广东省实验中学2013高二上文科数学期末试卷及答案

广东实验中学2012—2013学年（上）高二级期末考试文 科 数 学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是（ ） A ．x e R x x <∈∃0,0B ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．x e R x x ≤∈∃0,0．2．设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．24C ．16D ．14新$课$标$第$一$网3．抛物线22y x =的准线方程为（ ）A ．14y =-B ．18y =-C ．1y =D ．12y =4．“α为锐角”是“0sin >α”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件5．设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．16． 在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列四条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④8．若双曲线193622=-y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．014132=-+y x D ．082=-+y x9．设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点, △21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34 D ．4510．椭圆221259x y +=的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 若线段1PF 的中点M 在y 轴上, 则1PF =（ ）A ．415B ．95 C ．6 D ．711．若圆心在x 轴上、O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是 .12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是。

13．抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点F 的距离.2p MF =则M 的坐标是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 14．(本题满分10分) 已知圆C 方程为：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴(与x 轴不重合)的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程.15．(本题满分12分) 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：经过点)4,0(，离心率为53（1）求C 的方程； （2）求过点)0,3(且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标．16．（本小题满分13分） 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====2，且F 是CD的中点．AF （1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求此多面体的体积．第二部分 能力检测(共50分)A BCDEF17．下列有关命题的说法正确有_________________________(填写序号) ① “若b a bm am <<则,22”的逆命题为真；② 命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”; ③ “命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件；④ 对于常数n m ,，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的充分不必要条件.18．在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分14分）如图,等边三角形OAB 的边长为且其三个顶点均在抛物线)0(22>=p py x C ：上. （1）求抛物线C 的方程;（2）设圆M 过)2,0(D ，且圆心M 在抛物线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？20．(本小题满分12分) 已知数列}{n a 的前n 项和)1,0(≠≠+=p p q p S n n ，求证数列}{n a 是等比数列的充要条件是.1-=q21．(本小题满分14分) 一动圆与圆221:(1)1O x y -+=外切，与圆222:(1)9O x y ++=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程；（2）设过圆心1O 的直线:1l x my =+与轨迹L 相交于A 、B 两点，请问2ABO ∆（2O 为圆2O 的圆心）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程，若不存在，请说明理由.高二文科数学解答：一．选择题11.22(2)2x y ++=；12.3；13.)3,2(p ±； 17.②③; 18. 314.解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32满足题意 ……… 1分新 课 标 第一 网②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d …………3分 ∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为345x y -+=综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………5分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x , 则N 点坐标是()0,0y …7分 ∵OQ OM ON =+， ∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =…………9分 ∵4202=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠ 10分 15. (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4. …… 2分又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，…… 5分∴C 的方程为x 225＋y216＝1. …… 6分(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，…… 7分设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1 …… 8分y2=4y，即x 2－3x －8＝0. …… 10分 解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65.即中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65. …… 12分16.解：（1）取CE 中点P ，连结FP 、BP ， ∵F 为CD 的中点， ∴FP ∥DE ，且FP=.21DE 又AB ∥DE ，且AB=.21DE ∴AB ∥FP ，且AB=FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP ．…2分新*课*标*第*一*网]又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂∴AF ∥平面BCE …………4分（2）∵2AF CD ==，所以△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD …………5分 ∵AB ⊥平面ACD ，DE//AB ∴DE ⊥平面ACD 又AF ⊂平面ACD ∴DE ⊥AF 又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D ∴AF ⊥平面CDE …………7分 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE又∵BP ⊂平面BCE ∴平面BCE ⊥平面CDE ………9分 (3)此多面体是一个以C 为定点，以四边形ABED 为底边的四棱锥，(12)232ABED S +⨯==，………10分 ABDE ADC⊥∴面面等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高………12分133C ABDE V -=⨯= …………13分19.解： (1)由题意知)1234，（B ………3分 抛物线C 方程是24x y =………5分（2）设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过D (0,2)，∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ……………………………7分 令0y =得：22440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x方法1：不妨设12x x >，由求根公式得122a x +=，222a x =………9分 ∴12x x -=又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =，………10分 ∴ 124x x -=，即EG ＝4---------------------------------13分 ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕 20.证明：①必要性：a 1=S 1=p +q . …………1分当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p …………3分若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴q p p p +-)1(=p , …………5分∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1…………6分②充分性当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1…………7分当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1) …………9分211)1()1(-----=n n n n pp p p a a =p 为常数…………11分 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1. …12分 21.解：（1）设动圆圆心为()M x y ，，半径为R ．由题意，得11MO R =+，23MO R =-， 124MO MO +=∴． …………3分 由椭圆定义知M 在以12O O ，为焦点的椭圆上，且a 222413b a c =-=-=∴．∴动圆圆心M 的轨迹L 的方程为22143x y +=． ……6分(2) 设11(,)A x y 、22(,)B x y (120,0y y ><), 则2121122121122ABO S O O y O O y y y =⋅+⋅=-△, ……8分 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22(34)690m y my ++-=,解得1y =2y = …………10分 ∴2234ABO S m =+△,令t =,则1t ≥,且221m t =-, 有22212121213(1)4313ABO t t S t t t t ===-+++△,令1()3f t t t =+, 0)13)((1313)()(,1211211221221>--=--+=-<≤t t t t t t t t t f t f t t 设 )()(12t f t f >∴ )(t f ∴在[1,)+∞上单调递增,有()(1)4f t f ≥=,21234ABO S ≤=△, 此时1t =,0m = ∴存在直线:1l x =,2ABO ∆的面积最大值为3. …………14分。