2010-2011年海淀区高二上数学(理科)期末考试卷答案图片版
北京市海淀区高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x（B ）12y （C ）12x （D ）12y（3）在四面体OABC 中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c （B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α”是“直线m α，l m ”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变【答案】B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)a ，(4,2,)x b .若a b ，则x.【答案】103【解析】 试题分析：因为ab ，所以241230a b x ，解得103x。
考点：两空间向量垂直的数量积公式。
（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO .【答案】32或1 【解析】试题分析：由抛物线方程可知(1,0)F ，则1OF =。
2010年北京高考理科数学试卷及答案
2
3
p
6 125
a
d
[来源:学科网]
24 125
(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求 p ， q 的 值； (Ⅲ)求数学期望 E ξ。
(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ln(1 x) x
k 2 x (k 0) 2
( xb a ) 为一次函数”的 （6 ） a、b 为非零向量.“ a b ”是“函数 f ( x) ( xa b)
（A）充分而不必要条件
[键入文字]
（B）必要而不充分条件
[键入文字]
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
x y 11 0 x （7）设不等式组 3 x y 3 0 表示的平面区域为 D，若指数函数 y a 的图像上存在区域 D 上的点， 5 x 3 y 9 0
mn 2(m 1)
[键入文字]
[键入文字]
2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） （北京卷）
因为 cos x 1,1 ,
[来源:学科网]
所以，当 cos x 1 时 f ( x) 取最大值 6；当 cos x （16） （共 14 分） 证明： （Ⅰ）设 AC 与 BD 交于点 G. 因为 EF∥AG,且 EF=1，AG =
[键入文字]
(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4 ，第二、第三门课程取得 5
优秀成绩的概率分别为 p ， 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩 的 q ( p ＞ q )， 课程数，其分布列为 ξ 0 1
海淀区高二年级第一学期期末统考试卷新
海淀区高二年级第一学期期末统考试卷物 理2005．1学校_________班级_________姓名_________成绩___________说明：试卷中有些题，题首注有（文）字的文科学生做答，注有（理）字的理科学生做答．没有标注的题全体学生做答．没有分文、理科的学生可选做其中之一，若有（文）、（理）题都解答者不重复加分．一、本题共8个题；每个题3分，共计24分．在每个题的选项中只有一个符合题意，把正确的选项填在括号内．1．在下列物理量单位中，属于磁感应强度的单位是（ ）A ．库仑（C ）B ．安培（A ）C ．韦伯（Wb ）D ．特斯拉（T ）2．如图1所示，关于磁感线下列说法正确的是（ ）A ．磁感线在磁场中是客观存在的B ．磁感线密处的磁感应强度大，疏处的磁感应强度小C ．任意两条磁感线可以相交D ．在磁场中的任一点，小磁针静止时S 极的指向为该点的磁场方向图13．关于磁感应强度的大小，下列说法正确的是（ ）A ．一段通电导线在磁场中某处所受的安培力大，该处的磁感应强度就大B ．通电导线在磁场中受的安培力为零之处，磁感应强度一定为零C ．根据ILF B 可知，空间中磁感应强度的大小跟通过导体的电流成反比 D ．磁场中某点的磁感应强度的大小与放在该点的通电导体无关4．在图2中，标出了磁场方向、通电直导线中电流方向以及安培力的方向．下列图中正确的是（ ）图25．如图3所示，A 图线圈以速度v 沿箭头方向匀速运动；B 图线圈绕过a 点的垂直线圈平面的轴在纸面上转动；图C线圈绕ab边为轴从纸内向纸外转动；D图线圈绕OO′轴转动（设各图线圈始终处于无限大匀强磁场中）．这四个图中能产生感应电流的是（）图36．如图4所示电路，电源的内阻不能忽略，当依次闭合电路中各开关，使发光的电灯逐渐增多时，下面的说法正确的是（）A．外电路的总电阻逐渐变小，电灯两端的电压逐渐变小B．外电路的总电阻逐渐变小，电灯两端的电压逐渐变大C．外电路的总电阻逐渐变大，电灯两端的电压逐渐变大D．外电路的总电阻逐渐变大，电灯两端的电压逐渐变小图47．如图5所示，一带负电的金属环绕垂直于环面过环心的轴线OO′以角速度ω匀速转动，在环左侧轴线上可自由转动的小磁针最后的平衡位置是（）A．N极沿轴线向右B．N极沿轴线向左C．N极竖直向下D．N极竖直向上图5（文）8．如图6所示电路中，电源电动势为E，内阻为r．闭合开关后，当滑动变阻器R的滑动头p向b端移动时，电压表和电流表的示数变化情况是（）3图6A ．电压表示数变大，电流表示数变小B ．电压表示数变小，电流表示数变大C ．电压表示数变大，电流表示数变大D ．电压表示数变小，电流表示数变小（理）8．一台理想降压变压器，原、副线圈的匝数比为10∶1，它的输入电压最大值为220V ．另有一白炽灯泡，当把它直接接在电压为22V 直流电源上，灯泡消耗功率为P ．若把灯泡接在上述变压器次级线圈两端（不计灯丝电阻随温度变化），则变压器的输入功率为（ ）A ．P ／4B ．P ／2C ．PD ．2P二、本题共4个题，每个题3分，共12分．在每个题给出的四个选项中，有多个选项正确，请将正确选项填在括号内．全部选对的得3分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分．9．如图7所示，a 、b 分别是两个定值电阻1R 、2R 的U －I 图象，它们将U －I 坐标系分成I 、Ⅱ、Ⅲ三个区域．下列判断正确的是（ ）图7A ．1R 的阻值小于2R 的阻值B ．1R 的阻值大于2R 的阻值C ．若将电阻1R 、2R 串联，等效电阻的U －I 图象一定在区域ⅠD ．若将电阻1R 、2R 并联，等效电阻的U －I 图象一定在区域Ⅰ10．一根通有电流的直铜棒用软导线挂在如图8所示的匀强磁场，此时悬线的拉力大小大于铜棒受到的重力，欲使悬线中拉力变小，可采用的方法是（ ）A ．保持原磁场方向不变，适当减小铜棒中的电流B ．保持原磁场方向不变，使电流反向C ．保持电流大小、方向不变，使磁场反向D ．保持原磁场和电流大小不变，同时将磁场、电流都反向图811．如图9所示，在铁芯P 上绕着两个线圈A 和B ，如果线圈A 中电流i 随时间t 的变化关系分别如图10所示．在1t 到2t 这段时间内，可以在线圈B 中观察到感应电流的是（ ）图9 图10（文）12．如图11所示，水平放置的带电平行金属板间形成匀强电场，场强为E ，电场方向如图中箭头方向所示．两板间区域同时存在匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直于纸面向外．为使垂直于电场和磁场方向射入的带电粒子能做匀速直线运动，则（ ）图11A ．带电粒子带正电、负电都可能作直线运动B ．带电粒子必须带负电C ．带电粒子必须带正电D ．带电粒子的速度必须满足v ＝E /B （理）12．在图12中，线圈M 和线圈P 绕在同一铁芯上，下列叙述正确的是（ ）图12A ．闭合开关S 的瞬间，流过电流表的电流方向从a 流向bB ．闭合开关S 的瞬间，流过电流表的电流方向从b 流向aC ．断开开关S 的瞬间，流过电流表的电流方向从a 流向bD ．断开开关S 的瞬间，流过电流表的电流方向从b 流向a三、本题共6个题，每个题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．13．在闭合电路中，电源电动势为1.5V ，电源内电阻为0.10Ω，外电路的电阻为2.4Ω.则该闭合电路中的电流为______________A ，电源两端的电压为______________V ．14．在匀强磁场中，有一条与磁场方向垂直的通电直导线，电流为I ＝2.0A ，磁场中的导线长度为L ＝0.30m ，所受安培力大小为F ＝0.30N.则该磁场磁感应强度表达式为B ＝______________，磁感应强度大小为______________T ．15．把一个面积为S ＝5.0×22m 10-的单匝矩形线圈，放在磁感应强度B ＝2.0×210-T 的匀强磁场中，当线圈平面与磁场方向垂直的时候，穿过线圈的磁通量表达式为φ＝______________，磁通量的大小为______________Wb ．16．如图13所示，电阻为0.10Ω的导体棒ab 沿水平面内的光滑平行导轨向右作匀速运动，速度大小为5.0m ／s ．导轨左端的电阻R 为0.40Ω，导轨本身电阻不计．导轨间距为0.40m ，处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为0.10T ．在导体棒ab 和电阻构成的闭合回路中相当于电源的部分是______________，______________端相当于电源的正极；通过电阻R 的电流为______________A ，导体ab 所受的安培力大小为______________N ．图1317．如图14所示，L 是用绝缘导线绕制的线圈，匝数为100．由于线圈的横截面积不大，可以认为穿过各匝线圈的磁通量是相同的．设在0.5s 内把磁铁的一极插入螺线管，这段时间里穿过每匝线圈的磁通量由0增至1.5×510-Wb ．这一过程中螺线管中产生的感应电动势为__________V ；如果线圈和电流表的总电阻是3Ω，则感应电流是___________A ．图14（文）18．如图15所示，边长分别为1L 、2L 的矩形线圈ab c d 以角速度ω在匀强磁场中绕OO ′轴转动，磁感应强度为B ．则在图示位置时线圈中的感应电动势为____________；线圈转到___________位置时感应电动势为零．图15 图16 图17（理）18．此题包括两小题．（1）某交流发电机产生的感应电动势随时间的变化关系如图16所示．由图可知该交流电动势的有效值为______________V ，交流电的频率为______________Hz ．（2）匀强磁场分布在半径为R 的圆形区域内，磁感应强度为B ，CD 是圆的直径．质量为m 、电荷为q 的带负电粒子（不计粒子重力），经电场加速后，从C 点沿CD 方向进入磁场，如图17所示．若带电粒子在磁场中运动的时间为Bqm 3π，则带电粒子运动速率大小为____________________________．四、本题共2小题，共10分．把答案填在题中的横线上，或按要求画图．19．在“描绘小电珠的伏安特性曲线”的实验中，采用了图18所示电路．图18（1）根据电路图，将图19中所示的仪器连成实际测量的电路；图19（2）通过调节滑动变阻器的滑片P，改变小灯泡两端的电压和通过小灯泡的电流，记录数据如下表．根据表格中的数据，用描点法在U－I直角坐标系中画出小电珠的伏安特性曲线．（3）小电珠的伏安特性曲线不是直线的原因是______________________．（理）20．在“测定金属的电阻率”的实验中，用螺旋测微器测量金属丝的直径，算出金属丝的横截面积；利用伏安法测量金属丝的电阻．螺旋测微器示数及电流表、电压表的示数如图21所示，金属丝的直径是___________mm，金属丝的电阻是___________Ω（保留两位有效数字）．根据所测出金属丝的电阻值可知，实验电路应选择电流表___________接法（选填“内”或“外”）．图20图21五、本题共4小题，共30分．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题必须明确写出数值和单位．21．（7分）如图22所示，两根平行金属轨道水平放置，轨道间距为0.40m．金属棒与轨道、电源、电阻构成一闭合回路，通过金属棒的电流为 1.2A，轨道区域加有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B＝0.50T．求：金属棒所受安培力的大小和方向．图2222．（7分）如图23所示，MN、PQ为固定在水平面上的光滑平行金属轨道，相距40cm．两轨道上垂直放置一金属杆ab，其有效电阻为0.50Ω，接在M、P间的电阻器R＝1.50Ω，与其并联的电压表电阻很大，其他电阻不计．竖直向下的匀强磁场的磁感应强度为B＝0.50T．在水平外力作用下使ab杆以6m／s的速度向右匀速滑动．求：（1）通过金属杆ab的电流；（2）电压表的示数；（3）此时外力做功的功率．图2323．（8分）把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图24所示．一长度为2a，电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向左移动经过环心O时，求：（1）画出此时的等效直流电路并标出各电阻的大小；（2）金属棒上电流的大小和方向；（3）对金属棒拉力大小；（理）（4）在圆环和金属棒上消耗的总热功率．图24（文）24．（8分）如图25所示的电路，开关S闭合后，电路工作状态正常，此时电流R＝4.0Ω，若某个电阻发生断路，将使电流表示表的示数为0.75A，电压表示数为2.0V，3数变为0.80A，电压表示数变为3.2V．已知电流表和电压表均为理想表，求：（1）简要说明发生断路的电阻是哪一只；R的阻值．（2）电源的电动势和电阻2图25（理）24．（8分）如图26所示，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向、垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在x＜0的空间内，还存在着沿x轴负方向的匀强电场．一个质量为m、带电荷量为q的油滴经图中M（－a，0）点，沿与x轴方向成 角斜向下做直线运动，进入x＞0的区域．求：（1）油滴带什么电荷；（2）油滴经M 点时速率的大小；（3）油滴进入x ＞0的区域，若能到达x 轴上的N 点（图中已标出），经N 点时油滴的速率．图262003—2004学年度高二第一学期期末练习物理参考答案及评分标准一、本题共8小题；每小题3分，共计24分。
2010年北京海淀区高考二模数学理科试题(word版含解析)(无水印)
数 学 （理科） 2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =D ．A B =∅2．函数()sin(2)3f x x π=+图象的对称轴方程可以为A ．12x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．6x π=3．如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为 A ． 20︒ B ． 40︒ C ． 60︒ D ． 70︒ 4．函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为A ．1B ．3-C ．1或3-D ．06．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能 使n α⊥成立的是A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为 A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥8．已知动圆C 经过点F (0，1)，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积 A ．有最大值为π B ．有最小值为π C ．有最大值为4π D ．有最小值为4π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．在极坐标系中，若点0(,)3A πρ(00ρ≠)是曲线2cos ρθ=上的一点，则0ρ= ．10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”）11．已知向量a =)0,1(，b =)1,(x ，若a b 2= ，则x = ；a b += ． 12． 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 ． 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin a c A =，则a bc+的最大值为 ．14．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2（1）已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 为矩形，侧棱P A A B C D ⊥底面，其中226B C A B P A ===，M N ,为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示． （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面； （Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值．17．（本小题满分13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立． （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x在区间上单调递减，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分13分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1，0)， 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；B（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2010．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10．<11．212．48 1314．；84．三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，由2446,10a a S+==，可得11246434102a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………………………2分即1123235a da d+=⎧⎨+=⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，………………………4分∴()111(1)na a n d n n=+-=+-=，故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………5分 （Ⅱ）依题意，22nnn n b a n =⋅=⋅，∴12n n T b b b =+++231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，………………………7分 又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，………………9分两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅ ………………………11分()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-， ………………………12分∴1(1)22n n T n +=-⋅+．………………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM ， ABCD 底面为矩形，O AC ∴为中点，………… 1分 M N PC 、为侧棱的三等分点， CM MN ∴=，//OM AN ∴ ，………… 3分 ,OM MBD AN MBD ⊂⊄ 平面平面，//AN MBD ∴平面．………… 4分 （Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，(0,6,0)D ，(0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ， (1,2,2),(0,6,3)AN PD ==-，………………………5分cos ,AN PD AN PD AN PD⋅∴<>===，………………………7分∴异面直线AN 与PD．………………………8分（Ⅲ） 侧棱PA ABCD ⊥底面，(0,0,3)BCD AP ∴=平面的一个法向量为， ………………………9分设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ，(3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=-，并且,BD BM ⊥⊥ m m ，36040x y x y z -+=⎧∴⎨-++=⎩，令1y =得2x =，2z =-， ∴MBD 平面的一个法向量为(2,1,2)=-m ． ………………………11分 2cos ,3AP AP AP ⋅<>==-m m m，………………………13分由图可知二面角M BD C --的大小是锐角，∴二面角M BD C --大小的余弦值为23． ………………………14分17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A ． ………………1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况…………………2分 事件A 所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，()431327P A ==． 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为127． ………………5分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()13P C =．………………………6分4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布．X 可取的值为0，1，2，3，4．………………………8分 ()4412()()33i i iP X i C -==， 0,1,2,3,4i =．．………………………10分分X 的期望为()14433E X =⨯=．……………………13分18．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-，……………………1分令()0f x '=，得x =………………………2分()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：………………………4分由上表可知，x =函数()f x 的极小值点，x =是函数()f x 的极大值点．………………………5分（Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，……7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；．…………………8分当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，因为x ∈，不等式22(22)20ax a x a ---≥等价于2222a x x a--≥，………………………9分令2(),g x x x x=-∈，则22()1g x x '=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，所以()g x 在上的最小值为0g =， ………………………11分由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222a x x a--≥对任意x ∈恒成立，需且只需2min22()a g x a -≥，即2220a a-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤．综合上述，若函数()f x 在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，即22(22)20ax a x a ---≥对任意x ∈恒成立， …………………7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；…………………8分当0a >时，令22()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21a x a-=，．……………9分 若210a a-≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥对任意x ∈恒成立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤；．．………………………11分若210a a->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如()0h x ≥对任意x ∈恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，所以()0h x ≥不能对任意x ∈恒成立．综合上述，若函数()f x在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ……13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，…………2分（Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且． 联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 24160ky y k --=，………………3分显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则 124y y k+=① 1216y y ⋅=- ② …………………4分 又12AM MB = ，所以 1212y y =- ③…………………5分由①② ③消去12,y y ，得 22k =， 故直线l的方程为y -或y =+．…………………6分（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，…………………8分将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k -=⋅++，所以，21k =． ………………………9分联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=．………………………10分由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得 242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，…………………12分将21k =，221b a =-代入上式并化简，得 2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ 因此，椭圆1C． ………………………13分20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈ ， ………………………1分 2()1,[0,]f x x π=∈ ．………………………2分（Ⅱ）21,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，………………………3分221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩ ，………………………4分22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，………………………5分当[1,0]x ∈-时，21(1)x k x -≤+1k x ∴≥-，2k ≥；当(0,1)x ∈时，1(1)k x ≤+11k x ∴≥+1k ∴≥； 当[1,4]x ∈时，2(1)x k x ≤+21x k x ∴≥+165k ∴≥． 综上所述，165k ∴≥ ………………………6分 即存在4k =，使得()f x 是[1,4]-上的4阶收缩函数． ………………………7分（Ⅲ）()2()3632f x x x x x '=-+=--，令'()0f x =得0x =或2x =．函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =，解得0x =或3． ………………………8分 ⅰ）2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3f x f x x x ==-+，()1()00f x f ==．因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，所以，①()()21()20f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0f x f x x ->-成立． ………………………9分①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤．…………………10分 ②即：存在[0,]x b ∈，使得()2310x x x -+<成立．由()2310x x x -+<得：0x <x <，所以，需且只需b >1b <≤． ………………………11分 ⅱ）当2b >时，显然有3[0,]2b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得： 2327()28f =，13()02f =， 可得 2133273()232282f f ⎛⎫-=>⨯= ⎪⎝⎭，此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立． ………………………13分1b <≤．注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已．。
【最新资料】北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为 直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-． 设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |． 所以 二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =． 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。
海淀区高二年级第一学期期末练习-理科--2
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科）2012.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线22122xy-=的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. 4y x =± 2. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1313=-S S ，则数列}{n a 的公差是（ ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．33. 空间向量a (1,1,1),=b (0,1,1)=-,则a ，b 的夹角为（ ） A. 30B. 60C. 90D. 1204.已知1:1p x<，:1q x >，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.命题p ：R ,x ∀∈210ax ax ++≥，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,4) B.[0,4] C.(,0)(4,)-∞+∞ D. (,0][4,)-∞+∞6. 点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到原点距离的取值范围是（ ）A.[2,3]B. [2,C. [2,D. [2,4]7. 已知定点(1,0),(1,0)A B -, P 是动点且直线,PA PB 的斜率之积为λ，0λ≠，则动点P 的轨迹不可能．．．是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 8.在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>中, 12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ,D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为( )A.121-2二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 抛物线22y x =上横坐标为2的点到其焦点的距离为________.10.在A B C ∆中，3,5,120a b C === ，则_______,sin _______.c A ==11.空间向量a )0,1,2(-=,b )1,0,1(-=,n ),,1(z y =，若n ⊥a ，n ⊥b ，则z y +=_____. 12.若直线y x t =+与抛物线24y x =交于两个不同的点A B 、，且弦AB 中点的横坐标 为3，则____t =.13.数列{}n a 的前n 项和为2*,N n S n n n =+∈，则______,n a = 数列2{}9n a n +中最大项的值为________. 14.若椭圆1C ：1212212=+b y a x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x（022>>b a ）的离心率相同，且12a a >. 给出如下四个结论： ①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b =；③22221212a a b b -<-； ④1212a a b b -<-.则所有结论正确的序号是________.三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本小题共12分）已知椭圆22:184xyC +=的左焦点为1F ，直线2:-=x y l 与椭圆C 交于B A 、两点. (I) 求线段A B 的长； (II)求1ABF ∆的面积.16. （本小题共12分）数列{}n a 的前n 项和为n S . 若11=a ,且2(1)n n S n a =+，*N n ∈.(I) 求{}n a 的通项公式和n S ;(II) 设n a b n 2=, 求}{n b 的前n 项和.BCDO AP17.（本小题共10分）四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为等腰梯形， 其中//A D B C ，O 为A D 中点，P O ⊥底面A B C D .又8,4,4AB BC AD PO ====.( I ) 求直线PA 和C D 所成角的余弦值； ( II ) 求B PA D --的平面角的余弦值；18.（本小题共10分）椭圆2222:1x y C ab+=(0)a b >>, 直线(1)y k x =-经过椭圆C 的一个焦点与其相交于点,M N ，且点3(1,)2A 在椭圆C 上 .( I ) 求椭圆C 的方程；( II ) 若线段M N 的垂直平分线与x 轴相交于点P ，问：在x 轴上是否存在一个定点Q ，使得||||P Q M N 为定值？若存在，求出点Q 的坐标和||||P Q M N 的值；若不存在，说明理由.海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准2012.1一. 选择题.二.填空题.9.5210.7,1411. 3 12. 1-13. 12,3n a n = 14. ①，②（错选，漏选的都不给分）说明：两空题目都是一个空2分 三.解答题.15.解: ( I ) 设1122(,),(,)A x y B x y .因为22184xy+=和2y x =-相交，把两个方程联立，得222802x y y x ⎧+-=⎨=-⎩…………………….2分 代入得到222(2)80x x +--= ，即2380x x -=，解得1280,3x x ==…………………….4分所以1222,3y y =-=， …………………….6分所以||AB ==…………………….8分( II ) 法一：因为点1(2,0)F -到直线2y x =-的距离为d ==…….10分所以11116||2233ABF S AB d ∆=⋅=⋅=…………………….12分 法二：直线2y x =-通过椭圆的右焦点2(2,0)F ，则2A B F ∆的面积为112121||(||||)2A B F S F F y y ∆=+ …………………….10分12164(2)233=⨯⨯+=…………………….12分16.解: ( I )因为2(1)n n S n a =+，当2n ≥时，有112n n S na --=， 两个代数式相减得到12(1)n n n a n a na -=+-，化简得到1(1)n n n a na --= ………………….2分又11a =，所以0n a ≠所以11n n a n a n -=-，所以有 …………………….4分1212n n a n a n ---=-，…3232a a =,2121a a =, 把这1n -个代数式相乘，得到11n a n a =，又11a =，所以(2)n a n n =≥，又11a =所以有*()na n n N=∈…………………….6分211222nna a n n nS n n+++===…………………….8分(II) 因为na n=，所以22nna=，所以2nnb=…………………….10分又11222nnnnbb--==，所以{}nb是首项为2，公比为2的等比数列，所以其前n项和11(1)221nnnb qTq+-==--17.解:( I ) 取B C中点M，因为A B C D为等腰梯形，所以O M A D⊥又P O⊥平面A B C D，所以,PO OD PO OM⊥⊥以O为原点，,,OM OD OP所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系………….2分由已知，得(0,0,0),(0,2,0),(0,2,0)O A D-，(2,4,B-所以(0,2,4),(2,2,0),A P C D==4,||||A P C D A P C D⋅===所以cos,10||||AP CDAP CDAP CD⋅<>===所以直线PA和C D所成角的余弦值为10……………….5分（II）因为,OM PO OM AD⊥⊥，所以O M⊥平面PAD，所以取平面PAD的法向量为(1,0,0)m=……………….6分设平面P A B的法向量为(,,)n x y z=，因为(0,2,4),(2,2,0)A P A B==-，所以0,0,AP n AB n⋅=⋅=代入得到240220y z x y +=⎧⎨-=⎩，所以2y zy x =-⎧⎨=⎩，取(2,2,1)n =- ……………….8分 所以2cos ,3n m <>=所以平面PAB 和平面P A D 所成角的余弦值为23-……………….10分18解: (I)直线(1)y k x =-经过椭圆C 的一个焦点，令0y =，得到1x =，即1c = ………………….1分 所以其焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,又点3(1,)2A ,根据椭圆的定义,得到 12||||2AF AF a +=计算得12||||4,AF AF += 所以2a = …………………….2分 又222a b c =+,所以b =…………………….3分椭圆的方程为22143xy+=; …………………….4分(II)设直线MN 的方程为(1)y k x =-, 1122(,),(,)M x y N x y把其和椭圆联立,得到22143(1)x yy k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩, 整理得到 2222(34)84120kx k x k +-+-=, 因为直线(1)y k x =-过焦点，所以0∆>又221212228412, ,3434kk x x x x kk-+==++ …………………….5分所以12|||M N x x =-=代入得到2212(1)||43k M N k +=+ …………………….6分又MN 的中点为22243(,)4343kkk k -++,线段ＭＮ的垂直平分线与x 轴相交，所以0k ≠所以MN 的垂直平分线为 222314()4343k ky x k kk --=--++,令0y =,得到2243kx k =+,…………………….7分设(,0)Q t ，所以2222(41)3||||||4343kt k tPQ t k k -+=-=++,又22222222(41)3|||||(41)3|1(41)343||12(1)||12(1)12(1)43t k t PQ t k t t k tk k M N k k k -+-+-++===++++2213(41)11|(41)||(41)|12(1)12(1)t t t t t k k ---=-+=-+++…………………….9分若其为定值，则21(1)t k -+与k 无关，当且仅当1t =，所以存在定点(1,0)Q ，使得||||P Q M N 为定值14. …………………….10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，则 （ ） (2,1,3)a =- (1,2,1)b =- a b ⋅=A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.112212a b x y x y z z ⋅=++【详解】因为，，(2,1,3)a =- (1,2,1)b =- (2)(1)12317a b ∴⋅=-⨯-+⨯+⨯=故选：D2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） 2213x y m +=(10)-，m A ． B ． C ． D ．2456【答案】B【分析】根据题意得到得到答案. 314m =+=【详解】椭圆焦点在轴上，且，故. x 1c =314m =+=故选：B.3．等差数列的前项和为，若则等于 {}n a n n S 242,10,S S ==6S A ．12 B ．18 C ．24 D ．42【答案】C【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6， 第三个2项和为14，则， 6281424S =++=故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．在正方体中O 为面的中心，为面的中心.若E 为中点，1111ABCD A B C D -11AA B B 1O 1111D C B A CD 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） AE 1OOA B C D 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. AE 1OO 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，2，()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O， ()()12,1,0,1,0,1AE OO =-=-设异面直线与所成角为，AE 1OO θ则. cos θ=故选：B5．数列中，，对所有的，，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥*n ∈N 2123····n a a a a n ⋯=35a a +A ． B ．2592516C ．D ．61163115【答案】C【分析】分别令，代入递推关系式，即可求出，进而求出结果.2,3,4,5n =35,a a 【详解】当时，；当时，；2n =2122a a =3n =21233a a a =当时，；当时，；4n =212344a a a a =5n =2123455a a a a a =则，； 212331229=243a a a a a a ==21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==所以. 356116a a +=故选：C.6．若直线与直线平行，则实数的值为()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=m （ ）A ．B ．1C ．1或D ．98-98-1-【答案】A【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验.()()223232m m m m -=+--m【详解】解：因为直线与直线平行，()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=所以，解得或，()()223232m m m m -=+--1m =98m =-当时直线为，显然不成立，故舍去；1m =()()222341m m x m m y m +-+-=-03=当时直线为，符合题意； 98m =-()()222341m m x m m y m +-+-=-1021531164642x y -+=-故选：A7．设实数，满足 ） x y 4x y +=A B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】上的点与点的距离，从而利用4x y +=()1,1-点到直线的距离公式即可求得最小距离.，==上的点与点的距离， 4x y +=()1,1-所以最小值为.d 故选：C.8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小{}n a {}n b {}n a {}n b 到大排列得到数列，则下列说法正确的是（ ） {}n c A ． B ．C ．D ．122a b c +=824b a c -=238b c =629a b c =【答案】C【分析】由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.,,n n n a b c 【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以{}n a ()23131n a n n =+-=-，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共{}n b ()35152n b n n =+-=-{}n a {}n b 项从小到大排列得到数列，{}n c故数列是首项为8，公差为15的等差数列，． {}n c ()8151157n c n n =+-=-对于A ，，，，故错误； 12225210a b +=+⨯-=2152723c =⨯-=122a b c +≠对于B ，，，，故错误； 8258232133b a -=⨯--⨯+=4154753c =⨯-=824b a c -≠对于C ，，，，故正确；235232113b =⨯-=81587113c =⨯-=238b c =对于D ，，，，故错误． ()()62361522136a b =⨯-⨯⨯-=91597128c =⨯-=629a b c ≠故选：C ．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若 ，则 或a b = a b = a b =- B ．若向量 是向量 的相反向量，则a ba b = C ．在正方体 中，1111ABCD A B C D -11AC AC =D ．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则mn p m n = n p = m p = 【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A ：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A 错误； a b = a b 对于选项B ：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B 正确；对于选项C ：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以1111ABCD A B C D -AC 11A C11AC AC = C 正确；对于选项D ：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论m n = n p = m p ，m p = ,m n p ，也正确，所以D 正确. 故选：BCD.10．已知曲线.（ ） 22:1C mx ny +=A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示0m n >>0m n =>0mn <双曲线，时表示两条直线.0,0m n =>【详解】对于A ，若，则可化为， 0m n >>221mx ny +=22111x y m n +=因为，所以， 0m n >>11m n<即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A 正确；C y 对于B ，若，则可化为， 0m n =>221mx ny +=221x y n+=此时曲线的圆，故B 不正确； C 对于C ，若，则可化为， 0mn <221mx ny +=22111x y m n +=此时曲线表示双曲线， C 由可得，故C 正确； 220mx ny +=y =对于D ，若，则可化为， 0,0m n =>221mx ny +=21y n=表示平行于轴的两条直线，故D 正确； y =C x 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是{}n a n n s 121n n s s n +=+-*N n ∈（）（ ）A ．数列为等比数列{}n s n +B ．数列的通项公式为{}n a 121n n a -=-C ．数列为等比数列{}1n a +D ．数列的前n 项和为 {}2n s 2224n n n +---【答案】AD【分析】由条件找到可判断A 正确，由A 可求得的通项公式，利用分组1(1)2(),n n s n s n +++=+{}n s求和可得D 正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD 错误. {}n s {}n a 【详解】 121,n n s s n +=+- 1(1)2(),n n s n s n +∴++=+又1120,s +=≠数列是首项公比都为的等比数列，故选项A 正确.∴{}n s n +2又2nn s n +=1222,n n s n +∴=-所以数列的前和为，故选项D 正确.{}2n s n 2222(12)(1)224122n n n n n n +-+-⨯=----又因为，2nn s n +=2n n s n =-当，2n ≥1121,n n n n a s s --=-=-当，，1n =11a =故选项B 错误.11,121,2n n n a n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 12,112,2n n n a n -=⎧+=⎨≥⎩32121111a a a a ++∴≠++所以数列不是等比数列.故选项C 错误.{}1n a +综上，故选：A D12的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C ：，22221(0)x y a b a b +=>>，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上1A 2A 1B 2B 1F 2F P 一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴，且D ．四边形的内切圆过焦点1PF x ⊥21//PO A B 1221A B A B 12,F F【答案】BD【分析】确定正确答案.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a ab +=++化简得，即有，220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，轴，且，1PF x ⊥21//PO A B 由，解得， ()22221Pc y a b-+=2Pb y a =±不妨设，由，可得，2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭21PO A B k k=2b b a a c=--解得，又，所以，不符合题意，故C 错误； b c =222a b c =+c e a===对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ， 1221A B A B 1F 2F 1221A B A B 则，即，ab =222b a c =-42310e e-+=解得即，符合题意，故D 正确； 2e =2e =e =故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化,a c 为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. ca,a c e三、填空题13．设等差数列的前n 项和为，若，，则________. {}n a n S 23a =-510S =-5a =【答案】【分析】根据，求出，，再计算即可. 23a =-510S =-14a =-1d =5a 【详解】由题知：，解得：，. 113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩14a =-1d =. 5440a =-+=故答案为：0【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于n 简单题.14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为1F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅________． 【答案】9【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 126MF MF +=12MF MF ⋅【详解】∵在椭圆上 M C ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得，即，当且仅当126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤时取等号.123MF MF ==故答案为：9.15．已知双曲线(a ＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．22221x y a b-=>【答案】 y =【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. ba【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得22221xy a b -=2=b a =故双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =四、双空题16．点P 是直线上的动点，直线与圆分别相切于A ，B2100x y ++=,PA PB 22230C x y x +--=；两点，则当点 P 的坐标为___________时， 切线段 的长度最短；四边形面积的最小值PA PACB 为___________.【答案】1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭【分析】，当最短时的长度最短，求出直线的方程与PC PA PA 联立可得解得坐标；P 由四边形，当最短时最小，可得的最小值.2A PACB PAC S S ==PC PACB S PACB S 【详解】由得圆心，半径圆， ()2214x y -+=()10，C 2R =所以当最短时的长度最短，PC PA 由圆心做直线的垂线，垂足为，此时最短， C 2100x y ++=P PC 所以直线的斜率为，方程为， PA 12()112y x =-由解得，即.()2012101y y x x ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩+195125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩=-1912,55P -⎛⎫- ⎪⎝⎭四边形22A PACB PAC S S AC PA PA ==⨯==所以当最短时最小，由圆心到直线的距离为PC PACB S C 2100x y ++=，所以的最小值为. PACBS ==故答案为：. 1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭五、解答题17．等比数列中，已知． {}n a 142,16a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 35,a a {}n b {}n b n n S 【答案】(1) .2n n a =(2) .2622n S n n =-【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．{}n b n 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以{}n a q 3162q =2q =（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，38a =532a =38b =532b =设的公差为，则有解得 {}n b d 1128{432b d b d +=+=116{12b d =-=从而 1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列的前项和{}n b n 2(161228)6222n n n S n n -+-==-【解析】等差、等比数列的性质18．如图，若是双曲线的两个焦点. 12,F F221916x y -=（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.12|||3|2F PF P =⋅12F PF △【答案】（1）10或22；（2）.1216F PF S =△【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可； （2）先根据定义得到，两边平方求得，即证21||||6PF PF -=2212||||PF PF +，，再计算直角三角形面积即可.2221212||||||100PF PF F F +==1290F PF ∠=︒【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，M m 则由双曲线定义可知，，解得或，|16|26m a -==10m =22m =即点到另一个焦点的距离为或；M 1022（2）P 是双曲线左支上的点，则，21||||26PF PF a -==则，而，221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅所以，2212||||36232100PF PF +=+⨯=即，2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，12F PF △1290F PF ∠=︒所以. 121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=A 19．如图，在四棱锥S ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面-ABCD ，△SCD 是以CD 为斜边的等腰直角三角形，BC ＝2AD ＝2CD ＝4，E 为BS 上一点，且BE ＝2ES ．(1)证明直线SD ∥平面ACE ；(2)求点E 到平面ACS 的距离．【答案】(1)答案见解析【分析】（1）连接交于点F ，由可得，再结合可得BD AC AD BC ∥2BF BC FD AD==2BE BF ES FD ==，再由线面平行的判定定理可证得结论； EF SD ∥（2）由题意可证得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用BC ⊥SCD C xyz -ACS 点到平面的距离公式求解．【详解】（1）连接交于点F ，连接， BD AC EF 因为，所以与相似，所以， AD BC ∥AFD △CFB A 2BF BC FD AD ==又，所以， 2BE BF ES FD==EF SD ∥因为平面平面，EF ⊂,ACE SD ⊄ACE 所以直线平面SD A ACE （2）因为平面平面，平面平面平面，，所SCD ⊥ABCD SCD ,ABCD CD BC =⊂ABCD BC CD ⊥以平面，BC ⊥SCD 以C 为坐标原点，所在的方向分别为y 轴､z 轴的正方向，与均垂直的方向作为x 轴,CD CB,CD CB 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，C xyz -因为， 224,2BC AD CD BE ES ====则， 224(0,0,0),(1,1,0),(0,2,2),,,333C S A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以， 224(0,2,2),(1,1,0),,,333CA CS CE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为，则，即， ACS (,,)m x y z = 00m CA m CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，于是，1z =1,1x y ==-(1,1,1)m =- 则点E 到平面ACS 的距离为CE m m⋅== 20．已知数列的各项均为正数，其前项和满足． {}n a n n S 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．()()1111n n n b a a +=++{}n b n n T 【答案】(1)；21n a n =-(2). 44n n T n =+【分析】（1）根据与之间的关系进行求解即可；n S n a （2）运用裂项相消法进行求解即可, 【详解】（1）在中，令，得， 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =11211112a a S a +⎛⇒⎫= ⎪⎝⎭==当时，由， ,2n n *∈≥N 22111122n n n n a a S S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭于是有， ()()221111201122n n n n n n n n n a a a a S a a a S ----++⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝-⇒+-=⎭因为数列的各项均为正数，{}n a 所以由，()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n a 所以有，显然适合，1(1)221n a n n =+-⋅=-11a =因此；21n a n =-（2）由（1）可知：， 21n a n =-所以， ()()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 11111114223144n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ 21．已知圆过点，且圆心在直线上.C (6,0),(1,5)A B :2780l x y -+=(1)求圆的标准方程；C (2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐()0,5D k l C ,M N 30OM ON ⋅= O 标原点，求直线的方程.l 【答案】(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)5y =【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三,A B 个参数，即可求出圆的方程；,,a b r （2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入l y x ，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.30OM ON ⋅= k 0∆>【详解】（1）设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=则由题可得：，解得： 222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩{a =3b =2r 2=13故所求圆C 的方程为.22(3)(2)13x y -+-=（2）由题设，可知直线的方程为.l 5y kx =+代入方程，整理得，22(3)(2)13x y -+-=22(1)6(1)50k x k x +--+=设，1122(,),(,)M x y N x y 则，， 1226(1)1k x x k -+=+12251x x k =+12121212(5)(5)OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ 21212230(1)(1)5()25301k k k x x k x x k -=++++=++由题设可得，解得或， 230(1)30=301k k k -++=1k =0k 经检验 不满足=1k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅> 满足=0k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅>所以的方程为.l 5y =22．已知正方形的边长为4，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC ；//OD (2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为；若存在，求此时二面角60 M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上，且，证明见解析；2AO =(2)存在，. 14【分析】（1）延长FM 与EA 的延长线交于点O ，判断点O 在平面ADE 内，连接DF 交CE 于N ，结合线面平行的判定推理作答；（2）以AE 的中点H 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M 的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形是矩形，点M 为AB 的中点，如图1，延长FM 与EA 的延长ABFE 线交于点O ，又平面ADE ，即有平面ADE ，因，且， EA ⊂O ∈//AM EF 1122AM AB EF ==因此点A 为线段EO 中点，即AO =2，M 为线段FO 的中点，连接DF 交CE 于N ，连接MN ，矩形CDEF 中，N 是线段DF 中点，于是得，而平面，平面，//MN OD MN ⊂EMC OD ⊄EMC 所以平面.//OD EMC （2）依题意，，，，平面，平面，则EF AE ⊥EF DE ⊥AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 平面，且为二面角的平面角，即. EF ⊥ADE AED ∠A EF D --60AED ∠=o连接，而，AD 2AE DE ==即有为正三角形，取的中点H ，连接DH ，则，ADE V AE DH AE ⊥由平面，平面，得平面平面，EF ⊥ADE EF ⊂ABFE ADE ⊥ABFE 又平面，平面平面，于是得平面，DH ⊂ADE ADE ABFE AE =DH ⊥ABFE 取BF 中点G ，连接HG ，由矩形得，即有两两垂直，ABFE HG AE ⊥,,HA HG HD 以点H 为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，,,HA HG HD ,,x yz则点，，.()1,0,0E-(D (0,C 假设存在点M 满足条件，因点M 在线段AB 上，设，， ()1,,0M t ()04t ≤≤，，. (ED =(1,EC = ()2,,0EM t = 设平面的一个法向量，则， EMC ()111,,x n y z =111114020n EC x y n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令， 1y=(),8n t =- 因直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则，解得或， ||sin 60|cos ,|||||n DE n DE n DE ⋅=〈〉===1t =3t =即存在点满足直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，点为线段AB 的靠近点A 或B 的四等分M M 点.设平面的一个法向量，则， ECF ()222,,m x y z=22222040m ED x m EC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，得， 21z =-)1m =-则.)()1,8m n t -⋅=⋅-u r r 3848t t t =--+=-+令平面MEC 与平面ECF 的夹角为，θ则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉= ==显然或时，. 1t =3t =1cos 4θ=由图可知，二面角为锐角， M EC F --所以二面角的余弦值为. M EC F --14。
北京市海淀区高二数学上学期期末练习试题 理
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B. 83 C.163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（）A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2-C.[2-D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号） ①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ； ( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12xC y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A . ( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习OAxPQ数学（理科） 参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1214. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =u u u r ，(,2)AP x y =-u u u r，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-u u u r u u u r.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-u u u r u u u r. -------------8分又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-u u u r u u u r. -------------10分16．（本小题满分12分）解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t ⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分 所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II）因为||AB ==4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为-------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==u u u r u u u r ,所以CB OA =u u u r u u u r,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==u u u r u u u r （）,（）,所以12CE OD =u u u r u u u r,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CE CB C ==I I所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =r，-------------1分而(2,0,1)BE =-u u u r ,所以0BE n ⋅=u u u r r ，即BE n ⊥u u u r r，-------------3分又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =u r,因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-u u u r u u u r,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u ru u u r u r, 所以可取(1,0,1)m =u r . -------------6分 又(2,2,0),OB =u u u r设OB 与平面ABD 所成的角为θ.所以1sin |cos ,|||2||||OB mOB m OB m θ⋅=<>===u u u r u ru u u r u r u u u r u r . -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直. 设BP BE λ=u u u r u u u r, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-u u u r.又(2,2,2)BD =--u u u r,所以4420AP BD λλ⋅=-+=u u u r u u u r，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQx x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+, 所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分 说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．空间向量（ ）OA OB AC -+=A ．B ．C ．D ．AB CB OC BC 【答案】D【分析】利用向量的加减法则即可求解.【详解】 OA OB AC BA AC BC -+=+=故选：D2．圆的半径是（ ） 22230x y y +--=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】将圆的一般式化为标准式即得.【详解】由，可得， 22230x y y +--=()2214x y +-=所以圆的半径是， 22230x y y +--=2故选：B.3．抛物线的焦点到准线的距离是（ ） 28x y =A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【详解】抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2),准线方程为y =-2,焦点到准线的距离为4. 故选：C.4．已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 2n S n =2a =A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据关系解决即可.,n n a S 【详解】由题知，数列的前项和，{}n a n 2n S n =所以， 122413a S S =-=-=故选：C5．若等差数列满足，，则其前n 项和的最小值为（ ）{}n a 31a =-41a =A ．B ．C ．D ．9-8-7-6-【答案】A【分析】由已知求出和的值，得到，即可求出最小值.1a d ()22639n S n n n =-=--【详解】由题意可得，，又，所以. 432d a a =-=312a a d =+15a =-所以，的前n 项和， {}n a ()1522n n n S n -=-+⨯()226399n n n =-=--≥-当时，有最小值. 3n =n S 9-故选：A.6．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（ ）{}n a *212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,*212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a 即可选出结果.【详解】解:由题知是各项不为0,{}n a 若,*212N ,n n n n a a a ++∀∈=则, 121n n n n a a a a +++=故为等比数列; {}n a 若为等比数列, {}n a 则有, 121n n n n a a a a +++=即;212n n n a a a ++=综上“”是“为等比数列”的充分必要条件.*212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a 故选:C7．设是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆C 上，，则（ ）12,F F 22:194x y C +=14PF =2PF =A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用椭圆的定义即可得解.122PF PF a +=【详解】因为椭圆，22:194x y C +=所以，则，29a =3a =因为，， 1226PF PF a +==14PF =所以. 22PF =故选：B.8．如图，在三棱柱中，平面．，，分111ABC A B C -1CC ⊥1,2ABC AB BC AC AA ====D E F 别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）1111,,AA AC BB EF BCDA ．平行B ．垂直C ．直线在平面内D ．相交且不垂直【答案】D【分析】根据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面的法向量，直线BCD 的方向向量，判断平面的法向量是否与直线的法向量垂直，又判断直线与直线EF BCD EF EF CD是否垂直，可得直线与平面的位置关系.【详解】解：如图取中点，连接，AC M EM BM因为为中点，所以AB BC M =AC MB AC ⊥又在三棱柱中，平面，为中点，所以 111ABC A B C -1CC ⊥ABC E 11A C 1//EM CC 则平面，又平面，所以，， EM ⊥ABC ,AC MB ⊂ABC EM AC ⊥EM MB ⊥又，则，所以， 12AC AA ==112AM AC ==2MB ==以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，M ,,MA MB ME ,,x yz则,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，(0B 0)(1C -0)(1D 1)(0E 2)(0F 1)设平面的法向量为，BCD (,,)n x y z =则，即，令，则，，故，00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x y z +=⎧⎨-+=⎩1y =-2x =4z =-(2,1,4)n =-- 又，(0,2,1)EF =-(2,0,1)DC =-- 因为，又 20(1)2(4)(1)20n EF ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠()001(1)10EF DC ⋅=++-⨯-=≠ 所以直线与平面相交，且不垂直于平面． EF BCD BCD 故选：D.9．记为等比数列的前n 项和．已知，则数列（ ） n S {}n a 1414,2a a =-={}n S A ．无最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项 D ．有最大项，有最小项【答案】D【分析】求出公比，求出，然后分析的性质即可．q n S {}n S 【详解】设公比为，则，， q 34118a q a ==-12q =-， 11412(1)811113212n n nn a q S q ⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===---⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭当为偶数时，，对应函数为减函数，即，n 81132n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭24683S S S >>>>- 当为奇数时，，对应函数为增函数，即，n 81132n n S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13583S S S <<<<- 所以有最大项为，最小项为．{}n S 2S 1S故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得后按奇偶数分n n S 类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最值．83-83-10．已知M 是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ） 22(1)1x y -+=M 1()y kx k =+∈RA ．2 BC ．3D ．11【答案】B【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得1()y kx k =+∈R ()0,1C ()1,0A 1()y kx k =+∈R B知点的轨迹为以为直径的圆，则求解.B AC max max 11d AB =+=+【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作()2211x y -+=()1,0A M 1()y kx k =+∈R d A 直线的垂线，垂足为，1()y kx k =+∈R B 则点到直线的距离为，所以，A 1()y kx k =+∈R AB max max 1d AB =+又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 1()y kx k =+∈R ()0,1C B AC则，所以 max AB =max max 11d AB =+=故选：B二、填空题11．3与7的等差中项为___________． 【答案】5【分析】由等差中项的定义，若成等差数列，则即可求得. A G B ，，2A BG +=【详解】设3与7的等差中项为，则由等差中项的定义得. x 3752x +==故答案为：512．直线关于y 轴对称的直线的方程为___________． 1y x =+【答案】1y x =-+【分析】设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. (),x y y (),x y -1y x =+【详解】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为，(),x y y (),x y -将代入直线得，，(),x y -1y x =+1y x =-+即直线关于y 轴对称的直线的方程为. 1y x =+1y x =-+故答案为：.1y x =-+13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则___________．2221(0)x y a a -=>20x y +==a 【答案】2【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得的值. a 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，20x y +=所以双曲线的方程可设为，即，()2204x y λλ-=≠2214x y λλ-=因为，2221(0)x y a a-=>所以，解得（负值舍去），241a λλ⎧=⎨=⎩2a =所以. 2a =故答案为：.214．能说明“若等比数列满足，则等比数列是递增数列”是假命题的一个等比数列{}n a 12a a <{}n a 的通项公式可以是___________．{}n a 【答案】（答案不唯一）1*(2),N n n a n -=--∈【分析】根据等比数列单调性可知，首项和公比共同决定了数列的单调性，即可写出符合1a q {}n a 题意的数列.【详解】由题意可知，若“等比数列是递增数列”， {}n a 需满足当时，公比；或时，公比； 10a <01q <<10a >1q >又因为命题为假命题，所以公比即可满足题意， 0q <不妨取，首项时，公比，则满足11a =-2q =-22,a =12a a <此时数列是摆动数列，通项公式为{}n a 111*1(1)(2)(2),N n n n n a a q n ---==--=--∈故答案为：1*(2),N n n a n -=--∈15．平面内，动点M 与点的距离和M 到直线的距离的乘积等于2，动点M 的轨迹为(1,0)F =1x -曲线C ．给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与x 轴有2个交点；④点M 与点． (1,0)F 1其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③④【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令(,)x y 0x =0y =可判断A ，根据代入可判断B ，令可解的值，进而可判断C,利用消元法，然后利用函数y -0y =x 的单调性求最值可判断D ． 【详解】设动点的坐标为，(,)M x y 曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于2的点的轨迹，C (1,0)F =1x -，∴|1|2x +=当时，曲线不过坐标原点，故①错误；0x =0y =|01|2+≠∴C中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确；|1|2x +=y y -∴C x令与轴有2个交点，故③正确； 0y =|1|2|1||1|2=x x x x +=⇒-+=⇒±C x，|1|2x +=，解得 20y ∴=≥x ≤≤若点在曲线上，则，故④正确． ∴M C 211MF x ==≥-+故答案为：②③④．三、解答题16．已知点和点是圆C 直径的两个端点． (0,1)A ()2,3B (1)求线段的中点坐标和圆C 的方程； AB (2)过点A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程． 【答案】(1)中点， AB (1,2)22:(1)(2)2C x y -+-=(2) :10l x y +-=【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直,A B径，即可写出圆C 的方程；AB （2）根据直线和圆的位置关系可得切线l 的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l 的方程． 【详解】（1）由点和点是圆C 直径的两个端点， (0,1)A ()2,3B 可得的中点即为圆心C ，根据中点坐标公式可得，AB (1,2)C即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径， AB (1,2)C AB ==所以圆C 的半径为 r =则圆的方程为22:(1)(2)2C x y -+-=（2）根据题意可知直线与切线l 垂直，直线的斜率为， AB AB 31120AB k -==-设切线l 的斜率为，满足，得；k 1AB k k =-A 1k =-又切线l 过点A ，利用直线的点斜式方程得； :11(0)l y x -=-⨯-即切线l 的方程为.:10l x y +-=17．已知等差数列满足． {}n a 1231,5a a a =+=(1)求的通项公式；{}n a (2)设是等比数列，，求数列的前n 项和． {}n b 1322,2b b b =={}n n a b +n T 【答案】(1)；n a n =(2).21222n n n n T ++=+-【分析】（1）结合题意利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出通项公式；d （2）根据是等比数列及，即可求出等比数列的通项公式，再利用分组求和{}n b 1322,2b b b =={}n b 即可求出.n T 【详解】（1）是等差数列且{}n a 1231,5a a a =+= 1125a d a d ∴+++=1d ∴=()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=n a n ∴=（2）是等比数列，{}n b 1322,2b b b ==2q ∴=2n n b ∴= 2n n n a b n ∴+=+采用分组求和即得.()()212121222122n n n n n n n T +-++=+=+--18．已知抛物线的焦点为F ． 2:4C y x =(1)求F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线C 交于两个不同点A ，B ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长． ||AB 条件①：直线l 的斜率为1； 条件②：线段的中点为．AB (3,2)M 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)焦点，准线方程为 ()1,0F =1x -(2)8【分析】（1）直接根据开口的方向以及的值即可得结果；p （2）选择条件①：直接联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得，由弦长公式即可126x x +=得结果；选择条件②：可得，由弦长公式即可得结果. 126x x +=【详解】（1）抛物线开口向右，其中， 2:4C y x =2p =所以焦点，准线方程为. ()1,0F =1x -（2）选择条件①：直线l 的斜率为1 所以直线的方程为， l 1y x =-设，，()11,A x y ()22,B x y 联立得，显然，214y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=0∆>所以，126x x +=即.12628AB x x p =++=+=选择条件②：线段的中点为AB (3,2)M设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 126x x +=即.12628AB x x p =++=+=19．如图，在长方体中，，E 是棱的中点．1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===1DD(1)求证：∥平面；1C D 1AB E (2)求平面与平面夹角的余弦值； 1AB E 1111D C B A (3)求点到平面的距离． 1C 1AB E 【答案】(1)答案见解析.【分析】对于（1），证明即可. 11C D B A A 对于（2），（3），利用向量法可得答案.【详解】（1）证明：由题，四边形为矩形，四边形是正方形，11B C CB ABCD 则，故四边形是平行四边形，得，又1111，B C BC AD B C BC AD ==A A 11ADC B 11C D B A A 平面，平面，则∥平面. 1C D ⊄1AB E 1B A ⊂1AB E 1C D 1AB E （2）如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系.则，()()()()()()11000100010102012011,,，,,,,,，,,，,,，,,A B D B D E 得，设平面法向量为， ()()1102011,,，,,AB AE ==1AB E (),,n x y z =则，取. 120n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()211,,n =-又平面法向量，且由图可知，1111D C B A ()0,0,1m = 平面与平面夹角为锐角，则 1AB E 1111D C B Aθcos θ（3）由图可得，，则，又由（2）解析可知()11,1,2C ()1112,,AC = 平面法向量为， 1AB E ()211,,n =-则点到平面的距离. 1C 1ABE d20．已知椭圆过点，且． 2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>(2,1)P 2a b =(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设O 为原点，直线OP 与直线l 平行，直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线PM ，PN 分别与x 轴交于点E ，F ．当E ，F 都在y 轴右侧时，求证：为定值． OE OF +【答案】(1)2282x y +=(2)证明过程见详解【分析】（1）将点代入椭圆中，再结合，即可求出和，进而求得椭圆(2,1)P 2222:1x y C a b+=2a b =a b C 的方程，再根据，代入中，即可得到椭圆C 的离心率； 222c a b =-c e a =（2）根据题意设直线l 的方程为，设，，从而得到直线12y x m =+()1122,M y m y -()2222,N y m y -PM 的方程，进而得到和，联立直线l 与椭圆C 的方程，再根据韦达定理12,01m E y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22,01m F y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭得，，即可求得的值为4，即结论得证．12y y +12y y ⋅OE OF +【详解】（1）解：依题意有，得C 的方程为， 22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩22182x y +=又C 的离心率为 c ==c e a ===（2）证明：依题意可得直线OP 的方程为， 12y x =则可设直线l 的方程为，不妨设，， 12y x m =+()1122,M y m y -()2222,N y m y -则直线PM 的方程为，得，同理得， ()11121222y y x y m -=-+--12,01m E y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22,01m F y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭联立，消x 整理得， 2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222220y my m -+-=则，， 12y y m +=21222m y y -⋅=又E ，F 都在y 轴右侧，即，， 1201m y >-2201m y >-所以（定值）， ()()()1221212122222224211112m y y m m m m OE OF m y y y y y y m +--+=+===---⋅-++-+故结论为定值成立．OE OF +【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：①设出直线方程，设交点为，；()11,A x y ()22,B x y ②联立直线与曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； ③写出韦达定理；④将所求问题转化为，（或，，）的形式； 12x x +12x x ⋅12y y +12y y ⋅⑤代入韦达定理求解．21．已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k ，总存在i ，j ，使得，其中{}n a ,i j a k a k ≤≥i j ≤．令为满足的所有i 中的最大值，为满足的所有j 中的最小值．k b i a k ≤k c j a k ≥(1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；{}n a 4b 4c (2)若是无穷等比数列，，公比q 是大于1的整数，，求q 的值；{}n a 11a =34534,b b b c c <==(3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m 为常数，且，求证：{}n a 11a =1m*1,m m >∈N和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．12,,,,k b b b 12,,,,k c c c 【答案】(1)，，43b =44c =(2)或2q =4q =(3)证明见解析，， 1n b nm m =-+1n c nm m =-+【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由等比数列的通项公式写出的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果； {}n a （3）由等差数列的通项公式写出的通项，用定义法证明等差数列即可.{}n a 【详解】（1）∵，，，， 11a =22a =33a =45a =又∵，，4i a ≤4j a ≥∴且，且， 3i ≤N i *∈4j ≥N j *∈∴，43b =44c =（2）由题意知， ，∴，且，11a =111n n n a a q q --==1q >Z q ∈∵，3i a ≤∴，13i q -≤∴1log 3q i ≤+∴，且， 3[1log 3]q b =+1q >Z q ∈同理：，且，，且， 4[1log 4]q b =+1q >Z q ∈5[1log 5]q b =+1q >Z q ∈又∵，345b b b <=∴， [1log 3][1log 4][1log 5]q q q +<+=+即：，且， [log 3][log 4][log 5]q q q <=1q >Z q ∈∵，3j a ≥∴，13j q -≥∴，1log 3q j ≥+∴当时，，当时，，log 3N q *∈31log 3q c =+log 3N q *∉3[2log 3]q c =+同理：当时，，当时，，log 4N q *∈41log 4q c =+log 4N q *∉4[2log 4]q c =+又∵，，且， 34c c =[log 3][log 4][log 5]q q q <=1q >Z q ∈∴，，， log 3N q *∉log 4N q *∈[2log 3]1log 4q q +=+解得：或2q =4q =（3）证明：由题意知，，m 为常数，且且， 111(1)1(1)n m n a a n d n m m +-=+-=+-⨯=1m >N m *∈∴为单调递增数列，{}n a 又∵，，1i a ≤1j a ≥11a =∴，，1i =1j =∴，，11b =11c =∵，，i a k ≤j a k ≥∴，， 1m i k m +-≤1m j k m+-≥∴，，且且， 1i mk m ≤-+1j mk m ≥-+1m >N m *∈N k *∈∴，1N mk m *-+∈∴，， 1k b mk m =-+1k c mk m =-+∴，， 1(1)11k b m k m mk +=+-+=+1(1)11k c m k m mk +=+-+=+∴，， 1(1)(1)k k b b mk mk m m +-=+--+=1(1)(1)k k c c mk mk m m +-=+--+=又∵m 为常数，且， 1m >N m *∈∴为等差数列， 为等差数列， {}k b {}k c 又∵，， 1k b mk m =-+1k c mk m =-+∴ ，1n b mn m =-+1n c mn m =-+。
2010—2011学年度上期期末高二数学(理科)参考答案
MA2 AB 2 MC 2 EC 2 ，由点到直线的距离公式可得，
3x y2
10
16
(3x y)2 10
4 ，化简可得， xy
10
．
点 M 的轨迹方程为 xy 1．0
1
y
M
C
A
EB x
（20）（本小题满分 12 分）
1 解：本题用向量法解，第一问易得，第二问所求余弦值为 3 ．
2
（21）（本小题满分 12 分）
解：本题考查学生联立直线与圆锥曲线的位置关系，以及与中点弦有关的问题，该直线是不存
在的．
（22）（本小题满分 12 分）
解：（1） 4x2
4y2 15
1( x 0)，是双曲线的右支；
4x 2 （2） 81
4y 2 65
1，是椭圆．
本卷题目大多数在教材上可以查到，请老师们根据学生答卷情况给予评分！
x (－∞,－m)
－m
(－m,
1 3
m
)
1 3
m
(
1 3
m
,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知，当 x=－m 时，函数 f(x)取得极大值 9，
即 f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
（19）（本小题满分 12 分）
解：如图所示，设点 M (x, y) ，由条件可得， AB 4, EC 2
p : 1 ,1, q : 5,1，从而p 是 q 的充分而不必要条件．
2011年海淀区高三第一学期(理科)数学期末题word
北京市海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．sin 600︒的值为 （ ）AB．C ．12-D ．122．若0.32121,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．24．如图，半径为2的O 中，90AOB ∠=︒， D 为OB 的中点，AD 的延长线交O 于 点E ，则线段DE 的长为 （ ）ABCD5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．127．已知椭圆22:14x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{2}B ．C ．{}2t t ≤≤D ．{|2}t t ≤≤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
2010年北京海淀区高考二模数学理科试题(word版含解析)(无水印)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科）2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则 A ．A B ⊂≠ B ．B A ⊂≠ C ．A B B = D ．A B =∅2．函数()sin(2)3f x x π=+图象的对称轴方程可以为A ．12x π=B ．512x π=C ．3x π= D ．6x π=3．如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为A ． 20︒B ． 40︒C ． 60︒D ． 70︒ 4．函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为A ．1B ．3-C ．1或3-D ．06．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是 A ．αβ⊥，m β⊂ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//n β D ．//m α，n m ⊥7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A ．16k ≥B ．8k <C ．16k <D ．8k ≥ 8．已知动圆C 经过点F (0，1)，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积 A ．有最大值为π B ．有最小值为π C ．有最大值为4π D ．有最小值为4π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．在极坐标系中，若点0(,)3A πρ(00ρ≠)是曲线2cos ρθ=上的一点，则0ρ= ．10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如 右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”） 11．已知向量a =)0,1(，b =)1,(x ，若a b 2=，则x = ；a b += ．12． 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin a c A =，则a bc+的最大值为 ． 14．给定集合{1,2,3,...,}nA n =，映射:nnf A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,nm A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． ．则称映射f ：nnA A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． 表 1表2（1）已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i=的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____． 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）记等差数列{}na 的前n 项和为nS ，已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）令2nn n b a =⋅*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和nT ． 16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ABCD ⊥底面，其中226BC AB PA ===，分点，如图所示．（Ⅰ）求证：//AN MBD 平面（Ⅱ）求异面直线AN 与PD（Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值． 17．（本小题满分13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率； （Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)e axf x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间上单调递减，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分13分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1，0)， 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程； （Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义： 1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”． （Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式； （Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b>，函数32=-+是[0,]b上的2阶收缩()3f x x x函数，求b的取值范围．海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2010．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10．< 11．2．48 13 14．；84．三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，由2446,10a a S+==，可得11246434102a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………………………2分即1123235a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， ………………………4分∴()111(1)na a n d n n =+-=+-=，故所求等差数列{}na 的通项公式为na n =． ………………………5分（Ⅱ）依题意，22nnnnb a n =⋅=⋅， ∴12n nT b b b =+++231122232(1)22n nn n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，………………………7分 又2nT =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，………………9分 两式相减得2311(22222)2n n n nT n -+-=+++++-⋅ ………………………11分()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，………………………12分∴1(1)22n nT n +=-⋅+． ………………………13分 16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连结AC 交BDABCD 底面为矩形， O AC ∴为中点， DM N PC 、为侧棱的三等分点，CM MN∴=，//OM AN ∴， ………… 3分 ,OM MBD AN MBD ⊂⊄平面平面，//AN MBD ∴平面． ………… 4分（Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，D (0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ， (1,2,2),(0,6,3)AN PD ==-， cos ,3AN PD AN PD AN PD⋅∴<>==⨯， ………………………7分∴异面直线AN 与PD 所成角的余弦值为 ．………………………8分（Ⅲ）侧棱PA ABCD ⊥底面， (0,0,3)BCD AP ∴=平面的一个法向量为， ………………………9分设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ， (3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=-，并且,BD BM ⊥⊥m m ，36040x y x y z -+=⎧∴⎨-++=⎩，令1y =得2x =，2z =-，∴MBD平面的一个法向量为(2,1,2)=-m ．x………………………11分2cos ,3AP AP AP ⋅<>==-m m m， ………………………13分由图可知二面角M BD C --的大小是锐角，∴二面角M BD C --大小的余弦值为23． ………………………14分 17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A ． ………………1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况 …………………2分事件A 所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分所以，()431327P A ==．即：4人恰好选择了同一家公园的概率为127．………………5分（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()13P C =． ………………………6分4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布．X 可取的值为0，1，2，3，4．………………………8分()4412()()33i i iP X i C -==， 0,1,2,3,4i =．．………………………10分X…………………12分X的期望为()14433E X =⨯=． ……………………13分 18．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e xf x x x =-，所以2()(2)e xf x x '=-，……………………1分 令()0f x '=，得x = ………………………2分()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：………………………4分由上表可知，x =是函数()f x 的极小值点，x =()f x 的极大值点．……………………5分（Ⅱ） 22()[(22)2]e axf x ax a x a '=-+-+， ………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意x ∈恒成立； ．…………………8分当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，因为x ∈，不等式22(22)20ax a x a ---≥等价于2222a x x a--≥，……………………9分令2(),g x x x x=-∈，则22()1g x x '=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，所以()g x 在上的最小值为0g =，………………………11分由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222ax x a--≥对任意x ∈恒成立，需且只需2min22()a g x a-≥，即2220a a-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤．综合上述，若函数()f x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）22()[(22)2]e axf x ax a x a '=-+-+， ………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，即22(22)20ax a x a ---≥对任意x ∈恒成立， …………………7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意x ∈恒成立； …………………8分当0a >时，令22()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21a x a-=，．……………9分若210a a-≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥对任意x ∈恒成立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤； ．．………………………11分若210a a->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如()0h x ≥对任意x ∈恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，所以()0h x ≥不能对任意x ∈恒成立．综合上述，若函数()f x在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ……13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =， …………2分（Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且．联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 2416ky y k --= ………………3分 显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则 124y y k += ①1216y y ⋅=- ② …………………4分又12AM MB =，所以 1212y y =- ③ …………………5分由①② ③消去12,y y ，得 22k =， 故直线l的方程为y =-或y =+． …………………6分（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称， 所以(4)221nm k n k m⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n km nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，…………………8分将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k -=⋅++，所以，21k =．………………………9分 联立2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=．………………………10分 由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得 242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，…………………12分将21k =，221b a =-代入上式并化简，得2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥因此，椭圆1C长轴长的最小值为 ………………………13分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈ ，………………………1分2()1,[0,]f x x π=∈． ………………………2分（Ⅱ）21,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，………………………3分221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩ ，………………………4分22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，………………………5分当[1,0]x ∈-时，21(1)x k x -≤+1k x ∴≥-，2k ≥；当(0,1)x ∈时，1(1)k x ≤+11k x ∴≥+1k ∴≥； 当[1,4]x ∈时，2(1)x k x ≤+21x k x ∴≥+165k ∴≥．综上所述，165k ∴≥ ………………………6分即存在4k =，使得()f x 是[1,4]-上的4阶收缩函数． ………………………7分（Ⅲ）()2()3632f x x x x x '=-+=--，令'()0f x =得0x =或2x =． 函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =，解得x =或3． ………………………8分ⅰ）2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3f x f x x x ==-+，()1()00f x f ==．因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数， 所以，①()()21()20f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0f x f x x ->-成立．………………………9分①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立， 由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤．…………………10分②即：存在[0,]x b ∈，使得()2310x x x -+<成立．由()2310x x x -+<得：0x <x <<，所以，需且只需b >1b <≤．………………………11分ⅱ）当2b >时，显然有3[0,]2b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得：2327()28f =，13()02f =， 可得 2133273()232282f f ⎛⎫-=>⨯= ⎪⎝⎭， 此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立．………………………13分1b <≤．注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已．。
2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)
2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)D海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 12345678答案B D DC A BD C第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512．M P Ne e e << 13．① ④ 14． 432 (1)2 3 (01)k k k k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分） 解：（I ）xx x f 2cos )32cos()(--=πxx x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ.......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62sin(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x ， )65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分 ]1,21()62sin(-∈-∴πx ， 即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分 （II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ， 1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分 π<<A 0 ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分 Abc c b a cos 2222-+= ， .....................................10分把73a b ==，代入，得到2320cc -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ， 故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分 则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3> ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 p 1100 18100 81100.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：η0 3 6 9p 827 49 29127.......................................5分3E η∴=， .......................................6分 ηξE E > ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分则： 123123188******** ()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975 ..................................13分17. （共14分）解：（I ） 棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， ∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分 又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ， 1AO BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC AO O =，1,AC AO ⊂平面11ACC A ， ⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分 ⊂1AA 平面11ACC A ， ∴ BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BC四边形ABCD 为菱形，AC BD O =O ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又 点F 为1DC 的中点， ∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ∴//OF 平面11BCC B .......................................8分 （III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ． 601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,3,AO AO ==在Rt AOB ∆中，22413OB AB AO =--A BC1B 1C 1AD F1D O得1(1,0,0),3),(0,3,0),3,0)A A D B - ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n= ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00111AD n AA n)0,3,1(),3,0,1(1--=-= 11113030x z x ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分 又 BD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC 的法向量为23,0)n OB == .......................................12分 55353,cos 212121-=⋅-=⋅>=<∴n n n n , 二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55 . ....................................14分18. （共13分） 解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24a f -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--，即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分（II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a =-= ，由12a ≥可知120a -≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a =-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分② 当112a <<时，1120a -<-<，即1210x x -<<=， 所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分 在区间1(2,0)a -上，'()0f x >. .................................9分 故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-. .........10分 ③当1a ≥时，1121x a=-≤-， 所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得： 当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-； 当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p MF =--=+=， 解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分 又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-+-+-=+.所以 ||25(6432)8AB r b =+， .........................................7分 解得85b =-. .........................................8分 所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二： 联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40xb x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分 又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44AB x x y y x x x x x x b =-+-+-+-+， 又||28AB r ==5(6432)8b +， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分 所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=， 点O 到直线l 的距离55d ， .................................................11分 所以321||4224222AOB SAB d b b b b ∆==-++ ..................................................12分 令32()2g b bb =+，20b -<<， 24()343()3g b b b b b '=+=+， b 4(2,)3-- 43- 4(,0)3-()g b ' ＋0 － ()g b 极大由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分 所以当43b =-时，AOB ∆323. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ． ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分（Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈， 从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠．对于上述正整数m ， 从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠, 所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ． 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2kk +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校： 班级： 姓名： 成绩：本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A ．2-B ．1-C ．12- D ．1 2.在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ）A ．(1,1,1)B ．(2,1,1)C ．(1,1,2)D ．(1,2,3)3.已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于( )A ．32-B ．1-C ．1D ．324.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A ．32B ．34 C.36 D ．405.已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中假命题．．．是（ ） A.若m α⊥，m β⊥，则//αβ B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥C.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ D ．若//m α，//αβ，n β⊂，则//m n6.椭圆C ：2211612x y +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（ ）A ．90︒B ．105︒ C.120︒ D ．150︒7.“0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一点A 到平面β，平面γ的距离都等于1.则在平面α内与点A ，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.直线l ：10x y +-=的倾斜角为 ，经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为 ．10.10y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为 ．11.请从正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是 ．（只需写出一组）12.在平面直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若A 、B 、C 三点共线，则x y += ．13.已知椭圆1C 和双曲线2C 的中点均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .14.曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.①请写出曲线W 的两条对称轴方程 ；②请写出曲线W 上的两个点的坐标 ；③曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题 ：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且OC =（I ）求圆C 的方程；（II ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.16.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D 、E 分别是BC ，PB 的中点.（I ）求证：//DE 平面PAC ；（II ）求证：平面ABC ⊥平面PAD .17.如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中////AB FC ED ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.（I ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （II ）求二面角O EG F --的余弦值；（III ）在线段CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.18.已知抛物线W ：24y x =，直线4x =与抛物线W 交于A ，B 两点.点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线PA ，PB 分别与x 轴交于M ，N . （I ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标；（II ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；（III ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB二、填空题 9.34π，20x y +-=1,,,A A B C （此答案不唯一） 12.12-14.①0x =，0y =，y x =，y x =-中的任意两条都对②(0,0)，(1,1)此答案不唯一③说明：9题每空2分，14题中①②空 各给1分，③给2分三、解答题15.解：（I ）设圆心(,)C a a，则OC ==解得2a =，2a =-所以圆C ：22(2)(2)1x y -+-=（II ）①若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意②若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=由题意，圆心到直线的距离1d == 解得34k = 所以直线l 的方程为3430x y --=综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=.16.解：（I ）证明：在PBC ∆中，因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以//DE PC因为DE ∉平面PAC ，PC ⊂平面PAC所以//DE 平面PAC .（II ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以PD BC ⊥，AD BC ⊥因为PD AD D =，PD ，AD ⊂平面PAD所以BC ⊥平面PAD因为BC ⊂平面ABC所以平面ABC ⊥平面PAD17.解：法一：向量法（I ）F ，D 点为所求的点.证明如下：因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点，所以OG FC ⊥.又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF平面FCDE =FC ， 所以OG ⊥平面FCDE同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .分别以边OG ，OC ，OH 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由2AB =，得G ，D ，(0,1E -，(0,2,0)F -，则FD =，(3,0,0)OG =，(0,1OE =-.所以0FD OG ⋅=，0FD OE ⋅=又EO OG O =，所以FD ⊥平面EGO（II ）由（I ）知平面EGO 的一个法向量为FD =.设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020y y ⎧=⎪+=令y =1z =-，2x =-所以(1)m =--所以cos ,FD m <>==所以二面角O EG F --的余弦值为4-（III ）假设存在点H ，使得BH //平面EOG .设DH DC λ=所以BH BD DH =+BD DC λ=+，所以0FD BH ⋅=而计算可得3FD BH ⋅=这与0FD BH ⋅=矛盾所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH //平面EOG法二：（I ）证明如下：因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点， 所以OG FC ⊥又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF平面FCDE FC =， 所以OG ⊥平面FCDE因为FD ⊂平面FCDE ，所以OG FD ⊥，又//ED FO ，且EF ED =，所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥因为EO OG O =，所以FD ⊥平面EGO .（III ）假设存在点H ，使得//BH 平面EOG由//ED OC ，所以EOCD 为平行四边形，所以//EO DC因为EO ⊂平面EOG所以//DC 平面EOG又BH DC H =，所以平面//EOG 平面BCD ，所以//BC 平面EOG ，所以//BC OG ，所以GBCO 为平行四边形，所以GB CO =，矛盾所以不存在点H ，使得//BH 平面EOG18.（I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =±所以不妨设(4,4)A ，(4,4)B -， 所以8AB = 因为12PAB S AB d ∆=⋅1842d =⋅⋅=， 所以点P 到直线AB 的距离1d =所以点P 的横坐标03x =代入抛物线方程得P（II ）因为PA PB ⊥，所以0AP BP ⋅=所以0000(4)(4)(4)(4)0x x y y --+-+=，所以22000816160x x y -++-=，把2004y x =代入得到20040x x -= 所以00x =，04x =（舍）所以00y =，PA =（III ）直线PA 的方程为0044(4)4y y x x --=--04(4)4x y =-+，点M 横坐标0004(4)44M x x y y --=+=-- 同理PB 的方程为0044(4)4y y x x ++=--04(4)4x y =-+， 点N 横坐标0004(4)44N x x y y -=+=+ 因为PMN PAB S S ∆∆=，所以0011422MN y AB x ⋅=⋅- 所以2004(4)y x =-，解得02x = 所以8PMN PAB S S ∆∆==。