2.3 二维离散型随机变量及其分布律
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32二维离散型随机变量的分布律及性质
P { X x , Y y }p i j ij P { X x Y y } ,i 1 , 2 , (2.4) i j P { Y y } p j j
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P { X x y } 0 , i 1 , 2 , iY j
(2)
p 1 j p 1 i j p p i 1 p 1 j j i j
p i j
P { X x } 0 同理，设 p ，则可得到在 X xi i i 时随机变量 Y的条件概率分布为：
P { X x , Y y } p i j i j P { Y y X x } ,j 1 , 2 ,( 2 . 5 ) j i P { X x } p i i
{ X x , Y y } P { X x } P { Y y } 即P (2.7) i j i j
例4
X ,Y
相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 次数， 二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
且
(1) P { Y y x } 0 ,j 1 , 2 , jX i
(2)
p 1 i p 1 ij p p i i i i j 1p 1 p ij
i 1 , 2 , ,
例3 设二维离散形随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如表3-7, 1时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 求 Y 条件概率分布。
解：
四、 独立性
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P { X x y } 0 , i 1 , 2 , iY j
(2)
p 1 j p 1 i j p p i 1 p 1 j j i j
p i j
P { X x } 0 同理，设 p ，则可得到在 X xi i i 时随机变量 Y的条件概率分布为：
P { X x , Y y } p i j i j P { Y y X x } ,j 1 , 2 ,( 2 . 5 ) j i P { X x } p i i
{ X x , Y y } P { X x } P { Y y } 即P (2.7) i j i j
例4
X ,Y
相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 次数， 二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
且
(1) P { Y y x } 0 ,j 1 , 2 , jX i
(2)
p 1 i p 1 ij p p i i i i j 1p 1 p ij
i 1 , 2 , ,
例3 设二维离散形随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如表3-7, 1时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 求 Y 条件概率分布。
解：
四、 独立性
离散型随机变量及其分布律
路口1
路口2
P{X=0}=P(A1)=1/2,
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
P{X=1}=P( A1 A2
)
1 2
1 2
= 1/4
路口1
路口2
路口3
P{X=2}=P(A1A2 A3
)
1 2
1 2
1 2
=1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
例6 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk
2
2
例7 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布. 例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66
3. 伯努利试验和二项分布 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
令X 表示3次中出现“4”点的次数
X的分布律是：
P{ X
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列, 叫做随机事件流.
多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
离散型随机变量及其分布律
取值为0,1,…, n,且其分布律为
其中0<p<1,则称随机变量X服从以n, p为参数的
二项分布
记为X~B(n, p)
事件A发生 的概率
试验进行 的次数
p
事件A发生 的次数
X
n
X~B(n, p)
事件A的概率在 各次试验中相同
各次试验独立
中奖率为0.01
1
…
100
每张彩券的购买是独立的
p =0.01
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”,
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
n=100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
k= 0,1,…, 100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
P( X 0) 0.99100=P (没有彩券中奖）
P (有彩券中奖)=1-P (没有彩券中奖）
C2 1000
0.00022
0.9998998
n:购买的彩票数，n=?
购
A:事件——彩票中奖
买
彩 票
p:中奖率，p=0.01
X:随机变量——中奖的彩票数
P( X 1) 99%
n λ
p
P( X 1)
p
其中0<p<1,则称随机变量X服从以n, p为参数的
二项分布
记为X~B(n, p)
事件A发生 的概率
试验进行 的次数
p
事件A发生 的次数
X
n
X~B(n, p)
事件A的概率在 各次试验中相同
各次试验独立
中奖率为0.01
1
…
100
每张彩券的购买是独立的
p =0.01
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”,
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
n=100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
k= 0,1,…, 100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
P( X 0) 0.99100=P (没有彩券中奖）
P (有彩券中奖)=1-P (没有彩券中奖）
C2 1000
0.00022
0.9998998
n:购买的彩票数，n=?
购
A:事件——彩票中奖
买
彩 票
p:中奖率，p=0.01
X:随机变量——中奖的彩票数
P( X 1) 99%
n λ
p
P( X 1)
p
二维离散型随机变量及其分布
P{ X xi } P{ X xi , } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
离散型随机变量及其分布
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
二维离散型随机变量
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
注意 联合分布
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21
p12 p22
pi1
pi 2
p1 j p2 j pij
3、离散型随机变量的边缘分布律
定义设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, .
3 7
pj (Y ) P{Y yj}
4
7 3
7
1
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
记
pi ( X ) pij P{X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j (Y ) pij P{Y y j }, j 1, 2, , i 1
分别称 pi ( X ) (i 1, 2, ) 和 p j (Y ) ( j 1, 2, ) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
离散型随机变量及其分布律
λ
n! k n− k P{ X = k } = ( pn ) (1 − pn ) k!( n − k )!
n! λ 1 λ o(1) n− k k [ + o(1)] [1 − − ) = k ! ( n − k )! n n n n
[λ + o(1)]k λ o(1) n n( n − 1)⋯ ( n − k + 1) [1 − − ] = λ o(1) k k! n n k n [1 − − ] n n
的分布函数. 求随机变量 X 的分布函数 解
1 p{ X = 1} = p{ X = 0} = , 2
•
•
当x < 0时, 时
0
1
x
F ( x ) = P{ X ≤ x < 0} = P (φ ) = 0
•
•
0
当0 ≤ x < 1时,
1
x
1 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = 0} = ; 2 当x ≥ 1时, 0, x < 0, F ( x ) = P{ X ≤ x } 1 = P{ X = 0}+ P{ X = 1} 得 F ( x ) = , 0 ≤ x < 1, 2 1 1 1, x ≥ 1. = + = 1. 2 2
( k −1 )
服从几何分布. 所以 X 服从几何分布
( k = 1,2,⋯)
首次成功” 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 的概率模型
7.超几何分布 超几何分布
设X的分布律为 的分布律为
m n C M C N−−m M P{ X = m } = n CN
( m = 0,1,2,⋯ , min{ M , n})
二维离散型随机变量及其分布律
则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1
2. 联合分布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ，若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
第2-3节 二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义： 若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 有限对或可列多对， (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。
例：抛掷两枚硬币一次，观察出现正反的情况，令
⎧0 ξ＝⎨ ⎩1 ⎧0 ,η＝ ⎨ A币出现正面 ⎩1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面
称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
4
5. 随机变量的独立性
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j，恒有pij ≡ pi. p. j，即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。
ij
∑∑ p
i =1 j =1
∞
∞
=1 L i,j=1,2, 为二维离散
则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}
型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
2
3. 边缘ห้องสมุดไป่ตู้布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为：pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。 类似，(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L
离散型随机变量的分布律
（2-2）
+
其中， 0 p 1，
q 1 p ，
k 0 ，，
1 2， ，
n ，显然
P{ k}
n
n
k 0
k 0
0，
且 P{ k} Ckn p k q n k ( p q)n 1 ，
则称 服从参数为 n ，p 的二项分布，记作 ~ B (n ，p) 。
3
3
10
3
7
1
1 0.260 。
3
随机变量及其分布
离散型随机变量的分布律
1.2 常见的离散型随机变量分布
3. 泊松（Poisson）分布
若随机变量 的概率为
P{ k}
k e
k!
，（2-3）
其中，k 0 ，，
则称 服从参
1 2 ， ， 0是常数，
率可能会很大。
于是
P{
2} 1 (e8 8e8 ) 1 9e8 1 0.003 0.997 。
提示
概率论与数理统计
解 设每分钟接到的呼叫次数为 ，则 ~ P( ) ， 5 。
（1）每分钟恰好接到 7 次呼叫的概率为
57 e5
P{ 7}
0.104 44 。
7!
（2）每分钟接到的呼叫次数大于 4 的概率为
P{ 4} 1 P{
4}
1 P{ 0} P{ 1} P{ 2} P{ 3} P{ 4}
如果用 表示 n 重伯努利试验中事
件 A 发生的次数，
那么 服从二项分布。
特别地，当 n 1 时，式（2-2）化为
P{ i} p k q1 k (k 0 ，
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2.2离散型随机变量及其分布律
当1≤x<2时, {X≤x}={X=0}∪{X=1} X 0 1x 2
又{X=0}与{X=1}互不相容 得: F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}
=0.6+0.3=0.9
当x≥2时, {X≤x}为必然事件
X
0 1 2x
8
得: F(x)=P{X≤x}=1
0, x 0
F
(
x)
0.6, 0.9,
P{X k} C5k pk (1 p)5k
k 0,1,..., 5 18
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有
两弹击中目标的概率.
解:.设X为击中目标的次数.
X : B6000,0.001
P X 2 1 P X 2 1 PX 0 PX 1
0 1
x x
1 2
1 0.9
1, x 2 0.6
注: 左闭右开
0 1 2x
9
0, x 0
F(x)
0.6, 0.9,
0 1
x1 x2
1, x 2
(3)
P(X
1 2
)
F
(
1 2
)
0.6
P
(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
0.9
0.6
0.3
P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1<X≤2})
P
X k
Ck41 C150
(k 5, 6, 7, 8, 9,10)
具体写出,即可得 X 的分布律:
X 5 6 7 8 9 10
概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布
求分布律方法：先定值再求概率
Y
X
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
取4只球 P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 1} P{X 1,Y 0} P{X 3,Y 2} 0
14
03 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以 X 表示取 到黑球的只数, 以 Y 表示取到红球的只数, 求(X, Y)的联合分布律.
主讲教师 |
18
由此得 X , Y 的联合分布律为
X Y
0
1
0
0
0
6
1
0
35
1
6
2
35
35
2
3
3
2
35
35
12
2
35
35
3 0
35
16
第2讲 二维离散型随机变量及其分布
本节我们认识了二维离散型随机变量, 以及联合分布律和边 缘分布律, 要求理解它们概念和性质, 并且会求相应的概率.
17
概率论与数理统计
学海无涯, 祝你成功！
3
本讲内容
01 二维离散型随机变量 02 联合分布律 03 二维离散型随机变量的边缘分布律
4
02 联合分布律
2.联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
(xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布, 简称概率分布或分布律.
7
02 联合分布律 已知联合分布律可以求概率
离散型随机变量
例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 0.02 试求其命中次数不少于2的概率。 次，试求其命中次数不少于2的概率。
普哇松定理(p65)： 设随机变量X 普哇松定理(p65)： 设随机变量Xn～B(n, p), (n＝ 2,…), 很大， 很小， np， (n＝0, 1, 2, ), 且n很大，p很小，记λ=np，则
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: 也可列表表示如下
X Y y1 p11 p21 pi1 ...
ij
y2 p12 p22 ... ... pi2 ...
… ... ... ... ... ... ...
yj P1j P2j Pij
… ... ... ...
3、几个常用的离散型分布
(0-1)分布 （1） (0-1)分布(p63) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数， 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则 称X服从(0－1)分布(两点分布) 服从(0－1)分布(两点分布) (0 分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ＝ ， ～ ＝ ＝ － － 或 0 X 1
1 3
求：Y=X2的分布律 0
1 3
1
1 3
Y Pk
1
2 3
0
1 3
一般地
X Pk Y=g(X)
x1 p1
x2 xk p2 pk
g(x1) g(x2 ) g(xk )
或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … ＝ ～ ＝ ＝ ＝ 有相同的， （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。） 其中 有相同的 其对应概率合并。）
二维随机变量及其分布
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函 数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二 维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章 二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、 二维随机变量 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二 维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而 确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维 随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为 二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量
二维离散型随机变量及其分布
3
0
0
0
1
0
0
0
0.25
2
0
0 0.375 0
3
0
0.25 0
0
4
0.0625 0
0
0
4
0.0625 0 0 0 0
概率论与数理统计
6
❖ 二.例题
➢ 例3.2.2 一口袋中有3个球，它们依次标有数字1, 2, 2，从
该袋中不放回地随机抽取两次，每次取一个，以X、Y表
示表示第一次、第二次取得的球上标有的数字. 求
表格形式表示(X，Y)的分布律．
Y
X
y1
y2Biblioteka …yj…x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
…… … ………
xi
pi1
pi2
…
pij
…
…… … ………
概率论与数理统计
❖ 一.二维离散型随机变量及其分布
➢ 定义3.2.1 如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可列个 数对(xi，yj)，则称(X，Y)为二维离散型随机变量，称 P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2, 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律，也可用如下 表格形式表示(X，Y)的分布律． ➢联合分布律有如下性质： (1) 正则性： pij 0, i, j 1,2,
P X Y P X 1,Y 1 P X 1,Y 2 P X 2,Y 2
0 1 1 2. 33 3
➢ 若本题改为放回抽样呢？
概率论与数理统计
8
❖ 二.例题
➢ 例3.3.3 设X表示随机的在1~4的4个整数中取出的一个数, Y表示在1~X个整数中随机地取出的一个数, 求(X, Y)的联 合分布律及分布函数.
二维离散型随机变量
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
因此， (X ，Y) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律如表 3-5 所示．
表 3-5X01Y01pi
2 5
3 5
pj
2 5
3 5
概率论与数理统计
多维随机变量及其分布
所以， (X ，Y) 的分布律如表 3-2 所示．
Y
0
1
X
2
4
0
15
15
4
1
1
15
3
由二维随机变量的分布函数的定义可知， (X ，Y) 的分布函数为
0 ， x 0 或 y 0 ，
2
，
0
F (x ，y) 125， 0
5
x 1，0 x 1，y
y 1， 1 或 x 1，0
概率论与数理统计
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.1 二维离散型随机变量的概念与分布律
定义 1 若二维随机变量 (X ，Y) 所有可能取的值为有限对或可列无限 多对，则称 (X ，Y) 为二维离散型随机 变量．
显然，当且仅当 X 和Y 都是离散 型随机变量时，(X ，Y) 才是二维离散 型随机变量．
p1j
j 1
p2 j
p2 j
j 1
xi
pi1
pi 2
pij
pij
j 1
P{Y yj}
pi1
pi2
pij
1
i 1
i 1
i 1
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 2 已知 (X ，Y) 的分布律如表 3-4 所示，求 (X ，Y) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律．
2.3 二维离散型随机变量及其分布律.
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律.
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。
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i 1
边缘分布律是分布律.
由联合分布 律得到边缘 分布律
相同的边缘 分布律,不同 的联合分布 律
表2.7-2.8
联合分布律<=|=边缘分布律
补例
二 条件分布律 1.定义 P{ X xi | Y y j } P ( xi , y j ) / P{Y y j }
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征) pij , j 1, 2,3,...
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性 P{ X xi , Y y j } P ( X xi ) P{Y y j }
i, j 1, 2,3,...
若随机变量独立,则
P{ X xi | Y y j } P ( xi , y j ) / P{Y y j } P{ X xi } P{Y y j | X xi } P{Y y j }
2.联合分布律 1).定义2.4 pij P{xi , y j } P{ X xi , Y y j } (i 1, 2,L ; j 1, 2,L ) 表格形式（常见形式） Y y1 y2 。。。 y j X p11 p12 。。。 p1 j x
1
...
... 。。。
... 。。。
x2
..... 。。。
。。。... 。。。...
p2 j
。。。
...
... 。。。
... 。。。
xi
... 。。。
pi1 pi 2
... 。。。
... 。。。
pij
...
... 。。。
。。。...
。。。...
。。。
...
2).特征: 0 pij 1
p
解 ( X , Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3，
Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ
Ｘ
１
２
１ ２
０ 1/3
1/3 1/3
2.边缘分布律
与条件无关
独立的二维随机变量,边缘分布律=>联合分布律
2.补例1
练习题
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
i 1 j 1
ij
1
3). P{( X , Y ) G}
( xi , y j )G
pij
例2.10 看书
例
一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任 取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律. 定义2.5 ( X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律
pi· P{X xi } = pij (i 1,2,L ); =
j 1
( X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律
p·j =P{Y y j } = pij ( j 1,2,L ).
边缘分布律是分布律.
由联合分布 律得到边缘 分布律
相同的边缘 分布律,不同 的联合分布 律
表2.7-2.8
联合分布律<=|=边缘分布律
补例
二 条件分布律 1.定义 P{ X xi | Y y j } P ( xi , y j ) / P{Y y j }
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征) pij , j 1, 2,3,...
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性 P{ X xi , Y y j } P ( X xi ) P{Y y j }
i, j 1, 2,3,...
若随机变量独立,则
P{ X xi | Y y j } P ( xi , y j ) / P{Y y j } P{ X xi } P{Y y j | X xi } P{Y y j }
2.联合分布律 1).定义2.4 pij P{xi , y j } P{ X xi , Y y j } (i 1, 2,L ; j 1, 2,L ) 表格形式（常见形式） Y y1 y2 。。。 y j X p11 p12 。。。 p1 j x
1
...
... 。。。
... 。。。
x2
..... 。。。
。。。... 。。。...
p2 j
。。。
...
... 。。。
... 。。。
xi
... 。。。
pi1 pi 2
... 。。。
... 。。。
pij
...
... 。。。
。。。...
。。。...
。。。
...
2).特征: 0 pij 1
p
解 ( X , Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3，
Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ
Ｘ
１
２
１ ２
０ 1/3
1/3 1/3
2.边缘分布律
与条件无关
独立的二维随机变量,边缘分布律=>联合分布律
2.补例1
练习题
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
i 1 j 1
ij
1
3). P{( X , Y ) G}
( xi , y j )G
pij
例2.10 看书
例
一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任 取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律. 定义2.5 ( X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律
pi· P{X xi } = pij (i 1,2,L ); =
j 1
( X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律
p·j =P{Y y j } = pij ( j 1,2,L ).