微积分2006-2007-1考试
06-07微积分(下)试卷A答案
中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《 微积分（下）》 （A ）卷课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级一、填空： 1、0； 2、22-+ydx xdy x y； 3、{}0；4、18； 5、∞； 6、111(,)xdx f x y dy -⎰⎰； 7、11x+；8、π； 9、12π-； 10、xy e e C-=二、判断正误并说明理由：1、错 （1分） 令，u xy v x y ==-，∂''=+∂u v z yf f x（4分）2、错 （1分） 如211，nn u v nn=-=（4分）3、错 （1分） 广义积分3x dx +∞=+∞⎰（4分）4、正确 （1分）当x < 0时，xdt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dtx F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0.即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. （4分）三、解答下列各题：1、原式=20cos ()xxd e π--⎰201sin x e xdx π-=-⎰（3分）221cos xe exdxππ-=+-⎰ （6分）故原式212e π+=（7分） 2、令21x θ-=，2dx d θθ=，（1分）原式021limεε→+=⎰（3分）21limd εθθ→= （5分）83=（7分） 3、画草图（略）（1分）.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以10d d y Dx y y x =⎰⎰⎰⎰（4分）()312221d 3=--⎰yy xy y y（6分）1222d 39==⎰y y （7分）4、利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.方法一、 22(4)8,∂'=-⋅∂z f x y x x，22(1,2)(1,2)(4)84∂'∴=-⋅=∂z f x y xx（3分）()()2222(1,2)(1,2)(4)2,(4)22∂∂''=-⋅-∴=-⋅-=-∂∂z z f x y y f x y y yy， （6分）()()()1,21,21,2d d d 4d 2d ⎡⎤∂∂∴=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦z zzx y x y xy . （7分）方法二、对()224z f x y =-微分得2222d (4)d (4)'=--z f x y x y （3分）()22(4)8d 2d '=--f x y x x y y （6分）()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d '∴=-=-zf x y x y . （7分）5、令212n n u nx-=()21221212222limlimlim22n n n n n n nn x u n x x u nxn++-→∞→∞→∞++===（2分）221111x x x x ∴<< >>即时，级数收敛；即时，级数发散；()111212n n x n x n ∞=∞==--=∑∑时,级数发散;时,级数发散.()1,1∴-收敛域为 （4分）()21,1,1nx x x x x =+++++ ∈--11()242221,1,1nnn x x x xx x∞==+++++=∈--∑ 11 （6分）()()()21222211122,1,111n nn n x nxx x xx ∞∞-=='⎛⎫'∴===∈- ⎪-⎝⎭-∑∑ （7分） 6、220325x V y dx ππ==⎰（4分） 44228y V dy ydy πππ=-=⎰⎰（7分）7、解: s i n (cos )ydx y x edy-= (*) （2分）解(cos )0dx y x dy-= 得 sin yx ce= （4分）令sin ()y x c y e =并代入(*)得:s i ns i n()y y c y ee'= ()c y y c =+（6分）原方程的通解为:s i n ()yx y c e=+ （7分）五、应用题：1.5U V +=拉格朗日函数(，，)( 1.5)L U V R U V λλ=++-（3分）000LU LV Lλ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪∂⎪=⎪∂⎩ （6分）01.52U V λ=⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩（9分） 六、证明题证明：作辅助函数()()()x baxF x f t dt g t dt =⎰⎰ （2分）由于(),()f x g x 在[],a b 上连续，所以()F x 在[],a b 上连续，(),a b 内可导，并有()()0F a F b == 由罗尔定理有，()()0,,F a b ξξ'=∈ （4分）即 ()()|()()()()0x bbx a x axf t dtg t dt f g x dx g f x dx ξξξξξ='⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以()()()()ξξξξ=⎰⎰a bf x dxf g g x dx（6分）。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
2006-2007高数下(8学分)期末试题A及解答
华东理工大学2006-2007学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2007.7一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.微分方程22x x e xy y -=+'满足初始条件0)0(=y 的特解为y =____________. 2.微分方程09)4(=''+y y 的通解为y =________________.3.1||||==b a , a 与b 夹角等于3π, 则|32|b a-=_____________.4.过直线⎩⎨⎧=-=+21:z y y x L 且平行于}4,1,2{--=l 的平面方程是____________5.设),4()(2)4(t e t f t F -+=, 其中1),(C y x f ∈且有a f =-)1,2(及b f =-')1,2(1, c f =-')1,2(2, 则)0(F '=______________6.设函数),(y x z z =由方程xz xy e z y x -=-+32确定, 则)0,0(dz =_____________.7.σd y x y x y x ⎰⎰≤++++12222222)(1)(=______________.8.广义积分dx x x ⎰+∞+1)1(1=_______________. 9.极坐标系下心脏线)cos 1(2ϑρ+=所围成区域D 的面积为A =_______________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1.椭圆122≤+y x 绕x 轴和y 轴旋转所得的体积分别是上x V 和y V , 则 ( ) (A)y x V V 49=; (B)y x V V 32=; (C)y x V V 94=; (D)y x V V 23=.2.函数Cx y =是微分方程032=+'-''y y x y x 的 ( ) (A)通解; (B)特解; (C)是解, 但既不是通解, 也不是特解; (D)以上都不对.3.若a 与b 不平行, 且μλ≠, 则b aλ+与b a μ+ ( ) (A)必不平行; (B)模不相等; (C)必不垂直(正交); (D)不排除有平行的可能性; 4.“函数),(y x f 在),(00y x 点两个一阶偏导数都存在”是“函数),(y x f 在),(00y x 点 可微”的 ( ) (A)充分条件, 但不是必要条件; (B)必要条件, 但不是充分条件;(C)必要条件; (D)既不是充分条件, 也不是必要条件.5.设2C f ∈, ),,2(xz z y y x f u -+=, 则yx u∂∂∂2= ( )(A)131122f z f ''+''; (B)23131122f z f z f ''+''+''; (C)2313121122f z f z f f ''+''+''+''; (D)23131211222f z f z f f ''+''+''+'' 6.C f ∈, 则⎰⎰ϑϑπρρρρϑρϑcos 2sec 40)sin ,cos (d f d = ( )(A)⎰⎰--111102),(y dx y x f dy ; (B)⎰⎰-22121),(x x dy y x f dx ; (C)⎰⎰-2202),(x x dy y x f dx ; (D)⎰⎰-+211110),(y dx y x f dy .7.下列极限中等于0的是 ( ) (A)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (B)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (C)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (D)dx e n nn xn ⎰+∞→1222lim .8.边际成本等于边际收益是利润最大的 ( )(A)充要条件; (B)充分条件, 非必要条件;(C)必要条件, 非充分条件; (D)既不是必要条件, 也不是充分条件.三. (本题8分) 微分方程y y y y ''='+''2)(2满足初始条件2)0(=y , 3)0(='y 的特解.四. (本题8分)求曲线⎩⎨⎧-=++=++30zx yz xy z y x L ：上的点P , 使L 在点P 处的切线平行与平面0=-+z y x .五. (本题8分) 利用夹逼性准则求极限)332211(lim 2222nn nn n n n n n n n ++++++++++++∞→ . 六. (本题8分)求有二阶连续导数的函数)0)((>t t f , 使)(22y x f u +=满足12222=∂∂+∂∂y ux u .华东理工大学2006-2007学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共36分）1.)1e (e 2--x x 2.x C x C x C C 3sin 3cos 4321+++ 3. 7 4. 123=++z y x5. )8(3c b a -6. y x d 20d 1+7.8. 2ln9. π6二．选择题（每小题4分，共32分）：8.C. 7.C; 6.D; 5.B; B; 4.A; 3.; C 2.; 1.D三．以y p '=为新未知函数，暂以y 为新自变量，原方程可化为 p ypy 2d d )1(=----(2分)解得 21)1(-=y C p ------------------------------------------------（2分）由32==y p可得31=C ---------------------------------------------------------------------------（1分）由2)1(3-='y y 解得x C y 3112-=----------------------------------------------------------（2分） 根据条件2)0(=y 可得12=C ，即x y 3111-=-或x x y 3132--=------------------------（1分）四．因为{}1,1,11=→n ，{}y x x z z y n +++=→,,2，所以切向量为 {}y x x z z y n n t ---=⨯=→→→,,21 --------------------------（ 3分）{}{}y x y x x z z y l t lt =⇒=-⋅---⇒=⋅⇒⊥→→→→1,1,1.,0 ------------(3分)代入原曲线方程（组）得⎩⎨⎧-=+=+32,022zx x z x 解得)2,1,1(1-=P 和)2,1,1(2--=P -------（2分）六．（本题8分）记22y x t +=，则有)(t f u =，所以t x t f x u ⋅'=∂∂)(，tyt f y u ⋅'=∂∂)(-------------------------------（1分） 322222)()(t y t f t x t f x u ⋅'+⋅''=∂∂，322222)()(tx t f t y t f y u ⋅'+⋅''=∂∂---------（2分） 原方程可化为 1)(1)(='+''t f tt f ---------------------------------------------------------（1分） 以)(t f p '=为新的未知函数，仍然以x 为自变量，得到新方程为11=+'p tp ------------------------------------------------（2分）解得tC t p t f 121)(+=='，从而有212ln 21)(C t C t t f ++=--------------------------（2分）。
北京交通大学第二学期《微积分B》期中考试及其试题答案
北 京 交 通 大 学2006 -2007 学年第二学期《微积分B 》期中考试评分标准（考试时间110分钟）一、填空题（每空2分，共20分） 1．函数),(y x f z =的几何图形是 空间曲面 2．设y x sin u =，求=∂∂xusiny ；=∂∂yuxcosx3．点集 {}{}10|,E ≤+<=y x y x 的边界点为 {0,0} ⋃{{x,y}| x +y =1 } 4．设2-x yu =e, 则=∂∂∂yx u 2yxe y x x 2)1(22--5．设()z x z y x f y -=,,, 则()=1,2,1df 2dx - dz 6．220112limx y xy x y→→-+= 17．()2x z =+1-y yarcsinarcsin 的定义域是22{(,)|02,-}=<≤≤≤D x y y y x y8．设L 为椭圆xy22431+=，其周长记为a ，则⎰=+Lds y x )43(22 12a9．设22(2,)yz x f x x=，f 具有一阶连续偏导数，则=∂∂xz2xf+2x 2f 1 -y 2f 210．曲线：22,,6t z t y t x ===，在t =1点处的切线方程为：111136-=-=-z y x以上填空的内容如果错了，但有部分对的结果，可以考虑给1分。
二、计算下列各题 (每题6分，共18分 )1. 设),(y x z 是由方程 1sin 1=--xyz xyz 所确定的隐函数，求)1,0(x z 。
解：两边对x 求导: ()0)xy(yz cosxyz 2=--∂∂+∂∂+⋅xy z yx zxz 2分由方程有z (0,1) =-1 1分()()()0)xy(yz cosxyz 1,021,0=--∂∂+∂∂+⋅xy z yxzx z 1分)1,0(x z =2 2分2．设()()()()(),,,,,22200000xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，求(),fx y 在点(),00处的偏导数.解：由定义，有 ()000h)0,0(0,0)0,0( 0=-=-+=→→hf h f f LimLimh h x 3分()000h)0,0(0,0)0,0( 0=-=-+=→→hf h f f LimLimh h y 3分3．设z =22),(y xxy y x f -=-，f 具有一阶连续偏导数, 求y x z z f f ,,,21解：可以解出 ),(y x f =y1y 1x 2-+)( 2分()xy -11)y ,( 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∴x y y x xy x f()()yz x z x y y x f x y x y f y x 2,2,12,11y -x 22221-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4分三、计算下列各积分（要求画出积分区域）（每题6分，共30分）1.⎰⎰Dxyd σ, 其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
2007级高等数学(1-1)试题参考答案及评分标准
重庆大学 高等数学I-I （理工综合班）（ 课程试卷2006 ~2007 学年 第 一 学期开课学院： 数理学院 考试日期： 2008年1月9日考试方式：考试时间： 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一．每小题6分，共60分1．求极限3tan sin limx x x x -→解：3sin sin limxx x x -→613cos 1limsin lim23=-=-=→→xx xxx x x2． 设000,2sin ,,)(2>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x x xb x a x f 在0=x处连续，求常数ba ,的值。
解： a x a x =+-→)(lim 2，22sin lim=+→xxx ，b f =)0(，所以当2,2==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
3．设xx yarctan)1(2+=，求'y ，''y解：x y 2'=2211)1(arctan xx x +⋅++x 2=1arctan +x''y 2=212arctan xx x ++4．证明当1>x 时，exex>证： ex e x f x-=)(，)1(0)('>>-=x e e x f x，所以当1>x 时，)(x f 单调增加，从而 0)1()(=>f x f故当 1>x 时，ex ex>5．计算定积分 dxx x ⎰-π3sinsin解：dx x x ⎰-π03sinsin =-=⎰dx x x π2)sin1(sin dx x x cos sin 0⎰π-=⎰xdx x cos sin 2πxdx x cos sin 2⎰ππ-=⎰x d x sin sin 2πx d x sin sin 2⎰ππ2023s i n 32πx=34s i n 32223=-ππx6．已知xx ln 是函数)(x f 的一个原函数，求dxx xf)('⎰解：2'ln 1ln )(x x x x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛=， ⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdfdx x xf)()()()('CxxC xx xx +-=+--=ln 21ln ln 17．求不定积分：dxx ⎰arctan解：dxxx x x dx x ⎰⎰+-=21arctan arctanCx x x ++-=)1l n (21a r c t a n 2命题人：组题人：审题人：命题时间：学院 专业 年级 学号 姓名封线密8．设0,,11)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x e xx f x求⎰-2)1(dxx f解：令1-=x t ，则1+=t x⎰-2)1(dx x f ⎰⎰⎰--++==111111)(dt t dt edt t f t2ln 11+-=-e9．设dt t tx x F x⎰+-=1)(，求)('x F解：dt ttx x F x⎰+-=1)(-+=⎰dt t x x11dtttx⎰+01=)('x F xxxx dt tx+-+++⎰1111)1ln(11x dtt x+=+=⎰10．设)(x y y=是由方程1=+yexy所确定的隐函数，求)0('y 。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
2006-2007学年A卷(you)
2006-2007学年第二学期A 试卷一，1，设22ln(),u y x y =-证明：211u u u x x y y y∂∂+=∂∂ 2，设(),x y z x y z e -++++=求22,z z x x∂∂∂∂ 二，曲面22()3z x y =-++在何处的切平面平行于平面226?x y z ++=求该处的切平面方程和法线方程，三，计算下列重积分。
1，(2),Dx y dxdy D +⎰⎰由0,0,3x y x y ==+=所围成。
2，2222,:4x y D edxdy D x y ++≤⎰⎰3．,zdv ΩΩ⎰⎰⎰由锥面z =与平面(0)z h h =>所围成。
四，计算下列曲线，曲面积分1，,:2cos ,2sin ,02L xyds L x t y t t π==≤≤⎰ 2．22(sin2)(2cos2100),:1,0x x L e y y dx e y dy L x y y -+-+=≥⎰从(1,0)A 到(1,0)B -3．利用高斯公式计算333,x dydz y dzdx z dxdy ∑++∑⎰⎰ 为球面2222x y z R ++=的外侧。
五，1，判别了下列级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？（1）1(1)3n n n n ∞=-∑ （2）11ln (1)n n n n∞-=-∑ 2，将21()2f x x x =--展成x 的幂级数，并指出收敛区间。
3，将()(0)f x x x π=≤≤展开成余弦级数。
六，解下列微分方程1， 求21dy x dx xy-=满足1|x y =的特解。
2， 求23()(1)0xx y dx x dy ++++=的通解，。
3， 求244x y y y e -'''++=的通解。
七，设0,(1,2,.....)n a n >=1。
证明：若1n n a∞=∑收敛，则1n ∞=∑2，上述命题的逆命题是否成立？证明你的结论或给出反例。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。
利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。
感谢阅读！。
2006-2007学年浙江工商大学第二学期《微积分》试卷
浙江工商大学2006 /2007学年第二学期考试试卷课程名称： 微积分 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名：一、1．,1),(),(),(),(0000-=''=y x f ，y x ，f y x f z y x xx且具有二阶连续偏导数的驻点是设 ,),(,1),(0000a y x f y x f yy xy=''=''则a 时，),(00y x 是极大值点. 2．若)1(1n n u +=∞∑收敛，则=∞→n n u lim .3．设1d 112=+⎰x x kx，则=k . 4．=⎰+∞-x e x x d 03 .5．幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为 .6．设)ln ln(y x z +=，则=∂∂yz. 7．交换积分次序后 ⎰⎰==baxay y f x I d )(d .8．=+⎰-dx x x 11)( .9．微分方程011=+dx ydy x 满足43==x y的解为 .10．若D 是平面上长半轴和短半轴分别为b a 、的椭圆圆域，则⎰⎰=Dσd .二、 单项选择（1052=⨯分）1.已知),(y x f z =的全微分xydy dx y dz 22+=，则=∂∂22xz（ ）.A. 0B. x 2C. y 2D.xy 22.级数nn ）∑∞=121(的和为（ ）.A.21 B.1 C.2 D.23 3.下列广义积分发散的是（ ）.A.⎰101dx xB.dx x ⎰-10211 C.dx x ⎰∞+121D.dx x⎰1021 4.若级数∑∞=1n n u 发散，则必有（ ）.A.0lim =∞→n n uB.0lim ≠∞→n n uC.∑∞=+12007n n u 发散 D.∑∞=12007n n u 发散 5.方程xy y x y +='22是（ ）方程 .A.可分离变量B.齐次C.一阶线性D.伯努利 三、 计算题（一）（2464=⨯分） 1．dx x x ⎰+-40223.2．dx x x ⎰+31211 .3．已知函数)2sin(y x e z x-=,求yx z ∂∂∂2.4．已知函数),(y x f z =是由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定的隐函数,求dz . 四、 计算题（二）（2464=⨯分）1. 求二重积分dxdy y x I D22sin +=⎰⎰，其中D 是由122≤+y x 与x 轴及y 轴所围平面图形的第一象限部分. 2. 判断级数n n n nn !21=∞∑的敛散性. 3. 求221xx xy -+=在0=x 处展开的幂级数. 4. 求微分方程222)1(2)1(+=-+x xy dxdyx 的通解.五、 应用题（1628=⨯分）1.已知D 为由x y =2与2-=x y 围成的平面图形， 求:（1）D 的面积;（2）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.2. 设某企业的总产量函数为y x y x P 2005.0),(=（吨），y x ,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求y x ,使产量最大. 六、 证明题（6分）设)(x f 连续，且⎰-=-xx t t x tf 0cos 1d )(，试证：⎰=21d )(πx x f .。
微积分2006-2007-1答案
一 、每小题 3 分，共 15 分。 １． Ｃ ２． Ｂ ３． Ｂ ４． Ｄ ５． Ｃ 二、 每小题 4 分，共 20 分。 １． ln2 ２． (ln x ) x [ln(ln x) + 三、每小题 8 分，共 16 分。
1 1
y ′( x ) = 720 − 480 x ，令 y ′( x ) = 0 ，得 x = 1.5
又 y ′( x ) = −480 < 0 ，所以当 x = 1.5 时， y ( x) 取得极大值，而 x = 1.5 是 y ( x) 的唯一极大值点， 故当 x = 1.5 时， y ( x) 取得最大值. (6 分) 即门票价格定为 8 − 1.5 = 6.5 时，能使门票收入达到最大. （2 分）
即
x → 0−
lim f ( x) = lim+ f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 0) = 0
x→ 0 x→ 0
x →0 −
lim f ( x ) = lim− sin x = 0, lim+ f ( x ) = lim+ ( ax + b ) = b, 所以 b = 0, (6 分)
1 1 1
2 + ex
−
4
−
3
（4 分）
sin x 2 + e x sin x lim− + = lim − 4 4 x →0 x →0 − x x 1+ e x 1+ e x
arctan x − x arctan x − x = lim 3 x→ 0 ln( 1 + 2 x ) x→ 0 2x 3
故当a = 1, b = 0时f ′( 0) 存在。
2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(90)解答
广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim0 2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 1 4．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e +5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ). A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小; C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。
2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(54)解答
2006-2007(1)高等数学试题(A 卷)(54)解答D第 2 页共 6页第 3 页共 6页第 4 页 共 6页4. 函数2x e y -=的渐近线为 0=y5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为 (1,-2)二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．下列函数为偶函数的是（ C ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x; (D)xx cos +.2. 当0→x 时,11-+x 是2x 的( B )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x处连续的( A ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ B ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( D ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .第 5 页 共 6页三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1. 112-=x y , 求y ''.解: )1111(21+--=x x y ∴ ])1(1)1(1[2122++--='x x y 3分32233)1(26)1(1)1(1-+=+--=''x x x x y 6分2. 设)(ln x f y =, 其中)(x f 可微, 求dy . 解:dxx f dy ])(ln ['=2分=dxx x f ))(ln (ln ''4分=dx x f x)(ln 1'6分3. 设)(x y 是由方程2=+-x ye xy e所确定的隐函数,第 6 页 共 6页求0|=x dxdy . 解:方程 2=+-x ye xy e(*)两端同时对x 求导,得0=+'--'x y e y x y y e (**) 3分 在(*)式中令0=x ,得 0)0(=y 在(**)式中令0=x ,得 1)0(-='y 6分即 0|=x dxdy =-1第 7 页 共 6页四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分)1. 0sin lim (1cos )x x xx x →--. 解:原式=3021sin limx xx x -→2分=2023cos 1limx xx -→4分=xxx 3sin lim 0→ =316分 2．xx xln 12)1(lim ++∞→. 解:原式=x x x eln )1ln(lim2++∞→2分 =2212limxx x e ++∞→4分 =2e订 线 内 不 要 答 题第 8 页 共 6页6分五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分)1. dx x x )3(-⎰.解: 原式=dxx dx x ⎰⎰-2/12/333分=C x x +-2/32/52526分 2. ⎰dxx x )1(sin 2+.解:原式=⎰⎰+xdxdx xx 2sin2分 =22221)(sin 21x x d x +⎰4分 =C x x +--)(cos 21226分第 9 页 共 6页3. 22ln(1)x dxx +⎰. 解:原式=)1()1ln(2⎰-+xd x2分=)1ln(1)1ln(122+++-⎰x d xxx=dx xx x ⎰+++-2212)1ln(14分 =C x x x+++-arctan 2)1ln(126分 4. dxxx ⎰+31.解: 令6u x =,则du u dx 56= ∴dxxx ⎰+31=duu u u ⎰+2356=du uu ⎰+1633分=duuu ⎰+-+11)1(63第 10 页 共 6页=du udu u u ⎰⎰+-+-11)1([62]=Cu u u u ++-+-)1ln(663223=Cx x x x ++-+-)1ln(6626636分六．(本题满分10分)某厂生产x件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问(1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?解: (1)依题意, 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++== 2分所以 40125000)(2+-='xx C 令0)(='x C ,得1000=x5分故要使平均成本最小, 应生产1000件产品; (2) 依题意, 利润)40120025000(500)(2x x x x L ++-==240125000300x x --7分订 线 内 不 要 答 题则 x x L 201300)(-='令0)(='x L ,得6000=x10分故若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产6000件产品.七．(本题满分6分)证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++. 证明: 令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=2分则有 22221111)1ln()(xx xx x x xx x x f +-+++++++='=)1ln(2x x ++>0(当>x 时)4分故函数)(x f 在(0,+∞)内是单调增加函数,所以 当0x >时,)0()(f x f >=0,即 221)1ln(1x x x x +>+++. 6分。
浙江大学2006-2007学年微积分1期末参考答案
浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷解答一、求导数或微分 (1）sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x-=⋅+⋅++． (2) 由 20d t s xe s -=⎰，得2d d t xe t -=，由20sin()d t y t s s =-⎰，令t s u -=，得220sin d sin d t ty u u u u =-=⎰⎰，得2d sin d y t t =，所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==，2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t t t t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=．(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =，得0y =，对方程 210x yex xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=，将0x =，0y =代入，得 0d d x y x ==．二、求积分 （4）解66x x =⎰⎰6x =⎰ （令33sin x t -=）2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰．（5）解 令xe t =，2arctan d x xe x e ⎰＝3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++． （6）解t =，1+∞⎰＝202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]xx x e x +→=-注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx xex x ++-→ 2012cos limln()3x x x →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==． (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim()()(()())x af x f a f a x a f a x a f x f a →'---='--＝()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-．（9）解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++（（（1， 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑, 则11100011lim ln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u ee-→∞==． 四、（10）解：因为2620000arcsin d lim lim (1)d x x x tt t e tαβ→→=-⎰⎰ 注：由洛必达法则 2222331arcsin 3lim 1x x x x x e -→⋅=- 注：221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅， 所以，αβ与是同阶但不等价无穷小，则选 A ．（11）解：（A ） 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑，而1nn a∞=∑收敛，所以11()nn n aa ∞+=+∑必收敛，（B ）因为222222222221122311211()n n n n n n n aa a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑，所以2211()n n n aa ∞+=-∑必收敛．（C ）因为2212345221111()nn n n n n n aa a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()nn n aa ∞+=+∑必收敛,（D ）221234522112()(1)n n n n n n n n aa a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛，例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛， 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散，则结论不正确的是D ，本题选Ｄ（12）解：由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰，即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩， 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-， 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续．因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆， 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆，(0)(0)F F +-''≠所以，()F x 在0x =不可导，所以选Ｃ． （13）如图，在点(,0)b 处，左边0y ''>，右边0y ''<，而点(,0)b 处0y ''=，所以点(,0)b 为曲线的拐点； 同理，在点(0,)d 处，左边0y ''<，右边0y ''>，而点(0,)d 处0y ''=，所以点(0,)d 为曲线的拐点； 在点(,0)c 处，左边0y '<，右边0y '>，而点(,0)c 处0y '=，所以点x c =为函数的极小值点； 在点(,0)a 处，左边0y '>，右边0y '<，而点(,0)a 处0y '=，所以点x a =为函数的极大值点， 所以，曲线有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. 选（B ）五、解：由22,1y ax y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +（如图）， 直线OA 的方程y x =． （Ｉ） 旋转体体积 ()Va 22240()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+， （II ）53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+．在0a >处有唯一驻点4a =，当04a <<时d ()0d V a a >， 当4a >时，d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点，为最大值点．六、（15）解：由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+ 21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之， 20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑，两边积分，得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑，再次两边积分，得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑． 右边级数在1x =±处收敛，左边函数在1x =±处连续，所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-．七、（16）证法1：由2()(4)(2)2x xf x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-．而当0x >时2114x e >>，所以当0x >时()0f x ''<， 于是知，当0x >时，()0f x '<，从而知，当0x >时，()0f x <. 证法2：由证法一，有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3：由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<，所以()0f x <．注：设()(1)x g x x e =-，在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理，有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 x
.
2+e 1+ e
x→ 0
4 x
+
sin x x
2. lim
x→ 0
arctan x − x . ln( 1 + 2 x 3 )
【第 2 页 共 4 页】
四、 (12 分)求函数 y = ln( 1 + x 2 ) 的单调区间，凸凹区间，极值和拐点．
………………………………… 装 ……………………………… 订 ……………………
【第 4 页 共 4 页】
华中农业大学本科课程期中考试试卷
考试课程：微积分 学年学期：２００６－２００７－１ 考试日期：２００６－１１－２５ 题 号 得 分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 总 分
一、单项选择题 （从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题 【 】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小题 3 分，共 15 分。 ） １． 下列命题中正确的选项是 【 】 Ａ． f ( x ) 在 [ a, b] 上有最大值、最小值，则 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续； Ｂ． 若 f ( x ) 在 [ a, b] 上有界，则 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续； Ｃ． 若 f ( x ) 在 [ a, b] 上无界，则 f ( x ) 在 [ a, b] 上不连续； Ｄ． 若 f ( x ) 在 ( a, b) 内连续，则 f ( x ) 在 ( a, b) 内有最大值、最小值． 2. lim f ( x ) 存在是函数 f ( x ) 在点 x 0 连续的
x → x0 x → x0
A. lim ( f ( x ) + g ( x)) 与 lim f ( x ) g ( x ) 都存在；
x → x0 x → x0
B. lim ( f ( x ) + g ( x)) 与 lim f ( x ) g ( x ) 都不存在；
x → x0 x → x0
C. lim ( f ( x ) + g ( x)) 必不存在， lim f ( x ) g ( x ) 可能存在；
x → x0 x → x0
D. lim ( f ( x ) + g ( x)) 可能存在， lim f ( x ) g ( x ) 必不存在.
x → x0 x → x0
【第 1 页 共 4 页】
二、填空题 （将答案写在该题横线上。每小题 4 分，共 20 分。 ）
x + 2a 1. 设 lim = 8 ，则 a = x →∞x ，则 dy = 3. 函数 f ( x ) =
sin x 的可去间断点是 . x 2 + 3x f ( a − 2 h) − f (a ) 4. 设函数 f ( x ) 在点 a 处可导，且 lim = 1 则 f ′(a ) = h→ 0 h
.
x = ln( 3 + t 2 ) d2 y 5. 设 ，则 2 = dx y = t − arctan t
x → x0
【
】
A. 充分条件； B. 必要条件； C. 充要条件； D. 既非充分也非必要条件. 2 3. 设可导函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处 f ′( x 0 ) = ，则当 ∆x → 0 时，下列命题中正确的是【 3 A. dy 与 ∆x 是等价无穷小； C. dy 是 ∆x 的高阶无穷小； B. dy 与 ∆x 是同阶而非等价无穷小； D. ∆x 是 dy 的高阶无穷小. 【 】
】
4. 若 f ′( x 0 ) = 0 ， f ′′( x 0 ) = 0 ，则函数 f ( x ) 在点 x 0 处 A.一定有极大值；B. 一定有极小值； C. 一定无极值； D. 可能有极值.
5. 若 lim f ( x ) 存在， lim g ( x ) 不存在，下列命题中正确的是 【 】
sin x, x ≤ 0, 五、 (12 分) 已知 f ( x ) = 问：当 a 和 b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处可导. ax + b, x > 0,
【第 3 页 共 4 页】
六、 (13 分) 证明方程 4 ln x = x 在 (1, e) 内有唯一实根.
七、 (12 分) 某风景区欲制定门票价格.据估计，若门票价格为每人 8 元，平均每天将有 1200 名游客；门票每降低 1 元，游客将增加 240 人.试确定使门票收入最大的门票价格.