经典线性代数问题-无答案

第一章多项式1.(P16)证明：当65n m =+时，多项式22x xy y ++整除多项式()nnnx y x y +--；当61n m =+时，多项式222()x xy y ++整除多项式()n n n x y x y +--.这里m 是使0n >的整数，而,x y 是实数.2. (P16)求最低次数的多项式()u x 与()v x ，使得（1）43234(2461)()(53)()x x x x u x x x v x x --+++--=； （2）434323(21)()(221)()2x x x u x x x x x v x x x +++++-+-=-3. (P16)求次数最低的多项式()f x ，使得()f x 被多项式43222107x x x x --+-除时余式为21x x ++，被多项式432231310x x x x --+-除时余式为223x -. 4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积：（1）21422222...(1)n n n n nn n n x C x C x C ---+++-；（2）2222242422222(1)(1)...(1)nn n n n n x C x x C x x x --+-+-++-； （3）2122124232222121(1)(1)...(1)n n n n n n xC x x C xx x x +--+++-+-++-. 5. (P22)证明：复系数多项式()f x 对所有的实数x 恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式()x ϕ，()x ϕ没有实数根，使得2()|()|f x x ϕ=.6. (P22)证明：实系数多项式()f x 对所有实数x 恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式()x ϕ和()x ψ，使得22()[()][()]f x x x ϕψ=+.7.(P26)设1011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，且素数p 满足：01|,|,...,|,|,1,2,...,k i p a p a p a p a i k k n =++///，而2|n p a /，证明：()f x 具有次数n k ≥-的整系数不可约因式.8. (P26)设21101221()......n n n n n n n f x a xa x a x a x a ++++=++++++是整系数多项式，且素数p 满足：20|,|,1,2,...,,|,1,2,...,21i i p a p a i n p a i n n n ==+++/，但321|n p a +/.证明：()f x 在上不可约.9. (P26)设12,,...,n a a a 是n 个不同的整数.证明：多项式 在上不可约.第二章 行列式10.(P54)计算下列行列式：（1）000a b c a d e b df cef------ （2）a b c d d a b c c d a b dcba------11. (P54)设12(,,...,)k f ξξξ是n F 上k 元函数.如果对任意整数,,1,i j i j n ≤≤，均有11(,...,,...,,...,)(,...,,...,,...,)i j k j i k f f =ξξξξξξξξ，则12(,,...,)k f ξξξ称为对称的.数域n F 上规范对称n 重线性函数称为n 阶积和式(Permanent)，记为12(,,...,)n Per ξξξ.记12(,,...,),1,2,...,i i i in a a a i n ==ξ，并记n 阶方阵A 为则n 阶积和式12(,,...,)n Per ξξξ也记为Per A .证明： 12121212.........n n i i ni n i i i Per a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=∑A .12. (P66)给定n 阶方阵()ij a =A .证明：211122122131113212311,111212111 (1).....................n n n n ij i j nn n nn na a a a a a a a a aa a a a a a a a ≤≤------=---∑A ，其中ij A 是行列式det A 中元素ij a 的代数余子式，1,i j n ≤≤. 13. (P84)计算下列n 阶行列式：（1）1112121222121...1..................1n nn n n na x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++++++ ； (2)111111111111...............k k k n m m mk k k n m m m k k k n m n m n m n C C C C C C C C C ++-++-+++++-+-+-+-；（3）1112221211211211...1............1...nnnn m m m n mmmn mmmCCC C C C C C C ---；（4）11122221222222122111110 (011)0 (01)...0............1...1...n n n n n n n n n n C x C C x C C C x C C C x ----------；（5）111212122212111...111.........111...nn n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++；（6）1112221cos cos 2...cos(1)1cos cos 2...cos(1).........1cos cos 2...cos(1)nn nn n n θθθθθθθθθ---；（7）111222sin sin(1)...sin sin sin(1)...sin ......sin sin(1)...sin nn nn n n n n n θθθθθθθθθ---；（8）21112222211...111...1......11...1nnn n n nx x x x x x x x x +++++++++；（9）122(1)4122212x nx n x n x n n x n--------+--；（10）计算2n 阶行列式11121111,11222212,111111,21,1,11,1121,1........................n n n n n nn n nn n n n n n n n nnnn n nna a ab b ba abba b c d c c d d c c c d d d --------，其余未写出的元素都是零.14.(P86)设12,,...,n a a a 是正整数.证明：行列式 能被12212...(2)(1)n n n n ----整除.15.(P86)(Burnside)设n 阶方阵()ij a =A 满足,1,ij ji a a i j n =-≤≤，则方阵A 称为斜对称方阵.把ij a 看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方. 16.(P86)(Minkowski)设n 阶方阵()ij a =A 的元素都是实的，并且10,0,,0nii ij iji a a i j a=><≠>∑.证明：17.(P86)(Levy-Desplanques)设n 阶方阵()ij a =A 的元素都是复数，并且1||||,1,2,...,nii ijj j ia ai n =≠>=∑，则方阵A称为主角占优矩阵.证明：主角占优矩阵的行列式不为零.18.(P87)把n 阶行列式展成λ的多项式，并用行列式det A 的子式表示它的关于λ的各次幂的系数，其中()ij a =A .提示：121211 (12)...det()(1)...k nk nkn kk i i i n k i i i i i i λλλ-=≤<<<≤⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭∑∑(n)I A A第三章 矩阵19.(P104)计算下列行列式：（1）121123111221221...1.....................n n n n n n n nnn n n s s s s s s s s xs s s s x s s s s x ---+-++-，其中幂等和12...,1,2,...k k kk n s x x x k =+++=（2）1231211122341.....................n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---------20.(P106)当1122,,...,k k j i j i j i ===时，矩阵A 的子式1212......k k i i i j j j ⎛⎫⎪⎝⎭A 称为矩阵A 的一个k 阶主子式，121...k i i i n ≤<<<≤.设m n⨯∈A .证明：矩阵TAA 的每一个主子式都是非负实数.21.(P106)设()m n⨯=∈A B,C ，其中B 是矩阵A 的前k 列构成的子矩阵.证明：2|det |det()det()TT≤A B B C C .22.(P113)系数都是整数的矩阵称为整系数矩阵.行列式等于1±的整系数矩阵称为幺模矩阵.证明：整系数矩阵A 的逆矩阵仍是整系数矩阵的充分必要条件是A 为幺模矩阵.23.(P113)设ij A 是n 阶方阵()ij a =A 的行列式det A 的元素ij a 的代数余子式.证明：12...(1)(1)...(1)(1) (1)d e t 12...(1)(1)...(1)(1)...i k j k i j k li l j li i j j n k k l ln +++-+-+⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭A A A ΑA A其中1,1ij n kln≤<≤≤<≤.24.(P114)设22n n⨯∈A ，且()()()()n n T n n ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭I 0I A A I 0I 0.证明：det 1=A . 25.(P123)设m n⨯∈A .证明：TTrank rank rank ==AA A A A .26.(P124)设,n nrank r ⨯∈=A FA ，从矩阵A 中任意取出s 个行构成s n ⨯矩阵B .证明：rank r s n ≥+-B . 27.(P124)设,m nrank r ⨯∈=A FA ，从矩阵A 中任意取出s 个行，t 个列上的交叉元素构成的s t ⨯矩阵记为B .证明：rank r s t m n ≥++--B .28.(P134)设A 和B 都是n 阶方阵，==AB BA 0，并且2rank rank =A A .证明：()rank rank rank +=+A B A B .29. (P134)设A 和B 都是n 阶方阵，==AB BA 0.证明：存在正整数k ，使得 ()kkkkrank rank rank +=+A B A B .30. (P134)设,m nn m ⨯⨯∈∈A FB F .证明：rank rank =AB A 的充分必要条件是，存在m n ⨯∈C F ，使得=A ABC .由此证明：如果rank rank =AB A 且方阵AB 幂等，则方阵BA 也幂等.31.(P134)证明：存在n 阶可逆的整系数矩阵P ，使得它的第一行为整数12,,...,n a a a 的充分必要条件是，整数12,,...,n a a a 互素.32.(P151)证明：存在m k ⨯矩阵A 和l n ⨯矩阵B 的广义逆-A 和-B ，使得()()[()()]m n rank rank rank rank --⎛⎫=++--⎪⎝⎭A C AB I AAC I B B 0B . 第四章 线性空间33.(P164)设t 个n 行向量12(,,...,),1,2,...,i i i in i t n ααα==≤α满足12||||,1,2,...,nii ik k i t αα=>=∑.证明：向量12,,...,t ααα线性无关.34.(P186)设1212,,...,,,,...,k k P P P Q Q Q 都是n 阶方阵，并且,,1,i j j i i i j rank rank i j k ==≤≤PQ Q P P PQ .证明：121212.........k k k rank rank =P P P P P P Q Q Q .第五章 线性变换35.(P205)设:n nFF ⨯→A 是线性映射，并且对任意,,()()n n F ⨯∈=A B AB BA A A .证明：tr λ=A ，其中F λ∈.36.(P219)设:V V →A 是数域上n 维线性空间V 到自身的线性映射，且2()()ρρ=A A .证明：Im()(){}Ker =0A A .37.(P219)设W 是数域F 上n 维线性空间V 到自身的所有线性映射构成的线性空间，W ∈A ，且()k ρ=A .定义线性映射:W W →A T 如下：设W ∈X ，令()=A T X A X .求()ρA T 与()νA T . 38.(P219)设,m n⨯∈A B F.证明：()rank rank rank +=+A B A B 的充分必要条件是，存在数域F 上m 阶与n 阶可逆方阵P 与Q 使得 ()(),r s ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭00I 0PAQ PBQ 0I 00。