人教版八年级数学下册课件：16.1.1二次根式的概念及意义
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16.1.1 二次根式的概念-初中数学人教版八年级下册教与练课件
x 3≥0，
解：由题意得
3 x≥0，
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 b 3 a 2a 6 4，求
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
1.下列式子：①
1
；②
3
3
1 − 2；③ 2 + 1；④ 27；⑤
−4 2 ，是二次根
式的有（ A ）
A．①③⑤
，其中实数x、y满足 =
2
6 − 2 + 1．
1
2
−2
解：(
− 2 )÷
+
+
2
1
2
2
=
−
⋅
+ +
−2
−2
2
解：由题意得
3 x≥0，
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 b 3 a 2a 6 4，求
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
1.下列式子：①
1
；②
3
3
1 − 2；③ 2 + 1；④ 27；⑤
−4 2 ，是二次根
式的有（ A ）
A．①③⑤
，其中实数x、y满足 =
2
6 − 2 + 1．
1
2
−2
解：(
− 2 )÷
+
+
2
1
2
2
=
−
⋅
+ +
−2
−2
2
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件
1 5；
2
3
2
x
2
；
3
x
；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)
C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
【人教版】八年级数学下册：16.1《二次根式的意义》ppt课件
解：依题意得：(b－2)2＋ a－5＝0，∴b＝2，a＝5，又 a，b，c 为三角形三边，∴3＜c＜7
16．已知 a 为实数，求代数式：
a＋2016－ 2016－a＋ －a2的值．
解：由－a2≥0，得
2020/6/26
a＝0，∴原式＝
该
2016－
2016＝0
பைடு நூலகம்
10
17．已知 a，b 为一等腰三角形的两边长，且满足等式 2 3a－6＋ 3 2－a＝b－4，求此等腰三角形的周长．(提示：从隐含二次根式有意 义入手)
8
14．x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
－2 x－2
；
2 (2)1－
； x
解：(1)x＜2 解：x≥0 且 x≠1
(3) 3－x＋（x－x－2.52）0. 解：2＜x≤3 且 x≠2.5
2020/6/26
该
9
15．△ABC 的三边长为 a，b，c，其中 a 和 b 满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求 c 的取值范围．
2020/6/26
该
14
3．计算下列各题： (1)2( 7)2; (2)(2 7)2；
解：原式＝14 解：原式＝28
(3)(－ 0.4)2; (4)(－2 21)2. 解：原式＝0.4 解：原式＝2
2020/6/26
该
15
知识点 2： a2＝|a|＝－a（a（a≥a＜0）0） 4．下列运算正确的是( A )
解：由题意得：32a－－a6≥≥00，，∴a＝2，b＝4，∵2，2，4 不合题意， ∴腰长为 4，底边为 2，∴周长为 10
2020/6/26
该
11
第十六章 二次根式
16．已知 a 为实数，求代数式：
a＋2016－ 2016－a＋ －a2的值．
解：由－a2≥0，得
2020/6/26
a＝0，∴原式＝
该
2016－
2016＝0
பைடு நூலகம்
10
17．已知 a，b 为一等腰三角形的两边长，且满足等式 2 3a－6＋ 3 2－a＝b－4，求此等腰三角形的周长．(提示：从隐含二次根式有意 义入手)
8
14．x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
－2 x－2
；
2 (2)1－
； x
解：(1)x＜2 解：x≥0 且 x≠1
(3) 3－x＋（x－x－2.52）0. 解：2＜x≤3 且 x≠2.5
2020/6/26
该
9
15．△ABC 的三边长为 a，b，c，其中 a 和 b 满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求 c 的取值范围．
2020/6/26
该
14
3．计算下列各题： (1)2( 7)2; (2)(2 7)2；
解：原式＝14 解：原式＝28
(3)(－ 0.4)2; (4)(－2 21)2. 解：原式＝0.4 解：原式＝2
2020/6/26
该
15
知识点 2： a2＝|a|＝－a（a（a≥a＜0）0） 4．下列运算正确的是( A )
解：由题意得：32a－－a6≥≥00，，∴a＝2，b＝4，∵2，2，4 不合题意， ∴腰长为 4，底边为 2，∴周长为 10
2020/6/26
该
11
第十六章 二次根式
新人教版八年级数学下册16.1.1 二次根式的概念ppt课件
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/6/2 82021/6/28202 1/6/286 /28/202 1 12:47:10 PM
•
11、人总是珍惜为得到。2021/6/28202 1/6/282 021/6/2 8Jun-2 128-Jun -21
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/6/282 021/6/2 82021/6/28Mo nday , June 28, 2021
么条件？
x-2 想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使 x - 1 有 意 义 ，
字母 x的取值必须满足什么条件？
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
正数有两个平方根且互为相
想一想：反数； 0有一个平方根就是它0；
1、平方根的性质： 负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
1.二次根式的概念
定义:
学科网
式子 a a0叫做二次根式，其中
a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a0 时， a 有意义。
例 1： 要 使 x-1 有 意 义 ， 字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什么条件？
想一想： 已 知 ： y= x-2 + 2-x +3， 求 xy的 值 。
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
完成教材P3第2题
例
3：要使
人教版八年级数学下册16.1二次根式的概念和性质课件
大于零.
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的
平方根或二次方根.
每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作
，称为a的算术平方根；另一个是− .
在实数范围内，负数没有平方根.因此在实数范
围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
0的平方根是0.
一般地，我们把形如 ( ≥ )的式子叫做二
含义吗？
（3）从以上的结果中你发
现了什么规律？
二次根式性质1
对于非负实数a，由于 是a的一个平方根，
因此
探究
（2）你能解释上面式子的含义吗？
（1）根据算术平方根的意义填空.
（3）你发现了什么规律呢？试着用一
个式子表示这个规律.
0.1
2
2
3
0
性质2
由于a的平方等于2 ，因此a是2 的一个平方根。
平
方
根
与
算
术
平
方
根
今
天
学
习
了
什
么
次根式，“ ”称为二次根号.
（1）指出下列哪些是二次根式.
√
（2）当x是怎样的实数时， + 2在实数范围内
有意义？
解析：当 + 2 ≥ 0时， + 2在实数范围内有意义,
即 ≥ −2时， + 2在实数范围内有意义。
探究
（1）根据算术平方根的意
义填空.
4
1
5
3
0
（2）你能解释左边式习
说出下列各式的意义.
1
16, 81, 0,
, 10;
49
上面几个式子中，被开
方数有什么特点.
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的
平方根或二次方根.
每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作
，称为a的算术平方根；另一个是− .
在实数范围内，负数没有平方根.因此在实数范
围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
0的平方根是0.
一般地，我们把形如 ( ≥ )的式子叫做二
含义吗？
（3）从以上的结果中你发
现了什么规律？
二次根式性质1
对于非负实数a，由于 是a的一个平方根，
因此
探究
（2）你能解释上面式子的含义吗？
（1）根据算术平方根的意义填空.
（3）你发现了什么规律呢？试着用一
个式子表示这个规律.
0.1
2
2
3
0
性质2
由于a的平方等于2 ，因此a是2 的一个平方根。
平
方
根
与
算
术
平
方
根
今
天
学
习
了
什
么
次根式，“ ”称为二次根号.
（1）指出下列哪些是二次根式.
√
（2）当x是怎样的实数时， + 2在实数范围内
有意义？
解析：当 + 2 ≥ 0时， + 2在实数范围内有意义,
即 ≥ −2时， + 2在实数范围内有意义。
探究
（1）根据算术平方根的意
义填空.
4
1
5
3
0
（2）你能解释左边式习
说出下列各式的意义.
1
16, 81, 0,
, 10;
49
上面几个式子中，被开
方数有什么特点.
人教版八年级数学下册课件：16.1 第1课时 二次根式的概念
A．3
B.9
C．12
D.27
12．已知实数 x、y 满足 2x－10＋ y＋4＝0，求代数式(x＋y)2017 的值．
解：由二次根式的非负性可知： 2x－10≥0， y＋4≥0，而它们的和为 0， 则 2x－10＝0 且 y＋4＝0，得 x＝5，y＝－4.∴(x＋y)2017＝(5－4)2017＝1.
二次根式有意义的条件
5．若使二次根式 2x－4有意义，则 x 的取值范围是 x≥2 .
6．若式子 3－x＋ x－3有意义，则 x 的取值范围是 x＝3 .
7．式子 x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( C )
A．x＜1
B.x≤1
C．x＞1
D.x≥1
8．在式子x－1 2，x－1 3， x－2， x－3中，x 可以取 2 和 3 的是( C )
解：由二次根式的定义知32－a－a≥6≥00 ，∴a＝3，∴b＝7.①当 a＝3 为腰时，
则另一腰为 3，此时 3＋3＜7 不能构成三角形．②当 b＝7 为腰时，则另一 腰为 7，此时 7＋7＞3，能构成三角形．此时等腰三角形的周长为 7＋3＋7 ＝17.
12．求 a＋4－ 9－4a＋ 1－5a＋ －a2的值． 在数学课上王老师将此题写在黑板上后，教室里热闹极了，同学们争执不休， 如图是该班第三学习小组的精彩讨论镜头：
你想一起参加讨论吗？若参加，你怎么评价这四位同学的解答？ 解：小娟、小波、小梅都有错，小军的解答是正确的．
3x－1 1－x 有意义．
10．已知 a2＋ b－2＝4a－4.求 a＋b 的值．
解：∵a2－4a＋4＋ b－2＝0，∴(a－2)2＋ b－2＝0，∴a＝2，b＝2，∴a ＋b＝2＋2＝4
11．已知 a、b 为一等腰三角形的两边之长，且满足等式 2a－6＋3 3－a＝ b－7.求此等腰三角形的周长．
2019年八年级数学下册二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念课件
第十六章 16.1 第1课时
二次根式 二次根式
二次根式的概念
1.开平方运算 (1)平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 平方根 . (2)一个正数有 2 个平方根,它们的关系是 互为相反数 ;0的平方根是 0
;负数
没有平方根
.
(3)算术平方根的定义:如果一个正数x的平方等于a,那么这个数x叫做a的 算术平方根 ; 0的算术平方根是 0 .
2.二次根式 定义: 一般地,把形如 为二次根号. 二次根式应满足两个条件: ①含有二次根号; ②被开方数为非负数. ③被开方数中的分母不等于 0.
a
(a≥0)的式子叫做二次根式,a 叫做 被开方数 ,“
”称
知识点1:二次根式有意义的条件
例1 当 x 是怎样的实数时, 3x 1 在实数范围内有意义?
(3)因为对于任意的 x,x +10 始终大于 0,所以满足 x 2 10 有意义的 x 值为全体实数.
2
(4)由题意得-x ≥0,解得 x=0.
2
D
)
B
)
(D)以上皆不对
5x 2 有意义的 x 的取值范围是 5x 2
x
4.使二次根式
2 5
.
5.要使下列式子有意义,x 的取值范围是什么? (1) 5 x 1 ; (2) 2 10 x ; (3) x 2 10 ; (4) x 2 .
1 解:(1)由题意得 5x+1≥0,解得 x≥- . 5 1 (2)由题意得 2-10x≥0,解得 x≤ . 5
1 x 0, 解:由题意得 y 0,
x 1, 解得 y 5.
所以 x+y=4.
1.下列式子中,是二次根式的是( (A) 7 (A)x<1 (A)5 (C)
二次根式 二次根式
二次根式的概念
1.开平方运算 (1)平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 平方根 . (2)一个正数有 2 个平方根,它们的关系是 互为相反数 ;0的平方根是 0
;负数
没有平方根
.
(3)算术平方根的定义:如果一个正数x的平方等于a,那么这个数x叫做a的 算术平方根 ; 0的算术平方根是 0 .
2.二次根式 定义: 一般地,把形如 为二次根号. 二次根式应满足两个条件: ①含有二次根号; ②被开方数为非负数. ③被开方数中的分母不等于 0.
a
(a≥0)的式子叫做二次根式,a 叫做 被开方数 ,“
”称
知识点1:二次根式有意义的条件
例1 当 x 是怎样的实数时, 3x 1 在实数范围内有意义?
(3)因为对于任意的 x,x +10 始终大于 0,所以满足 x 2 10 有意义的 x 值为全体实数.
2
(4)由题意得-x ≥0,解得 x=0.
2
D
)
B
)
(D)以上皆不对
5x 2 有意义的 x 的取值范围是 5x 2
x
4.使二次根式
2 5
.
5.要使下列式子有意义,x 的取值范围是什么? (1) 5 x 1 ; (2) 2 10 x ; (3) x 2 10 ; (4) x 2 .
1 解:(1)由题意得 5x+1≥0,解得 x≥- . 5 1 (2)由题意得 2-10x≥0,解得 x≤ . 5
1 x 0, 解:由题意得 y 0,
x 1, 解得 y 5.
所以 x+y=4.
1.下列式子中,是二次根式的是( (A) 7 (A)x<1 (A)5 (C)
01-16.1.1二次根式的概念
16.1.1 二次根式的概念
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
栏目索引
式子表示
有意义
被开方数为非负数
a 有意义⇒a≥0
无意义
被开方数为负数
a 无意义⇒a<0
知识 详解
(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么这个式子有意义的条 件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式,那么这个式子有 意义的条件是:二次根式中的被开方数是非负数,分式的分母不等 于0. (3)如果一个二次根式的被开方数中含有零指数或负整数指数,那 么这个式子有意义的条件是底数不等于0
2.下列各式中,不一定是二次根式的为 ( )
A. a
B. b2 1
C. 0
D. (a b)2
栏目索引
答案 A 对于 a ,由于a的取值范围不确定,当a<0时, a 无意义,所以 a 不一定是二次根式.
3.(独家原创试题)若a=2 020,则下列各式是二次根式的是 ( )
A. 2 019-a
B. a-2 020
方根为
.
答案 ±1
解析
由题意得
x-7 7-x
0, 0,
解得x=7,则y=9,故(xy-64)2=1,1的平方根为±1,故答
案为±1.
16.1.1 二次根式的概念
栏目索引
1.使式子3-1 x 有意义的x的取 值范围是 ( )
A.x>0
B.x≠9
C.x≥0且x≠9
D.x>0或x≠9
答案 C 当x满足3- x 0,即x≥0且x≠9时,式子 1 有意义.故选C.
16.1.1 二次根式的概念
栏目索引
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a ≥0.
a ＝0，所以 a
例题精讲
【例2】已知
x 1 ＋(y＋1)2＝0，求x＋y的值.
2
解析
因为 x 1 是一个非负数，(y＋1) 也是一个
非负数，由非负数的性质可列方程求解.
解
∵
x 1 ＋(y＋1) ＝0，
2 2
2
又∵ x 1 ≥0，(y＋1) ≥0， ∴ x 1 ＝0，(y＋1) ＝0， 即x－1＝0，y＋1＝0. ∴ x＝1，y＝－1.
第十六章
第一课时
二次根式
16.1 二次根式
二次根式的概念及意义
新知 1
二次根式的概念
形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 注意：在二次根式中，被开方数可以是数，也可 以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意： 因为负数没有平方根，所以a≥0是 前提条件，如 次根式，而 为二次根式的 (x≥1)等是二 等都不是二次根式.
的条件有三个：①含有根号②根指数是2；③被开方数 是非负数，三个条件缺一不可.
举一反三
1.下列式子一定是二次根式的是( C )
2.下列式子不是二次根式的是( D )
新知2
二次根式 a 的非负性
a >0；当
当a>0时， a 表示a的算术平方根，因此
a＝0时，表示0的算术平方根，因此
(a≥0)总是一个非负数，即
7. (6分)已知： y x 2 2 x 3 ，求(x＋y) 的值. 解：∵ ∴
x 2与 2 x 与有意义，
4
解得x＝2.
∴y＝－3. ∴(x＋y) ＝(2－3) ＝1.
4 4
8. (6分)先阅读，后回答问题. x为何 值时有意义？
解：要使有意义，需x(x－1)≥0 由乘法法则，
例题精讲
【例1】下列各式：
哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 解析 判断一个式子是不是二次根式，首先看它 是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开 方数是不是非负数.若三个条件都能满足，那么这个 式子是二次根式.不满足三个条件中的任何一个，就
不是二次根式.
解
ห้องสมุดไป่ตู้
都是二次根式，因为,
它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数. 虽然含有根号，但根指数不是2，所不是二次根式.
∴ x＋y＝1＋(－1)＝0.
点评 (1)常见的非负数有三种形式： a ，a ，a ；
2
(2)若两个非负数之和为0，则它们各自为0. ,
举一反三 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是( B )
2. 已知a，b满足 x的方程(a＋2)x＋b ＝a－1. 解 ：根据题意，得 则(－4＋2)x＋( 3 ) ＝－4－1. 即－2x＋3＝－5，解得 x＝4.
解得x≥1或x≤0.
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
体会解题思想后，解答x为何值时，
有意义.
2 2
解关于
解得
方法规律
1.二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号
“ ”；第二，被开方数是正数或0.
2.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可
知，当a≥0时， a 有意义，是二次根式，所以要使二
次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可.
3.二次根式无意义的条件：因为负数没有算术平
方根，所以当a<0时， a 没有意义.
不含二次根号，不是二次根式.
在 时， 中， 不能确定被开方数是非负数，当a＜0 无意义；当x＋1＜0时， 不一定是二次根式. 无意义，故
在
次根式. 在 无意义，故不是二次根式. 在 负数，
没有意义，故不是二
中，无论a为何数，－2－a 总是一个 没有意义，故不是二次根式.
2
点评 本题考查了二次根式的定义，满足二次根式
a ＝0，所以 a
例题精讲
【例2】已知
x 1 ＋(y＋1)2＝0，求x＋y的值.
2
解析
因为 x 1 是一个非负数，(y＋1) 也是一个
非负数，由非负数的性质可列方程求解.
解
∵
x 1 ＋(y＋1) ＝0，
2 2
2
又∵ x 1 ≥0，(y＋1) ≥0， ∴ x 1 ＝0，(y＋1) ＝0， 即x－1＝0，y＋1＝0. ∴ x＝1，y＝－1.
第十六章
第一课时
二次根式
16.1 二次根式
二次根式的概念及意义
新知 1
二次根式的概念
形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 注意：在二次根式中，被开方数可以是数，也可 以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意： 因为负数没有平方根，所以a≥0是 前提条件，如 次根式，而 为二次根式的 (x≥1)等是二 等都不是二次根式.
的条件有三个：①含有根号②根指数是2；③被开方数 是非负数，三个条件缺一不可.
举一反三
1.下列式子一定是二次根式的是( C )
2.下列式子不是二次根式的是( D )
新知2
二次根式 a 的非负性
a >0；当
当a>0时， a 表示a的算术平方根，因此
a＝0时，表示0的算术平方根，因此
(a≥0)总是一个非负数，即
7. (6分)已知： y x 2 2 x 3 ，求(x＋y) 的值. 解：∵ ∴
x 2与 2 x 与有意义，
4
解得x＝2.
∴y＝－3. ∴(x＋y) ＝(2－3) ＝1.
4 4
8. (6分)先阅读，后回答问题. x为何 值时有意义？
解：要使有意义，需x(x－1)≥0 由乘法法则，
例题精讲
【例1】下列各式：
哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 解析 判断一个式子是不是二次根式，首先看它 是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开 方数是不是非负数.若三个条件都能满足，那么这个 式子是二次根式.不满足三个条件中的任何一个，就
不是二次根式.
解
ห้องสมุดไป่ตู้
都是二次根式，因为,
它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数. 虽然含有根号，但根指数不是2，所不是二次根式.
∴ x＋y＝1＋(－1)＝0.
点评 (1)常见的非负数有三种形式： a ，a ，a ；
2
(2)若两个非负数之和为0，则它们各自为0. ,
举一反三 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是( B )
2. 已知a，b满足 x的方程(a＋2)x＋b ＝a－1. 解 ：根据题意，得 则(－4＋2)x＋( 3 ) ＝－4－1. 即－2x＋3＝－5，解得 x＝4.
解得x≥1或x≤0.
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
体会解题思想后，解答x为何值时，
有意义.
2 2
解关于
解得
方法规律
1.二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号
“ ”；第二，被开方数是正数或0.
2.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可
知，当a≥0时， a 有意义，是二次根式，所以要使二
次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可.
3.二次根式无意义的条件：因为负数没有算术平
方根，所以当a<0时， a 没有意义.
不含二次根号，不是二次根式.
在 时， 中， 不能确定被开方数是非负数，当a＜0 无意义；当x＋1＜0时， 不一定是二次根式. 无意义，故
在
次根式. 在 无意义，故不是二次根式. 在 负数，
没有意义，故不是二
中，无论a为何数，－2－a 总是一个 没有意义，故不是二次根式.
2
点评 本题考查了二次根式的定义，满足二次根式