高中数学人教A版必修4课时达标检测(十) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
2019-2020学年高中数学人教版必修四课时达标检测(十) 正弦函数、余弦函数的性质(二) Word版含答案
课时达标检测（十） 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 答案：B2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°答案：C3．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案：D 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D5．若函数y ＝f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 答案：A二、填空题6．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是________．答案：547．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴是________． 答案：x ＝k π＋3π4，k ∈Z 8．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋4k π，8π3＋4k π，k ∈Z 三、解答题9．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω (k ∈Z)． 据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 10．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. ∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0， 即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5.11．已知f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：∵π4≤x ≤3π4， ∴2π3≤2x ＋π6≤5π3， ∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32. 假设存在这样的有理数a ，b ，则当a >0时，⎩⎨⎧ －3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)； 当a <0时，⎩⎨⎧ 2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。
人教a版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)(含答案)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)自主学习知识梳理自主探究正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．对点讲练知识点一 求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．变式训练1 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2的单调增区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．变式训练2 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6，sin 49π3.知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cosbx 的最值和最小正周期．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.课时作业一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54二、填空题6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 12(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．三、解答题9．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x2＋sin x.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案(1)x ＝k π＋π2(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )(2)x ＝k π (k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 对点讲练例1 解 由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π (k ∈Z )，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π (k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π (k ∈Z )． 变式训练1 解 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4.由2k π－π≤x 2－π4≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π4，k ∈Z .即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的单调增区间是⎣⎡⎤4k π－3π2，4k π＋π2 (k ∈Z )． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12.由⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )有最小值－1.当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2.]4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．则φ＝k π＋π2，∴当k ＝0时，φ＝π2.]5．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1.] 6.⎣⎡⎦⎤π2，π 7．±3解析 由题意，1＋λcos x 的最大值为4， 当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3； 当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3. ∴λ＝±3.8.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析 y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. 9．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 10．解 (1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ＝2sin 2x ＋2sin x －1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－32 当sin x ＝－12时，y min ＝－32；当sin x ＝1时，y max ＝3.∴函数y ＝1－2cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)方法一 y ＝4－(2＋sin x )2＋sin x ＝42＋sin x－1∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1，∴43≤42＋sin x ≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 方法二 由y ＝2－sin x 2＋sin x ，解得sin x ＝2－2yy ＋1，由|sin x |≤1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2y y ＋1≤1，∴(2－2y )2≤(y ＋1)2， 整理得3y 2－10y ＋3≤0，解得13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3.。
人教版高中数学A版必修4学案 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)明目标、知重点 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ] (k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减最值在x＝π2＋2kπ (k∈Z)时，y max＝1；在x＝－π2＋2kπ (k∈Z)时，y min＝－1在x＝2kπ (k∈Z)时，y max＝1；在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，y min＝－1[情境导学]周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质，此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将对此作进一步探究．探究点一正弦、余弦函数的定义域、值域导引正弦曲线：余弦曲线：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R .思考1 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，正弦函数y ＝sin x 取得最大值1和最小值－1? 答 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.思考3 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1? 答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 探究点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域． (1)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 探究点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A >0)的单调性 思考1 怎样确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调性？答 当ω>0时，把ωx ＋φ看成一个整体，视为X .若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调增区间，则得到2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间．若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调减区间，则得到2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的减区间．当ω<0时，先利用诱导公式把x 的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解．余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间类似可求．思考2 请同学们根据上面介绍的方法，写出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3单调递增区间． 答 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z .∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z .例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°， ∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练1 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin 493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.例2 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π；令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为[－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．反思与感悟 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx ＋φ视为一个整体．若x 的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还应兼顾函数的定义域．跟踪训练2 求函数y ＝log 12(cos 2x )的单调递增区间．解 由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只需满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 例3 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域． 解 设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1，∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3； 当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.反思与感悟 形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g (t )＝at 2＋bt ＋c 在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正弦、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1对值域的影响．跟踪训练3 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． 解 y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5.∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }；y min ＝－4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }．1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π 答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6， ∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， ∴g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，∴开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间(－1,1)内， ∴g (t )在(－1,1)上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2， 即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]． [呈重点、现规律]1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础过关1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D ．－5答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sinωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( ) A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________． 答案 sin 3<sin 1<sin 2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.10．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值． 解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围． 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]． 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π；若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解 由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－56π(k ∈Z ) ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－56π，又∵f (π2)>f (π)，∴φ＝－56π， 由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2(k ∈Z )． 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋23π](k ∈Z )． 三、探究与拓展13．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理，函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730， 又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
人教A版精编高中数学必修4课时作业10正弦函数、余弦函数的性质(二) Word版含答案
课时作业10.正弦函数、余弦函数的性质(二)时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能是(..)A.π2 B ．－π4 C.3π4D.π4解析：由题意，当x ＝π8时， f (x )＝sin(2×π8＋φ)＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝π4，故φ可能是π4. 答案：D2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是(..)A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，故选B.答案：B3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于(..)A.4π3B.8π3 C ．2π D ．4π解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最 大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为 (b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2) ＝2×π6＋π2＋7π6＝2π. 答案：C4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 答案：C5．同时具有性质：“①最小周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为(..)A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)解析：本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.答案：D6．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0) 在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝(..)A ．3B ．2 C.32D.23解析：本题考查三角函数的单调性． 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数， 当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数， 当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数， 所以π2ω＝π3，所以ω＝32. 答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．比较cos0，cos 12，cos30°，cos1，cosπ的大小为________． 解析：∵0<12<π6<1<π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∴cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ. 答案：cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ8．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，－12≤sin x ≤1，y ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时， y max ＝2.答案：78.29．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[0，π4]上单调递增，且在[0，π4]上的最大值是3，则ω等于________．解析：由已知，得2sin ωπ4＝3，且0<ωπ4<π2， 解得ω＝43. 答案：43三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知函数f (x )＝2cos(π3－2x )．(1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求x 的值；(2)求f (x )的单调增区间． 解：(1)根据题意cos(π3－2x )＝12， 因为π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，故x ＝0.(2)令2n π≤π3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )， 解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π6(其中n ∈Z )， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )， 解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
高中数学必修四课时作业2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定[答案] D3．函数y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 [答案] C[解析] 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.[答案] 34[解析] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )． 所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π [答案] C[解析] 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间．9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 [答案] B[解析] 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋asin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． [答案] sin 3<sin 1<sin 2 [解析] ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b ∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ， ∴{b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π； 当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π. 12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的[解析]式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π)故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1.∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
高中数学 1.41.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)检测
1．4 三角函数的图象与性质1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)基础提升1．下列命题正确的是( )A ．y ＝sin x 在[0，π]内是单调函数B ．在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数C ．y ＝cos x 的增区间是[0，π]D ．y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数答案：D2．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是 ( )A ．函数f(x)的最小正周期为2πB ．函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f(x)是奇函数解析：由函数的f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x(x ∈R)可以得到函数f(x)是偶函数，选择D.答案：D3．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<c<aD ．b<a<c解析：∵a ＝sin 5π7＝sin 2π7，且π3>2π7>π4，而函数y ＝sin x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，则a ＝sin 5π7>22，且a<1， 又函数y ＝cos x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， 则b ＝cos π7<22. ∵单位圆的正切线中，若π2>2π7>π4， 则c ＝tan 2π7>tan π4＝1， ∴c>1>a>b ，故选D.答案：D4．定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈[0，π]时，f(x)＝－sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32. 答案：C5．设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R)，则f(x)( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析：作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，并将图象在x 轴下方的部分对折到x 轴的上方，观察图象可知答案选A.答案： A6．判断函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．解析：∵x ∈R ，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4， ∴f(－x)＝－cos 3－x 4＝－cos 3x 4＝f(x)， ∴函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2为偶函数．巩固提高7．函数y ＝3co s2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最小值是( )A ．－13 B.154 C ．0 D ．－14解析：y ＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12.当cos x ＝12时，y 取到最小值为ymin ＝3×⎝⎛⎭⎫12－232－13＝－14.故选D. 答案：D8．设函数f(x)＝xcos x ＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______.答案：－99．求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2的单调区间．解析：由2kπ－π≤2x ＋π3≤2kπ(k ∈Z)得 kπ－23π≤x≤kπ－π6(k ∈Z)． ∴函数的单调增区间是⎣⎡⎦⎤kπ－2π3，kπ－π6(k ∈Z)． 由2kπ≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)得 k π－π6≤x≤kπ＋π3(k ∈Z)． ∴函数的单调减区间是⎣⎡⎦⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z)．10．若函数f(x)＝a －bsin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数g(x)＝－4asin bx 的最值和最小正周期．解析：当b>0时，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得a ＝12，b ＝1. ∴g(x)＝－2sin x ．此时函数g(x)的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 当b<0时，由题意得⎩⎨⎧ a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得a ＝12，b ＝－1.∴g(x)＝2sin x ．此时函数g(x)最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.。
人教A版高中数学必修四课时提升作业(十) 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)2 Word版含解析
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课时提升作业(十)
正弦函数、余弦函数的性质(二)
一、选择题(每小题分，共分)
.(·沈阳高一检测)函数，∈(，π)，其单调性是( )
.在(，π)上是增函数，在[π，π)上是减函数
.在，上是增函数，在上是减函数
.在[π，π)上是增函数，在(，π)上是减函数
.在上是增函数，在，上是减函数
【解析】选. 在(，π)上是增函数，在[π，π)上是减函数.
【变式训练】若()在[，]上是增函数，则()在[，]上是( )
.奇函数.偶函数.减函数.增函数
【解析】选.因为()在上为偶函数，
所以根据偶函数的性质可知()在[，]上是减函数.
.(·青岛高一检测)若函数(π)，(π)都是减函数，则的集合是( )
.
.
.
.
【解析】选.因为(π)，其单调减区间为
(∈)，(π)，其单调减区间是[π，ππ](∈)，所以函数(π)与函数(π)都是减函数时的的集合为π≤≤π，∈.
.(·邯郸高一检测)若函数()ω(ω>)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为( )
【解析】选.由题意，函数在处取得最大值，所以ωπ，即ω
，∈，故选.。
数学人教A版必修4练习第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2) Word版含解析
.π＋，∈，＝取得最小值－.．＝单调递增区间[－π＋π，π]∈，单调递减区间[π，π＋π]∈＝π，∈，＝取最大值，＝一、选择题．函数＝的单调递减区间是( ) (∈) (∈) (∈) (∈) 答案：解析：∵π≤－≤π＋π，∈. ∴π＋≤≤π＋π，∈.．函数＝＋取得最大值时，的值应为( ) ．π－，∈．π－，∈ ．π－，∈．π＋，∈ 答案：解析：依题意，当(＋)＝时，有最大值，此时＋＝π，∈，变形为＝π－， ∈.．已知函数()＝(－)(∈)，下面结论错误的是( ) ．函数()的最小正周期为π．函数()在区间[，]上是增函数 ．函数()的图象关于直线＝对称 ．函数()是奇函数 答案：解析：()＝＝－，所以()是偶函数，故错． ．函数＝，∈的值域是( )答案：解析：由∈，得＋∈. 故＝＝，＝＝－. 所以，所求值域为.．函数＝的一个单调递增区间是( )答案：解析：画出＝的图象，如图．由图象可知，函数＝的一个递增区间是.．下列关系式中正确的是( )．°<°<°．°<°<°．°<°<°．°<°<°答案：解析：∵°＝(°－°)＝°，°＝(°－°)＝°，由函数＝的单调性，得°<°<°，即°<°<°.二、填空题．函数＝(＋π)在上的单调递增区间为．答案：解析：因为(＋π)＝－，所以要求＝(＋π)在上的单调递增区间，即求＝在上的单调递减区间，易知为.．如果函数＝(＋φ)的图象关于点中心对称，那么φ的最小值为．答案：解析：令×π＋φ＝π＋，∈，则φ＝π－π，∈，当＝时，φ＝.．函数＝的最大值为．答案：解析：由＝，得(－)＝＋，即＝(≠－)，因为－≤≤，所以－≤≤，解得≤≤，所以函数＝的最大值为.三、解答题．求下列函数的单调递增区间．()＝－；()＝()．解：()由题意可知函数＝的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由π＋≤≤π＋π(∈)，得π＋π≤≤π＋π(∈)．∴函数＝－的单调递增区间为[π＋π，π＋π](∈)．()由题意，得＞，∴π－＜＜π＋，∈，即π－＜＜π＋，∈.∵函数＝在定义域内单调递减，∴函数＝(∈(π－，π＋)，∈)的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴只需满足π＜＜π＋，∈.∴π＜＜π＋，∈.∴函数＝()的单调递增区间为(π，π＋)，∈.．设＞≤<π，若函数＝－＋的最大值为，最小值为－，试求与的值，并求该函数取得最大值和最小值时的值．解：＝－＋＝－(＋)＋＋＋，由－≤≤，＞，知①若＜≤，即＜≤，当＝－时，＝＋＋＝，当＝时，＝－(＋)＋＋＋＝－，解得＝，＝－.②若＞，即＞，当＝－时，＝－(－＋)＋＋＋＝，当＝时，＝－(＋)＋＋＋＝－，解得＝，＝－不合题意，舍去．综上，＝，＝－，当＝时，＝；当＝时，＝－.。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)
信达信达1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．若函数y =sin(π+x )，y =cos(2π−x )都是减函数，则x 的集合是 A. B. C. D.2．函数y =−cos(x2−π3)的单调递增区间是A.[2kπ−43π,2kπ+23π] (k ∈Z )B.[4kπ−43π,4kπ+23π] (k ∈Z )C.[2kπ+23π,2kπ+83π] (k ∈Z ) D.[4kπ+23π,4kπ+83π] (k ∈Z )3．(2013·山东省实验中学检测)函数f (x )=sin 2x-cos x 的值域是A.[-1,1]B.[1,54]C.[0,2]D.[-1,54]4．已知函数f (x )=2sin (ωx+π6)(ω>0)，y =f (x )的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是____.5．如果函数f(x)是定义在(−3，3)上的奇函数，当0<x <3时，函数f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)cosx <0的解集是______．6．函数y =cos 2x −sinx 的值域是 . 7．求函数y =cos 2x −4cosx +5的值域. 8．已知函数f(x)=√2sin(2x +π4).(1)求函数f (x )的最小正周期及单调增区间； (2)当x ∈[−π4,π4]时，求函数f (x )的最大值及最小值.能力提升1．函数f(x)=-sin 2x+sinx+a,若1≤f(x)≤174对任意的x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.2．已知a ＞0，函数f(x)=−2asin(2x +π6)+2a +b ，当x ∈[0,π2]时，−5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g(x)=f(x +π2)且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间.信达信达1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)【基础过关】 1．A【解析】∵y ＝sin(π+x)＝−sinx ，∴其单调减区间为2,222k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ππππ，k ∈Z .∵y ＝cos(2π−x)＝cosx ，∴其单调减区间为[2k π，2k π+π]，k ∈Z .∴y ＝sin(π+x)与y ＝cos(2π−x)都是减函数时的x的集合为|222x k x k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭πππ+,k Z . 2．D 3．D【解析】∵f (x )=y=sin 2x-cos x=1-cos 2x-cos x=-(cos x+12)2+54,且cos x ∈[-1,1],∴y max =54,y min =-1,故函数f (x )的值域为[-1,54].4．,36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦πππ-π，k ∈Z【解析】()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，由题意知f(x)的周期为T ＝π，∴ω＝2.由222262k x k ≤+≤ππππ-π+，得36k x k ≤≤+πππ-π，k ∈Z . 5．(−π2，−1)∪(0，1)∪(π2，3)【解析】本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式. 由图像可知：0<x <1时，f(x)<0；当1<x <3时，f (x )>0．再由f(x)是奇函数，知：当−1<x <0时，f (x )>0；当−3<x <−1时，f(x)<0． 又∵当−3<x <−π2，或π2<x <3时，cosx <0；当−π2<x <π2时，cosx >0．∴当(−π2，−1)∪(0，1)∪(π2，3)时，f(x)⋅cosx <06．[−1,54]【解析】本题考查三角函数的值域问题.y =cos 2x −sinx =1−sin 2x −sinx=−(sinx +12)2+54且sinx ∈[−1，1]∴y max =54，y min =f(1)=−1.7．解：y =cos 2x −4cosx +5，令t=cosx ，则−1≤t ≤1.故()224521y t t t =-+=-+，当t=−1时，函数取最大值，为10，当t=1时，函数取最小值，为2.所以函数的值域为[2，10].8．解：(1)()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ω=∴Q 最小正周期2T ππω==.由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()388k x kx k Z πππ-≤≤+∈， 故函数()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当242x ππ+=，即8x π=时，()f x当244x ππ+=-，即4π=-时，()f x 有最小值−1.【能力提升】1．令y=f(x),t=sinx,t ∈[-1,1],则y=-t 2+t+a=-(t-12)2+a+14,当t=12时,y 有最大值a+14,当t=-1时,y 有最小值a-2.故函数的值域为[a-2,a+14],从而{a +14≤174a −2≥1,解得3≤a ≤4.2．解：∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，信达信达∴−2asin(2x +π6)∈[−2a,a].∴ｆ(x)∈[b,3a +b]，又∵−5≤f(x)≤1，∴可得b=−5，3a +b=l ，∴a =2，b=−5.(2)由(1)知a =2，b=−5，∴()4sin 216f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴7421421266()g x f x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又由lgg(x)＞0得g(x)＞l ，∴42116sin x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，∴1262sin x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴5222666k x k πππππ+<+<+，k ∈Z . 由()222662k x k k Z πππππ+<+≤+∈，得g(x)的单调增区间为(),6k k k Z πππ+∈；由5222266k x k πππππ+≤+<+，得g(x)的单调减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。
高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时跟踪检测新人教A版必修4
【优化指导】2015年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）课时跟踪检测 新人教A 版必修41．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：画出y ＝|sin x |的图象即可求解．故选C. 答案：C2．设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析：函数的最大值为M ＝13－1＝－23，最小值为m ＝－13－1＝－43，所以M ＋m ＝－2.答案：D3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin 12°.sin 80°＞sin 12°＞sin 11°，即cos 10°＞sin 168°＞sin 11°.答案：C4．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：由于函数周期为π，所以排除C 、D ；对于A ，由2k π＋π2≤2x ＋π2≤2k π＋3π2，k ∈Z .得其单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．显然⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2⊂⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A.答案：A5．函数y ＝sin |x |＋sin x 的值域是________．解析：y ＝sin |x |＋sin x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ≥0，0， x ＜0，∴－2≤y ≤2. 答案：[－2,2]6．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，又在[－π，a ]上递增，∴[－π，a ]⊆[－π，0]．∴a ≤0.又∵a ＞－π，∴－π＜a ≤0.答案：(－π，0]7．求函数y ＝1－sin 2x 的单调区间．解：求函数y ＝1－sin 2x 的单调区间，转化为求函数y ＝sin 2x 的单调区间，要注意负号的影响．由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．同理可求得函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )．8．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3等于( )A ．3或0B ．－3或0C ．0D ．－3或3解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，∴f (x )关于直线x ＝π3对称．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3应取得最大值或最小值． 答案：D9．若0＜α＜β＜π4，a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，则( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1D ．ab ＞ 2解析：∵0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2.而正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，即a ＜b . 答案：A10．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R )的最小值为________． 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝π2，∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∴y min ＝－1. 答案：－111．设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3的最大值．解：由题意，a ≠0.当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a ＋b ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.此时g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其最大值为1.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.此时g (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，其最大值为1.综上知，g (x )＝b sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π3的最大值为1.12．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω (k ∈Z )．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.在研究正弦、余弦函数的性质时，要充分借助正弦、余弦曲线，注意数形结合思想方法的运用．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．。
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时提升卷 新人教A版必修4
正弦函数、余弦函数的性质(二)（45分钟 100分）1.符合以下三个条件：①在上单调递减；②以2π为周期；③是奇函数.这样的函数是( )A.y=sinxB.y=-sinxC.y=cos2xD.y=cos2.(2013·广州高一检测)函数f(x)=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间是( ) A. B.C. D.3.若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π-x)都是减函数，则x的集合是( )A.B.C.D.4.(2012·山东高考)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-5.(2013·南充高一检测)已知函数f(x)=πsi n x，如果存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值为( )A.4πB.πC.8πD.2π二、填空题(每小题8分，共24分)6.函数y=的定义域是.7.将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为.8.f(x)=2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω= .三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.求下列函数的最大值和最小值：(1)y=.(2)y=3+2cos.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间.11.(能力挑战题)已知ω是正数，函数f(x)=2sinωx在区间上是增函数，求ω的取值范围.答案解析1.【解析】选B.在上单调递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.2.【解析】选D.由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，又x∈[-π，0]，所以此函数的单调递增区间为.3.【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx，其单调递减区间为(k∈Z)；y=cos(2π-x)=cosx，其单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z.所以y=sin(π+x)与y=cos(2π-x)都是减函数时的x的集合为.【变式备选】函数y=sinπ的单调递增区间是( )A.[4kπ，(4k+1)π](k∈Z)B.[4k，4k+2](k∈Z)C.[2kπ，(2k+2)π](k∈Z)D.[2k，2k+2](k∈Z)【解析】选B.y=sinπ=sin，由-+2kπ≤-≤+2kπ(k∈Z)，得2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z)，所以4k≤x≤2+4k(k∈Z).4.【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.【解析】选A.因为0≤x≤9，所以0≤x≤9×，所以-≤x-≤，所以-≤sin≤1，所以-≤2sin≤2.所以函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.5.【解析】选A.因为正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1-x2|的最小值为半周期，因为T==8π，所以选A.6.【解析】由题意得，2cosx+1≥0，即cosx≥-.在x∈[-π，π]上需使x∈，故该函数的定义域为(k∈Z).答案：(k∈Z)7.【解析】cos150°<0，sin470°=sin110°=cos20°>0，cos760°=cos40°>0且cos20°>cos40°，所以cos150°<cos760°<sin470°.答案：cos150°<cos760°<sin470°8.【解析】因为0≤x≤，所以0≤ωx≤ω<.所以f(x)在上是增函数，所以f=，即2sin=，所以ω=，所以ω=.答案：9.【解析】(1)因为所以≤1-cosx≤.所以当cosx=-1时，y max=.当cosx=1时，y min=.(2)因为-1≤cos≤1，所以当cos=1时，y max=5；当cos=-1时，y min=1.10.【解题指南】由f(x)≤对x∈R恒成立知，f(x)在x=处取得最大值或最小值，从而得到φ的两组取值，再利用f>f(π)排除一组，从而得到φ的取值，利用整体代换思想求出f(x)的单调递增区间. 【解析】由f(x)≤对x∈R恒成立知，2×+φ=2kπ±(k∈Z)，得到φ=2kπ+或φ=2kπ-，代入f(x)并由f>f(π)检验得，φ的取值为-，所以由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).【拓展提升】求三角函数最值的常见类型(1)y=asin2x+bsinx+c(a≠0)，利用换元思想设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.(2)y=Asin(ωx+φ)+b，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)的范围，最后得最值.(3)y=log a(Asin(ωx+φ))，设t=Asin(ωx+φ)，由定义域求t的范围，然后求值域.11.【解析】由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).据题意，⊆(k∈Z).从而当k=0时有ω>0，解得0<ω≤.故ω的取值范围是.。
人教A版高中数学必修四课后训练{1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时}
课后训练1．函数y＝3sin x－1的最大值和最小值分别是( ) A．1，－1B．2，－4C．2，－2D．4，－42．下列函数中，周期为π，且在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是( )A．y＝πsin22x⎛⎫+⎪⎝⎭B．y＝πcos22x⎛⎫+⎪⎝⎭C．y＝πsin2x⎛⎫+⎪⎝⎭D．y＝πcos2x⎛⎫+⎪⎝⎭3．函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是( )A．－2,2B．－2，5 2 -C．12-，2D．52-，24．函数y＝πsin23x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象( )A．关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称B．关于直线π4x=对称C．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称D．关于直线π3x=对称5．函数y＝π2sin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A．3πππ,π44k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)B．3ππ2π,2π44k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)C．3πππ,π88k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)D．3ππ2π,2π88k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)6．比较cos0，1cos2，cos30°，cos1，cosπ的大小为______________________________．7．若函数f(x)＝sinωx(0＜ω＜2)在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω等于__________．8．已知直线π4x=和5π4x=是函数f(x)＝πsin412xω⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭图象的两条相邻的对称轴，求f(x)的递减区间．9．已知函数f(x)＝π2cos34x⎛⎫+⎪⎝⎭．(1)求f(x)的单调递增区间．(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．10．已知函数f(x)＝π2sin26a x⎛⎫+⎪⎝⎭＋a＋b的定义域是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域是[－5,1]，求a，b的值．参考答案1答案：B 解析：∵－1≤sin x ≤1，∴－3≤3sin x ≤3，∴－4≤3sin x －1≤2，故选B ．2答案：A 解析：对于选项A ，注意到y ＝sin π22x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos2x 的周期为π，且在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． 3答案：D 解析：f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －2＝2152cos 22x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12-时，f (x )min ＝52-， 当cos x ＝1时，f (x )ma x ＝2．故选D ． 4答案：A 解析：令ππ2π32x k +=+，k ∈Z ，则ππ122k x =+，k ∈Z ，则对称轴为ππ122k x =+，k ∈Z ，排除B ，D ； 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝ππ62k -+，k ∈Z ． 当k ＝1时，对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ． 5答案：C 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2． ∴y ＝2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由π2-＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ． 6答案：cos0＞1cos 2＞cos30°＞cos1＞cos π 解析：∵0＜12＜π6＜1＜π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∴cos0＞1cos 2＞cos30°＞cos1＞cos π． 7答案：32 解析：根据题意知f (x )在π3x =处取得最大值1， ∴πsin 3ω＝1， ∴π3ω＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即ω＝6k ＋32，k ∈Z ． 又0＜ω＜2，∴32ω=符合条件． 8答案：解：由已知得f (x )的周期为2π，∴2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝πsin 412x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．令t ＝πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，y ＝12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又y ＝12t⎛⎫ ⎪⎝⎭在定义域上为减函数， ∴当f (x )＝πsin 412x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭递减时， t ＝πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． ∴f (x )的递减区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 9答案：解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2π5π2ππ312312k k x -≤≤-(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为 2π5π2ππ,312312k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2． 即2π5π312k x =-(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2． 10答案：解：∵0≤x ≤π2， ∴ππ7π2666x ≤+≤， ∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭． ∴a ＞0时，5,31,b a b =-⎧⎨+=⎩解得2,5.a b =⎧⎨=-⎩a ＜0时，1,35,b a b =⎧⎨+=-⎩解得2,1.a b =-⎧⎨=⎩因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1．。
人教A版高中数学必修四《1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时》练习题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二课时【学习目标、细解考纲】1.掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性.2.会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.【知识梳理、双基再现】1.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.2.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.3.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.4.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.5.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.6.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1. 【小试身手、轻松过关】1.函数y=sinx+1的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x的最大值是21π54sin π45cos -π532sin π125cos )4sin(x y π+=,2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ43,4z)(k k 223.k 22∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ_____________,最小值是_________________.2.y=-3cos2x 取得最大值时的自变量x 的集合是_________________.3.函数y=sinx,y ≥ 时自变量x 的集合是_________________.4.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________ ， ， ，【基础训练、锋芒初显】1.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。
新编人教A版高中数学必修4课时作业10正弦函数、余弦函数的性质(二) Word版含答案
课时作业10.正弦函数、余弦函数的性质(二)时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能是(..)A.π2 B ．－π4 C.3π4D.π4解析：由题意，当x ＝π8时， f (x )＝sin(2×π8＋φ)＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝π4，故φ可能是π4. 答案：D2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是(..)A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，故选B.答案：B3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于(..)A.4π3B.8π3 C ．2π D ．4π解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最 大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为 (b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2) ＝2×π6＋π2＋7π6＝2π. 答案：C4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 答案：C5．同时具有性质：“①最小周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为(..)A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)解析：本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.答案：D6．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0) 在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝(..)A ．3B ．2 C.32D.23解析：本题考查三角函数的单调性． 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数， 当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数， 当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数， 所以π2ω＝π3，所以ω＝32. 答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．比较cos0，cos 12，cos30°，cos1，cosπ的大小为________． 解析：∵0<12<π6<1<π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∴cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ. 答案：cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ8．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，－12≤sin x ≤1，y ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时， y max ＝2.答案：78.29．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[0，π4]上单调递增，且在[0，π4]上的最大值是3，则ω等于________．解析：由已知，得2sin ωπ4＝3，且0<ωπ4<π2， 解得ω＝43. 答案：43三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知函数f (x )＝2cos(π3－2x )．(1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求x 的值；(2)求f (x )的单调增区间． 解：(1)根据题意cos(π3－2x )＝12， 因为π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，故x ＝0.(2)令2n π≤π3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )， 解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π6(其中n ∈Z )， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )， 解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二).docx
精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π−x)都是减函数，则x的集合是A.B.C.D.2．函数的单调递增区间是A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z) 3．(2013·山东省实验中学检测)函数f(x)=sin2x-cos x的值域是A.[-1,1]B.[1,]C.[0,2]D.[-1,]精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧4．已知函数，的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是____.5．如果函数是定义在，上的奇函数，当时，函数的图像如图所示，那么不等式的解集是______．6．函数的值域是 .7．求函数的值域.8．已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)当时，求函数f(x)的最大值及最小值.能力提升1．函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 2．已知a＞0，函数，当时，−5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间.精心制作仅供参考唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二) 详细答案 【基础过关】1．A【解析】∵y ＝sin(π+x)＝−sinx ，∴其单调减区间为2,222k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ππππ，k ∈Z . ∵y ＝cos(2π−x)＝cosx ，∴其单调减区间为[2k π，2k π+π]，k ∈Z .∴y ＝sin(π+x)与y ＝cos(2π−x)都是减函数时的x 的集合为|222x k x k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭πππ+,k Z . 2．D3．D【解析】∵f (x )=y=sin 2x-cos x=1-cos 2x-cos x=-(cos x+ )2+ ,且cos x ∈[-1,1],∴y max =,y min =-1,故函数f (x )的值域为[-1,]. 4．,36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦πππ-π，k ∈Z 【解析】()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，由题意知f(x)的周期为T ＝π，∴ω＝2.由222262k x k ≤+≤ππππ-π+，得36k x k ≤≤+πππ-π，k ∈Z . 5．， ， ，【解析】本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式.由图像可知：时， ；当 时， ．再由 是奇函数，知：当 时， ；当 时， ． 又∵当 ，或 时， ； 当时， ．∴当， ， ， 时，精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧6． 【解析】本题考查三角函数的值域问题.且 ，∴， . 7．解： ，令t=cosx ，则−1≤t≤1.故()224521y t t t =-+=-+，当t=−1时，函数取最大值，为10，当t=1时，函数取最小值，为2.所以函数的值域为[2，10].8．解：(1)()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2,ω=∴最小正周期2T ππω==. 由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得()388k x kx k Z πππ-≤≤+∈， 故函数()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 有最大值2， 当244x ππ+=-，即4π=-时，()f x 有最小值−1. 【能力提升】1．令y=f(x),t=sin x,t ∈[-1,1],则y=-t 2+t+a=-(t- )2+a+ ,当t= 时,y 有最大值a+ ,当t=-1时,y 有最小值a-2.故函数的值域为[a-2,a+ ],从而 ,解得3≤a≤4. 2．解：∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， . ∴ｆ(x)∈[b,3a +b]，又∵−5≤f(x)≤1，∴可得b=−5，3a +b=l ，∴a =2，b=−5.精心制作仅供参考唐玲出品(2)由(1)知a =2，b=−5，∴()4sin 216f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ∴7421421266()g x f x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又由lgg(x)＞0得g(x)＞l ，∴42116sin x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭， ∴1262sin x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴5222666k x k πππππ+<+<+，k ∈Z . 由()222662k x k k Z πππππ+<+≤+∈，得g(x)的单调增区间为(),6k k k Z πππ+∈； 由5222266k x k πππππ+≤+<+，得g(x)的单调减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。
【2019-2020高一数学试题】人教A版必修4《正弦函数、余弦函数的性质(2)》试题 答案解析
正弦函数、余弦函数的性质(2)——基础巩固类——一、选择题1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 2．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－4π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋8π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z ) 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( ) A ．cos 32>sin 110>－cos 74 B ．cos 32>－cos 74>sin 110 C ．cos 32<sin 110<－cos 74 D ．－cos 74<cos 32>sin 1106．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为( )A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6) D ．y ＝sin(2x －π6)二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为 (用“>”连接)．9．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为三、解答题10．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．11．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b .(1)若a >0，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1,3]，求a ，b 的值．——能力提升类——12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若函数f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为π.15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．正弦函数、余弦函数的性质(2)(答案解析)——基础巩固类——一、选择题1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 解析：令x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，4π3＋2k π，k ∈Z .k ＝0时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数f (x )的一个单调递减区间，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.故选D.2．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－4π3，2k π＋2π3(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋8π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z ) 解析：函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间即为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递减区间．由2k π≤x 2－π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋4k π≤x ≤8π3＋4k π，k ∈Z .故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( B )A.⎝⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3， ∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，故选B. 4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π， ∴ω＝2.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( C ) A ．cos 32>sin 110>－cos 74 B ．cos 32>－cos 74>sin 110 C ．cos 32<sin 110<－cos 74 D ．－cos 74<cos 32>sin 110解析：sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74.∵π>32>π2－110>π－74>0，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 32<cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－110<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，即cos 32<sin 110<－cos 74.6．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为( D )A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6) D ．y ＝sin(2x －π6)解析：本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1.解析：y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上为减函数，当x ＝－π3时，y ＝sin x 有最小值－32，当x ＝π2时，y ＝sin x 有最大值1，所以值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10(用“>”连接)．解析：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10.9．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π.解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π.三、解答题10．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )， 解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 11．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1,3]，求a ，b 的值．解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，由f (x )的值域为[1,3]知，⎩⎨⎧a >0，a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1；或⎩⎨⎧a <0，a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5. 综上得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.——能力提升类——12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z 知f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω(k ∈Z )，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所以2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π(k ∈Z )，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又ω>0，所以取k ＝0，得12≤ω≤54.13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若函数f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ω·π2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，2πω＝6π，又－π<φ≤π，解得ω＝13，φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3.令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z .取k ＝0得－5π2≤x ≤π2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2为f (x )的一个单调递增区间，因为[－2π，0]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2，所以f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为π. 解析：如图，函数f (x )的图象经过三个实心点(或空心点)，结合f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调，因此x ＝2π6是函数f (x )的零点．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π6，因此x ＝7π12是函数f (x )的对称轴．于是T 4＝7π12－2π6，从而T ＝π.15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )，11 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
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课时达标检测（十） 正弦函数、余弦函数的性质(二)
一、选择题
1．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π8，0
B.⎝⎛⎭⎫π4，0
C.⎝⎛⎭
⎫－π3，0 D.⎝⎛⎭⎫3π8，0
答案：B
2．下列关系式中正确的是( )
A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
答案：C
3．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,0]
D ．[0,2] 答案：D
4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π
B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称
D ．函数f (x )是奇函数
答案：D
5．若函数y ＝f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3
对称；③在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π3上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 答案：A
二、填空题
6．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是________．
答案：54
7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4的图象的对称轴是________． 答案：x ＝k π＋3π4
，k ∈Z 8．函数y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间是________．
答案：⎣⎡⎦
⎤2π3＋4k π，8π3＋4k π，k ∈Z 三、解答题
9．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦
⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2
(k ∈Z)得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω
＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω
(k ∈Z)．
据题意：⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦
⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32
. 故ω的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，32 10．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦
⎤－π3，2π3， 从而－12
≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3
＝0， 即x ＝－π6
时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3
，
即x ＝π6
时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5.
11．已知f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦
⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．
解：∵π4≤x ≤3π4，
∴2π3≤2x ＋π6≤5π3，
∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤3
2.
假设存在这样的有理数a ，b ，则
当a >0时，⎩⎨⎧ －3a ＋2a ＋b ＝－3，
2a ＋2a ＋b ＝3－1，
解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)；
当a <0时，⎩⎨⎧ 2a ＋2a ＋b ＝－3，
－3a ＋2a ＋b ＝3－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.
故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。