川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练平面向量
2019届高三一轮复习过关题 平面向量
2019届高三数学一轮复习测试卷平面向量本卷测试要点：平面向量的概念、线性运算与数量积运算。
一．填空题：1. 已知向量()4,2a =，向量(),3b x =，且a //b ,则x =________. [解析]4320,x ⨯-⨯=则6x =.2. 设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-， 若,,A B D 三点共线，则=k ．[解析]12(3)(21)BD CD CB k e k e =-=--+，设AB BD λ=.则3(3)k λ=-，2(21)k λ=--，解得94k =-．3． 已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若a b a b +=-，则实数λ的值为 ．[解析] 22222201a b a b a a b b a a b b a b λ+=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅=⇒=-．4.已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【解析】21111112()242424OA OC OA OB OA =+=+⨯⨯-=，设OA →与OC →的夹角为θ，2211142OC OA OA OB OB =++=，则114cos 122θ==，所以OA →与OC →的夹角为θ为60︒。
5. 如图，在△ABC 中，=，P 是BN 上的一点，若=m +，则实数的值为______. 解析 ,设 则， AN 31NC AP AB 112AC m 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,NP NB λ=14AB AC λλ-=344mAB AC -3.11m λ==6. 如图，已知，的夹角为，若， ，为的中点，则= ．[解析]11()322AD AB AC p q =+=-，228,9,6pq p q ==⋅=， 所以222211225(3)93244AD P q p q p q =-=+-⋅=.152AD ∴=． 7.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60A B A C B A C ==∠=︒，点,D E 分别在边,A B A C 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE 的值为 .[解析]1132DE AE AD AC AB =-=-, ()111311226432BF DE BD DF DE AB DE DE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213141883AC AB AB AC =+-⋅=．8.如图，将 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜边与 30直角三角板的30角所对的直角边重合．若DB x DC y DA =⋅+⋅，则,x y 等于 ． [解析]以D 为坐标原点建立直角坐标系，不妨设1==DC DA则)1,0(),0,1(C A ,(,),DB x DC y DA y x →→→∴=+=， 由AC AB BC ===；2222(1)8(1)6y x y x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，联立两式得1x y =+=（舍负）||22p =||3q =,p q 4π52AB p q =+3AC p q =-D BC ||AD ADFEBC9. 如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为 ．解析 因为点,,F K E 共线， 故可设21(1)52mAK mAE m AF mAB AD -=+-=+ 又()AK AC AB AD λλ==+, 2152mm λ-∴==. 92=∴λ． 10.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14A DB E ⋅=-，则λ的值为 ．[解析] 在边长为1的正三角形ABC 中，所以2211,2AB AC AB AC ==⋅=.由已知可得：11()()2AD BE AB AC BC CA λ→→→→→→⋅=+⋅+11()()2AB AC AC AB AC λ→→→→→=+⋅--4143])11[()(21-=-=--⋅+=→→→→λλAB AC AC AB , 3=∴λ．11. 已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆C ：22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN 的最大值为 ．解析：()[].,3,3A m n m ∈-, ()()()()21AM AN AC CM AC CN AC CM AC CM AC ⋅=+⋅+=+⋅-=-()()2222241115(1)12699m m n m m m =-+-=-+--=-+, 3-=∴m 时，取到最大值15.12．在ABC ∆中，若对任意的，||||CA mCB AB -≥恒成立，则ABC ∆的形状为 ． 解析： |||||CB |CA mCB AB CA -=-≥，两边平方整理得到：22222CB m CB mCA CB CB CA -⋅-+⋅0≥.根据题意对任意的m R ∈，不等式恒成立，因此()()222242CB 0CA CBCB CB CA ∆=⋅--+⋅≥，根据向量数量积的定义化简不等式得：cos b C a =，再利用余弦定理得到：2222a b c b a ab+-⋅=，化简即得222a c b +=.故ABC ∆是直角三角形． R m ∈13如图ABC ∆中，3,AB BC CA PQ ===是以A 为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：BC 与PQ 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的最小值为__________________．解析 11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-uu r uu u r uu u r uu ur uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r ，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu ur uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r 211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅uu u r uu u r 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅22221cos ()2ar b c a r θ=++--， 当cos 1θ=-，即πθ=时，()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-uu r uu u r ．14.设O 是ABC ∆的外心，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则B C A O --→--→⋅的范围是 _________________.【解析】设D 为BC 的中点,则AO AD DO =+,得())BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅,又由()1,2BC AC AB AD AC AB =-=+ ,则()()()()()22222221111(2)2222BC AD AC AB AC AB AC AB b c b b b b b ⋅=-⋅+=-=-=--=-, 又因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=-可求得1<24BC AD -≤⋅． 二．解答题： 15.已知向量()22,,sin ,cos ,22m n x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求x tan 的值；（2）若m 与的夹角为π3，求x 的值． 解析 （Ⅰ）0022m n m n x x ⊥⇒⋅=⇒-=，即1tan =x . BQACP（Ⅱ）∵1,m n ==2πsin 11cos 3m n x x ⋅==⋅⋅, π1sin 42x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭. ∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴64ππ=-x ,即125π=x ．16.在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--． （1）若→→n m //，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2）已知2,3c C π==，若m p ⊥，求ABC ∆的面积S ．[解析]（1）因为→→n m //所以sin sin a A b B =sin sin a A b B =由正弦定理得22a b =，即a b =. 所以ABC ∆为等腰三角形．（2）因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=，即a b ab +=①，又因为2,3c C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=, 即()234a b ab +-=. 把①代入得()234ab ab -=. 解得4ab =（1ab =-舍去）.所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C == 17．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值． 解：法一：(1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35.(2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 18.已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C ：交于N M ,两点. （1）求k 的取值范围；（2），其中O 为坐标原点，求. [解析]（1）由题设，可知直线l 的方程为.因为l 与C 交于两点，所以,解得. （2）设.将代入方程,整理得,所以 21212121224(1)1()81k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=+++=++, 由题设可得，解得，所以l 的方程为.故圆心()3,2C 在直线l 上，所以.19. 已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，)121(,,2<<==→→→→λλλBC BF BA BE , 过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当32=λ时，设→→→→==b BC a BA ,，用向量→→b a ,表示；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值．[解析]（1）由题意可知：2,3BF b →→=且2,BF →=4,BE →=，()1,0A ()()22231x y -+-=12OM ON ⋅=MN 1y kx=+1<k <1122(,),(,)M x y N x y 1y kx =+()()22231x y -+-=22(1)-4(1)70k x k x +++=1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++24(1)8=121k k k +++=1k 1y x =+||2MN =故4433BE BA a →→→==， 4233EF BF BE a b →→→→→=-=-+ .（2）由题意，3,33BF FC λλ→→==-，6,63BE AE λλ→→==-，2279(63)(33)c o s 60922AE FC λλλλ→→⋅=--=-+-. 当27312,19242λ⎛⎫=-=∈ ⎪-⨯⎝⎭时，→→⋅FC AE 有最大值169．20．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B .(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ， 所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ， 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B . 因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C . 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223. 所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin A ＋Csin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324.。
2019年全国3卷省份高考模拟理科数学分类---平面向量
2019年全国3卷省份高考模拟理科数学分类---平面向量 1.（2019贵州省理科模拟）已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【详解】向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则()222213a a b a a b ⋅-=-⋅=+=，故选：B ． 【点睛】本题考查向量的数量积公式，属于基础题 2.（2019云南省理科模拟）设向量，，若，则（ ）A.B. -1C.D.【答案】C 【分析】根据即可得出，解出即可．【详解】，，．故选：【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.（2019云南省1）已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（ ）A. B.C. D.【答案】A【分析】利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P 在y 轴上，即横坐标为0，可得结果. 【详解】由题，可得 ，所以点在轴上，即，故选A【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题.4.（2019广西柳州市理科模拟）已知向量与是互相垂直的单位向量，设，若，则实数的值为_____.【答案】 【分析】由得，代入计算即可。
【详解】由题意，，，，则，所以.【点睛】本题考查了向量垂直的性质，考查了向量的数量积，属于基础题。
5（2019成都市理科模拟）.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. －1 D. 1【答案】A【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．6（2019四川省绵阳市理科模拟）.已知向量a=（sin2α，1），b=（cosα，1），若a∥b，π2α<<，则α=______．【答案】6π【分析】先根据向量平行坐标关系得sin2α-cosα=0，再根据二倍角正弦公式化简得sinα=12，解得结果.【详解】向量a=（sin2α，1），b=（cosα，1），若a∥b，则sin2α-cosα=0，即2sinαcosα=cosα；又π2α<<，∴cosα≠0，∴sinα=12，∴6πα=．故答案：6π．【点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.7.（2019四川省南充市理科模拟）如图,原点是内一点,顶点在上,, ,, , ,若,则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，得：A （2，0），B （﹣，），C （﹣，﹣），由，得：，解得 即可．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则A （2，0），B （﹣，），C （﹣，﹣），因为，由向量相等的坐标表示可得：，得 ，即＝，故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量相等的坐标表示，属于中档题． 8.（2019拉萨市理科模拟）已知向量a ，b 的夹角为2π，且()2,1a =-，2b =，则2a b +=（ ）A. B. 3C.D.【答案】C【分析】利用222(2)a b a b +=+计算．【详解】由已知22(a =+=cos02a b a b π⋅==，∴222(2)a b a b +=+222244(5)4221a a b b =+⋅+=+⨯=，∴221a b +=．故选C ．【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质：22a a =，把向量模的运算转化为向量的数量积．9.（2019昆明市理科模拟）已知向量，，若，则______.【答案】2【分析】由得=0，计算可得t 的值.【详解】已知向量，，所以= .，得 ==3+9-6t=0，所以t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.10.（2019南宁市理科模拟）若向量()2,3a =, (),2b x =且·(2)3a a b -=,则实数x 的值为( ) A. 12-B.12C. 3-D. 3【答案】A【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量()23a =，，()2b x =，，所以()2221a b x -=--，， 又()·23a a b -=，所以()22233x --=，解得12x =-.故选A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.11.（2019成都七中理科模拟）设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A. 5166BO AB AC =-+ B. 1162BO AB AC =- C. 5166BO AB AC =-D. 1162BO AB AC =-+【答案】A由平面向量基本定理可得：()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+，故选A.12.（2019四川省德阳市理科模拟）已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则的值是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【分析】可画出图形，并将O和AC中点D相连，O和AB的中点E相连，从而得到，根据数量积的计算公式及条件可得出，而，即可得出的值。
2019年高考理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第八单元 平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （ ） A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（ ）A 1BA BC - B ．12BA BC -- C 1BA BC +D ．12BA BC -+3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．已知平面向量()1,3=a ，(),3x =-b ，且∥a b ，则2+=a b （ ） A ．10B 5C ．5D 105．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（ ） A ．1-B ．37C ．35-D ．356．若向量a 、b 满足1=a 、2b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π7．单位圆O 中一条弦AB 2，则·ABOB=（ ） A ．1B 2C ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（ ） AB ．+=-a b a b CD ．+=+a b a b9．在ABC △中，2BD DC =，AD mAB nAC =+，则mn的值为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB -=+，则四边形ABCD 是（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b ，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（ ） A 83B 613C 56D 191312．在锐角ABC △中，60B =︒，2AB AC -=则AB AC ⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则2sin 4sin cos x x xπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-__________． 14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，则点P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ． （1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．19．（12分）已知向量2222⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，m ，()sin ,cos x x =n ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若⊥m n ，求tan x 的值； （2）若向量m ，n 的夹角为3π，求sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-，，()24AC =，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件； （2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ，(),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ． （1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第八单元 平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ， 故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：11CD CB BD BC BA BA BC =+=-+=-．本题选择A 选项． 3．【答案】B【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ， 则()21,3+=--a b ，即210+=a b ，故选D ． 5．【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，所以()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，所以()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ． 6．【答案】C【解析】()⊥+a a b ，所以，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ， 所以2||2cos ,=-=⋅a a b a b ，又[],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．【答案】A【解析】单位圆O 中一条弦AB 2，则222+OA OB AB =，OAB △是等腰直角三角形，所以AB 与OB 成的角为4π，2·2112AB OB =⨯⨯=，故选A ． 8．【答案】C【解析】向量a 与b 反向：-=+a b a b ，+=-a b a b ，故选C ． 9．【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 又AD mAB nAC =+，∴13m =，23n =，故12m n =．故选A ．10．【答案】C【解析】由于AB DC =，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ． 11．【答案】D【解析】向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b所以2222341261+=+⋅=a b a a b +9b ，2361+=a b 22224413+=+⋅+=a b a a b b ， 所以213+a b ()()232cos 23,22326113++++==++⋅a b a b a b a b a b a b，所以向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为 191323cos 23,2616113+++==⋅a b a b a b D ． 12．【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC -=，∴(3C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形， ∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，所以AB AC ⋅的取值范围为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】32【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，3214．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：2226810+=+m n ． 15．【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）()16,16--；（2）2 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影4222⋅-==-a b b ． 18．【答案】（137（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b ，所以237=a +b （2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥ +a b b ， ()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即220x x =， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =． （2）由题意可得1=m ，1=n ，22sin cos 22x x ⋅=-m n ， 而由m ，n 的夹角为3π可得1cos 32π⋅==m mn n ，因此有)21sin cos 22x x -=，20．【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3． 【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =．k ∴满足的条件是12k =． （2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=，，，ABC △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-，； 若B ∠是直角，则AB BC ⊥，2230AB BC k k ∴⋅=-++=，解得1k =-，或3；综上可得k 的值为：2-，1-，3．）2133OP OA OB =+；（2）1013λ=． ）由题意得1AP AB =，∴()13OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+． ∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=， 解得1013λ=． 22．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =． 【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－ac C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=， 根据正弦定理，可化为()()()0－a a c b c cb -++=，即222ac b ac +-=， 又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，所以1cos 2B =，3B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去）， 综上所述，1k =或2k =．。
平面向量-2019届高三一轮复习理科数学专题卷 Word版含解析
平面向量跟踪知识梳理考纲解读：1.向量的线性运算及几何意义（1）理解平面向量的有关概念及向量的表示方法（2）向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义（3）理解两个向量共线的含义（4）了解向量线性运算的性质及其几何意义2.平面向量基本定理及向量的坐标运算（1）了解平面向量基本定理及其意义（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示（3）会用坐标对向量进行线性运算（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件3.向量数量积的定义及长度、角度问题（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2）掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示（3）了解平面向量的数量积与向量投影的关系（4）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算（5）理解数量积的性质,并能运用4.向量数量积的综合应用（1）能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题（2）会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系（3）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题考点梳理：一、向量的线性运算及几何意义1.向量的有关概念及表示法2.向量的线性运算3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实数λ,使得b=λa成立.二、平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.温馨提示(1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.考点三平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔ x1y2-x2y1=0 .三、向量数量积的定义及长度、角度问题1.两向量夹角的定义和范围2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件3.平面向量的数量积4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=⑤|a|·cos θ .(2)a⊥b⇔⑥a·b=0 .(3)当a与b同向时,⑦a·b=|a||b| ;当a与b反向时,⑧a·b=-|a||b| . 特别地,a·a=⑨|a|2 .(4)cos θ=⋅⋅a ba b. (5)|a ·b |≤|a |·|b |. 5.坐标表示(1)若a =(x ,y ),则a ·a =a 2=|a |2=x 2+y 2,|a |= . (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式.四、利用向量解决平行、垂直问题 若两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 (1)a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0 . (2)a ∥b ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0 . 拓展延伸向量中常用的结论:在△ABC 中,设∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)在||||AB AC AI AB AC λ⎛⎫+=⎪⎝⎭的条件下,存在λ,使得I 为△ABC 的内心;a PA +b PB +c PC =0⇔P 为△ABC 的内心. (2)|PA |=|PB |= |PC |⇔P 为△ABC 的外心. (3) GA +GB +GC =0⇔G 为△ABC 的重心.(4) PA ·PB =PB ·PC =PC ·PA ⇔P 为△ABC 的垂心. 核心能力必练一、选择题1．(2018湖北孝感二模,8)设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点,则DA +2EB +3FC = ( ) A.12AD B. 32AD C. 12AC D. 32AC 【答案】D【解析】因为D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点,所以DA +2EB +3FC =12(BA +CA )+ 2×12(AB +CB )+3×12×(AC +BC )=12BA +AB +CB +32BC +32AC +12CA =12AB +12BC +AC =12AC +AC =32AC ,故选D.2．(2018河北、河南、山西三省联考,10) 如图,在等边△ABC 中,O 为△ABC 的重心,点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点,若OD =x AB +y AC , 则x +y =( )A.112 B.13 C. 23 D.34 【答案】B3．(2018宁夏银川4月模拟)已知|AB |=2,|CD |=1,且|AB -2CD 则向量AB 和CD 的夹角 为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150° 【答案】C【解析】易知(AB -2CD )2=2AB -4AB ·CD +42CD =4-4AB ·CD +4=12,∴AB ·CD =-1,∴cos<AB ,CD >=AB CD AB CD⋅⋅=12-, ∴向量AB 和CD 的夹角为120°.故选C.4．已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2a b -在向量a -方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1 C. 2 D ．1- 【答案】D【解析】2a b -在a -()2222101a b a ab a aa -⋅-⋅-=-=-= D. 5．已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡+⎣ C. D ．3⎡-+⎣【答案】B6．向量()cos25,sin25a =︒︒，()sin20,cos20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u 的最小值为（ ）A B ．1 C D ．12【答案】C【解析】 cos25sin20,sin25cos20u a tb t t +=︒+︒︒+︒＝（）， (cos25||u =t 是实数，由二次函数的性质知当2t =-时，u 取到最小值，最小值为2，故选C. 7．设向量()()2,,1,1a m b ==-，若()2b a b ⊥+，则实数m 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3- 【答案】C【解析】因为()2b a b ⊥+，所以()20b a b ⋅+=，即420m -+=，解得6m =.故选C ． 8．如图，已知AB =a ，AC =b ，4BC BD =，3CA CE =，则DE =（ ）A ．3143-b a B ．53124-a b C ．3143-a b D ．53124-b a 【答案】D【解析】()3153,43124BC AC AB DE DC CE =-=-=+=--=-b a b a b b a . 9．已知平形四边形ABCD 的对角线分别为AC BD ，，且2A E E C =，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则（ ）A ．151212FE AB AD =-- B ．151212FE AB AD =-C ．511212FE AB AD =- D ．511212FE AB AD =-- 【答案】C10．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上，满足2OA AB AC ++=0（其中O 为坐标原点），且AB OA =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为（ ） A ．12 B ．1 C ．1- D ．12- 【答案】A【解析】由2()()OA AB AC OA AB OA AC ++=+++=0，得OC OB -=，即C B O ,,三点共线，又AB OA =，π||cosBA =故选A ． 11．O 为ABC △内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】A【解析】由AD t AC =得()OD OA t OC OA -=-，所以(1)OD tOC t OA =+-，因为B ，O ，D 三点共线，所以可设BO OD λ=，则2(1)OA OC tOC t OA λλ+=+-，故2(1),1,t t λλ=-⎧⎨=⎩解得13t =，故选A.12．已知,A B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且120,AOB MN ∠=︒是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足()()1OC OA OB λλλ=+-∈R ，则CM CN ⋅的最小值为（ ）A ．12-B ．14-C ．34- D ．1- 【答案】C13．已知ABC △的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=，则ABC △的面积为（ ） A ．85 B ．75 C ．65 D ．45【答案】C1OA OB OC ===，由3450OA OB OC ++=可得345OA OB OC +=-，两边平法可得9241625OA OB +⋅+=，所以0OA OB ⋅=，因此OA OB ⊥，同理，354OA OC OB +=-，453OB OC OA +=-，两边分别平方可得43cos ,,cos ,OB OC OA OC =-=-，根据同角三角函数基本关系可得34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==C. 14．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 的延长线与线段BA 交于圆外的一点D ，若OC OA OB λμ=+（λ∈R ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(),1-∞-D ．()1,0- 【答案】D15．半圆的直径4=AB ，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则()PA PB PC +⋅的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．无法确定 【答案】A【解析】因为O 为AB 的中点，且P 为半径OC 的中点，所以22PA PB PO PC +==-，所以()222PA PB PC PO PC PO +⋅=⋅=-= A. 16．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边的长，若423aBC bCA cAB ++=0，则=B cos （ ） A ．2411-B ．2411C ．3629D ．3629- 【答案】A【解析】因为423a B C b C A c A B ++=0，所以423()a B C b C A c C B C A++-=0，所以(43)(2a c BC b -+3)c CA -=0,因为,B C C A不共线，所以430,230,a cbc -=⎧⎨-=⎩解得33,42c ca b ==，则222c o s 2a c b B ac +-==A. 17．已知点O 为ABC △内部一点，且满足2340OA OB OC ++=，则AOB △，BOC △，AOC △的面积之比依次为（ ）A ．4:2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】 A18．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于（ ）A ．1B C ．13 D【答案】A【解析】cos ,3a b a b a b ⋅=⋅⋅=， 所以()2222361a b a b a a b b -=-=-⋅+=-=.19．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且3243AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．37 C.613 D ．617【答案】D【解析】因为()++AP AC AB AD AB AD λλλλ===，32 43AM AB AN AD ==，，所以4332AP AM AN λλ=+，而,,P M N 三点共线，所以43132λλ+=，解得λ=617，故选D.20．设a ，b ，c 是非零向量.若1|||||()|2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A.()0a b c ⋅+= B.()0a b c ⋅-= C.()0a b c +⋅= D.()0a b c -⋅= 【答案】D.【解析】若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=；若ac bc ⋅=-⋅，则由1|||||()|2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅可知，0a c b c ⋅=⋅=，()0a b c -⋅=也成立，故选D.二、填空题21．已知()1,2a =，()1,1b =，则与2a b +方向相同的单位向量e = ． 【答案】3455⎛⎫⎪⎝⎭，22．已知直角梯形ABCD 中，BC AD //，90ADC ∠=︒，2=AD ，1=BC ，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示，以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，设CD a =，则(2,0),(1,)A B a ，(0,),(0,0)C a D ，设(0,)(0)P b b a ≤≤，则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-，所以3PA PB +=(5,34)a b -，所以3255PA PB +=≥，所以3PA PB +的最小值为5.23．D 为ABC △的BC 边上一点，2DC DB =-，过D 点的直线分别交直线AB AC 、于E F 、，若,AE AB AF AC==λμ，其中0,0λμ>>，则【答案】3【解析】由题意可得21(1)33AD AB AC mAE nAF m AB n AC m n λμ=+=+=++=， 所以21,33m n λμ==⇒21333m n λμ+=+=. 24．如图，已知ABC △中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=.【答案】12-25．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则3λμ-=__________．【答案】0【解析】设正方形飞边长为2，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()2,2AC =，()2,1AM =，()1,2N ，()2,0B ，()1,2BN =-，所以22,22,λμλμ=-⎧⎨=+⎩解得30λμ-=. 26．如图，点O 为ABC △的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ．【答案】3227．在Rt AOB △中， 0=⋅，5||=，52||=，AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若43=⋅，则向量在向量上的投影为 . 【答案】12或32【解析】由等面积法求得2OD =，设ED x =，则2OE x =-，因为OD AB ⊥，所以0OE AD ⋅=，所以3()(2),4OE EA OE ED DA OE ED x x ⋅=⋅+=⋅=-=所以12x =或32.28．在ABC △中，16AB AC ⋅=，sin sin cos A B C =，D 是线段AB 上的动点（含端点），则DA DC ⋅的取值范围是 ． 【答案】[4,0]-【解析】如图所示，∵16AB AC ⋅=，∴cos 16bc A =，∴22222216322b c a bc b c a bc+-⋅=⇒+-=， 又∵sin sin cos A B C =，∴2222322324b c a c c +-=⇒=⇒=，设||DA x =，04x ≤≤，∴2()(4)4[4,0]DA DC DA DB BC DA DB x x x x ⋅=⋅+=⋅=--=-∈-.29．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=，(1)CP CB λ=-，则AP AQ ⋅的取值范围是________．【答案】[0,2]30．在直角梯形,,,1,2,,ABCD AB AD DC AB AD DC AB E F ⊥===∥分别为,AB BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,λμ∈R ，则2λμ-的取值范围是__________．【答案】[]1,1-【解析】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，依题意得()0,1D ，()1,0E ，，则()311,1,,22ED AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设0,，因为AP ED AF λμ=+，所以()31cos ,sin ,22θθλμλμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭。
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2019年高考数学第一轮复习提分专练习题：平面向量【难点突破】难点1 向量与轨迹、直线等知识点结合1.已知过点D(-2，0)的地线l与椭圆交于不同两点A、B点M是弦AB的中点且，求点P的轨迹方程2.一条斜率为1的直线与离心率为万的双曲线1(a>0b>>0)，交于P.Q两点，直线l与y轴交于点K，且，求直线与双曲线的方程难点2平面向量为背景的综台题1.设过点M(a,b)能作抛物线y=x2的两条切线MA、MB，切点为A、B(1)求;(2)若=0，求M的轨迹方程;(3)若LAMB为锐角，求点M所在的区域.2.已知=(1，1)，=(1，5)，=(5，1)若=x·，y=(x，y∈R)(1)求y=f(x)的解析式;(2)把f(x)的图像按向量a=(-3，4)平移得到曲线C1，然后再作曲线C，关于直线y=x，的对称曲线C2，设点列P1，P2，…Pn在曲线C2的x轴上方的部分上，点列Ql，Q2…Qn 是x轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2,…△Qn-1QnPn都是等边三角形，设它们的边长分别为a1，a2，…an，求Sn=a1+a2+…+an的表达式.【易错点点睛】易错点1 向量及其运算1.已知，|a|=，|b|=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb 与λa+b的夹角为锐角时，求实数A的范围.2.已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC 的面积之比为 ( )A.1B. D.2【举一反三】1 △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且(1)求答案：由已知得2，所以(2)求△ABC的面积.∴S△ABC=S△AOB+ S△AOC+S△BOC=.2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足a·c=0，且|a|=|c|，b·c>0.(1)求向量c;3.已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设=a，且存在实数m，使ma-3b+c成立.求点A分所成的比和m的值. 易错点2 平面向量与三角、数列1.设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m、n之值.2.已知i,j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，(1)求3.在直角坐标平面中，已知点P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整数，对平面上任一点Ao，记A1为Ao关于点P1的对称点，A2为A1，关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点Ao在曲线C上移动时.点A2的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0，3)时f(x)=lgx.求以曲线C为图像的函数在(1，4)上的解析式;(3)对任意偶数n，用n表示向量的坐标.【特别提醒】向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，综合性强、能力要求较高.【举一反三】1 已知平面向量a=(，-1)，b=，c=a+(sin2a-2cosa)b，d=()a+(cosa)b，a∈(o，)，若c⊥d，求cosa.2设向量a=(cos23°，cos67°).b=(cos68°，cos22°)，c =a+tb(t∈R)，求|c|的最小值.∴|c|的最小值为，此时t=-3 已知向量a=(2，2)，向量b与a的夹角为，且a·b=-2.(1)求向量b;(2)若t=(1，0)且b⊥t，c=(cosA，2cos2)，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围.易错点3平面向量与平面解析几何1.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点F(-m，0)(m 是大于0的常数.)(1)求椭圆的方程;(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、 Q的直线l与y 轴交于点M，若，求直线l的斜率.2.如图6—4，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB 的中点，|AB|=AC⊥BD，M为CD的中点.(1)求点M的轨迹方程;(2)过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数λo，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程.3.如图6—5，ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。
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第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量一、选择题1 ．（2019年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A Bλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12B．12CD．32-± 2 ．（2019年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |3 ．（2019年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（ ）ABC．D ．104 ．（2019年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =5 ．（2019年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b6 ．（2019年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =.（ ）ABC． D 7 ．（2019年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b（ ）A ．12B ．1C ．32D ．528 ．（2019年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（ ）第 2 页A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--9 ．（2019年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 10．（2019年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（ ）A．(- B．(-C．(2)--D．(2)-二、填空题11．（2019年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =[来源:shulihuashulihua]12．（2019年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________. 13．（2019年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .[来源:shulihua]14．（2019年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.15．（2019年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.16．（2019年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____第 3 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, [来源:数理化网] 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ. 2. 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3. 【答案】B【解析】由0240a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.4. [答案]D[解析]若使||||a ba b =成立,则方向相同，与选项中只有D 能保证,故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. [来源:shulihua]C第 4 页6. 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b ba a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选 C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 12θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. [来源:数理化网] 8. 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--. 9. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用. [来源:shulihua]【解析】由0ab ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 10. 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== [来源:数理化网]则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- C第 5 页【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=- 二、填空题[来源:shulihuashulihua] 11. 【解析】b=12. 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-13. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2t ,23t ),N (25-2t ,23),故AN AM ⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,(AN AM ⋅)max = f (0)=5,(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!14. .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2AB AF=,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.15. 【答案】1;1 [来源:shulihuashulihua]【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. [来源:shulihuashulihua]16. 【解析】a b的最小值是98第 6 页。
2019年高考数学一轮复习：平面向量单元测试卷
2019年高考数学一轮复习：平面向量单元测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·山东)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z —＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解：易知z ＝1＋i ，所以z —＝1－i.故选B . 2．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z —，则2zz-等于 ( ) A ．－1－2i B ．－2＋i C ．－1＋2i D ．1＋2i 解：由题意可得2z z-＝2－（－1＋i ）－1－i ＝（3－i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－1＋2i.故选C .3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0 解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，所以m ＝± 2.故选C .4．(2017·衡水联考)欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e iθ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2e πi 3，z 2＝e πi2，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为z 1＝2e πi3＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝1＋3i ，z 2＝e πi2＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i＝（1＋3i ）（－i ）i （－i ）＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．故选D .5．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →方向相反的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫－35，45B.⎝⎛⎭⎫－45，35C.⎝⎛⎭⎫35，－45D.⎝⎛⎭⎫45，－35 解：AB →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，|AB →|＝32＋（－4）2＝5.所以与向量AB →方向相反的单位向量为－AB →|AB →|＝－（3，－4）5＝⎝⎛⎭⎫－35，45.故选A .6．(2017·江南十校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝12AC →－AB →B.BD →＝AC →－12AB →C.BD →＝32AC →－AB →D.BD →＝AC →－32AB →解：BD →＝AD →－AB →＝AC →＋CD →－AB →＝AC →－12AB →－AB →＝AC →－32AB →.故选D .7．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32iC.36＋12iD.32＋32i 解法一：由(z －i)⎝⎛⎭⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i. 解法二：(z －i)⎝⎛⎭⎫32－12i ＝1且⎪⎪⎪⎪32－12i ＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i.故选D . 8．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94解：由4|m |＝3|n |，可设|m |＝3k ，|n |＝4k (k ＞0)，又n ⊥(t m ＋n )，所以n ·(t m ＋n )＝n ·t m ＋n ·n ＝t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝t ×3k ×4k ×13＋(4k )2＝4tk 2＋16k 2＝0，所以t ＝－4.故选B .9．(2017·湖南二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23解：由A ，B ，D 共线知13＋λ＝1⇒λ＝23.故选A .10．(2015·河南调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1，1] B.⎣⎡⎦⎤－916，1 C.⎣⎡⎦⎤－916，7 D.⎣⎡⎦⎤916，7 解：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1，1]，所以λ∈⎣⎡⎦⎤－916，7.故选C . 11．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →的值是()A.32B.52 C ．2 D ．3 解：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2) ＝12×(32－22)＝52.故选B . 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2解：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P在圆C 上，所以设P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB→＝(1，0)，AD →＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(这里tan φ＝2)，所以λ＋μ的最大值为3.故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设a 是实数，且a1＋i＋1－i 2是实数，则a 等于________．解：a1＋i ＋1－i 2＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋⎝⎛⎭⎫12－12i ＝⎝⎛⎭⎫a 2＋12－⎝⎛⎭⎫a 2＋12i ，由题意知a 2＋12＝0，所以a ＝－1.故填－1.14．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．解：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，解得m ＝－2.故填－2.15．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．解：由|a |＝|a ＋2b |，设a 与b 的夹角为θ，等式两边平方得a 2＋4a ·b ＋4b 2＝a 2⇒a ·b ＝－b 2，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－b 23|b |2＝－13.故填－13. 16．(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是________．解：由题意可知y ＝1－x 2表示以原点为圆心，半径为1的圆的上半圆．设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，因为BA →＝(1，1)，BP →＝(cos α，sin α＋1)，所以BP →·BA→＝cos α＋sin α＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1∈[0，1＋2]．故填[0，1＋2]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)． (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．解：(1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a ，b 不同向．则a ·b ＝x ＋2>0，所以x >－2.当x ＝12时，a ，b 同向．所以x >－2且x ≠12.(2)因为a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，(2a －b )＝(2－x ，3)， 则(2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0，即－2x 2＋3x ＋14＝0，解得x ＝72或x ＝－2.18．(12分)(2016·洛阳期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z —＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1， 解得a ＝12，b ＝±32.因为复数z 在复平面内对应的点在第四象限，所以b ＝－32，所以z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意得m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2. 因为2m 2－5m －3≠0，所以m ≠3，所以m ＝－2. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，所以2×5＋3a ·b －2×54＝0，所以a ·b ＝－52，所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.即a 与b 的夹角θ为π. 20．(12分) 设向量m ＝(cos α，1)，n ＝(sin α，2)，且m ∥n ，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin α；(2)若sin(α－β)＝35，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β. 解：(1)因为m ∥n ，所以2cos α＝sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋14sin 2α＝1，所以sin 2α＝45.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝255. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2. 因为sin(α－β)＝35，所以cos(α－β)＝45.又sin α＝255，所以cos α＝55.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255.21．(12分)已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．(1)若β＝α－π6，求向量OA →与OB →的夹角；(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)设向量OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝λsin （α－β）|λ|＝λ2|λ|，当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝π3；当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝2π3.故当λ＞0时，向量OA →与OB →的夹角为π3；当λ＜0时，向量OA →与OB →的夹角为2π3.(2)解法一：|AB →|≥2|OB →|对任意的α，β恒成立， 即(－sin β－λcos α)2＋(cos β－λsin α)2≥4对任意的α，β恒成立，即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＞0，λ2－2λ＋1≥4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＜0，λ2＋2λ＋1≥4， 解得λ≥3或λ≥－3.故所求实数λ的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． 解法二：由λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，可得λ2＋1－2|λ|≥4，解得|λ|≥3或|λ|≤－1(舍去)，由此求得实数λ的取值范围；解法三：由|AB →|＝|OB →－OA →|≥||OB →|－|OA →||＝|1－|λ||，可得|AB →|的最小值为|1－|λ||，然后将已知条件转化为|1－|λ||≥2，由此解得实数λ的取值范围．22．(12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，所以a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bca＝32，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件． 故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，所以x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2，Δ＝96(2k ＋1)＞0，所以k ＞－12. 因为OP →2＝4P A →·PB →，即5＝4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]，所以4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，所以4[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k （2k －1）3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .2019年高考数学一轮复习第5 页共5 页。
2019年高考数学(理科)一轮复习通用版：“平面向量”双基过关检测
“平面向量”双基过关检测一、选择题1．(2018·常州调研)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( )A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0， ∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－13(2AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→.2．(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→C ．2OA ―→－OB ―→D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→， 所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→) ＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0， 所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2，则|a －b |的值为( ) A ．1 B.13 C ．13D.7－2 3解析：选A 由向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2， 可得a ·b ＝|a |·|b |·c os 30°＝3×2×32＝3， 所以|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3＋4－2×3＝1.4．(2018·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则 a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 5．已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．3 2C ．2 2D ．3解析：选D 由非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，可知两个向量垂直， 由|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，说明以向量a ，b 为邻边，a ＋b 为对角线的平行四边形是正方形， 所以|b |＝3.6．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D 依题意得b ＝2⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a －12b ＝(－4,2)， 所以2a ＋b ＝(－2,6)，所以6x ＝－2×3＝－6，x ＝－1.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)， 又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.8.已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则 (BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．2解析：选D 注意到函数f (x )的图象关于点C 对称， 因此C 是线段DE 的中点，BD ―→＋BE ―→＝2BC ―→. 又BE ―→－CE ―→＝BE ―→＋EC ―→＝BC ―→， 且|BC ―→|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)＝2BC ―→2＝2. 二、填空题9．(2018·洛阳一模)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：∵AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)， 据题意知AB ―→∥AC ―→， ∴4(a －1)＝3×(－3)， 即4a ＝－5， ∴a ＝－54.答案：－5410．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b . 答案：b －a －a －b11．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－312．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________． 解析：∵a ＋c ＝0，∴c ＝－a ＝(－2，－3)， ∴c ·b ＝8－21＝－13，且|b |＝65，∴c 在b 方向上的投影为|c |c os 〈c ，b 〉＝|c |·c ·b |c ||b |＝c ·b |b |＝－1365＝－655.答案：－655三、解答题13．已知向量a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，c ＝(2，k )． (1)求向量a 与b 的夹角； (2)若b ∥c ，求k 的值； (3)若b ⊥(a ＋c )，求k 的值． 解：(1)设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，∴a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a |＝3，|b |＝(－5)2＋52＝52， ∴c os θ＝a ·b |a |·|b |＝－153×52＝－22. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.(2)∵b ∥c ，∴－5k ＝5×2，∴k ＝－2.(3)∵a ＋c ＝(5，k )，又b ⊥(a ＋c )，∴b ·(a ＋c )＝0， ∴－5×5＋5×k ＝0，∴k ＝5.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，c os x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22c os x ＝0，∴t a n x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |c os π3，即22sin x －22c os x ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
2019年高考一轮总复习测试《平面向量》单元测试卷及答案详解
2019年高考数学一轮复习《平面向量》单元测试卷(时间：120分钟 满分：150分)姓名： 成绩：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于( )A ．(－2,3)B ．(0,1)C ．(－1,2)D ．(2，－3)2．设e 1，e 2为基底向量，已知向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．33．已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )A ．B (5，－5)，M (0,0)B ．B (5，－5)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 C ．B (1,1)，M (0,0)D ．B (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 4．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |5．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．1 B.13 C.12 D.237．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫sin α，16，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°8．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．69．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2]B ．(1，2]C ．[1,2]D ．[2，2]10．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1B C ．12 D ．211．若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.12.已知单位向量e 1，e 2的夹角为θ，且tan θ=m ＝2e 1-3e 2，则|m |＝（ ）A ．9B ．10C ．3 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影是________，向量a 在向量b 方向上的投影是________．14.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．15．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为________． 16．已知a ＝(1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋λb ，a 和c 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →.(1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值．18．(12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)求a ·b ，|a ＋b |；(2)求a 与b 的夹角的余弦值．19．(12分)已知OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点．(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值．20．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．21．(12分)(2019·江西南昌三中高三期末) 已知向量1(sin(),cos ),62m x x π=-+1(cos ,cos ),2n x x =-函数()f x m n =∙ （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调区间；（2）求函数)(x f 在]2,0[π上的值域.22．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取得最大值4时，求OA →·OC →.2019年高考数学一轮复习《平面向量》单元测试卷教师版(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于( )A ．(－2,3)B ．(0,1)C ．(－1,2)D ．(2，－3)考点 平面向量的坐标运算题点 平面向量的坐标运算答案 D解析 OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．2．设e 1，e 2为基底向量，已知向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 A解析 易知DB →＝CB →－CD →＝－e 1＋2e 2＝－(e 1－2e 2)，又A ，B ，D 三点共线，则DB →∥AB →，则k ＝2，故选A.3．已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )A ．B (5，－5)，M (0,0)B ．B (5，－5)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 C ．B (1,1)，M (0,0)D ．B (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 考点 平面向量的坐标运算题点 平面向量的坐标运算答案 B解析 OB →＝OA →＋AB →＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，AB 中点M ⎝⎛⎭⎫72，－4. 4．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |考点 平面向量数量积的概念与几何意义题点 平面向量数量积的概念与几何意义答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.5．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积的运算答案 C解析 ∵2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.6．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．1 B.13 C.12 D.23考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求参数答案 D解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，得|OE |＝|CE |＝2， 所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23. 7．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫sin α，16，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°考点 向量共线的坐标表示的应用题点 已知向量共线求参数答案 A解析 ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14， ∴sin α＝±12. 又∵α为锐角，∴α＝30°.8．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6考点 平面向量数量积的概念与几何意义题点 平面向量数量积的概念与几何意义答案 C解析 ▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →， ∴AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34AD →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD → ＝13×36－316×16＝9. 9．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2]B ．(1，2]C ．[1,2]D ．[2，2]考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模答案 D解析 |a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ ＝2＋2cos θ.因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以cos θ∈[0,1]．所以|a ＋b |∈[2，2]．10．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1B C ．12 D ．2 【答案】D【解析】设a 与b 的夹角为θ，()⊥-a a b ，()20∴⊥-=-⋅=a a b a a b ，2cos 0θ-⋅=a a b ，cos 2θ∴=，∴向量a 在b 方向上的投影为cos 2θ⋅=a ， 故选D ．11．若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】C 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：， 即，据此可得：，设与的夹角，则：, 故,即与的夹角为. 本题选择C 选项.12.已知单位向量e 1，e 2的夹角为θ，且tan θ=m ＝2e 1-3e 2，则|m |＝（ ）A ．9B ．10C ．3D 【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影是________，向量a 在向量b 方向上的投影是________．考点 平面向量数量积的概念与几何意义题点 平面向量数量积的概念与几何意义答案 －5 －1解析 向量b 在向量a 方向上的投影为|b |cos 〈a ，b 〉＝10×cos 120°＝－5，向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 120°＝－1.14. 若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________． 考点 平面向量数量积的应用题点 已知向量夹角求参数答案 238解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238. 15．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为________． 考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的夹角答案 π4解析 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 16．已知a ＝(1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋λb ，a 和c 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ⎪⎪ λ>－52，且λ≠0解析 c ＝(1＋λ，3＋λ)，∵a ，c 夹角为锐角，∴0<cos 〈a ，c 〉<1，∵cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c| ＝10＋4λ10·(1＋λ)2＋(3＋λ)2＝10＋4λ20λ2＋80λ＋100，∴0<10＋4λ20λ2＋80λ＋100<1，∴0<10＋4λ<20λ2＋80λ＋100，∴λ>－52，且λ≠0，∴实数λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ⎪⎪ λ>－52，且λ≠0.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →.(1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值．考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )，(1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ， 解得n ＝－3.(2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )，BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)，又AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.18．(12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)求a ·b ，|a ＋b |；(2)求a 与b 的夹角的余弦值．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用解 (1)因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，所以a ＝3e 1－2e 2＝(3，－2)，b ＝4e 1＋e 2＝(4,1)，所以a·b ＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，a ＋b ＝(7，－1)，所以|a ＋b |＝72＋(－1)2＝5 2.(2)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1013×17＝10221221. 19．(12分)已知OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点．(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数解 (1)AB →＝OB →－OA →＝(－1,1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t )．∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线，∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝12.。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
2019年高考数学理试题分类汇编：平面向量(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编平面向量一、选择题1、（2019年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D2、（2019年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4（B ）–4 （C ）94 （D ）–94 【答案】B3、（2019年四川高考）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B4、（2019年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B5、（2019年全国II 高考）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8【答案】D 6、（2019年全国III 高考）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2019年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .【答案】[0,12]+2、（2019年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.【答案】5283、（2019年全国I 高考）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .【答案】2-4、（2019年浙江高考）已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】125、(2019江苏省高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】7 8。
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：平面向量
2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练平面向量1、（2018全国III 卷高考）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．2、（2017全国III 卷高考）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C ．5D ．23、（2016全国III 卷高考）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12004、已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．5、已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（ ）A ．3B ．23C ．33D ．436、如图，已知正方形OABC 边长为3，点,M N 分别为线段,BC AB 上一点，且2B M M C=，AN NB =，P 为BNM ∆内一点（含边界），设OP OA OC λμ=+（,λμ为实数），则13λμ-的最大值为______________.7、如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+(,)x y R ∈，则代数式2212x y x y +--+的最小值为 ．8、已知向量(3,1),(21,)a b k k ==-，且()a b b +⊥，则k 的值是（ ）A ．-1B ．12-或-1 C.-1或25 D ．259、在ABC ∆中，226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=（ ）A ．9B ．-9 C.272 D ．272- 10、已知向量()1,2a x =-r ，(),1b x =r ，若a b ∥r r ，则a b +=r r （ ）A ．2B ．2C ．22D ． 3211、已知点O 为ABC ∆内一点，且有032=++OC OB OA ,记AOC BOC ABC ∆∆∆,,的面积分别为321,,S S S ，则321::S S S 等于( )A ．6：1：2B ．3：1：2 C. 3：2：1 D ．6：2：112、已知向量(1,1)a =，2(4,2)a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为A ．31010- B ．22- 310C.10 D ．22 13、已知O 为△ABC 的外心，A 为锐角且22sin 3A =，若AO AB AC αβ=+u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的最大值为 A ．13 B ．12 C ．23D ．3414、如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=A ．23B ．32C ．33D ．3 15、在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[2,2]-C ．11[,]22- D ．22[,]22-16、已知向量||25,(1,2),==a b 且a b 与平行,则向量a 的坐标为A ．(2,4)B ．(2,4)--C ．），（4-2 D ．(2,4)或(2,4)-- 17、在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ＝λAM +μBD ，则λμ+= A ．94 B ．2 C ．158 D ．5318、在ABC ∆中，2AB =，4AC =，1cos 8A =，过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，若点N 满足3AM AN =uuu r uuu r ，则NA NB ⋅=uur uu u r ．19、如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AP DB AC μ+λ=,则μ+λ的最大值为 ．20、已知向量(4,2)a =-，(,1)b x =，若//a b ，则||a b += ▲ ．21、已知a 、b 为平面向量，若b a +与a 的夹角为3π，b a +与b 的夹角为4π，则=+b a a A ．12- B.26- C.13- D. 36 22、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S a =，(1,12)n b =-满足条件a ⊥b（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案：。
(3套)2019年高考数学复习第一轮 平面向量(含3套汇总)
0与任一向量
平行 或共线
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2.向量的线性运算
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3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa .
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. (√)
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1.下列说法正确的是 (
)
A B ∥ A B 所在的直线平行于 C D 就是 C D 所在的直线 A.
B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量
A B ∥ A B 所在的直线与 C D 包含 C D 所在的直线平行和重合两 答案 C
)
A.平行四边形
B.菱形
C.长方形
D.正方形
A B = A B |=| D C ,则四边形ABCD为平行四边形.又| B C |,则四边 答案 B
形ABCD为菱形,故选B.
A D =b, A B =a, MN = A N =3 N C ,M为BC的中点,则 3.在▱ABCD中,
又∵A、B、C、D是不共线的四点,
∴四边形ABCD是平行四边形.
反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且 A B 与D C 方向相同,因
AB 此
DC . =
(3)正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同. ∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同. ∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c. (4)不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故 不是a=b的充要条件. (5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.
2019届四川省高三数学文一轮复习专题突破训练：平面向量
四川省2019届高三数学文一轮复习专题突破训练平面向量、选择、填空题1、（2019年四川省高考）已知正三角形ABC 的边长为2 3，平面ABC 内的动点P, M 满足T IAP 帀的最大值是(A)43(B) 4944(C)3L^2(D )3L^2342、（ 2019年四川省高考） 设向量 a =（2,4）与向量b = （x,6）共线，则实数x =(A)2(B)3(C) 4(D) 63、（四川省2019届高三预测金卷)已知向量；=(1 , 2), b = (x ,- 4),若；// 匸，则 x=()A . 4B . - 4 C.2 D.- 24、（成都市都江堰2019届高三11月调研）若非零向量 AB 与AC 满足(2AB JA0).BC=O ,且 2ABAC 1，则 ABC 为()| AB | | AC ||AB| |AC| 2D.直角三角形A.等腰直角三角形B .非等边的等腰三角形C •等边三角形5、（乐山市高中2019届高三第二次调查研究） 在平面直角坐标系 xOy ,已知OA =（-1,t ）, OB = （2, 2），若N ABO=90~，则实数t 的值为6、（绵阳市高中2019届高三第一次（11月）诊断性考试）直角△ ABC 的三个顶点都在单位圆2 2 1 1 x2+y 2=1上，点M （ 11），则丨MA+MB+MC 丨的最大值是2 2(A) J2 + l(B ) ，2 + 2 (C )+ 1( D ) + 22 22AB AB BH -7、（内江市2019届高三第四次（3月）模拟）如图，在 6X 6的方格纸中， 若起点和终点均在格点的向量—* —* 亠 亠 a , b , c 满足 c 二 xa • yb , ( x , y R ), 则 x y = D.513A.0B.1C.D.5 5BC 边上的高AH =1，贝U& （成都市双流中学2019届高三5月月考）在 ABC中,9、（成都市双流中学2019届高三5月月考）在 ABC 内有一点P 满足：PA — PB —i PC =：0 ■，二：=R ，且=PAB 的面积等于 PAC 的面积与 PBC 的面积之和,A._ -1AB 二 A C CE曲线的离心率为uur12、（遂宁市2019届高三第二次诊断考试）如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ,P 是矩形BCDEuuu uur uur内（含边界）的一点，且 OP =xOA+yOB （x,y € R ）。
高三数学第一轮复习单元测试—平面向量
高三数学第一轮复习单元测试—《平面向量》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=（ ）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．21-D ．21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（ ）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ= （ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（ ）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于（ ）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =，(0,1)ON =，则满足条件01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤的动点P 的变化范围（图中暗影部分含边界）是（ ）B ． D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移获得奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（ ）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a 、b 、c 且0a b c ++=，||3a =，||4b =，||5c =.设a 与b 的夹角为1θ，b与c 的夹角为2θ，a 与c 的夹角为3θ，则它们的大小关系是 （ ）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn等于 （ ）A ．13B ．3C D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +>其中真命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______.（用a b 、暗示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数b a x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量 ()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后获得的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2007年宁夏卷）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l与椭圆2212x y +=有两个分歧的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=． （1）求22AB AC +的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t DE t DM BC t BE AB t AD（1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案（4）1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e =（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b 的夹角都相等,故e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+与-2共线，设a b λ+k =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-021λk k ，解得5.0=k ，选D ．4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i的几何意义:数量积121i PP PP 等于12P P 的长度12PP 与1i PP在12P P 的标的目的上的投影1121cos ,i i PP PP PP 的乘积.显然由图可知13P P 在12P P 标的目的上的投影最大.所以应选(A). 6．B(),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+又OD 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组暗示的平面区域即可，选A ． 8．A 要经过平移获得奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=得)(b a c +-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θb a b a c ++=，将||3a =，||4b =，||5c =代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10．B由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB == ∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-∴31,44m n == 即3mn= 故本题的答案为B ．12．答案B 取特殊值、数形结合在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ． 13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b=+，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.AC 'CBB 'C ''C14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n得M 的轨迹方程为：2222=-y x .15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以OM OA ⋅⋅-22)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+取最小值-2.16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有mm -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若a 与b 平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ， 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22. 18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个分歧的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，， 由方程①，12x x +=． ②又1212()y yk x x +=++ ③而(01)(AB AB =-，，． 所以OP OQ +与AB共线等价于1212)x x y y+=+，将②③代入上式，解得2k =． 由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ． 20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩因此，228AB AC +=． （Ⅱ）2cos AB AC A AB ACAB AC⋅==⋅⋅， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅△ 11cos 2AB AC =⋅- 22222cos AB AC AB AC ⋅-⋅224AB AC =⋅-222AB AC ⎫+⎪≤=．（当且仅当2AB AC ==时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠且2222(2)444a b a b a b b +=++=42b a -=⋅， 设a b 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ，∴1cos 4arc θπ=-，故a b 和的夹角为1cos 4arc π- ，（Ⅱ）令)a a b -和(的夹角为β 22221102222a b a b a b a a a -=+-=+= ， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -和(的夹角为. 21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ） 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)OP x y =，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=222212,1,124x xx x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩.第21题解法图（2）设向量OP 与OM 的夹角为α，则2222222(1)cos 31||||4x OP OM x OP OM x yα+⋅===+⋅+，令231t x =+，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P 点坐标为(,33±±时，等号成立.OP ∴与OM 夹角的最大值是.。
川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练函数
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练函数1、（2018全国III 卷高考）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+2、（2017全国III 卷高考）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．－12B ．13C ．12D ．13、（2016全国III 卷高考）已知432a =，254b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<4、（成都市2018届高三第二次诊断）已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．5、（成都市2018届高三第三次诊断）已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<6、（达州市2017届高三第一次诊断）若82a π=，11()log 2bb π=，2log sin3c π=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 7、（德阳市2018届高三二诊考试）已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为（ ） A ．235x y z << B ．325y x z << C ．523z x y << D ．532z y x<< 8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于（1，1）对称，3()(1)1g x x =-+，若函数()f x 图象与函数()g x 图象的次点为112220182018(,),(,),,(,)x y x y x y ，则20181()iii x y =+=∑（ ）A ．8072B ．6054 C.4036 D ．20189、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）已知函数2,0()e ,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤0，()e x g x =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为A ．1(1ln 2)2- B ．1ln 22+ C ．1ln2- D ．1(1ln 2)2+10、（绵阳市2018届高三第一次诊断）已知01a b <<<，给出以下结论：①1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②1132a b >；③1123log log a b >；④11log log 23a b >.则其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）.设()x f 是周期为4的奇函数，当10≤≤x 时，())1(x x x f +=，则=⎪⎭⎫⎝⎛-29f ( )A ．43-B ．41- C.41 D ．43 12、（仁寿县2018届高三上学期零诊）已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是A ．B ．C ．D ．13、（遂宁市2018届高三第一次诊断）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，2[0,)x ∈+∞有1212()()0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式(2ln 3)2(3)(2ln 3)f mx x f f mx x --≥--++在[1,3]x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围A ．1ln 6[,1]26e + B ．1ln 6[,2]3e + C ．1ln 3[,2]3e+D ．1ln 3[,1]26e + 14、（宜宾市2018届高三第一次诊断）已知函数2()(2)(1)sin 2,f x x x x x π=--++则+++-+-+-)3()1()2()3(f f f f)5()4(f f +的值为A ．16B ．18C ．20D ．2215、（雅安市2018届高三下学期三诊）已知函数3()7sin f x x x x =--+，若2()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,3)-∞C ．(1,2)-D ．(2,1)-16、（宜宾市2018届高三第一次诊断）已知函数x e b ax x x f )()(2++=，当1<b 时，函数)(x f 在),1(),2,(+∞--∞上均为增函数，则2-+a ba 的最大值为 ． 17、（成都市石室中学高2018届高三下期二诊）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f =A. B. C.D.18、（2017全国III 卷高考）设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．19、（达州市2017届高三第一次诊断）函数2()0()x ax b f x g x ⎧+-⎪=⎨⎪⎩(0)(0)(0)x x x >=<在区间24(,4)a b b a +-+上满足()()0f x f x -+=，则(2)g 的值为（ ） A ．22- B ．22 C ．2- D 220、（德阳市2018届高三二诊考试）已知函数31()sin 31x xf x x x -=+++，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-<成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(3,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,1)-∞-21、（绵阳市2018届高三第一次诊断）已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()21f =，若()211f x +<，则x 的取值范围是 ．参考答案： 1、B解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =， ∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b=，∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab+<<， 又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，故选B. 2、【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．3、【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 4、13- 5、【答案】A【解析】易知ln 2122<<，22ln22+>，()20ln 21<<，所以c a b <<.故选A. 6、A 7、A 8、C 9、D 10、B11、A 12、B 13、D 14、B 15、D 16、2317、D 18、【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.19、B 20、A21、)21()23(∞+--∞，，。
2019四川各地高考数学联考分类篇：07平面向量
2019四川各地高考数学联考分类篇：07平面向量注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题：7. ( 四川省自贡市2018年3月高三第三次诊断性检测理科)G 是的重心，且，其中a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，那么cosC ＝ (A) (B) (C) (D)【答案】C2. (四川省资阳市2018届高三第三次高考模拟考试文科)假设向量a ＝〔1,2〕，b ＝〔1，－1〕，那么｜a 十b ｜＝(A) 3 〔B(C) 5【答案】D2. (四川省资阳市2018届高三第三次高考模拟考试理科)假设向量a ＝〔1,2〕，b ＝〔1，－1〕，那么｜a 十b ｜＝(A) 3 〔B (C) 5【答案】D4、(四川省德阳市2018届高三第一次诊断性考试理科)a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么26a a b +⋅等于〔 B 〕A 、1+B 、4C 、3D 、76、(四川省内江市、广安市2018届高三第二次模拟联考文科)||m ，||n ＝1，|2|m n -＝1，那么向量m 与n 的夹角为A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 【答案】A中，向量BF 在AB 方向上的投影是〔 A 〕A 、32- B 、3- C5. (四川省绵阳市2018年4月高三第三次诊断理科)两非零向量a,b,那么是“a 与b共线”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【二】填空题：16、(四川省资阳市2018届高三第三次高考模拟考试文科)设定义域为的函数y ＝f 〔x 〕的图象为C ，图象的两个端点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，点M 是C 上任意一点，向量且满足，又设向量现定义函数y ＝f 〔x 〕在上可标准k 下线性近似是指恒成立，其中k ＞0，k 为常数，根据上面的表述，给出以下结论：①A 、B 、N 三点共线；②直线MN 的方向向量可以为a ＝〔0,1〕；③函数y ＝5x 2在［0,1］上可在标准1下线性近似；④函数y ＝5x 2在［0,1］上可在标准54下线性近似 其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿＿①②④(13)〔四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测文科〕设向量a=(t ，-6)，b=(—3，2)，假设a//b ，那么实数t 的值是___9_____在平面直角坐标系O —xy 中，〔其中i 、j 分别为x 轴,y 轴正方向上的单【三】解答题：20、(四川省眉山市2018年4月高三二诊理科)〔本小题总分值12分〕平面上一定点(1,0)C -和一定直线:4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,P Ql ⊥垂足为Q ，0)2()2(=-⋅+(1)问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；〔2〕点Ｏ是坐标原点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，假设)1(λλ+=+，求λ的取值范围、20.解:(1)由0)2()2(=-∙+PC PQ PC PQ 得:0422=-1分设(,)P x y ,那么222(4)4(1)0x x y ⎡⎤+-++=⎣⎦,化简得:22143x y +=,3分 点P 在椭圆上,其方程为22143x y +=5分 (2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由OC OB OA )1(λλ+=+得：=+λ，所以，A 、B 、C 三点共线.且0λ>,得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即:12121x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩因为2211143x y +=,所以222(1)()143x y λλλ----+=①8分 又因为2222143x y +=,所以22222()()43x y λλλ+=② 由①-②得:2222(1)(1)14x λλλλ+++=-,化简得:2352x λλ-=,10分 因为222x -≤≤,所以35222λλ--≤≤. 解得:133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.12分。
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四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练
平面向量
1、（2018全国III 卷高考）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．
2、（2017全国III 卷高考）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切
的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）
A ．3
B ．22
C 5
D ．2
3、（2016全国III 卷高考）已知向量13(2BA = ,31
(),2
BC = 则∠ABC= (A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
4、（成都市2018届高三第二次诊断）已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ）
A ．8-
B ．6-
C ．1-
D ．
5、（成都市2018届高三第三次诊断）已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，
2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（ ）
A 3
B ．3
C ．33
D ．3
6、（达州市2017届高三第一次诊断）如图，已知正方形OABC 边长为3，点,M N 分别为线段,BC AB 上一点，且2BM MC =，AN NB =，P 为BNM ∆内一点（含边界），设OP OA OC λμ=+（,λμ为实数），则1
3
λμ-
的最大值为______________. 7、（德阳市2018届高三二诊考试）如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+(,)x y R ∈221
2
x y x y +--+为 ．
8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）已知向量(3,1),(21,)a b k k ==-，且()a b b +⊥，则k 的值是（ ）
A ．-1
B ．1
2-或-1 C.-1或25 D ．25
9、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）在ABC ∆中，2
26,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是
ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=（ ）
A ．9
B ．-9 C.
272 D ．272
- 10、（绵阳市2018届高三第一次诊断）已知向量()1,2a x =-，(),1b x =，若a b ∥，则a b +=（ ）
A 2
B ．2
C ．22． 3211、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）已知点O 为ABC ∆内一点，且有
32=++,记AOC BOC ABC ∆∆∆,,的面积分别为321,,S S S ，则321::S S S 等于( )
A ．6：1：2
B ．3：1：2 C. 3：2：1 D ．6：2：1
12、（仁寿县2018届高三上学期零诊）已知向量(1,1)a =，2(4,2)a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为
A ．310
10
-
B ．22- 310 D ．22
13、（遂宁市2018届高三第一次诊断）已知O 为△ABC 的外心，A 为锐角且2
sin 3
A =
， 若AO AB AC αβ=+，则αβ+的最大值为 A ．
1
3
B ．12
C ．23
D ．34
14、（遂宁市2018届高三三诊考试） 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，
则AC AD ⋅=
A ．23．
32 C ．3
3
D 3 15、（雅安市2018届高三下学期三诊）在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，
E ，
F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如
图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）
A ．[2,1]
B ．[2,2]
C ．11
[,]22- D ．22[ 16、（宜宾市2018届高三第一次诊断）已知向量||25,(1,2),==a b 且a b 与平行,则向量a 的坐标为
A ．(2,4)
B ．(2,4)--
C ．）
，（4-2 D ．(2,4)或(2,4)-- 17、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中
点，若AC ＝λAM +μBD ，则λμ+=
A ．9
4 B ．2
C ．
158
D ．53
18、（绵阳市2018届高三第一次诊断）在ABC ∆中，2AB =，4AC =，cos 8
A =
，过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，若点N 满足3AM AN =，则NA NB ⋅= ．
19、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量μ+λ=,则μ+λ的最大值为 ．
20、（遂宁市2018届高三三诊考试）已知向量(4,2)a =-，(,1)b x =，若//a b ，则||a b += ▲ ． 21、（遂宁市2018届高三上学期零诊）已知、为平面向量，若+与的夹角为
3
π
，+与的夹角为4π
=+b
a a
A ．12-
B.26-
C.13-
D.
3
6
22、（遂宁市2018届高三第一次诊断）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S =，
(1,12)n b =-满足条件⊥
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n
n
c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 参考答案： 1、答案：
12
解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12
λ=
. 2、【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．
∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+
∵BD 切C 于点E ．∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．
1
2||||222||5||||5
5BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△ 即C 255． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为22
4(2)(1)5
x y -+-=．
设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下： 而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=
∴015
12x μθ=
=，02155y λθ==． 两式相加得：
(其中5sin ϕ25
cos ϕ当且仅当π
2π2
k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．
3、【答案】A
【解析】由题意，得1331
32222cos 11||||
BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，选A ．
4、B
5、【答案】A
【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =， 因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==. 又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积1
23132
S =⨯=故选A. 6、
5
6 7、24
8、C 9、B 10、D 11、A 12、D 13、D 14、D 15、A 16、D 17、D 18、9
7
- 19、3 20521、C
22、【解析】（1）∵⊥,∴221
-=+n n S , …………2分
当2≥n 时，n
n n n S S a 21=-=-， 当1=n 时，211==S a 满足上式，∴n
n a 2
=
…………6分
（2）2n n n c =
1211212222
n n n n n T --=++++两边同乘12，
得231112122222n n n n n
T +-=++++，两式相减得： …………8分211
11112
1222222
n n n n n n T +++=++-=-， ()2
22
n n n T n N ++∴=-∈． …………12分。