2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合，，若，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．【答案】D【解析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【详解】∵集合，，，∴a=2或a2=2，即a=2或，当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=时，A={，2，0}，满足题意，当a=时，A={，2，0}，满足题意故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．计算的结果是（）A．B．C．－D．－【答案】A【解析】先把化为，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】，故选A .【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .3．下列函数中，是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】对于A，，所以为奇函数，不满足题意；对于B，的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C，，为奇函数，不满足题意；对于D，，为偶函数，满足题意.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．函数的零点所在的区间是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5．已知，则函数的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平移变换即可得到函数的大致图像.【详解】∵∴函数的图象是由向右平移一个单位得到，故选：A【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题.6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【解析】可利用为上的增函数得到的大小关系，再利用换底公式得到利用为上的增函数可得的大小关系，最后得到的大小关系.【详解】因为为上的增函数，故，故 .又由换底公式可知，因为上的增函数，故，故即，综上，，故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因，故原不等式等价于在上恒成立，故可得实数的取值范围.【详解】因为，故，故在上恒成立等价于在上恒成立，故即，故选D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8．设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用当时有，故函数在具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数的图像，结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.【详解】，而，故当时，，故在上的图像如图所示：因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D.【点睛】不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题9．计算：＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则可得计算结果.【详解】因为，故填.【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .10．已知集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.11．函数的定义域为__________.【答案】【解析】解不等式可得函数的定义域.【详解】由题设有即，因，故，故函数的定义域为，填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知＝，则＝_________；若，则________．【答案】－10或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时.【详解】，故，因为，故或者，解得或 .综上，填，或.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】根据函数在不单调可得且，从而得到实数的取值范围.【详解】若，则，在为减函数，不符题意，舎；若，则为二次函数，对称轴为，因为在不单调，故，所以，填.【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数的单调性取决于的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：① 映射的值域是；② 映射不是一个函数；③ 映射是函数，且是偶函数；④ 映射是函数，且单增区间为，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③【解析】根据滚动的过程在坐标平面中画出的运动的轨迹后可得正确的选项．【详解】运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数，的值域为，也是一个周期函数，周期为，其增区间为和，，故选③．【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．15．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______.① 有且只一个零点②的零点在内③ 的零点在内④的零点在内【答案】①②【解析】函数为上的增函数，结合，可知①、②正确，因，故的符号为两正一负或全负，从而③、④错误．【详解】因为，均为上的单调增函数，故为上的增函数．因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确．因，故的符号为两正一负或全负，而，故或者，若，则零点在内；若，则零点在内．故③、④错误．综上，填①②．【点睛】本题考察函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取．16．关于函数的性质描述，正确的是___① 的定义域为② 的值域为③ 在定义域上是增函数④的图象关于原点对称【答案】①②④【解析】函数的定义域为，故，所以为奇函数，故①④正确，又，故可判断②正确，③错误．【详解】由题设有，故或，故函数的定义域为，故①正确．当，，此时，为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故④正确．又，当时，；当时，，故的值域为，故②正确．由可得不是定义域上增函数，故③错．综上，选①②④．【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．17．在同一直角坐标系下，函数与(,)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.【答案】②③【解析】根据图像，底数须满足，逐个检验可得正确的结果．．【详解】由图像可知且，因为，故①错．，故②正确．，故③正确．，故④错误．综上，选②③．【点睛】本题为图像题，要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件，并能利用指数、对数知识进行数的大小比较．不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递．18．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为是分段函数且为增函数，故，故可得实数的取值范围．【详解】因为为上的增函数，故，所以，填．【点睛】如果一个分段函数在为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．19．非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个满足条件的二元数集S ＝________．【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】因中有两个元素，故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设，根据题意有，所以必有两个相等元素．若，则，故，又或，所以（舎）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或，填或．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．【答案】只需满足或即可．【解析】的反函数为，故问题可以转化为与恰有一个公共点即可．【详解】的反函数为，故与的图像恰有一个公共点，当时，直线满足要求，当时，若与的图像恰有一个公共点，则（因为题设要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即可，符合，待同学们学习了导数的相关知识后可求）【点睛】函数及其反函数的图像关于直线对称，因此与直线对称相关的函数问题可从反函数的角度去分析，一般地，函数的定义域就是反函数的值域，函数的值域就是反函数的定义域，而且单调函数必有反函数．三、解答题21．已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【详解】（1）由得，故，所以．（2）由题知，当时，恒成立，即：当时，恒成立．在区间上的值域为，所以，即实数m的取值范围是．【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式及值域；（2）判断在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．【答案】(1) , (2) 增【解析】（1）因为奇函数的定义域为，故可由得到的值及其函数解析式，结合指数函数的值域可得的值域．（2）利用单调性定义可证明为上的增函数．【详解】（1）由题知，，即：，故，．此时，为奇函数．因为，所以，，．（2）在上是增函数．证明：设，，则，，因为，，故，所以函数在上是增函数．【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数，可利用特殊值求参数的值（注意检验），也可以利用恒等式或来求参数的值．而对于函数单调性的证明，定义法是关键，其基本步骤是作差、定号和给出结论（也可以作商，此时商应与1比较大小且要注意函数值的符号）．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？【答案】(1) (2)50000【解析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用．（2）依据（1）求出函数的最大值即可．【详解】（1）当时，；当时，，故（2）当时，元，此时x＝30；当时，元，此时．综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元．【点睛】本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系．24．若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①；②.（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足：① 对,R，均有；② 是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值．【答案】(1) ①不是②是，详见详解；（2）；（3），．【解析】（1）依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数．（2）由可得值从而求得函数．（3）分别令和从而得到，利用为“”可得，从而得到，由可得．【详解】（1）①不是，因为图象不过点；②是，因为图象恒过和两点．（2）由得，，故；由得，，故．所以，．（3）令得，，令得，，所以，．由②知，，故，从而，，由②又知，，于是，故．【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围．对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定．。
北京市海淀清华附中实验班高一数学上学期中试题(含解析)
高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B I （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =I ， 故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U 的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C【解析】解：∵{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U ，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =． 故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =I ，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =U ，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 【答案】(,10)[0,1]-∞-U【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-U ．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-， 当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =L 3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B I ð．（Ⅱ）若()U A B =∅I ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<I ≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅I ð，则1a -<，即：1a >-． 故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B I ．（Ⅱ）若A B I 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<I ≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B I 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=， 当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++， 又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=L ，称X Y =． （2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)L ，(1,0,0,00)L ，(0,1,00)L ，(0,0,10)L L (0,0,01)L 共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +．（Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =L 其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---L ， 显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年北京市清华大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.45.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +> B.0a b +< C.0ab > D.0ac <6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,19.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A .R x ∃∈，[][]442x x =+ B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}【答案】B【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】集合{}1,0A =-，集合{}11B x x =-<<，所以{}0A B ⋂=，故选：B2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x = C.3y x = D.1y x=-【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，且()()3111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()()102f f -+=-.故选：A5.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +>B.0a b +< C.0ab > D.0ac <【答案】D【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+【答案】C【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，()111122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131222y x x y =+++≥32=当且仅当2y xx y=，且1x y +=，即1x =-，2y =-所以，13212x y ++≥故选：C .8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,1【答案】D【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案.【详解】因为函数()22f x x ax =-+在区间[]1,2上是减函数，所以1a ≤，因为()ag x x=在区间[]1,2上是减函数，所以0a >，所以a 的取值范围是01a <≤，故选：D9.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A.R x ∃∈，[][]442x x =+B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<【答案】C【分析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.【详解】对于A ，当0.5x =时，[][][]440.52422x x =⨯==+=，故A 正确；对于B ，设[],x m m =∈Z ，则1131,222m x m m x m ≤≤++≤+<+，12x m ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦或1m +.当12m x m ≤<+时，12x m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，此时[]2221,22m x m x m ≤<+=，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，112x m ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，此时21222m x m +≤<+，[][]12212x m x x ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，综上，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故B 正确.对于C ，当0.5x y ==，[]1x y +=，[][]0x y +=，[][][]x y x y +>+，故C 错误；对于D ，若[][]x y =，设[][],x y n n ==∈Z ，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+()()11,11x y n n x y n n ∴-<+-=->-+=-，从而1x y -<，故D 正确；故选：C.10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96【答案】D【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合{}{}115=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1213,14,15M x N x =∈≤≤，，当{}{}{}1231,4,5,6,7,3,12,13,14,15,2,8,9,10,11A A A ===时，123X X X ++取得最小值，123=8+18+13=39X X X ++；当{}{}{}1231,2,3,4,15,5,6,7,8,14,9,10,11,12,13A A A ===时，123X X X ++取得最大值，123=16+19+22=57X X X ++；123X X X ∴++的最大值与最小值的和为：395796+=.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠所以函数()1f x x=-的定义域是[)()0,11,⋃+∞故答案为：[)()0,11,⋃+∞12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．【答案】21x -（答案不唯一）【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．【答案】①.()0,∞+②.[)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t>⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．【答案】①②④【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a 的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.【详解】对于①，当x a ≥-时，()2f x x x a =--，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =，当x a <-时，()2f x x x a =++，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =-，即22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，且()()22a a a a ----=，()()22a a a a -+-+=，即在x a =-处的函数值相等，由于()2f x x x a =++的对称轴在()2f x x x a =--的对称轴的左侧，则存在区间(,)(,)m a +∞⊆-+∞，使()2f x x x a =--在(,)m +∞上递增，存在区间(,)(,)n a -∞⊆-∞-，使()2f x x x a =++在(,)n -∞上递减，故R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数，①正确；对于②，当0a =时，()2||f x x x =-，定义域为R ，此时22()()||||()f x x x x x f x =---=-=，即()f x 为偶函数，②正确；对于③，由①的分析可知()f x 的最小值在12x =或12x =-时取到，22,(),x x a x af x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，111||242f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，111()||242f a -=--，当12a >时，函数最小值在12x =处取到，由1115||2424f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =-（舍去）；当12a <-时，函数最小值在12x =-处取到，由1115||2424f a ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-或2a =（舍去）；当1122a -≤≤时，由于115244f a ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，115244f a ⎛⎫-=-+>- ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去；故()f x 的最小值是54-，则1a =-或1a =，③错误；对于④，当0a <时，22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧--≥-=⎨++<-⎩，当211022a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即14a =-时，当14x ≥时，令2104x x -+=，解得1124x =>；当14x <时，令2104x x +-=，解得12124x -±=<；即此时()f x 有三个零点，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．【答案】（1）(,2)(5,)-∞-⋃+∞（2）[3,1)-（3）答案见解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，变形为乘积的形式，结合二次不等式即可；（3）因式分解，讨论两根大小即可.【小问1详解】由23100x x -->，得(5)(2)0x x -+>，则<2x -或5x >，所以解集为(,2)(5,)-∞-⋃+∞【小问2详解】由4101x +≤-，得301x x +≤-，(3)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，所以解集为[3,1)-【小问3详解】由22(2)0x x a a ++-<，得()(2)0x a x a ++-<，当2a a -<-时，即1a >时，解集为(,2)a a --，当1a =时，解集为∅，当1a <时，解集为(2,)a a --.17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】17.()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð18.3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【小问1详解】由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；【小问2详解】由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）14（3）1k =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ，所以有()22012Δ2140k k k k ≠⎧⎪⇒>-⎨⎡⎤=+->⎪⎣⎦⎩且0k ≠，所以实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ；【小问2详解】当1k =时，根据一元二次方程根与系数的关系可知：()1212222114,1k x x x x k k++=-=-==，所以()222121212216214x x x x x x +=+-=-=；【小问3详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知：()121222211,k x x x x k k++=-=，()()222222112122211188841811k x x k k k x x x x k +⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫++=⇒=⇒=⇒+=⇒=-±⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1k =-+19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？【答案】19.()180138,0,100105y x x x =--∈+20.20x =时，利润最大.【分析】（1）A ，B 对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，x 万元投入A 产品，则100x -万元投入B 产品，则()12180118011810038105105y y y x x x x =+=-+-=--++，()0,100x ∈.【小问2详解】由（1）得，1801180103840105105x y x x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭4028≤-=，当且仅当18010105x x +=+，即20x =时等号成立，所以当20x =时，公司利润最大.20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()245f x x x =--（2）()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩（3）12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.【小问3详解】因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．【答案】（1）{}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=（2）34（3）3或4或5【分析】（1）直接由M k ⊕的定义计算即可求解.（2）若(),1d A B =，则1A B ⊆⊕，则只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A =即可，从而min 1001343B ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.（3）首先证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，其次结合(),d A B 的定义得出d 满足距离的三角不等式：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而运用到本题中即可得解.【小问1详解】若{}2,4,6M =，则由集合新定义可知{}{}{}{}1,3,52,4,63,7,755,6,M =⊕⋃=⋃.【小问2详解】设B 有B 个元素，下证min 34B =.一方面，{}2,5,8,,98,101B = ，则0A B B ⊆⊕=，所以(),0d A B ≠，即(),1d A B ≥，而{}0,1,2,3,4,,1011B A ⊆⊕= ，{}1,2,3,4,,1021A B ⊆⊕= ，这表明了(),1d A B =满足题意，此时10121343B -=+=，故min 34B =；另一方面：若33B j =≤，不妨设{}`12,,,j B b b b = 且`12j b b b <<< ，由题意可知{}{}{}1112221,,11,,11,,11j j j b b b b b b b B b b A -+⋃⊆-+⋃⋃-⊕=+ ，而1B ⊕最多含有399j ≤个元素，当且仅当{}()1,,1,1k k k b b b k j -+≤≤两两不同且33B j ==时，等号成立，但这与A 有100个元素矛盾，所以34B j =≥.综上所述：非空整数集合B 的元素个数的最小值是34.【小问3详解】一方面：先来证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，{}{}|,,1,,Z |,M k m t m M t k k k n m M n m k ⊕=+∈=--+=∈∃∈-≤ ，因此只要12M M ⊆，就有12M k M k ⊕⊆⊕，而()x M k l ∀∈⊕⊕，p M k ∃∈⊕，x p l -≤，所以,m M p m k ∃∈-≤，所以x m x p p m x p p m l k -=-+-≤-+-≤+，即()x M k l ∀∈⊕+，从而()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+.另一方面：如果(),d A B p =，(),d B C q =，(),d A C r =，那么A B p ⊆⊕，B C q ⊆⊕，()()B p C q p C p q ⊕⊆⊕⊕⊆⊕+，从而()A C p q ⊆⊕+，同理()C A p q ⊆⊕+，因此由定义可得()()(),,,d A C r d A B d B C p q =≤+=+，即d 满足距离的三角不等式；所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。
2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(含解析)
2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集，集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：B．求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，使得C. ，都有D. ，使得【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3. 下列函数中，既是奇函数又在R单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；对于B，，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又在R单调递减，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4. 已知，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，可得．故选：C．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5. “”是““的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．“”是““的充分不必要条件．故选：A．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．，，根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，故选：C．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 要得到的图象，只需将函数的图象A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选：A．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8. 函数，的图象为A.B.C.D.第1页，共4页【答案】C【解析】解：，的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，的图象可看成把的图象在y轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，故选：C．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，即可得到的图象特征．本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10. 若为R上的奇函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：为R上的奇函数，则，即有，，当时，，，则．故答案为：．运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，函数是偶函数，，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即，或，解得，即实数a的取值范围，故答案为：由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12. 已知函数，若，则x的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，故函数在上单调递增，在上单调递增，由于，且，则有，由，可得，，不等式在成立，则的解集为．故答案为：．由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，，，由此求得x的范围．本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 函数的值域是______注：其中表示不超过x的最大整数【答案】【解析】解：根据高斯函数的性质，，那么：，则由，函数的值域为．故答案为根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；本题考查了表示不超过x的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14. 已知，，则______．【答案】【解析】解：，，即解得，，故答案为：根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15. 已知集合，．若，求；若集合中至少存在一个整数，求实数a的取值范围．【答案】解：时，集合，．．集合，．集合中至少存在一个整数，，或，解得．实数a的取值范围是．【解析】时，集合，，由此能求出．集合，由集合中至少存在一个整数，得，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知函数若，求的值；若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a的值．【答案】解：，可得，两边平方可得，即有；当时，在递增，可得，解得；当时，在递减，可得，解得．综上可得或．【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：讨论和，运用指数函数的单调性，可得a的方程，解方程即可得到所求值．本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．求a，b的值；若，在上为单调函数，求实数m的取值范围．【答案】解：由于函数，，对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，解得．当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．若，则由可得，，再由函数在上为单调函数，可得，或，解得，或，故m的范围为．【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18. 设函数是R上的增函数，对任意x，，都有求；求证：是奇函数；若，求实数x的取值范围．【答案】解：对任意x，，都有，可令，，可得，即；证明：由任意x，，都有，可令，可得，可得，由，可得，即有为奇函数；奇函数是R上的增函数，由，即，即有，解得．实数x的取值范围为．【解析】可令，，计算可得所求；可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；由奇函数是R上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运第3页，共4页算能力，属于中档题．19. 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M．判断函数是否具有性质M，说明理由；若函数具有性质M，求实数a的取值范围；若函数具有性质M，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，由，可得，则函数具有性质M；函数具有性质M，可得，即，可得a的取值范围是；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点，由得，，解得或．同时需要考虑以下三种情况：由解得；由解得，不等式组无解；由解得，解得．综上所述，若函数具有性质M，实数m的取值范围是或或．【解析】解方程可得想x，可判断是否具有性质M；由题意可得，解方程可得，再由性质M即可得到所求范围；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20. 已知函数．当时，求函数在上的值域；若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，令，则原函数化为，，则，当时，．函数在上的值域为；由知，在区间上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得：．实数a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t的不等式组求解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。
推荐-清华附中2018年上学期高一期中试卷数学(附答案) 精品
高一第一学期期中试卷数学（清华附中高18级）一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若U=R ，A={x │x ＞4}，a=321-那么（ ）A. a ⊆C U AB. a ⊄C U AC. {a}∈C U AD. {a}≠⊂C U A 2. 计算[（-2）2]21的结果是 （ ） A. 2 B. -2 C. 22 D. -22 3. 设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. “x ＞0”是“12〈-x ”的 （ ）A. 充分不必要件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下列各组中函数f(x)和g （x ）图象相同的是 （ ）A. (x)=1，g(x)=x 0B. f(x)=1，g(x)=xx x x ∈（0，+∞）C. f(x)=│x │，g(x)=-x x ∈ (-∞,0)D. f(x)=3)3(2++x x ，g(x)=(x+3)(x+3)0 6. 在下列复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真，那么 （ ）A. p 真q 假B. p 假q 真C. p 假q 假D. p 真q 真7.若不等式ax 2+bx+2＞0的解集为（-31,21），那么a+b=( ) A. 10 B. –10 C. 14 D. –148.已知（2，1）在函数f(x)=b ax +的图象上，又知f -1(5)=1则，f(x)等于 （ ）A.94+-x B. 73+-x C. 53-x D. 74-x9. 函数f(x)=4x 2-mx+5在区间(-2，+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 （ ）A. f(1)≥25B. f(1)≤-16C. f(1) ≤16D. f(1) ＞2510. 已知函数f (x)=3-2│x │，g(x)=x 2-2x ，构造函数F(x)，定义如下：当f(x) ≥g(x)时， F （x ）=g(x)； f(x) ＜g(x)时，F(x)=f(x)，那么F(x) （ ）A. 有最大值3，最小值-1B. 有最大值7-27，无最小值C. 有最大值3，无最小值D. 无最大值，无最小值二、真空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）x+1 （x ＞0）11. 设f(x)= π （x=0）则f{f[-1]}=_________。
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题：“”，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D. 【考点】命题的否定.2．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：D．【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题3．下列图形是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数B．满足函数的定义，则图象是函数图象C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数故满足条件的图象是B，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．函数的定义域为，则函数定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域．【详解】的定义域为；满足；；的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，是基础题5．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可．【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”，可得“”是“”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题．6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合代表不等式的解集，可求，再根据得到关于的不等式，即可得到的范围．【详解】因为集合，所以，又因为，故．故选：B．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题．7．已知函数，函数在下列区间一定存在零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．【详解】，，，，，，，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．二、填空题9．比较大小：__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．【详解】是上的减函数；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题10．函数的值域为____________．【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知，，所以，故函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题．11．函数的定义域为_______________．【答案】或【解析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：或．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题12．已知，（1）____________；（2）若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】（1）直接由分段函数解析式求解的值（2）画出函数的图象，数形结合得答案．（1）由已知可得，；（2）作出函数的图象如图，由图可知，要使函数有两个零点，则实数的取值范围为．故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．已知，则____________；的解析式为____________．【答案】【解析】，由此利用，能求出；设，则，从而，由此能求出的解析式．【详解】，，设，则，，的解析式为．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，14．对于函数，下列说法正确的是____________．①函数的定义域为；②函数为奇函数；③函数的值域为；④函数在定义域上为增函数；⑤对于，均有．【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立，定义域为；②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数的值域即可；④根据指数函数的性质，判断在定义域上为增函数；⑤根据为上的增函数，判断．【详解】对于①，函数，分母，定义域为，①正确；对于②，任意，有，函数为定义域上的奇函数，②正确；对于③，函数，，，，，的值域为，③错误；对于④，是增函数，是减函数，是增函数，函数在定义域上为增函数，④正确；对于⑤，对于，都有，且为上的增函数，所以，⑤正确．综上所述，正确的命题序号是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题15．（1）已知，求的值．（2）求值：．【答案】（1）6（2）1【解析】（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1），．（2）原式．【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．判别并证明函数的奇偶性．【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数，证明如下：的定义域为，且；；是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．已知命题：方程有实根：命题：方程有两个不相等的实根，若“且”为真，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根，则判别式，得或，方程有两个不相等的实根，则满足，得，即或，若“且”为真，则，同时为真命题，则得，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q命题为真命题时m的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．已知函数是定义域为的奇函数，在上是减函数，且．（1）求与的值；（2）判别并证明函数在上的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0，0（2）在上是减函数（3）或【解析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）是上的奇函数；，且；；（2）在上是减函数，证明如下：设，则：；在上是减函数；；；；在上是减函数；（3）①，即时，满足；②，即时，由得：；；；；③，即时，由得：；；；综上得，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．已知函数，表示函数的次迭代函数，，．（1）若，求，，，；（2）若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期．①若，求的选代周期；②若，判别是否为选代周期函数．若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．【答案】（1），，，（2）①3；②不是【解析】（1）利用先求，，即可得（2）①由成立，计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】（1），，则，，，……于是．（2）①，，则，，，故的选代周期为，②，，则．第 11 页共 12 页，……，若为次迭代周期函数，则，，与矛盾．不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题第 12 页共 12 页。
北京高一上学期期中考试数学试卷含答案
高一上学期期中考试试卷数学一､选择题1.已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}1，B. {}1C. {1}2，D. {012}，， 2.已知全集U =R ，{}1A x x =<-，{}1B x x =>，则()UB A =（ ）A. {}1x x >B. {}1x x ≤- C. {1x x >或}1x <-D. {}11x x -≤≤3.不等式113x <+<的解集为（ ） A. (0,2) B. (2,0)(2,4)-⋃ C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--⋃4.若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A. 33a b >B. a b <C.11a b< D.11a b> 5.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ） A. 2x ∀>，210x -≤ B. 2x ∀≤，210x -> C. 2x ∃>，210x -≤D. 2x ∃≤，210x -≤6.若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f （x 2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二､填空题9.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩当81z =时，x =___________，y =___________． 10.一元二次方程2310x x -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，则221212x x x x 的值是______．11.已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．三､解答题15.已知二次函数()23f x x mx =+-，有两个零点为1-和n ．（1）求m 、n 的值；（2）证明：()()11f x f x +=-；（3）用单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数；（4）求()f x 在区间[]0,a 上的最小值()g a ．16.已知函数()223f x x x =--.（1）直接写出()f x 的零点； （2）在坐标系中，画出()f x 的示意图（注意要画在答题纸上）（3）根据图象讨论关于x 的方程()f x k =的解的个数:（4）若方程()f x k =，有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x 直接写出这四个根的和；（5）若函数()f x 在区间()1,a -上既有最大值又有最小值，直接写出a 的取值范围．17.已知函数()21xf x x =+.（1）求证：()f x 是R 上的奇函数； （2）求()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）求证：()f x 在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）求()f x 在[)1,-+∞上的最大值和最小值； （5）直接写出一个正整数n ，满足()12019f n <．18.设函数()1110nn n n f x a x a xa x x --=++⋅⋅⋅++，()1110m m m m g xb x b x b x b --=++⋅⋅⋅++，且对所有的实数x ，等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦都成立，其0a 、1a 、、n a 、0b 、1b 、、m b R ∈，m 、n N ∈．（1）如果函数()22f x x =+，()g x kx =，求实数k 的值；（2）设函数()32321f x x x =+-，直接写出满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的两个函数()g x ；（3）如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无实解．参考答案1【答案】B根据韦恩图知阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的公共元素所剩下的元素，由此可得选项. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素．因为{2,3,4,5}A B ⋂=，所以阴影部分所表示的集合是{1}．故选B ． 2【答案】D 求出AB ，利用补集的定义可求出集合()UA B .【详解】由题意可得{1A B x x ⋃=>或}1x <-，因此，(){}11UA B x x ⋃=-≤≤.故选：D. 3【答案】D 【解析】1<|x +1|<3⇔1<|x +1|2<9即()()221119x x ⎧+>⎪⎨+<⎪⎩即2220280x x x x ⎧+>⎨+-<⎩， 解得x ∈(−4,−2)∪(0,2) 本题选择D 选项. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论. 【详解】0a b <<，则22223024b b a ab b a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，()()33220a b a b a ab b ∴-=-++<，33a b ∴<，A 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，即a b >，B 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，11a b ∴-<-，可得11a b>，C 选项中的不等式错误，D 选项中的不等式正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 5【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝. 【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题. 6【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42nM ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．【详解】解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42nM ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n ，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除， 42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈ 那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 9【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】 【分析】将z 代入解方程组可得x 、y 值.【详解】19881,,.537311x y x z x y y +==⎧⎧=∴∴⎨⎨+==⎩⎩ 【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 10【答案】3 【解析】 【分析】利用韦达定理求出12x x +和12x x ，由此可得出2212121212x x x x x x x x 的值.【详解】由韦达定理得123x x +=，121=x x ，因此，()2212121212133x x x x x x x x +=+=⨯=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题. 11【答案】【解析】试题分析：由题33,22y x y x x x =∴+=+≥=当且仅当2x =时，等号成立；考点：均值不等式 12【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 13【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.14【答案】 (1). 1- (2). (][),04,-∞+∞【解析】 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点 240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥ a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞故答案为1-；(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．15【答案】（1）2m =-，3n =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理可得出关于实数m 、n 的方程组，即可求出这两个未知数的值； （2）直接计算()1f x +和f1−x ，可证明出()()11f x f x +=-；（3）任取121x x >>，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）分01a <≤和1a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,a 上的单调性，即可得出函数()y f x =在区间[]0,a 上的最小值()g a 的表达式.【详解】（1）由韦达定理得131n n m -⨯=-⎧⎨-+=-⎩，解得23m n =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知()()222314f x x x x =--=--，()()2211144f x x x ∴+=+--=-，()()2211144f x x x -=---=-，因此，()()11f x f x +=-； （3）任取121x x >>，则()()()()221211222323f x f x x x x x -=-----()()()()()()()2212121212121212222x x x x x x x x x x x x x x =---=+---=-+-，121x x >>，120x x ∴->，122x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）当01a <≤时，函数()y f x =在区间[]0,a 上为减函数，此时()()223g a f a a a ==--；当1a >时，函数()y f x =在区间[]0,1上减函数，在区间[]1,a 上为增函数， 此时()()14g a f ==-.综上所述，()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16【答案】（1）1-和3；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）4；（5）(3,1⎤⎦. 【解析】 【分析】（1）解方程()0f x =即可得出函数()y f x =的零点； （2）根据绝对值翻折变换可作出函数()y f x =的图象；（3）将方程()f x k =的解的个数转化为函数y k =和()y f x =图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；（4）根据函数()y f x =可得出1234x x x x +++的值；（5）求方程2234x x --=在3x >时的解，利用图象可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）解方程()0f x =，即2230x x --=，解得1x =-或3x =，所以，函数()y f x =的零点为1-和3；（2）函数()223f x x x =--的图象是将函数223y x x =--的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，位于x 轴上方的图象保持不变而得到，则函数()223f x x x =--的图象如下图所示：（3）方程()f x k =的解的个数等于函数y k =和()y f x =图象的交点个数，如下图所示：当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根； 当04k <<时，方程()f x k =有4个实根； 当4k =时，方程有3个实根.综上所述，当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根；当04k <<时，方程()f x k =有4个实根；当4k =时，方程有3个实根；（4）由图象可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，因此，12344x x x x +++=； （5）当3x >时，解方程2234x x --=，解得221x =，由图象可知，当3221a <≤时，函数()y f x =在区间()1,a -上既有最大值，又有最小值， 故实数a 的取范围是(3,221⎤⎦.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）证明见解析；（4）最大值12，最小值12-；（5）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）代值计算即可得出()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）任取12x x ≠，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后分1211x x 和211x x >≥两种情况讨论()()12f x f x -的符号，即可证明出结论；（4）利用（3）中的结论可求出函数()y f x =在区间[)1,-+∞上的最大值和最小值；（5）可取满足2019n ≥的任何一个整数n ，利用函数()y f x =的单调性和不等式的性质可推导出()12019f n <成立. 【详解】（1）函数()21xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，因此，函数()y f x =是R 上的奇函数； （2）()22222222111*********a a a a a aaf a f a a a a a a a a ⋅⎛⎫-=-=-=-= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （3）任取12x x ≠，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++.当1211x x 时，120x x -<，1210x x ->，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x <；当211x x >≥时，120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）由于函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 当1x =时，函数()y f x =取最大值，即()()max 112f x f ==； 当0x >时，()0f x >，所以，当1x =-时，函数()y f x =取最小值，即()()min 112f x f =-=-. 综上所述，函数()y f x =在[)1,-+∞上的最大值为12，最小值为12-； （5）由于函数()y f x =在[)1,+∞上单调递减，当2019n ≥时，()()2220192019120192019120192019f n f ≤=<=+，所以，满足2019n ≥任何一个整数n 均满足不等式()12019f n <. 可取2020n =，满足条件.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.18【答案】（1）1k =；（2）()g x x =，()32321g x x x =+-，答案不唯一；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦直接代入计算即可；（2）验证()g x x =满足条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，再者若()()g x f x =，则等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也满足，由此可得出符合条件的函数()y g x =的两个不同的解析式；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立. 【详解】（1）()22f x x =+，()g x kx =，则()()()22222f g x f kx kx k x ⎡⎤==+=+⎣⎦，()()()222222g f x g x k x kx k ⎡⎤=+=+=+⎣⎦， ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，222k k k ⎧=∴⎨=⎩，解得1k =；（2）若()g x x =，则()()f g x f x ⎡⎤=⎣⎦，()()g f x f x ⎡⎤=⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； 若()()g x f x =，则()()f g x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，()()g f x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 所以，当()32321f x x x =+-时，满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的函数()y g x =的两个解析式可以是()g x x =，()32321g x x x =+-（答案不唯一）；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，设()()()h x f x g x =-，则()()()h f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()h g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 两式相减得()()()()()()h f x h g x f f x g f x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()0f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，所以，()()h f x h g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，由零点存在定理可知，存在()(){}()(){}()min ,,max ,a f x g x f x g x ∈，使得()0h a =，()()f x g x =无实根，则()0h x =永远不成立，推出假设不成立.所以，方程()()f x g x =无实数解，方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
北京清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．命题∀x∈（﹣1，0），x2+x＜0的否定是（）A．∀x∈（﹣1，0），x2+x＞0B．∀x∈（﹣1，0），x2+x≤0C．∃x∈（﹣1，0），x2+x＞0D．∃x∈（﹣1，0），x2+x≥03．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣|x|B．y＝x2C．y＝x3D．4．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+，则f（﹣1）+f（0）＝（）A．﹣2B．0C．2D．45．已知a＞b＞c，a+b+c＝0，则下列结论一定正确的是（）A．a+c＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．ac＜06．函数f（x）＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的值域是（）A．[﹣1，0]B．[0，8]C．[1，8]D．[﹣1，8]7．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是（）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1）D．（0，1]9．对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，我们把f（x）＝[x]，x∈R称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A．∃x∈R，[4x]＝4[x]+2B．∀x∈R，C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]D．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜110．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（）A．56B．72C．87D．96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（）A. 0 AB. {0} AC. {0} AD.2. 函数f（x）= ，则 =（）A. 0B. -C.D. -3. 与函数y=lg（x-1）的定义域相同的函数是（）A. y=x-1B. y=|x-1|C. y=D. y=4. 若函数 f(x)= + 与 g(x)= 的定义域均为 R ，则A. f(x) 与 g(x) 均为偶函数B. f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数C. f(x) 与 g(x) 均为奇函数D. f(x) 为偶函数． g(x) 为奇函数5. 设a=lg 0.2，b= ，c= ，则（）A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a6. 若指数函数y= 在（-∞，+∞）上是减函数，那么（）A. 0<a<1B. -1<a<0C. a=-1D. a<-17. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．8. 已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=2 -2，则f（x）<0的解集是（）A. （-1，0）________B. （0，1）________C. （-1，1）________D. （-∞，-1）（1，+∞）9. 某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。
以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（）A. 不亏不盈________B. 盈利372元C. 亏损140元________D. 盈利140元10. 设函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（）A. B.C. D.二、填空题11. = _______ 。
12. 已知函数为奇函数，若，则．13. 函数f（x）= 在区间（-∞，-1]上是增函数，则实数a的取值范围为_____ 。
北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷
北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞11.函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞ 12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中： ① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分） 已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， .. 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． .................... 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； 7分若B ≠∅，则不满足A B =∅． ............... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ..... 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ......... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， .......... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ... 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数． （Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明． 解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = .................... 3分 因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x+(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．............................. 5分 （Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ............... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ............. 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ............................ 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N............ 5分 （Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； ........... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元．10分 Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数121()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内 19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ）A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)- C ．()f x 在定义域上是增函数 D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象 如图所示，则实数a 的可能值为（A. 32B. 43C. 75D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[1,)+∞ 22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可． 三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”. （Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ..... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ........................ 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． ....................... 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， ........... 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .. 14分。
北京市清华大学附属中学2018-2019学年高一10月月考数学试题Word版含解析
高一第一学期10月检测数学一、选择题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集U＝Z，集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，3，4｝，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求A补集，再根据交集定义求结果.【详解】因为，所以，选 C.【点睛】本题考查集合的补集与交集，考查基本求解能力.2.下列哪组中的两个函数是同一函数A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】B【解析】【分析】先求函数定义域，再化简函数解析式，最后比较是否相同确定结果.【详解】定义域为R定义域为，所以不是同一函数，B.，定义域为R，定义域为R，所以是同一函数，C.,所以不是同一函数，D.,所以不是同一函数，综上选 B.【点睛】本题考查函数概念与定义域，考查基本判断与分析求解能力.3.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，即得函数值域.【详解】因为对称轴为，所以当时取最小值-1，当时取最大值3，因此值域为，选A.【点睛】本题考查二次函数值域，考查基本求解能力.4.偶函数在区间上单调递减，则由A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据偶函数性质将自变量转化到区间[0,4]，再根据单调性确定大小关系.【详解】因为偶函数，所以，因为，且在区间上单调递减，，所以，选A.【点睛】利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性、对称性、周期性转化为单调区间上函数值，然后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.5.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对称轴与定义区间位置关系列不等式，解得结果.【详解】因为函数在上单调递增，所以，选C.【点睛】二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．6.已知函数，函数.若函数恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】转化研究交点个数，先讨论a=0，再讨论二次函数，结合图象确定有两个交点的条件，解不等式得结果.【详解】当时，与仅有一个交点，当时，由得，又当时与仅有一个交点，所以当时，与有两个交点，综上实数a的取值范围是，选 D.【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题共3小题，每小题5分，共15分。
2018北京清华附中高一(上)期中数学
2018北京清华附中高一（上）期中数 学一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集，R U =集合{}{}，＜，＞1|0|x x B x x A ==则集合()=B A C U A.()0，∞- B.(]0，∞- C.()∞+，1 D.[)∞+，12.设命题，＜，1:2x R x p ∈∃则p ⌝为A.12＜，x R x ∈∀ B.12≥∈∃x R x ， C.12≥∈∀x R x ， D.12=∈∃x R x ， 3.下列函数中,既是奇函数又在R 单调递减的是() A.xy 1= B.x e y -= C.x y ln = D.x x y -= 4.已知，，，2log 2log 3log 5.032===c b a 那么A.c b a ＜＜B.b c a ＜＜C.a c b ＜＜D.b a c ＜＜5.“b a ＞”是“b a ＞“的(A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()x x x f 2log 12+-=的零点所在的一个区间是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛4181， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， D.()21， 7.要得到()()x x g 2log 2=的图像,只需将函数()x x f 2log =的图像A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位8.函数()0110＜＜，＜＜b a a y b x -=+的图像为()A B C D二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.函数()xx y -+-=211ln 的定义域是__________. 10.已知，，a x a ==lg 24则=x ________.11.若()x f 为R 上的奇函数,当0＜x 时,()()，x x f -=2log 2则()()=+20f f _______.12.已知函数()x f 对于任意R x ∈满足f ()()，x f x f =-且当0≥x 时，()，12+-=ax x x f 若()x f 恰有4个零点,则实数a 的取值范围是_________.13.已知函数()，＞，，⎩⎨⎧≤+=1log 112x x x x x f 若()()，＞1+x f x f 则x 的取值范围是_________. 14.函数()[][]x x x f 33-=的值域是________.(注:其中[]x 表示不超过x 的最大整数)三、解答题(共6小题,19、20题每题14分，其余每题13分,共80分)15.已知集合{}{}.056|012|22＜，+-=≤+-=x x x B ax x x A(1)若，8=a 求；B A(2)若集合B A 中至少存在一个整数,求实数a 的取值范围。
2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为，，所以，，故选D.【考点】1.集合间的基本关系；2.集合的交集运算2．若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则关于实数a的下列说法中正确的是A ．1a =-或3B ．1a =-C ．3a >或1a <-D ．13a -<<【答案】B【解析】若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则2230a a --=.解得1a =-或3.当1a =-时，()41f x x =-+，满足题意；当3a =时，()1f x =，值域为{1}，不满足题意.故选B.3．下列函数中，在区间上是增函数的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】已知函数为上的增函数，，为R 上的减函数；在和上单调递减.故选A.4．给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①函数的定义域为R ,则,则函数f (x )是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称,则函数f (x )为非奇非偶函数；③函数的定义域为R ,f (0)=0+1=1≠0,则函数f (x )为非奇非偶函数；④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f (x )是奇函数，故选B.5．函数在R 上为增函数，且，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.故选C.6．函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】显然函数2y ax bx =+过原点，故排除A,二次函数函数的零点为0x =和b x a =-，一次函数的零点为b x a=-.两函数图象在x 轴上有一个公共点，故排除B,C.D.由一次函数图象可得a ＜0,b>0,函数函数开口向下，零点0ba->,此选项正确.故选D.点睛：二次函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a≠0)图象与系数的关系(1)a 决定开口方向及开口大小,当a ＞0时,开口向上;当a ＜0时,开口向下;(2)c 决定二次函数与y 轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y 轴有且只有一个交点(0,c).①当c=0时,抛物线经过原点;②当c ＞0时,抛物线与y 轴交于正半轴;③当c ＜0时,抛物线与y 轴交于负半轴.2、一次函数y=kx+b 图象跨越的象限:k ＞0,b ＞0,则函数经过一、二、三象限;k ＞0,b ＜0,函数经过一、三、四象限;k ＜0,b ＞0时,函数经过一、二、四象限;k ＜0,b ＜0时,函数经过二、三、四象限.7．函数()f x =）A ．[1,3)-B ．[1,3]-C ．(1,3)-D ．(,1][3,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】试题分析：由题意，和2230x x -++≥，解得13x -≤≤，所以函数()f x 的定义域为[1,3]-，故选B．【考点】函数的定义域．8．是区间上的偶函数并且在区间上是减函数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二者无法比较【答案】A【解析】由函数为偶函数可知，再利用函数的单调性比较大小即可.【详解】因为是区间上的偶函数，所以，又在区间上是减函数，所以,即.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.9．设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】借助于指数函数函数的单调性可得，再分别借助于和的单调性比较大小即可.【详解】由于函数为减函数，由，可知.所以有.由于函数为减函数，且，所以；由于函数为增函数，且，所以.综上有：.故选C.【点睛】本题主要考查了比较大小，利用到了指数函数和幂函数的单调性，属于常考题型.二、填空题10．已知，则＝___________。
2019-2020学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A＝{x|x2>1}，a∈A，则a的值可以为（）A.−2B.1C.0D.−1【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】x2>1，解得：x>1，或x<−1．集合A＝{x|x2>1}＝{x|x>1, 或x<−1}，a∈A，则a的值可以为−2．2. 已知命题p:∃x∈Q，x2−3＝0，则￢p为（）A.∃x∈Q，x2−3≠0B.∃x∉Q，x2−3＝0C.∀x∈Q，x2−3≠0D.∀x∉Q，x2−3＝0【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈Q，x2−3≠0，3. 函数y＝x2(−2≤x≤3)的值域为（）A.[4, 9]B.[0, 9]C.[0, 4]D.[0, +∞)【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】容易求出y＝x2在[−2, 3]上的最小值和最大值，从而得出该函数的值域．【解答】∵−2≤x≤3，∴x＝0时，y＝x2取最小值0；x＝3时，y＝x2取最大值9，∴y＝x2(−2≤x≤3)的值域为[0, 9]．4. 已知集合A＝[1, 2]，B＝[m, +∞)，若A⊆B，则实数m的取值范围为（）D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合A＝[1, 2]，B＝[m, +∞)，A⊆B，能求出实数m的取值范围．【解答】∵集合A＝[1, 2]，B＝[m, +∞)，A⊆B，∴m≤1，∴实数m的取值范围是(−∞, 1]．5. 已知a<b<0，则下列不等式正确的是（）A.2a>a+bB.a+b>bC.a2>abD.b2>ab【答案】C【考点】不等式的概念【解析】根据a<b<0，对a，b取特殊值排除错误选项即可．【解答】由a<b<0，取a＝−2，b＝−1，可排除A，B，D．<1”的( )6. “x>1”是“1xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】<1”成立，解：当“x>1”时“1x<1”，但“x>1”不成立，当x<0时，满足“1x<1”的充分不必要条件.故“x>1”是“1x故选A., a, b∈A, a>b}，则集合T中元素的个7. 已知集合A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，T＝{x|x=ba数为（）A.9B.10C.11D.12【考点】元素与集合关系的判断【解析】对a，b分类讨论，利用集合的元素特点即可得出．【解答】a＝1不适合题意，舍去．a＝2时，b＝1，可得：ba =12．a＝3时，b＝1，2，可得：ba =13，23．a＝4时，b＝1，2，3，可得：ba =14，12，34．a＝5时，b＝1，2，3，4，可得：ba =15，25，35，45．a＝6时，b＝1，2，3，4，5，可得：ba =16，13，12，23，56．可得：T＝{x|x=ba , a, b∈A, a>b}＝{12, 13, 23, 14, 34, 15, 25, 35, 45, 16, 56}．∴集合T中元素的个数为11．8. 若函数f(x)的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f(x)满足性质ψ，有下列四个函数①f(x)=1x ，x∈(0, 1)；②g(x)=√x；③ℎ(x)＝x2(x≤−1)；④k(x)=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A.①②③B.①③C.③④D.①②【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】本题属于新定义题，对每一个函数按照定义要求化简，判断即可．【解答】①|1x1−1x2x1−x2|=|1x1x2|≥1(x1,x2∈(0,1))，故①正确；②|√x1−√x2x1−x2|=√x+√x，当x1>4，x2>4时，√x1+√x2>4，√x+√x<14，故②不正确；③|x12−x22x1−x2|=|x1+x2|，当x1≤−1，x2≤−1时，|x1+x2|≥2，故③正确；④|11+x12−11+x22x1−x2|=|x1+x2(1+x12)(1+x22)|≤|x11+x12|+|x21+x22|，因为|x1+1x1|≥2，所以|x11+x12|≤12，同理|x21+x22|≤12，所以|x11+x12|+|x21+x22|≤1，故④不正确，已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a−c|＝|b−c|＝|d−b|＝1，则|a−d|＝________．【答案】3【考点】进行简单的合情推理【解析】根据已知条件求出a，b，c，d之间的关系，即可求出结论．【解答】∵|a−c|＝|b−c|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴a−c+b−c＝0即a+b−2c＝0．①∵|b−c|＝|d−b|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴b−c＝d−b即2b−c−d＝0．②①②相加可得：a+3b−3c−d＝0．即a−d＝3(c−b)，又因为|a−c|＝|b−c|＝|d−b|＝1，则|a−d|＝3|b−c|＝3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−4x+1，则f(0)+ f(1)＝________．【答案】−2【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性的性质利用代入法进行求解即可．【解答】∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−4x+1，则f(0)＝0，f(1)＝1−4+1＝−2，则f(0)+f(1)＝0−2＝−2，故答案为：−2若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)＝f(x)−2，f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝−2x+2【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】先设f(x)＝kx+b，k≠0，然后根据f(x+1)＝f(x)−2，及f(1)＝0，代入后根据对应系数相对可求k，b，即可求解．【解答】设f(x)＝kx+b，k≠0，∵f(x+1)＝f(x)−2，∴k(x+1)+b＝kx+b−2，即k＝−2，∵f(x)＝−2x+b的零点为1，即f(1)＝b−2＝0，故答案为：f(x)＝−2x +2．某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=），则当Q ＝________，f(Q)取得最小值，这个最小值为________． 【答案】 100,60 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】利用已知条件求出a ，然后得到该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=），利用基本不等式求解最小值即可． 【解答】某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000．可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f(Q)=3Q 10+3000Q≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q10=3000Q，即Q ＝100时，f(Q)取得最小值，最小值为60．设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f(x)＝x 2+ax +b 满足f(a)＝f(b)，则f(2)＝________． 【答案】 4【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】求出函数的对称轴，可得b ＝−2a ，代值计算即可． 【解答】二次函数f(x)＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f(a)＝f(b)， ∴ a +b ＝2⋅(a2)，∴ b ＝−2a∴ f(2)＝4+2a +b ＝4，函数y ＝f(x)的定义域为[−2.1, 2]，其图象如图所示，且f(−2.1)＝−0.96．（1）若函数y ＝f(x)−k 恰有两个不同的零点，则k ＝________．（2）已知函数g(x)={2x +1,x ≤0x 3+2x −16,x >0 ，y ＝g[f(x)]有________个不同的零点． 【答案】 4或0 4【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】本题（1）利用数形结合思想，通过f(x)的图象求出k 的值．（2）利用数形结合思想及分段函数求值，结合f(x)的图象求解． 【解答】∵ y ＝f(x)−k 恰有两个不同的零点，∴ y ＝f(x)和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f(x)的图象如图： ∴ k ＝4或k ＝0．∵ g(x)={2x +1,x ≤0x 3+2x −16,x >0 ，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12； 此时f(x)=−12，由图可知有一个解；当x >0时，g(x)＝x 3+2x −16单调递增， ∵ g(2)＝−4，g(3)＝17，∴ g(x)在(2, 3)有一个零点x 0，即f(x)＝x 0∈(2, 3) 由图可知有三个解， ∴ 共有四个解． 故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）解下列关于x的不等式：（1）x2−2x−8≤0；（2）x2+4x+5>0；（3）x2≤ax．【答案】由x2−2x−8≤0，得(x−4)(x+2)≤0，所以−2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|−2≤x≤4}；因为x2+4x+5＝(x+2)2+1≥1，所以不等式x2+4x+5>0的解集为R；由x2≤ax，得x2−ax＝x(x−a)≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a>0时，0≤x≤a；当a<0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a>0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a<0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．【考点】一元二次不等式的应用【解析】（1）根据x2−2x−8≤0，得(x−4)(x+2)≤0，进一步得到不等式的解集；（2）由x2+4x+5＝(x+2)2+1≥1，可知不等式x2+4x+5>0的解集为R；（3）x2≤ax，得x2−ax＝x(x−a)≤0，然后分a＝0，a>0和a<0三种情况解一元二次不等式即可．【解答】由x2−2x−8≤0，得(x−4)(x+2)≤0，所以−2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|−2≤x≤4}；因为x2+4x+5＝(x+2)2+1≥1，所以不等式x2+4x+5>0的解集为R；由x2≤ax，得x2−ax＝x(x−a)≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a>0时，0≤x≤a；当a<0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a>0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a<0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．已知集合A＝{x|−1≤x≤1}，B＝{x|2x≥a}，(Ⅰ)当a＝0时，求A∩B；(Ⅱ)若A∪B＝B，求实数a的取值范围；(Ⅲ)记集合C＝A∩B，若C中恰好有两个元素为整数，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|−1≤x≤1}，∴A∩B＝[0, 1]；（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B，且B={x|x≥a}，2∴a≤−1，∴a≤−2，2(Ⅲ)∵ A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴ −1<a2≤0，解得−2<a ≤0，∴ 实数a 的取值范围为(−2, 0]． 【考点】集合关系中的参数取值问题 交集及其运算 【解析】(Ⅰ)a ＝0时，可求出集合B ，然后进行交集的运算即可；(Ⅱ)根据A ∪B ＝B 即可得出A ⊆B ，从而可得出a2≤−1，解出a 的范围即可； (Ⅲ)根据A ∩B 中恰好有两个元素为整数即可得出−1<a2≤0，解出a 的范围即可． 【解答】（1）a ＝0时，B ＝{x|x ≥0}，且A ＝{x|−1≤x ≤1}， ∴ A ∩B ＝[0, 1]； （2）∵ A ∪B ＝B ， ∴ A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴ a2≤−1，∴ a ≤−2，∴ 实数a 的取值范围为(−∞, −2]； (Ⅲ)∵ A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴ −1<a2≤0，解得−2<a ≤0，∴ 实数a 的取值范围为(−2, 0]．已知函数f(x)＝ax 2−2ax +1(a ≠0)．(Ⅰ)比较f(1−√2)与f(1+√2)的大小，并说明理由；(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)若函数f(x)在[−1, 2]上的最大值为4，求a 的值． 【答案】（1）根据题意，函数f(x)＝ax 2−2ax +1＝a(x −1)2+1−a ， 则f(1−√2)＝1+a ，f(1+√2)＝1+a ， 故f(1−√2)＝f(1+√2)；（2）若函数f(x)的图象恒在x 轴的上方，必有{a >04a 2<4a， 解可得：0<a <1，即a 的取值范围为(0, 1)；(Ⅲ)根据题意，函数f(x)＝ax 2−2ax +1＝a(x −1)2+1−a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a >0时，f(x)在[−1, 1]上递减，在[1, 2]上递增，其最大值为f(−1)＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a <0时，f(x)在[−1, 1]上递增，在[1, 2]上递减，其最大值为f(1)＝1−a ， 则1−a ＝4，解可得a ＝−3； 综合可得：a ＝1或−3．函数的最值及其几何意义 【解析】(Ⅰ)根据题意，由函数的解析式求出f(1−√2)与f(1+√2)的值，比较即可得答案； (Ⅱ)根据题意，由二次函数的性质可得{a >04a 2<4a ，解可得a 的取值范围，即可得答案；(Ⅲ)根据题意，函数f(x)＝ax 2−2ax +1＝a(x −1)2+1−a ，其对称轴为x ＝1，结合二次函数的性质分2种情况讨论，求出f(x)在区间[1, 2]上的最大值，即可得关于a 的方程，解可得a 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，函数f(x)＝ax 2−2ax +1＝a(x −1)2+1−a ， 则f(1−√2)＝1+a ，f(1+√2)＝1+a ， 故f(1−√2)＝f(1+√2)；（2）若函数f(x)的图象恒在x 轴的上方，必有{a >04a 2<4a， 解可得：0<a <1，即a 的取值范围为(0, 1)；(Ⅲ)根据题意，函数f(x)＝ax 2−2ax +1＝a(x −1)2+1−a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a >0时，f(x)在[−1, 1]上递减，在[1, 2]上递增，其最大值为f(−1)＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a <0时，f(x)在[−1, 1]上递增，在[1, 2]上递减，其最大值为f(1)＝1−a ， 则1−a ＝4，解可得a ＝−3； 综合可得：a ＝1或−3．已知集合M ＝(−1, 1)，对于x ，y ∈M ，记φ(x, y)=x+y1+xy ． (Ⅰ)求φ(0, 12)的值；(Ⅱ)如果0<x <1，求φ(x, 1−x)的最小值； (Ⅲ)求证：∀x ，y ∈M ，φ(x, y)∈M ． 【答案】 （1）φ(0,12)=0+121+0×12=12；(II)φ(x,1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈(0, 1)时，−x 2+x +1∈(1,54]，所以φ(x,1−x)∈[45,1)，即最小值为45；(III)证明：因为x ，y ∈(−1, 1)，所以(x −1)(y −1)>0，xy −x −y +1>0，xy +1>x +y ，又1+xy >0，所以x+y1+xy <1；同理：(x +1)(y +1)>0，xy +x +y +1>0，xy +1>−(x +y)，又1+xy >0，所以x+y1+xy >−1，综上，x+y1+xy ∈M ． 即有∀x ，y ∈M ，φ(x, y)∈M ．【考点】函数的最值及其几何意义（I ）按规则代入即可；(II)按规则化简后发现是一元二次函数与反比例函数的复合，先求出内函数一元二次函数函数的值域，再求出外函数反比例函数的值域，即可；(III)本质上是证明不等式−1<x+y1+xy <1，也就是需证明−1−xy <x +y <1+xy ，进一步需证明xy +x +y +1>0，和xy −x −x +1>0，而它们分别是(x +1)(y +1)>0，和(x −1)(y −1)>0，而这些可由x ，y ∈M 得到，最后按照综合法写出解答过程即可． 【解答】 （1）φ(0,12)=0+121+0×12=12；(II)φ(x,1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈(0, 1)时，−x 2+x +1∈(1,54]，所以φ(x,1−x)∈[45,1)，即最小值为45；(III)证明：因为x ，y ∈(−1, 1)，所以(x −1)(y −1)>0，xy −x −y +1>0，xy +1>x +y ，又1+xy >0，所以x+y1+xy <1；同理：(x +1)(y +1)>0，xy +x +y +1>0，xy +1>−(x +y)，又1+xy >0，所以x+y1+xy >−1，综上，x+y1+xy ∈M ． 即有∀x ，y ∈M ，φ(x, y)∈M ．已知函数f(x)满足：函数y =f(x)x在(0, 3]上单调递增．(Ⅰ)比较3f(2)与2f(3)的大小，并说明理由；(Ⅱ)写出能说明“函数y ＝f(x)在(0, 3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； (Ⅲ)若函数的解析式为f(x)＝ax 3+(1−a)x 2，求a 的取值范围． 【答案】(I)3f(2)<2f(3)， ∵ y =f(x)x在(0, 3]上单调递增， ∴f(2)2<f(3)3，∴ 3f(2)<2f(3)；(II)f(x)＝−1或−x 2−9 (III)方法一：∵ y =f(x)x=ax 2+(1−a)x 在(0, 3]上单调递增，∴ y′＝2ax +(1−a)≥0在(0, 3]上恒成立， 2ax ≥a −1， 当a >0时，因为x ≥a−12a在(0, 3]上单调递增，所以0≥a−1a，解得a ∈(0, 1]；当a <0时，x ≤a−12a在(0, 3]上单调递增，a−11当a ＝0时，显然符合题意，综上：a ∈[−15, 1]．方法二：当a >0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈(0, 1]； 当a <0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15,0)；当a ＝0时，显然符合题意，综上，a ∈[−15,1]．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】（I ）是函数单调性的直接应用；(II)利用对勾函数构造；(III)函数的单调性一般使用导数，特殊的函数有特殊的对策，所以也可以用数形结合法对化简后的“一元二次”函数直接讨论【解答】(I)3f(2)<2f(3)，∵ y =f(x)x 在(0, 3]上单调递增， ∴ f(2)2<f(3)3，∴ 3f(2)<2f(3)； (II)f(x)＝−1或−x 2−9(III)方法一：∵ y =f(x)x =ax 2+(1−a)x 在(0, 3]上单调递增，∴ y′＝2ax +(1−a)≥0在(0, 3]上恒成立，2ax ≥a −1，当a >0时，因为x ≥a−12a 在(0, 3]上单调递增， 所以0≥a−1a ，解得a ∈(0, 1]；当a <0时，x ≤a−12a 在(0, 3]上单调递增， 所以3≤a−12a，解得a ∈[−15,0)； 当a ＝0时，显然符合题意，综上：a ∈[−15, 1]．方法二：当a >0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈(0, 1]； 当a <0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15,0)；当a ＝0时，显然符合题意，综上，a ∈[−15,1]．设A(x A, y A)，B(x B, y B)为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，x B，y B均为整数．|x B−x A|+|y B−y A|＝3，则称点B为点A的“相关点”．点P1是坐标原点O的“相关点”，点P2是点P1的“相关点”，点P3是P2的“相关点”，…，依此类推，点P2019是点P2018的“相关点”．注：点A(x1, y1)，B(x2, y2)间的距离|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2．(Ⅰ)直接写出点O与点P1间的距离所有可能值；(Ⅱ)求点O与点P3间的距离最大值；(Ⅲ)求点O与点P2019间的距离最小值．【答案】（1）点O与点P1间的距离所有可能值：3或√5；（2）因为点O(0, 0)，所以由第一问可知，当点P1(3, 0)，点P2(6, 0)，点P3(9, 0)时点O与点P3间的距离最大，∴点O与点P3间的距离最大值为9．(Ⅲ)因为“相关点”的关系是相互的，所以当n＝2k，(k∈N∗)时，点O与点P n间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为(0, 0)，然后经过三次变换：P2016(0, 0)−−P2017(2, 1)−−P2018(1, 3)−−P2019(0, 1)，所以点O与点P2019间的距离最小值为1．【考点】进行简单的合情推理【解析】(Ⅰ)根据题意写出点P1的所有坐标，即可算出距离所有可能值，(Ⅱ)由第一问分析出两个“相关点”什么时候距离最大，即可求出点O与点P3间的距离最大值，(Ⅲ)因为“相关点”的关系是相互的，所以当n为偶数时，P n回到最初点，所以点P2016坐标为(0, 0)，然后再经过三次变换得到P2019(0, 1)，此时点O与点P2019间的距离最小．【解答】（1）点O与点P1间的距离所有可能值：3或√5；（2）因为点O(0, 0)，所以由第一问可知，当点P1(3, 0)，点P2(6, 0)，点P3(9, 0)时点O与点P3间的距离最大，∴点O与点P3间的距离最大值为9．(Ⅲ)因为“相关点”的关系是相互的，所以当n＝2k，(k∈N∗)时，点O与点P n间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为(0, 0)，然后经过三次变换：P2016(0, 0)−−P2017(2, 1)−−P2018(1, 3)−−P2019(0, 1)，所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。
2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 A={x |x 2> 1},a ∈A , 则 a 的值可以为（ ） A ．-2 B ．1 C ．0 D ．1【答案】A【解析】先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选：A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 2．已知命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢ p 为（ ） A ．∃x ∈ Q ,x 2- 3≠0 B ．∃x ∉Q ,x 2- 3 = 0 C ．∀x ∈ Q , x 2- 3 ≠ 0 D ．∀x ∉ Q , x 2- 3 = 0【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题，等于的否定为不等于，逐一判断即可得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢p 为：∀x ∈ Q , x 2-3 ≠ 0， 故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题与特称命题，属基础题. 3．函数 2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为（ ） A ．[4, 9] B ．[0, 9]C ．[0, 4]D ．[0, +∞)【答案】B【解析】由函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数，再求值域即可. 【详解】解：因为函数2(),(23)f x x x =-≤≤，则函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数， 又(2)4f -=，(3)9f =，则(3)(2)f f >-， 又(0)0f =，即函数2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为[]0,9， 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的值域问题，重点考查了函数的单调性，属基础题. 4．已知集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，若 A ⊆B ，则实数 m 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[1,+∞)C ．(-∞,2]D ．(-∞,1]【答案】D【解析】由A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £，得解. 【详解】解：因为集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，又 A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £且2m ≤，即1m £ 即实数 m 的取值范围为(-∞,1]， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 5．已知 a <b <0，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a >a + b B ．a +b >b C ．a 2>ab D ．b 2>ab【答案】C【解析】由已知条件a <b <0，再结合作差法判断大小关系，逐一检验即可得解. 【详解】解：由已知有a <b <0，对于选项A ，2()0a a b a b -+=-<，即2()a a b <+，即A 错误；对于选项B ，()0a b b a +-=<，即a b b +<，即B 错误； 对于选项C ，2()0a ab a a b -=->，即2a ab >，即C 正确； 对于选项D ，2()0b ab b b a -=-<，即2b ab <，即D 错误， 即不等式正确的是选项C ， 故选：C . 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小关系，重点考查了运算能力，属基础题. 6．“ x >1”是“1x<1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解.【详解】 解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题. 7．已知集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }，则集合T 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】先阅读题意，再写出集合T 即可. 【详解】解：由集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．若函数 f ( x )的定义域为 D ，对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，称函数 f ( x ) 满足性质ψ，有下列四个函数① f ( x ) =1x, x ∈ (0,1) ；② g ( x )③ h ( x ) = x 2(x ≤-1); ④ k (x ) =211x +,其中满足性质ψ的所有函数的序号为（ ） A ．①②③ B ．①③C ．③④D ．①②【答案】B【解析】先阅读理解题意，再逐一检验函数是否满足对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，即可得解.【详解】解：对于①，f ( x ) =1x，x ∈ (0,1)，则121212()()1f x f x x x x x -=-，又12,(0,1)x x ∈，则12(0,1)x x ∈，即1211x x >，即1212()()1f x f x x x -≥-，故①符合题意；对于②，g ( x )1212()()f x f x x x -=-121,4x x ==，有1212()()113f x f x x x -=<-，故②不合题意；对于③，h ( x ) = x 2(x ≤-1)，则121212()()f x f x x x x x -=+-，又(]12,x x ∈-∞,-1，则121x x +>，则1212()()1f x f x x x -≥-，故③符合题意；对于④，不妨取120,1x x ==，则121211()()121012f x f x x x --==<--，故④不合题意， 综上可得满足性质ψ的所有函数的序号为①③，【点睛】本题考查了对函数新定义性质的理解，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题9．已知a,b,c,d为互不相等的实数，若|a-c|=| b-c |=| d-b|=1,则|a-d|=_____【答案】3【解析】由|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，去绝对值符号可得a+b﹣2c ＝0，同理可得2b﹣c﹣d＝0，联立即可得a﹣d＝3（c﹣b），再结合题意即可得解.【详解】解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴a﹣c+b﹣c＝0即a+b﹣2c＝0．①∵|b﹣c|＝|d﹣b|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴b﹣c＝d﹣b即2b﹣c﹣d＝0．②①②相加可得：a+3b﹣3c﹣d＝0．即a﹣d＝3（c﹣b），又因为|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝3|b﹣c|＝3，故答案为：3.【点睛】本题考查了含绝对值符号的等式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2- 4x+1，则f(0)＋f(1)=_____ 【答案】-2【解析】由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，再结合当x>0时f(x)=x2- 4x+1，可得f（1）＝﹣2，然后求解即可.【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）＝0，f（1）＝1﹣4+1＝﹣2，则f（0）+f（1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：-2.【点睛】本题考查了利用函数解析式求值问题，重点考查了奇函数的性质，属基础题.11．若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)= f(x)-2,f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为【答案】f（x）＝﹣2x+2【解析】由待定系数法求解析式，设f（x）＝kx+b，k≠0，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：设f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零点为1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2，故答案为：f（x）＝﹣2x+2.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了利用待定系数法求解析式，属基础题. 12．某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,其中a为常数,且当年产量为200 时，总成本为15000. 记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=总成本年产量），则当Q =________., f(Q) 取得最小值，这个最小值为________.【答案】100 60【解析】先阅读题意，再列出该产品的平均成本f(Q)与年产量Q之间的函数关系，再结合重要不等式求解即可，一定要注意取等的条件.【详解】解：某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2+3000，其中a为常数，且当年产量为200时，总成本为15000．可得15000＝40000a+3000，解得a3 10 =，所以C310=Q2+3000，该产品的平均成本为f（Q）3300010QQ=+≥=60．当且仅当3300010QQ=，解得Q＝100，即Q＝100时，f（Q）取得最小值，最小值为60．故答案为：(1). 100 (2). 60 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了重要不等式，属中档题. 13．设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得即2a+b=0，再求f(2)的值. 【详解】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：4 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．函数 y =f (x ) 的定义域为[-2.1,2]，其图像如下图所示，且 f (-2.1) =-0.96（1）若函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点，则 k =_____ （2）已知函数 g ( x ) =321,0216,0x x x x x +≤⎧⎨+->⎩， y =g [f (x )] 有_____个不同的零点【答案】4或0 4【解析】（1）函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点等价于y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有两个不同的交点，再结合图像即可得解；（2）先由函数g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞，求得函数g （x ）的零点0x ，再求解0()f x x =的解的个数即可.解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点．又y ＝f （x ）的图象如图：由图可得：当y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点时， k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞， 当x ≤0时，2x +1＝0，得x 12=-； 此时f （x ）12=-，由图可知有一个解； 当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增，∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解， ∴共有四个解．故答案为：(1). 4或0(2). 4【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题15．解下列关于 x 的不等式：（1） x 2-2x - 8≤0； （2） x 2+ 4x +5>0 ； （3） x 2≤ax【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤4}（3）当a ＝0时，不等式的解集为{0}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}【解析】（1）先将x 2﹣2x ﹣8≤0因式分解得（x ﹣4）（x +2）≤0，再求解集即可； （2）将x 2+4x +5用配方法可得x 2+4x +5＝（x +2）2+1，再解不等式即可；（3）分类讨论当a ＝0时；当a ＞0时；当a ＜0时，再求解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由x 2﹣2x ﹣8≤0，得（x ﹣4）（x +2）≤0，所以﹣2≤x ≤4，所以不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤4}；（2）因为x 2+4x +5＝（x +2）2+1≥1， 所以不等式x 2+4x +5＞0的解集为R ； （3）由x 2≤ax ，得x 2﹣ax ＝x （x ﹣a ）≤0，所以当a ＝0时，x ＝0；当a ＞0时，0≤x ≤a ；当a ＜0时，a ≤x ≤0， 所以当a ＝0时，不等式的解集为{0}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}． 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，主要考查了含参不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16．已知集合 A = {x|-1 ≤x ≤1} ， B = {x|2x ≥a } ， （1）当 a =0 时，求A ⋂B ;（2）若 A ⋃B =B ，求实数 a 的取值范围；（3）记集合C =A ⋂B ，若 C 中恰好有两个元素为整数，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) A ∩B ＝[0，1]；(2) （﹣∞，﹣2]；(3) （﹣2，0]．【解析】（1）由a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，再求交集即可； （2）由集合的运算A ∪B ＝B ，可得集合间的包含关系A ⊆B ，再列不等式求解即可; （3）由集合A 中有三个整数-1，0，1,再结合{|}2aB x x =≥求解即可. 【详解】解：（1）当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[0，1]； （2）∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，且{|}2a B x x =≥， ∴12a≤-，∴a ≤﹣2， ∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （3）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴102a-≤＜，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]． 【点睛】本题考查了集合的运算及集合间的包含关系，重点考查了集合思想，属基础题. 17．已知函数 f ( x ) =ax 2-2ax +1(a ≠ 0)（1）比较 f （1f （1 （2）若函数 f ( x ) 的图像恒在 x 轴的上方，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 f ( x ) 在[-1,2]上的最大值为 4，求 a 的值.【答案】(1) f （1）＝f （1）；理由见解析(2)（0，1）；(3) a ＝1或﹣3． 【解析】（1）将1-+（2）由二次函数的图像可得函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，运算即可得解；（3）分别讨论当a ＞0时，当a ＜0时，利用函数在[-1,2]的单调性求出函数的最大值，再结合题意求参数的值即可 【详解】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，则f （1）＝1+a ，f （1+1+a ，故f （1）＝f （1+； （2）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（3）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1，分2种情况讨论：①当a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ，则有1+3a ＝4，解可得：a ＝1，②当a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3；综合可得：a ＝1或﹣3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18．已知集合 M =(-1,1)，对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++ （1）求ϕ(0, 12) 的值； （2）如果 0<x <1，求ϕ( x ,1-x ) 的最小值；（3）求证：∀x ,y ∈M ，ϕ( x ,y ) ∈M【答案】(1)1 2 (2)4 5； (3)证明见解析【解析】（1）先理解新定义的运算，再求值即可； （2）由新定义的运算，得出()2111x x x x ϕ-=-++，，再结合分式函数求最值即可得解；（3）利用新定义的运算求证即可.【详解】解：（1）因为对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++， 则101120122102ϕ+⎛⎫== ⎪⎝⎭+⨯，； （2）()()()2111111x x x x x x x x ϕ+--==+--++，，由于x ∈（0，1）时，21551()1244x x x ⎛⎤-++=--+∈ ⎥⎝⎦，，所以()4115x x ϕ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，，，即函数的最小值为45； （3）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以11x y xy++＜；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以11x y xy+-+＞，综上，1x y M xy+∈+． 即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．【点睛】本题考查了阅读能力，主要考查了对新定义的理解，重点考查了运算能力，属中档题. 19．已知函数 f ( x ) 满足：函数 y =()f x x在(0,3]上单调递增. （1）比较3f (2) 与 2f (3) 的大小，并说明理由；（2）写出能说明“函数 y =f ( x ) 在（ 0, 3]单调递增”这一结论是错误的一个函数；（3）若函数的解析式为 f ( x ) =ax 3+ (1-a )x 2，求 a 的取值范围.【答案】(1) 3f （2）＜2f （3），理由见解析；(2) f （x ）＝﹣1 (3)1 15a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【解析】（1）由()f x y x =在（0，3]上单调递增，则有()()2323f f ＜，得解；（2）由题意可得f （x ）＝﹣1满足要求；（3）y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增观察二次函数的开口,再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可.【详解】（1）3f （2）＜2f （3），理由如下：∵()f x y x =在（0，3]上单调递增，∴()()2323f f ＜，∴3f （2）＜2f （3）；（2）f （x ）＝﹣1；（3）∵y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增，当a ＞0时，对称轴10a x a -=≤时符合题意，解得a ∈（0，1]；当a ＜0时，对称轴132a x a -=≥时符合题意，解得105a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，115a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了分离变量最值法求参数的范围，属中档题. 20．设A (x A ,y A )， B (x B ,y B )为平面 直角坐标系上的两点，其中x A ,y A ,x B ,y B 均为整数3B A B A x x y y -+-= ，则称点 B 为点A 的“相关点”.点P 1是坐标原点 O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，······依次类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”.注：点A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)间的距离AB =（1）直接写出点 O 与点P 1间的距离所有可能值（2）求点 O 与点P 3间的距离最大值；（3）求点 O 与点P 2019间的距离最小值.【答案】(1) 3(2)9 (3)1【解析】（1）先阅读题意，再由题意直接写出可能值即可；（2）理解题意，结合（1）可得当点1P 为（3，0），点2P 为（6，0），点3P 为（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大；（3）“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，再按题意求解即可.【详解】解：（1）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3（2）因为点O （0，0），所以由（1）可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大，∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（3）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，此时点P 2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P 2016（0，0）﹣﹣P 2017（2，1）﹣﹣P 2018（1，3）﹣﹣P 2019（0，1），所以点O 与点P 2019间的距离最小值为1．【点睛】本题考查了对新定义的理解，重点考查了阅读能力，属中档题.。
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2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集，集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：B．求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，使得C. ，都有D. ，使得【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3. 下列函数中，既是奇函数又在R单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；对于B，，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又在R单调递减，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4. 已知，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，可得．故选：C．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5. “”是““的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．“”是““的充分不必要条件．故选：A．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．，，根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，故选：C．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 要得到的图象，只需将函数的图象A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选：A．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8. 函数，的图象为A. B.C.D.【答案】C【解析】解：，的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，的图象可看成把的图象在y轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，故选：C．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，即可得到的图象特征．本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10. 若为R上的奇函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：为R上的奇函数，则，即有，，当时，，，则．故答案为：．运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，函数是偶函数，，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即，或，解得，即实数a的取值范围，故答案为：由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12. 已知函数，若，则x的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，故函数在上单调递增，在上单调递增，由于，且，则有，由，可得，，不等式在成立，则的解集为．故答案为：．由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，，，由此求得x的范围．本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 函数的值域是______注：其中表示不超过x的最大整数【答案】【解析】解：根据高斯函数的性质，，那么：，则由，函数的值域为．故答案为根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；本题考查了表示不超过x的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14. 已知，，则______．【答案】【解析】解：，，即解得，，故答案为：根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15. 已知集合，．若，求；若集合中至少存在一个整数，求实数a的取值范围．【答案】解：时，集合，．．集合，．集合中至少存在一个整数，，或，解得．实数a的取值范围是．【解析】时，集合，，由此能求出．集合，由集合中至少存在一个整数，得，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知函数若，求的值；若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a的值．【答案】解：，可得，两边平方可得，即有；当时，在递增，可得，解得；当时，在递减，可得，解得．综上可得或．【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：讨论和，运用指数函数的单调性，可得a的方程，解方程即可得到所求值．本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．求a，b的值；若，在上为单调函数，求实数m的取值范围．【答案】解：由于函数，，对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，解得．当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．若，则由可得，，再由函数在上为单调函数，可得，或，解得，或，故m的范围为．【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18. 设函数是R上的增函数，对任意x，，都有求；求证：是奇函数；若，求实数x的取值范围．【答案】解：对任意x，，都有，可令，，可得，即；证明：由任意x，，都有，可令，可得，可得，由，可得，即有为奇函数；奇函数是R上的增函数，由，即，即有，解得．实数x的取值范围为．【解析】可令，，计算可得所求；可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；由奇函数是R上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运算能力，属于中档题．19. 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M．判断函数是否具有性质M，说明理由；若函数具有性质M，求实数a的取值范围；若函数具有性质M，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，由，可得，则函数具有性质M；函数具有性质M，可得，即，可得a的取值范围是；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点，由得，，解得或．同时需要考虑以下三种情况：由解得；由解得，不等式组无解；由解得，解得．综上所述，若函数具有性质M，实数m的取值范围是或或．【解析】解方程可得想x，可判断是否具有性质M；由题意可得，解方程可得，再由性质M即可得到所求范围；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20. 已知函数．当时，求函数在上的值域；若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，令，则原函数化为，，则，当时，．函数在上的值域为；由知，在区间上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得：．实数a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t的不等式组求解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。