高等数学全微分方程ppt课件
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《高等数学》课件 3第三节 全微分 ppt
[ f ( x, y y) f ( x, y)]
fx ( x 1 x, y y) x f y ( x, y 2 y) y
( 0 1 , 2 1 )
z [ f x ( x0 , y0 ) ]x [ f y ( x0 , y0 ) ]y
lim
x0
0,
lim
x0
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y
d z z x z y. x y
证: 由全增量公式
令y 0,
得到对 x 的偏增量
xz f ( x x, y) f (x, y) Ax o ( x )
z lim x z A
x x0 x 同样可证 z B , 因此有
二、可微分存在的条件
一元函数: 可微 可导
可微分的必要条件： 可微分
偏导数存在
定理1. 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分, 则该函数在 该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y
d z z x z y. x y
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分,
xy ( x)2 ( y)2
xy
( x)2 ( y)2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
可微分的充分条件: 偏导数连续
可微分
定理2. 若函数
的偏导数 z , z x y
在点( x, y) 连续, 则函数在该点可微分, 且
z z x z y o( ).
x y
三、全微分的计算
V πr 2h. 记 r,h 和V 得增量依次为Δ r,Δ h和Δv,则有
ΔV dV VrΔr VhΔh 2π rhΔr π r2Δh. 把 r 20,h 100,Δ r 0.05,Δ h 1 代入,得
《高数全微分方程》课件
《高数全微分方程》PPT 课件
# 高数全微分方程 PPT课件
这是一份关于《高数全微分方程》的PPT课件，旨在向大家介绍微分方程的概 念、求解方法和应用。让我们一起探索微分方程的神奇世界吧！
前言
在本节中，我们将概述微分方程的含义和分类，并引入本次课程的主要内容：全微分方程。
概述微分方程
介绍微分方程的定义和基本性质，以及它们 在数学和科学中的重要性。
求解方法和应用
回顾全微分方程的不同求解方法，并强调它 们在数学和科学领域中的广泛应用。
重要性
强调全微分方程在实际问题中的重要性，以 及进一步学习和应用的必要性。
参考资料
在这一部分中，我们推荐相关教材和参考资料，以供进一步学习和深入研究。 总计token数量为340。
求解全微分方程
在本节中，我们将介绍三种方法来求解全微分方程。
1Leabharlann 方法一：求解常微分方程利用已知的常微分方程解法，结合全微分方程的性质，进行求解。
2
方法二：变量分离法
利用变量分离法将全微分方程转化为常微分方程，并求解。
3
方法三：积分因子法
介绍积分因子法的原理和步骤，并应用于求解全微分方程。
全微分方程的应用
全微分方程
解释什么是全微分方程，并与一阶常微分方 程进行对比。
全微分方程的概念
这一部分将为大家定义全微分方程，并介绍它与一阶常微分方程的区别。
1 定义全微分方程
2 与一阶常微分方程的区别
解释全微分方程是什么，并探讨它们的特 性和应用领域。
比较全微分方程与一阶常微分方程的异同 点，以及它们在求解方法上的差异。
在本节中，我们将探讨全微分方程的物理意义和应用实例。
全微分方程的物理意义
# 高数全微分方程 PPT课件
这是一份关于《高数全微分方程》的PPT课件，旨在向大家介绍微分方程的概 念、求解方法和应用。让我们一起探索微分方程的神奇世界吧！
前言
在本节中，我们将概述微分方程的含义和分类，并引入本次课程的主要内容：全微分方程。
概述微分方程
介绍微分方程的定义和基本性质，以及它们 在数学和科学中的重要性。
求解方法和应用
回顾全微分方程的不同求解方法，并强调它 们在数学和科学领域中的广泛应用。
重要性
强调全微分方程在实际问题中的重要性，以 及进一步学习和应用的必要性。
参考资料
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求解全微分方程
在本节中，我们将介绍三种方法来求解全微分方程。
1Leabharlann 方法一：求解常微分方程利用已知的常微分方程解法，结合全微分方程的性质，进行求解。
2
方法二：变量分离法
利用变量分离法将全微分方程转化为常微分方程，并求解。
3
方法三：积分因子法
介绍积分因子法的原理和步骤，并应用于求解全微分方程。
全微分方程的应用
全微分方程
解释什么是全微分方程，并与一阶常微分方 程进行对比。
全微分方程的概念
这一部分将为大家定义全微分方程，并介绍它与一阶常微分方程的区别。
1 定义全微分方程
2 与一阶常微分方程的区别
解释全微分方程是什么，并探讨它们的特 性和应用领域。
比较全微分方程与一阶常微分方程的异同 点，以及它们在求解方法上的差异。
在本节中，我们将探讨全微分方程的物理意义和应用实例。
全微分方程的物理意义
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
高等数学全微分方程精品PPT课件
dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
第五节-全微分方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
y
x
y0 Q( x, y)dy x0 P( x, y0 )d x,
u( x, y) C ;
用直接凑全微分方法.
3/19
例1 求方程( x3 3 xy2 )dx ( y3 3 x2 y)dy 0 的通解.
解
P y
6 xy
Q x
,
是全微分方程,
u(
x,
y)
x
0
(
x3
3 xy2
)d
x
y
0
y 3dy
第十章 微分方程 第五节 全微分方程
1/19
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
全微分方程 或恰当方程
比如 xdx ydy 0,
u( x, y) 1 ( x2 y2 ), 2
d ( y xy x3 x4 ) 0. 34
15/19
C 不定积分法: u x2 x3 y, x
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y),
34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, x3 x4
（2 xy ln ydx x2dy) y2 1 y2dy 0,
易知 ( x, y) 1 ,
y
则 (2x ln ydx x2 dy) y 1 y2dy 0,
y
即d(x2
ln
y)
1 d(1
3
y2 )2
0.
可积组正当
原方程通解为
3 x2
《高数课件24全微分》课件
对 x 和 y 同时求微分
通过同时对 x 和 y 求偏导数来求得 全微分的表达式。
应用
1
偏导数和全微分的关系
偏导数是求全微分的一种方法，全微分是一种更加完备的方向导数的表示形式。
2
隐函数求导
利用全微分的表达式，可以方便地求出隐函数的导数。
3
极值和微分
通过微分可求出函数的最大值和最小值。
总结
全微分的重要性
高数课件24全微分
PPT课件介绍全微分，从定义和概念到应用，让你深入理解此概念。
前言
主题介绍
本 PPT 课件将带您深入探讨全微分，并介绍其定义、 求法及应用。
前置知识回顾
回顾一元函数微分学和多元函数微分学的基本概念 及相关定理。
什么是全微分
1
定义和概念
全微分是多元函数微分学中的一个概念，它可以描述函数值沿着某个方向的变化率。
2
一阶微分和全微分的关系
全微分是一阶微分的完备性，即一阶微分只能描述沿着坐标轴方向的变化率，而全微分可以描述任 意方向的变化率。
求全微分的方法
对 x 求微分
利用对一元函数求导的方法，通过 求偏导数来求得全微分求导的方法， 通过求偏导数来求得全微分的表达 式。
全微分是多元函数微分学的一个重要概念，在科学研究和应用方面都有着广泛的应用。
未来学习的展望
学好全微分是深入学习多元函数微分学和微积分的基础。
《高等数学之全微分》课件
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加 法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关， 只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计 算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例
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选择积分因子
(x,
y)
1 x2 y2
,
同乘方程两边
,
得
d( x y) (xy)2
dx x
dy y
0
即 d 1 d(ln x ) d(ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 7
4
思考: 如何解方程
这不是一个全微分方程
,
但若在方程两边同乘
1 x2
,
就化成例2 的方程 .
积分因子法
若存在连续可微函数 (x, y) 0, 使
为全微分方程, 则称 (x, y)为原方程的积分因子.
在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
积dx dy d ( x y )
解: 因为 P 6xy 3y2 Q , 故这是全微分方程.
y
x
取 x0 0, y0 0, 则有
u
(x,
y)
0x5
x4
dx
y
0
(3
x2
y
3xy2
y
2
)
dy
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
3
例2. 求解
解:
P y
1 x2
Q , ∴ 这是一个全微分方程 . x
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
2
x
2x
故原方程的通解为 1 x2 y C 2x
练习题 解方程
解法1 积分因子法. 原方程变形为
取积分因子
1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
8
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
将 u y 代入 , 得通解 x
此外, y = 0 也是方程的解.
9
解法3 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
此外, y =y0也e是 P方(x程)dx的解 Q.(x) e P(x)dx dx C
10
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
1
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
则称
P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
2
例1. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
2) xdy ydx d ( xy )
3)
xdx ydy d (
1 2
(x2
y2
)
)
4)
ydx xdy y2
d(
x y
)
5)
ydx xdy x2
d(
y x
)
6) ydx xdy d ( ln x )
xy
y
积分因子不一定唯一 .
例如, 对 ydx xdy 0
7)
ydx x2
xd y2
y
d
(
arctan
x y
)
可取
8) xdx ydy d ( x2 y2
x2 y2 )
6
例3. 求解
解: 分项组合得 ( y dx x dy ) xy ( y dx x dy ) 0
即 d( xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy