3、抛物线下有关面积计算
一口气总结33条有关抛物线的结论
一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。
一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二、抛物线的图像特点1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。
2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。
4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。
5. 抛物线的焦距为1/4a。
三、抛物线的焦点及直边1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。
2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。
3. 抛物线是直行的。
四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。
2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。
五、抛物线与拱门的关系1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。
2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。
六、抛物线的几何性质1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。
2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。
3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。
七、抛物线的物理应用1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。
2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。
八、抛物线的数学模型1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。
九、抛物线的轨迹方程1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。
十、抛物线的渐近线1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。
双曲线抛物线焦点三角形面积公式
双曲线抛物线焦点三角形面积公式1. 概述双曲线和抛物线是数学中常见的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角形则是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和面积公式对于理解空间形态和解决实际问题都具有重要意义。
本文将结合双曲线和抛物线的性质，推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。
2. 双曲线和抛物线的定义双曲线是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上两条直线L1和L2，满足这两条直线的距离的差是一个常数，且常数小于0，那么平面上的点P(x, y)满足L1到P点的距离减去L2到P点的距离等于一个常数。
而抛物线则是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上的一个点P(x, y)和一条直线L，使得点P到直线L的距离等于点P到定点F的距离。
其中，定点F称为焦点。
3. 双曲线和抛物线的焦点性质双曲线和抛物线都具有焦点的性质，利用这一性质可以推导出三角形的面积公式。
对于双曲线而言，对于平面上的两点A和B，满足A点到焦点的距离减去B点到焦点的距离等于一个常数。
而对于抛物线而言，对于平面上的三点A、B和C，满足A点到焦点的距离等于B点到焦点的距离等于C点到焦点的距离，并且这个距离等于直线L到焦点的距离。
4. 根据焦点坐标计算三角形面积公式根据双曲线和抛物线的焦点性质，我们可以推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。
以双曲线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2)为双曲线上的两个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形FAB的面积可以表示为S = |(x1 - p)(y2 - q) - (x2 - p)(y1 - q)|而以抛物线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3, y3)为抛物线上的三个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形ABC的面积可以表示为S = |x1(y2 - y3)+x2(y3 - y1)+x3(y1 - y2)|/25. 应用举例通过以上公式，我们可以快速、准确地计算双曲线和抛物线上任意三角形的面积。
抛物线面积方程
抛物线面积方程抛物线面积方程是数学中一种重要的方程形式，描述了抛物线所围成的面积。
我们知道，抛物线是一种非常特殊的曲线，其形状独特而又美妙。
而抛物线面积方程的推导和应用则在很大程度上丰富了我们对抛物线的理解，并为实际问题的解决提供了可靠的数学工具。
首先，我们来看一下抛物线的一般方程形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线通常开口朝上或朝下，而抛物线面积方程则是描述抛物线所围成的曲形区域的面积。
要计算抛物线的面积，我们可以使用定积分的方法。
下面，我们来推导一下抛物线面积方程。
假设有一个抛物线，其方程为y = ax^2 + bx + c，我们希望求解该抛物线从x1到x2之间所围成的面积。
首先，我们将抛物线与x轴交点的x坐标表示为x1和x2，将面积表示为S。
由于抛物线是连续的，我们可以将其分割成无限多个宽度为∆x的矩形区域，并对每个矩形区域的面积进行求和。
即可得到：S = ∫(x1到x2) (ax^2 + bx + c)dx对上式进行积分，可得：S = [a/3 * x^3 + b/2 * x^2 + cx] (x1到x2)接下来，我们将x2代入方程，再减去x1代入方程，就可以得到抛物线从x1到x2之间所围成的面积。
这个结果就是抛物线面积方程的求解结果。
抛物线面积方程的应用非常广泛。
在物理学和工程学中，抛物线面积方程可以用于求解物体的运动轨迹、力学问题和结构设计等。
在经济学和金融学中，抛物线面积方程也可以用于预测市场趋势和分析数据模式等。
总之，抛物线面积方程不仅具有较高的理论价值，而且在实际应用中发挥着重要作用。
然而，需要注意的是，抛物线面积方程只适用于抛物线所围成的区域，并不能求解其他曲线的面积。
因此，在具体问题中应该根据实际情况选择合适的数学方法和工具。
综上所述，抛物线面积方程是研究抛物线面积的重要数学方程。
它通过推导和应用，使我们对抛物线的特性和应用有了更深入的认识。
抛物线焦点三角形的面积
抛物线焦点三角形的面积引言抛物线是一个非常重要的数学概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨抛物线焦点三角形的面积。
什么是抛物线焦点三角形抛物线焦点三角形是指以一个抛物线的两个焦点和抛物线上一点为三个顶点的三角形。
它具有一些特殊的性质，其中最重要的就是其面积的计算方法。
抛物线的基本性质在进一步研究抛物线焦点三角形之前，我们先了解一下抛物线的基本性质：1.抛物线是一个平面曲线，具有轴对称性。
2.抛物线有两个焦点，定义为F1和F2。
3.抛物线上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和是一个固定值，等于抛物线的焦距。
抛物线焦点三角形的性质抛物线焦点三角形具有以下重要性质：1.抛物线焦点三角形的三个顶点分别为两个焦点F1和F2以及抛物线上的一点P。
2.抛物线焦点三角形的高是从点P到抛物线的准线的垂直距离。
3.抛物线焦点三角形的底是由两个焦点F1和F2之间的距离。
抛物线焦点三角形的面积计算抛物线焦点三角形的面积可以通过高和底的长度计算得出。
具体计算方法如下：1.首先，我们需要计算抛物线焦点之间的距离，也就是底的长度。
2.然后，我们需要确定抛物线焦点到抛物线准线的垂直距离，也就是高的长度。
3.最后，我们可以使用三角形的面积计算公式：面积 = 0.5 * 底 * 高计算出抛物线焦点三角形的面积。
抛物线焦点三角形面积的计算示例为了更好地理解抛物线焦点三角形面积的计算方法，我们以一个具体的示例进行说明：假设抛物线的焦点F1和F2的坐标分别为(0, 0)和(2, 0)，而抛物线上的点P的坐标为(1, 1)。
现在我们来计算抛物线焦点三角形的面积。
1.首先，计算底的长度。
根据坐标的差值，我们可以得到底的长度为2。
2.其次，计算高的长度。
高的长度是点P到准线的垂直距离。
我们可以通过焦点到准线的距离和点P到准线的距离的差值来计算。
由于抛物线的准线是 x 轴，所以点P到准线的距离等于点P的 y 坐标值，即1。
抛物线概念与性质
抛物线概念与性质抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍抛物线的概念及其基本性质。
一、抛物线的概念抛物线是平面上的一组点的集合，这组点到给定点（称为焦点）的距离与这组点到给定直线（称为准线）的距离之比是一个常数（称为离心率），这个常数通常用e表示。
根据焦点和准线的位置关系，抛物线可以分为两种情况：准线在焦点的上方或下方。
当准线在焦点的上方时，抛物线的离心率为正；当准线在焦点的下方时，抛物线的离心率为负。
二、抛物线的基本性质1. 对称性抛物线具有对称轴，对称轴是通过焦点和准线的垂直平分线。
对称轴将抛物线分为两个互为镜像的部分。
任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离之比仍为常数。
2. 焦点和准线焦点是抛物线上所有点到准线距离与焦点距离的比值为常数的点，准线是抛物线上所有点到焦点距离与焦点到准线的距离的比值也为常数的直线。
3. 定义方程和参数方程一般情况下，抛物线的定义方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
参数方程则为 x = 2pt，y = pt^2，其中p为参数。
4. 最值抛物线的最高点或最低点称为顶点。
对于抛物线y = ax^2 + bx + c而言，若a > 0，则为开口向上的抛物线，顶点为最低点；若a < 0，则为开口向下的抛物线，顶点为最高点。
顶点坐标可通过求导得到。
5. 弧长和面积抛物线弧长的计算可以使用弧长公式，也可使用曲线积分来求解。
抛物线的面积可通过定积分求解。
具体计算方法可以根据实际问题和数学知识来选择。
6. 抛物线与焦点的关系抛物线上的每一个点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离的两倍。
这一性质在应用中经常被使用。
7. 抛物线的切线和法线抛物线上的任意一点处都存在唯一的切线和法线。
切线通过该点且与对称轴垂直，法线通过该点且与切线垂直。
总结：本文对抛物线的概念进行了简要介绍，并列举了抛物线的基本性质。
抛物线的面积公式
抛物线面积计算公式：S=x^2（1）y。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题，凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）。
另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。
抛物线中三角形面积的计算方法
“抛物线中三角形面积及面积的最值”教学设计
教学目标：1：掌握在抛物线中求三角形面积的方法
2.会利用铅锤高乘水平宽计算一般三角形的面积
教学过程：
一、数学思想方法
分三种情况
1：有一边在坐标轴上
图1，2中A,B两点是抛物线与坐标轴的焦点，AB的长度就是B的横坐标减去A的横坐标，C的纵坐标的相反数就是高线。
以AB为底边，OC长度为高线就能求出面积。
图3中仍以AB为底边，高线就是点C的纵坐标
2、一边与坐标轴平行
当三角形有一边与x轴平行时，已知A的纵坐标就能求出A,C两点的横坐标，这样就能求出线段AC的长度，高线的长度就是A和B两点的纵坐标之差的绝对值。
2、当三边均不与坐标轴平行时
当三边均不与坐标轴平行时，就采取割补法中的割。
分割成两个三角形。
分别以AE为底边，高线就是B,C两点的横坐标差的绝对值。
AE称作铅垂高，B,C两点横坐标差的绝对值称作水平宽。
这种三角形面积的求法就可以采取铅垂高乘水平宽解决。
二、知识应用
•例：如图二次函数与x轴交于点C，与y轴交于点A，B为抛物线与直线AC下方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值。
223 y x x
=--。
各种形体面积体积计算公式
各种形体面积体积计算公式以下是一些常见的形体面积和体积计算公式，其中包括平面图形、三维立体图形和球体的计算公式。
平面图形的面积计算公式：1.长方形的面积：面积=长×宽2.正方形的面积：面积=边长×边长3.圆的面积：面积=π×半径×半径4.椭圆的面积：面积=π×长半轴×短半轴5.三角形的面积（已知底和高）：面积=底×高÷26.三角形的面积（已知三边）：面积=√[s×(s-a)×(s-b)×(s-c)]，其中s=(a+b+c)÷2，a、b、c分别为三角形的三边。
三维立体图形的表面积和体积计算公式：1.立方体的表面积：表面积=6×边长×边长2.立方体的体积：体积=边长×边长×边长3.直方体的表面积：表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)4.直方体的体积：体积=长×宽×高5.圆柱体的表面积：表面积=2×π×半径×(半径+高)6.圆柱体的体积：体积=π×半径×半径×高7.圆锥体的表面积：表面积=π×半径×(半径+斜高)8.圆锥体的体积：体积=1/3×π×半径×半径×高9.球体的表面积：表面积=4×π×半径×半径10.球体的体积：体积=(4/3)×π×半径×半径×半径还有一些特殊形状的面积和体积计算公式：1.梯形的面积：面积=(上底+下底)×高÷22.抛物线围成的区域的面积：面积=π×（r2^2-r1^2），其中r1和r2分别是抛物线上两个不同半径的值3.球冠体的表面积：表面积=2×π×半径×（半径+斜高）4.球冠体的体积：体积=(1/3)×π×(高×高×高-底面积×高)，其中底面积为半径×半径×π以上公式只是一些常见形体的面积和体积计算公式，实际应用中可能会遇到更多特殊的情况需要使用其他公式进行计算。
洛必达法则7种例题高中
洛必达法则7种例题高中
_百度知道
1、圆周率求法问题：假定有一个圆，它的周长比它的直径大2个单位。
使用洛必达法则，就可以求出圆的直径d：d = 2π
2、正比问题：已知x：y = 2：3，y：z = 4：5，使用洛必达法则求出x：z的比例。
x：z = 2：5
3、抛物线面积问题：计算抛物线面积，其中f(x) = x^2 – 4x + 4，同时
x0 = 0，xk = 1，使用洛必达法则。
抛物线面积为：1/3
4、求和问题：已知a(n) = 2n + 1，求Sn，其中n=1,2,3,…,5，使用洛必
达法则。
Sn = 32
5、积分问题：计算下函数积分：∫ 0.4x^4 dx，使用洛必达法则。
积分：17/15 x^5
6、求最小公倍数问题：求最小公倍数，其中m = 8，n = 12，使用洛必
达法则。
最小公倍数：24
7、求行列式值问题：计算3*3的行列式的值，其中A = |-3 8 1|，|2 4 -
5|，|5 4 6|，使用洛必达法则。
行列式值：-219。
中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是中考经典的数学知识，它是一种深受学生喜爱的函数，它可以让学生探索诸多有趣的数学问题。
其中，最大面积问题是抛物线函数中最有趣的数学问题之一，得到学生的广泛关注和深入研究。
最大面积问题的解法主要有两种，一种是利用解析方法，一种是利用数值计算方法。
其中，解析方法是一种比较容易准确求解的方法，可以快速解出动点的最大面积；而数值计算方法则是在解析方法不能求解的情况下，运用数值方法求解最大面积的一种方法。
针对抛物线中动点最大面积问题，使用解析方法时需要先求出抛物线的几何表达式。
一般来说，抛物线的几何表达式可以用如下的方程来表达：y=ax2+bx+c，其中a、b、c都是常数。
既然表达式已经确定，就可以算出动点的最大面积了。
由于一般高中学生对解析几何方法掌握还不够，所以更多情况下老师会让学生使用数值计算方法来解决动点最大面积问题。
使用数值计算方法来求解动点最大面积，一般采用delta x和delta y来代替动点x、y，即delta x=x2-x1，delta y=y2-y1。
用这种方法求出的最大面积为：s=delta x*delta y/2。
求解抛物线中动点最大面积的问题，无论是使用解析方法还是使用数值计算方法，都不能够完全满足学生的需求。
因此，老师需要为学生提供有效的学习教程和实验室设计，使学生能够充分掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。
有效的学习教程可以帮助学生更好的掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。
学生首先要学习和掌握抛物线的几何表达式，以及求出动点最大面积的过程，其次要掌握用数值计算解决问题的方法。
为了让学生更好地掌握求解抛物线中动点最大面积问题的方法，老师可以设计出实验室来帮助学生练习，让学生在实践中更好地学习和熟练掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。
求解抛物线中动点最大面积问题，不仅对学生学习和认识抛物线函数有很大的帮助，而且可以帮助学生了解数学解决问题的思维方式，培养学生分析和解决实际问题的能力，从而提高学生的综合素质。
抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略
图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。
.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在 性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段， 并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的 解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既 要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和 数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多 方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很 好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问 题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围 绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精 心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以 帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得 以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同 方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决 问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提 高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质 之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初 三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结 合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高 频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积 及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公 式（底乘髙的一半）来求,在平面 直角坐标系中求斜三角形的面 积用这个公式难度大，那如何求 呢？那就需要运用转化的方法 把斜三角形分割成底与高分别 与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分 割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜 三角形的面积不仅可以运用分 割法，也可以转换思路，用补形 的方法把不规则图形转化成规 则图形，将斜三角形面积转化 成矩形面积减去三角形的面 积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (： 一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点 ，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点 所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的 面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我 们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点 由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需 使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化 思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点 作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设 出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确 角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是 变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基 础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ， 利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用 公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教 学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、 数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念， 是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度 学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引 领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并 在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的 过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在 学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价 值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层 面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。
专题二十三抛物线与面积问题
专题二十三 抛物线与面积问题知识聚焦面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角．由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线相结合的常见形式之一．解这类问题常用到以下与面积相关的知识：(1)图形的割补； (2)等积变形； (3)等比转化． 例题导航【例1】若抛物线142-+-=m mx x y 经过原点0，与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D.2点拨：由于二次函数142-+-=m mx x y 的图象经过原点，则可得m 的值，然后求出A 、B 两点的坐标，进而求出△OAB 的面积．解答：二次函数142-+-=m mx x y 的图象经过原点，则∴==-,1,01m m 二次函数的解析式为.42x x y -=又抛物线与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则A(4，0)、B(2，-4)，OAB ∆∴的面积.84421||21=⨯⨯=⋅=B y OA S 故选B 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及二次函数图象上点的坐标特征和由点的坐标求面积的方法， 【例2】如图，抛物线2)2(21:21--=x y C 与x 轴分别交于0、A 两点，将抛物线1C 向上平移得到,2C 过点A 作x AB ⊥轴交抛物线2C 于点B ，如果由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线2C 的函数解析式为 ( )4)2(21.2+-=x y A 3)2(21.2+-=x y B 2)2(21.2+-=x y C 1)2(21.2+-=x y D 点拨：根据题意可推知由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO 的面积．然后根据抛物线1C 的解析式求得0、A 两点的坐标，从而求得OA 的长度．最后由矩形的面积公式求得AB 的长度，即求得2C 是由抛物线1C 向上平移多少个单位得到的，解答：如图，连接2,C BC Θ是由抛物线1C 向上平移得到的，∴由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就等于矩形ABCO 的面积．Θ抛物线1C 的解析式是--=2)2(21x y ∴,2抛物线1C 与x 轴分别交于)0,4(、)0,0(A O 两点．2.4.16.4C AB AB OA OA ∴=∴=⋅=∴Θ是由抛物线1C 向上平移4个单位得到的，2C ∴的解析式为,42)2(212+--=x y 即+-=2)2(21x y 2．故选C ．点评：本题主要考查了二次函数的解析式的求法．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标求出线段的长度，从而得出线段之间的关系．【例3】 （2013．泸州）如图①，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为(1，),3-已知抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过三点A 、B 、O(O 为原点)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时点P 的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由（结果均保留根号）．点拨：(1)直接将A 、O 、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；(2)Θ点A 、0关于对称轴对称，连接AB 交对称轴于点C ，点C 即为所求，求直线AB 的函数解析式，再根据点C 的横坐标值，求纵坐标；(3)设><<-y x y x P ,02)(,(0)，用割补法可表示△PAB 的面积，根据面积的表达式再求取最大值时x 的值．解答：(1)将)0,0(、)3,1(、)0,2(O B A --三点的坐标代人),0(2=/++=a c bx ax y 可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=++=+-,0,3,024c c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=.0,332,33c b a 故所求抛物线的函数解析式为.332332x x y --= (2)存在．如图②，=--=x x y 332332Θ∴++-,33)1(332x 抛物线的对称轴为直线=x Θ.1-点C 在对称轴直线1-=x 上，△BOC 的周长∴=++=,2,OB CO BC OB 要使△BOC 的周长最小，必须使CO BC +最小．Θ 点0与点A 关于直线1-=x 对称，BOC CA CO ∆=∴,的周长+=OB ∴++=+,CA BC OB CO BC 当B C A 、、三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，+BC CA 最小，此时△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为,t kx y +=则有⎩⎨⎧-=+=+-.3,02t kt k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-=∴-=332,33t k 直线AB 的解析式为--=x y 33⋅332当1-=x 时，∴-=,33y 所求点C 的坐标为⋅--)33,1((3)设),0,02)(,(><<-y x y x P 则=y .①332332x x --如图③，过点P作y PQ ⊥轴于点x PG Q ⊥,轴于点G ，过点A 作PQ AF ⊥于点F,过点B 作PQ BE ⊥于点E ，则⋅=-=y PG x PQ ,由题意，得=--=∆∆∆BEP AFP AFEB PAB s s s s 梯形=⋅-⋅-⋅+BE PE FP AF FE BE AF 2121)(21--+⋅-+++1（21)2(21)21)(3(21x y y y .②32323)3)(++=+x y y x 将①代人,②得=++-⋅-=∆323)33233(,232x x x s PAB ∴⋅++-=+--839)21(233232322x x x 当21-=x 时，△PAB 的面积最大，最大值为,839此时∴=⨯+⨯-=,43213324133y 点P 的坐标为⋅-)43,21( 点评：本题考查了坐标系中点的坐标求法、抛物线解析式的求法以及根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最；大值等问题．解答本题第(3)问也可以将直线AB 向；上平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P 的坐标．【例4】 （2013．三明）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （-6，0）、B(4，0)、C(O ，8)，把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线=y c ax ax +-102经过点C ，顶点M 在直线BC 上．(1)证明四边形ABDC 是菱形，并求点D 的坐标； (2)求抛物线的对称轴和函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨：(1)根据两点之间的距离公式、勾股定理和翻折的性质可得,AC CD BD AB ===根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标；(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为),,5(n 直线BC 的解析式为,b kx y +=根据待定系数法可求得点M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数解析式；(3)分点P 在CD 的上面和点P 在CD 的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标．解答：(1)),8,0(),0,4(),0,6(C B A -Θ、=∴=+==+=∴AB AC AB .1086,104622AC ．由翻折可得==∴==BD AB CD AC BD AB ,,∴=.AC CD 四边形ABDC 是菱形．.//AB CD ∴∴),8,0(C Θ点D的坐标是(10，8).∴+-=,10)2(2c ax ax y Θ对称轴为直线.5210=--=aax 设点M 的坐标为),,5(n 直线BC 的解析式为∴+=,b kx y ⎩⎨⎧==+.8,04b b k 解得Θ.82.8,2+-=∴⎩⎨⎧=-=x y b k 点M 在直线=y 82+-x 上，.2852-=+⨯-=∴n 又Θ抛物线c ax ax y +-=102经过点C 和点M ，⎩⎨⎧-=+-=∴.25025,8c a a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=∴=.8,52c a 抛物线的函数解析式为.84522+-=x x y (3)存在，△PBD 与△PCD 的面积相等时，点P 的坐标为).38,5(),829,45(21-P P 点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的应用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的应用．【例5】 （2012．呼和浩特）如图①，抛物线)0(2<++=a c bx ax y 与双曲线xky =相交于点A 、B ，且抛物线经过坐标原点，点A 的坐标为（-2，2），点B 在第四象限内，过点B 作直线x BC //轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E ．(1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨：(1)将点A 的坐标代入双曲线方程即可得出k 的值，设点B 的坐标为),0)(4,(>-m m m 根据双曲线方程可得出m 的值，然后分别求出A 、B 、0的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；(2)如图②，根据点B 的坐标，结合抛物线方程可求出点C 的坐标，进而可得出△ABC 的面积，先求出直线AB 的解析式，然后求出点F 的坐标及EF 的长，进而根据BEF AEF ABE S s s ∆∆∆+=可得出答案；(3)先确定符合题意的△ABD 的面积，进而可得出当点D 与点C 重合时，满足条件；当点D 不与点C 重合时，过点C 作AB 的平行线CD ，则可求出 其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标．解答：(1)Θ点,2(-A 2)在双曲线xky =上，=∴k ∴-.4双曲线的解析式为Θ⋅-=xy 4BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍，∴可设点B 的坐标为),0)(4,(>-m m m 代人双曲线解析式得∴=.1m 抛物线<++=a c bx ax y (20)过点).0,0(、)4,1(、)2,2(O B A --⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+-∴.0,4,224c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.0.,3,1c b a 抛物线的解析式为.32x x y --=Θ)2(抛物线的解析式为∴--=,32x x y 顶点),49,23(-E 对称轴为直线,1(23B x Θ-=,43),42-=--∴-x x 解得Θ.4,121-==x x 点C 的横坐标小于+=∴--∴∆4().4,4(,0ABC S C .1521)24()1=⨯+⨯由A 、B 两点坐标为)2,2(-(1，-4)可求得直线AB 的解析式为.22--=x y 如图②，设抛物线的对称轴与AB 交于点F ，连接AE 、BE ，则点F 的坐标为=-=∴⋅-149)1,23(EF ⨯⨯=+=∴⋅∆∆∆EF S S S BEF AEF ABE 2145=+⨯⨯+-|)||(|21|)||(|横横横横E B EF E A ⋅=⨯⨯=+⨯⨯81534521|)||(|4521横横B A ∴=∴=∆∆.158,815)3(ABE ABE S s Θ当点D 与点C 重合时，显然满足条件；当点D 与点C 不重合时，过点C 作AB 的平行线CD ，其对应的一次函数的解析式为,122--=x y 令--=--2122x x .0)4)(3(.012,32=+-∴=-+∴x x x x x 解得4,321-==x x （舍去）．当3=x 时，,18-=y 故存在另一点D （3，-18）满足条件．综上所述，点D 的坐标为（3，-18）或(-4，-4)．点评：此题属于二次函数的综合题，第(1)问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第(2)问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，求解第(3)问的关键是不要漏解．此类综合题目难度较大，注意逐步分析． 培优训练能力达标1．已知二次函数122-+-=m mx x y 的图象经过原点，与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为( )23.A B ．2 C ．121.D2．抛物线542--=x x y 与x 轴交于点A 、B ，点P 在抛物线上，若△PAB 的面积为27，则满足条件的点P 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，抛物线56:21+-=x x y C 与x 轴分别交于A 、B 两点，顶点为M ：将抛物线1C 沿x 轴翻折后再向左平移得到抛物线.2C 若抛物线2C 过点B ，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为N ，则四边形AMCN 的面积为( ) A ．32 B ．16 C ．50 D ．404．（2013．河南）如图，抛物线的顶点为P （-2，2），与y 轴交于点A(O ，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点),2,2(-'P 点A 的对应点为,A '则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．5．（2013．成都）在平面直角坐标系xOy 中，直线k kx y <=为常数）与抛物线2312-=x y 交于A 、B 两点，且点A 在y 轴左侧，点P 的坐标为(0，-4)，连接PA 、PB.有以下说法：.2PA PO =①②;PB 当0>k 时，))((BO PB AO PA -+的值随k 的增大而增大；③当33-=k 时，.2BO BP =PAB BA ∆④;面积的最小值为.64其中，正确的是 （填序号）．6．（2013．佛山）如图①，抛物线+=2ax y ,C bx +经过点).3,4(、)0,3(、)3,0(C B A ⋅ (1)求抛物线的函数解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中的阴影部分）．7．（2013．绥化）如图，抛物线))(2(1a x x ay +-=)0(>a 与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．(1)若抛物线过点),2,2(--M 求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，解答下面的问题：①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使EH CH +的值最小，直接写出点H 的坐标，8．(2013．白银)如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数1)12(2++-+=k x k x y 的图象与x 轴相交于0、A 两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；(3)对于(2)中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使?90ο=∠POB 若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由.拓展提升9．顶点为P 的抛物线322+-=x x y 与y 轴相交于点A ，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P 旋转o 180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y 轴相交于点B ，则△PAB 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．610．如图，抛物线x x y C 2:21+-=与x 轴分别交于A 、0两点，顶点为M.将抛物线1C 关于y 轴对称到抛物线C 2，则抛物线2C 过点0，与x 轴的另一个交点为B ，顶点为N ，连接AM 、MN 、NB ，则四边形AMNB 的面积为( )A.3 B ．6 C ．8 D ．1011．(2012．衡阳)如图，A 、B 两点的坐标分别是(8，0)、(O ，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO(O 为坐标原点)方向向点0匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为)3100(<<t t 秒．解答如下问题： (1)当t 为何值时，?//BO PQ (2)设△AQP 的面积为S ．①求S 与t 之间的函数解析式，并求出S 的最大值；②若我们规定：点P 、Q 的坐标分别为,(1x ),,(、)221y x y 则新坐标),(1212y y x x --称为 “向量PQ”的坐标当S 取最大值时，求“向量PQ ”的坐标.12．（2013．兰州）如图，在平面直角坐标，系xOy 中，A 、B 为x 轴上的两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为),23,0(-点M 是抛物线)0(32:22<--=m m mx mx y C 的顶点． (1)求A 、B 两点的坐标；(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．魔法赛场【例】 (2013．鄂州)在平面直角坐标系中，已知),1,5(),2,3(11-N M 线段11N M 平移至线段MN 处（注：1M 与1,N M 与N 分别为对应点）．(1)若),5,2(-M 请直接写出点N 的坐标； (2)在(1)的条件下，点N 在抛物线+=261x y k x +332上，求该抛物线对应的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若抛物线顶点为B ，与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 的中点，点),0(m C 是y 轴负半轴上一动点，线段EC 与线段BO 相交于点F ，且,3:2:=OF OC 求m 的值；(4)在(3)的条件下，动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少时），将△ABP 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的?41求此时BP 的长度．点拨：(1)根据点1M 移动到点M 时坐标的变化情况，将点1N 的坐标进行相应变化，即可求出点)2(;N 将点N 的坐标代入函数的解析式即可求得k 值；(3)配方后确定点E A B 、、的坐标，根据:CO ,3:2=OF 用m 表示出线段CO 、FO 和BF 的长，利用ABC BFC EBF BEC s S S S ∆∆∆∆=+=21得到有关m 的方程，求得m 的值即可；(4)分、APE BPE ∠>∠APE BPE APE BPE ∠<∠∠=∠、三种情况分类讨论即可，解答：(1)由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点1M 到点M 可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，故点N 的坐标为（5-5，-1+3），即点N 的坐标为(0，2)．)2,0()2(N Θ在抛物线k x x y ++=332612上，∴=∴.2k 抛物线的解析式为.233261++±=x y,)32(61233261)3(22+=++=x x x y Θ).1,3(),2,0(),0,32(--∴E A B 如图②，=-=∴=FO m CO m C OF CO ,),,0(,3:2:Θ=+=+=-∆∆∆BFC EBF BEC S S S m BF m Θ.2332,23⨯⨯=+-+∴∆2121)1)(2332.(21,21m m S ABC ).2(32m -整理，得1,02-=∴=+m m m 或=m .1,0.0-=∴<m m Θ(4)在Rt△ABO 中，===∠322tan BO AO ABO .42,30,33===∠∴AO AB ABO O ①当>∠BPE APE ∠时，则对折后如图③，1A 为对折后A 的对应点，△EHP 是重叠部分，连接E B A Θ.1为AB 的中点，=⋅==∴∆∆∆∆EHP ABP BEP AEP s S s s Θ21⋅===∴∆∆∆∆∆ABP BHP EHP n A ABP s S s S S 41,411∴===∴.1,1HB EH HP H A四边形BPE A 1为平行四边形．,2211====∴AB E E A BP 即=BP 2；②当APE BPE ∠=∠时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意；③当<∠BPE APE ∠时．则对折后如图④，1A 为对折后A 的对应点，△EHP 是重叠部分，E Θ为AB 中点，,4121ABP EHP ABP BEP AEP s s S s s ∆∆∆∆∆=⋅==∴Θ=∴⋅===∴∆∆∆∆BH S S S s ABP HP A EHP EBH 411,121,1===AE HA EH HP 又,2.21=∴AP AP 此时P 点与0点重合，=∴BP .32综上所述，2=BP 或.32点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定、图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． （2013．徐州）如图，二次函数-+=bx x y 22123的图象与x 轴交于点A （-3，O ）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E. (1)请直接写出点D 的坐标：(2)当点P 在线段AO （点P 不与A 、0重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由，。
十大变态数学题
十大变态数学题
1. 三角形的面积问题：已知三角形的三条边长度分别为a、b、c，求该三角形的面积？
2. 抛物线面积计算问题：已知抛物线的准线方程为y=x2，过抛物
线上点P（2，4），求抛物线之下的区域面积？
3. 圆锥体表面积问题：已知圆锥体的底面半径为r，高为h，求
该圆锥体的表面积？
4. 贝塞尔曲线长度计算问题：已知三次贝塞尔曲线的控制点为A1（0，0），A2（2，2），A3（5，3），求该三次贝塞尔曲线的长度？
5. 矩形面积计算问题：已知矩形的边长分别为a、b，求该矩形的
面积？
6. 多边形面积计算问题：已知多边形的顶点坐标为A1（0，0），
A2（3，2），A3（6，4），A4（9，6），求该多边形的面积？
7. 长方体体积计算问题：已知长方体的长宽高分别为a、b、c，
求该长方体的体积？
8. 椭圆面积计算问题：已知椭圆的长轴半径为a，短轴半径为b，求椭圆的面积？
9. 二次曲线长度计算问题：已知二次曲线的准线方程为y = x2 + 3x + 6、过二次曲线关键点P1（-1，4）、P2（2，9），求该二次曲线
的长度？
10. 四元数平方根问题：已知四元数q=(4，3，1，-2)，求四元数
q2=(16，12，4，-8)的平方根？。
抛物线焦点三角形的面积
抛物线焦点三角形的面积一、引言抛物线是一个经典的二次函数，它在数学中有着广泛的应用。
其中，抛物线焦点三角形是一个有趣且重要的几何形状，其面积计算方法也具有一定的难度。
本文将详细讲解如何计算抛物线焦点三角形的面积。
二、抛物线焦点三角形定义抛物线是一个确定了顶点和对称轴的二次函数，其图像呈现出一条平滑的弧线。
在抛物线上选取两个不同的焦点F1和F2，并通过这两个焦点作一条直线L，与抛物线相交于两个不同的点A和B。
连接F1、F2和AB三个点，得到一个三角形AF1B。
这个三角形就是抛物线焦点三角形。
三、求解方法为了计算抛物线焦点三角形的面积，我们需要先求出其底边AB的长度和高H。
其中，底边AB可以通过解析几何或向量法来求解；高H则可以通过利用垂足公式或向量投影公式来计算。
1. 解析几何法假设抛物线方程为y=ax^2+bx+c（a≠0），则可得到以下两个焦点坐标：F1（-p,0）和F2（p,0），其中p=∣b∣/2a直线L的方程为y=kx+d，其中k为斜率，d为截距。
将直线L代入抛物线方程中，得到以下两个交点坐标：A（x1,y1）和B（x2,y2），其中x1,x2=−b±√b^2−4ac/2ay1,y2=ax1^2+bx1+c 和 ay2^2+by2+c底边AB的长度可以通过两点之间的距离公式来计算：AB=√(x1−x2)^2+(y1−y2)^2这样就可以求出抛物线焦点三角形的底边长度了。
接下来，需要求出高H。
将点A作垂线于直线L，得到一个垂足D。
则有以下公式：H=AD=y1-kx1-d/√(k^2+1)这样就可以求出抛物线焦点三角形的高了。
最后，根据三角形面积公式S=½×底边×高，即可计算出抛物线焦点三角形的面积了。
注意：当抛物线开口向上时，其顶点在y轴正半轴上方；当抛物线开口向下时，则在y轴负半轴上方。
2. 向量法假设抛物线方程为y=ax^2+bx+c（a≠0），则可得到以下两个焦点坐标：F1（-p,0）和F2（p,0），其中p=∣b∣/2a向量AF1和AF2的坐标分别为：AF1=<x1+p,y1>AF2=<x2-p,y2>则底边AB的向量为：AB=AF1−AF2=<x1−x2+2p,y1−y2>底边长度可以通过向量模长公式来计算：|AB|=√(x1−x2+2p)^2+(y1−y2)^2接下来，需要求出高H。
曲线与曲面的长度与面积
曲线与曲面的长度与面积在数学中，曲线与曲面是常见的几何概念，它们的长度与面积是我们研究的重点。
本文将探讨曲线与曲面的长度与面积计算方法，并举例说明。
一、曲线的长度计算对于平面曲线来说，我们可以使用弧长公式来计算其长度。
假设曲线方程为y=f(x)，其中a≤x≤b，那么曲线的长度L可以由以下积分求解：L = ∫[a,b]√[1+(f'(x))²]dx其中f'(x)表示曲线的导数。
通过求解上述积分，我们可以得到曲线的长度。
举例来说，考虑一条抛物线y=x²，其中-1≤x≤1。
我们可以计算出该曲线在给定范围内的长度。
首先求导得到f'(x)=2x，然后根据公式计算弧长：L = ∫[-1,1]√[1+(2x)²]dx通过计算上述积分，最终得到该抛物线在-1≤x≤1范围内的长度。
二、曲面的面积计算对于曲面来说，我们可以使用曲面面积公式来计算其面积。
假设曲面方程为z=f(x,y)，其中D为曲面在xy平面上的投影区域，那么曲面的面积S可以由以下积分求解：S = ∬[D]√[1+(fₓ(x,y))²+(fᵧ(x,y))²]dA其中fₓ(x,y)和fᵧ(x,y)分别表示曲面在x和y方向的偏导数，dA表示曲面元素的面积元。
举例来说，考虑一个半径为R的球面，其球心位于原点，那么球面方程可以表示为x²+y²+z²=R²。
我们可以计算出该球面的面积。
首先计算出fₓ(x,y)=fᵧ(x,y)=2z，然后根据公式计算曲面的面积：S = ∬[D]√[1+(2z)²]dA通过计算上述积分，最终得到该球面的面积。
综上所述，曲线与曲面的长度与面积可以通过数学方法计算得出。
这些计算公式为我们研究几何形体提供了有力的工具。
通过适当选择积分范围及运用相关计算方法，我们可以准确求解曲线与曲面的长度与面积问题。
这些计算结果对于实际应用中的建模、工程设计和科学研究等领域都具有重要的意义。
抛物线的面积和边界计算
抛物线的面积和边界计算简介抛物线是一种常见的二次函数曲线，具有一些特殊的性质。
本文将介绍如何计算抛物线的面积和边界。
面积计算要计算抛物线的面积，我们可以使用定积分的方法。
假设给定一个抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
要计算从 x = x1 到 x = x2 这段区间内的抛物线的面积，可以使用下面的公式：$$\text{面积} = \int_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c)dx$$其中，积分符号 $\int$ 表示对 x 进行积分，dx 表示积分的变量。
根据上面的公式，我们可以先将抛物线的方程进行积分，再用积分结果代入 x2 和 x1 所得到的值相减，即可得到面积。
边界计算抛物线的边界是指抛物线上的最高点和最低点，以及与 x 轴交点对应的 x 值。
具体计算方法如下：1. 最高点：抛物线的最高点也就是顶点，我们可以使用顶点的x 坐标和抛物线的方程求得，公式为：$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$2. 最低点：最低点与最高点相对称，因此可以通过最高点的 x 坐标来求得，公式为：$$y_{\text{min}} = ax_{\text{vertex}}^2 + bx_{\text{vertex}} + c $$3. 与 x 轴交点：与 x 轴交点对应的 y 值为 0，因此可以通过求解抛物线方程的根来得到。
假设抛物线的根为 x1 和 x2，可以使用下面的公式来求根：$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$总结本文介绍了如何计算抛物线的面积和边界。
通过使用定积分来计算面积，以及通过求解抛物线方程的根和顶点的 x 坐标来计算边界。
这些计算方法可以帮助我们更好地理解和分析抛物线的性质和特点。
抛物线求积法
抛物线求积法
抛物线求积法是一种用于计算抛物线下面积的方法。
它是一种数学方法，可以用来计算抛物线下面积的大小。
抛物线求积法的基本原理是，将抛物线分割成若干小的矩形，然后将这些小矩形的面积加起来，就可以得到抛物线下面积的大小。
这种方法可以用来计算任何抛物线的下面积，只要将抛物线分割成足够多的小矩形即可。
抛物线求积法的优点是，它可以用来计算任何抛物线的下面积，而且计算结果也比较准确。
另外，它也比较容易理解，不需要太多的数学知识就可以使用。
抛物线求积法的缺点是，它需要将抛物线分割成若干小的矩形，这样会增加计算量，而且计算结果也可能不太准确。
总之，抛物线求积法是一种用于计算抛物线下面积的有效方法，它可以用来计算任何抛物线的下面积，而且计算结果也比较准确，但是它也有一些缺点，比如增加计算量，计算结果可能不太准确等。
关于二次函数求面积的公式
关于二次函数求面积的公式
二次函数的图像为抛物线，求抛物线与 x
轴之间的面积可以使用定积分来计算。
假设二次函数为 f(x) = ax^2 + bx + c，并且在区间 [x1, x2] 上与 x 轴相交，其中 x1 和 x2
是两个相交点的横坐标。
面积的计算公式为：
∫[x1, x2] |f(x)| dx
其中，|f(x)| 表示函数 f(x) 的绝对值。
具体计算步骤如下：
1.求解相交点横坐标：解方程 f(x) = ax^2 + bx + c =
0，得到相交点的横坐标 x1 和 x2。
2.计算面积：使用定积分计算面积，即计算 ∫[x1, x2] |f(x)|
dx。
具体计算方法可以使用积分表或计算工具进行数值计算。
需要注意的是，在计算面积时，要考虑抛物线与 x
轴的相对位置以及可能存在的负值区间，适当进行区间分割或者考虑函数绝对值。
这是一个基本的公式和计算方法，对于特定的二次函数，具体的计算过程可能会有所差异。
如果遇到具体问题，建议使用数学工具或咨询数学专业人士进行准确计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P ·
C
B
O
A
x
【3.二次函数下Βιβλιοθήκη 面积问题】【例1】 如图，已知二次函数y=-x2-bx+c的图象交x
轴于A（-3,0）、B两点，交y轴于C（0,3）点。若E是 直线AC上方的抛物线上的一个动点，ED//y轴与直线 AC交于点D，求△AEC面积的最大值，并求出E的坐 标。 水平宽度 铅垂高度 S 2 y
E C D A
y
C
B D 1 O 1 A x
【例2】如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1， 0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使四 边形PBOC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边 形PBOC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
o
B
x
【变式】
y
E C
D
A
G
B
o
x
【练习1】如图，抛物线顶点C(1，4)，交x轴于点A(3， 0)，交y轴于点B。 （1）求抛物线和直线AB的解析式。 （2）S△CAB 。 （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 9 是否存在一点P，使S△PAB＝ 8 S△CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由