中考数学与二次函数有关的压轴题

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，

解得：x＝40，

60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000

＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

2．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；

（3）M1（113

+

，0）、N1（13，﹣1）；M2（

113

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且

∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证

△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

20

3

a a c

c

++=

⎧

⎨

=

⎩

，

解得：

1

3

a

c

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以点G的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴33，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），

将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：

24043

m k k m

⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨

=⎩（舍），2231

m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1； （3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，

如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，

则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ，

∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，

∴∠MOQ=∠HQN ，

∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=1132

± 当113+HN=QM=﹣x 2131-M 113+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 或（1132+﹣1312

，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

综上点M1（113

+

，0）、N1（13，﹣1）；M2（

113

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.

3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4

m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=

1

6

-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到

OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为17

2

m.

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？