初三数学：26.2用函数观点看一元二次方程
26.2用函数观点看一元二次方程
度为20 m呢？20.5 m？
h
(2) 球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
20
10
h
o
1 2 3 4t
th 20t 5t2
练习一：
想一想，这一个旋转喷水
头，水流落地覆盖的最大
如图设水管AB的高出地面面积2.为5m多，少在B呢处？有一自动旋
转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数
y=+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求
水流的落地点D到A的距离是多少？
分析：根据图象可知，水流的
y
落地点D的纵坐标为0，横坐
标即为落地点D到A的距离。
B
即：y=0 。
-1 A 0
Dx
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击 球，其飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x，其 中y（m）是球的飞行高度,x（m）5是球飞5出的水 平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m． （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行 的最大水平距离．
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
＞0
有两个不相等的实数根
=0
有两个相等的实数根
＜0
没有实数根
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= 15 ，如果h=20，那50-20t2= 20 ， 如果h=0，那50-20t2= 0 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 方程 的解。
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度
角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单
26.2 用函数观点看一元二次方程(第1课时)
右图中二次函数的图象与x 右图中二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有， 轴有公共点吗？如果有， 公共点的横坐标是多少？ 公共点的横坐标是多少？
1
y = x2－6x＋9 ＋
.
3
（2）y = x2－6x＋9 ） ＋
抛物线y 轴有一个公共点， 抛物线 = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这 ＋ 与 轴有一个公共点 点的横坐标是 横坐标是3. 点的横坐标是 函数值y=0． 当x = 3 时，函数值 ． 由此可知： 是方程 的根. 由此可知：3是方程 x2－6x＋9＝0的根 ＋ ＝ 的根
例2：已知抛物线 y = x + (2k + 1) x − k + k ： 轴的交点个数； （1）试判断该抛物线与 轴的交点个数； ）试判断该抛物线与x轴的交点个数 （2）当k= -1时，求此抛物线与坐标轴的交 ） 点坐标。 点坐标。
2 2
思路： 判断抛物线与X轴的交点个数问题 思路： 判断抛物线与 轴的交点个数问题” “判断抛物线与 轴的交点个数问题” 转化为“判断方程有无实根的问题” 转化为“判断方程有无实根的问题”， 实质就是要求判别式的值。 实质就是要求判别式的值。
的函数值恒为正， 二次函数 y = ax + bx + c 的函数值恒为正， 2 则需满足条件____________________． 则需满足条件 a > 0且 b − 4 ac < 0．
2
变式： 变式： 二次函数 y = ax + bx + c 的函数值 2 恒为负 则需满足条件__________________． 恒为负，则需满足条件a < 0且 b − 4 ac < 0 ．
2
函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0) ，当y = m时， 时 2 对应的x值就是方程 对应的 值就是方程 ax + bx + c = m(a ≠ 0) 的根。 的根。
26.2用函数观点看一元二次方程_(2课时)
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 论 然后告诉老师？ 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容： 节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
二 次 函 数 与
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 当二次函数 中 的值 确定， 的值时， 确定，求x的值时，二次函数就变 的值时 为一元二次方程。即当y取定值时 取定值时， 为一元二次方程。即当 取定值时， 二次函数就为一元二次方程。 二次函数就为一元二次方程。
y
y = x2 + x − 2
O
y = x2 − 6x + 9
y
(a)
O
(b)
(c)
对应二次函数(1)-(3)得到图象(a)-(c)。
x
O
x y
y = x2 − x + 1
x
y
O
y = x + x−2
2
y = x2 − 6 x + 9
y y
O O
y = x2 − x + 1
y = x 2 + x − 2 的函数图象与 轴的公共点的横坐标是 和1， 的函数图象与x轴的公共点的横坐标是 轴的公共点的横坐标是-2和 ， （1） ）
两个交点
轴 的 交 点
交 一个交点 点 没有交点 的交点的
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程的
二次函数与x 二次函数与
x
练习:看谁算的又快又准。 练习 看谁算的又快又准。 看谁算的又快又准 1.不与 轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是 不与 轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3 C y= - x2 – 2x 2.如果关于 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 如果关于x的一元二次方程 如果关于 有两个相等的实 1 数根,则 ＿＿ ＿＿,此时抛物线 轴有＿ 数根 则m=＿＿ 此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个 与 轴有 1 交点. 交点 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上 则c=＿＿＿＿ 已知抛物线 轴上,则 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿. 的顶点在 轴上 (0,2) 4.抛物线 抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿ 与x轴交 轴交于点＿＿＿＿ 抛物线 轴交于点＿＿＿＿,与 轴交 (1,0) 于点＿＿＿ 于点＿＿＿ (2,0) . ＿
用函数观点看一元二次方程
26.2 用函数观点看一元二次方程基础训练1.二次函数y=-x 2+4x-3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积为( )A ．6B ．4C ．3D ．12．当a ＞0，Δ=b 2-4ac__________0时，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为正；当a__________0，Δ= b 2-4ac__________0时，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为负．3．已知一抛物线与x 轴的交点为A （-1，0）、B （m ，0），且过第四象限内的点C （1，n ），而m+n=-1，mn=-12，则此抛物线关系式是__________．强化训练1．抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）和直线y=kx+d （k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．2．抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），x 1<x 2，则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为__________，不等式ax 2+bx+c<0的解集为__________．3．利用图象求下列一元二次方程的近似值. (1)x 2+x-10=0; (2)2x 2-3x+1=0．4．(2010上海抽考)已知抛物线y=x 2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O ．（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标；（2）设这条抛物线与x 轴的另一个交点为A ，求以直线PA 为图象的一次函数的解析式．5．已知抛物线y=x 2-mx+22m 与抛物线y=x 2+mx-43m 2在平面直角坐标系中的位置如图26-2-1,其中一条与x 轴交于A 、B 两点．图26-2-1（1）试判断哪一条抛物线经过A 、B 两点？并说明理由．（2）若A 、B 两点到原点的距离OA 、OB 满足3211=-OA OB ，求经过A 、B 两点的抛物线的关系式．巩固训练1．二次函数的二次项系数为2,它与x 轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是( )A ．y=2(x-4)(x+2)B ．y=2(x+4)(x-1)C ．y=2(x-4)(x-1)D ．y=2(x-4)(x+1)2．已知抛物线的顶点到x 轴的距离为3，且与x 轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．3．求下列二次函数与x 轴的交点：(1) y=x 2+4x-5; (2) y=-x 2+x+2; (3) y=x 2-3x; (4)y=x 2-6x+10.4．已知二次函数的图象经过点A （1，0）和B （2，1），且与y 轴交点的纵坐标为m ．(1)若m 为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围.5．如图26-2-2，抛物线y=21(x+1)2-2，图26-2-2（1）设此抛物线与x 轴交点为A 、B （A 在B 的左边），请你利用图象求出A 、B 两点的坐标；（2）有一条直线y=x-1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；（3）P 是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P ，使S △ABP =2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标．6．已知抛物线y=2x 2和直线y=ax+5．（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是抛物线与直线的两个交点，点P 是线段AB 的中点，且点P 的横坐标为221x x +，试用含a 的代数式表示点P 的纵坐标； (3)设A,B 两点的距离d=21a +·｜x 1-x 2｜,试用含a 的代数式表示d.7．画出函数y=x 2-4x-3的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x 轴交点的坐标是什么？（2）方程x 2-4x-3=0的解是什么？（3）不等式x 2-4x-3>0，x 2-4x-3<0的解是什么？8．某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10-3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量. （3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）9．(福建三明模拟)已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图26-2-3)，可得出表中第2行的相关数据．10．(2010重庆模拟，27)已知m,n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=-x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(a b ac a b 44,22--)〕 (3)P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2 3的两部分，请求出P 点的坐标．图26-2-4。
26.2用函数的观点看一元二次方程
26.2用函数的观点看一元二次方程班级__________ 姓名___________学习目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化。
2、会利用数形结合的方法判断抛物线与x 轴的交点个数。
3、培养合作意识和探索数学知识间联系的好习惯，体验二次函数的应用。
学习重点：理解二次函数与一元二次方程的关系难点：掌握抛物线与x 轴交点个数与一元二次方程的解的情况相互关系。
学习过程:一、情境引入二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
根据图象回答：⑴x 为何值时, 0y =？⑵ 你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？⑶ 二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？二、自主学习1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探究】教材P16问题：如图26-2-2，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：函数2y ax bx c =++,当函数值y =m 时,对应自变量x 的值就是方程2ax bx c m ++=的根.反过来也成立。
2. 二次函数的图象与x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系【探究】观察图26-2-3中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ ⑴ 方程x 2+x-2=0的根是⑵ 方程x 2-6x+9=0的根是⑶ 方程x 2-x+1=0【归纳】一般地，从二次函数2y ax bx c =++的图象可知：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。
二次函数与一元二次方程及其实际应用(题目)
26.2 用函数的观点看一元二次方程例题分析：1．判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由。
(1)y=-x2-x+1；(2)；(3)y=x2+3x+42. 二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m 的取值范围。
3. 一元二次方程x2+(k-1)x+1=0的一根大于2，一根小于2，求k的取值范围。
4．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB 的长为4。
(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
5．用图象法解一元二次不等式：．练习：（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．6．已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数)，其图象交x轴于点A、点B，且点A在原点左侧，点B在原点右侧。
(1)求此二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C 且S △ABC =10，求一次函数的解析式.7．已知：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象过点(1，0)和直线y=ax+b ，它们的系数之间存在如下关系：a ＞b ＞c(1)求证：抛物线与直线一定有两个不同的公共点；(2)设抛物线与直线的两个公共点为A 、B ，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，令，试问是否存在实数k ，使线段A 1B 1的长为，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由。
26.3 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x20XX 年长沙市数学中考题第25题在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．26．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y 轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．。
26.2用函数观点看一元二次方程
当x_____时，y随x的增大而减小 ＜-1.5
x=-1.5
随堂测验
如图是二次函数y=x 4 x 5的图像，回答问题
2
（1）方程x 4 x 5 0的解是_______ （2）x_________，y＜0？ -1 （3）____x_____，y＜0？
2
5
（4）抛物线的对称轴是_____, 当x_____时，y随x的增大而增大
5.在ABC中, B 90, 点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm / s的速度移动 点Q从点B开始沿BC的边向点C , 以2cm / s的速度移动，设 PBQ的面积为y cm 运动
2
时间为xs，如果P、Q分别从A、B同时出发： （ ）写出y与x的函数关系式； 1 （2）几秒后PBQ的面积等于 c m ？ 8
复习
1 2 13 1 2 y ( x 3) 1.配方法将y x 3 x 2化成顶点式 ____________ 2 2 2 13
x=3 对称轴是______,顶点坐标是_______ 2
(3,
)
2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的 情况可由 △=b2- 4ac 确定。
(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间?
(2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间? (4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ? h t
1、写出下列函数的顶点坐标，对称轴，与y轴的交点坐标
y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 3、判断下列方程根的情况，如果有根请求出。 x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0 , x2 – x+ 1=0
人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计
人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》这部分内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行教学的。
这部分内容主要是让学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程，培养学生运用函数观点解决问题的能力。
教材通过引入函数的概念，让学生理解一元二次方程和函数之间的关系，从而提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括一元二次方程的解法。
但是，对于如何从函数的角度来理解和认识一元二次方程，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。
2.培养学生运用函数观点解决问题的能力。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解一元二次方程和函数之间的关系。
2.难点：如何引导学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，通过师生互动，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程。
让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与一元二次方程相关的问题，引导学生运用函数观点解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用函数观点解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了用函数观点看待一元二次方程，还可以用其他方法来理解和解决问题吗？激发学生的思维，培养学生的创新能力。
九年级数学下册课件：26.2用函数观点看一元二次方程1
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由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元 二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象 将得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2－2x－2=0 的实数根．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约
是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
zxxkw zxxkw zxxkw
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85 =1.8t+0.064t2
解方程得
t1=25ຫໍສະໝຸດ t2 = －53.125（不符合实际舍 去）
他通过这段山坡需要25秒的时间
x1≈－0.7，x2≈2.7
8
6
y = x2－2x－2
4
(－0.7, 0 ) 2
－4 －2 －2
( 2.7, 0 ) 24
－4
1. 汽车刹车后的距离S（单位：m）与行驶时间t（单位 为：s）的函数关系式S=15t－6t2，汽车刹车后停下来行 驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？ 解：由函数关系可得：
5 =15t－6t2
解方程得 x1≈0.98 x2≈28.75（不符合实际舍去）
所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s．
2. 一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为S（单位： m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是
S=1.8t+0.064t2，他通过这段山坡需要多长时间？
解：由函数关系可得：
26.2用二次函数的观点看一元二次方程
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 我们知道:代数式b 4ac对于方程的根起着关键的作用. 对于方程的根起着关键的作用
3.25 <X< 3.26
(1)抛物线y = x 2 + 2 x − 3与x轴的交点个数有( C ). 2 3个 A.0个 B.1个 Ｃ．个 Ｄ．
1 3 (− , ) 顶点坐标为 __________ . 2 4
(2)抛物线y = mx 2 − 3x + 3m + m 2经过原点, 则其顶点
20 h t
20 = 20t − 543; 4 = 0
你能结合图形指出 为什么只在一个时间 球的高度为20m？ 球的高度为20m？ 20m
t1 = t2 = 2
当球飞行2s时 它的高 当球飞行 时,它的高 度为20m. 度为
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能， 球的飞行高度能否达到 ？如果能， 需要多少飞行时间？ 需要多少飞行时间？
( 2 ) 解 :Q A （1, 0）在抛物线 y = 2 x 2 − mx − m 2 上 ∴ 0 = 2 × 12 − m × 1 − m 2 (m 即m 2 + m − 2 = 0 ， + 2)( m − 1) = 0 ∴ m1 = −2，m2 = 1
有两个相等的解 x
2a
b x1=x2 = − 2a
没有实数根
4ac＜ b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
y
x
利用二次函数的图象求方程 x 2 − x − 3 = 0 的实 数根（精确到0.1） 数根（精确到 ）. y 方法: (1)先作出图象 先作出图象; 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标 写出交点的坐标; (2)写出交点的坐标; （-1.3 , 0）、（2.3 , 0） 0）、（2.3 0） ）、（ (3)得出方程的解 得出方程的解. (3)得出方程的解. =x =-1.3 ， x =2.3 。 用你学过的一元二次方程的解法来解， 用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？ 准确答案是什么？
初三数学第4讲：用函数观点看一元二次方程(学生版)
第4讲 用函数观点看一元二次方程对于二次函数y = ax 2 + bx + c （a ≠0）和一元二次方程ax 2 + bx + c = 0（a ≠0）,从“数”的角度看，一元二次方程的解为二次函数的函数值为0时的x 的值；从“形”的角度看，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.针对上述关系列表如下.与x 轴有2两交点， (242b b aca ---,0),(242b b ac a -+-,0),如图.与x 轴有一个交点， (2b a-,0),如图.与如图)与x轴有2两交点，(242b b aca---,0),(242b b aca-+-,0),如图.与x轴有一个交点，(2ba-,0),如图.与如图重点：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．难点：利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解，体会数形结合的思想方法．例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0例2 若二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )．A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0)例3 如图，已知抛物线经过点（0，-3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间.你所确定的b 的值是 ．例4二次函数的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）．A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞3例5 二次函数y ＝x 2＋3x －4的如图所示，根据图象回答下列问题． (1)写出方程x 2＋3x －4＝0的解；(2)在图中用点M ，N 的横坐标表示方程x 2＋3x －6＝0的解．2y x bx c =++223y x x =--例6已知二次函数22-++=a ax x y .（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式． （3）若此二次函数图象与x 轴交于A,B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2133?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由．A1．下列二次函数的图象中，不与x 轴相交的是（ ）. A . y =2x 2－3 B. y =－2 x 2 + 3 C . y =－x 2－3x D. y =－2(x +1)2－3 2.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( )．A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0，∆＝0B ．b ＜0，c ＞0，∆＝0C ．b ＜0，c ＜0，∆＝0D ．b ＞0，c ＞0，∆＞04．抛物线y ＝2x 2＋8x＋m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为______． 5．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为______．6．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程；(2)x 取何值时，y 随x 增大而减小?x 取何值时，y 随x 增大而增大? (3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x 取何值时，y ＞0，y ＜0，y ＝0?7．已知抛物线y ＝x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k ．(1)求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点； (2)当k ＝1时，求此抛物线与x 轴的交点坐标．B8．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜39．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）． A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P (3，0)，则a －b ＋c 的值为( )．yOxx1=-1-A ．0B ．－1C ．1D ．211．如图是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围________．12．如果抛物线y =－x 2+2x +m +1与x 轴交于A ，B 两点，且A ， B 两点都在x 轴正半轴上，求m 的取值范围.13．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋m(1)有公共点；(2)没有公共点．C14．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④a ＋b ＋c ＝0．其中正确结论是( )．A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③】15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______．①223,02121<<<<-x x ②252,21121<<-<<-x x③252,02121<<<<-x x④223,21121<<-<<-x x16．已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求m 的取值范围．(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式．1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有交点，则b 2－4ac ______0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0两根为x 1，x 2，则二次函数可表示为y ＝_____________________．2．若二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴只有一个交点，则m ＝______．3．若二次函数y ＝mx 2－(2m ＋2)x －1＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．4．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过P (1，0)点，则a ＋b ＋c ＝______．5．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝0，则这条抛物线必经过点______．6．关于x 的方程x 2－x －n ＝0没有实数根，则抛物线y ＝x 2－x －n 的顶点在第______象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A．没有实根B．只有一个实根C．有两个实根，且一根为正，一根为负D．有两个实根，且一根小于1，一根大于28．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )A．只有一个B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个D．无交点9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，∆＞0 B．a＞0，∆＜0C．a＜0，∆＞0 D．a＜0，∆＜011．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．1．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为______．82．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为93．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )A．0 B．1 C．2 D．－14．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )A．有两个交点B．有一个交点C．没有交点D．可能有一个交点5．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )1 A．0 B．－1 C．2 D．46．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是( )A．无实根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根7．m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点?8．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．课程顾问签字： 教学主管签字：注：每节课内容需满足课堂2H使用。