上海市2015届高三数学每周一测试卷(11)
2015上海高考徐汇数学一模参考答案
解得： 4 < t < 5 ……………………..10’ (3) 由于 {d 2 n −1 }的序数列单调递减，因此 {d 2 n −1 }是递增数列，故 d 2 n +1
t 5 < ， 2 2
− d 2 n−1 > 0 ，于是
(d 2 n+1 − d 2 n ) + (d 2 n − d 2n−1 ) > 0 ，
!!! " !!! "
!!! " !!! "
⎣
⎦
（3） （解法一）由条件得，
y1 y2 1 = − 2 ，……………………..11’ x1 x2 a
2
平方得 x1 x2 = a y1 y2 = (a − x1 )(a − x2 ) ,
2 2 4 2 2 2 2 2 2
即 x1 + x2 = a ……………………..12’
4 1 ( −1) n + ⋅ n −1 ( n ∈ N * )……………………..18’ 3 3 2
即数列 {d n } 的通项公式为 d n =
4
在 ΔPOP 中， PP 3OP = 1 = 1
得 P ( ma − na, m + n ) ……………………..2’
1 = 1，即 m2 + n 2 = ……………………..4’ 2 !!! " !!! " （2）设 Q ( x, y )，则 QS ⋅ QR = ( 3a − x , − y ) ( − a − x , − y )
3 2
10.
π
6
12.
−3
13.
3
58024
二、选择题： （每题 5 分） 15. B 16. C 17. C 18. B
2015年上海市徐汇区高三一模数学试卷(文科含答案WORD)
2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学（文科）一．填空题 1. 已知3sin 5θ=-，则cos 2θ= ； 【答案】7252. 若实数x ，y 满足4xy =，则224x y +的最小值 ； 【答案】163. 设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则||z = ；4. 函数2()2f x x =-（0x <）的反函数1()f x -= ；【答案】(2)x >-5. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 为 ； 【答案】2x =-6. 若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是 ；（结果用反三角函数值表示）【答案】7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项和为1，则首项1a 的取值范围为 ； 【答案】(0,1)(1,2)8. 若全集U R =，不等式11111x x+>-的解集为A ，则U C A = ；【答案】[1,0]-9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，11122n n S a ++=（*n N ∈），则{}n a 的通项公 式为 ； 【答案】13n -10. 已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ；【答案】11. 如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设A B a =， AD b =，用a ，b 表示BO ，则BO = ；【答案】2233a b -+ 12. 已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值 为1，则ϕ的值为 ； 【答案】6π 13. 在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点A ，B ，若A ，B 关 于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(,)A B 与(,)B A 是相同的“奇点对”），函数24(0)12(0)2x x x x x -+>⎧⎪⎨+<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ；【答案】214. 设集合1234{(,,,)|{1,0,1},1,2,3,4}i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“12341||||||||3x x x x ≤+++≤”的元素个数为 ； 【答案】64二．选择题15.若1+是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A. 2,3b c =-=； B. 2,1b c ==-； C. 2,1b c =-=-； D. 2,3b c ==； 【答案】A16. 已知直线l 和平面α，无论直线l 和平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l （ ）A. 相交；B. 平行；C. 垂直；D. 异面； 【答案】C17. 若函数()log ()a f x x b =+的图像如图所示（其中,a b 为常数），则函数()xg x a b =+ 的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】D18. 某电商“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类（*n N ∈），分别编号为1，2，…，n ，买家共有m 名（*m N ∈，m n <），分别编号为，1，2，…，m ，若1,0,ij i j a i j ⎧=⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，1i m ≤≤，1j n ≤≤，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）A. 1112121222......m m a a a a a a +++++++；B. 1121112222......m m a a a a a a +++++++；C. 1112212212...m m a a a a a a +++；D. 1121122212...m m a a a a a a +++； 【答案】C三．解答题19. 已知函数()sin()4f x A x π=+，x R ∈，且53()122f π=； （1）求A 的值；（2）若3()()2f f θθ+-=，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-；【答案】（1（2）420. 已知函数()22xxf x k -=+⋅（k R ∈）； （1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，求k 的取值范围； 【答案】（1）1k =-；（2）16k ≥21. 如图所示，某传动装置由两个陀螺1T ，2T 组成，陀螺之间没有滑动，每个陀螺都由具有 公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13， 且1T ，2T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan 3θ=，若陀螺2T 中圆 锥的底面半径为r （0r >）；（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离；【答案】（1）32954r π；（222. 已知椭圆2214x y γ+=：的右焦点为F ，左顶点为R ，点(2,1)A ，(2,1)B -，O 为坐标原点；（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，(,0)S t ，(2,5)t ∈，求QS QR ⋅的取值范围；（3）过F 作斜率为k 的直线l 交椭圆γ于,C D 两点，交y 轴于点E ，若1EC CF λ=，2ED DF λ=，试探究12λλ+是否为定值，说明理由；【答案】（1）12；（2）2(1)[,0]3t +-；（3）为定值8-23. 已知有穷数列{}n a 各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”，例如数列：123,,a a a 满足132a a a >>，则其序数 列{}n p 为1，3，2；（1）若,x y R +∈，2x y +=且x y ≠，写出数列：1，xy ，222x y +的序数列并说明理由；（2）求证：有穷数列{}n a 的序数列{}n p 为等差数列的充要条件是有穷数列{}n a 为单调数列；（3）若项数不少于5项的有穷数列{}n b 、{}n c 的通项公式分别是3()5nn b n =⋅（*n N ∈），2n c n tn =-+（*n N ∈），且{}n b 的序数列与{}n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围； 【答案】（1）2212x y xy +>>，序数列为3，1，2； （2）略； （3）45t <<；。
2015年高考文科数学上海卷及答案解析
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分） 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，【提示】由正弦函数的有界性可得，对任意πsin 3OB θ⎛+ ⎝(4OB =cos OP OR O ∠31212OA d x y =1,=得21x =13kx1221mx x kx k -1212k m x x k -=222k m+42(4k S ++k 无关，(21212m k +【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系。
上海市2015届高考高三数学每周一测试卷(14)(word版,含答案)
高三每周一测数学试卷（14）一、填空题1、函数{}22,0,1,2y x x x =-∈，则该函数的值域为___{0，1}_________2、11a>-是1a <-成立的_____ 必要非充分____________条件。
3、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为4、函数f (x)=1x +的最大值为 ____0.5________ 5、已知复数2,z i =+则_____z =5-2i6、已知全集为R ，集合{{}|,|2,0x M x y N y y x ===>，则集合()__________R MC N =【0，1】7、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是8、若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是______（0，2）_________9、若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x（0，12）成立，则a 的取值范围是________52a ≥-____________二、选择题15、设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 （ A ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16、设偶函数f (x )=log a |x －b |在(－∞，0)上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是（ B ） A ．f (a +1)=f (b +2) B ．f (a +1)>f (b +2)C ．f (a +1)<f (b +2)D ．不确定17、若011<<b a ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有 （ C ）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个18、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 三、解答题19、关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围 解：[)3,2-20、已知sin αα和cos 是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当()0,απ∈时，求()cot 3πα-的值；（3）33sin cos αα+的值。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题11(算法、框图、复数、推理与证明)
阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.2．(文)(2014·山东省博兴二中质检)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )A ．21B ．30C ．35D ．40[答案] C[解析] ∵3a 6＝a 5＋a 6＋a 7＝15，∴a 6＝5， ∴a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 1＋35d ＝7a 6＝35.(理)(2014·银川九中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D.12n －1 [答案] B[解析] ∵S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，∴S n ＋1S n ＝32，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝(32)n －1，故选B.3．(文)(2014·银川九中一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴sin－x ＋φ3＝sin x ＋φ3，∴cos φ3sin x3＝0， ∵此式对任意x 都成立，∴cos φ3＝0，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(理)(2014·杭州七校联考)“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若sin x ＝1，则x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴cos x ＝0；若cos x ＝0，则x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin x＝±1.4．(文)(2014·北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ．55C ．54D ．30 [答案] B[解析] 所给的程序的作用是计算：T ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )A.20122013B.12013C.20132014D.12014 [答案] C[解析] 由程序框图知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值加上1i (i ＋1)，当i ＝2013时，不满足i >2013，再循环一次，i 的值变为2014，满足i >2013，此时输出S ，故S 最后加上的数为12013×2014，∴S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014，故选C.5．(2014·武汉市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.6．(2014·佛山市质检)将n 2个正整数1、2、3、…、n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b (a >b )的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n ＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )A.32B.43 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 当n ＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当1,4同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或32；故这些可能的“特征值”的最大值为32.7．(2014·山西省太原五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －xe x －e－xD ．f (x )＝sin 2x1＋cos 2x[答案] B[解析] 由框图知，f (x )为有零点的奇函数，A 、C 中函数f (x )无零点；D 中函数f (x )为偶函数；B 中函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )满足f (0)＝0且f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝ln 1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x )，故选B.8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.9．(文)(2014·吉林市摸底)如图，程序输出的结果s ＝132，则判断框中应填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C．i≤11? D．i≥12?[答案] B[解析]第一次循环：s＝1×12＝12，i＝12－1＝11，不满足条件，继续循环；第二次循环：s＝12×11＝132，i＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11？.(理)(2014·成都七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写()A．i<6? B．i<8?C．i<5? D．i<7?[答案] B[解析]这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i ＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.10．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0[答案] A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.11．(文)(2014·九江市修水一中第四次月考)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，垂足分别是D 、E ，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 1＋1e 2的值为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] 设AE ＝1，则AB ＝2，BD ＝1，AD ＝BE ＝3，∴椭圆的焦距2c ＝2，∴c ＝1，长轴长2a ＝AD ＋BD ＝3＋1，∴离心率e 1＝13＋12＝3－1，双曲线的焦距2c 1＝2， ∴c 1＝1，双曲线的实轴长2a 1＝AD －BD ＝3－1， ∴离心率e 2＝13－12＝3＋1. ∴1e 1＋1e 2＝13－1＋13＋1＝3，故选B. (理)(2014·北京市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为( )A. 2B.62C.233 D ．1[答案] B[解析] 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为M ∈平面BDD 1B 1，MN ⊥平面ACD 1，平面BDD 1B 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以N ∈B 1D 1.因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，所以△AB 1D 1为正三角形，边长为2，所以当N 为B 1D 1中点时，AN 最小为2sin60°＝62.故B 正确． 12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和a n 与其组的编号数n 的关系为________．[答案] a n ＝n 3[解析] 第n 组含n 个数，前n －1组共有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数，∴第n 组的最小数为n 2－n ＋1，第n 组的n 个数组成首项为n 2－n ＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为a n ＝n (n 2－n ＋1)＋n (n －1)2×2＝n 3.(理)(2014·陕西工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n 个等式是________．[答案] 13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2[解析] 观察各等式可见第n 个等式左边有n 项，每个等式都是从13到n 3的和，等式右端是从1到n 的和的平方，故第n 个等式为13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2.14．(文)(2014·吉林市摸底)下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π；③“在△ABC 中，使sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．[答案] ①②③[解析] ①∵特称命题的否定是全称命题，∴“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”，正确；②因为T ＝2π2＝π，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正确；③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在△ABC 中，若A >B ⇒a >b ⇒2r sin A >2r sin B ⇒sin A >sin B ，故③正确；④由3m ＋(2m －1)m ＝0得m ＝0或－1，所以“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．(理)(2014·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ；②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立．其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号) [答案] ②③[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确； 对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )f (x －y )，但x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错．15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 16．(文)(2014·西安市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为________________．[答案] 2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n[解析] 由所给4个等式可看出，第n 个等式左边是2n 与从1开始的连续的n 个奇数之积，第n 个等式右边是从n ＋1开始的连续的n 个正整数之积．所以第n 个等式为：2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n .(理)(2014·江西临川十中期中)给出下列不等式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________． [答案] 1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12[解析] 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n ＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S 满足S ＝32bc cos A . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3，设角B 的大小为x 用x 表示c ，并求c 的取值范围． [解析] (1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ，得tan A ＝3， ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得：c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴c ＝2sin C ＝2sin(π－A －B )＝2sin(2π3－x )．∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴0<2π3－x <2π3.∴0<sin(2π3－x )≤1,0<2sin(2π3－x )≤2，即c ∈(0,2]．18．(本小题满分12分)(文)(2014·吉林省实验中学一模)如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD 且EF ＝12BD .(1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：平面EAC ⊥平面BDEF ； (3)求几何体ABCDEF 的体积．[解析] (1)设AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连接EO ，∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF ∥DO 且EF ＝BO ， 则四边形EFBO 是平行四边形， 则BF ∥EO ，又EO ⊂平面ACE ， BF ⊄平面ACE ，故BF ∥平面ACE .(2)∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又ED ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDEF ， 又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF . (3)因为ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴四边形BDEF 是直角梯形，又∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，BD ＝22，EF ＝2， ∴梯形BDEF 的面积为(2＋22)×12＝322，由(1)知AC ⊥平面BDEF ，所以几何体的体积V ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2×13S BDEF ·AO ＝2×13×322×2＝2.(理)(2014·佛山市质检)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 位置(如图2所示)，连结AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)在线段P A 上是否存在点Q 使得FQ ∥平面PBE ？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(3)求点A 到平面PBE 的距离．[解析] (1)连结EF ，由翻折不变性可知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF ，在图1中，易得EF ＝62＋(12－3－4)2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2， 所以PF ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABCD ， 所以PF ⊥平面ABED .(2)当Q 为P A 的三等分点(靠近P )时，FQ ∥平面PBE .证明如下： 因为AQ ＝23AP ，AF ＝23AB ，所以FQ ∥BP ，又FQ ⊄平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以FQ ∥平面PBE . (3)由(1)知PF ⊥平面ABCD ，所以PF 为三棱锥P －ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即13×S △PBE h ＝13×S △ABE ·PF ，又S △PBE ＝12×6×9＝27，S △ABE ＝12×12×6＝36，所以h ＝S △ABE ·PF S △PBE ＝36×2527＝853，即点A 到平面PBE的距离为853.19．(本小题满分12分)(文)(2014·佛山市质检)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm)分别是162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm)分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(2)现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？[解析] (1)茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小.(2)两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人，其中3人来自排球队，记为a ，b ，c,2人来自篮球队，记为A ，B ，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc ，abA ，abB ，acA ，acB ，aAB ，bcA ，bcB ，bAB ，cAB 共10个；其中恰有两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA ，abB ，acA ，acB ，bcB ，bcA 共6个，所以，恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是610＝35. (理)(2014·山西省太原五中月考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)过点A (－e－2,0)作函数y ＝f (x )图象的切线，求切线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴由f ′(x )<0得ln x <－1， ∴0<x <1e ，∴函数f (x )的单调递减区间是(0，1e )．(2)∵f (x )≥－x 2＋ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋6x ，设g (x )＝ln x ＋x ＋6x，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． ∴g (x )最小值为g (2)＝5＋ln2，∴实数a 的取值范围是(－∞，5＋ln2]． (3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)，∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0，设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，则h ′(x )＝e 2＋1x ，当x >0时h ′(x )>0，∴h (x )是单调递增函数， ∴h (x )＝0最多只有一个根，又h (1e 2)＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2，由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e2＝0.20．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省烟台市期末)近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)；已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20p)万元/万件．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析] (1)由题意知，y ＝(4＋20P )×P －(10＋2P )－x ，将P ＝3－2x ＋1代入化简得：y ＝16－4x ＋1－x ，(0≤x ≤a )．(2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号．当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)在[0，a ]上单调递增，所以在x ＝a 时，函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(理)(2014·北京市海淀区期末)如果函数f (x )满足在集合N *上的值域仍是集合N *，则把函数f (x )称为N 函数．例如：f (x )＝x 就是N 函数．(1)判断下列函数：①y ＝x 2，②y ＝2x －1，③y ＝[x ]中，哪些是N 函数？(只需写出判断结果)；(2)判断函数g(x)＝[ln x]＋1是否为N函数，并证明你的结论；(3)证明：对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．(注：“[x]”表示不超过x的最大整数)[解析](1)只有y＝[x]是N函数．①∵当x∈N*时，{y|y＝x2}N*，如3不是函数y＝x2(x∈N*)的函数值，∴y＝x2不是N函数；②同理，∵当x∈N*时，y＝2x－1为奇数，∴y＝2x－1不是N函数；③对于任意x∈N*，当n2≤x<(n＋1)2时，y＝[x]＝n，∴y＝[x]是N函数．(2)函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．证明如下：显然，∀x∈N*，g(x)＝[ln x]＋1∈N*.不妨设[ln x]＋1＝k，k∈N*.由[ln x]＋1＝k可得k－1≤ln x<k，即1≤e k－1≤x<e k.因为∀k∈N*，恒有e k－e k－1＝e k－1(e－1)>1成立，所以一定存在x∈N*，满足e k－1≤x<e k，所以∀k∈N*，总存在x∈N*满足[ln x]＋1＝k，所以函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．(3)①当b≤0时，有f(2)＝[b·a2]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．②当b>0时，1°若a≤0，有f(1)＝[b·a]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．2°若0<a≤1，由指数函数性质易得b·a x≤b·a，所以∀x∈N*，都有f(x)＝[b·a x]≤[b·a]，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．3°若a>1，令b·a m＋1－b·a m>2，则m>log a2 b·(a－1)，所以一定存在正整数k使得b·a k＋1－b·a k>2，所以∃n1，n2∈N*，使得b·a k<n1<n2<b·a k＋1，所以f(k)<n1<n2≤f(k＋1)．又因为当x<k时，b·a x<b·a k，所以f(x)≤f(k)；当x>k＋1时，b·a x>b·a k＋1，所以f(x)≥f(k＋1)，所以∀x∈N*，都有n1∉{f(x)|x∈N*}，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．21．(本小题满分12分)(文)(2014·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中a为常数．(1)若函数f(x)在区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a的取值范围；(2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，x ∈R ， 因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数， 所以只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1， f (x )，f ′(x )的变化情况如下：①当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)， 若满足题意只需f (0)≥e 2，解得a ≥e 2， 所以，此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，此不等式无解， 所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)， 若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1， 所以此时，a 不存在．综上讨论，所求实数a 的取值范围为[e 2，＋∞)．(理)(2014·武汉市调研)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． [解析] 解法1：(1)用A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2，P (A 1)＝12，P (A 2)＝12，∴P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局丙和乙比赛时，结果为乙胜丙”， B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.解法2：四局比赛所有可能情况如下树状图： 第一局 第二局 第三局 第四局由树状图知，(1)第4局甲当裁判的概率为P ＝14.(2)P (X ＝0)＝18，P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝14，∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.22．(本小题满分14分)(文)(2014·佛山质检)如图所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1、F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设Q (x ，y )(其中x 25＋y 24＝1)，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＝1，因为PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2， 若－4t ≤－2即t ≥12，则当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)．若－4t >－2即0<t <12，则当y ＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322. (理)(2014·山东省烟台市期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝22，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由已知，可得c ＝2，a ＝3b ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，b ＝1， ∴x 23＋y 2＝1.(2)当k ＝0时，直线和椭圆有两交点只需－1<m <1；当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 取值范围是(12，2)．综上知，k ≠0时，m 的取值范围是(12，2)；k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．。
上海市2015届高三数学每周一测试卷(09)
1C CB1B1A A高三每周一测数学试卷（9）一．填空题：1．设{}210，，=M ，{}M a a x x N ∈==，2，则=N M {}20， 2. 不等式1322<-+x x 的解集是 （-2，1）3．已知函数2log 0()3(0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩（）），则14ff ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦194．(2x+71)x 的二次展开式中x 的系数是 280 。
5．直线l 过点()1,1,A -且使得点()2,1B -到l 的距离最远，则所得的直线l 的方程是3250x y -+=6．若数列{}3log n a 为等差数列，且3132310log log log 10,a a a +++=则56a a =97．已知集合BA x y yB y x A x x 则},0,)21(|{},log |{)1(2≤====-等于),1(+∞8．已知集合(){}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==∈==221x x y y x B R k k y y x A ，，，，，若∅=B A ，则实数 k 的取值范围是2<k9．雅典奥运会上，7名110米跨栏运动员抽签进入比赛跑道，其中刘翔、约翰逊两名运动员不相邻且刘翔在约翰逊左边的结果为__1800______.10．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ，21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC所成角的大小是 ⎝⎭（结果用反三角函数值表示）．11．已知向量()2,2,OC =-()2,CA αα=则向量OA 的模的取值范围是12．不等式1-x ax<1的解集为（－∞ ，1）∪（2，+∞），则a=2113．关于xm 的值为 714.下列四个命题中:①R b a ∈,,a b +≥②0sin ≠x ，224sin sin x x +的最小值是 4③设,x y 都是正整数,若191x y +=,则x y +的最小值为16 ④若R y x ∈,,0>ε，2x ε-<,2y ε-<,则2x y ε-<其中所有真命题的序号是___ ③ ___④二、选择题：15．“1=x ”是062<-+x x 的 ……………………………………………………（ A ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 若0ab >，则下列不等式不一定成立的是………………………………………（ C ）A. 222a b ab +≥- B.2a b b a +≥C. 2a b +≥D.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 17．如图为函数log n y m x=+的图像，其中m 、n 为常数，则下列结论正确的是（D ）(A) 0m <，1n >. (B) 0m >，1n >. (C) 0m >，01n <<. (D) 0m <，01n <<.18．若函数1,(0xy a b a =+->且1)a ≠的图像经过第二、三、四象限，则一定有（C ）。
2015年上海市黄浦区高三一模数学试卷(文理合卷)WORD版含答案
word 可自由复制编辑黄浦区2014学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文理合卷）2015年1月8日一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A = ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m m n -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m+（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ． 6．若函数213()2xax af x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示）8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ ． 9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ．11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 ．（用符号<“”连接起来）word 可自由复制编辑12．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 ．（用数值作答）13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . （理科）若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ． （文科）若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ．14．（理科）已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 ． （文科） 已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=2QA QB QC BC ++=，若||=||PQ BC λ，则正实数λ＝ ．二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 （ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 16．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是（ ）． A ．12(0,0)(1,2)e e ==-， B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-， C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-， D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）．A ．4B ． 5C ． 6D ． 718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：① 对任意C z ∈，都有(z)0D >；② 若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立； ③ 若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =；④（理科）对任意123C z z ∈、z 、，结论131223(z ,z )(z ,z )(z ,z )D D D ≤+恒成立； （文科）对任意12C z ∈、z ，结论1221(z ,z )=(z ,z )D D 恒成立； 则其中真命题是（ ）．A ．①②③④B ．②③④C ．②④D ．②③word 可自由复制编辑P三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3A B A A B C ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．（1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）（理科）求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．（文科）求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； （2）（理科）设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线； 求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-． （文科）设1()()h x f x x=-，试判断函数()y h x =在区间(1,0)-上的单调性，并说明你的理由．word 可自由复制编辑22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n a n +∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”；已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上；（1）试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===；（理科）若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．（文科）若数列{}n z 是首项为111()2m z -=，公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．（1）求动点M 所在曲线C 的轨迹方程； （2）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||GH =l 的方程； （3）（理科）若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P （点P 不同于点O A B 、、），直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．（文科）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．word 可自由复制编辑黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)参考答案和评分标准(2015年1月8日)一、填空题1．1(1,]2--； 2．(1,)+?； 3．3p ； 4．2； 5．212y x =；6．(,0]-?； 7．2425-； 8．2； 9．36p ； 10； 11．m n a b <<<； 12．234425； 13．(理)514x <≤；(文) 112x <≤； 14．(理)3p ；(文) 12．二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5. (理) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅．∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=， ∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅． (文) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅，113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅． 20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，，∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.word 可自由复制编辑(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈. 又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B A C ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解(1)1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<. 由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y++==--.1()l g1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. (理)证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg 11x x h x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减.因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线. 又199100100()2lg 30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-. (文) (2) 答：函数()y h x =在区间(1,0)-上单调递减. 理由：由(1)可知，11111()()lg lg 11x x h x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.word 可自由复制编辑对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x x h x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知， 函数()y h x =在(1,0)-上单调递减.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+. 又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明(2)*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==, ∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(理)(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 1116216312m k -∴=- ．化简，得116631622k m -+=． 若13m -≥，则1166316631663++16222828km k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤. 又101m -=或时，116631622k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩(文) (3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，word 可自由复制编辑11121312m k -∴=- ． 化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤. 又101m -=或时，113122k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解(1)依据题意，可得点(,)N y x . (,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．又212AN BN x ⋅=，222112y x x ∴+-=. ∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=. (2) 若直线ly轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-． 由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．又||2GH =2=，2=，解得k =．所以，所求直线:1)l y x =-． (理)证明(3)直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠． 由(2)可得点(0,)P k -，可算得21212222,2121k k y y y y k k -+==-++．word 可自由复制编辑又直线121211:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=+=． 设点(,y )Q Q Q x ，则由11221111.y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得12211111Q Q y y x y y x --=⋅++(此等式右边为正数). ∴101Q Q y y ->+，且222121212222112121(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=21+1k k ⎛⎫⎪-⎝⎭． ∴ 1111Q Q y k y k-+=+-，解得1Q y k =-. 1(0,)(,)1Q OP OQ k x k ∴⋅=-⋅-=为定值. (文) (3)当直线ly轴时，||GH =O 到圆心的距离为1.即点O 在圆外，不满足题意.∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，212221224,2122.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得12221222,21.21k y y k k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩依据题意，有OG OH ⊥， 12120x x y y ∴+=， 即22222202121k k k k --+=++，解得k = ∴所求圆的半径1||25r GH ===，圆心为12124(,)(,2255x x y y ++=±. ∴所求圆的方程为：22418()(5525x y -+±=.。
上海市2015届高考高三数学每周一测试卷(18)(word版,含答案)
高三每周一测数学试卷（18）一、填空题1、设集合2{5,log (3)}A a =+，{,}B a b =．若A ∩B ={1}，则A ∪B = {－1，1，5} ．2、已知复数z 与i z 18)3(2+-均是纯虚数，则=z i 3- 。
3、函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数，则实数a 的取值范围为 1≤a 。
4、在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 12 .5、已知函数)21(log )()(211-==-x x fx f y 的反函数，则方程1)(=x f 的解集是 {1} 。
6、图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在 14、设数列{}n a 的前n项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为2008，那么数列2，1a ，2a ，……，501a 的 “理想数”为2006 。
二、选择题 15、函数1)4(co s )4(si n )(22--++=ππx x x f 是…………………………………（ A ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数16、若三阶行列式D 的第二行的元素依次1，2，3，它们的余子式分别为2，3，4，则D 的值是……………………………………………………………（D ） A ．8 B ． 9 C ．7 D ．-817、等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是……………………………………………………………（ A ） A ．a 11 B ．a 10 C ．a 9 D ．a 8 18、设点列*),(N n a n P n n ∈，数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n = 2n 2 + 3n ， 则直线2+n n P P 的一个方向向量的坐标可以是…………………………………………… （ C ）1A A ．（2，21） B ．(-1, -1)C ．（2,21--） D ． (21-, -1) 三、解答题19．已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.解：设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y .i x x i i x i i x i z )4(51)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-由题意得 4=x . ∴ i z 24-=. ∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0)2(804122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(20．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，434sin 4cos 22=-C C . （1）求C cos 的值；（2）若25=⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 边的长.21、（本题满分12分）在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动，（1）证明：11D E AD ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）（理） AE 为何值时，二面角1D CE D --的大小为4π．解：（2）13（3）2AE =22．已知函数()()2log x xf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==，（1）求a 、b 的值；（2）当[]1,2x ∈时，求()f x 的最大值 解：（1）4a =，2b =（2）()()2log 42x xf x =-，[]1,2x ∈令42x xu =- 设[]22,4xt =∈则221124u t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ，[]2,4t ∈[]2,12u ∈2log y u =在[]2,12单调递增∴max 22log 122log 3y ==+23、容器A 中有12%的食盐水300克，容器B 中有6%的食盐水300克.现约定完成下列工作程序为一次操作：从A 、B 两个容器中同时各取100克溶液，然后将从A 中取出的溶液注入B 中，将B 中取出的溶液注入A 中.（1）经过n 次操作后，A 、B 中的盐水浓度分别为a n %、b n %，求证：a n +b n 为常数； （2）分别求出a n 和b n 的通项公式.解：（1）经过n 次操作后，A 中盐水的浓度为300%100%200%11--⨯+⨯=n n n b a a ，得)2(3111--+=n n n b a a ，同理)2(3111--+=n n n b a b .186120011=+=+==+=+∴--b a b a b a n n n n 为常数（2）由（1）可知}{),(31,1811n n n n n n n n b a b a b a b a -∴-=-=+--又是首项为a 0－b 0=6，公比为31的等比数列，于是有 11319,319.)31(6---=+=⋅=-n n n n n n n b a b a 解得。
上海市徐汇区2015届高三数学一模试题理(含解析)
上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。
2015年1月上海市长宁区高三数学（理科）一模试卷及参考答案
开始开始结束结束是否 A ＜35 A ←1 A ←2A +1 打印打印2015年1月上海市长宁区高三数学(理科)一模试卷考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是___________________.2．若集合2{|||2},{|30}M x x N x x x =£=-£，则M ∩N =_______________. 3．复数221ii+-=______________.=______________.（（i 是虚数单位）是虚数单位） 4．已知数列{}n a 的前n 项和542n n S -=-´，则其通项公式为，则其通项公式为5. 已知()214732lim 6752n a n n n ®¥++++-éùëû=--，则a =6. 已知{}3,2,1,1,2,3,---Îb a 且b a ¹，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）（用最简分数表示）7．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为._________8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是母线与底面所成的角的大小是 . 9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 10．已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列中的唯一最大项，则数列 {}n a 的首项1a 的取值范围是的取值范围是. 11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好 有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 . 。
2015年高考文科数学上海卷及答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N .（Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学答案解析1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，。
上海市青浦区2015届高三一模数学试题含答案
上海市青浦区2015届高三上学期期末学业质量调研测试（一模）数学试题Q.2015.01.05（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若复数131iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的值为_____________. 2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = .3．9(1+展开式中有理项的个数．．是 . 4．直线:tan105l x y π+-=的倾斜角α= .5．已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ．6．平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为__ _ _ . 7．函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()121y f x -=-+的图像一定过点 .8. 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若 ()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．9.抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是 .10．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有 种.11．已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为 . 12.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为 ． 13. 设函数()y f x =在R 上有定义，对于任意给定正数M ，定义函数(),()(),()M f x f x Mf x M f x M ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数2()2f x x =-，1M =，则(2)M f = .14.当x 和y 取遍所有实数时，22(,)(5cos )(sin )f x y x y x y m =+-+-≥恒成立，则m 的最小值为 .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.已知1,2,()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为………（ ）.（A ）30 （B ）45 （C ） 90 （D ）13516.设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是…………………………………………………………………………………………（ ）. （A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若a //,ααβ⊥ ，则a β⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠⊂ （D ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥17．设,a b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-”成立的………………（ ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 18.设函数*()1,[,1),f x n x n n n N =-∈+∈，函数2()log g x x =，则方程()()f x g x =实数根的个数是……………………………………………………………………………（ ）. （A ）1个 （B ）2个 （C ） 3个 （D ）4个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.BD 1A B 1第21题图如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，13,2a =数列{}n b 是等比数列，且11b a =，2334,b a b a =-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，记点*(,),n n n Q b S n N ∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：点123n Q Q Q Q 、、、、、在同一直线l 上，并求出直线l 方程； （3）若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值． 23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.已知函数11()||||f x x x x x=+--. （1）作出函数()f x 的图像，并求当0x >时()xa f x >恒成立的a 取值范围； （2）关于x 的方程2()3()6(5)0kf x kf x k -+-=有解，求实数k 的取值范围； （3）关于x 的方程2()()0f x m f x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案及评分标准 2015.01说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1． 2. 6； 3． 5； 4． 45π；5．6π； 6． 7． ()1,3； 8.()2,+∞；9.98； 10． 180；11． 15-； 12. 3；13. 2-； 14. 8.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. B ；16. D ； 17． C ；18. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.19. 解（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得1B M 1分1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B 所成角 ………… 3分长方体1111ABCD A B C D -中，1111111A B B C A B B B ⊥⊥，，11A B ∴⊥面11B BCC ，111A B B M ∴⊥，故可得11B A M ∠为锐角且11111tan B M B A M B A ∠==…………………… 6分 （2）由题意，112BC B C ==，12C M =，14CC =2CM ∴=22211BB BM B M =+，190BMB ∴∠=，即1BM B M ⊥ ……………………………… 8分又由11A B ⊥面11B BCC 可得11A B BM ⊥ ………………………………………… 10分 故BM ⊥平面11A B M . ………………………………………………………………12分 （说明：建立空间直角坐标系的相应给分）20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分. 解：（1）由题设可知50A =，60b =， …………………… 2分又23T πω==，所以23ωπ=， …………………… 4分从而250sin()603y t πϕ=++， 再由题设知0t =时10y =，代入250sin()603y t πϕ=++，得sin 1ϕ=-，从而2πϕ=-， …………………… 6分因此，26050cos,(0)3y t t π=->. …………………… 8分 （2）要使点P 距离地面超过85米，则有26050cos853y t π=->，……… 8分第21题图即21cos32t π<- ，又202,(0)3t t ππ<<>解得224,(0)333t t πππ<<>， 即12t << …………………… 10分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85米的时间有1分钟.…… 14分21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，在已知圆的方程中，令0y =，得240x -=，即2x =±，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是2a =…………………… 2分令2y =，可得280x -=，解得x =±，即双曲线过点()2±，则228412b -=所以2b =，…………… 4分 所以所求双曲线方程为22144x y -=……………………6分 （2）由（1）得双曲线的两个焦点()1F -，()2F …………………… 7分当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ， ①若点P 在双曲线上，得224x y -=， 由120FP F P ⋅=，得(222080x x yx y+-+=⇒-+=由2222480x y x y ⎧-=⎨-+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩((1234,,,P P P P …… 11分②若点P 在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120FP F P ⋅=，得(20x x y +-+=，由222244080x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩无解…………………… 13分 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P …………………… 14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分. 解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题设可得21332122233303822q d q q d d d q ⎧⎧=-+=-⎪⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩或因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以12q =-，即131()22n n b -=- ……………………………………………4分（2）113()3112(,)12222n n n n n n nnx Q b s Q y -⎧=-⨯-⎪⎪⨯⎨⎪=⎪⎩即为（(-)，1-(-)）,令得1-(-) 330x y -+=，即点123n Q Q Q Q 、、、、、，在同一条直线330x y -+=上。
上海市2015届高三数学每周一测试卷(16)
高三每周一测数学试卷（16）一、填空题: 1. 若sin α=,则cos2α= .352. 若函数()43xf x a a =-+的反函数的图像经过点()1,2-，则实数a =2. 3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是（0，5），则f(x)≥0的解集是____________(][)+∞∞-,50, 4. 若函数()y f x =的定义域[]2,4-，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域为[]22－，5. 已知1sin ,,322ππαα⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则用反三角表示α的值为1arcsin3－ 6. 设集合10,2x A x x R x ⎧-⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A ={}12,x x x R ≤≤∈ 7. 方程22lg(2)lg(6)x x x x --=--的解集是{}2- 8. 已知ABC ∆中，2=b ，3=c ，三角形面积23=S ，则A ∠= 3π或23π9. 已知52tg ctg αα+=，ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则πsin(2)4α+=1010.设“a =1”是“y=22cossin ax ax -”的最小正周期π的________条件。
充分非必要11.某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有21种。
12. 若关于x 的不等式23log x x a +<对133x ≤≤恒成立，则实数a 的取值范围为()10,+∞13. 若函数(1)()(1)(32)61xx a f x x a x a ≥⎧=⎨<-+-⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是32,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭14. 设函数f (x)的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]上的面积.已知函数sin y nx =在[0,n π] (n 为正整数)上的面积为n 2,则()sin 31y x π=-+在[3π,34π]上的面积为23π+二、选择题:15. 11x ≤“”是1x ≥“”成立的……………………………………………………………（ B ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16. 关于()1xf x x =-的下列四个命题中，错误的命题是……………………………（ C ） （A ）定义域为{}|1,x x x R ≠∈（B ）值域为{}|1,y y x R ≠∈（C ）在定义域内单调递减（D ）图像关于直线y x =对称17. 一个圆锥的母线长为20cm ，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为（ ）AA. B. C.20cm D.10cm 18. 已知βα,为复数，给出下列四个命题： ①若R ∈2α，则R ∈α或α是纯虚数； ②若βα=，则βα±=或i αβ=；③若0αβ->，则αβ>;④若0>+βα，且0>⋅βα，则0>α且0>β.上述命题中假命题的个数是 （ B ）（A ）4. （B ）3. （C ）2 . （D ）1. 三、解答题:C A BD南岸河流（2）(][),11,-∞-⋃+∞21．欲从黄浦江的南岸直接测量北岸,A B 两地的距离.假定可测得从南岸上的任意一点出发的两条直线之间的夹角大小，以及南岸上任意两点之间的距离.现在南岸设定两个测量点,C D ，请根据下列测量数据求值（结论精确到0.1）.（1）10,60,45,CD ACD ADC =∠=∠=求AC 的距离；（2）在（1）的条件下，又得知30,80,BCD BDC ∠=∠=求AB 的距离. [解]：（1）7.3AC ≈；（2） 5.5AB ≈.22． 已知函数22()cos 2sin cos sin .f x x x x x =-- （1）求)(x f 的最小正周期和对称轴； （2）画出该函数在区间[]0,π内的图像,并指出函数在[]0,π的单调递减区间.（3）讨论方程()20f x c +=在[]0,π上的解的情况.[解]：（1）T π=,对称轴3,28k x k Z ππ=+∈;（2）图像略，递减区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）当c <或c >时，无解；当c =或c =时，1解；当122c -<<-或122c -<<时，2解；当12c =-时，3解.23．若集合M 是满足下列条件函数()f x 的全体：若存在常数m ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有1212()()f x f x m x x -≤-成立.（1）判断：函数()23f x x M=+∈？请说明理由；（2）若函数()3()11f x x x =-≤≤M∈,求常数m 的最小值；（3）设A 、B是函数)()0g x x =>图像上任意两不同的点，证明：直线AB 与直线y=x 一定相交. [解]：（1）存在常数[)2,m ∈+∞，使得()23f x x M=+∈；（2）常数m 的最小值为3；（3）121212112AB y y k x x -==<<-。
上海市2015届高三数学每周一测试卷(05)
高三每周一测数学试卷（5）一、填空题（每小题4分，共56分）1． “若B B A = ，则A B ⊂≠”是假 （真或假）命题.2．已知()2-=x x x f ，()2-=x x g ，则()()=⋅x g x f x x 22- ()2≥x.3．已知()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在(]0,∞-上是增函数，若()()2f a f ≥，则a 的取值范围是[]2,2-.4．若关于x 的一元二次不等式()2140x k x +-+≤在实数范围内恒不成立，则实数k 的取值范围是_____35k -<<_____.5．若函数f(x)=x2+(a-2)x+3，x ∈[a,b]恒满足等式f(2-x)=f(2+x)，则实数b= 66．()()2122+-+=x a x x f 在(]4,∞-上的减函数，则a 的取值范围 (]3,-∞- .7．在长方体ABCD 1111A B C D 中，111130BAB B AC ∠=∠=。
则9．已知定义域为R 的函数()y f x =，()0>x f 且对任意a b R ∈、，满足()()()f a b f a f b +=⋅，试写出具有上述性质的一个函数y=2x.10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分14%的纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税。
已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 3800 元。
11．棱长均为a 的正四棱锥中，（文）侧棱与底面所成的角的大小为4π.（理）侧面与底面所成二面角的大小为 arctan 2 .12．在长方体ABCD 1111A B C D 中，15,12AA AB ==，则点1B 到平面1BCD 的距离为 6013 。
13．已知正三棱锥P ABC 的底面边长为a ，侧棱长为2a ,则点A 到平面PBC 的距离为.14． 给出以下四个命题，其中真命题有 1,2,4①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.二、选择题（每小题4分，共16分）15．已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么( B ) A.a 与b 可能垂直，但不可能平行 B.a 与b 可能垂直，也可能平行C.a 与b 不可能垂直，但可能平行D.a 与b 不可能垂直，也不可能平行 16．由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是( D ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数17．函数12)(+-=x x f ,对任意正数ε,使ε<-|)()(|21x f x f 成立的一个充分不必要条件是( C )A. ε<-||21x xB.2||21ε<-x x C. 4||21ε<-x x D.4||21ε>-x x 18．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给量表2 市场需求量根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（C ） A.[2.3,2.6]内 B.[2.4,2.6]内 C.[2.6,2.8]内 D.[2.8,2.9]内 三、解答题（写出必要的解题过程，共78分）19．（满分12分）解不等式：1425≤--x x. 解：01425≤---x x 04293≤-+-⇒x x023≥--⇒x x ()()⎩⎨⎧≠≥--⇒2023x x x ()[)+∞∞-∈⇒,32, x20．（满分14分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，问水箱的高h 及底面边长x 分别为多少时，这个水箱的表面积为最大？并求出这个水箱最大的表面积.（10）解：由题得1248=+h x水箱的表面积224x xh S +=∴ ()22812x x x S +-=＝x x 1262+-＝()6162+--x∴当1=x 时，6=mnx S 此时1=h ，∴当水箱的高h 与底面边长x 都为1米时，这个水箱的表面积最大，最大值为6平方米21．（满分16分）如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）.[解] 异面直线F A '与CE 所成角的大小为552arctan.22．（满分16分）已知函数xa a a x f 2112)(-+=，常数0>a 。
上海市2015届高三数学每周一测试卷(02)
高三每周一测数学试卷（2）一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数()lg(21)=+-f x x 的定义域为)2,21(。
2．函数)1,0)(23(log ≠>-=a a x y a 的图象过定点 （1，0） 。
3．若函数)(x f 的反函数为)1(log )(21+=-x x f ，则)1(f 的值为 1 。
4．函数1-=x y 的反函数是()[)+∞-∈+=,1,12x x y 。
5．函数2)1(22+-+=x m x y 在[)+∞,2上是增函数，则实数m 的取值范围是[)+∞-,1。
6．若函数7)(35+++=cx bx ax x f ，若12)5(=f ，则=-)5(f 2 。
7．已知函数b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若函数)(1x f y -=的图象过点Q （5，2）则常数=b 1 。
8．设函数(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 3 。
9．函数[]b a x x a x y ,,3)2(2∈+++=的图象关于直线1=x 对称，则b = 6 。
10．定义在R 上的奇函数)(x f ，若()+∞∈,0x 时)1()(31x x x f +=，则)(x f =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,10,00,13131x x x x x x x 。
11. 若关于x 的不等式23log x x a +<对133x ≤≤恒成立，则实数a 的取值范围为 .(10,)∞3453,4,5,234⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，等二、选择题（每小题4分，共16分）[来源:Z 。
xx 。
]15．集合{}{}0,21>-=≤<=a x x B x x A ，当B A ⊂时，实数a 的取值范围是（ B ）A ．[)+∞,2 B.(]1,∞- C.()1,∞- D.()+∞,2。
上海市徐汇区2015年高三数学文科一模试卷
2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ．4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数值表示）．7．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为1，则首项1a 的取值范围为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+>-的解集为A ，则U A C = ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*111()22n n S a n N ++=∈，则{}n a 的通项公式为 ．10．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．11．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a = ，AD b = ，用,a b表示BO ，则BO= ．12．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()2401202x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4iA x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“123413x x x x ≤+++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）15．若1+是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） （A ） 2,3b c =-= （B ） 2,1b c ==- （C ） 2,1b c =-=- （D ） 2,3b c ==16．已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l （ ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）垂直 （D17．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图所示，（其中b a ,则函数b a x g x +=)(的大致图象是（ ）18*)N ，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A ）1112121222m m a a a a a a +++++++ （B ）1121112222m m a a a a a a +++++++ （C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++三．解答题（本大题满分74分）19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈． （1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知椭圆22:14x y γ+=的右焦点为F ，左顶点为R ，点(2,1),(2,1)A B -，O 为坐标原点． （1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+ ，求22m n +的值；（2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()(),0,2,5S t t ∈，求QS QR ⋅的取值范围；（3）过F 作斜率为k 的直线l 交椭圆γ于,C D 两点，交y 轴于点E ，若1EC CF λ=，2ED DF λ=，试探究21λλ+是否为定值，说明理由．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1．(1)若,x y R +∈，2=+y x 且y x ≠，写出数列：2,,122y x xy +的序数列并说明理由；(2)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n p 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列；(3) 若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．文科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. 7. ()()0,11,2U 8. []1,0- 9. 1*3,n n a n N -=∈10. 11. 2233a b -+r r 12. 6π13. 2 14. 64二、选择题：（每题5分）15. A 16. C 17. D 18. C三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，32A =……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))442f f +-=++-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2+-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’)43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ= 椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，则 12PP r π=，……………………..10’ 得 1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’ 在1POP ∆中，12PP r ==……………………..14’ 22、解：（1）()22,OP mOA nOB m n m n =+=-+ ，得()22,P m n m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()(),2,QS QR t x y x y ⋅=-----()()()()222214x x t x y x t x =-++=-++-……………………..5’()232124x t x t =+-+- ()()22132422433t t x x +-⎛⎫=---≤≤ ⎪⎝⎭……………………..6’ 由()2,5t ∈，得24023t -<<……………………..7’ 当2x =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当243t x -=时，QS QR ⋅ 最小值为()213t +-；……………………..9’∴综上所述：QS QR ⋅的取值范围为()21,03t ⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………..10’ （3）由题，得F ，11(,)C x y ，22(,)D x y ，直线l的方程为(y k x =，则(0,)E ，由2244(x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得2222(41)4(31)0k x x k +-+-=，……………………..12’故12x x +=21224(31)41k x x k -=+……………………..13’由1EC CF λ=得111)x x λ=，即1λ=2λ=……………………..14’所以12λλ+=+=22222222248(31)4141244(31)34141k k k k k k k k --++=--+++ 8=-即128λλ+=-为定值……………………..16’ 23、解：(1)因为2=+y x 且y x ≠，所以11)1()2(2<+--=-=x x x xy ，……………………..2’11)1(2)2(222222>+-=-+=+x x x y x ……………………..4’ 故数列2,,122y x xy +的序数列2,1,3；……………………..5’(2)充分性：因为数列}{n a 是单调数列时，12n a a a >>>L 或12n a a a <<<L ， 所以其序数列为1,2,,1,n n -L 或,1,,2,1n n -L 均为等差数列；……………………..8’ 必要性：当数列}{n a 的序数列为等差数列时，其序数列必为1,2,,1,n n -L 或,1,,2,1n n -L ，所以有12n a a a >>>L 或12n a a a <<<L ， 所以数列}{n a 为单调数列；……………………..11’ (3)因为523)53(1nb b nn n -⋅=-+，……………………..13’ 当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1， 又因531=b ，33)53(3⋅=b ，44)53(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..16’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ，解得：54<<t ……………………..18’。
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11.
a n 1 (a1 a 2 a n )(n N ) a a S 2 数列 n 的首项为 a1 2 ，且 ，记 n 为数列 n
1
1
3 2 S 2 前 n 项和，则 n
n 1
.
已知函数 f ( x ) A sin( 2 x )( A 0,0 2 ) ，若对任意 x R 有
9 当 n=20 时为负值－4 ，在[1，19]单调递减且小于 1，故 n=21 时当最大项是 4
5
x 表示某学科知识的学习次数（ x N ） ， f ( x ) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与
*
学科知识有关。 证明：当 x 7 时，掌握程度的增加量 f ( x 1) f ( x ) 总是下降； 根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] , (121,133] 。 当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。
①该函数的值域为[-1，1]
给出下列四个命题：
②当且仅当
x 2k
(k z )时, 该函数取得最大值1; 2
3 (k z )时, f ( x) 0 2
1.2.3 .
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当
2k x 2k
上述命题中错误命题的序号为
证明（1）当
x 7时，f ( x 1) f ( x )
0.4 ( x 3)( x 4) ，函数 y ( x 3)( x 4) 单调递增，
且 ( x 3)( x 4) >0 故 f ( x 1) f ( x ) 单调递减
当 x 7时 ，掌握程度的增长量 f ( x 1) f ( x) 总是下降 a a e0.05 （2）由题意可知 0.1+15ln a 6 =0.85，整理得 a 6 e0.05 a 0.05 6 20.50 6 123.0,123.0 (121,127] e 1 解得
60°
xa 21. 已知 f(x)= x bx 1 是定义在 R 上的奇函数
2
（1）求 a, b 的值. （2）判断 f(x)的单调区间，并加以证明.
3
（3）求 f(x)的值域.
a 0.1 15ln , ( x 6) ax f ( x) x 4.4 , ( x 6) x4 22. 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中
2 若函数 g ( x) 的图象与函数 f ( x) ( x 2) ( x 2) 的图象关于直线 x y 0 对称，则 g ( x )
2 x ( x 0)
已知函数 y = 2sin(ωx)在［
3 3 ， 4 ］上单调递增，则实数ω的取值范围是 （0， 2 ]
项构成首项 r，公比 q 的等比数列，bn=a2n—1+a2n=(1+r)qn—1.
（3 ）由已知，
bn 2
19.2
1 2
n 1
220.2 n
log 2 bn 1 log 2 bn ｝的通项（第 ，log2bn=20.2－n，故｛
n 项为）为
Tn
19.2 n 1 1 20.2 n n 20.2 ，
D. 81 ）
17. 当圆锥的侧面积与底面积的比值是 2 时，圆锥的轴截面的顶角是（ C A． 30 B． 45 C． 90 D． 120
x x2 1 ，则（ C ） 18. 已知函数 f (x)（0 ≤ x ≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若 0 y 1
f ( x1 ) f ( x2 ) x x2 1 A． f ( x1 ) f ( x2 ) x or 3 成立，则方程 f ( x ) 0 在 0, 上的解为 6
f ( x) min 3 log 1 x, log 2 x 4 ，其中 minp, q 表示 p, q 两者中的较小者， 13. 若函数
则 f ( x ) 2 的解为 X 4or 0 x 4 14. 设奇函数
由此可知，该学科是乙学科 23. 数列｛an｝中，a1=1，a2=r＞0，数列｛anan+1｝为公比为 q（q＞0）的等比数列，数列 ｛bn｝中，bn=a2n—1+a2n. （1）求使 anan+1+an+1an+2＞an+2an+3 成立的公比 q 的取值范围； （2）求｛bn｝的通项
4
log 2 bn 1 1 log 2 bn ｝的最大项和最小项. （3）若 r=219. 2 －1，q= 2 ，求数列｛ 1 5 1 5 1 5 （1）1+q＞q2，∴q∈( 2 ，0)∪(0， 2 ). 又 q＞0 ∴q∈(0， 2 ) a n 1 a n 2 a n 2 a a a （2）q= n n 1 = n ，说明｛an｝的奇数项构成首项为 1，公比为 q 的等比数列，偶数
{an } {an }
中,
am 2009, a 2009 m
am n (n 2009)
项是( B
)
A.一个正数 (文)等比数列 A . 27
B.一个负数 中,
C.零 ,则
D.符号不能确定.
a1 a2 1 , a3 a4 9
B. 27
a5 a6
(C
)
C. 81
1 3 z i 2 2 ，则 z z 2 设复数
-1
.
π 4π C 已知球的表面积为 ， A 、 B 、 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 2 ，则球
心 O 到平面 ABC 的距离为
3 3 当 sin x cos x时 当 sin x cos x时
.
sin x f ( x) cos x 10. 对于函数
高三每周一测数学试卷（11）
一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分 若 U {1 , 2 , 3 , 4 , 5} ， M {1 , 2 , 4} ， N {3 , 4 , 5} ，则 ðU ( M N )
2 2 函数 f ( x ) sin x 3cos x 的最小正周期是
1, 2,3,5
.
. .
不等式的 ( x 1) x 2 0 解集是
[1, ) { 2 }
在 ABC 中，“
A
3 π sin A 2 ”的 3 ”是 “
充分非必要
条件.
在等差数列 {an } 中， a1 a2 a3 3 ， a28 a29 a30 165 ，则此数列前 30 项的和等于 840
f x
在区间
， 11 上是增函数，且 f 1 1 。当 x 1,1 时，函数 a 1,1
恒成立，则实数 t 的取值范围为 t 2 或 t 2 或
f x t 2 2at 1 t0
，对一切
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 15. 已知 m、n 为两条不同的直线， 、 ，为 两个不同的平面，m⊥ ，n⊥ ，则下列 命题中的真命题是 （A）若 m∥n ，则 ∥ （C）若 、 相交，则 m 、n 相交 16. (理)等差数列 （B）若 ⊥ ,则 m⊥n （D）若 m、n 相交，则 、 相交 且 m 2009 ,则 （ C ）
O
1
x
2
f ( x1 ) f ( x2 ) x x2 1 C．
D．前三个判断都不 正确
三、解答题（共 5 大题，共 78 分） 19. 已知函数 f ( x ) a sin x b cos x ， ( a, b R )
20.如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形， AB ∥ CD, ∠ DAB= 90 °， PA⊥底面 ABCD,AB=2,AD= 2 ,DC=1,PA=4,点 M 、 N 分别为 PB 、 PD 的中点，求平面 CMN 与平面 ABCD 所成是二面角的大小.