二轮专题复习(01)：化归转化思想
高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想
高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，本专题主要训练转化与化归的思想方法在解决数学问题中的应用。
内容主要包括转化与化归的主要原则、方法、依据。
通过对既往全国及江苏等省市高考试题的研究，不难发现，几乎每题都渗透这种思想方法。
1、,通过转化转化与化归的原则是：（1）将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；（2）将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；（3）将复杂的问题转化为简单的问题；（4）将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题，（5）将实际问题转化数学问题，使问题便于解决。
2、 转化与化归的方法有： （1）函数与方程的相互转化；（2）函数与不等问题的相互转化；（3）数与形的转化；（4）空间与平面的相互转化；（5）一般与特殊的相互转化；（6）实际问题与数学理论的转化； （7）高次与低次的相互转化：（8）整体与局部的相互转化。
3、转化与化归思想思维程序问题（抽象、数学化）数学问题（化归、转化 把问题化为模型）数学模型（求解 运用模型）得解一、选择题1、已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（C ）（A ）（-0,34） （B ）（-∞，0） （C ）(]0,∞- （D ）(])34(0,∞+∞-2、函数)112lg(--=xy 的图象关于 （A ）（A ）原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ）直线y=x 对称3、设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是 （A ）（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-294、三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有 （D ） （A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a 5、不等式0||42≥+-xx x 的解集是 （D ） （A ）}22|{≤≤-x x（B ）|03|{ x x ≤-或}30≤≤x（C ）02|{ x x ≤-或20≤x } （D ）03|{ x x ≤-或20≤x }6、若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（B ）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21 7、（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为 （A ） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+18、函数y=f （x ）是函数y=-)10(222≤≤-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的 （ B ）9、已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（C ）（A ）125421422=-y x （B ）125421422=+y x （C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x 10、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C 作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于 （D ） （A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）3111、从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是 x-2y-7=0 . 12、函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[ππ的值域是 ]3,2[ . 13、如图2-4-2，圆锥V-AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到VA 的最短距离是 3 .14、方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛51,0 . . 15、( 2006湖南）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 5 .16、已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 22 。
转化思想
初中数学第二轮复习转化与化归思想一：【要点梳理】将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。
除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。
熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
二：【例题与练习】例1、一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（2，1），B（－1，n）两点。
（1）求反比例函数的解析式（2）求一次例函数的解析式（3）求△AOB的面积练习．如图，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为(1，1)。
(1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标。
例2 一个边长为1的正方体的对角线长为练习圆锥的底面周长为2π，母线长为2，则圆锥的高为例3 鸡兔同笼，头共20个，脚共62只，求鸡与兔各有多少只？练习在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。
其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。
求汽车和摩托车各有多少辆？例4 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？练习恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.例5 已知：a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是下列图象中的（ ） A 、 B 、C 、 D 、练习，如图为y=ax 2+bx+c 的函数图象，则ax 2+bx+c=1的解为例6.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把面 积为12的矩形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成 两个面积为18的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：11111111+++++++=_____248163264128256 试写出以上等式的一般规律例7已知2286250,x y x y ++++=求代数式224244yx x y x xy y --+++2x 的值。
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第4讲转化与化归思想课件
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
竞赛辅导--化归转化思想
学生辅导----化归转化思想方法化归转化思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的数学思想方法，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。
其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题、解决问题。
转化与化归的原则：（1）熟悉化原则：即陌生问题--熟悉问题，也就是常说的通过旧知解决新知（2）简单化原则：即复杂问题--简单问题，（3）具体化原则：即抽象问题--具体问题或直观问题（4）极端化原则：即运用极端化位置或状态的特性引出一般位置上或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。
（5）和谐化原则：即对问题进行转化时要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式和形内部固有和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。
转化与化归的主要途径有：（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学模型的转化.典型题例：一、计算中的转化技巧-----字母与数互化，简化形式，突出特征。
1、1987×20002000-2000×198719872、1992×19941994－1994199319933、19971996199319911995)39851994)(20001994(22⨯⨯⨯⨯+- 4、- 5、2200612008200720062005-+⨯⨯⨯6、3005200520052003200330052003200420034008200220034004200322⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯- 7、试说明22222007200720062006+⨯+是一个完全平方数8、20002000200020001998357153)37(++⨯(因式分解转化） 1919191901901900190093939393093093009300--9、279318629311263842421⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 10、)200611()311)(211(222-⋅⋅⋅-- 11、201320121431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯(裂项法） 12、2012211432113211211+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++++++++ 二、代数式求值转化技巧---整体换元13、代数式的求值：如果,6232=-x x 则12692--x x 的值是_____.14、已知2-=x 时，973=-+bx ax ，则2=x 时，23++bx ax 的值为_____.15、已知012=-+m m ，那么代数式2008223-+m m 的值是_______.16、已知0132=+-x x ，那么10423+--x x x 的值为________.17、如果311=-y x ，求分式yxy x y xy x ---+2232的值。
高三数学第二轮专题讲座复习：化归思想
a
46
2(1
4 4 )(a
4 6)
a
例 3 一条路上共有 9 个路灯， 为了节约用电， 拟关闭其中 3 个，要求两端的路灯不能关 闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为
解析 9 个灯中关闭 3 个等价于在 6 个开启的路灯中， 选 3 个间隔 （不包括两端外边的
C
3 5
=10
10
2
2
故 P 的 坐标为 ( a ,
2
)
2a
2
2
2
(2)∵在△ ABP 中，｜ AB｜ =2 a b ，高为
,
a
∴ S(a)
1 2
a2
b2
2
2
a
2(1
4 a4
)
∵ a＞ b＞0,b=
2 a
∴ a＞ 2 ,即 a＞ a
2
,得
0＜
4 a4
＜1
于是 0＜ S（ a）＜ 2 ，故△ ABP 的面积函数 S(a)的值域为 (0, 2 )
例 2 设椭圆
C1 的方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a＞ b＞ 0)，曲线 C2 的方程为 y= 1 ，且曲线 C1 与 x
C2 在第一象限内只有一个公共点 P （ 1）试用 a 表示点 P 的坐标；
（ 2）设 A、B 是椭圆 C1 的两 个焦点，当 a 变化时，求△ ABP 的面积函数 S(a)的值域； （ 3 ）记 min{ y1,y2,…… ,yn} 为 y1,y2,…… ,yn 中最小的一个 设 g(a)是以椭圆 C1 的半焦距 为边长的正方形的面积，试求函数 f(a)=min{ g(a), S(a)} 的表达式
命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力
高考数学专题复习 化归与转化思想
2008高考数学专题复习 化归与转化思想一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化二、 经典例题剖析例1、（2007安徽卷 理）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决； （Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
高三数学二轮复习专题辅导转化与化归思想
（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集_获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；
（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；
（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；
题型3：不等式问题
例3．（1）（2012高考真题重庆理2）不等式_的解集为（）
A._B._C._D._对
解析：A；原不等式等价于_或_，即_或_，所以不等式的解为_，选A.
高中总复习二轮文科数学精品课件 第1部分 思想方法研析指导 四、转化与化归思想
所以当
1
φ'(x)=2-
1
0<x< 时,φ'(x)<0;当
2
所以 φ(x)在区间
所以 φ(x)≥φ
1
2
1
0, 2
=
2-1
.
1
x> 时,φ'(x)>0.
2
上单调递减,在区间
1
=1-ln2=1+ln
1
,
+∞
2
上单调递增,
2>0.所以,当 x>0 时,不等式 f(x)>g(x)恒成立.
1
h'(x)=1
=
-1
(x>0).
所以,当0<x<1时,h'(x)<0;
当x>1时,h'(x)>0.
所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
所以当x>0时,h(x)=(x-1)-ln x≥h(1)=0.
所以,当 x>0
e +(-1)-ln
时,
>0
恒成立,即 f(x)>g(x)恒成立.
题后反思 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、
不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目
时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.
(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问
专题13 化归转化思想(原卷版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)
专题13 化归转化思想【规律总结】化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。
化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。
说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
【典例分析】例1、“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”判断方程实数根的情况()A. 有三个实数根B. 有两个实数根C. 有一个实数根D. 无实数根【答案】C【解析】【分析】本题考查利用函数的图像解方程的根，考查化归与转化思想，数形结合思想，属于中档题．−1=(x−1)2，由此设出两个函数关系式，在同一坐标系中画出两函可先将方程转化为1x数的图像，由图像的交点个数即可判断方程实数根的情况．【解答】−1=(x−1)2，解：将原方程变形为1x−1，y2=(x−1)2，设y1=1x因为一元二次方程根的个数相当于二次函数与x轴交点的个数，−2根的个数相当于y1和y2交点的个数，则方程x2−2x=1x在坐标系中画出两个函数的图像如图所示：可看出两个函数有一个交点(1,0)，−1有一个实数根，故方程(x−1)2=1x−2有一个实数根，即方程x2−2x=1x故选C．例2、已知a2+a−3=0，那么a2(a+4)的值是___________【答案】9【解析】【分析】此题主要是考查化归思想和整体代入法求代数式的值，先把条件化为a2+a=3，再把原式转化为含a2+a的式子，进行整体代入求值．【解答】解：因为a2+a−3=0，所以a2+a=3．原式=a3+4a2=a3+a2+3a2=a(a2+a)+3a2=3a+3a2=3(a2+a)=3×3=9．例3、阅读材料：关于x 的方程：x +1x =c +1c 的解为：x 1=c,x 2=1c x −1x =c −1c (可变形为x +−1x=c +−1c)的解为x 1=c,x 2=−1cx +2x =c +2c 的解为：x 1=c,x 2=2c x +3x =c +3c 的解为：x 1=c,x 2=3c…根据以上材料解答下列问题：(1)①方程x +1x =2+12的解为______________． ②方程x −1+1x−1=2+12的解为______________． (2)解关于x 的方程：x −3x−2=a −3a−2(a ≠2) 【答案】x 1=2,x 2=12；x 1=3,x 2=32【解析】解：(1)①方程x +1x =2+12的解为：x 1=2,x 2=12； ②根据题意得；x −1=2，x −1=12， 解得：x 1=3,x 2=32．故答案为：①x 1=2,x 2=12；②x 1=3,x 2=32； (2)两边同时减2变形为x −2−3x−2=a −2−3a−2， 解得：x −2=a −2，x −2=−3a−2， 即x 1=a ，x 2=2a−7a−2．(1)①本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．②本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．(2)本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．【好题演练】一、选择题1.关于a，b的方程组{(k−1)a−3b=ka−3b=2有无数组解，那么k的值是()．A. 2B. 1C. 3D. 不存在2.已知方程x+1x =a+1a的两根分别为a,1a，则方程x+1x−1=a+1a−1的根是()A. a,1a−1B. 1a−1,a−1 C. 1a,a−1 D. a,aa−13.如图，已知点A(1,2)，B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.点P从点A运动至点B的过程中，关于k值的变化：甲说：“当n=1时，点P在点A位置时，k的值最小．”乙说：“当n=1时，k的值先增大再减小．”丙说：“若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是n>2.”三个人的结论中，判断正确的是()A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 都正确4.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作能验证的等式是()A. (a−b)2=a2+2ab+b2B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)5.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是()A. (a−b)2=a2−2ab+b2 B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. a2+ab=a(a+b)6.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE的面积为()．A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题7.小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=(24−x)−(8−x)=16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5，将√24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解．请√8−x=3你学习小明的方法，解方程√x2+42+√x2+10=16，则x=_______．8.如图所示，在ΔABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N(点E在点N的左侧).若AB=8，AC=9，设ΔAEN周长为m，则m 的取值范围为_____________．9.如图，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BPCE时，EP+BP=_________．交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=1310.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法。
专题复习：转化和化归思想
直观化原则 2.(2012’安徽,10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪 念品的交换, 任意两位同学之间最多交换一次, 进
行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知6位同学
之间进行了13次互赠, 则收到4份纪念品的同学人 数为（D ） A.1或3 C.2或3 B.1或4 D.2或4
A B
C
F E D
3.（2012’北京,8）某棵果树前n年的总产量Sn与n之
4.(2011’福建)已知a、b为常数，且a≠0，函数 f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828… 是自然对数的底数）. (Ⅲ)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M), 使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)
1 （x∈[ ，e]）都有公共点？若存在，求出最小的 e
实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
方法小结:以 7.(2012’浙江,9)设a>0, b>0,( A ) A.若2a +2a=2b+3b, 则a>b
B.若2a +2a=2b+3b, 则a<b
C.若2a－2a=2b－3b, 则a>b D.若2a－2a=2b－3b, 则a<b 选项A等价于若a≤b则2a +2a≠2b+3b.
a b 2 2 , 2a 2b 3b a b a b 2 2a 2 3b 2 2a 2 3b
a b
巩固提高
1.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1] 内至少存在一个值c使得f(c)>0,求实数p的取值范围. 解:如果在区间[-1,1]内没有值c使得f(c)>0, 2 p 2 p 1 0, f ( 1) 0, 则 即 2 f (1) 0, 2 p 3 p 9 0,
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
高考复习资料：化归与转化的思想
第7讲化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
高中数学-化归与转化思想
一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
小学数学思想方法的梳理（二化归（转化）思想。）
小学数学思想方法的梳理（二）课程教材研究所王永春二、化归思想1. 化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2. 化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
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中考专题一：化归思想
Ⅰ、专题精讲：
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（函数问题转化为方程问题）如图3－1－1，反比例函数y=－8
x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、
B 两点．
（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．
【例2】（整体代换法解高次方程）解方程：
2
2(1)5(1)20
x x ---+=
【例3】（四边形问题转化为三角形问题）如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．
【例4】（几何问题转化为代数问题）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．
Ⅲ、同步跟踪配套试题：（45分钟完成） 一、选择题（每题 3分，共 18分） 1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（ ） 1221
. .
. .1112
x x x x
A B C D y y y y
=-
=-==⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨=-=-==⎩
⎩⎩⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B
（－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ）
8.2 6 .23
8
.8 6 .2
3
A y x
B y x
C y x
D y x =-+=--
=--=--
3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜1
2 B. －5＜m － 2
C ．－2＜m ＜5
D ．－7
2 ＜m ＜－l
4．已知11553x xy y
x y x xy y
+--=--，则的值为（ ）
A 、72
B 、－72
C 、27
D 、－2
7
5．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ） A ．6 B ．4或6 C ．0 D ．4或0
6．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ），
A ．2a
B ．2b
C ．－2a
D ．－2b 二、填空题
7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．
8．用配方法把二次函数 y=x 2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2
＋n 的形式，则y=__________________- 9．若分式29
3
x x -+的值为零，则x=________
10函数y=21
x x +-中自变量x 的取值范围是_______.
11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______. 12 点（1，6）在双曲线y= k
x 上，则k=______．
三、解答题（l 题12分，其余每题6分，共30分） 13．解下列方程（组）：
2
36
11
x x +=--2⑴
x+1
640
1(1)
x x x x -+-=--3⑵x
⎧⎨⎩
x+y=10⑶ 2x-y=-1
215x y x y -=-⎧⎨-+=⎩
⑷
14．已知2286250,x y x y ++++=求代数式
224442y x
x xy y x y
--+++2x 的值。
15．如图3－l －9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，
∠B =60○
，AD=8，BC=14，求梯形ABCD 的周长．
16．求直线y=3x ＋1与y=1－5x 的交点坐标。
Ⅳ、同步跟踪巩固试题 （80分钟） 一、选择题（每题3分，共30分）
1．若244(1)0y y x y ++++-=，则xy 值等于（ ）
A ．－6
B ． －2
C ．2
D ．6 2．二元一次方程组22
4x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解是（ ）
12
33. .
. .62
2
2
x x x x A B C D y y y y ===-=⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩ 3．已知214237m n x y --+=-是关于x 的二元一次方程，则m 、n 的值是（ ）
111
2. . . .3351222
m m m m A B C D n n n n ===⎧⎧⎧=⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 4．下列各组数中既是方程x —2y=4，又是方程2x+2y =1的解的是（ ）
11
20. . . .131222
x x x x A B C D y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 5．函数2y x =-中，自变量
x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥2
B ．x ≥0
C ．x ≥－2
D ．x ≤2 6．若分式22||2
x x
x +-值为零，则x 的值是（ ）
A ．0或－2
B ．－2
C ．0
D ．2或－ 2
2003200427(23)(23)( ) .2 3 .2 3 .2 3 .23
8x y 690, axy-3x=y, a ( )
1177 A. . . .4444
9A B C D y y B C D +-+--+--+-+=--
、计算：的结果是、已知、是实数，3x+4若则实数的值为、已知y=kx y=1; y=-2k b ( )
k=-1111 A. . . .b=1024
k k k B C D b b b =-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨
===-⎩⎩⎩⎩+b,当x=-1时，当x=2时，则与的值为
10 若21
17
x ax by y bx ay =+=⎧⎧⎨
⎨=+=⎩⎩是方程组的解，则（a ＋b ）（a －b ）的值为（ ） 3535
. .33
A B -
C ．－16
D ．16 二、填空题（每题 3分，共21分）
42
2
______
y m n -=32m n+m 11若7x y 与5x 是同类二次根式，则
12若22(25)|41|0x y -++=，，则x+ 2 y=______． 13两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根木
棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x(cm ）的范围是___________ 14
若2
|x-3|+(x-y+1)=0，222
____4
y x y xy ++=计算， 15 若点(,5)B(1,3)P a b a b +--与点关于原点对称，则关于
x 的二次三项式222
b
x ax --
可以分解为=_______________
16已知点(3,0)(0,3)(1,)A B C m -，，在同一条直线上，则m=____________.
17 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2 的
矩形，接着把面积为1
2
的矩形等
分成两个面积为14 的正方形，再把面积为1
4 的正方形
等分成两个面积为1
8 的矩形，如此进行下去……试利
用图形揭示的规律计算：
11111111+++++++=_____248163264128256
三、解答题（18、19题各10分，20、21 题各8分，22
题13分，共49分）
18．已知：如图3－1－11所示，现有一六边形铁板 ABCDEF ，其中∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F=120°，AB=10cm
，BC=70cm ，CD=20cm ，DE=4 0cm ，求A F 和EF 的长．
19．已知：如图3-1－12所示，在△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC
＝100°，∠DEC=80°，求ABC CDE S +2S ∆ .
20．如图 3－1－13所示，正方形边长为山以各边为直径在正方形内画半圆．求所围成图形（阴影部分）的面积。
21 △ABC 的三边长为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长．
（09深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式290x ->. 解：∵29(3)(3)x x x -=+-，
∴(3)(3)0x x +->.
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
有
（1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩
解不等式组（1），得3x >，
解不等式组（2），得3x <-，
故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-， 即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或
3x <-.
问题：求分式不等式51023
x x +<-的解集.。