2.3 二维离散型随机变量及其分布律

合集下载

32二维离散型随机变量的分布律及性质

P { X x , Y y }p i j ij P { X x Y y } ,i 1 , 2 , (2.4) i j P { Y y } p j j
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P { X x y } 0 , i 1 , 2 , iY j
(2)
p 1 j p 1 i j p p i 1 p 1 j j i j

p i j
P { X x } 0 同理，设 p ，则可得到在 X xi i i 时随机变量 Y的条件概率分布为：
P { X x , Y y } p i j i j P { Y y X x } ,j 1 , 2 ,( 2 . 5 ) j i P { X x } p i i
{ X x , Y y } P { X x } P { Y y } 即P (2.7) i j i j
例4
X ,Y
相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么，次数，二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布如表3-9所示.问随机变量 X与Y 是不是相互独立？
且
(1) P { Y y x } 0 ,j 1 , 2 , jX i
(2)

p 1 i p 1 ij p p i i i i j 1p 1 p ij

i 1 , 2 , ,
例3 设二维离散形随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如表3-7, 1时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的求 Y 条件概率分布。
解：
四、独立性

离散型随机变量及其分布律

路口1
路口2
P{X=0}=P(A1)=1/2,
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
P{X=1}=P( A1 A2
)
1 2

1 2
= 1/4
路口1
路口2
路口3
P{X=2}=P(A1A2 A3
)
1 2

1 2

1 2
=1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
例6 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X

X (e)
0,

1,
当e 当e

正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk
2
2
例7 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
X

1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布. 例抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66
3. 伯努利试验和二项分布看一个试验将一枚均匀骰子抛掷3次.
令X 表示3次中出现“4”点的次数
X的分布律是：
P{ X

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列, 叫做随机事件流.

多维随机变量函数的分布

i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列：试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .

离散型随机变量及其分布律

取值为0,1,…, n,且其分布律为
其中0<p<1,则称随机变量X服从以n, p为参数的
二项分布
记为X~B(n, p)
事件A发生的概率
试验进行的次数
p
事件A发生的次数
X
n
X~B(n, p)
事件A的概率在各次试验中相同
各次试验独立
中奖率为0.01
1
…
100
每张彩券的购买是独立的
p =0.01
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”,
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
n=100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
k= 0,1,…, 100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
P( X 0) 0.99100=P (没有彩券中奖）
P (有彩券中奖)=1-P (没有彩券中奖）
C2 1000
0.00022
0.9998998
n:购买的彩票数，n=?
购
A:事件——彩票中奖
买
彩票
p:中奖率，p=0.01
X:随机变量——中奖的彩票数
P( X 1) 99%
n λ
p
P( X 1)
p

二维离散型随机变量及其分布

P{ X xi } P{ X xi , } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1

Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球表示第二次取白球

离散型随机变量及其分布

m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；

23
都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1

二维离散型随机变量

F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
说明离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
注意联合分布
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21
p12 p22
pi1
pi 2
p1 j p2 j pij
3、离散型随机变量的边缘分布律
定义设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, .
3 7
pj (Y ) P{Y yj}
4
7 3
7
1
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
记
pi ( X ) pij P{X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j (Y ) pij P{Y y j }, j 1, 2, , i 1
分别称 pi ( X ) (i 1, 2, ) 和 p j (Y ) ( j 1, 2, ) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.

离散型随机变量及其分布律

λ
n! k n− k P{ X = k } = ( pn ) (1 − pn ) k!( n − k )!
n! λ 1 λ o(1) n− k k [ + o(1)] [1 − − ) = k ! ( n − k )! n n n n
[λ + o(1)]k λ o(1) n n( n − 1)⋯ ( n − k + 1) [1 − − ] = λ o(1) k k! n n k n [1 − − ] n n
的分布函数. 求随机变量 X 的分布函数解
1 p{ X = 1} = p{ X = 0} = , 2
•
•
当x < 0时, 时
0
1
x
F ( x ) = P{ X ≤ x < 0} = P (φ ) = 0
•
•
0
当0 ≤ x < 1时,
1
x
1 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = 0} = ; 2 当x ≥ 1时, 0, x < 0, F ( x ) = P{ X ≤ x } 1 = P{ X = 0}+ P{ X = 1} 得 F ( x ) = , 0 ≤ x < 1, 2 1 1 1, x ≥ 1. = + = 1. 2 2
( k −1 )
服从几何分布. 所以 X 服从几何分布
( k = 1,2,⋯)
首次成功” 说明几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 的概率模型
7.超几何分布超几何分布
设X的分布律为的分布律为
m n C M C N−−m M P{ X = m } = n CN
( m = 0,1,2,⋯ , min{ M , n})

二维离散型随机变量及其分布律

则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1
2. 联合分布律
定义：设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ，若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
第2-3节二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义：若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是有限对或可列多对， (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。
例：抛掷两枚硬币一次，观察出现正反的情况，令
⎧0 ξ＝⎨ ⎩1 ⎧0 ,η＝ ⎨ A币出现正面 ⎩1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面
称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
4
5. 随机变量的独立性
定义：设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j，恒有pij ≡ pi. p. j，即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。
ij
∑∑ p
i =1 j =1
∞
∞
=1 L i,j=1,2, 为二维离散
则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}
型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
2
3. 边缘ห้องสมุดไป่ตู้布律
定义：设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为：pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。类似，(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L

离散型随机变量的分布律

（2-2）
+
其中， 0 p 1，
q 1 p ，
k 0 ，，
1 2，，
n ，显然
P{ k}
n
n
k 0
k 0
0，
且 P{ k} Ckn p k q n k ( p q)n 1 ，
则称服从参数为 n ，p 的二项分布，记作 ~ B (n ，p) 。
3
3
10
3
7
1
1 0.260 。
3
随机变量及其分布
离散型随机变量的分布律
1.2 常见的离散型随机变量分布
3. 泊松（Poisson）分布
若随机变量的概率为
P{ k}
k e
k!
，（2-3）
其中，k 0 ，，
则称服从参
1 2 ，， 0是常数，
率可能会很大。
于是
P{
2} 1 (e8 8e8 ) 1 9e8 1 0.003 0.997 。
提示
概率论与数理统计
解设每分钟接到的呼叫次数为，则 ~ P( ) ， 5 。
（1）每分钟恰好接到 7 次呼叫的概率为
57 e5
P{ 7}
0.104 44 。
7!
（2）每分钟接到的呼叫次数大于 4 的概率为
P{ 4} 1 P{
4}
1 P{ 0} P{ 1} P{ 2} P{ 3} P{ 4}
如果用表示 n 重伯努利试验中事
件 A 发生的次数，
那么服从二项分布。
特别地，当 n 1 时，式（2-2）化为
P{ i} p k q1 k (k 0 ，

二维随机变量函数的分布

V min{X1 ，X2 ，，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ，，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布

离散型随机变量及其分布

（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)：定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作，且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断一个函数是否是

2.2离散型随机变量及其分布律

当1≤x<2时, {X≤x}={X=0}∪{X=1} X 0 1x 2
又{X=0}与{X=1}互不相容得: F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}
=0.6+0.3=0.9
当x≥2时, {X≤x}为必然事件
X
0 1 2x
8
得: F(x)=P{X≤x}=1
0, x 0
F
(
x)
0.6, 0.9,
P{X k} C5k pk (1 p)5k
k 0,1,..., 5 18
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有
两弹击中目标的概率.
解:.设X为击中目标的次数.
X : B6000,0.001
P X 2 1 P X 2 1 PX 0 PX 1
0 1
x x
1 2
1 0.9
1, x 2 0.6
注: 左闭右开
0 1 2x
9
0, x 0
F(x)
0.6, 0.9,
0 1
x1 x2
1, x 2
(3)
P(X
1 2
)
F
(
1 2
)
0.6
P
(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
0.9
0.6
0.3
P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1<X≤2})
P
X k
Ck41 C150
(k 5, 6, 7, 8, 9,10)
具体写出,即可得 X 的分布律:
X 5 6 7 8 9 10

概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布

求分布律方法：先定值再求概率
Y
X
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
取4只球 P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 1} P{X 1,Y 0} P{X 3,Y 2} 0
14
03 二维离散型随机变量的边缘分布律
例盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以 X 表示取到黑球的只数, 以 Y 表示取到红球的只数, 求(X, Y)的联合分布律.
主讲教师 |
18
由此得 X , Y 的联合分布律为
X Y
0
1
0
0
0
6
1
0
35
1
6
2
35
35
2
3
3
2
35
35
12
2
35
35
3 0
35
16
第2讲二维离散型随机变量及其分布
本节我们认识了二维离散型随机变量, 以及联合分布律和边缘分布律, 要求理解它们概念和性质, 并且会求相应的概率.
17
概率论与数理统计
学海无涯, 祝你成功！
3
本讲内容
01 二维离散型随机变量 02 联合分布律 03 二维离散型随机变量的边缘分布律
4
02 联合分布律
2.联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
(xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布, 简称概率分布或分布律.
7
02 联合分布律已知联合分布律可以求概率

离散型随机变量

例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 0.02 试求其命中次数不少于2的概率。次，试求其命中次数不少于2的概率。
普哇松定理(p65)：设随机变量X 普哇松定理(p65)：设随机变量Xn～B(n, p), (n＝ 2,…), 很大，很小， np， (n＝0, 1, 2, ), 且n很大，p很小，记λ=np，则
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: 也可列表表示如下
X Y y1 p11 p21 pi1 ...
ij
y2 p12 p22 ... ... pi2 ...
… ... ... ... ... ... ...
yj P1j P2j Pij
… ... ... ...
3、几个常用的离散型分布
(0-1)分布（1） (0-1)分布(p63) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) 服从(0－1)分布(两点分布) (0 分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ＝，～＝＝－－或 0 X 1
1 3
求：Y=X2的分布律 0
1 3
1
1 3
Y Pk
1
2 3
0
1 3
一般地
X Pk Y=g(X)
x1 p1
x2 xk p2 pk
g(x1) g(x2 ) g(xk )
或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … ＝～＝＝＝有相同的，（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）其中有相同的其对应概率合并。）

二维随机变量及其分布

§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、二维随机变量一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量

二维离散型随机变量及其分布

3
0
0
0
1
0
0
0
0.25
2
0
0 0.375 0
3
0
0.25 0
0
4
0.0625 0
0
0
4
0.0625 0 0 0 0
概率论与数理统计
6
❖ 二.例题
➢ 例3.2.2 一口袋中有3个球，它们依次标有数字1, 2, 2，从
该袋中不放回地随机抽取两次，每次取一个，以X、Y表
示表示第一次、第二次取得的球上标有的数字. 求
表格形式表示(X，Y)的分布律．
Y
X
y1
y2Biblioteka …yj…x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
…… … ………
xi
pi1
pi2
…
pij
…
…… … ………
概率论与数理统计
❖ 一.二维离散型随机变量及其分布
➢ 定义3.2.1 如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可列个数对(xi，yj)，则称(X，Y)为二维离散型随机变量，称 P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2, 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律，也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律． ➢联合分布律有如下性质： (1) 正则性： pij 0, i, j 1,2,
P X Y P X 1,Y 1 P X 1,Y 2 P X 2,Y 2
0 1 1 2. 33 3
➢ 若本题改为放回抽样呢？
概率论与数理统计
8
❖ 二.例题
➢ 例3.3.3 设X表示随机的在1~4的4个整数中取出的一个数, Y表示在1~X个整数中随机地取出的一个数, 求(X, Y)的联合分布律及分布函数.

二维离散型随机变量

多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
因此， (X ，Y) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律如表 3-5 所示．
表 3-5X01Y01pi
2 5
3 5
pj
2 5
3 5
概率论与数理统计
多维随机变量及其分布
所以， (X ，Y) 的分布律如表 3-2 所示．
Y
0
1
X
2
4
0
15
15
4
1
1
15
3
由二维随机变量的分布函数的定义可知， (X ，Y) 的分布函数为
0 ， x 0 或 y 0 ，
2
，
0
F (x ，y) 125， 0
5
x 1，0 x 1，y
y 1， 1 或 x 1，0
概率论与数理统计
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.1 二维离散型随机变量的概念与分布律
定义 1 若二维随机变量 (X ，Y) 所有可能取的值为有限对或可列无限多对，则称 (X ，Y) 为二维离散型随机变量．
显然，当且仅当 X 和Y 都是离散型随机变量时，(X ，Y) 才是二维离散型随机变量．
p1j
j 1
p2 j
p2 j
j 1
xi
pi1
pi 2
pij
pij
j 1
P{Y yj}
pi1
pi2
pij
1
i 1
i 1
i 1
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 2 已知 (X ，Y) 的分布律如表 3-4 所示，求 (X ，Y) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律．

2.3 二维离散型随机变量及其分布律.

1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律.
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随机变量。二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例一个口袋中有三个球，依次标有数字1， 2， 2，从中任
取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字，求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。