.根据自变量的范围求出括号内角的范围.根据正弦曲线得到函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）.∵.∴f（x）∈[﹣1.2].故选D11．若a＞0且a≠1.则函数y=a x与y=log（﹣x）的图象可能是（）aA．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断．（﹣x）可知函数的定义域为x＜0.且函数单调递减.y=a x 【解答】解：当a＞1时.由y=loga单调递增.当0＜a＜1时.由y=log（﹣x）可知函数的定义域为x＜0.且函数单调递增.y=a x单调递减.a故选：B．12．设G是△ABC的重心.a.b.c分别是角A.B.C所对的边.若a+b+c=.则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心. =﹣×. =. = .又a+b+c=.∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=.∴a﹣b=a﹣c=b﹣c.∴a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0.]恒成立.则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．3【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法令t=sinx.不等式可整理为t2﹣at+2≥0恒成立.得.利用分离常数法求出实数a的最大值即可．【解答】解：设t=sinx.∵x∈（0.].∴t∈（0.1].则不等式即为t2﹣at+2≥0在t∈（0.1]恒成立.即在t∈（0.1]恒成立.∴a≤3．故选：D．14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+.8] B．[2+.+∞） C．[2.+∞） D．[2+.4]【考点】函数的值域．【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1.1].并设.两边平方.根据x的范围即可求出.且得出.从而得出.求导.根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增.从而得出y的范围.即得出函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1.1]；设.则；∵﹣1≤x≤1；∴0≤1﹣x2≤1.；∴2≤t2≤4；∴.且.设y=f（x）；∴；∴.令y′=0得..或0；∴在上单调递增；∴时.y取最小值.t=2时.y取最大值8；∴；∴原函数的值域为．故选A．15．若直角△ABC内接于单位圆O.M是圆O内的一点.若||=.则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点.于是++=2+=3+.所以当和同向时.模长最大．【解答】解：设直角三角形的斜边为AC.∵直角△ABC内接于单位圆O.∴O是AC的中点.∴|++|=|2+|=|3+|.∴当和同向时.|3+|取得最大值|3|+||=+1．故选：C．二、填空题：本大题共8个小题.每小题6分.共36分.（A）= （0.1）．16．若集合A={x|x2﹣x≥0}.则A= （﹣∞.0]∪[1.+∞）；∁R【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A.根据全集R求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0.解得：x≤0或x≥1.即A=（﹣∞.0]∪[1.+∞）.A=（0.1）.则∁R故答案为：（﹣∞.0]∪[1.+∞）；（0.1）17．若10x=2.10y=3.则103x﹣y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：∵10x=2.10y=3.∴103x﹣y=103x÷10y=（10x）3÷10y=23÷3=.故答案为：18．若扇形的半径为π.圆心角为120°.则该扇形的弧长等于；面积等于π3．【考点】扇形面积公式；弧长公式．【分析】利用扇形的弧长公式.面积公式即可直接计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l.扇形的面积为S.∵圆心角大小为α=（rad）.半径为r=π.∴则l=rα==.扇形的面积为S=××π=π3．故答案为：.π3．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为π.单调递减区间为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式.由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：由题意得.f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=.∴最小正周期T==π.由得..∴函数f（x）的单调递减区间是.故答案为：π；．20．设α、β∈（0.π）.sin（α+β）=.tan=.则tanα=.tanβ=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由tan的值.利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1.确定出α的范围.进而sinα与cosα的值.再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围.利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值.所求式子的角β=α+β﹣α.利用两角和与差的余弦函数公式化简后.将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan=.α∈（0.π）.∴tanα==＞1.∴α∈（.）.∴cosα==.sinα==.∵sin（α+β）=＜.∴α+β∈（.π）.∴cos（α+β）=﹣.则cosβ=co s[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣.∴sin=.tan=﹣．故答案为：.﹣．21．在矩形ABCD中.AB=2AD=2.若P为DC上的动点.则•﹣的最小值为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系.求出各向量的坐标.代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数.利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：以A为原点.以AB.AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（0.0）.B（2.0）.C（2.1）.设P（a.1）（0≤a≤2）．=（﹣a.﹣1）.=（2﹣a.﹣1）.=（0.1）.∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时.•﹣取得最小值1．故答案为：1．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.则实数a的取值范围为（﹣∞.2）．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为2a≤lg（x2+100）﹣siny.令z=lg（x2+100）﹣siny.根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值.从而求出a的范围即可．【解答】解：不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.∴2a≤lg（x2+100）﹣siny.令z=lg（x2+100）﹣siny.则z≥lg100﹣1=9.∴2a≤9.解得：a≤2则实数a的取值范围为（﹣∞.2）．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限.则实数a的取值范围为（﹣.0）．【考点】函数的图象．【分析】讨论当x＞0.和x＜0时.函数g（x）=x2﹣ax+2a的取值情况.利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣1.+∞）.设g（x）=x2﹣ax+2a.若﹣1＜x＜0.ln（x+1）＜0.此时要求g（x）在﹣1＜x＜0经过二、三.即此时.即.此时﹣＜a＜0.当x=0时.f（0）=0.此时函数图象过原点.当x＞0时.ln（x+1）＞0.此时要求g（x）经过一四象限.即x＞0时.x2﹣ax+2a＜0.有解.即a（x﹣2）＜x2有解.当x=2时.不等式等价为0＜4.成立.当0＜x＜2时.a＞.∵此时＜0.∴此时a＜0.当x＞2时.不等式等价为a＜.∵==（x﹣2）++4≥4+2=4+2×2=4+4=8.∴若a＜有解.则a＞8.即当x＞0时.a＜0或a＞8.综上{a|﹣＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|﹣＜a＜0}=（﹣.0）.故答案为：（﹣.0）．三、解答题：本大题共2小题.共719分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24．在△ABC中.||=c.||=b．（Ⅰ）若b=3.c=5.sinA=.求||；（Ⅱ）若||=2.与的夹角为.则当||取到最大值时.求△ABC外接圆的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出cosA.利用余弦定理得出a；（2）利用正弦定理得出外接圆半径.从而得出外接圆的面积．【解答】解：（1）在△ABC中.∵sinA=.∴cosA=．由余弦定理得：||2=a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9+25±18．∴a 2=16或52．∴||=4或2．（2）由题意可知A=.a=2．由正弦定理得.∴R=．∴△ABC 的外接圆的面积S==．25．设函数f （x ）=x 2+bx+c （a ≠0.b.c ∈R ）.若f （1+x ）=f （1﹣x ）.f （x ）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点.从左到右依次为A.B.C.D.是否存在实数t.使得线段|AB|.|BC|.|CD|能构成锐角三角形.如果存在.求出t 的值；如果不存在.请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数的对称轴求出b 的值.根据函数的最小值求出c 的值.从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）分别求出|AB|﹣|CD|.|CB|.得到不等式（2+）＜.解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f （1+x ）=f （1﹣x ）.∴函数的对称轴是x=1.即﹣=1.解得：b=﹣2；∵f （x ）的最小值是﹣1.∴=﹣1.解得：c=0.∴f （x ）=x 2﹣2x ；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点.则0＜t ＜1.易知x A =1﹣.x B =1﹣.x C =1+.x D =1+.∴|AB|﹣|CD|=﹣.|CB|=2.∴线段|AB|.|BC|.|CD|能构成等腰锐角三角形.∴|BC|≤|AB|.即2＜（﹣）.即（2+）＜•.解得：＜t ＜1．2016年8月26日。
杭州四中吴山校区高一年级
杭州四中吴山校区高一年级 2015学年第一学期期中考试数学试题卷命题：刘明哲 校对：顾文铨2015.11一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知{}21,M y y x x ==+∈R ，{}21,N y y x x ==-+∈R ，则M N = （ ） A ．1B ．{}0,1C ．(){}0,1D ．{}12．与y x =为同一函数的是（ ）A ．()2y x =B ．2y x =C ．()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ D ．log a x y a = 3．下列函数在区间(),0-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x = B ．3y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2y x-=4．函数()233x y a a a =-+是指数函数，则有（ ） A ．1a =或2a =B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠5．已知对数函数()f x 过点()2,4，则()42f 的值为（ ）A ．1-B ．0.5C ．0.25D ．16．函数()21ln1f x x x =+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()1,2与()2,37．设()g x 为R 上不恒等于0的奇函数，()()111xf xg x a b ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭（0a >且1a ≠）为偶函数，则常数b 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．与a 有关的值8．已知()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ） A ．4-B ．6C ．6-D ．49．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(),e -∞D ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭10．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，若对任意给定的()1,t ∈+∞，都存在唯一的x ∈R ，满足()()222f f x a t at =+，则正实数．．．a 的最小值是（ ） A ．2B ．12 C ．14D ．18二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11．幂函数y x α=（α是常数）的图象一定经过点__________．12．如图甲是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象：在这些图象中，__________反映了建议（Ⅰ），__________反映了建议（Ⅱ）．图甲y xyx O yx Oyx OOxyO11(4)(3)(2)(1)13．函数()()2log 142x f x x =-+-的定义域是__________．14．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],m n ⊆D ，使得函数()f x 满足以下两个条件： （1）()f x 在[],m n 上是单调函数；（2）()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n ，则称区间[],m n 为()y f x =的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有____________________（填上所有正确的序号） ①()()20f x x x =≥②()()x f x e x =∈R ③()()2401xf x x x =+≥④()21log 28x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．设()f x 是定义在R 上的函数，若()02016f =，且对任意x ∈R ，满足()()232x f x f x +-⋅≤，()()6632x f x f x +-⋅≥则()2016f =__________． 三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分）16．设{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2280C x x x =+-= （1）请用列举法表示集合B ，集合C ； （2）若A B ≠∅ ，求a 的值；（3）若A B ∅ Ü，且A C =∅ ，求a 的值．17．设函数()020x ax b x f x x +<⎧=⎨⎩≥，且()23f -=，()()11f f -=．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）画出()f x 的图象．543214242Oxy18．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()()f x f x -=-，当()0,1x ∈时，()241xx f x =+，（1）求()f x 在[]1,1-上的解析式；（2）判断()f x 在()0,1上的单调性，并证明； （3）当x 取何值时，方程()f x x =在[]1,1-上有解． 19．函数()()log 3a f x x a =-与函数()1log a g x x a=-（0a >，且1a ≠）在给定区间[]2,3a a ++上有意义．（1）求a 的取值范围；（2）若在给定区间[]2,3a a ++上恒有()()1f x g x -≤，求a 的取值范围． 20．已知函数()21xf x x =+，()0,1x ∈． （1）令1x ，()20,1x ∈，证明：()()()12120x x f x f x -⋅-⎡⎤⎣⎦≥； （2）若()0,1x ∈时，恒有223113x x a x x -⎛⎫- ⎪+⎝⎭≥，求a 的值； （3）若1x ，2x ，3x 都是正数，且1231x x x ++=，求222331122222123333111x x x x x x y x x x ---=+++++的最小值．。
浙江省杭州市2015-2016学年高一上学期入学测试数学试题
2015年测试数学试题卷一、选择题（每小题5分，共30分）1、化简：224129(22)x x x -+--的结果是（ ）A 、 1B 、-5C 、5-4xD 、45x -2122122,),(,)24(0),0,x y x y x ax a x x x x y y ++>+=11212、已知（在函数y=a 的图像上，若<则，的大小关系是（ ）A 、12y y >B 、12y y =C 、12y y <D 、12,y y 的大小不能确定 3、有甲、乙、丙三种货物。
若购买甲3件，乙7件，丙1件共需31.5元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需42元，则购买甲、乙、丙各2件共需（ ）元。
A 、19.6 B 、21 C 、22.4 D 、244、方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+==22x x y a y 有四组不同的解，则a 的取值范围是( )A 、 a ＞49-B 、 49- ＜a ＜49 C 、 0＜a ≤49 D 、 0＜a ＜495、如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在抛物线Y= -x 2+2上，则点E 的坐标是( )A 、 (21213- , 23213- ) B 、(23213- , 21213- ) C 、(21213-,23213+ ) D 、(23213+ , 21213- ) BCY= -x 2+2E AFxOyD111111,3,2,16222-++-++-+=++=++=b ca a bc c ab c b a c b a abc 则、若的值为（ ）21-、A 32-、B 1、C 2、D二、填空题（每小题5分，共30分）7、如图，已知正方形ABCD 的中心为O ，面积为300cm 2，P 为正方形内的一点，且∠OPB=45， PA ∶PB=3∶4，则PB= cm 。
2312128310819x x x x x x -+=+-=、已知，是方程的两实根，则 。
浙江省杭州市余杭区高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市余杭区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3，5} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y=log2x B．y=x﹣C．y=﹣x3D．y=tanx4．把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y=sin（3x﹣）B．y=sin（3x+）C．y=sin（3x﹣）D．y=sin（3x+）5．若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A． B．C． D．6．函数f（x）=5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（0，1] D．（0，+∞）7．函数f（x）=的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若a+b＞0，则有（）A．f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b） B．f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）9．若log a2＜log b2＜0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜110．函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]11．若sin（α+β）=，则为（）A．5 B．﹣1 C．6 D．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）=3sin（x+），则f（x）的周期是；f（π）=．14．若tanα=2，则=；sinα•cosα=．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是．16．若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值X围是．17．已知f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则a的取值X围是．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）某某数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，某某数m的取值X围．21．已知函数f（x）=2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）=，，求cos2x0的值．22．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．2015-2016学年某某省某某市余杭区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3，5} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴∁U A={1，3，6，7}，故选：C．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】作图题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据底数与指数（对数）函数单调性即可判断．【解答】解：a＞1时，函数y=a x与y=log a x的均为增函数，故选：B．【点评】本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y=log2x B．y=x﹣C．y=﹣x3D．y=tanx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可判断出A错误，可判断y=x和y=在（0，1）内单调递增便可判断B错误，而根据奇函数和减函数的定义即可判断出C正确，根据y=tanx 的图象便可判断出D错误．【解答】解：A．根据y=log2x的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x和在（0，1）内都单调递增，∴在（0，1）内单调递增，∴该选项错误；C．y=﹣x3为奇函数，且x增大时，y减小，∴该函数在（0，1）内单调递减，∴该选项正确；D．由y=tanx的图象知该函数在（01，1）内单调递增，∴该选项错误．故选C．【点评】考查奇函数图象的对称性，一次函数和反比例函数的单调性，奇函数和减函数的定义，清楚y=log2x和y=tanx的图象．4．把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y=sin（3x﹣）B．y=sin（3x+）C．y=sin（3x﹣）D．y=sin（3x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式为y=sin[3（x﹣）]=sin（3x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A． B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinθ，代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：∵﹣＜θ＜0且cosθ=，∴sinθ=﹣=﹣，∴cos（θ﹣）=cosθ+sinθ=+=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．6．函数f（x）=5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（0，1] D．（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在x上加绝对值的图象表明去掉绝对值后的原函数图象只保留x＞0部分，然后关于y轴对称后得到的图象就是填绝对值的图象．【解答】解：∵y=5x为指数函数，且其图象是过（0，1），单调递增的，而y=5|x|的左侧图象是指数函数y=5x的图象中y轴右侧的图象关于y轴对称后产生的新的图象，具体图象如下：故选：B．【点评】本题主要考查指数函数图象，和在x上填绝对值后的图象特点．属于基础题．7．函数f（x）=的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出分段函数的图象，数形结合可得．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象（如图），数形结合可得最大值为4，故选：D．【点评】本题考查函分段函数图象，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若a+b＞0，则有（）A．f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b） B．f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）【考点】函数单调性的性质．【专题】证明题．【分析】先利用不等式的性质将a+b＞0转化为两实数的大小形式，再利用函数f（x）的单调性，比较函数值的大小，最后利用同向不等式相加性得正确不等式【解答】解：∵a+b＞0，∴a＞﹣b，b＞﹣a∵函数f（x）是R上的增函数∴f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a）∴f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）故选 A【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用函数的单调性比较大小的方法，转化化归的思想方法9．若log a2＜log b2＜0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：∵log a2＜log b2＜0=log a1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，∵2＞1，要使log b2＜0∴0＜b＜1∵log a2＜log b2＜0，∴a＞b，且0＜a＜1，∴0＜b＜a＜1．故选：D．【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．10．函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数的单调性求得函数值域．【解答】解：∵函数y=sinx+tanx在x∈[﹣，]上为增函数，∴，．故选：D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题．11．若sin（α+β）=，则为（）A．5 B．﹣1 C．6 D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】由两角和差的正弦公式，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除求得的值．【解答】解：由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ﹣cosαsinβ=，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，∴=5，故选A．【点评】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求出sinαcosβ=，cosαsinβ=，是解题的关键．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函方程转化为f（t）=，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设t=f（a）+，则条件等价为f（t）=，若x≤0，则﹣x≥0，∵当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，∴当﹣x≥0时，f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x），即f（x）=﹣（x+1）2+1，x≤0，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由﹣（x﹣1）2+1=，得（x﹣1）2=，则x=1+或x=1﹣，∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（t）=得解为t1=1+或t2=1﹣，t3=﹣1﹣，t4=﹣1+；由t=f（a）+得，若t1=1+，则f（a）+=1+，即f（a）=+＞1，此时a无解，若t2=1﹣，则f（a）+=1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若t3=﹣1﹣，则f（a）+=﹣1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若t4=﹣1+，则f（a）+=﹣1+，即f（a）=﹣+∈（﹣∞，0），此时a有2个解，故共有2+2+2=6个解．故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）=3sin（x+），则f（x）的周期是4π；f（π）=．【考点】正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用三角函数的周期公式可求周期，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵f（x）=3sin（x+），∴f（x）的周期T==4π，f（π）=3sin（+）=3sin=3sin=．故答案为：4π，．【点评】本题主要考查了三角函数的周期公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．14．若tanα=2，则=2；sinα•cosα=．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==tanα=2，sinα•cosα===，故答案为：2；．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是16．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为：R，所以2R+2R=16，所以R=4，扇形的弧长为：8，半径为4，扇形的面积为：S=×8×4=16故答案为：16．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．16．若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值X围是（﹣12，0）．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，得到，解得即可．【解答】解：∵f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，即解得﹣12＜a＜0，故a的取值X围为（﹣12，0），故答案为：（﹣12，0）．【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．17．已知f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则a的取值X围是﹣4＜a＜0．【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则内函数t=4﹣ax在区间[﹣1，3]上是增函数，且恒为正，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，故内函数t=4﹣ax在区间[﹣1，3]上是增函数，且恒为正，故，解得：﹣4＜a＜0，故答案为：﹣4＜a＜0．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于．【考点】函数的周期性；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题意，算出f（x+2）=f（x），得f（x）是最小正周期为2的周期函数．从而算出f（log29）=f（log2）．由x∈（0，1]时f（x）=2x，结合f（x+1）f（x）=1算出f（log2）==，即可得到所求的函数值．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）===f（x），可得f（x）是最小正周期为2的周期函数∵8＜9＜16，2＞1∴log28＜log29＜log216，即log29∈（3，4）因此f（log29）=f（log29﹣2）=f（log2）∵f（log2）==而f（log2）==，∴f（log29）=f（log2）==故答案为：【点评】本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值．着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的X围可得φ，可得解析式；（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）某某数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，某某数m的取值X围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【专题】证明题；综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由单调性的定义可得；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．【解答】解：（1）由函数为奇函数可得f（0）==0，解得a=﹣1；（2）由（1）可得f（x）===1﹣，可得函数在R上单调递增，下面证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，∴函数f（x）=R上的增函数；（3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题．21．已知函数f（x）=2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）=，，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数可得解析式f（x）=2sin（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+，即可解得f（x）的单调递减区间．（2）由（1）及，则可求，由，可求2x0+∈[，]，解得cos（2x0+）=﹣，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．2分）【解答】（本题满分为12分）解：（1）由f（x）=2x﹣1得：f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．…由2kπ≤2x+≤2kπ+得k≤x≤k，（k∈Z）．所以函数f（x）的单调递减区间是[k，k]，（k∈Z）．…（2）由（1）知，，又由已知，则．…因为，则2x0+∈[，]，因此，所以cos（2x0+）=﹣，…于是cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=（﹣）×+=．…【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）求得∴∠DCQ+∠BCP=，即可判断∠PCQ的大小；（3）表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值．【解答】解：（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，…化简得：y=（0＜x＜1）…（2）tan∠DCQ=1﹣y，tan∠BCP=1﹣x，…tan（∠DCQ+∠BCP）==1 …∵∠DCQ+∠BCP∈（0，），∴∠DCQ+∠BCP=，∴∠PCQ=﹣（∠DCQ+∠BCP）=，（定值）…（3）S=1﹣﹣（1﹣x）﹣（1﹣y）=（x+y﹣xy）=•…令t=2﹣x，t∈（1，2），∴S=•（t+）﹣1，∴t=时，S的最小值为﹣1．…【点评】本题考查三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一(上)期末数学试卷含答案
2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）．1．（3.00分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，R为实数，Z为整数集，则（∁R A）∩Z=（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣3≤x≤1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．（3.00分）给定集合M={，k∈Z}，N={x|cos2x=0}，P={a|sin2a=1}，则下列关系式中，成立的是（）A．P⊂N⊂M B．P=N⊂M C．P⊂N=M D．P=N=M3．（3.00分）点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则Q点坐标（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）4．（3.00分）已知幂函数为奇函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，则f（x）=（）A．y=x3 B．y=x C．y=x﹣3D．y=x﹣25．（3.00分）已知tanθsinθ＜0，且|sinθ+cosθ|＜1，则角θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．（3.00分）给出下列说法：①函数的对称中心是；②函数单调递增区间是；③函数的定义域是；④函数y=tanx+1在上的最大值为，最小值为0．其中正确说法有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3 8．（3.00分）若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）A．b2﹣4ac＞0，a＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．﹣＞0 D．﹣＜09．（3.00分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]10．（3.00分）直线y=5与y=﹣1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（）A． B．m≤3，n=2 C．D．m＞3，n=2二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）．11．（4.00分）cos660°=．12．（4.00分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．13．（4.00分）求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值，最小值．14．（4.00分）已知函数，则f（x）的单调增区间为，的解集为．15．（4.00分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是．0成立，则代数式的最小值是．三、解答题（本大题共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（12.00分）已知0＜x＜π，且满足．求：（i）sinx•cosx；（ii）．18．（12.00分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象过点，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为高为的正三角形．（1）求A，ω，φ的值；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）的图象的一个对称中心为，求θ的最小值．19．（12.00分）已知函数f（x）=x+．（1）求解不等式f（x）≥2x；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，求c 的取值范围．20．（10.00分）已知函数f（x）=|lnx|，设x1≠x2且f（x1）=f（x2）．（1）求的值；（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）＞M对任意满足条件的x1，x2恒成立，求实数M2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）．1．（3.00分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，R为实数，Z为整数集，则（∁R A）∩Z=（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣3≤x≤1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵A={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x＜﹣3或x＞1}，R为实数，Z为整数集，∴（C R A）={x|﹣3≤x≤1}，∴（C R A）∩Z={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．（3.00分）给定集合M={，k∈Z}，N={x|cos2x=0}，P={a|sin2a=1}，则下列关系式中，成立的是（）A．P⊂N⊂M B．P=N⊂M C．P⊂N=M D．P=N=M【解答】解：N={x|cos2x=0}={x|2={x|x=+，k∈Z}，P={a|sin2a=1}={a|2a=={a|2a=kπ+，k∈Z}，又∵M={=∴p⊂N⊂M故选：A．3．（3.00分）点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：如图所示，；点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则∠POQ=﹣2π=，∴∠xOQ=，∴x=cos=﹣，y=sin=，∴Q点的坐标为（﹣，）；故选：A．4．（3.00分）已知幂函数为奇函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，则f（x）=（）A．y=x3 B．y=x C．y=x﹣3D．y=x﹣2【解答】解：∵f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，∴2m2﹣m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜，∵m∈Z，∴m=0或m=1，若m=0，则f（x）=x﹣3=，是奇函数，满足条件．．若m=1，则f（x）=x﹣2=，是偶函数，不满足条件．故选：C．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵tanθsinθ=•sinθ=＜0，∴cosθ＜0；又|sinθ+cosθ|＜1，∴两边平方得：1+2sinθ•cosθ＜1，∴2sinθ•cosθ＜0，而cosθ＜0，∴sinθ＞0，∴角θ是第二象限角．故选：B．6．（3.00分）给出下列说法：①函数的对称中心是；②函数单调递增区间是；③函数的定义域是；④函数y=tanx+1在上的最大值为，最小值为0．其中正确说法有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①对于函数，令2x+=k•，求得x=﹣，可得它的图象的对称中心是（﹣，0），k∈Z，故①错误．②对于函数=﹣2tan（2x﹣），该函数只有减区间，而没有增区间，故②错误．③对于函数，令2x+≠kπ+，求得x≠kπ+，可得该函数的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}，故③错误．④由于函数y=tanx+1在上单调递增，故它的最大值为tan+1=，最小值为tan（﹣）+1=0，故④正确，7．（3.00分）关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【解答】解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．8．（3.00分）若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）A．b2﹣4ac＞0，a＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．﹣＞0 D．﹣＜0【解答】解：x＞0时，f（x）=ax2+bx+c；此时，f（x）应该有两个单调区间；∴对称轴x=；∴x＜0时，f（x）=ax2﹣bx+c，对称轴x=；∴此时f（x）有两个单调区间；∴当时，f（x）有四个单调区间．9．（3.00分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．10．（3.00分）直线y=5与y=﹣1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（）A． B．m≤3，n=2 C．D．m＞3，n=2称，因为曲线被直线y=5与y=﹣1所得的弦长相等，所以直线y=5与直线y=﹣1关于y=n对称．所以n==2，又因为弦长相等且不为0，所以振幅m＞=3．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）．11．（4.00分）cos660°=．【解答】解：cos660°=cos（720°﹣60°）=cos（﹣60°）=cos60°=，故答案为：．12．（4.00分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．故答案为：y=sin4x．13．（4.00分）求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值lg4，最小值lg．【解答】解：sin2x+2cosx+2=1﹣cos2x+2cosx+2=﹣（cosx﹣1）2+4，∵，∴cosx∈[﹣，1]，当cosx=﹣时，sin2x+2cosx+2取得最小值，即当时，函数有意义，设t=sin2x+2cosx+2，则≤t≤4，则lg≤lgt≤lg4，即函数的最大值为lg4，最小值为lg，故答案为：lg4，lg14．（4.00分）已知函数，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，1] ，的解集为（log4，5﹣] ．【解答】解：∵函数y=5﹣x﹣4x为减函数，且x=1时，y=5﹣x﹣4x=5﹣1﹣4=0，∴当x＞1时，5﹣x﹣4x＜0，此时f（x）=+=5﹣x为减函数，当x≤1时，5﹣x﹣4x≥0，此时f（x）=﹣=4x为增函数，即函数f（x）的单调递增区间为为（﹣∞，1]，当x＞1时，由5﹣x＞得x＜5﹣，此时1＜x＜5﹣，当x≤1时，由4x＞得x＞log4，此时log4＜x≤1，即不等式的解集为（1，5﹣）∪（log4，1]=（log4，5﹣]故答案为：（﹣∞，1]，（log4，5﹣]15．（4.00分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是（）．【解答】解：∵当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，∴a＜0，此时，f（n）＞f（n+1）恒成立，等价于f（8）＞f（9），即64a+8＞81a+9，解得a．∵f（3）＜f（4），∴9a+3＜16a+4解得a，即a∈（）．故答案为：（）．16．（4.00分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是3．【解答】解：因为∀x∈R，f（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，所以，得b2≤4ac，又0＜2a＜b，所以，所以=≥===，设t=，由0＜2a＜b得，t＞2，则≥==[（t﹣1）++6]≥=3，当且仅当时取等号，此时t=4，取最小值是3，故答案为：3．三、解答题（本大题共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（12.00分）已知0＜x＜π，且满足．求：（i）sinx•cosx；（ii）．【解答】解：（i）∵0＜x＜π，且满足．∴（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=，∴sinx•cosx=﹣．（ii）由（i）知，sinx•cosx=﹣．∴sin﹣cosx====，联立，解得sinx=，cosx=﹣，∴==．18．（12.00分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象过点，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为高为的正三角形．（1）求A，ω，φ的值；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）的图象的一个对称中心为，求θ的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC为高为的正三角形，∴A=2，则sin60°==，则AB=BC=4，即函数的周期T=2BC=8=，则ω=，此时f（x）=2sin（x+φ），∵图象过点，∴f（0）=2sinφ=，则sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，即A=2，ω=，φ=；（2）由（1）得f（x）=2sin（x+），当时，即﹣≤x≤，则0≤x+≤，∴当x+=时，函数取得最大值为2，当x+=0时，函数取得最小值为0，即函数f（x）的值域为[0，2]；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g （x）的图象．即g（x）=2sin[（x+θ）+]=2sin（x+θ+），若y=g（x）的图象的一个对称中心为，即×+θ+=kπ，k∈Z则θ=4k﹣，k∈Z．∵θ＞0，∴当k=1时，θ取得最小值此时θ的最小值为4﹣=．19．（12.00分）已知函数f（x）=x+．（1）求解不等式f（x）≥2x；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，求c 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥2x，当x＞0时，x+≥2x，即有x﹣=≤0，解得0＜x≤1；当当x＜0时，x﹣≥2x，即为x+=≤0，解得x＜0．故原不等式的解集为{x|x≤1且x≠0}；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即为+x2+2m（x+）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即有（x+）2﹣2+2m（x+）≥0，令t=x+，2≤t≤，可得t2+2mt﹣2≥0，即有m≥﹣，令h（t）=﹣，h′（t）=﹣﹣＜0，则h（t）为单调递减函数，则h（t）=﹣≤h（2）=﹣1=﹣，即有m≥﹣；（3）函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，可令t=f（x），则g（t）=0，即有方程t=f（x）有6个实根，作出f（x）的图象，如右：当x＞0时，f（x）有最小值2，则t＞2，方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，则即，可得﹣3＜c＜﹣﹣1．20．（10.00分）已知函数f（x）=|lnx|，设x1≠x2且f（x1）=f（x2）．（1）求的值；（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）＞M对任意满足条件的x1，x2恒成立，求实数M 的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|lnx|，x1≠x2且f（x1）=f（x2）．∴lnx1=﹣lnx2，即lnx1+lnx2=ln（x1•x2）=0，即x1x2=1，∴=0（2）不妨令x2＞1，则x1+x2+f（x1）+f（x2）=+x2+2lnx2＞M恒成立，令g（x）=+x+2lnx，x＞1，则g′（x）=﹣+1+=＞0恒成立，则g（x）在（1，+∞）上恒成立，由g（1）=2，可得M≤2，即M的最大值为2。
2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一(上)期末数学试卷
D．{x∈R|x2+2=0}
2． （3.00 分）tan（﹣330°）的值为（ A． B． C． D．
3． （3.00 分）函数 y=
的定义域为（
）
A． （ ，+∞） B．[﹣∞，1） C．[ ，1） 4． （3.00 分） 要得到函数 A．向右平移 C．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 D．向左平移
）
7． （3.00 分）已知函数 f（x）=2x2+mx+4，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则 f （1）的取值范围是（ A．f（1）=14 ）
B．f（1）＞14 C．f（1）≤14 D．f（1）≥14 ） ，β∈（0， C．2α﹣β= ） ，且 tanα= D．2α+β= ，则（ ）
8． （3.00 分）设 α∈（0， A．3α﹣β= B．3α+β=
（Ⅰ）求 f（x）的解析式； （Ⅱ）当 ，求 f（x）的值域．
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17． （10.00 分）已知集合 A={x|
＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（Ⅰ）当 m=3 时，求；A∩（∁ RB） ； （Ⅱ）若 A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数 m 的值． 18． （10.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个钝角 α，β，它 们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为﹣ ． （1）求 tan（α+β）的值； （2）求 α+2β 的值． 19． （10.00 分）已知函数 （1）求实数 m 的值； （2）是否存在实数 p，a，当 x∈（p，a﹣2）时，函数 f（x）的值域是（1，+ ∞） ．若存在，求出实数 p，a；若不存在，说明理由； （3）令函数 g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）af（x）﹣5，当 x∈[4，5]时，求函数 g（x） 的最大值． 20． （10.00 分）已知函数 g（x）=asinx+bcosx+c （1）当 b=0 时，求 g（x）的值域； （2）当 a=1，c=0 时，函数 g（x）的图象关于 的对称轴． （3）若 g（x）图象上有一个最低点 横坐标缩短到原来的 ，如果图象上每点纵坐标不变， 对称，求函数 y=bsinx+acosx 是奇函数． ，﹣
杭州市数学高一上期末经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>2．(0分)[ID ：12095]已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．(0分)[ID ：12094]设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>4．(0分)[ID ：12090]若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(0分)[ID ：12124]已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－157．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．(0分)[ID ：12084]对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－19．(0分)[ID ：12075]已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．202210．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃11．(0分)[ID ：12056]某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1412．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,613．(0分)[ID ：12061]若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>14．(0分)[ID ：12041]若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．415．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12C ．13D ．－12二、填空题16．(0分)[ID ：12215]已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________17．(0分)[ID ：12211]()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．18．(0分)[ID ：12210]已知log log log 22a a a x yx y +-=，则x y的值为_________________． 19．(0分)[ID ：12200]已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.20．(0分)[ID ：12195]已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑ni n i x x x x ，则1ni i x ==∑__________．21．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.22．(0分)[ID ：12168]若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______.23．(0分)[ID ：12153]若函数f(x)={−x 2+4x,x ≤4log 2x,x >4在区间(a,a +1) 单调递增，则实数a 的取值范围为__________． 24．(0分)[ID ：12147]若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.25．(0分)[ID ：12192]定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________．三、解答题26．(0分)[ID ：12326]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．27．(0分)[ID ：12320]已知函数()221f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.(1)求a 的值； (2)若不等式()24x xf m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 28．(0分)[ID ：12300]设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .29．(0分)[ID ：12274]随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？30．(0分)[ID ：12252]义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <； （2）若不等式()()()222221240f aa x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．A4．A5．C6．A7．D8．C9．C10．C11．C12．D13．A14．C15．B二、填空题16．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题18．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题19．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的20．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以21．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【22．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式23．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab上单调则该函数在此区间的任意24．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）即f（﹣x）∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a）即2x2+（225．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．C解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.3．A解析：A【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ； ∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．5．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．6．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <，解得15a =-，故选：A.【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.9．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.【详解】()()10f x f x ++-=，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），有1011组关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 11．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．13．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．14．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.15．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B.二、填空题16．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中 解析：1 【解析】 【分析】根据二次函数的值域为[0,)+∞，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，所以满足24400m m ⎧∆=-=⎨>⎩，解得1m =.即实数m 的值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.18．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题解析：3+【解析】 【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：2()2x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.【详解】 因为log log log 22a a ax yx y +-=，且x y >， 所以2log log ()2aa x y xy -=，即2()2x y xy -=. 整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x xy y-+=.26432∆=-=，所以3x y =-3x y =+因为0x y >>，所以1xy >.所以3x y=+故答案为：3+【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,， 当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),2,a ⎡-∞-+∞⎣，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.20．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.21．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．22．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】 【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B 的结果.【详解】因为12x -<，所以13x，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2AB =-.故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.23．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意 解析：(−∞,1]∪[4,+∞)【解析】由题意得a +1≤2, 或a ≥4 ，解得实数a 的取值范围为(−∞,1]∪[4,+∞) 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.24．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2解析：23【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解 【详解】 ∵函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即f （﹣x ）()()()()2121x xx x a x x a -==--+--+-，∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ）， 即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ， ∴2a ﹣1＝0，解得a 12=．故2(1)3f = 故答案为23【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．25．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周 解析：16【解析】 【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】 函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称； 又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题 26．（1）()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】 【分析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案； ()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =， 设0x >，则0x -<，则()11xf x x--=+， 又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11xf x f x x-=-=-+， 则()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩；()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；证明：根据题意，设120x x <<，则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 又由120x x <<，则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>； 则()()120f x f x ->，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义．27．(1)1；(2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(3)1k >-. 【解析】 【分析】（1）由题得()f x 的图像关于1x =对称，所以1a =；（2）令2x t =，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立，再求函数的最值得解；（3）令2log (0)t x t =≥，可得11t =或21t k =+，分析即得解.【详解】(1)∵()()2f x f x =-，∴()f x 的图像关于1x =对称，∴1a =.(2)令2(2)x t t =≥，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立. ∴2min 1114m t ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭，∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (3)令2log (0)t x t =≥，则()y g x =可化为()()()22111y t k t k t t k =-+++=---， 由()()110t t k ---=可得11t =或21t k =+，∵()y g x =有4个零点，121=|log |t x =有两个解，∴221=|log |t k x =+有两个零点，∴10,1k k +>∴>-.【点睛】本题主要考查二次函数的对称性的应用，考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.28．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论.【详解】(1)()32f =-,()12log 1032a ∴-=-, 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =; (2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立, ()g x 在[]3,4上为增函数,()31min2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭, 178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.29．(1)()) 0f x x =≥，()()2 05g x x x =≥；(2) 当投资A 产品116万元，B 产品15916万元时，收益最大为16140. 【解析】【分析】（1）设出函数解析式，待定系数即可求得；（2）构造全部收益关于x 的函数，求函数的最大值即可.【详解】（1）由题可设：()f x k =，又其过点()1,0.2，解得：10.2k =同理可设：()2g x k x =，又其过点()1,0.4，解得：20.4k =故())0f x x =≥，()()2 05g x x x =≥ （2）设10万元中投资A 产品x ，投资B 产品10x -，故： 总收益()()10y f x g x =+-()2105x - 7a +t =，则t ⎡∈⎣，则：221455y t t =-++ =2211615440t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 故当且仅当14t =，即116x =时，取得最大值为16140.综上所述，当投资A 产品116万元，B 产品15916万元时，收益最大为16140. 【点睛】 本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合，属函数基础题. 30．(1)答案见解析；(2)0a <或1a >.【解析】试题分析： (1)利用赋值法计算可得()()02,14f f =--=-，设1x <，则21x ->，利用()22f =拆项：()()22f f x x =-+即可证得：当1x <时，()0f x <； (2)结合(1)的结论可证得()f x 是增函数，据此脱去f 符号，原问题转化为()()2222122a a x a x ----+<-在[]1,3上恒成立，分离参数有：222234x x a a x x +-->-恒成立，结合基本不等式的结论可得实数a 的取值范围是0a <或1a >. 试题解析：(1)令，得， 令， 得， 令，得， 设，则， 因为, 所以; (2)设，, 因为所以， 所以为增函数, 所以,即, 上式等价于对任意恒成立， 因为，所以 上式等价于对任意恒成立， 设，（时取等）， 所以， 解得或.。
2021-2022学年浙江省杭州第四中学吴山校区高一上学期期末考试数学试卷带讲解
17.已知函数 ， .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
（1）
（2）最大值为 ，最小值为
【分析】（1）根据整体法解不等式即可求解，
（2）由 得 ，进而可得最值.
【小问1详解】
令 ，解得 ,
所以 的单调递增区间为
【小问2详解】
当 时，则 ，
【小问1详解】
当 时， ，
当 时， ，
．
【小问2详解】
①当 时， ，
当 时， ，
②当 时，
，
当且仅当 即 时，等号成立，
即当 时， ，
综上所述，当 时， 取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
20.已知函数 在 上为奇函数， ， .
所以 在 上为减函数；
【小问3详解】
因为对任意 都有 ,所以对任意 都有 ，
由 在 上为减函数；
所以对任意 都有 ，
所以对任意 都有 ，
因为 ，
所以 即 ，解得
因为 ，
令 ，则 ，
上是增函数，
，
解得 舍去，
当 即 时，
此时 ，
解得 ，所以 .
【点睛】小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到 的范围，再通过换元把 转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高.
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
浙江省杭州第四中学吴山校区2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案
浙江省杭州第四中学吴山校区2022-2023学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{1,3,5,7}B =，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,3} C ．{5,7}D ．{0,1,2,3,5,7}2．命题“Z,Q x x ∀∈∈”的否定是（ ） A ．Z,Q x x ∀∈∈ B ．Z,Q x x ∀∈∉ C ．00Z,Q x x ∃∈∉D ．00Z,Q x x ∃∈∈3．设a ∈R ，则“10a >”是“9a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件4．不等式22x x-≥的解集为（ ） A ．(],2-∞- B ．()2,-+∞ C ．[)2,0-D ．()0,∞+5．下列命题中，正确的是 A ．若ac bc >，则a b > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若 a b >，c d >，则ac bd >D a b <6．函数32()1x xf x x -=+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设x ，y 都是正数，且123x y +=，则2x y +的最小值是（ ）A ．83B ．3C ．92D ．28．若定义在R 上的函数()f x 满足,()(2)0x f x f x ∀∈+-=R ，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减且(5)0f =，则满足0(2)xf x -≥的实数x 的取值范围是（ ） A ．[1,3,][7)⋃+∞-B ．[7,1][0,3]--⋃C ．3)1,[0][⋃-+∞，D ．[1,0][3,7]⋃-二、多选题9．下列四个关系中正确的是（ ） A ．{}11,2,3⊆B ．{}{}11,2,3∈C ．{1,2}{1,2}⊆D ．{1}∅⊆10．下列()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A．()f x =()g x =B ．()1f x =，0()(21)g x x =- C．()f x =()g x =D ．()||f x x =，()g x 11．已知函数223,1(),1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递减，则a 不可能等于（ ） A ．12 B ．1 C ．52 D ．212．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”1,()0,R x Q y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（ ） A ．对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=B ．对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=C ．若a<0，1b >，则有{}{}()()x f x a x f x b >=<D ．存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33,C x f x ，使ABC 为等腰直角三角形三、填空题13．若幂函数()222()1()nnf x n n x n -=+-∈Z 是奇函数．则n =____________．14．函数(x)f ___________.15．函数()2f x x =__________．16．已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.四、解答题17．（1）化简：1130488127-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）已知642log 3x =-，求x 的值．18．函数()f x A ，函数()(04)g x x a x =-<<的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A B B =，求实数a 的取值范围. 19．已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >． (1)求,a b 的值;(2)解不等式2()0-++<cx ac b x b ．20．某品牌电动汽车在某路段以每小时x 千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速60100x ≤≤（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电210800x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭千瓦时，轮胎磨损费为800x元/千米，道路通行费为0.2元/千米． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当行车速度x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．21．已知()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，当[]0,4x ∈时，()()24x xf x a a =+⋅∈R ．(1)求()f x 在[)4,0-上的解析式；(2)若存在[]2,1x ∈--，使得不等式()2xf x m≤成立，求m 的取值范围． 22．若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0x <时，()1f x >． （1）求证：()0f x > （2）求证：()f x 为减函数； （3）当1(4)16f =时，解不等式1(3)(5)4f x f -⋅≤参考答案：1．B【分析】根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为{}0,1,2,3A =，{1,3,5,7}B =， 所以A B ={1,3}， 故选：B 2．C【分析】全称命题的否定为特称命题，变化规则为改量词，否结论. 【详解】改量词：由Z x ∀∈改成0Z x ∃∈； 否结论：对Q x ∈进行否定得0x ∉Q ； 所以原命题的否定为：00Z,Q x x ∃∈∉. 故选：C. 3．A【分析】根据不等式所表示的范围的关系即可得到答案.【详解】根据“10a >”能推出“9a >”，而后者“9a >”推不出“10a >”， 则前者为后者的充分不必要条件， 故选：A. 4．C【分析】将分式不等式移项通分，转化为一元二次不等式进行求解即可. 【详解】解：由22x x-≥得 220x x --≥ 220x xx x -∴-≥ 20x x--∴≥ 即20x x+≤ 等价于()200x x x ⎧+≤⎨≠⎩解得：[)2,0x ∈-故选：C. 5．D【分析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否.【详解】对于A ，取3,1,2a c b =-=-=-，则3,2,ac bc ac bc ==>，但a b <，故A 错； 对于B ，取3,1,5,0a b c d ==-==，则,a b c d >>， 但2,1a c b d -=--=-，a c b d -<-，故B 错； 对于C ，取3,1,0,2a b c d ==-==-，则,a b c d >>， 但0,2ac bd ==，ac bd <，故C 错；对于D ，因为0<22<即a b <，故D 正确；综上，选D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 6．A【分析】由()()f x f x -=-，即函数()y f x =为奇函数，排除B ，D ，再由()10,(2)0f f =>排除C ，得到结论.【详解】因为()321x x f xx -=+，此函数定义域为R ，又因为()()()32()()1x x f x f x x ----==--+，即函数()y f x =为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B ，D ， 当1x =时，()10f =且(2)0f >，故排除C ， 故选：A 7．A【分析】变换()112322x x y y x y ⎛⎫+ ⎪⎝+=⎭+，展开利用均值不等式计算即可.【详解】()114182244333312y x y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫+=+++⎪⎛⎫+= ≥ ⎪⎝⎭= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当4x y y x =，即23x =，43y =时等号成立. 故选：A 8．D【分析】由,()(2)0x f x f x ∀∈+-=R 可得对称中心为()1,0，再结合条件画出()f x 大致图象，数形结合即可求解x 的取值范围.【详解】因为,()(2)0x f x f x ∀∈+-=R ，即()()110f x f x ++-=，()f x 对称中心为()1,0，又()f x 在(,1)-∞上单调递减且(5)0f =，故()f x 大致图象为：由图可知，若0(2)xf x -≥，则满足()020x f x ≥⎧⎨-≥⎩或()020x f x ≤⎧⎨-≤⎩，即[]021,5x x ≥⎧⎨-∈⎩或[]023,0x x ≤⎧⎨-∈-⎩，解得[][]3,71,0x ∈-. 故选：D 9．CD【分析】根据元素和集合，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对选项A ：{}11,2,3∈，错误； 对选项B ：{}{}11,2,3⊆，错误； 对选项C ：{1,2}{1,2}⊆，正确； 对选项D ：{1}∅⊆，正确； 故选：CD 10．CD【分析】依次计算每个函数的定义域和化简解析式，对比得到答案.【详解】()f x =[)1,+∞，()g x (][),11,-∞-+∞，故不是同一个函数，A 错误；()1f x =的定义域为R ，0()(21)g x x =-的定义域为12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，故不是同一个函数，B 错误；()1f x ==，定义域为()0,∞+，()1g x ==，定义域为()0,∞+，故为同一个函数，C 正确；()||f x x =定义域为R，()g x x ，定义域为R ，故为同一个函数，D 正确. 故选：CD. 11．ACD【分析】分段函数R 上单调递减，不仅每一段递减，并且左边一段的最小值不小于右边一段的最大值，列不等式求解即可.【详解】函数223,1(),1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递减 01123a a a a >⎧⎪∴≥⎨⎪-+≥⎩解得413a ≤≤. 则a 不可能等于12,52，2. 故选：ACD. 12．BC【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】解：对于A 选项，当x ∈Q ，则Q x -∈，此时()()1120f x f x +-=+=≠，故A 选项错误；对于B 选项，当任意1Q x ∈时，存在2Q x ∈，则12Q x x +∈，故()()1211f x x f x +==；当任意1R x Q ∈时，存在2Q x ∈，则12R Q x x +∈，故()()1210f x x f x +==，故对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=成立，故B 选项正确；对于C 选项，根据题意得函数()f x 的值域为{}0,1，当a<0，1b >时，{}{}(),()x f x a R x f x b R >=<=，故C 选项正确；对于D 选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：y=上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的①直角顶点A在1横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也①直角顶点A在1应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的①直角顶点A在x轴上，斜边在1横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也①直角顶点A在x轴上，斜边不在1应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC 为等腰直角三角形，故选项D 错误． 故选：BC.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上；直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上；直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上；直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上四种情况讨论求解. 13．1【分析】根据函数为幂函数，则211n n +-=，解出n ，代入函数，分别检验即可. 【详解】若函数为幂函数，则211n n +-=，解得2n =-或1， 又因为当2n =-时，()()2222228n n -=--⨯-=，此时()8f x x =，()()88f x x x -=-=，且定义域为R ，关于原点对称，故此时为偶函数，舍去 当1n =，2221211n n -=-⨯=-，此时()1f x x -=，定义域为()(),00,∞-+∞，关于原点对称，且()()()11f x x x f x ---=-=-=-，故此时为奇函数，故答案为：1. 14．[)3,1--【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性即可求出结果.【详解】函数(x)f 2230x x --+≥，解得31x -≤≤，故函数(x)f =[]3,1-令223u x x =--+，则y =因为函数223u x x =--+在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，且函数y =()0,∞+上单调递增，结合复合函数的单调性可知函数(x)f [)3,1--上单调递增，在(]1,1-上单调递减，故答案为：[)3,1--.15．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】函数()2f x x =令t 0=，则21x t =-. 得22117y 222(),t 048t t t =-+=--+≥.当14t =时，函数有最大值178.所以值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择16 【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a <，当8a ≤-时，()M a ==所以()M a 的最大值为.【点睛】对于含有参数的二次函数综合性质问题，通常要进行分类讨论，数形结合来进行求解.17．（1）72； （2）116.【分析】（1）根据指数幂的运算即可到答案； （2）根据对数的含义得到2364x -=，化简即可. 【详解】（1）原式()1313442373131322-⨯⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭. （2）642log 3x =-，()2264331642216x ---∴====18．(1){1A x x =≤-或3}x ≥，{4}B y a y a =-<<- (2)(,3][5,)-∞-+∞【分析】（1）根据函数的定义域和值域的求法求出集合. （2）根据集合的交并运算以及包含关系求参数范围. 【详解】（1）解：由题意得：①函数()f x A ， 函数()(04)g x x a x =-<<的值域为集合B ，①{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{4}B y a y a =-<<-.（2）①集合A ，B 满足A B B =， ①B A ⊆，①41a -≤-或3a -≥， 解得5a ≥或3a ≤-.①实数a 的取值范围(,3][5,)-∞-+∞. 19．(1)1,2a b == (2)答案见解析.【分析】(1)不等式的解集即是一元二次方程的根,用韦达定理可求出,a b 的值. (2)由(1)知1,2a b ==代入不等式中,根据c 的情况进行分类讨论求出不等式的解集. 【详解】（1）解:由题意可知1x =,x b =为方程2364ax x -+=的两个根, 所以0a ≠,由韦达定理可得, 312b ab a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12a b =⎧⎨=⎩, 故1,2a b ==;（2）由(1)可知1a =,2b =,则不等式为2(2)20-++<cx c x 当0c 时,220x -+<,不等式的解集为{|1}x x >;0c ≠时,(2)(1)0cx x --<,当0c <时,不等式的解集为{2|x x c<或1}x >; 当02c <<时,21c >,不等式的解集为2|1}{<<x x c; 当2c =时,原不等式为22420-+<x x ,故无解; 当2>c 时,21c <,不等式的解集为2{|1}x x c<<．综上: 0c <时,解集为{2|x x c<或1}x >; 0c 时,解集为{|1}x x >;02c <<时,解集为2|1}{<<x x c; 2c =时,解集为空集;2>c 时,解集为2{|1}x x c<<. 20．(1)36003484xy x =++()60100x ≤≤(2)行车速度为x =/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（48）元．【分析】（1）根据题意，计算出电动车行驶的时间和路程，然后列出相应的方程即可. （2）利用基本不等式的性质即可求出最值，注意等号成立的条件即可. 【详解】（1）22403600933600310 1.52400.2240484880080020104x x x x xy x x x ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⨯=+++=++ ⎪⎝⎭()60100x ≤≤．（2）因为60100x ≤≤，360034x x +=≥所以48y ≥，所以行车费最低为（48）元．当360034xx =，即24800x =，[]60,100x =时取得．答：行车速度为x =/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（48）元． 21．(1)42xx f x ；(2)[)1,+∞.【分析】（1）利用()f x 为奇函数得到1a =-，设[)4,0x ∈-，利用奇函数的运算即可得到答案；（2）题意可整理得112x m ⎛⎫≥⎪⎝⎭- 在[]2,1x ∈--上有解，令()112xg x ⎛⎫⎪⎝⎭=-，求其最小值即可求解【详解】（1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]0,4x ∈时，()()24x xf x a a =+⋅∈R ，所以()000240f a =+⋅=，解得1a =-，所以[]0,4x ∈时，()24x xf x =-，当[)4,0x ∈-时，(]0,4x -∈，所以()24x xf x ---=-，又()()f x f x -=-，所以42xx f x，所以()f x 在[)4,0-上的解析式为42xx f x ；（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，42xx f x，所以()224x xxf m x --=-≤可整理得112xm ⎛⎫≥⎪⎝⎭- ，令()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，根据指数函数单调性可得，()112xg x ⎛⎫⎪⎝⎭=-为减函数，因为存在[]2,1x ∈--，使得不等式()2xf x m≤成立，等价于()m g x ≥在[]2,1x ∈--上有解， 所以，只需()()min 11m g x g ≥=-=， 所以实数m 的取值范围是[)1,+∞22．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）不等式的解集为{}|0x x ≥ 【分析】（1）根据抽象函数的关系进行证明即可；（2）根据抽象函数的关系，集合函数单调性的定义可得证明； （3）利用函数的单调性，将不等式进行转化可得答案. 【详解】解：（1）证明：2()()()0222x x xf x f f =+=>（2）证明：设12x x <则120x x -<，()()()11221f x f x x f x ∴-=>()()12f x f x ⇒>, 故()f x 为减函数（3）由211(4)(2)(2)164f f f ==⇒= 原不等式转化为(35)(2)f x f -+≤，结合（2）得：220x x +≥⇒≥ 故不等式的解集为{}|0x x ≥．【点睛】本题主要考查抽象函数的性质及其应用及函数单调性的判断与证明，属于中档题型.。
2023—2024学年浙江省杭州四中吴山高一上学期期末数学试卷
2023—2024学年浙江省杭州四中吴山高一上学期期末数学试卷一、单选题1. 若集合，，，则集合（）A．B．C．D．2. “”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 若，，，则（）A．B．C．D．4. 已知，则（）A．B．C．D．5. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．6. 函数的图象可能是（）A．B．C．D．7. 已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．8. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9. 若，给出下列命题中，错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）A．B．C．D．11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．该图象对应的函数解析式为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在区间上单调递减12. 养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（）A．函数的定义域为，且是奇函数B．对于任意的，都有C．对于任意的，都有D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足三、填空题13. 扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为 _________ ．14. 函数的零点，则的值为____________ ．15. 已知是第二象限角，且，则____________ ．16. 已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ____________ ．四、解答题17. 计算：(1) ；(2) ．18. 已知集合，.(1)当时，求集合；(2)若，求实数的取值范围.19. 某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．(1)求关于的函数解析式，并求出定义域；(2)设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．20. 已知函数．(1)若过定点，求的单调递减区间；(2)若值域为，求a的取值范围．21. 已知函数．(1)求函数在R上的单调递增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．22. 设，函数．(1)若函数为奇函数，求a的值；(2)若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．。
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2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）下列四个集合中，是空集的是（）A．{∅}B．{0}C．{x|x＞8或x＜4}D．{x∈R|x2+2=0}2．（3.00分）tan（﹣330°）的值为（）A．B．C．D．3．（3.00分）函数y=的定义域为（）A．（，+∞）B．[﹣∞，1）C．[，1）D．（，1]4．（3.00分）要得到函数的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位5．（3.00分）当a＞0且a≠1时，函数y=a x﹣1+3的图象一定经过点（）A．（4，1） B．（1，4） C．（1，3） D．（﹣1，3）6．（3.00分）直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的相邻两点间的距离是（）A．πB． C．D．7．（3.00分）已知函数f（x）=2x2+mx+4，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f （1）的取值范围是（）A．f（1）=14 B．f（1）＞14 C．f（1）≤14 D．f（1）≥148．（3.00分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（3.00分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y310．（3.00分）已知函数f（x）=且方程f2（x）﹣af（x）+=0恰有四个不同实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（，）C．（2，4） D．（，]二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷中的横线上．11．（4.00分）已知tanx=，则=．12．（4.00分）已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={x∈Z|x2≤3}，如图阴影部分所表示的集合为．13．（4.00分）f（x﹣1）=x2﹣2x，则=．14．（4.00分）设，则函数的最大值为．15．（ 4.00分）设函数，，，则方程有个实数根．三、解答题：本大题有5小题，共10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（10.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．17．（10.00分）已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为﹣，﹣．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．19．（10.00分）已知函数是奇函数．（1）求实数m的值；（2）是否存在实数p，a，当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；（3）令函数g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，当x∈[4，5]时，求函数g（x）的最大值．20．（10.00分）已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx 的对称轴．（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f=3（n≥2），（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，x n，…，且x n﹣x n﹣1求f（x）的解析式．2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）下列四个集合中，是空集的是（）A．{∅}B．{0}C．{x|x＞8或x＜4}D．{x∈R|x2+2=0}【解答】解：空集是没有任何元素的集合，A中含有元素∅，所以A不正确；B中含有运算0，所以不正确；C中集合是无限集，所以不正确；D中方程无解，所以D是空集，正确．故选：D．2．（3.00分）tan（﹣330°）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：tan（﹣330°）=tan30°=，故选：A．3．（3.00分）函数y=的定义域为（）A．（，+∞）B．[﹣∞，1）C．[，1）D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得＜x≤1，故函数的定义域为（，1]，故选：D．4．（3.00分）要得到函数的图象，只需将函数y=cos3x 的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位【解答】解：∵=cos [﹣（3x ﹣）]=cos （3x ﹣）=cos [3（x ﹣）]，∴将函数y=cos3x 的图象向右平移个单位即可得到函数的图象． 故选：C ．5．（3.00分）当a ＞0且a ≠1时，函数y=a x ﹣1+3的图象一定经过点（ ） A ．（4，1） B ．（1，4） C ．（1，3） D ．（﹣1，3） 【解答】解：∵y=a x ﹣1+3（a ＞0且a ≠1）， ∴当x ﹣1=0，即x=1时，y=4，∴函数y=a x ﹣1+3（a ＞0且a ≠1）的图象过定点（1，4）． 故选：B ．6．（3.00分）直线y=2016与正切曲线y=tan3x 相交的相邻两点间的距离是（ ） A ．πB ．C ．D ．【解答】解：直线y=2016与正切曲线y=tan3x 相交的两点间的距离正好等于y=tan3x 的一个周期， 即，故选：C ．7．（3.00分）已知函数f （x ）=2x 2+mx +4，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f （1）的取值范围是（ ）A ．f （1）=14B ．f （1）＞14C ．f （1）≤14D ．f （1）≥14【解答】解：由已知函数f （x ）=2x 2+mx +4，m ∈R ，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则对称轴x=﹣≥﹣2，所以m≤8，又f（1）=6+m，所以f（1）﹣6≤8，所以f（1）≤14，故选：C．8．（3.00分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．9．（3.00分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．\取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．10．（3.00分）已知函数f（x）=且方程f2（x）﹣af（x）+=0恰有四个不同实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（，）C．（2，4） D．（，]【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解，故x2﹣ax+=0在（1，2]上有两个不同的根，故，解得，＜a＜，故选：B．二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷中的横线上．11．（4.00分）已知tanx=，则=10．【解答】解：∵tanx=，∴原式===10．故答案为：1012．（4.00分）已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={x∈Z|x2≤3}，如图阴影部分所表示的集合为{2} ．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．B={x∈Z|x2≤3}={﹣1，0，1}，则∁U B={x∈Z|x≠0且x≠±1}，则A∩（∁U B）={2}，故答案为：{2}．13．（4.00分）f（x﹣1）=x2﹣2x，则=1．【解答】解：f（x﹣1）=x2﹣2x，则=f[（）﹣1]=2﹣2=3+2=1．故答案为：1．14．（4.00分）设，则函数的最大值为．【解答】解：∵，∴2x∈（0，π），变形可得y==﹣，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，而点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，结合图象可得当直线倾斜角为150°（相切）时，函数取最大值﹣tan150°=，故答案为：．15．（ 4.00分）设函数，，，则方程有2n+1个实数根．【解答】解：当n=1时，f1（x）=|（）|x|﹣|=，即当﹣1≤x≤1时，（）|x|=，或x＜﹣1或x＞1时，（）|x|=，此时方程有22个解，当n=2时，f2（x）=|f1（x）﹣|=，即f1（x）=，f1（x）=，此时方程有23个解，当n=3时，f3（x）=|f2（x）﹣|=，即f2（x）=，f2（x）=，此时方程有24个解，依此类推，方程有2n+1个解．故答案为：2n+1三、解答题：本大题有5小题，共10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（10.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]17．（10.00分）已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【解答】解：（1）当m=3时，由x2﹣2x﹣3＜0⇒﹣1＜x＜3，由＞1⇒﹣1＜x＜5，∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}；（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，∵A=（﹣1，5），∴4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根，∴m=8，此时B=（﹣2，4），满足A∩B=（﹣1，4）．∴m=8．18．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为﹣，﹣．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为﹣，﹣，则A，B的纵坐标分别为=，=．∴tanα==﹣7，tanβ==﹣，∴tan（α+β）==﹣．（2）由于tan2β==﹣，tan（α+2β）==1．由（1）可得α∈（，）、β∈（，π），故α+2β∈（2π，），∴α+2β=．19．（10.00分）已知函数是奇函数．（1）求实数m的值；（2）是否存在实数p，a，当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；（3）令函数g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，当x∈[4，5]时，求函数g（x）的最大值．【解答】解：（1）∵函数是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=±1又m=1时，表达式无意义，所以m=﹣1…（2分）（2）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），①当p＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．此时f（x）为增函数，其值域为（与题设矛盾，无解）；…（5分）②当1≤p≤a﹣2时，有a＞3．此时f（x）为减函数，其值域为（1，+∞）知…（8分）符合题意综上①②：存在这样的实数p，a满足条件，…（9分）（3）∵g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，∴g（x）=﹣ax2+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1①当时，函数g（x）在[4，5]上单调递减所以g（x）max=g（4）=﹣16a+25…（11分）②当时，函数g（x）在[4，5]上单调递增所以g（x）max=g（5）=﹣25a+31…（13分）③当时，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减所以…15分综上①②③，…（16分）20．（10.00分）已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx 的对称轴．（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f=3（n≥2），（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，x n，…，且x n﹣x n﹣1求f（x）的解析式．【解答】解：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c．当a=0时，值域为：{c}．当a≠0时，值域为：[c﹣|a|，c+|a|]．（2）当a=1，c=0时，∵g（x）=sinx+bcosx 且图象关于x=对称，∴||=，∴b=﹣．∴函数y=bsinx+acosx 即：y=﹣sinx+cosx=cos（x+）．由x+=kπ，k∈z，可得函数的对称轴为：x=kπ﹣，k∈z．（3）由g（x）=asinx+bcosx+c=sin（x+∅）+c，其中，sin∅=，cos∅=．由g（x）图象上有一个最低点（，1），所以，∴，∴g（x）=（c﹣1）sin（x﹣）+c．又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c﹣1）sin x+c．又∵f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1、x2、x3…x n、…，且x n﹣x n﹣1=3 （n ≥2 ），所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=，即：2c﹣1=3或1﹣c+c=3（矛盾）或=3，解得c=2 或c=3．当c=2时，函数的f（x）=sin+2，T=6．直线y=3和f（x）=sin+2相交，且x n﹣x n=3 （n≥2 ），周期为3（矛盾）．﹣1当c=3时，函数f（x）=2sin+3，T=6．直线直线y=3和f（x）=2sin+3相交，且x n﹣x n=3 （n≥2 ），周期为6﹣1（满足条件）．综上：f（x）=2sin+2．。