中值定理
中值定理
M = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )} , m = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )}.
渐近线的求法 ⑴水平渐近线 若函数 f ( x ) 满足
移项后即有
f ′ (ξ ) =
f (ξ ) − f ( a ) b −ξ
.
例3
内至少有一个根． 在 ( a, b ) 内至少有一个根．
b 求证： a > 0, b > 0 , 求证：方程 f ( b ) − f ( a ) = x ln f ′ ( x ) a
若函数 f ( x ) 在区间 I 上满足：∀x1 , x2 ∈ I , 上满足：
上的图形是(向上 凸的(或凸弧 向上)凸的 或凸弧)． 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 ．
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2
注：凹弧和凸弧有下面的等价定义
处的曲率为： 在点 ( x, y ) 处的曲率为： y′′ K= 1 + y ′2
(
)
3
.
确定， 若曲线由参数方程 x = x(t ) ，y = y (t ) 确定，其中
x(t ) 和 y (t ) 二阶可导，则 二阶可导，
K=
x′ ( t ) y′′ ( t ) − x′′ ( t ) y′ ( t ) ( x′ 2 + y ′ )
的极值． 则 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值．若 f ′′ ( x0 ) > 0 ，则 f ( x0 ) 为
第一节中值定理
f (x)
a b 2
证
令 则 在
F (x) e
F (x)
f (x)
与
f (x)
x
[a , b ]
上同号,
0
a 1
2 b
且
F ( a ) F (b ) 0 , F ( a ) F (
F ( a ), F ( b ) 0 ,
ab 2
) 0 a b 2 ,b) ) 0
不妨设
例8
在闭区间 [ a , b ] 上连续; 在开区间 ( a , b ) 内可导,又
f ( x )与 g ( x )
设函数
f ( a ) f (b ) 0
当 x [ a , b ] 时,
( a , b ),
g (x) 0
则至少存在一点
使得
f ( ) g ( ) f ( ) g ( )
在 ( a , b ) 内二阶可导
且 f ( a ) g ( a ),
,
f ( c ) g ( c ),
f ( b ) g ( b ), c ( a , b ),
证明 : 至少存在一点
使得 f ( ) g ( ).
( a , b ),
a
c
证
令 ( x ) f ( x ) g ( x ),
(a
2
b ) f (x)
2
显然 ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导,
且 (a )
[ f ( a ) f ( b )] a
2 2
2
(a
2
b ) f (a )
中值定理
( x) f ( x)e x f ( x)e x , 因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
( ) 0,
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
f ( 2 ) 0,
即 2 是 f ( x) 的一个零点；
又因为 f ( x)为二次多项式，最多只能有两个零点， 故 f ( x) 恰好有两个零点，分别在区间 (1, 2) 和 (2, 3) 内.
例 对函数 f ( x) sin2 x 在区间 [0, ] 上 验证
罗尔定理的正确性.
解 显然 f ( x) 在 [0, ] 上连续, 在 0, 内可
f ( x) x, x [0,1]
函数 f ( x) 虽然满足在闭区间[0,1]上连续, 在开区
间(0,1)内可导的条件, 但
f (0) f (1),
显然也没有水平切线. 如图 (c) 所示.
例 1 不求导数，判断函数
f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)
的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
f ( x) C (常数)，x I;
(2) 若 f ( x) g( x)
2.3.1 中值定理
0, 即 [ xf ( x ) ]
x( x ), 则 F ( x ) 在[0, 1]上连续， 在 (0,1)内可导, 且F(0) = F(1) =0， 因此由罗尔定理， 在(0, 1) 内至少存在一点 , 使 即
11
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
C
y = f (x)
A
O a
B
b
6
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m . 则 f ( x ) M .
又已知 f ( x ) 在点 x0 处可导， 则
0 f ( x0 ) f ( x0 ) f +( x0 ) 0
故 f ( x0 ) 0.
5
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 几何解释： 如果曲线 y=f (x) 满足以上三 个条件. 那么，在曲线弧上 至少有一点 C(, f())，曲线 在 C点的切线是水平的. y
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. 不妨设 x1 x0 ,
f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 ( x0 , x1 ), 使得 f ( ) 0.
中值定理
F ( b ) F (a ) = b a , F ′( x ) = 1,
f (b ) f (a ) = f ′(ξ ). ba
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
例4 设函数 f ( x )在[0,1]上连续 , 在( 0,1)内可导, 证明 :
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 ′(ξ ) = 0.
即 f ′( ξ ) f (b) f (a ) F ′ ( ξ ) = 0, F (b ) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) . ∴ = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
当 F ( x) = x,
y
C
y = f ( x)
M
N
D
B
A
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
证 分析 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b ). 分析:
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y = f (a ) + 方程为 ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 定理
尔 Rolle） 定 罗 （ olle） 理 如 函 f (x)在 区 [a, b] 果 数 闭 间 (2) (3) ( 上连续, 内可导, 上连续,在开区间 a, b) 内可导,且在区间端点的函数 ( 值相等， 值相等，即 f (a) = f (b),那末在 a, b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使 函 f (x)在 点 导 等 得 数 该 的 数 于零 ，
中值定理简介
法2：原命题等价于 a ex ex 在R+上恒成立 x
由罗比塔法则得……
端点效应法与中值定理法比较： ①均运用了高数知识，均属超纲…… ②罗比塔法则的后续工作量大……
(2).(2007年全国I简化)已知 f x ex ex
当x ＞0时，都有 f x ax ,求a的取值范围 初等数学法3：设 g x f x ax
即当 x＞0时,g(x)≥0恒成立 ⅰ:当a≤2时, …… ⅱ:当a＞2时，……
该法的“坑”如下： ①分类讨论的标准“a 2”，从何而来？
“幕后玩家”还是高数知识嘛！
②第二类，解方程 g/ (x) 0的工作量较大……
(3).(2008年全国Ⅱ简化)设函数 f (x) sin x
cos x 2 若对∀x＞0都有 f(x)≤ax , 求a的取值范围
揭示了，导数的局部性与函数的整体性之间的关系
一、中值定理简述
1.罗尔中值定理 2.拉格朗日中值定理 3.柯西中值定理
微分中值定理是研究函数的有力工具 是微积分学的理论基础 其中最重要的内容是拉格朗日定理 可以说其他中值定理是拉氏定理的特例或推广
微分中值定理关联图
罗尔定理
推 特例 广 f(a)=f(b)
微分中值定理在高数中的主要应用
1. 研究函数或导数的性态 2. 证明恒等式或不等式 3. 证明有关中值问题的结论
我们，只是简单介绍一下： 中值定理在初等数学中的应用： 解证不等式
利用微积分、解证不等式的常用方法
(1) 利用导数定义 (2) 利用函数的单调性 (3) 利用函数的极值和最值 (4) 利用函数的凹凸性 (5) 利用微分中值定理 (6) 利用泰勒公式 (7) 利用定积分的几何意义
高等数学- 中值定理
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理理解
中值定理理解中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在一个闭区间上连续且可导时，必然存在至少一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
中值定理在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
中值定理由罗尔定理和拉格朗日中值定理两部分组成。
首先，我们来看罗尔定理。
罗尔定理是中值定理的特殊情况，它要求函数在闭区间的两个端点上取到相同的函数值。
具体来说，如果一个函数在闭区间上连续且可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
罗尔定理的证明思路是通过构造一个辅助函数来实现的。
首先，我们假设函数在闭区间上连续且可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值。
然后，我们构造一个辅助函数，该函数在闭区间上连续且可导，并且在闭区间的两个端点上取到相同的函数值和导数值。
根据罗尔定理，我们可以得出辅助函数在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
由于辅助函数和原函数在闭区间上取到相同的函数值和导数值，因此原函数在开区间内也存在一个点，该点的导数等于零。
接下来，我们来看拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是中值定理的一般情况，它不要求函数在闭区间的两个端点上取到相同的函数值。
具体来说，如果一个函数在闭区间上连续且可导，那么在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造一个辅助函数来实现的。
首先，我们假设函数在闭区间上连续且可导。
然后，我们构造一个辅助函数，该函数在闭区间上连续且可导，并且在闭区间的两个端点上取到相同的函数值和导数值。
根据罗尔定理，我们可以得出辅助函数在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
由于辅助函数和原函数在闭区间上取到相同的函数值和导数值，因此原函数在开区间内也存在一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，中值定理可以用来描述物体的平均速度与瞬时速度之间的关系；在经济学中，中值定理可以用来描述商品的平均价格与边际价格之间的关系。
中值定理
第三章 微分中值定理与导数应用内容提要一、中值定理1．罗尔中值定理． 2．拉格朗日中值定理． 3．柯西中值定理． 4．泰勒中值定理．二、罗必达法则 三、泰勒公式公式1．拉格朗日余项型的泰勒公式（泰勒中值定理）如果)(x f 在区间I 上连续，在I 的内部1+n 阶可导，0x 为I 的内点，则当I x ∈时，有1000)1(000)()()!1())(()(!)()(++=-+-++-=∑n n knk k x x n x x x fx x k x fx f θ，其中10<<θ．2．佩亚诺（Peano ）余项型的泰勒公式如果)(x f 在0x 点处n 阶可导，则有k nk k x x k x fx f )(!)()(000)(-=∑=．))((0nx x o -+四、导数应用1．几何应用（1）一阶导数符号与单调性的关系． （2）二阶导数符号与凹凸性的关系．（3）极值点的必要条件及充分条件． （4）拐点的必要条件及充分条件． （5）曲率与曲率圆、曲率半径． （6）描绘函数的图形．2．极值与最值 3．证明不等式（1）利用导数符号与单调性的关系． （2）利用拉格朗日中值定理． （3）利用柯西中值定理． （4）利用泰勒中值定理． （5）利用最值． （6）利用凹凸性． 4．证明恒等式利用常函数的导数特征．例题A例2 设0>>a b ，)(x f 在[]b a ,上连续、在),(b a 内可导．试证：),(b a ∈∃ξ，使得2)()()()()(ξξξξf f a b ab a bf b af -'=--．证 令xx f x F )()(=，则)(x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理条件．于是，),(b a ∈∃ξ，使得)()()(ξF ab a F b F '=--，即2)()())(()()(ξξξξξf f xx f ab aa f bb f x -'='=--=．即得 2)()()()()(ξξξξf f a b ab a bf b af -'=--．证毕．例3 试证：当0>x 时，有21arctan π>+xx ．证 记 =)(x f 21arctan π-+xx ．当0>x 时，有0)1(1111)(2222<+-=-+='x x xxx f ，)(x f ∴单调减．又由0)(lim =+∞→x f x 即知，当0>x 时，有0)(>x f ，从而有21arctan π>+xx ．证毕．例4 设)(x f 在]3,0[上连续、在)3,0(内可导，且满足3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ．试证：存在)3,0(∈ξ，使得0)(='ξf ．证 由3)2()1()0(=++f f f ，得{}1)2(),1(),0(max ≥f f f ， {}1)2(),1(),0(min ≤f f f ．由[]2,0)(C x f ∈，利用介值定理的推论可知，[]2,0∈∃η，1)(=∍ηf ．于是，在[]3,η上)(x f 罗尔定理条件，从而)3,0()3,(⊂∈∃ηξ，使得0)(='ξf ．证毕．例5 求dt et x f x t⎰--=2)2()(的最大值和最小值．解 由2)2(2)(2x e x x x f --='，令0)(='x f ，得驻点0=x 及2±．由222)2(44)2(2)(2222xx x ex x e x e x x f -------=''，有04)0(>=''f ，08)2(2<-=±''-ef ，可知)(x f 有极小值0)0(=f ，极大值21)2(-+=±e f ．再由1)2()(0=-=∞⎰∞+-dt e t f t及2211121-+<<e，根据极限的保号性可知，0>∃X ，使得当)2(||>≥X x 时，有2211)(21)0(-+<<<ex f f )2(±<f)(max),(x f x +∞-∞∈∴)(max],[x f X X x -∈=)}2(),0(),(max{±±=f f X f21)2(-+=±=ef同理得0)0()(min),(==+∞-∞∈f x f x ．证毕．例6 设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ．试证：x x f ≥)(．证法1 由)(x f ''存在可知)(x f 连续．再由1)(lim=→xx f x 可知0)0(=f ，1)0(='f ．记x x f x F -=)()(，则有0)0(=F ，0)0(='F ，0)()(>''=''x f x F ．)(x F '∴单调增．再由0)0(='F 即知，0<x 时0)(<'x F ，从而)(x F 单调减；0>x 时，)(x F 单调增．0)0(=∴F 是)(x F 的最小值．0)(≥∴x F ，即得x x f ≥)(．证毕．例6 设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ．试证：x x f ≥)(．证法2 记x x f x F -=)()(．由题设可得=)0(F 0)0(='F ，0)()(>''=''x f x F ，则有)(x F 2)()0()0(2xx F x F F θ''+'+=02)(2≥''=xx f θ，其中10<<θ，即得x x f ≥)(．证毕．例6 设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ．试证：x x f ≥)(．证法 3 令x x f x F -=)()(．由题设可得=)0(F 0)0(='F ，0)()(>''=''x f x F ．于是，由拉格朗日中值定理，有)(x F x x F F x F )()0()(θ'=-= (其中)1,0(∈θ)x F x F )}0()({'-'=θx x x F })({1θθθ⋅''= (其中)1,0(1∈θ) 21)(x x F θθθ''=0)(21≥''=x x f θθθ，即得x x f ≥)(．证毕．例8 设)(x f ''在[]b a ,上存在，0)()(='='b f a f ．试证：),(b a ∈∃ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ．证 应用泰勒公式，将)2(b a f +分别在点a x =、b x =处展开，得)()()(42a fb f a b --)}2()({)}2()({)(42b a f a f b a f b f a b +--+--=]})2)((21)2)(()([)({|)(4212b b a f b b a b f b f b f a b -+''+-+'+--=ξ|]})2)((21)2)(()([)({22a b a f a b a a f a f a f -+''+-+'+--ξ|)2)}(()({21|)(42212a b f f a b -''-''-=ξξ|)()(|2121ξξf f ''-''=2)()(12ξξf f ''+''≤，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,1b a a ξ，⎪⎭⎫⎝⎛+∈b b a ,22ξ． 记),(b a ∈ξ为1ξ、2ξ中使)(1ξf ''、)(2ξf ''最大者，则有)()()(42a fb f a b --2)()(ξξf f ''+''≤|)(|ξf ''=，即得所要不等式．证毕．例12 设[]b a C x g x f ,)()(∈、，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ．试证：（1）对任意λ，),(b a ∈∃ξ，使得0)()(=+'ξλξf f ． （2）),(b a ∈∃η，使得0)()()(='+'ηηηg f f ．证（1）方法1．（利用指数因子法可）构造辅助函数xex f x F λ)()(=，则由题设可知)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理条件．于是，),(b a ∈∃ξ，使得=')(ξF 0)()(=+'λξξλξλξef ef ，从而有0)()(=+'ξλξf f ．方法2．（分析：对应的方程为0)()(=+'x f x f λ，解此微分方程，得通解xCex f λ-=)(．于是，得到此方程0)()(=+'x f x f λ的“全微分形式”0))((='x e x f λ，即0))((=x e x f d λ，即C e x f x =λ)(．）构造辅助函数)()(x f e x F x λ=，应用罗尔定理即得．（2）（可利用指数因子法，或阶微分方程的方法）构造辅助函数)()()(x f ex F x g =，则由题设可知)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理条件．于是，),(b a ∈∃η，使得=')(ηF 0)()()()()(='+'ηηηηηg ef ef g g ，从而有0)()()(='+'ηηηg f f ．证毕．例13 设[]10)(，C x f ∈，在(0,1)内可导，且dx x f xek f k x)()1(/101⎰-=，1>k ．试证：)10(，∈∃ξ，使得)()11()(ξξξf f -='．证 由[]10)(，C x f ∈，利用积分中值定理可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃k c 1,0，使得dx x f xek f k x)()1(/101⎰-=)(1c f cec-=，即有cec cf ef --=⋅)()1(11．于是，构造辅助函数)()(x f xe x F x-=，则)(x F 在]1,0[]1,[⊂c 上满足罗尔定理条件．)10()1,(，⊂∈∃∴c ξ，使得0)(='ξF ，即得)()11()(ξξξf f -='．证毕．注3 本题也可利用指数因子法或一阶齐次线性微分方程的求解方法得到辅助函数)()(x f xex F x-=．例14 某商品进价为a （元／件）．根据以往经验，当销售价为b （元／件）时，销售量为c 件，其中a 、b 、c 均为正常数，且a b 34≥．市场调查表明，销售价格每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价．试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润．解 设销售价为x ，销售量为p ．由题设，有%40%10/)(/)(=--cc p b x b ，从而c bxb p 45-=．于是，利润p a x L )(-=c bxb a x 45)(--=babccx b a cx5)54(42-++-=．令L 'bcb a cx )54(8++-=0=，得854ba x +=．再由0<''L 可知，此唯一的驻点就是最大值点．所以，当销售价定为854ba +（元／件）时，可获得最大利润．最大利润为bcb a 16)54(2-（元）．例题B例1 设)()(x g x f 、有连续的导函数，且当a x >时，有)()(x g x f '<'． 试证：当a x >时，有．)()()()(a g x g a f x f -<-证法1 等价于证明a x a g x g a f x f x g a g >-<-<- , )()()()()()(．当a x >时，由条件)()(x g x f '<'，有)()()(x g x f x g '<'<'-．在[]x a ,上积分此不等式，并利用)()(x g x f ''、的连续性即得a x a g x g a f x f x g a g >-<-<- , )()()()()()(．故所证不等式成立．证毕．例1 设)()(x g x f 、有连续的导函数，且当a x >时，有)()(x g x f '<'． 试证：当a x >时，有．)()()()(a g x g a f x f -<- 证法2 令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在],[x a （a x >）上满足拉格朗日中值定理条件．),(x a ∈∃∴ξ，使得)))(()(())(()()(a x g f a x F a F x F -'-'=-'=-ξξξ．)()(x g x f '<' ，0)()(<'-'∴ξξg f ，得0)()(<-a F x F ，从而有0} )()({)}()({<---a g a f x g x f ，得a x a g x g a f x f >-<- , )()()()(．类似地，讨论)()()(x g x f x F +=，可得．a x a f x f x g a g >-<- , )()()()(故所证不等式成立．证毕．例1 设)()(x g x f 、有连续的导函数，且当a x >时，有)()(x g x f '<'． 试证：当a x >时，有．)()()()(a g x g a f x f -<-证法3 当a x >时，由题设可知，f 、g 在],[x a （a x >）上满足柯西中值定理条件．),(x a ∈∃∴ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--，从而有)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--．又由题设可知，1)()(<''ξξg f ，从而有1)()()()(<--a g x g a f x f ，即|)()(|)()(a g x g a f x f -<-．再由)(x g 且当a x >时，有0)(>'x g ，有0)()(>-a g x g ，即得所证不等式．证毕．例4 设[]b a Cx f ,)(2∈．试证：[])(max ,x f b a x '∈ab -≤1)()(a f b f -dx x f b a⎰''+)(．证 由拉格朗日中值定理可知，存在),(b a c ∈，使得)()()(c f ab a f b f '=--．于是，又由⎰''x cdx x f )()()(c f x f '-'=，有⎰''+'='x cdx x f c f x f )()()(ab a f b f --=)()(⎰''+x cdx x f )(，得 )(x f '≤ab -1)()(a f b f -dx x f b a⎰''+)(，],[b a x ∈∀．即得 [])(m a x ,x f b a x '∈≤ab -1)()(a f b f -dx x f b a⎰''+)(．证毕．例5 证明达布定理，即（1）若)(x f '在[]b a ,上存在，且0)()(<''b f a f ，则存在),(b a ∈μ，使得0)(='μf （导函数的零点性质）． （2）若)(x f '在[]b a ,上存在，则对任意))(),((b f a f c ''∈（或))(),((a f b f c ''∈），相应地存在),(b a ∈μ，使得c f =')(μ（导函数的介值性质）．证（1）不妨设0)(<'a f ，0)(>'b f ．由此可知)(x f 在a 点处不能取到最小值．同理可知，)(x f 在b 点也不能取到最小值．由[]b a C x f ,)(∈可知，),(b a ∈∃μ，使得)(μf 为最小值．于是，根据费马引理，有0)(='μf ．（2）构造辅助函数cx x f x F -=)()(即可化为（1）的情况．证毕．例11 设)(x f 、)(x g 二阶可导，且0)(≠''x g ，==)()(b f a f0)()(==b g a g ．试证：（1）0)(≠x g ，),(b a x ∈．（2）),(b a ∈∃ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=．证（1）用反证法．设存在),(b a ∈η，使得0)(=ηg ．由于0)()(==b g a g ，利用罗尔定理可知，),(1ηηa ∈∃，),(2b ηη∈，使得0)()(21='='ηηg g ． 再利用罗尔定理可知，),(3b a ∈∃η，使得0)(3=''ηg ，与题设相矛盾．（2）构造辅助函数)()()()()(x g x f x g x f x F '-'=，则)(x F 在上满足罗尔定理条件．),(b a ∈∃∴ξ，使得0)(='ξF ，即-''+'')]()()()([ξξξξg f g f 0)]()()()([=''+''ξξξξg f g f ，即-'')()(ξξg f 0)()(=''ξξg f ．再由0)(≠''x g 及0)(≠x g ，得)()()()(ξξξξg f g f ''''=．证毕．例12 设)(x f ''在[]10，上存在，且0)1()0()1()0(='='==f f f f ．试证：存在)10( ，∈ξ，使得)()(ξξf f =''．分析 即方程0)()(=-''x f x f 在)1,0(内由零点，应考虑罗尔定理．关键是构造辅助函数．由方程0)()(=-''x f x f 同解于0)()()()(=-'+'-''x f x f x f x f即()()0)()()()(=-'+'-'x f x f x f x f (1)或同解于 0)()()()(=-'-'+''x f x f x f x f ， 或()()0)()()()(=+'-'+'x f x f x f x f (2)对（1），可利用指数因子法，对比0)()()(='+'x v x u x u ，可取)()()(x f x f x u -'=，1)(='x v ，即x x v =)(，得辅助函数 xe xf x f x F ))()(()(1-'=．也可用“代数法”或“公式法”等方法解一阶常系数齐次线性微分方程0=+'y y ，得通解xCey -=，即=-')()(x f x f xCe-，得（1）的“全微分形式”C e x f x f x=-'))()((，得辅助函数xe xf x f x F ))()(()(1-'=．同理，从（2）出发，可得辅助函数))()(()(2x f x f ex F x+'=-．证 构造辅助函数))()(()(x f x f x F -'=x e 或 =)(x F ))()((x f x f +'xe-，则)(x F 在上[]1,0满足罗尔定理条件，)10(，∈∃∴ξ，使得0)(='ξF ，由此可得)()(ξξf f =''．证毕．例15 设)(x f 在[]1,0上连续、在)1,0(内可导，且0)0(=f 、1)1(=f ．试证：对任意给定的正数1m 、2m ，都存在)1,0(21∈x x 、，满足212211)()(m m x f m x f m +='+'．证法1 由拉格朗日中值定理可知，存在)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf ．取ξ==21x x 即得一组解．证毕．证法2 原式可改写为1)(1)(22111211='+-+'+x f m m m x f m m m ．利用介值定理可知，存在)1,0(∈c ，使得211)(m m m c f +=．于是，原式可改写为1)()()1()()0()(21='-+'-x f c f f x f f c f ．利用拉格朗日中值定理可知，)1,0(21∈∃ξξ、，使得)0)(()0()(1-'=-c f f c f ξ，)1)(()()1(2c f c f f -'=-ξ，于是，原式又可改写为 1)()1)(()()0)((2211='-'+'-'x f c f x f c f ξξ．故取11ξ=x 、22ξ=x 即可．证毕．。
七大中值定理
七大中值定理中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了七个不同的定理，分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理、拉格朗日余项中值定理、泰勒中值定理、柯西-施瓦茨中值定理和费马中值定理。
这些定理都是基于函数在某个区间上的连续性和可导性来进行推导的。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中最基本且最常用的中值定理之一。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理揭示了函数在某个区间上的平均变化率与函数在该区间上的瞬时变化率之间的关系。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导且导数不同时为零，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得两个函数的导数之商等于两个函数在区间[a, b]上的函数值之商。
这个定理描述了两个函数在某个区间上的变化趋势是相似的。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导且在区间的两个端点处取相同的函数值，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于零。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的变化趋势是平缓的。
4. 拉格朗日余项中值定理拉格朗日余项中值定理是泰勒定理的推广形式，它描述了函数在某个点的函数值与其泰勒级数展开式的余项之间的关系。
根据拉格朗日余项中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上具有(n+1)阶导数，在开区间(a, b)内具有n阶导数，则对于该函数的泰勒级数展开式，存在一个点c位于(a, b)内，使得函数的余项等于泰勒级数展开式的(n+1)项与函数在点c处的(n+1)阶导数的乘积。
中值的定理
中值的定理中值定理是微积分中的一个重要定理，用于描述函数的平均变化率与函数的增减情况之间的关系。
它是由数学家罗尔斯提出的，也被称为罗尔定理。
中值定理是微积分中的一个基本概念和理论工具，常用于证明其他的定理和推导其他的公式。
它的核心思想是在一个区间上存在某个点，使得函数在这个点的瞬时变化率等于平均变化率。
具体而言，中值定理分为洛必达中值定理和拉格朗日中值定理两种形式。
洛必达中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且在(a,b)内取得两个不同的值f(a)和f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数有两个不同的值，那么它在这个区间内一定存在一个切线。
拉格朗日中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的平均变化率等于这个区间内某一点的瞬时变化率。
中值定理的几何意义是，如果一个函数在某个区间内具有连续性和可导性，那么必然存在一条导数对应着该函数在该区间上的切线。
也就是说，函数在某个区间上的平均变化率和瞬时变化率之间存在着一个等价关系。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
比如，我们可以利用中值定理来证明函数的单调性，寻找函数的最大值和最小值，判断函数的凹凸性，研究函数的增长趋势等。
这些应用都是基于中值定理所提供的函数变化率的信息。
总而言之，中值定理是微积分中重要的概念和定理，它通过平均变化率和瞬时变化率之间的关系，描述了函数在一个区间内存在切线的性质。
它不仅在理论推导中具有重要的作用，也在实际问题的分析和求解中发挥着关键的作用。
因此，中值定理是微积分学习的基础，对于理解函数的变化规律和解决实际问题有着重要的意义。
中值定理是微积分中的基本定理之一，它可以将函数的平均变化率与瞬时变化率联系起来，从而帮助我们更好地理解函数的性质和求解实际问题。
第16讲 中值定理
（a b)
这就是拉格朗日中值定理。
结论 拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.
综上所述 ： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。
罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理
的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格
朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应
用中拉格朗日中值定理更为广泛．
则 ( x) 在a, b 上满足罗尔定理. 即至少 一点 (a, b) s.t. ' ( ) 0 .
f (b ) f ( a ) F ' ( x) 又 ' ( x ) f ' ( x ) F (b ) F ( a )
f (b) f ( a ) f ' ( ) F (b) F ( a ) F ' ( )
第十六讲 中值定理
内容提要：
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
一.罗尔定理
定理 1(罗尔定理)：若函数f x 满足：
a, b 上连续， （1）在闭区间
（2）在开区间a, b 内可导，
（3） f a f b
a, b 内至少存在 则函数 f x 在开区间
x 为正为负总有: 又 M 为最大值,∴不论 f f x 0 f ( x ) f ( ) 0 ,故 当x ﹥0 时，因 x f ( x ) f ( ) 0 …………………(1) lim x 0 x f ( x ) f ( ) 0…(2) 同理,当x 0 时，有lim x 0 x 由(1)(2)(3)式得: f ' 0
2.证明 ∵ f x 在a, b 上连续，
m 最大值 M 和最小值 ∴ f x 在a, b 上必
中值定理
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
f (b) f (a ) . ba
b x
显然,
在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且
b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 (a) ba
即定理结论成立 . 证毕 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 几何意义?
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分别在区间 [1,2] 和 [2,3] 上 由定理1,可知 1 (1,2), 2 , 2,3), ( f (1 ) 0, f ( 2 ) 0, 使得 又 f (x) 为二次函数, f ( x) 0 最多有两个实根, 且分别位于 (1,2) 故 f ( x) 0 有且仅有两个根，
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或: 若函数 在 I 上必为常数.
在区间 I 上满足
则
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
推论2 若对x (a, b)有 f ( x) g ( x)，则
f ( x) g ( x) C，C const，x (a, b).
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同
错!
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也可作辅助函数
f (b) f (a) ( x) f ( x) f (a ) [ F ( x) F (a )]. F (b) F (a) ( x) f ( x) F (b) F (a) F ( x) f (b) f (a) .
f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a)
5.中值定理
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). 只有 f () 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2]; 在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0.
水平的.
o a 1
物理解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
经济数学-中值定理
f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
a b
设 f ( x )在 [a , b] 上连续， 在 (a , b) 内可导,
x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1).
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释: 在 曲 线 弧 AB 上 至 少有一点 C,在该点处的 A 切线平行于弦 AB . o a
f ( x 1 ) f ( x 2 ), 所以至少存在一点 ( x 1 , x 2 ) (a , b), 使 f ( ) 0.
二、拉格朗日中值定理
(Lagrange’s Mean-value Theorem)
拉格朗日中值定理 如 果 函 数 f(x)(1) 在 闭 区 间 [a , b]上连续,(2)在开区间(a , b ) 内可导,那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ，使等式
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
在 (1,2) 内至少存在一点 1 , 使 从而，
中值定理.
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f ( x) = 0 简要证明
(1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的
f (b) f (a) 弦 AB 的斜率为 F (b) F (a) dY = f (x ) 而在点 x=x 处 dX F (x )
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总结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
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几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C,在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
o a
x1
x2 b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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Jlin Institute of Chemical Technology
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例1 不求导数 判断函数f(x)=(x1)(x3)(x3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 解 f(-3)=f(-1)=f(3)=0 f(x)在[-3 -1] [-1 3]上满足 罗尔定理的三个条件 在(-3 -1)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x) 的一个实根 在(-1 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x) 的一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间 (-3 -1)及(-1 3)内
中值定理公式大全
内容： 设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0. 推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到 且f(x)在点c处可导 则f'(c)=0.
编辑本段罗尔定理
内容： 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
编辑本段泰勒公式
内容 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 推论：麦克劳林公式 内容： 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.
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第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.内容分布图示★ 费马引理 ★ 罗尔定理★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 拉格朗日中值定理 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 柯西中值定理 ★ 例11★ 例12★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-1★ 返回内容要点：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处, 0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数x x f 2sin )(=在区间],0[π上验证罗尔定理的正确性.例2 (讲义例1) 不求导数, 判断函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数有几个零点及这些零点所在的范围..例3 (讲义例2) 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根.例 4 设 n a a a a ,,,,321Λ为满足012)1(3121=--++--n a a a n n Λ的实数, 试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ在)2/,0(π内至少存在一个实根.例 5 设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且.0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ, 使)()(ξξf f ='成立.拉格朗日中值定理的应用例6 (讲义例3) 证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π 例7 (讲义例4) 证明当0>x 时, .)1ln(1x x xx <+<+ 例8 设)(x f 是在],0[c 上可导的函数, 且)(x f '单调减少, .0)(=x f 试证: 对于,0c b a b a ≤+≤≤≤ 恒有 ).()()(b f a f b a f +≤+例9 验证柯西中值定理对函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上的正确性.柯西中值定理的应应用例10 (讲义例5) 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ课堂练习1. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使().)()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。
1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。
罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得。
1682年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。
1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水。
此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世。
罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。
罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。
1700年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。
在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。
瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论。
约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。
由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。
直到1706年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值。
罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程0)(=x f 的两个相邻的实根之间，方程0)(=x f 至少有一个根。
一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange ，1736~1813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家F.A.雷维里（R-evelli ）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。
17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。
他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766年以前）、柏林时期（1766—1786）、巴黎时期（1787—1813）。
拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。
全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。
拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。
当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。
数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主流是力学；天文学的主流是天体力学。
数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。
当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。
下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者1．变分法 这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。
他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。
发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”。
欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。
变分法这个分支才真正建立起来。
2．微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。
他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。
在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。
当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布等人完成的。
除此之外，他还是一阶偏微分方程理论的建立者。
3．方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。
他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。
拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.4.数论著拉格朗日在1772年把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。
后来还证明了著名的定理：n是质数的充要条件为（n-1）!+1能被n整除。
5．函数和无穷级数同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数同是多项式的推广。
泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。