北京市昌平区2017届高三第二次统一练习(数学理)二模(含答案)word版
2017年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析
2017年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i2.(5分)设集合A＝{1,2,4},B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1},则B＝( )A.{1,－3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}3.(5分)在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔(古称浮屠),本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯？你算出的结果是( )A.6B.5C.4D.34.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π5.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最小值是( )A.－15B.－9C.1D.96.(5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种7.(5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的a＝－1,则输出的S＝( )A.2B.3C.4D.59.(5分)若双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.10.(5分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.11.(5分)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,则f(x)的极小值为( )A.－1B.－2e－3C.5e－3D.112.(5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•(＋)的最小值是( )A.－2B.－C.－D.－1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
2北京昌平2017二模答案
昌平区2017年初三年级第二次统一练习数学参考答案及评分标准2017. 5一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：6122+-⨯=…………………………………………………………4分=3 ．…………………………………………………………………5分18．解：()()202130xx x----⎧⎨⎩≤，①＞，②由①得：x≤2. ………………………………………………………………………1分由②得：2x – 2–x+ 3＞0.…………………………………………………………2分x＞- 1. ………………………………………………………………………3分∴原不等式组的解集为：- 1＜x≤2. …………………………………………………………4分∴原不等式组的整数解为0，1，2. ………………………………………………5分19．解：原式=2(3)(3)2(3)xxx-⋅+-……………………………………………………………2分 =292x-．……………………………………………………………………3分∵0x=，∴x=4分∴原式 3.=-…………………………………………………………5分20．证明：在△AEB和△DEC中，B C∵AEB DEC B C AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEB ≌△DEC . ……………………………………3分∴AE =DE . …………………………………………………………………………4分 ∴∠EAD ＝∠EDA ． …………………………………………………………………5分21．解：（1）由题意得：△=224(2)0k -->………………………………………………………………………2分解得： 3.k < …………………………………………………………………………3分（2）∵k 为大于1的整数，∴ 2.k =……………………………………………………………………………4分∴原方程为：220.x x +=解得：10x =，2 2.x =-…………………………………………………………5分22．解：设选择从新建高速公路行驶全程所需的时间为4x 小时. ………………………………1分由题意得：10022022.411x x -= ………………………………………………………………2分 解得：5.22x = ……………………………………………………………………………3分经检验522x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………………………4分∴104.11x =答：从新建高速公路行驶所需时间为1011小时. …………………………………………5分23．（1）证明：如图1，∵△OBC 为等边三角形，∴OC =OB ，∠COB =60° . ∵点E 是OC 的中点,∴EC =21OC =21OB . ……………………1分在△OAB 中，∠OAB =90°， ∵∠AOB =30°， ∴AB =21OB , ∠COA =90°. ∴ CE =AB ，∠COA +∠OAB =180°. ∴CE ∥AB .图2E图1OCECBOA∴四边形ABCE 是平行四边形. ……………………………………………2分（2）解：如图2，∵四边形ABCO 折叠，点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴△CEF ≌△AEF , ∴EC =EA . ∵OB =4,∴OC =BC =4. ………………………………3分 在△OAB 中，∠OAB =90°， ∵∠AOB =30°，∴OA= ……………………………………………………4分 在Rt △OAE 中，由（1）知：∠EOA =90°， 设OE =x ， ∵OE 2+OA 2=AE 2 , ∴x 2+(2=(4-x )2 , 解得，x =21. ∴OE =21.………………………………………………………………………………5分 24．解：（1）2019. ………………………………………………………………………… 1分（2）2019（1 + 2.53%）= 2070. ……………………………………………… 2分 （3）2017 — 2017年北京市常住人口总量及比上一年增速百分比统计表………………………………………………………………… 5分25．（1）证明：连接AD .∵ E 是弧BD 的中点，∴弧BE = 弧ED ， ∴∠1=∠2. ∴∠BAD = 2∠1.∵∠ACB = 2∠1,图2FE AOBC∴∠C=∠BAD. ……………………………………………………………1分∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴∠DAC+∠C =90°.∵∠C=∠BAD，∴∠DAC+∠BAD=90°.∴∠BAC=90°.即AB⊥AC.又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线. ……………………………………………………………2分（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，2 sin3ADBAB==，设AD=2m，则AB=3m，利用勾股定理求得BD∵BD=5，∴m∴AD=, AB=. …………………………………………………………3分∵∠1=∠2,∠ADB=90°，∴FG=FD. ……………………………………………………………4分设BF =x,则FG =FD =5- x.在Rt△BGF中，∠BGF=90°，2 sin3B=，∴523xx-=.解得，x=3.∴BF=3.……………………………………………5分26．解：（1）1．………………………………………………………1分（2）0＜sad A＜2．……………………………………………2分（3）如图2，过点B作BD⊥AC于点D．∴∠ADB=∠CDB=90°．A2P D BA(Q)BCE 图1P FD2F P D APD在Rt △ADB 中， tan A =34，∴设BD=3k ，则AD =4k ．∴ AB5k =． …………………………… 3分∵AB =AC ， ∴CD =k ．∴在Rt △CDB 中， 利用勾股定理得，BC． 在等腰△ABC 中，sad A=55BC ABk==． ……………………………… 4分（4）21. …………………………………………………………………………… 5分27．解：（1）∵直线y =kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分 解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y =kx +b 的表达式为： 1.y x =-+ …………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =. …………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤< ……………5分②40.m -≤≤ ………………………………………………………………………………7分28．解：（1）①如图1. ……………………………1分②∵等边△ABC ，∴∠B =∠C =∠DEF =60°，AB =BC =AC =2. ∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°. ∴∠2=∠3.∴△PBE ∽△ECQ .…………………………2分 ∴BP BE ECCQ=.∵点E 为BC 的中点， ∴BE =EC =1.∵BP 的长为x ，CQ 的长为y ， ∴11x y=.即1xy =. ………………………………………………………………3分自变量x 的取值范围是：122x ≤< . ……………………………………4分（2）如图3，答：N P '=ME . .............................................. .......................... 5分证明：连接PM ，PN ，PP ' .∵P ，M ，N 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴PN //BC ，PN =12BC ，PM //AC ，PM =12AC . ∴四边形PMCN 为平行四边形. ............................................... 6分∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠C =60°. ∴PM =PN ，∠NPM =∠C =60°. ∵EP =EP '，∠PEP '=60°, ∴△P EP '是等边三角形. ∴∠E PP '=60°，PE =PP '.∴∠E PP '=∠NPM . ∴∠EPM =∠N PP '. ∴△EPM ≌△N PP '.∴N P '=ME . ............................................................................. 7分29．解：（1）①如图1 . ……………………………1分 1(1,2)C --.…………………………2分 ②1k =. ……………………………3分b m =-. ……………………………4分（2）①当AB =2BC 时，∵点A 的坐标为（2，0），∴点C 的坐标为2(,)2n n -或2,2n n -⎛⎫⎪⎝⎭.∴222n n -⨯=或222nn -⨯=.解得：1n =.图1图3∴点C 的坐标为1⎛⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭. ………………6分 ②当BC =2AB 时，点C 的坐标为(,24)n n -或(,42)n n -. ∴(24)2n n -=或(42)2n n -=.解得：1n =± 1.n =∴点C 的坐标为()1,2或(12--或()1,2……………8分。
2017年5月高三理科数学二模练习参考答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2017.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）3π3π3π()sin 2coscos 2sin sin(2)555f x x x x =-=-- 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 因为sin y x =的对称轴方程为ππ,2x k k =+∈Z ， 令3ππ2π,52x k k -=+∈Z ， 得11π1π,202x k k =+∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为11π1π,202x k k =+∈Z . 或者：()f x 的对称轴方程为3ππ22π52x k -=+和3ππ22π,52x k k -=-+∈Z ， 即11ππ20x k =+和ππ,20x k k =+∈Z . （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2[0,π]x ∈， 所以3π3π2π2[,]555x -∈- 所以，当3ππ252x -=-即π20x =时， ()f x 在区间π[0,]2上的最小值为1-.16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人). (Ⅱ) (ⅰ) 依题意，随机变量X 可取0，1，2.4062483(0)14C C p X C ===；3162484(1)7C C p X C ===；2262483(2).14C C p X C === 故随机变量X 的分布列为(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y =2000X +1500(4)X -=6000+500X ， 所以随机变量Y 的数学期望为E (Y )=6000+500E (X )=6000+500(34301214714⨯+⨯+⨯) =6500.(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y 可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y 的分布列为所以随机变量Y E (Y )=34360006500700014714⨯+⨯+⨯ =6500.17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =， 所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ，所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B ，A ，(0,0,1)P ，C .平面ABC 的法向量(0,0,1)=n ，设(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则 由0,0BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可得0,0,x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x z ==PAB的一个法向量=m ，所以cos ,||||7⋅<>===m n m n m n ， 所以二面角P AB C --的余弦值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）可得(1,AB =，1)PC =-，因为1)(1,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =.（Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220nNA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--= 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k-+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=， 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.19.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）'()e 1ax f x a =-，因为曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以切线l 的斜率为2， 所以'(0)2f =， 所以3a =.（Ⅱ）法1：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a+∞上递增所以11(ln )f a a=1(1ln )a a +是()f x 的极小值.由函数()e ax f x x =-可得(0)1f =，由1a ≠可得11ln 0a a≠， 所以11(ln )(0)1f f a a<=，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.（Ⅱ）法2：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a +∞上递增. 所以11(ln )f a a =1ln a a+是()f x 的极小值.设1ln ()xg x +=，则2ln '()(0)x g x x -=>,令'()0g x =，得1x =所以当1x ≠时()(1)1g x g <=， 所以11(ln )1f a a<，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{0,1}T =是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项， 所以数列{}n a 中最多有m 个不同的项，所以T 最多有2m C 个元素，即T 是有限集.（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，所以数列{}n a 中一定存在一项M a ，使得2M p M a a +-=，5M q M a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，显然p q ≠，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N ，2,5M p k M k M q k M k a a a a ++++++-=-=， 所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-++-= (1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以k ∀∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以k ∀∈N ，22(1)22M k M k M a a a k ++-=+==+，55(1)55M k M k M a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则k ∀∈N ，所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；若k 是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，所以k ∀∈N ，N k N a a k +=+所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.。
2017届高三二模理科参考答案(1)
2017届高三二模考试试题参考答案及评分标准理科数学一、选择题（题本大题共12道小题,每小题5分,共60分，在每题给出的四答案中，其中只有一项符合题目要求.）1-5： D C C B D 6-10： B C D B D 11-12：D D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案直接填在题中横线上.） 13． -3 14. 3 15． 0.7 16.己酉年三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
）17.解：（1）∵nn n a a S +=22∴2n 1n 1n 12S a a +++=+……………………………………………………..2分∴ 22n 1n n 1n 1n n 2S 2S (a a )(a a )+++-=+-+…………………………….3分 即n 1n n 1n (a a )(a a 1)0+++--=∵ n a 0>∴n 1n a a 0++>∴n 1n a a 1+-=…………………………………………………………..4分令n 1=，则21112S a a =+ ∴1a 1=或1a 0=∵ n a 0>∴1a 1=…………………………………………………………………………………………5分∴ 数列{}n a 是以1为首项，以为公差1的等差数列∴ n 1a a (n 1)d n =+-=，*n N ∈…………………………………………………………………6分 （2）由（1）知：nnn n 2nn2a 111b (1)(1)()n n 1a a +=-=-+++…………………8分∴数列{}n b 的前2016项的和为n 122016T b b b =+++L111111111(1)()()()()223342015201620162017=-+++-++-+++L 1111111111223342015201620162017=--++--+--++L …………………………………………………………………………10分112017=-+20162017=-……………………………………………………………………12分18.解：（1）证明：法一：取PD 的中点N ，连接MN ，CN.在△PAD 中，N 、M 分别为棱PD 、PA 的中点∴1MN AD 2P1BC AD 2Q P ∴ 四边形BCNM 是平行四边形∴BM CN P∵BM ⊂平面PCD ，CN ⊄平面PCD ∴BM//平面PCD ………………5分（法二：连接EM ，BE.在△PAD 中，E 、M 分别为棱AD 、PA 的中点∴MN PD P ∵AD//BC ，1BC CD AD 12=== ∴ 四边形BCDE 是平行四边形∴BE CD P ∵BE ME E ⋂=，，MN PD P ，BE CD P ∴平面BEM//平面PCD ∵BM ⊂平面BEM ∴BM//平面PCD ）（2）以A 为原点，以，的方向分别为x 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -…………………………6分则)0,0,0(A ，)0,1,2(C ，)0,0,1(E . ∵点P 在底面ABCD 上的射影为A ∴PA ⊥平面ABCD∵︒=∠45ADP ∴ PA AD 2== ∴)2,0,0(P∴)2,0,1(-=，)0,1,1(=，)2,0,0(=……..7分设平面PAC 的一个法向量m (a,b,c)=r， 则c 02a b 2c 0⎧=⎨+-=⎩设a 1=，则m (1,2,0)=-r……………………………………..9分设平面PCE 的一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎩⎨⎧=+=-02y x z x ，设2=x ，则)1,2,2(-=n ………………………………10分∴m n cos m,n 5m n•<>==v vv v v v ……………………..11分由图知：二面角A PC E --是锐二面角，设其平面角为θ，则cos cos m,n θ=<>=u u v v …………………………12分19.解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+． …………………………………………….2分 12W =时，由（1）表示的可行域和目标函数几何意义知当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 15W =时当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 18W =时，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．………………………………….5分 故最大获利Z 的分布列为…………………………………………………………………….7分因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=…………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+= ……………………………………………….10分 所以3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=……………………………………………………12分20.解：（1）设动圆的圆心为E (x,y)则PE =222(x 2)y 4x ++=+∴2y4x =-即：动圆圆心的轨迹E 的方程为2y4x =-…………………………….4分（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x轴，此时，A ((2,---∴AB CD ==12S S ==∴12S S +=………………………….5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则k 0≠， 直线AB 的方程是y k(x 2)=+，k 0≠. 设1122A (x ,y ),B (x ,y )，联立方程2y k (x 2)y 4x⎧=+⎨=-⎩，消去y ，得：22k (x 2)4x 0(k 0)++=≠，即：2222k x 4(k 1)x 4k 0(k 0)+++=≠ ∴216(2k 1)0∆=+>，21224(k 1)x x k++=-，12x x 4= ………………………………………………………………………………………………………………….7分由1122A (x ,y ),B (x ,y )知，直线AC 的方程为11y y x x =，直线AC 的方程为22y y x x =， ∴ 12122y 2y C (2,),D (2,)x x ∴ 21121212k (x x )y y CD 22x x x x -=-=∴111S (2x )CD 2=-⋅，221S (2x )CD2=-⋅……………………………………..9分∴12121S S [4(x x )]CD 0)2+=-+⋅=≠ 令21t k=，则t 0>，3212S S 4(2t),t 0+=+>由于 函数32y 4(2t)=+在(0,)+∞上是增函数……………………………………………11分∴ y >12S S +>综上所述，12S S +≥∴112S S +的最小值为12分21.解：（1）函数)(x f 的定义域为）（+∞,0 由已知：），（0)12)(1()2(21)(>++-=-+-='x x x ax a ax x x f…………………………………………………………………………………………………….2分当a x 10<<时，0)(>'x f 所以，函数)(x f 在)10a ，（上是增函数； 当a x 1>时，0)(<'x f 所以，函数)(x f 在)1∞+，（a上是减函数，综上所述：函数)(x f 的增区间是)10a ，（，函数)(x f 的减区间是)1∞+，（a.………………………………………………………………………………………………………………3分（2）设)1()1()(x af x a f xg --+=，则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+= …………………………………………………………………………………………………………………..……….5分∴2223122-1111)(x a x a a ax ax x g -=-++='…………………………………………..6分当ax 10<<时，012)(2223>-='x a x a x g ，又0)0(=g ∴0)(>x g故当a x 10<<时，).1()1(x a f x a f ->+……………………………………………………………8分(3) 由(1)知：函数)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>a f ……………………………………9分不妨设21210),0,(B ),0,(A x x x x <<，则2110x ax <<<由(2)知：0)()-11()-2(111=>+=x f x a a f x a f …………………………………….10分从而，12-2x a x >所以，.12210ax x x >+=由(1)知：.0)(0<'x f ………………………………………………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。
2017届高三第二次模拟考试 数学理 (含答案)word版
2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。
北京市昌平区2017届高三理综二模试题
北京市昌平区2017届高三理综二模试题可能用到的相对原子质量： H：1 C：12 O：16 Na：23 Cl：35.5 S：32第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．细胞代谢会产生活性氧（·O2–），产生途径之一如下图所示，其积累可引起生物膜结构和功能的损伤。
谷胱甘肽还原酶（GR）是清除活性氧的关键酶。
下列有关叙述错误的是A．活性氧产生可减少氧气释放量B．活性氧可影响物质进出细胞C．清除活性氧利用了GR的高效性D．GR有助于生物体稳态的维持2．肿瘤细胞的快速增殖使其处于缺氧环境中，并且肿瘤细胞需要大量表达葡萄糖转运蛋白1（GLUT1）。
下列有关叙述不正确．．．的是A．GLUT1在维持血糖浓度的稳定中发挥作用B．葡萄糖进入肿瘤细胞后将被彻底氧化分解C．干扰GLUT1基因的表达可抑制肿瘤细胞增殖D．GLUT1含量可作为检测细胞癌变的指标之一3．小胶质细胞位于中枢神经系统，当中枢神经系统损伤时可被激活增殖，吞噬受损神经元，并分泌细胞因子（小分子蛋白质）促进神经修复。
下列关于受刺激后的小胶质细胞，叙述错误的是A．可用CO2培养箱培养B．具有细胞周期C．发挥效应T细胞作用D．高尔基体丰富4．不同生态系统之间物质和能量的传递称为资源补贴，如淡水生态系统的资源补贴包括落入水体的树叶凋落物、陆地昆虫、生殖洄游的海洋鱼类、污染物等。
下列有关资源补贴的叙述不正确．．．的是A．可增加群落物种丰富度B．可改变消费者营养级C．可降低生态系统稳定性D．可提高能量传递效率5．下列实验处理可达到目的的是A．用秋水仙素处理获得无子果实B．用钙离子处理获得感受态大肠杆菌C．用聚乙二醇处理诱导细胞增殖D．用胃蛋白酶处理防止细胞贴壁生长6．下列电池工作时能量转化形式与其它三个不同．．的是7．下列解释事实的方程式不正确．．．的是 A ．焊接铁轨： 2Fe + Al 2O 32Al + Fe 2O 3 B ．工业固氮： N 2 + 3H 2 2NH 3C ．用纯碱除油污：CO 32-+H 2O HCO 3-+ OH -D ．用湿润的淀粉KI 试纸检验Cl 2：Cl 2 + 2I - 2Cl -+I 28．关于a ：0.1mol/L NH 4Cl 溶液和b ：0.1mol/L NH 3·H 2O 溶液，下列说法不正确．．．的是 A ．两溶液中存在的微粒种类：a>b B ．c （NH 4+）：a>b C ．c （OH -）：a<bD ．水电离出的c （H +）：a<b9．某离子反应涉及到H 2O 、ClO ﹣、NH 4+、OH ﹣、N 2、Cl ﹣等微粒，其中N 2、ClO ﹣的物质的量随时间变化的曲线如右图所示，下列说法正确的是 A ．该反应中Cl ﹣为氧化产物B ．消耗1 mol 还原剂，转移6 mol 电子C ．反应后溶液的酸性减弱D ．NH 4+ 被ClO ﹣氧化成N 2 10．下列说法正确的是A ．葡萄糖制镜利用了葡萄糖的氧化性B ．室温下，在水中的溶解度：乙醇 > 苯酚 > 乙酸乙酯C ．酯在碱性条件下水解生成对应的酸和醇D ．甲苯能使酸性高锰酸钾溶液褪色，说明甲基使苯环变活泼 11．下列实验中，对应的现象以及结论都正确且两者具有因果关系的是 高温、高压高温催化剂12．常温时，用0.1000mol/L NaOH 溶液滴定25.00mL 0.1000mol/L 某一元酸HX 溶液，滴定过程中pH 变化曲线如下图所示。
2017北京高三二模汇总
22．（16分）
图13为真空示波管的示意图，电子从金属丝K发出（初速度可忽略不计），在金属丝与A板间加以电压U1，电子加速后，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N间的偏转电场（电子进入时的速度方向与该电场方向垂直），离开偏转电场后打在荧光屏上一点。已知M、N两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子所受的重力及它们之间的相互作用力。
B．磁场方向垂直纸面向里，a为β射线，b为α射线
C．磁场方向垂直纸面向外，a为β射线，b为α射线
D．磁场方向垂直纸面向外，b为α射线，c为γ射线
19．某同学用图5（甲）所示的实验装置验证碰撞中动量守恒定律，他用两个完全相同的小钢球A、B进行实验，首先该同学使球A自斜槽某一高度由静止释放，从槽的末端水平飞出，测出球A落在水平地面上的点P与球飞出点在地面上竖直投影O的距离LOP。然后该同学使球A自同一高度由静止释放，在槽的末端与静止的球B发生非对心弹性碰撞，如图（乙）。碰撞后两球向不同方向运动，测出两球落地点M、N与O点间的距离LOM、LON，该同学多次重复上述实验过程，并将测量值取平均值。在忽略小球半径的情况下，对该实验的结果，分析正确的是
a．取过圆心O水平向右为x轴，则小球的位移在x轴方向上的分量可表示为x=Asinωt。以此为例，写出小球在x轴方向的速度vx、加速度ax及合外力Fx随时间t的变化关系。
b．物体做简谐运动时，回复力应该满足F=－kx。则反映该投影是简谐运动中的k值是多少？
2017年北京高考数学理二轮模拟试题及答案
2017年北京高考数学理二轮模拟试题及答案1．已知集合，，那么等于ABCD分值: 5分查看题目解析>22．已知，则下列不等式一定成立的是ABCD分值: 5分查看题目解析>33．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是ABCD分值: 5分查看题目解析>44．已知直线，和平面，如果，那么“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件分值: 5分查看题目解析>55．在等比数列中，，9，则等于A9B72C9或72D9或72分值: 5分查看题目解析>66．如果函数的两个相邻零点间的距离为，那么的值为A1B1CD分值: 5分查看题目解析>77. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为A72.4寸B81.4寸C82.0寸D91.6寸分值: 5分查看题目解析>88. 对于任何集合S，用表示集合S中的元素个数，用表示集合S 的子集个数. 若集合A，B满足条件：2017，且，则等于A2017B2016C2015D2014分值: 5分查看题目解析>填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填写在题中横线上。
99. i是虚数单位，复数= ．分值: 5分查看题目解析>1010. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，如果，那么椭圆C的离心率为．分值: 5分查看题目解析>1111．在的展开式中，常数项是（用数字作答）．分值: 5分查看题目解析>1212．若满足则的值为．分值: 5分查看题目解析>1313．如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy 中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC 沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△时，顶点B运动轨迹的长度为；在滚动过程中，的值为．分值: 5分查看题目解析>1414．已知为偶函数，且时，（表示不超过x的整数）．设，若，则函数有____个零点；若函数三个不同的零点，则的取值范围是____．分值: 5分查看题目解析>简答题（综合题）本大题共80分。
北京市昌平区2017届高三数学第二次统一练习试题文(含解析)
昌平区2017年高三第二次统一练习数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）2017.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 设全集,集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，，故选D.3. 若实数满足则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】画出表示的可行域，得在直线与直线的交点，由图知，目标函数在处的最小值为，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知直线和平面，满足.则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A......................5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序框图，；；，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 给定函数①，②，③，④，其中既是奇函数又在区间上是增函数的是A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】对于①，即不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于②，在递减，不合题意；对于③，是偶函数，不合题意；对于④，，即是奇函数，又在上递增，合题意，故选D.7. 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即的取值范围是，故选C.【方法点睛】根据零点个数求参数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.8. 已知圆的圆心为，过原点的直线与圆交于两点.若的面积为,则满足条件的直线有A. 2条B. 4条C. 8条D. 无数条【答案】B【解析】设，的面积为，可得或，时，有条，时，有条，共条，故选B.第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 设，若，则______ .【答案】【解析】,,故答案为.10. 某校从高三年级中随机选取200名学生，将他们的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知__________ .若要从成绩在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从成绩在内的学生中选取的人数应为__________ .【答案】 (1). (2).【解析】直方图中各个矩形的面积之和为，，解得，由直方图可知，身高在范围内抽取的学生人数占三个区域内总人数的，，故答案为 .11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_____________ .【答案】【解析】由三视图可知，三棱锥直观图如图，图中为棱的中点，正四棱柱底面边长为，高为，由直观图知，最长棱长为，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为____________.【答案】 (1). (2).【解析】，渐近线方程为，，双曲线右焦点为，即，抛物线准线方程为，故答案为，.13. 某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了______场.【答案】【解析】设①②、③、④、⑤分别代表、、、、班，① 赛了场，则①是和②、③、④、⑤每人赛了场；由于④只赛了场，则一定是找①赛的；②赛了场，是和①、③、⑤赛的；③赛了场，是和①、②赛的；所以此时⑤赛了场，即是和①、②赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：⑤号已经比了场，即班已经比了场，故答案为.14. 设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则_______________.【答案】【解析】一个对称中心横坐标为，一条对称轴方程为，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意列出关于首项与公差的方程组，求出首项及公差，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，利用等比数列求和公式可得结果.试题解析：(Ⅰ)设等差数列的首项为，公差为.依题意有即由，解得所以.（Ⅱ）所以.因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列.所以.16. 学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为三由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）从测试成绩均为或 的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率． 【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为，可得，从而可得进而可得；（Ⅱ）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式及对立事件概率公式可求出至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率.试题解析：(Ⅰ)依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为的学生共有人.所以.所以.（Ⅱ）测试成绩均为或的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为的有2人，设为，其余5人设为则基本事件空间.所以基本事件空间总数.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有.所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为．【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式及对立事件概率公式，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17. 在中，的角平分线与边相交于点，且.(Ⅰ)求的长及的值；（Ⅱ）求的长．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)先根据余弦定理可得，再由正弦定理可得；（Ⅱ）先根据两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理可得的长.试题解析：(Ⅰ)因为，所以.因为，所以（Ⅱ）因为，所以，因为，所以．18. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)先证明，再根据面面垂直的性质定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）先根据面面垂直的性质定理可得平面，再根据棱锥的体积公式可得结果；（Ⅲ）为的中点时，平面，根先证明平面平面，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面,所以平面平面.（Ⅱ）取的中点,连结.因为为正三角形，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为三棱锥的高.因为为正三角形，，所以.所以. （Ⅲ）在棱上存在点，当为的中点时，平面. 分别取的中点，连结.所以. 因为，，所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为,所以平面平面.因为平面，所以平面.19. 已知椭圆经过点，点是椭圆上在第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与直线平行？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) ，；(2)存在，.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆经过点，可得，从而可得，；进而可得椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）假设存在点，使得直线与直线平行.设，设出直线、直线的方程，求出、的坐标，根据，可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意设所求椭圆方程为.因为椭圆经过点，所以.所以所求椭圆的标准方程为，离心率.（Ⅱ）存在点，使得直线与直线平行.设.则，即.因为所以令则.所以.因为，所以.令则.所以.所以.若直线与直线平行，那么.因为，所以.即 .所以.所以.即.因为,所以.所以》所以.所以所以.20. 已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1) ；（2）当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间；（3）.【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间，得减区间；（Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.当时，，，,．所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）因为．令，即，解得或.（1）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，，减区间为.（2）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，，减区间为.（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.综上所述：当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.（Ⅲ）因为对于任意，都有成立，则，等价于.令，则当时，..因为当时，，所以在上单调递增.所以.所以.所以.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。
2017年北京市昌平区初三二模数学试题和答案(Word版可编辑)
昌平区2017年初三年级第二次统一练习数学试卷（120分钟满分120分）2017．5考生须知一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2016年10月12日至15日，第二届中国―互联网+‖大学生创新创业全国总决赛上，ofo 共享单车从全国约119000个创业项目中脱颖而出，最终获得金奖. 将119000用科学计数法表示应为A ．41.1910⨯B .60.11910⨯C .51.1910⨯D .411.910⨯2．如图，点A 、B 在数轴上表示的数的绝对值相等，且AB =4，那么点A 表示的数是A ．3-B .2-C .1-D . 33．在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是ABCD4．钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是B1. 答题前，考生务必将自己的学校名称、姓名、考试编号在答题卡上填写清楚。
2. 请认真核准条形码上的姓名、考试编号，将其粘贴在答题卡的指定位置。
3. 请不要在试卷上作答。
答题卡中的选择题请用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹的签字笔作答。
4. 修改答题卡选择题答案时，请用橡皮擦干净后重新填涂。
请保持答题卡清洁，不要折叠、弄破。
5. 请按照答题卡题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不给分。
6. 考试结束后，请交回答题卡和试卷。
ABCD5．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =55°，点D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为 A ．15°B ． 25°C ． 35°D ．45°6．若0322=--a a ，代数式)2(1-a a 的值是A ．31-B ．31C ．-3D ．37．初三（1）班体育委员统计本班30名同学体育中考成绩数据如下表所示：A ．29，30B ．29，28C ．28，30D ．28，288．如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为（0，-1），雍和宫站的坐标为（0，4），则西单站的坐标为 A ．（0，5）B ．（5，0）C ．（0，-5）D ．（-5，0）8题 9题9．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解为DC BAx2x+b 2A ．⎩⎨⎧==42y xB ．⎩⎨⎧==24y x C ．⎩⎨⎧=-=04y xD ．⎩⎨⎧==03y x10．如图，点A 是反比例函数1y x=(0)x >上的一个动点，连接OA ，过点O 作OB ⊥OA ，并且使OB=2OA ，连接AB ，当点A 在反比函数图象上移动时，点B 也在某一反比例函数图象ky x=上移动，k 的值为A .2B . -2C ．4D .-4 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．如图，正方形ABCD ，根据图形写出一个正确的等式： ______ .11题12题 14题12．如图，四边形ABCD 的顶点均在⊙O 上，∠A =70°，则∠C =___________°. 13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》共有三卷.第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足.问：禽、兽各几何？” 译文：“现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足，把它们放一起，共有76头，46足．问野兽、鸟各有多少只？”设野兽x 只，鸟y 只，可列方程组为__________________．14．如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE ，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE =5米，窗口高AB =2米，那么窗口底边离地面的高BC =__________米.15．如图，已知钝角△ABC ，老师按照如下步骤尺规作图：步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD . 小丽说：图中AC 平分∠BAD .xDCaaab bb b a D CBA ABCH小强说：图中点C 为BH 的中点.他们的说法中正确的是___________.他的依据是_____________________.16．已知二次函数x m x y )12(2-+=，当0<x 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是__________.三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17.计算：101tan 602()(2)3π-︒+-+18.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-x x x x 23105)2(319.如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点，以AD 为边作等边△ADE ，连接BE .求证：BE=BD20. 关于x 的一元二次方程0)12(2=++-m x m x （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）写出一个m 的值，并求此时方程的根.BCAED21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 的中点，AE 与对角线BD 交于点F . （1）求证：DF =2BF ；（2）当∠AFB =90°且tan ∠ABD =21时，若CD =5，求AD 长.22. 2016年共享单车横空出世，更好地解决了人们“最后一公里”出行难的问题，截止到2016年底，“ofo 共享单车‖的投放数量是“摩拜单车‖投放数量的1.6倍，覆盖城市也远超于“摩拜单车‖，“ofo 共享单车‖注册用户量约为960万人，“摩拜单车‖的注册用户量约为750万人，据统计使用一辆“ofo 共享单车‖的平均人数比使用一辆“摩拜单车‖的平均人数少3人，假设注册这两种单车的用户都在使用共享单车，求2016年“摩拜单车‖的投放数量约为多少万台？四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 23. 一次函数1+2y x b =-（b 为常数）的图象与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数xky =的图象交于点C （-2，m ）. （1）求点C 的坐标及反比例函数的表达式；（2）过点C 的直线与y 轴交于点D ，且1:2:=BO C CBD S S △△，求点D 的坐标.FE DCBA24.近几年，中国在线旅游产业发展迅猛，在线旅游产业是依托互联网，以满足旅游消费者信息查询、产品预订及服务评价为核心目的，囊括了包括航空公司、酒店、景区、租车公司、海内外旅游服务供应商及搜索引擎、OTA 、电信运营商、旅游资讯及社区网站等在线旅游平台的新产业.据数据统计：2012年中国在线旅游市场交易金额约为2219亿元，2013年中国在线旅游市场交易金额约为3015亿元，2014年中国在线旅游市场交易金额相比2013年增加了1117亿元，2015年中国在线旅游市场交易金额约为5424亿元，2016年中国在线旅游市场交易金额为6622亿元，在人们对休闲旅游观念的不断加强之下，未来两年中国在线旅游市场交易规模会持续上涨.（1）请用折线统计图或条形统计图将2012—2016年中国在线旅游市场交易金额的数据描述出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的统计图中提供的信息，预估2017年中国在线旅游市场交易金额约为___________亿元，你的预估理由是_______________________________________.25.如图，AB 为⊙O 的直径，点D ，E 为⊙O 上的两个点，延长AD 至C ，使∠CBD=∠BED .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）当点E 为弧AD 的中点且∠BED=30°时，⊙O 半径为2，求DF 的长度.26.有这样一个问题：探究函数2)2(1-=x y 的图象与性质，小静根据学习函数的经验，对函数2)2(1-=x y 的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数2)2(1-=x y 的自变量x 的取值范围是__________； （2）下表是y 与x 的几组对应值.BCA（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数图象，写出一条该函数图象的性质：______________________________. 五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(42≠-=m mx mx y 与x 轴交于A ，B 两点（点A在点B 的左侧）.（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且2tan =∠ACB ，直接写出直线l 的表达式； （3）如果点)(1n x P ，和点)(2n x Q ，在函数)0(42≠-=m mx mx y 的图象上，PQ=2a且21x x >，求26221+-+a ax x 的值.28. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接DE ，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△CDF ，作点F 关于CD 的对称点，记为点G ，连接DG . （1）依题意在图1中补全图形；（2）连接BD ，EG ，判断BD 与EG 的位置关系并在图2中加以证明； （3）当点E 为线段AB 的中点时，直接写出∠EDG 的正切值.EDCBA图2图1ABCDE备用图ABCD29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P 关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，○1已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；若点P在直线x = 2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数；○2在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标；○3若点P在直线2y x=+上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标Px的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标Cx的取值范围．xxx昌平区2016-2017学年度第二学期初三年级第二次模拟测试数学参考答案及评分标准2017. 5一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解：101tan 602()(2)3π-︒+-+21=-……………………………………………………………4分4=．……………………………………………………………………………5分18．解：3(2)51023x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解不等式①，得14x ≥．………………………………………………………………2分 解不等式②，得2x <．……………………………………………………………4分∴原不等式组的解集为124x ≤<．………………………… 5分19．证明：∵在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点∴∠CAD =∠DAB=12∠CAB= 30°……………1分 ∵△ADE 为等边三角形，∴AD=AE ，∠DAE = 60°……………………… 2分∵∠DAB = 30°∴∠DAB =∠EAB = 30°……………………………3分 在△ADB 与△AEB 中，BCAEDAD AE DAB EAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB ………………………………………………………4分 ∴BE=BD …………………………………………………………5分20．（1）证明： 2(21)4m m ∆=+-241m =+．………………………………………1分2410m +>∴方程总有两个不相等的实数根…………………………………2分（2）答案不唯一例如：0m =时，方程化为20x x -=…………………………………………3分 因式分解为：(1)0x x -=∴10x =，21x =……………………………………………………………………5分 21．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD //BC ，AD=BC ，AB =CD ∵点E 为BC 的中点 ∴BE=12BC=12A D ………………………1分 ∵AD //BC ∴△BEF ∽△DAF ∴12BE BF DA DF ==……………………………………………………………………………2分 ∴DF =2BF（2）解：∵CD =5 ∴AB =CD =5∵在Rt △ABF 中，∠AFB=90°1tan 2AF ABD BF ∠== ∴设AF =x ，则BF =2x ∴AB5 x =5∴x=1，AF =1，BF =2…………………………………………………………………………………4分FEDCBA∵DF =2BF ∴DF=4 ∴ AD5分22．解：设2016年“摩拜单车”的投放数量约为x 万台．………………………1分 依题意，得96075031.6x x+=．………………………………………………2分 解得50x =．……………………………………………………………………3分 经检验，120x =是原方程的解，且符合题意．……………………………4分 答：2016年“摩拜单车‖的投放数量约为50万台.………………5分四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 23．解：解：（1）把点A （2，0）代入1+2y x b =-， ∴b =1．把点C （-2，m ）代入1+12y x =-，解得m=2．……………………………………1分 ∴反比例函数的表达式为4y x=-．………………………………………………………2分（2）依题意可得B （0，1）12BOC S OB =△·C x =1………………………3分 ∵1:2:=BO C CBD S S △△ ∴12BOC S BD =△·C x =2 ∴BD =2∴D 点坐标为（0，-1）或（0，3）……………………5分24.解：（1）折线统计图或条形统计图画出一个即可2012—2016年中国在线旅游交易金额统计表…………………………………………3分 （2）8609；………………………………………………………………………………………………4分将近三年平均增长率作为预测2017年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理预测方法即可）.…………………………………………………………………………………………………5分25.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° ∴∠A+∠DBA=90°∵弧BD =弧BD 错误！未定义书签。
北京市昌平区月高三第二次统一练习数学理试题含答案
昌平区 20XX 年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.5考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) （1）复数i 1i=- A ．1i 22+ B ． 1i 22-+ C ．1i 22-- D ．1i 22-（2） 已知双曲线22:1C mx ny -=的一个焦点为(5,0)F -，实轴长为6，则双曲线C 的渐近线方程为A ．43y x =± B. 34y x =± C. 53y x =± D. 35y x =±(3) 若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4 B. 1 C. 0 D. 12-（4）设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且.b β⊂“b α⊥”是“αβ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件E DCB AO（5）如图，过点A 和圆心O 的直线交O 于,B C 两点(AB AC <)，AD 与O 切于点D ，DE AC ⊥于.E 35,AD =3AB =，则BE 的长度为A. 1B. 2C. 2D. 5（6）执行如图所示的程序框图， 如果输出的S 值为3，则判断框 内应填入的判断条件为A. 2i <B. 3i < C ．4i < D ．5i <（7）已知函数f (x ) 是定义在[3,0)(0,3]-上的奇函数， 当(0,3]x ∈时，f (x ) 的图象如图所示，那么满足不等式()21x f x ≥-的x 的取值范围是A.[3,2][2,3]--B. [3,2](0,1]-- C. [2,0)[1,3]- D. [1,0)(0,1]-否是 0,1S i ==1i i =+开始2i S S =+2log (2)S S =+ 输出S结束俯视图侧（左）视图111正（主）视图11DCBAe 2e 1BAO（8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示.设正八角星的中心为O ，并且12,.OA e OB e ==uu r u r uu u r u r若将点O 到正八角星16个顶点的向量，都写成为12,,R e e λμλμ+∈u r u r的形式，则λμ+的最大值为A ．2 B. 2 C. 12+ D. 22第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知n S 是等比数列}{n a (n *∈N )的前n 项和，若314S =，公比 2q =，则数列}{n a 的通项公式n a = .（10）在极坐标系中，O 为极点，点A 为直线:sin cos 2l ρθρθ=+上一点，则||OA 的最小值为________.(11) 如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，7,2,1,45.AB AD BD ACB ︒===∠=那么 ADB ∠=___________;AC =____________.(12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱 锥中最长棱的棱长为_________.（13）20XX 年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有______种. （用数字作答）（14）已知数列{}n a 中，1(01),a a a =<≤*11,1,().3,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩N ①若31,6a =则a =_________；②记12...,n n S a a a =+++则2016S =____________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式及0x 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[, ]44-上的最大值与最小值.（16）（本小题满分13分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（I ） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论） （II ） 如果将数学基础采用A 、B 、C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）甲校 乙校5 1 9 1 1 24 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 88 6 5 7 8C 1B 1A 1FEDCBA测试成绩 [85,100][70,85)(60,70)基础等级ABC假设每个新生的测试成绩互相独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.（17）（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，BC 垂直 于正方形11A ACC 所在平面，2,1AC BC ==，D 为AC 中点，E 为线段1BC 上的一点（端点除外），平面1AB E 与BD 交于点F .（I ）若E 不是1BC 的中点，求证：1//AB EF ;（II ）若E 是1BC 的中点，求AE 与平面D BC 1所成角的正弦值; （III ）在线段1BC 上是否存在点E ，使得1,A E CE ⊥若存在，求出1BEEC 的值，若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数()e axf x =，2()(,,)g x x bx c a b c =-++∈R ，且曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线. 设()()()=-h x f x g x . （I ）求c 的值，及,a b 的关系式； （II ）求函数()h x 的单调区间；（III ）设0a ≥，若对于任意12,[0,1]x x ∈，都有12()()e 1h x h x -≤-，求a 的取值范围．（19）（本小题满分13分）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为2，点()0,3D 在椭圆M 上，过原点O 作直线交椭圆M 于A 、B 两点，且点A 不是椭圆M 的顶点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，点C 是线段AH 的中点，直线BC 交椭圆M 于点P ，连接AP ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）求证：AB AP ⊥.（20）（本小题满分14分）定义{}123maxn x ,x ,x ,,x 表示123n x ,x ,x ,,x 中的最大值.已知数列1000=n a n ，2000=n b m ，1500=n c p，其中200++=n m p ，=m kn ， ,,,∈n m p k *N .记{}max n n n n d a ,b ,c =.（I ）求{}maxn n a ,b ；（II ）当2=k 时，求n d 的最小值； （III ）∀∈k *N ，求n d 的最小值.昌平区 20XX 年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.5一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADACBBC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）*2(N )n n ∈ （10）2 （11） 120︒;6 （12）5 （13）144 （14）1;15123三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分） 解：（I ）023()2sin(2),.324f x x x ππ=+=…………………7分z yxC 1B 1A 1F EDC BAG（II ）由ππππ5π[,],2[, ]44366x x ∈-+∈-， ……………………9分 当π236x π+=-时，即4x π=-，min ()()1;4f x f π=-=-当232x ππ+=时，即12x π=，max ()() 2.12f x f π== ……………………13分（16）（本小题满分13分）解： （I ）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差. ……………………6分（II ）设事件D =“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”.设事件1E =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A ”，11(),5P E = 设事件2E =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”，27(),10P E =设事件1F =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”，13(),10P F =设事件2F =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C ”，23(),10P F =根据题意，111222,D E F E F E F =⋃⋃所以111222111222()()()()()()()()()()P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F =++=++131373335105101010100=⨯+⨯+⨯=. 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为33.100……………………13分（17）（本小题满分14分）（I ）证明：连接C B 1，交1BC 于点G ，连接GD . 在三棱柱111C B A ABC -中， G 为1B C 中点, 且D 为AC 中点， 所以1//GD AB . 因为1GD BC D ⊂平面, DBC AB 11平面⊄所以11//AB BC D 平面. ………………2分由已知，平面1AB E 与BD 交于点F ， 所以1F AB ∈平面，E 从而1EF AB EF ⊂平面， 又1EF BC D ⊂平面， 所以11BC DAB EF EF =平面平面,所以1//AB EF . ……………………4分(II) 建立空间直角坐标系 11C ACB -如图所示.11(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),1(0,2,1),(0,0,1),(0,1,),(1,2,0).2A A C CB B E D 1 111(2,1,),(0,2,1),(1,2,0)2AE C B C D =--==.设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =由110,0,n C B n C D ==得20,20.y z x y +=⎧⎨+=⎩,令1,y =,得(2,1,2)n =--. ……………………6分421cos ,.63||||AE n AE n AE n <>== ……………………8分所以，AE 与平面1BC D 所成角的正弦值为42163. ……………………9分 (III) 在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥且114BE EC =.理由如下： 假设在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E C E ⊥设11(0,,)E y z ,1(0)BEEC λλ=>.则1BE EC λ=⋅,1111(0,2,1)(0,,)y z y z λ--=--.112,11,1y z λλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 21(0,,)11E λλ++. ………………11分 121(2,,)11A E λλ=-++，21(0,,)11CE λλλ-=++. 22410(1)(1)λλλ-+=++, 解得: 14λ=. ………………13分 所以，在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥且114BE EC =.………………14分 （18）(本小题满分13分）解：（I ）因为函数()e axf x =，2()=-++g x x bx c ，所以函数'()e ax f x a =，'()2=-+g x x b .又因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线，所以(0)(0),'(0)'(0)=⎧⎨=⎩f g f g ，即1,.c a b =⎧⎨=⎩ ………………4分（II ）由已知，2()()()e 1axh x f x g x x ax =-=+--. 所以'()e 2axh x a x a =+-.设()'()e 2axF x h x a x a ==+-，所以2'()e 2axF x a =+，∀∈a R ，'()0>F x ，所以'()h x 在(,)-∞+∞上为单调递增函数. ……………6分由（I ）得，'(0)'(0),f g =所以'(0)'(0)'(0)0h f g =-=，即0是'()h x 的零点. 所以，函数()h x 的导函数'()h x 有且只有一个零点0．…………………………7分所以'()h x 及()h x 符号变化如下，x(,0)-∞0 (0,)+∞'()h x - 0+ ()h x ↘ 极小值 ↗所以函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.……………9分（III ）由（II ）知当[0,1]x ∈ 时，()h x 是增函数. 对于任意12,[0,1]x x ∈，都有12()()e 1h x h x -≤-等价于max min ()()(1)(0)e e 1a h x h x h h a -=-=-≤-，等价于当0a ≥时，()e (e 1)0aG a a =---≤，因为'()e 10aG a =-≥，所以()G a 在[0,)+∞上是增函数，又(1)0G =，所以[0,1]a ∈. ……………13分（19）（本小题满分13分）解：（I ）由题意知1,c =3b =，则2224a b c =+=，所以椭圆M 的方程为22143x y +=，椭圆M 的离心率为12. ……………5分（II ）设0011(,),(,)A x y P x y ，则0000(,),(,).2y B x y C x -- 由点,A P 在椭圆上，所以2200143x y +=① 2211143x y += ②点A 不是椭圆M 的顶点，②-①得 2210221034y y x x -=-- . 法一：又01001000332,,24PB BCy y y yk k x x x x +===+且点,,B C P 三点共线， 所以10010034y y y x x x +=+, 即 0100104().3()y y y x x x +=+所以，22010101010220101010104()4()43()1,3()3()34AB PAy y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+-- 即 AB AP ⊥. ……………13分法二：由已知AB 与AP 的斜率都存在，2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-221022103()344x x x x --==-- 又03,4PB BC y k k x ==得00,PA x k y =-则0000()1AB PA y x k k x y -==-， 即 AB AP ⊥. ……………13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）由题意，{}10002000max max n n a ,b ,n kn ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 因为1000200010002--=(k )n kn kn， 所以，当1=k 时，10002000<n kn，则{}2000max n n n a ,b b n ==， 当2=k 时，10002000=n kn，则{}1000max n n n a ,b a n ==， 当3≥k 时，10002000>n kn，则{}1000max n n n a ,b a n ==. ……………4分 （II ）当2=k 时，{}{}10001500max max max 2003n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭， 因为数列{}n a 为单调递减数列，数列{}n c 为单调递增数列， 所以当100015002003=-n n时，n d 取得最小值，此时4009=n . 又因为40044459<<， 而{}44444444250max 11d a ,c a ===，454530013d c ==，有4445<d d . 所以n d 的最小值为25011. ……………8分 （III ）由(II)可知，当2=k 时，n d 的最小值为25011. 当1=k 时，{}{}2000750max max max 100n n n n n n d a ,b ,c b ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭. 因为数列{}n b 为单调递减数列，数列{}n c 为单调递增数列， 所以当2000750100=-n n时，n d 取得最小值，此时80011=n . 又因为800727311<<， 而72722509==d b ，73732509==d c . 此时n d 的最小值为2502502509911,>. ⑵当3≥k 时，15001500375200(1)200450≥=-+--k n n n，>n n a b ，所以{}{}1000375max max max 50n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫==≥⎨⎬-⎩⎭. 设1000375max 50n h ,n n ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭， 因为数列{}n a 为单调递减数列，数列375{}50-n为单调递增数列， 所以当100037550=-n n 时，n h 取得最小值，此时40011=n . 又因为400363711<<， 而36362509h a ==，3737525037513913h ,=<.此时n d 的最小值为2502502509911,>.综上，n d 的最小值为4425011=d . ……………14分。
北京市昌平区2024届高三第二次统一练习数学试题(解析版)
昌平区2024年高三年级第二次统一练习数学试卷本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}{}21,0,1,2,320A B x x x =-=->，∣，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1 C.{}1,0,1,2- D.{}1,3-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为220x x ->，则2x >或0x <，所以()(),02,B ∞∞=-⋃+，所以A B = {}1,3-.故选：D .2.已知数列{}n a 满足122,4n n a a a +==，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.16 B.24C.30D.62【答案】C 【解析】【分析】由数列的递推关系分别求出134,,a a a ，再求和即可.【详解】由已知可得，当1n =时，1121122a a a a +==⇒=；当2n =时，2132328a a a a +==⇒=；当3n =时，31434216a a a a +==⇒=；所以数列{}n a 的前4项和等于2481630+++=，故选：C.3.已知抛物线()220y px p =>的焦点和双曲线2213yx -=的右顶点重合，则p 的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据条件，求出双曲线的右顶点(1,0)和抛物线的焦点(,0)2p，即可求出结果.【详解】因为双曲线2213y x -=的右顶点为(1,0)，抛物线()220y px p =>的焦点为(,0)2p ，所以12p=，得到2p =，故选：B.4.在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（）A.15-B.15C.30D.360【答案】B 【解析】【分析】先求出61x ⎫⎪⎭的展开式的通项，令6302r -=，求出2r =代入通项即可求出答案.【详解】61x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()()66362216661C C 1C 1rr rrr r rr r r r T x x x x ----+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，令6302r-=，解得：2r =，所以常数项为：()226C 115-=.故选：B .5.若01a b <<<，1c >，则（）A.b a c c <B.log log c c a b> C.sinsin c ca b> D.cc a b <【答案】D 【解析】【分析】构造函数x y c =，根据函数的单调性判断A 选项；构造函数log c y x =()0x >，根据函数的单调性判断B 选项；构造函数sin y x =，根据函数的单调性判断C 选项；构造函数c y x =，根据幂函数的性质，判断D 选项.【详解】A ：构造函数x y c =，因为1c >，所以x y c =为增函数，又因为01a b <<<，则有b a c c >，所以A 错误；B ：构造函数log c y x =()0x >，因为1c >，所以log c y x =()0x >为增函数，又因为01a b <<<，则有log log c c a b <，所以B 错误；C ：因为01a b <<<，所以111a b>>，又1c >，则1c ca b >>，构造函数sin y x =，当1x >时，函数sin y x =不单调，所以无法判断sinc a 与sin cb的值的大小，C 错误；D ：构造函数c y x =，因为01,1a b c <<<>，所以函数c y x =在()0,∞+上单调递增，有c c a b <，D 正确.故选：D .6.若圆22860x x y y m ++-+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（）A.(],9-∞ B.(],16-∞ C.[)9,25 D.[)16,25【答案】A 【解析】【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到25m <，再分别令0,0y x ==，利用0∆≥，即可求出结果.【详解】因为22860x x y y m ++-+=表示圆，所以643640m +->，得到25m <，令0y =，得到280x x m ++=，则6440m ∆=-≥，得到16m ≤，令0x =，得到260y y m -+=，则3640m ∆=-≥，得到9m ≤，所以9m ≤，故选：A.7.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,//m ααβ⊂，则“n β⊥”是“n m ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用面面平行及线面垂直的性质，即可得出：n β⊥可以推出n m ⊥，再通过举例说明n m ⊥推不出n β⊥，即可求出结果.【详解】因为//αβ，当n β⊥时，n α⊥，又m α⊂，所以n m ⊥，即n β⊥可以推出n m ⊥，如图，在正方体中，取平面ABCD 为α平面，平面1111D C B A 为β平面，直线BC 为直线m ，直线11C D 为直线n ，显然有,//m ααβ⊂，n m ⊥，但n β⊂，即n m ⊥推不出n β⊥，所以“n β⊥”是“n m ⊥”的充分不必要条件，故选：A.8.已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.[]4,0- C.[]3,0- D.(],2-∞【答案】B 【解析】【分析】首先画出函数()()g x f x =的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.【详解】因为()()24,1ln 1,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，令()()g x f x =，作出()g x 图象，如图所示，令()h x ax =，由图知，要使对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则必有0a ≤，当0x ≤时，214y x x =-，由24y x xy ax⎧=-⎨=⎩，消y 得到2(4)0x a x -+=，由Δ0=，得到2(4)0a +=，即4a =-，由图可知40a -≤≤，故选：B.9.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过t min 后的温度为y ℃，可选择函数()600.9200ty t =⨯+≥来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2.5min B.4.5minC.6minD.8min【答案】B 【解析】【分析】令600.92060t ⨯+=，则20.93t=，两边同时取对将lg20.30,lg30.48≈≈代入即可得出答案.【详解】由题可知，函数()600.9200t y t =⨯+≥，令600.92060t ⨯+=，则20.93t=，两边同时取对可得：2lg 0.9lg 3t=，即()9lg2lg 31lg 2lg 310t t =-=-，即lg 2lg 30.300.480.184.52lg 3120.4810.04t --=≈==-⨯-min .故选：B .10.已知数列{}n a 满足434121,1,n n n n a a a a --=-==，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误．．的是（）A.311a = B.20241a =-C.∃非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a += D.*n ∀∈N ，都有22n S =-【答案】C 【解析】【分析】由已知431811a a ´-==可得A 正确；由已知递推关系化简20242101210122506506225325346431a a a a a a a a 创创-========-可得B 正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C 错误；由已知递推关系找到前n 项和的规律再结合等比数列的前n 项和可得D 正确.【详解】A ：因为411n a -=，所以431811a a ´-==，故A 正确；B ：因为4321,n n n a a a -=-=，所以20242101210122506506225325346431a a a a a a a a 创创-========-，故B 正确；C ：由431n a -=-可得1591a a a ====- ，由411n a -=可得37111a a a ==== ，由2n n a a =可得1248101a a a a a ======- ，而3612141a a a a ===== ，设存在非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=，当1n =时，由于111T a a +==-，可得1T =或3或4等等，不是常数，所以不存在非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=，故C 错误；D ：当1n =时，()12122112S S a a ==+=-+-=-，因为21234211112S a a a a =+++=--+-=-，即2n =时，有相邻两项34a a +的和为零，即有接下来2122-=个项和为零；3123456782111111112S a a a a a a a a =+++++++=--+--++-=-，即3n =时，有相邻2项34a a +的和与相邻4项5678a a a a +++和为零，即有接下来2131226--+=个项和为零；总结发现规律为：当n k =时，即有接下来的()()12131112122222212212k k k k -----´-+++==-=-- 项和为零，所以122222202n n n S a a a -++==+-+=- 个，故D 正确；故选：C.【点睛】关键点点睛：本题D 选项关键在于能理解22n S =-的意义，即表示数列中前两项和为2-外的3到4项，5到8项，9到16项和分别为零.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______．【答案】2【解析】【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可.【详解】由题意可得()1ii 1i 1i iz +==-+=-，所以1i z =+，所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=-+=-=，故答案为：2.12.已知ABC 中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S = ______．【答案】72【解析】【分析】由余弦定理求出,b c ，由同角三角函数的平方关系求出sin A ，最后由三角形的面积公式即可求出答案.【详解】由余弦定理可得：2222224163cos 244b c a c c A bc c +-+-===-，解得：c =2b c ==又因为3cos 4A =-，所以7sin 4A ==，所以11sin 2242ABC S bc A ==⨯=.故答案为：72.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 满足()0AP AB λλ=> ．当13λ=时，AC PD ⋅= ______；当λ=______时，PC DP ⋅取得最大值．【答案】①.23②.12##0.5【解析】【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出()11,1,,13AC PD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出(),1DP λ=- ，()1,1PC λ=-，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可.【详解】根据题意，建立以A为原点的平面直角坐标系，如图则()()()()0,0,1,1,0,1,1,0A C D B 因为正方形ABCD 的边长为1，()0AP AB λλ=>当13λ=时，11,033AP AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11,1,,13AC PD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，所以121133AC PD ⎛⎫⋅=⨯-+= ⎪⎝⎭；如图，因为()0AP AB λλ=>，所以(),0P λ，所以(),1DP λ=- ，()1,1PC λ=-，所以()221311124PC DP λλλλλ⎛⎫⋅=--=-+-=--- ⎪⎝⎭ ，所以当12λ=时，PC DP ⋅ 取得最大值.故答案为：23；12.14.已知p ：设函数()f x 在区间()0,∞+上的图象是一条连续不断的曲线，若()()120f f ⋅>，则()f x 在区间()1,2内无零点．能说明p 为假命题的一个函数的解析式是______．【答案】()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】利用已知条件结合函数的定义域，函数值，零点综合得出即可.【详解】解析式为()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数的定义域为R ，所以函数()f x 在区间()0,∞+上的图象是一条连续不断的曲线，因为()114f =，()124f =，所以()()120f f ⋅>，又302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在区间()1,2内有零点，所以为假命题.故答案为：()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）.15.已知曲线:4,G x x y y O +=为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G 关于直线y x =成轴对称图形；②经过坐标原点O 的直线l 与曲线G 有且仅有一个公共点；③直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-；④设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】【分析】分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为1-时结合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因为当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为：2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象为对于①，由图象可得曲线G 关于直线y x =成轴对称图形，故①正确；对于②，由于左上和右下部分双曲线的a b =，所以渐近线方程为y x =-，所以当直线的斜率为1-时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误；对于③，设直线l 与,x y 交点分别为,A B ，因为圆方程中半径为2，且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故③正确；对于④，由于直线2y kx =+恒过()0,2，当0k =时，直线与x 平行，有一个交点；当1k =-时，与渐近线平行，此时有两个交点，当10k -<<，结合斜率的范围可得有三个交点，如图：所以，④正确；故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数())cos 3sin 3cos f x xx x a =+-的图像经过点3,62π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求实数a 的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）32a =，()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题求出参数m 的取值范围．【小问1详解】由题意得，πππ3cos 33cos .6662a ⎫+-=⎪⎭解得3.2a =所以())233cos 33cos 3cos 3cos 22f x xx x x x x =+-=+-31cos 23sin 23222x x +=+⨯-33cos 2πsin 22223x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈，得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为()π7ππ,πZ .1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由（1）可知()π2.3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为π02x ≤≤，所以ππ4π2.333x ≤+≤所以3π223x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以()32f x -≤≤当π4π233x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值3.2-因为()f x m ≥恒成立等价于()min m f x ≤，所以3.2m ≤-所以实数m 的取值范围是3,.2∞⎛⎤--⎥⎝⎦17.如图，在棱长均为2的四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是1CC 的中点，BC 交平面1AD E 于点F ．（1）求证：点F 为线段BC 的中点；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱1111ABCD A B C D -存在且唯一确定．（i ）求二面角1D AF B --的余弦值；（ii ）求点1B 到平面1AD EF 的距离．条件①：1DD ⊥平面ABCD ；条件②：四边形ABCD 是正方形；条件③：平面11AA D D ⊥平面11CC D D ．注：如果选择的条件不符合要求，则第2问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）23-；2【解析】【分析】（1）先通过面面平行的性质证明1//AD EF ，再通过证四边形11ABC D 是平行四边形，证11//AD BC ，通过平行的传递性证1//EF BC ，最后利用三角形中位线点F 为线段BC 的中点得证；（2）通过已知条件先证DA 、DC 、1DD 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角，求点到平面距离即可.【小问1详解】连接1BC ，因为BC 交平面1AD E 于点F ，BC ⊂平面11B BCC ，所以F ∈平面11B BCC ，所以平面11B BCC 平面1D AFE EF =.因为平面11B BCC //平面11A ADD ，平面11D DAA 平面11D AFE AD =，所以1//AD EF ，因为11//D C AB ，且11=D C AB ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以1//EF BC ，因为点E 是1CC 的中点，所以点F 是线段BC 的中点.【小问2详解】选择条件①②：因为1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以11DD DA DD DC ⊥⊥，，因为四边形ABCD 是正方形，所以DA DC ⊥；（i ）：如图建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,2,0F ，()12,0,2AD =- ，()1,2,0AF =- ，设平面1D AFE 的法向量为(),,m x y z =，10AD m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则1,y =2z =，于是()2,1,2m = ，因为1DD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，由题知，二面角1D AF B --为钝角，所以二面角1D AF B --的余弦值为23-.（ii ）：因为()2,0,0A ，()12,2,2B ，所以()10,2,2AB =，所以点1B 到平面1AD EF 的距离12AB m d m⋅==.选择条件①③：因为1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以11DD DA DD DC ⊥⊥，，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D ，平面11AA D D ⋂平面111CC D D DD =，所以DA ⊥平面11CC D D ，所以DA DC ⊥，（i ）：如图建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,2,0F ，()12,0,2AD =- ，()1,2,0AF =- ，设平面1D AFE 的法向量为(),,m x y z =，10AD m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则1y =，2z =，于是()2,1,2m = ，因为1DD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，由题知，二面角1D AF B --为锐角，所以二面角1D AF B --的余弦值为23.（ii ）：因为()2,0,0A ，()12,2,2B ，所以()10,2,2AB =，所以点1B 到平面1AD EF 的距离12AB m d m⋅==.选择条件②③不合题意，此时几何体不能唯一确定.18.某行业举行专业能力测试，该测试由,,A B C 三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C 项测试成绩合格，且,A B 两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C 项测试成绩不合格，且,A B 两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：测试项A BC频数161510用频率估计概率．（1）试估计甲参加该专业能力A 项测试成绩合格的概率；（2）设X 表示甲获得的认定分，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为23．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．【答案】（1）45（2）答案见解析（3）乙获得的认定分大【解析】【分析】（1）由频率估计概率计算可得；（2）分别算出机变量X 的所有可能取值为10,5,2,0时的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可；（3）分别算出机变量Y 的所有可能取值为10,5,2,0时的概率，再由期望公式求出期望与甲对比即可【小问1详解】因为甲参加专业能力A 项测试成绩合格的频率为164205=，由频率估计概率，估计甲参加专业能力A 项测试成绩合格的概率为()45P A =.【小问2详解】设甲参加专业能力,,A B C 三项测试成绩合格分别为事件111,,A B C ，由频率估计概率，可得()()()111431,,542P A P B P C ===，根据题意，随机变量X 的所有可能取值为10,5,2,0，()()()()()11111143131054210P X P A B C P A P B P C ====⨯⨯=，()()()()()()()1111111314117554254240P X P A P B P C P A P B P C ==+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()1111114313254210P X P A B C P A P B P C ====⨯⨯=，()()()()901105240P X P X P X P X ==-=-=-==，所以X 的分布列为X02510P940310740310所以X 的数学期望为()937302510 4.47540104010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】乙获得的认定分大.理由如下：设乙参加展业能力,,A B C 三项测试成绩合格分别为事件222,,A B C ，由频率估计概率，可得()()()22223P A P B P C ===，设Y 表示乙获得的认定分，随机变量Y 的所有可能取值为10,5,2,0，()32810327P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭；()2218523327P Y ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭；()212423327P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；()()()()701105227P Y P Y P Y P Y ==-=-=-==，所以()748802510 4.74 4.47527272727E Y =⨯+⨯+⨯+⨯≈>，所以()()E X E Y <，所以乙获得的认定分大.19.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 是椭圆E 的左、右顶点，F 是椭圆E 的右焦点．过点F 的直线l 与椭圆E 相交于,M N 两点（点M 在x 轴的上方），直线,AM BN 分别与y 轴交于点,P Q ，试判断OP OQ是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；13OP OQ=【解析】【分析】（1）由椭圆的性质和离心率解方程组求出即可；（2）当斜率不存在时，分别求出直线AM 和BN 的直线方程，得到13OP OQ=；当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，由点斜式求出直线方程可得到,P Q 两点坐标，再用韦达定理表示出OP OQ化简即可.【小问1详解】由题意可得222122c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆方程为22143x y +=，【小问2详解】是定值，理由如下：由题意可得()()()2,0,2,0,1,0A B F -，当MN x ⊥轴时，直线l 的方程为1x =，易知331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线AM 的方程为()122y x =+，所以()0,1,1P OP =，直线BN 的方程为()322y x =-，所以()0,3,3Q OQ -=，则13OP OQ =；当直线MN 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1,0y k x k =-≠，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，则()2Δ14410k =+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，直线AM 的方程为()1122y y x x =++，令0x =，则1122P y y x =+，所以1120,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，直线BN 的方程为()2222y y x x =--，令0x =，则2222Q y y x -=-，所以2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以121222,22y y OP OQ x x -==+-，所以()()()()()()1121211212212112122222122222122222y y x k x x OP x x x x x OQy x k x x x x x x y x ---+--+====+-+-+---，可得222112212222121122412846223434134121834128322343434k k k x x x OP k k k k OQ k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭，综上，13OPOQ =.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于讨论斜率存在与不存在的情况，不存在时，直曲联立，由韦达定理结合直线方程表示出OP OQ ，再化简即可.20.已知函数()e xa f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]0,1上的最小值；（3）若0a >，当0x >时，求证：()()ln ln f a x f a x ->+．【答案】（1）()1y a x a=-+（2）()min ,1,ln 1,1e,1,e ea a f x a a aa ⎧⎪≤⎪+<<⎨⎪⎪+≥⎩（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出()0f a =，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可；（2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数0a ≤，0a >讨论单调性得出结果即可，其中当0a >时又分01a <≤、1e a <<、e a ≥三种情况；（3）构造函数()g x ，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到()g x 的单调性，即可证明.【小问1详解】因为()e x a f x x =+，所以()1exaf x ='-，所以()()01,0f a f a '=-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()1y a x a =-+.【小问2详解】因为()e 1e ex x xa af x -=='-，当0a ≤时，()0f x '>在区间[]0,1上恒成立，所以()f x 在区间[]0,1上是增函数，此时()()min 0f x f a ==；当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，①当ln 0≤a ，即01a <≤时，()0f x '>在区间[]0,1上恒成立，所以()f x 在区间[]0,1上是增函数，所以当0x =时，()()min 0f x f a ==；②当0ln 1a <<，即1e a <<时，()f x '与()f x 的情况如下：x()0,ln a ln a()ln ,1a ()f x '负正()f x 减极小值增函数所以当ln x a =时，()min ln 1f x a =+；③当ln 1a ≥即e a ≥时，()0f x '<在区间[]0,1上恒成立，所以()f x 在区间[]0,1上是减函数，所以当1x =时，()min 1ea f x =+，综上()min ,1,ln 1,1e,1,e ea a f x a a aa ⎧⎪≤⎪+<<⎨⎪⎪+≥⎩【小问3详解】设()()()ln ln 1ln ln ln ln 2e e e e xa x a xx a a g x f a x a x a x a x x -+⎛⎫=--+=-+-++=-+- ⎪⎝⎭，所以()12e e xxg x =-++'，因为1e 0,0exx >>，由基本不等式可得()12e 20e x x g x =-++≥-+='，当且仅当1e 0e x x x =⇒=时取等号，所以()g x '在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以()()ln ln f a x f a x ->+.【点睛】方法点睛：（1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程；（2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值；（3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解.21.已知12:,,,N Q a a a 为有穷正整数数列，12N a a a ≤≤≤ ，且12N s a a a =+++ ．从Q 中选取第1i 项，第2i 项，L ，第m i 项()12m i i i <<< ，称数列1,i i i a a ，,m i a 为Q 的长度为m 的子列．规定：数列Q 的任意一项都是Q 的长度为1的子列．若对于任意的正整数t s ≤，数列Q 存在长度为m 的子列12,,,m t t t a a a ，使得12m t t t a a a t +++= ，则称数列Q 为全覆盖数列．（1）判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列；（2）在数列Q 中，若21s N ≤-，求证：当2n N ≤≤时，1211n n a n a a a -≤≤++++ ；（3）若数列Q 满足：11a =，且当2n N ≤≤时，1211n n a a a a -≤++++ ，求证：数列Q 为全覆盖数列．【答案】（1）1,1,1,5不是全覆盖数列，1,2,4,8是全覆盖数列（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接使用定义验证即可；（2）利用数列的各项都是正整数及12N a a a ≤≤≤ ，即可得到结论；（3）使用数学归纳法证明.【小问1详解】对于1,1,1,5，有8s =，但该数列不存在和为4t =的子列，故1,1,1,5不是全覆盖数列；对于1,2,4,8，有15s =，由11,22,123,44,145,246,1247,88,189==+==+=+=++==+=；2810,12811,4812,14813,24814,124815+=++=+=++=++=+++=.可知1,2,4,8是全覆盖数列.【小问2详解】由题知，11a =.若不成立，则12a ≥，那么122N a a a N +++≥ 与假设矛盾.因为21s N ≤-，即1221N a a a N +++≤- .①又121 1N a a a N -+++≥- ，所以1211N a a a N -++++≥ .所以()1211N a a a N --+++≤-+ .由①+②得，N a N≤.所以1211N N a N a a a -≤≤++++ .当1N a =时，1211N a a a -==== ，得121123N a a a N N -+++=-≤- ，命题成立.此时，当21n N ≤≤-时，1211n n a n a a a -≤≤++++ 成立.当2N a ≥时，得12123N a a a N -+++≤- .同理可得，112211N N a N a a a --≤-≤++++ .归纳可得，当21n N ≤≤-时，1211n n a n a a a -≤≤++++ .综上可得，命题成立.【小问3详解】下面证明，当1n N ≤≤时，对于任意的12n t a a a ≤+++ ，存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t n ∈ ，使得12m t t t a a a t +++= .（i ）当1n =时，11a =，所以当11t S ≤=时，有1t a =.当2n =时，则2112a a ≤+=.所以12121,1,2a a a a ==+=.对于任意2t ≤，命题成立.或12121,2,3a a a a ==+=.对于任意3t ≤，命题成立.（ii ）假设当(1)n k k N =≤-时，命题成立.即对于任意的正整数12k t a a a ≤+++ ，存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t k ∈ ，使得12m t t t a a a t +++= .则当1n k =+时，对于任意的正整数121k k t a a a a +≤++++ .①当正整数12k t a a a ≤+++ 时，由假设成立.存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t k ∈ ，使得12m t t t a a a t +++= .②当正整数121k t a a a ≥++++ 时，因为1121k k a a a a +≤++++ ，所以1k t a +≥.若1k t a +=，则此时成立.若1k t a +>，则1121k k t a a a a +≤-≤+++ .由假设，存在子列12,,,m t t t a a a ''' ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t k '''∈ ，使得121mk t t t a a a t a '''++++=-整理得121m k t t t t a a a a +'''=++++ ，此时12,,,,1{1,2,3,,,1}m t t t k k k '''+∈+ .即命题成立.综上，对于任意的12N t a a a ≤+++ ，存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t N ∈ ，使12m t t t a a a t +++= .所以数列Q 为全覆盖数列.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中数学归纳法的使用.。
2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)
说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因
为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲
是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
属于中档题． 8．B
2x + 3y − 3 ≤ 0 作出 2x − 3y + 3 ≥ 0 表示的可行域，如图，
y + 3 ≥ 0
2x + 3y − 3 =0 x = −6
由
可得
，
2x − 3y + 3 =0 y = −3
将=z 2x + y 变形为 y =−2x + z ， 平移直线 y =−2x + z ，
由图可知当直 y =−2x + z 经过点 (−6, −3) 时，
4 − 2i
＝2－i.
2
参考答案
故选 D. 【点睛】 这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上
uuur 的点 Z(a，b)、平面向量 OZ 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实
轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭
a2 b2
截
得的弦长为 2，则 C 的离心率为
（）
A．2
B． 3
C． 2
D． 2 3 3
10．已知直三棱柱 ΑΒC − Α1Β1C1 中， ∠ΑΒC = 120o， ΑΒ = 2 ， ΒC= CC=1 1，则
【精品】2017年北京市昌平区高考数学二模试卷及参考答案(理科)
2017年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜2}D．{x|﹣1≤x＜1} 2．（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=sinx C．y=x3 D．y=ln|x|3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S值为，则①处应填写（）A．k＜3 B．k＜4 C．k＜5 D．k＜64．（5分）在△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则=（）A．B．C．D．5．（5分）命题p：数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a≠0）；命题q：数列{a n}是等差数列．则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）第五届北京农业嘉年华于2017年3月11日至5月7日在昌平区兴寿镇草莓博览园中举办，设置“三馆两园一带一谷一线”八大功能板块．现安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志愿者服务工作，若每个“馆”与“园”都至少安排一人，则不同的安排方法种数为（）A．C A B．5C AC．5A D．C A7．（5分）设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M：﹣y2=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若（1+i）（a﹣i）=﹣2i，则a=．10．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最小值为．11．（5分）已知=（1，），=（﹣1，0），=（，k），若2﹣与垂直，则k=．12．（5分）在极坐标中，点（，）到直线ρcosθ=2的距离等于．13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，0，0），B（0，2，0），C （0，0，0），P（0，1，），则三棱锥P﹣ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积为；该三棱锥的最长棱的棱长为．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）．（Ⅰ）求f（）及f（x）的最小正周期T的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X 表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x．（I）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（II）若，求f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD 的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．（1）证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；（2）证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．20．（13分）设集合U={1，2，…，100}，T⊆U．对数列{a n}（n∈N*），规定：①若T=∅，则S T=0；②若T={n 1，n2，…，n k}，则S T=a+a+…+a．例如：当a n=2n，T={1，3，5}时，S T=a1+a3+a5=2+6+10=18．已知等比数列{a n}（n∈N*），a1=1，且当T={2，3}时，S T=12，求数列{a n}的通项公式．2017年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜2}D．{x|﹣1≤x＜1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}．故选：B．2．（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=sinx C．y=x3 D．y=ln|x|【解答】解：对于A，y=2x，是非奇非偶的函数，不满足题意；对于B，y=sinx，是奇函数，但在定义域R上不是增函数，不满足题意；对于C，y=x3，是奇函数，且为定义域R上的增函数，满足题意；对于D，y=ln|x|，是偶函数，不满足题意．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S值为，则①处应填写（）A．k＜3 B．k＜4 C．k＜5 D．k＜6【解答】解：模拟程序运行过程，知S=S+=S+=S+﹣；k=2时，S=﹣≠，k=3时，S=﹣+﹣=﹣≠，k=4时，S=﹣+﹣=﹣≠，k=5时，S=﹣+﹣=，此时不满足条件①，输出S=；∴①处为“k＜5”．故选：C．4．（5分）在△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则=（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则由余弦定理可得BC===7，再根据正弦定理可得===，故选：B．5．（5分）命题p：数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a≠0）；命题q：数列{a n}是等差数列．则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn+c﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）+c]=an2+bn+c ﹣a（n﹣1）2﹣b（n﹣1）﹣c=2an+a+b，当n=1时，a1=S1=a+b+c不满足a n=2an+a+b，则a n=，则数列{a n}不是等差数列，即充分性不成立，若{a n}是等差数列，当d=0时，则S n=na1，不满足S n=an2+bn+c（a≠0），即必要性不成立，即p是q的既不充分也不必要条件，故选：D6．（5分）第五届北京农业嘉年华于2017年3月11日至5月7日在昌平区兴寿镇草莓博览园中举办，设置“三馆两园一带一谷一线”八大功能板块．现安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志愿者服务工作，若每个“馆”与“园”都至少安排一人，则不同的安排方法种数为（）A．C A B．5C AC．5A D．C A【解答】解：安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志愿者服务工作，每个“馆”与“园”都至少安排一人，先把6人分成5组，每组至少一人，不同的分组方法有：种，再把这5组安排到“三馆两园”，来同的安排方法有：种，由乘法计数原理，得不同的安排方法种数为：．故选：A．7．（5分）设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M：﹣y2=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：AB的长度|AB|===2，设C到AB的距离为d，则由S=d=3，得d==，AB的直线方程和为y=kx+1，则由﹣1=2k+1得2k=﹣2，得k=﹣1，即AB的方程为：y=﹣x+1，即x+y﹣1=0，设与直线x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c=0，得y=﹣x﹣c代入双曲线M：﹣y2=1得3x2+8cx+4+4c2=0，当直线和双曲线相切时，判别式△=64c2﹣12（4+4c2）=0，即c2=3，得c=±，即相切的直线方程为x+y+=0或x+y﹣=0，直线x+y+=0和x+y﹣1=0的距离d==＜，则此时△ABC 的面积为3的点C有两个，直线x+y﹣=0和x+y﹣1=0的距离d==＜，则此时△ABC 的面积为3的点C有两个，综上△ABC的面积为3的点C有4个，故选：A8．（5分）四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛6场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．即每场比赛若不平局，则共产生3×6=18分，每场比赛都平局，则共产生2×6=12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2，3，4，5；或3，4，5，6．如果是3，4，5，6，则每场产生=3分，没有平局产生，但是不可能产生4，5分，与题意矛盾，舍去．因此各队得分分别为：2，3，4，5．第一名得分5：5=3+1+1，为一胜两平；第二名得分4：4=3+1+0，为一胜一平一负；第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平；第四名得分2：2=1+1+0，为两平一负．则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若（1+i）（a﹣i）=﹣2i，则a=﹣1．【解答】解：（1+i）（a﹣i）=﹣2i，可得（1﹣i）（1+i）（a﹣i）=﹣2i（1﹣i），2（a﹣i）=﹣2i（1﹣i）=﹣2i﹣2，即a﹣i=﹣i﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣1．10．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣，），此时z=﹣×2+=﹣，故答案为：．11．（5分）已知=（1，），=（﹣1，0），=（，k），若2﹣与垂直，则k=﹣．【解答】解：∵=（1，），=（﹣1，0），=（，k），∴=（2，2）﹣（﹣1，0）=（3，2），∵2﹣与垂直，∴（）•=3+2k=0，解得k=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）在极坐标中，点（，）到直线ρcosθ=2的距离等于1．【解答】解：由x=cos=1，y=sin=1，可得点（，）的直角坐标是（1，1），直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2．∴点（1，1）到直线x=2的距离d=2﹣1=1，故答案为：1．13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，0，0），B（0，2，0），C （0，0，0），P（0，1，），则三棱锥P﹣ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积为；该三棱锥的最长棱的棱长为2．【解答】解：如图所示，空间直角坐标系O﹣xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），P（0，1，），在平面yOz中过点P作PM⊥z轴，垂足为M，则△ACM是三棱锥P﹣ABC在坐标平面xOz上的正投影图形，=×2×=；其面积为S△ACM三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，AB=2，PB=PC==2，PA==2；∴最长棱的棱长为AB=AP=2．故答案为：；2．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）．（Ⅰ）求f（）及f（x）的最小正周期T的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxsin（﹣x）=2sinx•（cosx﹣sinx）=sin2x﹣sin2x=sin2x﹣•=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣，∴f（）=sinπ﹣=﹣，∴T==π．（Ⅱ）在区间[﹣，]上，2x+∈[0，]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1﹣，当2x+=0时，函数f（x）取得最小值为0﹣=﹣．16．（13分）从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X 表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.10+0.10+0.20+0.40）=0.10，∵第6小组的频数为10，∴总人数为=100（人）．∴第5、6组的学生均为“优秀生”，人数为（0.40+0.10）×100=50（人）．即“优秀生”的人数为50．…（4分）（Ⅱ）根据分层抽样，在各组抽取的人数分别1人，1人，1人，2人，4人，1人．其中成绩不低于13.0米的有1人．设事件A为“至少1名男生成绩不低于13.0米”，则P（A）==．∴选出的2名男生的成绩中至少有1名男生的成绩不低于13.0米的概率为．…（7分）（Ⅲ）从该校全体男生中任选一人，这个人是“优秀生”的概率为．由题意知X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==．所求分布列为：∴EX==．…（13分）17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD．∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．∵PE∩AD=E，∴CD⊥平面PAD．∵CD⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面PAD．…（4分）解：（Ⅱ）在平面ABCD内作直线EF⊥AD．∴EF⊥平面PAD，∴EF⊥PE．以E为原点建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示．则P（0，0，），A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（4，1，0），D（0，1，0）．=（2，﹣1，﹣），=（4，1，﹣），=（0，1，﹣），设平面PCD的法向量为=（x，y，z）．∴，令z=，则=（0，3，），设直线PB与平面PCD所成的角为α．则sinα=|cos＜＞|=||=．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）在棱CD上假设存在点M，使得AM⊥平面PBE．∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM．要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立．设M（x0，y0，z0），．λ∈[0，1]∴，即（x，y﹣1，z）=λ（4，0，0）．∴x=4λ，y=1，z=0．∴M（4λ，1，0）．∵，∴由⊥，得=0，即8λ﹣2=0．解得∈[0，1]．故．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x．（I）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（II ）若，求f（x）的单调区间．【解答】解：（I）因为f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x，所以f'（x）=2a（x﹣1）﹣（e2﹣x﹣xe2﹣x）．因为f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，所以f′（2）=0，所以1+2a=0，所以a=﹣．…（5分）（II）因为f′（x）=（x﹣1）（e2﹣x+2a），（1）当a≥0时，e2﹣x+2a＞0，所以f′（x）＞0，解得：x＞1，f′（x）＜0，解得：x＜1所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；（2）当﹣＜a＜0时，令f′（x）=0，得x1=1，x2=2﹣ln（﹣2a），且x2﹣x1=1﹣ln（﹣2a）＞0．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）；综上所述：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；当﹣＜a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）．…（13分）19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．（1）证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；（2）证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得．故椭圆E的方程为；证明：（Ⅱ）（1）由题意，∵，得，则直线l的方程为，联立，化简得x2﹣4x+4=0．∵判别式△=0，∴直线l与椭圆E有且只有一个公共点；（2）设直线l′的方程为y=（m≠0）．联立方程组，解得．故点P坐标为（2﹣m，），．联立方程组，化简得x2+2mx+2m2﹣4=0．设点M（x1，y1），N（x2，y2）．判别式△=4（﹣m2+4）＞0，得﹣2＜m＜2．又．∴|PM|=．同理，．故|PM||PN|===．∵|PD|2=λ|PM|•|PN|，解得λ=1．故存在常数λ为1，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|．20．（13分）设集合U={1，2，…，100}，T⊆U．对数列{a n}（n∈N*），规定：①若T=∅，则S T=0；②若T={n 1，n2，…，n k}，则S T=a+a+…+a．例如：当a n=2n，T={1，3，5}时，S T=a1+a3+a5=2+6+10=18．已知等比数列{a n}（n∈N*），a1=1，且当T={2，3}时，S T=12，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵等比数列{a n}（n∈N*），a1=1，且当T={2，3}时，S T=12，∴a2+a3=12，即q+q2=12，解得q=3或q=﹣4，∴当q=3时，a n=a=3n﹣1，当q=﹣4时，a n=a=（﹣4）n﹣1，∴数列{a n }的通项公式为或．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
北京市昌平区2017届高三第二次(11月)统一练习数学(文)(word版_附答案)
北京市昌平区2017届高三第二次（11月）统一练习数学（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1. 若集合，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ） A ．10 B ．11 C ． 12 D ． 93．设，，为不同的直线，，为不同的平面，则正确的命题为（ ） A ．若，则 B ．若则 C ．若则 D.若且则4．平面向量与的夹角为， ，则 （ ）A． B ． C ． 4 D ． 2 5．实数，，的大小关系正确的是( )A ．B ．C ．D ．6．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( ){}20A x x x =-<{}03B x x =<<A B I {}01x x <<{}03x x <<{}13x x <<∅4n =S l m n αβ,l αβα⊥⊥//l β,,l αβα⊥⊂l β⊥,,l m m n ⊥⊥//l n ,//m n αβ⊥//αβ,m n ⊥a r b r 0120(2,0),||1a b ==r r |2|a b +=r r 32360.7=a 0.7log 6=b 0.76=c <<a c b <<a b c <<b a c <<b c a 2sin()y x ωϕ=+A ．B ．C ．D ． 7．若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设，定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0.5 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 9．= __________． 10．在中，若，，，则 ． 11．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______． 12．正三棱柱的底面边长为, 如右图所示摆放，三棱柱的主视图面积为,则左视图的面积为 .13．已知等比数列的前项和为，且，则的公比的值为 .14．规定一种运算：，例如：，，则函数2sin(2)4y x π=-2sin(2)4y x π=+32sin()8y x π=+72sin()216x y π=+110a b<<a b ab +<||||a b >a b <2b a a b+>12x x <12[,]x x 21x x -||2x y =[,]a b [1,2][,]a b i-12ABC ∆1b =3c =23π∠=C =a ABCDE CD ABCD M M ABE a 22a {}n a n n S 317S a ={}n a q ⎩⎨⎧>≤=⊗ba b ba ab a ,,121⊗=322⊗=aaa的值域为 .三、解答题：(本大题共6小题，共80分.)15. (本小题满分13分) 在三角形ABC 中，若， （1）求角的大小； （2）若，，求三角形的面积.16. (本小题满分13分)为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，x x x f cos sin )(⊗=B c a C b cos )2(cos -=B 7=b 4=+c a ABC 45705[4550)，[5055)，[5560)，[6065)，[6570]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17. (本小题满分14分)如图，三棱锥中，底面，△为等边三角形，分别是，的中点. （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ））若，求三棱锥的体积.（Ⅲ）在上是否存在一点，使平面？并说明理由.18. (本小题满分13分) 已知函数. -P ABC ⊥PA ABC ABC ,D E BC CA ⊥BE PAC 2==PA AB -P ABC BC F //AD PEF 3211()()32f x x a x a a =-+∈R（Ⅰ）若求函数上的最大值；（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.19. (本小题满分13分)已知等差数列满足：，，的前项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令=(n N *)，求数列的前项和．20．(本小题满分14分)已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立. 若，是数列的前项和. （I ）求数列的通项公式；（II ）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n 为正整数），求数列的变号数； （Ⅲ）设（且），使不等式 恒成立，求正整数的最大值．参考答案一、选择题：1-8、ABDD CBBC1,a =()[0,2]f x 在[)0,∈+∞x ()0f x >a {}n a 37a =5726a a +={}n a n n S n a n S =n b 211n a -∈{}n b n n T )()(2R x a ax x x f ∈+-=21x x 0<<)x (f )x (f 21>*N n ∈)(n f }{n a n {}n a {}n c 01<⋅+k k c c k {}n c nn a c 41-={}n c 61n +=n a T 2≥n *n ∈N 321)1)...(1()1(30732+•++•+≤n T T T m n m二、填空题：三、解答题：15题]2214.[-1,，3-或2.13，a 3.1221.11，610.，i 1.92π+分-13---------43323321acsinB 21S 分-10---------------------23sinB 分9---------3ac ，2ac b -c a cosB ）2（分7---------------3B ），，0（B 分5---------------------21cosB 0sinA ），C B （sin sinA ，C B A 分2-------------2sinAcosB ）C B （sin 分-1-cosB ）sinC -2sinA （sinBcosC ：由正弦定理2法分7---------------3B ），，0（B 分5-----------21cosB ，ac b -c a 分2----------------,2a cosB 分1-----------,2cosC ：1法)1(222222222222=⨯⨯====∴+==∴∈=∴≠+=∴=++=+∴==∴∈==+∴-+=-+=ΘΘΘΘΘπππππacb c abc b a 分13-------------，答题1511）A （P 分，10-----种11包含A 事件分9---------------------种15共,）c ，b ）（c ，b ）（b ，b （）c ，a ）（b ，a ）（b ，a ）（c ，a ）（c ，a ）（b ，a ）（b ，a ）（a ，a （）c ，a ）（b ，a ）（b ，a ）（a ，a ）（a ，a 试验所有结果为（c组同学为5第,b ，b 名学生同学分别为2组4记第a ，a ，a 名同学分别为3组3记第名学生不在同一个组，2表示A ）设事件2（分3------------------------------------1,2,3）1（题：162121323131222123212111322121，321=x（0，1） 1 （1，2）—减极小值增-------------------3分分14---------PEF 面||AD ，PEF 面AD ，PEF 面EF 又分12------AD ||EF 分别为中点，F ，E 中，ACD 证明：在分10-----------PEF 面||AD 中点时，CD 为F ）存在，当3（分9------------332PA S 31V ，3S ）2（分5---------------PAC 面BE ，A AC PA 分3-----------------PA BE ，ABC 面PA AC BE 中点，AC 是E ，CB AB 中，ABC ）证明：在1（题：17ABC ∴⊄⊂∴∆=⨯==⊥∴=⊥∴⊥⊥∴=∆∆ΘI ΘΘΘ1x ，1-x ，0）x （f 令分1-----）1-x ）（1x （1-x ）x （f ）1（题：1821/2/===+==x （f /+）x （f20．解：（I ）∵在定义域内有且只有一个零点……1分当=0时，函数在上递增 故不存在，使得不等式成立 …… 2分 综上，得…….3分…………4分（II ）解法一：由题设 时， 分13230综上，，不合题意0）0（f ）a -（f ）x （f ）上增函数，，a -）上减函数，在（a -，0）在（x （f 时，0a 当分11230，0）a （f ）x （f ）上增函数，，a ）上减函数，在（a ，0）在（x （f 时，0a 当分-8-不合题意0）0（f ）x （f ）上增函数，，[0）在x （f 时，0a 当a x ，-a x ，0）x （f ），令a x ）（a -x （）x （f ）2（分5---------------67）x （f 67）2（f ，21）0（f min min min 21//max ----------------------------<<<<=∴∞+<-------------------<<>=∴∞+>==∴∞+====+==∴==a a 分13-------------------）1n （4n ）1n 1-1（41]）1n 1-n 1（）31-21（）21-1（[41T 分9)111(41)2（分5---------------------------1n 2a 分3------2d ，13a ，26a 2a a ）1题：（19n n 6675+=+=++++=---------------------+-=+===∴==+K Θn n b n )(x f 函数40042===-=∆∴a a a a 或得a 2)(x x f =),0(+∞210x x <<)()(21x f x f >44)(,42+-==x x x f a 442+-=∴n n S n ⎩⎨⎧≥-==-=∴-2,521,11n n n S S a n n n ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2n ,5n 2411n ,3c n 3n ≥Θ0)3n 2)(5n 2(83n 245n 24c c n 1n >--=---=-+时，数列递增由 可知即时，有且只有1个变号数； 又 即 ∴此处变号数有2个综上得数列共有3个变号数，即变号数为3 ……9分解法二：由题设 当时，令 又时也有 综上得数列共有3个变号数，即变号数为3 …………9分（Ⅲ）且时， 可转化为． 设， 则当且，3n ≥∴{}n c 031c 4<-=Θ505241≥>--n n 得0a a 54<⋅3n ≥3c ,5c ,3c 321-==-=Θ0c c ,0c c 3221<⋅<⋅{}n c ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2n 5n 2411n 3c n 2n ≥03272529201<--⋅--<⋅+n n n n c c n n 得4229272523==<<<<n n n n 或解得或即5c ,3c 21=-=Θ1n =∴0c c 21<⋅{}n c 2≥n *n ∈N 121+=n T n 321)1211)...(711)(511(307+•++++≤n n m 3211222122...9107856307+•++•-••≤n n n n n m =)(n g 3211222122...9107856+•++•-••n n n n n 2≥n *n ∈N 3211222 (9107856521)32421222...9107856)()1(+•++••+•++•++••=+n n n n n n n n n g n g. 所以，即当增大时，也增大．要使不等式对于任意的恒成立.2423242325(23)(25)n n n n n n n +++=⋅=++++222242424241244161541616(24)n n n n n n n n n n ++++=>===++++++)()1(n g n g >+n )(n g 321)1)...(1)(1(30732+•+++≤n T T T m n *n ∈N。
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昌平区2016－2017学年度第二学期高三年级第二次统一练习数 学 试 卷（理科）考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合}{042≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A = A. {0≥x |x } B . {20<≤x |x } C. {42≤<x |x } D. {40≤≤x |x } 2. 在复平面内，与复数i+11对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知直线l ：为参数）t t y tx (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是 A. 2 B.3 C.2 D. 15.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3 个左视图6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上 任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.C 1A 1C11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值,若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ___________个.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =________;AO =________.13. 若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得 f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”；③f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围.EA某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18．（本小题满分13分） 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.如图，已知椭圆M :)0(12222>>=+b a b y a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？20. (本小题满分13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=（Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求依赖于0a 和n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.昌平区2016－2017学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学( 理科)试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．127π 10. x y 21±= , 52 11. 3 12. 1 ， 2313． 714. ① ③ 注：10,12题第一空2分三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分 得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π………6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a ……… 13分16．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件,6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分 (Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p ……… 13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDDC ⊂ 平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF . M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄ 平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,DD DD DD ⋅〈〉== n n n . ………13分 平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD……… 14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(xa x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分 1>a 令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即a x xa x x <<<--1,0))(1(2得， ∴)(x f 的减区间为),1(a ………………5分（Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立，∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. ……… 6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ……… 7分②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）……… 10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min -=+--==∴a eae ef x f ，得 .e a = ………12分 综上可知 .e a = ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = ……… 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+ba 解得：34422==b ,a ……… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ……… 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x -1)+1， y = -k (x -1) +1 ……… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ……… 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分∴=PQk311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P )1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k = ∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= ……… 2分（Ⅱ）由123,nn n a a +=-得1112(3)(3)(3)n n n n n n a a +++-=--- ……… 3分 令(3)n n n a b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=-所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++---- 2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()231()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+-- ……… 6分所以1122(1())(3)3153n n n a a -=+---- ……… 7分 所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a -=+-⋅+-⋅⋅ ……… 8分第11页 共11页 （Ⅲ）1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅ 101[2(1)3](1)35n n n n n a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n n n n n a a a +-=+-⋅⋅- ……… 10分 如果0105a ->，利用n 无限增大时，2()3n 的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求. ……… 13分。