八上第二章轴对称

第2章轴对称图形一、选择题1．下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．94．到三角形三边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条边的中线的交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则（）A．PQ≥4 B．PQ＞4 C．PQ≤4 D．PQ＜46．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80° B．20° C．80°或20°D．不能确定二、填空题7．在上学的路上，小刚从电瓶车的后视镜里看到一辆汽车，车顶字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这辆车车顶字牌上的字实际是．8．在△ABC中，∠A=80°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形．9．在Rt△ABC中，斜边上的中线长为5cm，则斜边长为．10．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．第10题图第12题图11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是．12．将以长方形纸片如图折叠，若∠1=140°，则∠2= ．三、解答题13．在河岸l的同侧有A、B两村，在河边修一水泵站P，使所用的水管最短，另修一码头Q，使Q 与A、B两村的距离相等，试画出P、Q所在的位置．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．16．如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF．17．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）判断△CMN的形状并说明理由．《第2章轴对称图形》（江苏省盐城市东台实验中学教育集团）参考答案与试题解析一、选择题1．下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．4．到三角形三边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条边的中线的交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点；到三角形三个顶点的距离都相等的点是三角形的三条边的垂直平分线的交点．即可求得答案．【解答】解：到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点．故选A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则（）A．PQ≥4 B．PQ＞4 C．PQ≤4 D．PQ＜4【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，再根据垂线段最短解答．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE=10，∵Q是OB上任一点，∴PQ≥PE，∴PQ≥4．故选A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观．6．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80° B．20° C．80°或20°D．不能确定【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．故选C．【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．二、填空题7．在上学的路上，小刚从电瓶车的后视镜里看到一辆汽车，车顶字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这辆车车顶字牌上的字实际是TAXI ．【考点】镜面对称．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：IXAT是经过镜子反射后的字母，则这车车顶上字牌上的字实际是TAXI．故答案为TAXI．【点评】本题主要考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．8．在△ABC中，∠A=80°，当∠B= 80°、50°、20°时，△ABC是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定．【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．【解答】解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．9．在Rt△ABC中，斜边上的中线长为5cm，则斜边长为10 ．【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】已知CD的长，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得AB的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD=5cm，∴AB=10cm．故答案为：10．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= 40°．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B===80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C===40°．【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是25°或65°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，故∠BAD=50°，所以∠B=∠C=25°因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．故答案为：25°或65°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．12．将以长方形纸片如图折叠，若∠1=140°，则∠2= 110°．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3=140°，∠4+∠2=180°，然后可得∠4的度数，进而可得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠1=∠3=140°，∠4+∠2=180°，根据折叠可得：∠4=3=70°，∴∠2=180°﹣70°=110°，故答案为：110°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．三、解答题13．在河岸l的同侧有A、B两村，在河边修一水泵站P，使所用的水管最短，另修一码头Q，使Q 与A、B两村的距离相等，试画出P、Q所在的位置．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】作出A点关于l的对称点A′，再连接A′B，交l于点P；再做作出线段AB的垂直平分线，垂直平分线与l的交点就是Q点．【解答】解：如图所示：，点P、Q即为所求．【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】计算题；几何图形问题．【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【点评】本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．16．如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接ME、MF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=ME=BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】证明：如图，连接MF、ME，∵MF、ME分别为Rt△FBC是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=BC，在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．17．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）判断△CMN的形状并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质，结合条件可证明△ACE≌△DCB，则可证得AE=BD；（2）利用（1）的结论，结合等边三角形的性质可证明△ACM≌△DCN，可证得MC=NC，则可判定△CMN为等边三角形．【解答】（1）证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；（2）解：△CMN为等边三角形，理由如下：∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC=NC，∴△MCN为等边三角形．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．18．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF一共5个等腰三角形，同时可证△BEO≌△CFO，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，所以△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证；（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，【解答】解：（1）图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE﹣CF，∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE﹣CF【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，比较综合，难度较大，关键灵活运用等腰三角形的性质．。