河南省洛阳市2021届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
2021届河南省洛阳市高三期中考试数学(文)试题Word版含解析
2021届河南省洛阳市高三期中考试数学（文）试题一、单选题1．设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】B【解析】因为{}{}|1501234U x N x =∈-<<=，，，，， {}13A =，，所以{}024U C A =，，，集合U C A 的子集的个数是32=8 ，故选B.2．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()1,1和()2,1-，则21z z =（ ） A. 1322i + B. 1322i -+ C. 1322i - D. 1322i --【答案】C【解析】由复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()1,1,2,1-，得121i,2i z z =+=-，则()()()()212i 1i 2i 131+i 1i 1i 2z i z -+--====+- 1322i -，故选C.3．设m R ∈，是 “2m =”是“1,,4m 为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】2m =时， 1,2,4为等比数列，而1,,4m 为等比数列时， 2m =或2m =-，即2m =，可以得到“1,,4m ”为等比数列，而1,,4m 为等比数列不使得到2m =一定成立，所以“2m =”是“1,,4m ”为等比数列的充分不必要条件，故选A. 4．已知函数()[][]2,0,1{,0,1x f x x x ∈=∉，若()()2f f x =，则x 取值的集合为（ ）A. ∅B. {}|01x x ≤≤C. {}2D. {}|201x x x =≤≤或 【答案】D【解析】当[]0,1x ∈时， ()2f x =， ()()22f f x f ⎡⎤==⎣⎦，合题意，当[]0,1x ∈时，()()(),2f x x f f x f x x ⎡⎤====⎣⎦， x ∴取值的集合为{| 2 x x =或}01x ≤≤，故选D.5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．的为：( ) A.若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α B. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥ C.若a β⊥，αβ⊥，则//a α D.若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥ 【答案】C【解析】试题分析：若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α，正确； 若//a α，a β⊥，则αβ⊥，正确；若a β⊥，αβ⊥，则//a α或 a α⊂，即C 错误； 若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥正确，综上知，选C. 【考点】平行关系、垂直关系6．设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10a >， n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（ ） A. 15S B. 16S C. 29S D. 30S 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 3935a a =， ()()113257a d a d ∴+=+，化为12290a d +=， 10,0,a d >∴<∴等差数列{}n a 单调递减， ()112n n n S na d -=+()()2129225152222n n d d n d n d -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， ∴当15n =时，数列{}n S 取得最大值，故选A. 7．等比数列{}n a 中， 1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =---，则()0f '=（ ） A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】D【解析】在等比数列{}n a 中，由1102,4a a ==，得110293847a a a a a a a a ==== 356242a a =⨯=， 函数()()()()1210...f x x x a x a x a =---是11个因式的乘积，展开后含x 的项仅有()1210...a a a x ，其余的项x 的指数均大于等于2， ()'f x ∴中的常数项仅有1210...a a a ，()()53151210'0...22f a a a ∴===，故选D.8．已知函数()sin 01y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由函数sin y a bx =+图象，可由sin y bx =向上平移a 各单位，由图知， 1a >，根据图象可知sin y a bx =+的周期2,2T b bππ=，排除A 、B ；而()log y b x a =+，由log b y x =向上平移a 各单位，选项中只有D 符合题意，故选D.9．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）A. 60B. 48C. 24D. 20 【答案】C【解析】由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥和三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形， ∴几何体的体积11134534330624232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥与棱柱的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的为（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为πB. ()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 C. ()f x 的图象关于直线8x π=-对称D. 将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象【答案】D【解析】函数()()2sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x =+=+11cos2122cos2222222x sin x sin x x ⎫-=+=-+⎪⎪⎝⎭12242sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期为2,T A ππω==∴正确； 37,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32,422x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ()f x 是单调递减， B∴正确；当6x π=-时， ()12442f x sin ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 122=-+为最小值， 6x π∴=-是()f x 的对称轴， C 正确；将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得y x =的图象，它是偶函数， D 错误，说法不正确的为D ，故选D .11．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，设(),,OP mAB nCA m n R =-∈，则2m n +的最大值为 （ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】()()()2,3,3,2,1,1A B C ,()()1,1,1,2AB AC ∴=-=--,(),OP mAB nCA m n R ∴=-∈()(),2,m n m n x y =---=,23{{ 23x ym m n x m n y x yn -=-=⇒--=--=, 2m n x y +=-,设x y z -=，画出,,A B C 连线的表示的区域，如图，平移直线y x z =-，当直线经过()3,2B 时， z 有最大值321-=，故选B. 【方法点晴】本题主要考查转化与划归思想以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]1,x π∈时()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,ln e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B. {}ln ,ln 0ππππ⎛⎤⋃⎥⎝⎦ C. []0,ln ππ D. {}1,ln 0e ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, []1,x π∈时， ()ln f x x =， 1,1x π⎛⎤∴∈- ⎥⎝⎦时， []()1111,,ln f f x x x x π⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，()ln f x x =-， ()g x 零点，就是()y f x =与y ax =的交点，画出两函数图象，如图，由图知，ln OA k ππ=过原点与ln y x =相切的直线斜率为1e ，所有直线与曲线有一个交点的a 的范围是{}1,ln 0e ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，故选D. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知()()2,2,1,0a b =-=，若向量()1,2c =与a b λ+共线，则λ=__________． 【答案】3【解析】()()2,2,1,0a b =-=,()()()+2,2+1,02+,2a b λλλ∴=-=-,由向量()1,2c =与a b λ+共线，得()12220λ⨯-⨯-+=，解得3λ=，故答案为3.14．若函数在其定义域内为奇函数，则实数__________．【答案】或【解析】在定义域上为奇函数，，即，根据等式恒成立可得，或，故答案为.15．已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2017a =__________． 【答案】1009【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称， ()1122f x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移12个单位， ()f x ∴的图象关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()()11f x f x ∴+-=， ()()()()1101==...=10=1n f f ff f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()110...1n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111...0n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式相加可得，()()()()11201...10n n a f f f f f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()()()1120...102018n n a f f n f f f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++++= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1009n a =，故答案为1009.16．已知菱形ABCD 边长为2， 060A =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．【答案】203π【解析】当平面ABD ⊥平面CBD 时，四面体体积是最大，当体积最大时，设ABD ∆外心为2O ， CBD ∆外心为1O ，过12,O O ，分别作平面面CBD 与平面ABD 的垂线交于O ，则O 即是外接球的球心，22225333R OC ⎛⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，外接球表面积22043R ππ=，故答案为203π. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和求出半径.三、解答题17．设函数()21cos sin 22f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值．【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式可将()f x 化为cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的单调性解不等式即可得结果；（2）由34x ππ-≤≤，可得52336x πππ-≤+≤，结合余弦函数的图象可得()f x 的最值.试题解析：（1）()211cos21cos ?sin ?cos 2222xf x x x x x x π+⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭cos2cos 2223x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭． 由222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得222233k x k ππππ-≤≤+，∴63k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）∵34x ππ-≤≤， ∴52336x πππ-≤+≤， 当()20,cos 21,33x x f x ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取到最大值1，此时6x π=-；当()52,cos 2363x x f x πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取得最小值4x π=． 18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值． 【答案】（1）n a n =．（2）13．【解析】试题分析：（1）根据等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意有12324286{a a a a a a ++==，即1212{a d d a d +=-=，由0d ≠，解得11{1a d ==，所以n a n =． （2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，所以()111111122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．解1141115n -<+，得14n <， 所以n 的最大值为13． 【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；②1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3A π=．（2 【解析】试题分析：（1）由m n ⊥，得()2cos cos 0c b A a C -+=，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，从而可得结果；（2）由3a b c =+=，结合余弦定理可得2bc =，利用三角形面积公式可得结果. 试题解析：（1）由m n ⊥，得·0m n =， 即()2cos cos 0c b A a C -+=，由正弦定理，得()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， ()2sin ?cos sin B A A C =+，2sin cos sin B A B =，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =． 因为0A π<<，所以3A π=．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，又3a b c =+=，所以393bc =-，解得2bc =，所以ABC ∆的面积11sin 2232S bc π==⨯=．【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 20．已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时， ()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-；（2）(),10-∞-．【解析】试题分析：（1）求出导函数()f x '，利用()10f '-=，且()2f '=0，解方程组可求得3{ 26a b =-=-；（2）利用导数研究函数()f x 的单调性，可得函数()f x 在[]2,3x ∈-时， ()f x 的最小值为10c -，只需102c c ->即可求c 的取值范围. 试题解析：（1）由题可得 ， ()232f x x ax b =++'， ∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2 123 {123ab-+=--⨯=，∴3{26ab=-=-；（2）由（1）知()32362f x x x x c=--+，()2336f x x x'=--，当x变化时，()(),f x f x'随x的变化如下表：x-2 ()2,1---1 ()1,2- 2 ()2,3 3()f x'+ 0 - 0 +()f x2c-增72c+减10c-增92c+∴当[]2,3x∈-时，()f x的最小值为10c-，要使()2f x c>恒成立，只要102c c->即可，∴10c<-，∴c的取值范围为(),10-∞-．21．如图，四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD是直角梯形，090ADC∠=，ADP∆是边长为2的等边三角形，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，1,3,6BC CD PB===．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求三棱锥B PQM-的体积．【答案】（1）见解析（2）14． 【解析】试题分析：（1）由090ADC ∠=，可得 QB AD ⊥，由勾股定理可知PQ QB ⊥，从而可得BQ ⊥平面PAD ，进而根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接CQ ，先证明PQ ⊥平面ABCD ，再根据等积变换可得1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，从而可得结果.试题解析：（1）∵底面四边形ABCD 是直角梯形， Q 是AD 的中点， ∴1,//BC QD AD BC ==，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴//CD BQ ， ∵090ADC ∠=， ∴QB AD ⊥，又22,PA PD AD Q ===，是AD 的中点，故3PQ =， 又3,6QB CD PB ===∴222PB PQ QB =+，由勾股定理可知PQ QB ⊥， 又PQ AD Q ⋂=， ∴BQ ⊥平面PAD ， 又BQ ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：连接CQ ， ∵2PA PD ==， Q 是AD 的中点， ∴PQ AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PQ ⊥平面ABCD ，又M 是棱PC 的中点，故1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，而112BQC PQ S ==⨯=，∴111·332P BQC BQC V S PQ -∆===， ∴111224B PQM V -=⨯=．22．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时， ()x f x ae =，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=． （1）求,a b 的值；；（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值． 【答案】（1）2a b ==．（2）2．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程y aex =，根据此方程与20ebx y a -+-=重合可得,a b 的值；（2））因为()f x 为偶函数，所以存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，等价于以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立，设()ln 1g x x x =-++， ()ln 1h x x x =---，利用导数研究函数的单调性求出()min g x 与()max h x ，只需令()()min max g x m h x ≤≤即可得结果. 试题解析：（1）0x >时， ()()(),1,1x f x ae f ae f ae ===''， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-， 即y aex =．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a ++-=， 所以2a b ==．（2）因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时， ()x f x ae =， 那么()2xf x e =，由()2f x m ex +≤得22x meex +≤，两边取以e 为底的对数得ln 1x m x +≤+，所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立， 设()ln 1g x x x =-++， 则()1110x g x x x'-=-+=≤（因为[]1,x k ∈） 所以()()min ln 1g x g k k k ==-++，设()ln 1h x x x =---，易知()h x 在[]1,k 上单调递减， 所以()()max 12h x h ==-，故2ln 1m k k -≤≤-++，若实数m 存在，必有ln 3k k -+≥-，又1k >，所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2．。
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试数学(文)试题
当 或时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 上有2个零点．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
选修 ：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 （ 为参数）直线l的极坐标方程为 .
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数 ，则 （）
A.4B.3C.2D.1
【答案】D
2.已知全集为 ，集合 ，集合 ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】A
3.某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形内的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
4.已知数列 是等差数列，且 ，则其前七项和 （）
A.42B.35C.28D.21
【答案】C
5.已知命题 ， ；命题q：若 ，则 ，下列命题为真的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
6.若下面框图所给的程序运行结果为28，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
【答案】C
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点A在双曲线上且 ，若 的内切圆的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
12.已知函数 ， ，若存在 ， 使得 成立，则实数k的范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
河南省洛阳市2021届高三上学期期中考试数学(文)试题附答案
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二 填 空 题
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洛阳市高三数学上学期期中试卷
洛阳市高三数学上学期期中试卷大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的洛阳市高三数学上学期期中试卷，希望对大家有协助。
一、选择题(每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只要一个是契合题意的)1.设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，假定AB，那么实数m=()A. 0B.1C.2D.32.设双数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，假定z1z2为实数，那么实数b=()A.﹣2B.﹣1C.1D.23.设等差数列{an}的前n项和为Sn，假定S8=32，那么a2+a7=()A. 1B.4C.8D.94.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD= ，AA1=h，那么异面直线BD与B1C1所成的角为()A. 30B.60C. 90D.不能确定，与h有关5.某顺序的框图如下图，运转该顺序时，假定输入的x=0.1，那么运转后输入的y值是()A.﹣1B.0.5C.2D.106.抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A. B. C.1D.7.f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0，2)时，f(x)=2x2，那么f(2021)=()A. 2B.﹣2C.8D.﹣88.向量 =(cos，sin)，( ，)， =(0，﹣1)，那么与的夹角等于()A.﹣B. +C. ﹣D.要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以下是查字典数学网为大家总结的洛阳市高三数学上学期期中试卷，希望大家喜欢。
河南省2021届高三上学期期中考试数学(文)试卷 含答案
2020—2021学年上期期中试卷高三 文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数z 满足i zi +=3-，则z 虛部是（）A ．3iB ．﹣3iC ．3D ．﹣32．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x2log ＜2}，则N M ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜3}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}3．函数y ＝2)1(ln +x x 在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝2x ﹣4 C ．y ＝4x ﹣2D ．y ＝2x +44．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a ，则窗花的面积为（ ） A ．（22﹣1﹣2π）2a B ．（22﹣1+2π）2a C ．（π+2﹣1）2aD ．（2π+2﹣1）2a 5．数列{a n }中，a 3＝5，a 7＝2，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧-14n a （*∈N n ）是等比数列，则a 5＝（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．106．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（ ） A ．51B ．52 C ．53 D ．54 7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m ⊥n 的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ⊥α，n ∥β，α⊥βB ．m ⊥α，n ⊥β，α∥βC ．m ⊂α，n ∥β，α⊥βD ．m ⊂α，n ⊥β，α∥β8．设a ＞0，b ＞0，且2a +b ＝1，则ba a a ++21（ ） A ．有最小值为122+ B ．有最小值为12+C ．有最小值为314D ．有最小值为49．执行如图所示的程序框图，若输出的x 为30，则判断框内填入的条件不可能是（ ） A ．x ≥29？ B ．x ≥30？ C ．x ≥14？D ．x ≥16？10．已知)cos sin 3(cos 2)(x x x x f +=，将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．2πk x =，k ∈Z B ．212ππk x +=，k ∈Z C ．24ππk x +=，k ∈Z D ．23ππk x +=，k ∈Z 11．设函数f （x ）的定义域为R ，满足2f （x ）＝f （x +2），且当x ∈[﹣2，0）时，f （x ）＝﹣x （x +2）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≤3，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25] B ．（﹣∞，27] C ．[25，+∞） D ．[27，+∞） 12．已知球O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ＝2，BC ＝22，4π=∠ABC ．若三棱锥B ﹣ACD 的体积为324，且AD 经过球心O ，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．16πD ．18π二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a ＝3.0log 2，b ＝2log 3.0，c ＝3.02，则a 、b 、c 三者的大小关系为 ．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行） 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 996602795415．已知向量→a ，→b 满足|→a +→b |＝|→a ﹣2→b |，其中→b 是单位向量，则→a 在→b 方向上的投影为 ．16．数列{n a }满足n a n a n n 2)12sin2(1+-=+π，则数列{n a }的前20项和为 ． 三．解答题（第17-21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答；本大题共6小题，共60分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C b cos ＝（A b B a cos cos +）B cos . （1）若C B A sin sin 2sin 2=，判断△ABC 的形状； （2）若A tan ＝715，△ABC 的面积为415，求△ABC 的周长． 18．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是正项等比数列，其中a 1＝b 1＝1，5a ＝3b ，93a a ﹣4＝5b ．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求数列{n n b a }的前n 项和T n ．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x1 2 6 12 16 17花费累积y （万元） 1 3 9 17 22 26 假设花费累积y 与岁数x 符合线性相关关系，求（1）花费累积y 与岁数x 的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：∑∑==∧---=ni ini iix x y yx x b 121)())((，x b y a ∧∧-=.20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，P A ＝PC ，BD ⊥P A ，E 是BC 上一点，且BE ＝1，设AC ∩BD ＝O ． （1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若∠BAD ＝60°，P A ⊥PE ，求三棱锥P ﹣AOE 的体积．21．已知的数f （x ）＝2-ax +x a ）（2-+x ln ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若x xax e x f x)12()(---≤恒成立，求a 的取值范围．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ααsin 21cos 2121y x （α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 4+=．（1）求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线l ：kx y =与曲线C 1、曲线C 2在第一象限交于P ，Q 两点，且|OQ |＝2|OP |，点M 的坐标为（2，0），求△MPQ 的面积． 23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明：（1）3≥++ca b c a b ; （2）2)2>++++c b a c b a （.2020—2021学年上期期中试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设复数z满足zi＝﹣3+i，则虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【解答】解：∵zi＝﹣3+i，∴，∴，则虚部是﹣3，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|log2x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜2} 【解答】解：∵M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝{x|0＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．函数y＝2x（lnx+1）在x＝1处的切线方程为（）A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+4【解答】解：由已知得：y′＝2lnx+4，所以y′|x＝1＝4，切点为（1，2）．故切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2．故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题．4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A．（2﹣1﹣）a2B．（2﹣1+）a2C．（π+﹣1）a2D．（+﹣1）a2【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，即S＝＝．故“窗花”面积为4S＝．故选：A．【点评】本题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题．5．数列{a n}中，a3＝5，a7＝2，若（n∈N*）是等比数列，则a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．【解答】解：根据题意，设b n＝，则数列{b n}是等比数列，设其公比为q，若a3＝5，a7＝2，则b3＝＝1，b7＝＝4，则q4＝＝4，变形有q2＝2，则b5＝b3q2＝2，则有＝2，解可得a5＝3，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于基础题．6．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记2名男生为A1，A2，3名女生为B1，B2，B3，所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10种情况，符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共6种情况，所以概率为，故选：C．【点评】本题考查了列举法求概率问题，是一道基础题．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n∥β，α⊥βD．m⊂α，n⊥β，α∥β【解答】解：A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确；故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（）A．有最小值为2+1 B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4【解答】解：根据题意，，因为a＞0，b＞0，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是（）A．x≥29？B．x≥30？C．x≥14？D．x≥16？【解答】解：执行程序，可得x＝2，2是偶数，x＝3，3不是偶数，x＝6，不符合判断框内的条件，执行否，x＝7，7不是偶数，x＝14，不符合判断框内的条件，执行否，x＝15，不是偶数，x＝30，此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条件为x＝14时不符合要求，x＝30时符合要求，故A，B，D选项均满足．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【解答】解：，f（x）图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2x＝kπ，则，所以对称轴为，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．11．设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x（x+2）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤3，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），可得f（0）＝2f（﹣2）＝0，当x∈[﹣2，0）]时，函数f（x）在[﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，所以f（x）max＝f（﹣1）＝1，由2f（x﹣2）＝f（x），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f（x）＝f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）max＝f（﹣3）＝，当x∈[0，2）时，f（x）max＝f（1）＝2，当x∈[2，4）时，f（x）max＝f（3）＝4，设x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），f（x﹣4）＝﹣（x﹣4）（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝﹣4（x﹣4）（x﹣2），x∈[2，4），由﹣4（x﹣4）（x﹣2）＝3，解得x＝或x＝，根据题意，当m≤时，f（x）≤3恒成立，故选：A．【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．12．已知球O的表面上有A，B，C，D四点，且AB＝2，BC＝2．若三棱锥B﹣ACD的体积为，且AD经过球心O，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．18π【解答】解：由题意可知画出图形，如图所示：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E，连接AE，OE，由余弦定理得：，所以AC＝2，即AC2+AB2＝BC2，所以△ABC为直角三角形．则点E为△ABC的外接圆的圆心．由球的对称性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以，即，解得OE＝，由于AE⊂平面ABC，OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半径R＝OA＝，所以球的表面积为S＝4π•22＝16π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的表面积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．答案为：a＜b＜c【解答】解：∵a＝log20.3，b＝log0.32，c＝20.3，∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0.32＞log0.31，c＝20.3＞0，∴a＜b＜c．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号331，572，455，068，047（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047．故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15．已知向量，满足|+|＝|﹣2|，其中是单位向量，则在方向上的投影为．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在方向上的投影是．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．220三．解答题（共7小题）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos C＝（a cos B+b cos A）cos B．（1）若sin2A＝2sin B sin C，判断△ABC的形状；（2）若tan A＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b cos C＝（a cos B+b cos A）cos B．∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（sin A cos B+sin B cos A）cos B＝sin（A+B）cos B，可得：sin B cos C＝sin C cos B，可得：sin（B﹣C）＝0，由于B，C∈（0，π），可得：B﹣C∈（﹣π，π），所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因为：sin2A＝2sin B sin C，所以由正弦定理可得：a2＝2bc，可得：a2＝b2+c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分（2）∵tan A＝＝，sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝，sin A＝＝，…8分由（1）知b＝c，∵cos A＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面积为，可得S＝bc sin A＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周长a+b+c＝5a＝5…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，数列{b n}是正项等比数列，其中a1＝b1＝1，a5＝b3，a3a9﹣4＝b5．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），数列{b n}的公比为q（q＞0），由题设可得：，解得：d＝2，q＝3，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b n＝3n﹣1；（2）由（1）知：a n b n＝（2n﹣1）•3n﹣1，∴T n＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，又3T n＝1×31+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，两式相减得：﹣2T n＝1+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n＝1+2×+（1﹣2n）•3n，整理可得：T n＝（n﹣1）•3n+1．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x 1 2 6 12 16 17花费累积y（万元）1 3 9 17 22 26假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：＝＝．＝﹣．【解答】解：（1）由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为．（2）当x＝24时，＝1.463×24﹣0.167≈35（万元），30岁成家立业之后，在50岁之前偿还，共计20年，所以每月应还元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于基础题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC，BD⊥P A，E 是BC上一点，且BE＝1，设AC∩BD＝O．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若∠BAD＝60°，P A⊥PE，求三棱锥P﹣AOE的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥P A，P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∵PO⊂平面P AC，∴BD⊥PO，∵P A＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD．（2）解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∵O是BD的中点，∴BO＝2，在Rt△ABO中，AO＝＝2，在Rt△P AO中，P A2＝AO2+PO2＝12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2＝OE2+PO2＝3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos120°＝21，∵P A⊥PE，∴P A2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝，∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE＝﹣＝，∴三棱锥P﹣AOE的体积V P﹣AOE＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，十∞），，①当a⩾0 时，由f′（x）＝0，解得，令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．②当﹣2＜a＜0 时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．③当a＝﹣2 时，f′（x）⩾0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．④当a＜﹣2 时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．（2）恒成立，即xe x﹣1⩾lnx+ax在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立．令，则，令h（x）＝x2e x+lnx，则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，而，故存在，使得h（x0）＝0，即，所以．令λ（x）＝xe x，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）e x＞0，所以λ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以．当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，故g（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，所以，故a⩽1．所以a的取值范围为（﹣∞，1]．22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．【解答】解：（1）依题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：x2+y2﹣x＝0，根据整理得ρ＝cosθ，由于曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为．（2）将θ＝θ0代入，得到，将θ＝θ0代入ρ＝cosθ得到ρP＝cosθ0，由于|OQ|＝2|OP|，所以2ρP＝ρQ，所以，解得，所以．由于，所以，，故△PMQ的面积S△MPQ＝S△OMP﹣S△OMQ＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．【解答】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a＝b＝c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【点评】考查了基本不等式的应用。
河南省洛阳市2021届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
河南省洛阳市2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i =+，则z 等于（ ） A. 2i + B. 2i - C. 12i + D. 12i -【答案】B 【解析】 【分析】在等式12iz i =+两边同时除以i ，可求出复数z . 【详解】12iz i =+，212i z i i+∴==-， 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2.已知集合(){}3log 22A x x =-≤，{}29B x x =>，则AB =（ ）A. ()(),32,-∞-+∞B. (]3,11C. ()2,+∞D. ()(),32,3-∞-【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用并集的定义可得出集合A B .【详解】(){}{}(]3log 220292,11A x x x x =-≤=<-≤=，{}()()29,33,B x x =>=-∞-⋃+∞，因此，()(),32,A B =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知实数x 、y 满足1341y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3x y +的最大值为（ ）A. 7B. 4C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】设3z x y=+，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y=+，观察该直线在x轴上取得最大值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数计算即可.【详解】设3z x y=+，作出不等式组1341y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立13y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，得点()1,2A，平移直线3z x y=+，当直线3z x y=+经过点()1,2A时，直线3z x y=+在x轴上的截距最大，此时3z x y=+取得最大值，即max1327z=+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出线性目标函数取得最值时的最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 4.执行如图的程序框图，则输出的结果是（）A.1132B.833C.1112D.14【答案】C 【解析】 【分析】列出算法循环的前三步，找出规律，并得出最后一步输出S 的表达式，然后利用裂项法求出S 的值.【详解】第一次循环，12T =⨯，112S =⨯，110n =>不成立，112n =+=； 第二次循环，23T =⨯，111223S =+⨯⨯，210n =>不成立，213n =+=； 第三次循环，34T =⨯，111122334S =++⨯⨯⨯，310n =>不成立，314n =+=； 依此类推，最后一次循环，1112T =⨯，11111223341112S =++++⨯⨯⨯⨯，1110n =>成立， 输出11111223341112S =++++⨯⨯⨯⨯1111111111112233411121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.5.已知单位向量a 、b 满足2a b a b -=+，则a 、b 夹角为（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】设a 、b 的夹角为θ，在等式2a b a b -=+两边平方，求出cos θ的值，结合θ的取值范围，可得出θ的值.【详解】设a 、b 的夹角为θ，由题意可得1a b ==，在等式2a b a b -=+两边平方得2222244a a b b a a b b -⋅+=+⋅+， 整理得22222cos 44cos a a b b a a b b θθ-⋅+=+⋅+，解得1cos 2θ=-. 0θπ≤≤，解得23πθ=，因此，a 、b 夹角为23π.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的模来计算平面向量的夹角，一般将模有关的等式平方，利用平面向量数量积的定义和运算律来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 6.已知35a =，02log 0.1b =．，3log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a c b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】比较b 、c 与1的大小，可得出1b >，1c <，再比较a 与c 的大小关系，可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】函数0.2log y x =为减函数，则0.20.2log 0.1log 0.21a =>=.函数3log y x =为增函数，则33log 2log 31c =<=. 下面来比较a 与c 的大小关系，即比较35与3log 2的大小关系，即比较3与35log 2的大小. 5333335log 2log 2log 32log 33==>=，c a ∴>，因此，a c b <<.故选：C.【点睛】本题考查比较大小，当各数的结构彼此不同时，一般利用中间值法来比较大小，常用的中间值为0和1，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）B.12+【答案】D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值.【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为112+=故选：D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 、R 分别为棱1AA 、BC 、11C D 的中点，经过P 、Q 、R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（ ）A. 2B. 62C.3 D. 33【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，分别取AB 、1CC 、11A D 的中点E 、F 、G ，证明出E 、Q 、F 、R 、G 、P 六点共面，即可得出六边形EQFRGP 为平面α被正方体所截的截面图形，并证明出该六边形为正六边形，计算出其边长，即可得出截面图形的周长.【详解】如下图所示，分别取AB 、1CC 、11A D 的中点E 、F 、G ，连接AC 、11A C 、PF .在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，又P 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，11//PA C F ∴，所以，四边形11AC FP 为平行四边形， 又G 、R 分别为11A D 、11C D 的中点，11//GR AC ∴，且11122GR AC == 12GR PF ∴=，则四边形PFRG 为梯形，则P 、F 、R 、G 四点共面， 若E ∉平面PFRG ，易证//PE RF ，且PE ⊄平面PFRG ，RF ⊂平面PFRG ， 可得出//PE 平面PFRG ，这与PE平面PFRG P =矛盾，则E ∈平面PFRG ，同理可证Q ∈平面PFRG ，所以平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为六边形EQFRGP ，易知该六边形的边长均为正方体1111ABCD A B C D -的面对角线长度的一半，则2，因此，该截面图形的周长为62故选：B.【点睛】本题考查平面截正方体所截图形的周长的计算，解题的关键就是找出平面与各棱的交点，并分析出截面图形的形状，考查空间想象能力，属于中等题. 9.已知:p 函数()2ln 1y x ax =-+的定义域为R ，:xq e ax >对任意实数x 恒成立，若p q∧真，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)0,2 B. [)2,eC. ()2,e -D. [)0,e【答案】A 【解析】 【分析】由p q ∧真得出两个命题均为真命题，求出p 、q 均为真命题时对应的参数a 的取值范围，取交集即可得出实数a 的取值范围.【详解】由于命题p q ∧为真命题，则命题p 、q 均为真命题. 若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<.若命题q 为真命题，构造函数()xf x e ax =-，则()min 0f x >，且()xf x e a '=-.（1）当0a <时，()0f x '>对任意的x ∈R 恒成立，此时，函数()y f x =单调递增， 且当x →-∞时，()f x →-∞，不合乎题意； （2）当0a =时，()0xf x e =>恒成立；（3）当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.()()()ln min ln ln ln 1ln 0a f x f a e a a a a a a a ∴==-=-=->，即1ln 0a ->，解得0a e <<.所以，当命题q 为真命题时，0a e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题.10.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为1F、2F，虚轴的一个端点为A，若12AF F∆是顶角为120的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A.6B. 2C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意得出1AF O∆（O为坐标原点）为130AF O∠=的直角三角形，然后利用锐角三角函数可得出b、c的等量关系，由此可计算出双曲线的离心率.【详解】如下图所示，易知12AF AF=，由题意可知，12120F AF∠=，130AF O∴∠=，由图形可得OA b=，1OF c=，在1Rt AFO∆中，113tanOA bAFOOF c∠===3c b∴=，即2222333c b c a==-，2232a c∴=，2232ca∴=，3622=.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题时要根据题中条件得出a、b、c的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若9n n S S -=（n *∈N 且9n <），有以下结论：①90S =；②50a =；③{}n a 为递增数列；④90a =．则正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】可设2n S xn yn =+，根据9n n S S -=可得出x 、y 之间的关系，并求出数列{}n a 的通项公式，结合n a 和n S 的表达式对各命题的正误进行判断. 【详解】设()20n S xn yn x =+≠，则()()()2299918819n S x n y n xn x y n x y -=-+-=-+++，9n n S S -=，所以()188190x y y x y ⎧-+=⎨+=⎩，解得9y x =-，29n S xn xn ∴=-，则90S =.当1n =时，118a S x ==-；当2n ≥时，()()()2219191210n n n a S S xn xn x n x n xn x -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.18a x =-也适合上式，210n a xn x ∴=-，则50a =，数列{}n a 可能是增数列，也可能是减数列，980a x =≠，因此，正确的结论序号为①②. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项与求和相关命题真假的判断，解题的关键就是要求出等差数列通项和前n 项和公式，也可以利用等差数列的性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.12.已知三棱锥P ABC -的侧棱长相等，底面正三角形ABC ，PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）C. πD. 3π【答案】D 【解析】【分析】证明PBC PAC ∆≅∆，得出90BPC ∠=，可得出PBC ∆的外接圆直径为2BC =，并计算出三棱锥P ABC -的侧棱长，然后利用公式222R PA BC =+可得出外接球的半径R ，并利用球体表面积公式可得出外接球的表面积. 【详解】如下图所示：由题意可知，PA PB PC ==，AB AC BC ==，则PBC PAC ∆≅∆，BPC APC ∠=∠.PA ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，PA PC ∴⊥，90BPC APC ∴∠=∠=，PBC ∴∆的外接圆直径为2BC =P ABC -的侧面都是等腰直角三角形，222122PA AB ∴===，设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，则2223R PA BC +=，得3R .因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2234432S R πππ⎛==⨯= ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，分析出几何体的结构，找出合适的模型计算出外接球的半径是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】12- 【解析】 【分析】重点中学试卷 可修改 欢迎下载利用两角和差的正切公式可得出1tan 4tan 4x x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭从而可得出答案. 【详解】tan tan1tan 4tan 241tan 1tan tan 4x x x x x πππ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-， tan tantan 1114tan 1tan 41tan 21tan tan 41tan x x x x x x xπππ--⎛⎫∴-===-=- ⎪++⎝⎭+-.故答案为：12-.【点睛】本题考查利用两角和与差的正切公式求值，解题时要注意两角之间的关系，也可以利用诱导公式进行求解，考查计算能力，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________． 【答案】()0,8 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导得出()()222f x x f ''=+，然后令2x =可求出()2f '的值，可得出函数()y f x =，由此解出不等式()0f x <.【详解】对函数()y f x =求导，得()()222f x x f ''=+，则()()2422f f ''=+，解得()24f '=-.()28f x x x ∴=-，解不等式()0f x <，即280x x -<，解得08x <<.因此，不等式()0f x <的解集为()0,8. 故答案为：()0,8.【点睛】本题考查导数的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.15.已知函数()sin 2cos f x x x =+在0x 处取得最小值，则()f x 的最小值为__________，此时0cos x =__________．【答案】 (1). 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()()f x x ϕ=+，可得出函数()y f x =的最小值，根据题中条件得出0x 与ϕ之间的关系，然后利用诱导公式可求出0cos x 的值. 【详解】())sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x ϕϕ⎫=+==+⎪⎪⎭()x ϕ=+，锐角ϕ满足cos ϕ=，sin ϕ=()y f x =的最小值为由题意可得()()00f x x ϕ=+=()0sin 1x ϕ∴+=-，得()0322x k k Z πϕπ+=+∈，()0322x k k Z πϕπ∴=-+∈，则03cos cos 2sin 25x k πϕπϕ⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭.故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时首先要利用辅助角公式将三角函数解析式化简，同时要注意取最值时对应角与辅助角之间的关系，并借助诱导公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16.若命题“[]00,x e ∃∈，使得01201ax x e ->成立．”为假命题，则实数a 的最大值为__________． 【答案】1e- 【解析】 【分析】由题意得知命题“[]0,x e ∀∈，211ax x e -≤成立”，且0x =满足不等式211ax x e -≤，由不等式211ax x e -≤，变形得出12ln x a x -≤，构造函数()12ln xf x x-=，利用导数求出函数()y f x =在区间(]0,e 上的最小值，可得出实数a 的最大值.【详解】由题意得知命题“[]0,x e ∀∈，211ax x e -≤成立”. （1）当0x =时，不等式211ax x e -≤成立； （2）当0x e <≤时，由211ax x e -≤，得121ax ex-≤，不等式两边取自然对数得12ln ax x -≤-， 12ln x a x -∴≤，构造函数()12ln xf x x-=，其中0x e <≤. ()22ln 3x f x x-'=，令()0f x '=，得32x e e =>，当0x e <≤时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =在区间(]0,e 上单调递减，则()()min 1f x f e e ==-，1a e∴≤-.因此，实数a 的最大值为1e-.故答案为：1e -.【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键就是利用参变量分离思想转化为函数的最值来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若2AC =，求三棱锥P BMC -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】 【分析】（1）由三线合一的性质得出CM PA ⊥，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出CM ⊥平面PAB ，可得出AB CM ⊥，再由AB AC ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理可得出AB ⊥平面PAC ；（2）由（1）知AB ⊥平面PAC ，则三棱锥B PMC -的高为AB ，计算出PMC ∆的面积和AB ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥B PMC -的体积，即为三棱锥P BMC -的体积. 【详解】（1）PAC ∆为等边三角形，且M 为PA 的中点，CM PA ∴⊥.平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，CM ⊂平面PAC ，CM ∴⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB CM ∴⊥.又AB AC ⊥，CM AC C =，AC 、CM ⊂平面PAC ，AB ∴⊥平面PAC ；（2）AB AC ⊥，且2AC =，24BC AC ==，AB ∴==又PAC ∆是边长为2的等边三角形，且M 为PA 的中点，则CM PA ⊥， 且sin 603CM PC ==，PMC ∆的面积为11122PMC S PM CM ∆=⋅=⨯=. 因此，三棱锥P BMC -的体积为111332P BMC B PMC PMC V V S AB --∆==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a ；（2）()12326n n +-⋅+【解析】 【分析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n nn n b b ++-=，可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222nn n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n na ，因此，数列{}n a 的通项公式为12n na ；（2）21282n n n n b b a ++-==，在等式两边同时除以12n +得11222n n n nb b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n nb n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅. ()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题. 19.在ABC ∆中，D 是BC 中点，3AB =，AC =AD =．（1）求边BC 的长；（2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由2AD AB AC =+，将等式两边平方，利用平面向量的数量积的运算律可求出AB AC ⋅的值，再利用()2BC AC AB =-可计算出边BC 的长；（2）由AB AC ⋅的值可计算出cos BAC ∠的值，再利用同角三角函数的平方关系可计算出sin BAC ∠的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.【详解】（1）D 为BC 的中点，2AD AB AC ∴=+，()224AD AB AC ∴=+，即22242AD AB AB AC AC =+⋅+，即(22232134AB AC +⋅+=⨯，得3AB AC ⋅=，BC AC AB =-，()2222134BC AC AB AC AB AC AB ∴=-=-⋅+==；（2）由平面向量数量积的定义可得cos 3AB AC BAC AB AC⋅∠===⨯⋅，sinBAC ∴∠===，因此，ABC ∆的面积为11sin 322ABC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=⨯=【点睛】本题考查三角形中线的计算，同时也考查了三角形面积的计算，在计算三角形中线时，可以利用中线向量结合向量的模来进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）圆221x y +=的切线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，证明：MON ∠为钝角．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义求出2a 的值，可得出a 的值，再结合焦点的坐标可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，得出直线l 的方程为1x =±，求出点M 、N 的坐标，并验证0OM ON ⋅<；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由直线与圆相切得出221m k =+，再将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的运算律得出0OM ON ⋅<，由此可证明出MON ∠为钝角.【详解】（1）设椭圆C 的左焦点为F '，则()1,0F '-，由椭圆的定义可得24a PF PF '=+==，2a ∴=，b ==，因此，椭圆C 的方程为22143x y+=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为1x =±.若直线l 的方程为1x =，联立直线l 与椭圆C 的方程221143x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±，则点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2OM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31,2ON ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时，23102OM ON ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭；当直线l 的方程为1x =-，同理可得出0OM ON ⋅<；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ， 由于直线l 与圆221x y +=1=，可得221m k =+.将直线l的方程与椭圆C 的方程联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()222222264443412484348320k m k m k m k ∆=-+-=+-=+>， 由韦达定理得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+.()()()()22121212121121OM ON x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()()()22222222222241218712171121434343m k k m m k k k m k k k -+--++-+=+==+++()2251043k k +=-<+.综上所述，MON ∠为钝角.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线与椭圆位置关系的综合问题，本题为证明角为钝角，一般转化为平面向量的数量积的符号问题，在解题时也要注意直线与圆垂直这一条件得出参数满足的等式条件的应用，考查计算能力，属于难题. 21.已知函数()cos xf x e x =-．（1）求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()f x 在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上仅有2个零点． 【答案】（1）0x y -=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()0f 和()0f '，然后利用点斜式写出所求切线的方程；（2）利用当0x >时，cos x e x >来说明函数()y f x =在()0,∞+上没有零点，并利用函数()y f x =的单调性和零点存在定理证明出函数()y f x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点，并结合()00f =，可证明出函数()y f x =在区间,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有两个零点. 【详解】（1）()cos x f x e x =-，则()sin x f x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=；（2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，2102f e ππ-⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()010f '=>，由零点存在定理知，存在,02t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0f t '=，且当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又202f e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()02f f t π⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点. 综上所述，函数()y f x =在区间,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，以及利用导数研究函数零点个数问题，一般对于函数的零点个数问题，常利用单调性与零点存在定理来解决，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设()1,1M ，求11MA MB＋的值． 【答案】（1）22:230C x y x +--=，:10l y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得出关于t 的二次方程，并列出韦达定理，可计算出121211t t MA MB t t ++=的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可得出曲线C 的普通方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=.在直线l 的参数方程中消去t1y +=10y +-=；（2）直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，消去x 、y得230t -=.由韦达定理得12t t +=1230t t =-<.因此，12121212113t t t t MA MB t t t t +-+=====.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义，对于这类问题，常将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数()32f x x x =--．（1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．【答案】（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出()()()2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.【详解】（1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥，解得1x ≥-，此时10x -≤≤；当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥， 解得13x ≤，此时103x <≤； 当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解. 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩.当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.因此，2223a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。
洛阳市高三数学上学期期中试卷
洛阳市高三数学上学期期中试卷大伙儿把理论知识复习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的不足，及时学明白，下面是查字典数学网小编为大伙儿整理的洛阳市高三数学上学期期中试卷，期望对大伙儿有关心。
一、选择题(每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的)1.设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若AB，则实数m=()A. 0B.1C.2D.32.设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1z2为实数，则实数b=()A.﹣2B.﹣1C.1D.23.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+a7=()A. 1B.4C.8D.94.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD= ，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为()A. 30B.60C. 90D.不能确定，与h有关5.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是()A.﹣1B.0.5C.2D.106.抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A. B. C.1D.7.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0，2)时，f(x)=2 x2，则f(2021)=()A. 2B.﹣2C.8D.﹣88.已知向量=(cos，sin)，( ，)，=(0，﹣1)，则与的夹角等于()“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
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数 学 试 卷 文
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一 选 择 题 本 题 共 #! 个 小 题 每 小 题 ' 分 共 (" 分 !在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一
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两
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