2013高考数学第二轮专题复习测试题11
2013版高考数学二轮复习专题训练：平面向量.doc
2013版高考数学二轮复习专题训练：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量(1,2),(cos ,sin ),//,tan()4a b a b πααα==+=r r r r 且则( )A ．-3B ．3C ．13-D ．13【答案】A2．ABC ∆的外接圆圆心为O ,半径为2，0=++AC AB OA ,且||||AB OA =,向量CA CB 方向上的投影为( ) A ．3- B ．3-C ． 3D ．3【答案】C3．已知a r ，b r 是非零向量，且,3a b π<>=r r ，则向量||||a bp a b =+r ru r r r 的模为( )A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】B4．若｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥α，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ． 120°D ．150°【答案】C5．在ABC ∆中,c b a 、、分别为三个内角C B A 、、所对的边,设向量),(),,(a c b n a c c b m +=--=，若向量n m ⊥，则角A 的大小为( )A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π 【答案】B6．已知向量 a =(2cos ϕ，2sin ϕ)，ϕ∈(ππ,2)， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ．π32-ϕB ．2π+ϕ C ．ϕ-2π D ．ϕ【答案】A7．已知,OA OB u u u r u u u r是两个单位向量，且OA OB ⋅u u u r u u u r =0．若点C 在么∠AOB 内，且∠AOC=30°，则(,),OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 则mn( )A ．13B ．33 D 3【答案】D8．已知向量,a b rr 满足1,2,22,a b a b ==+=r r r r 则向量b r 在向量a r 方向上的投影是( )A ．12-B ．1-C ．12D ．1【答案】B9．设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形【答案】C10．已知A 、B 是直线l 上任意不同的两个点，O 是直线l 外一点，若l 上一点C 满足条件2cos cos OC OA OB θθ=+u u u r u u u r u u u r，则246sin sin sin sin θθθθ+++的最大值是( )A B C D【答案】C11．已知两点(4,9)(2,3)P Q --,，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ uuu r的比为( )A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C12．设4=•，若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则和的夹角等于( )A ．3π B ．6π C ．32π D ．323ππ或【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量(1sin )a θ=r ，，(1cos )b θ=r，，则a b -r r 的最大值为____________ 【答案】214．在△ABC 中，AB=7，BC=5，CA=6，则AB BC ⋅u u u r u u u r= . 【答案】-1915．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中,,R λμλμ∈+=则___________.【答案】4316．给出下列命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件。
2013山东高考数学二轮复习阶段达标检测2
(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i解析：解题的关键是分母实数化．3＋i 1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2＋4i2＝1＋2i. 答案：D 2．(2012年高考江西卷)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：利用集合元素的互异性确定集合．当x ＝－1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝－1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1，1，3}，即元素个数为3.答案：C3．(2012年高考广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)xD ．y ＝x ＋1x解析：利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解．对于A 选项，可看成由函数y ＝ln u ，u ＝x ＋2复合而成，由于两函数都为增函数，单调性相同，所以函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．B 、C 均为减函数．对于D 选项，y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数．答案：A4．在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是() A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，aα，则a∥β解析：A中，由条件可以推出b∥α或b⊂α；B中，由条件可以推出β∥α或α与β相交；C中，由条件可以推出b∥β或b⊂β.D正确．答案：D5．(2012年高考陕西卷)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于()A.22 B.12C．0 D．－1 解析：利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cos θ)，b＝(－1，2cos θ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.答案：C6．(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为()A．－1 B．1C．3 D．9解析：按照循环条件，逐次求解判断．当x＝－25时，|x|>1，所以x＝25－1＝4>1，x＝4－1＝1>1不成立，所以输出x＝2×1＋1＝3.答案：C7．(2012年高考浙江卷)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 cm3B．2 cm3C．3 cm3D．6 cm3解析：关键是正确识图，还原出三棱锥．由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示．三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V＝13S底·h＝13×12×1×2×3＝1(cm3)．答案：A8．(2012年高考课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()A. 2 B．2 2C．4 D．8解析：利用抛物线的几何性质结合方程组求解．设C：x2a2－y2a2＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立x2a2－y2a2＝1和x＝－4得A(－4,16－a2)，B(－4，－16－a2)，∴|AB|＝216－a2＝43，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.答案：C9．(2012年高考安徽卷)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或4解析：利用排列、组合知识求解．设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行C26＝15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．(2)由4人构成的2次交换，如a－b和c－e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人．故选D.答案：D10．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76 B．80C．86 D．92解析：观察规律，归纳推理．由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案：B11．(2012年高考安徽卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是()A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：利用线性规划知识求解．作出可行域，如图阴影所示．设z ＝x －y ，则y ＝x －z . 平移直线x －y ＝0，则当其经过点(0，3)时，z min ＝－3， ∴x －y 的最小值为－3.答案：A12．如图，已知正四棱锥S -ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为( )解析：“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象． 当0<x <12时，截面为五边形，如图所示．由SC ⊥面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26(0<x <12)， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12<x <1时，S 截面24＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 122⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′＝－2(1－x )2.当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________． 解析：本题可利用正弦定理求解． 根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ， 故AC ＝BC ·sin B sin A ＝3sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 2.答案： 214．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________． 解析：利用定积分的几何意义求解． S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案：4915．(2012年银川一中月考)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，则k ＝________．解析：易知圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，由于圆的半径是32，因此只要圆心(2，2)到直线y ＝kx 的距离等于2，即可保证圆上恰有三个不同的点到直线l 的距离等于22，所以|2k －2|1＋k 2＝2，即2(k 2－2k ＋1)＝1＋k 2，即k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2±3. 答案：2±316．(2012年高考湖南卷)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP·AC ＝________．解析：根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解．答案：18三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin (2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin (2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin [2(x ＋π12)＋π6]＝6sin (2x ＋π3)的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin (4x ＋π3)的图象．因此g (x )＝6sin (4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]，故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3，6]．18．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －1，n ∈N *，数列b 1，b 2－b 1，b 3－b 2……，b n －b n －1是首项为1，公比为12的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解析：(1)证明：∵a n ＝2S n －1，∴S n ＝14(a n ＋1)2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2 ＝14(a 2n ＋2a n －a 2n －1－2a n －1) 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2， 又a 1＝1，故数列{a n }是等差数列．且a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2－12n －1， ∴c n ＝(2n －1)(2－12n －1)＝2(2n －1)－2n －12n －1， 先求数列{2n －12n －1}的前n 项和A n . ∵A n ＝1＋32＋522＋723＋…＋2n －12n －1，12A n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ， ∴12A n ＝1＋22＋222＋223＋…＋22n －1－2n －12n ， 12A n ＝3－2n ＋32n ，∴A n ＝6－2n ＋32n －1，∴T n ＝2n 2＋2n ＋32n －1－6.19．(12分)(2012年海淀模拟)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小；(3)在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面P AD ？若存在，求PMPB 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：因为∠ABC ＝90° 所以AB ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， AB平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBC .(2)取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC . 因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PCB ∩平面ABCD ＝BC ， PO平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD .如图，以O 坐标为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .设BC ＝2.由AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD 可得P (0，0，3)，D (－1，1，0)，A (1，2，0)．所以DP→＝(1，－1，3)，DA →＝(2，1，0)．设平面P AD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0，m ·DA →＝0.所以⎩⎨⎧x －y ＋3z ＝0，2x ＋y ＝0.令x ＝－1，则y ＝2，z ＝ 3. 所以m ＝(－1，2，3)．取平面BCP 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝22.所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小为π4.(3)假设在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面P AD ，此时PM PB ＝12. 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ， 则MN ∥P A ，AN ＝12AB . 因为AB ＝2CD ， 所以AN ＝CD . 因为AB ∥CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形， 所以CN ∥AD .因为MN ∩CN ＝N ，P A ∩AD ＝A ， 所以平面MNC ∥平面P AD . 因为CM平面MNC ，所以CM ∥平面P AD .20．(12分)(2012年青岛摸底)某工厂2011年第一季度生产的A ，B ，C ，D 四种型号产品的产量的条形图如图所示，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会．(1)问应从A ，B ，C ，D 四种型号的产品中各抽取多少件，从50件样品中随机抽取2件产品，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；(2)在这50件样品中，从A ，C 型号的产品中随机抽取3件产品，用ξ表示抽取A 型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)由条形图可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500件，样本容量与总体个数的比为50500＝110，所以应从A ，B ，C ，D 四种型号的产品中分别抽取： 110×100＝10，110×200＝20，110×50＝5，110×150＝15. 即50件样品中应抽取A 型产品10件，B 型产品20件，C 型产品5件，D 型产品15件． 从50件样品中任取2件共有C 250＝1 225种取法，抽取的2件产品恰为同一型号产品的取法有C 210＋C 220＋C 25＋C 215＝350种，所以2件产品恰好为不同型号的产品的概率为1－3501 225＝57.(2)由题意知，50件样品中，A 型产品有10件，C 型产品有5件，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P (ξ＝0)＝C 35C 315＝291，P (ξ＝1)＝C 110·C 25C 315＝2091，P (ξ＝2)＝C 210·C 15C 315＝4591，P (ξ＝3)＝C 310C 315＝2491.所以ξ的分布列为21．(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，直线l 过点A (4，0)，B (0，2)，且与椭圆C 相切于点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点A (4，0)的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，使得36|AP |2＝35|AM |·|AN |？若存在，试求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意得过两点A (4，0)，B (0，2)的直线l 的方程为x ＋2y －4＝0. 因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c . 则椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去x 得4y 2－12y ＋12－3c 2＝0. 又因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝122－4×4(12－3c 2)＝0，解得c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线m 的斜率存在， 设直线m 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）x 24＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0. 由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.又直线l ：x ＋2y －4＝0与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相切， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 24＋y 23＝1，解得x ＝1，y ＝32，所以P (1，32)．则|AP|2＝454.所以|AM|·|AN|＝3635×454＝817.又|AM|·|AN|＝（4－x1）2＋y21·（4－x2）2＋y22＝（4－x1）2＋k2（4－x1）2·（4－x2）2＋k2（4－x2）2＝(k2＋1)(4－x1)(4－x2)＝(k2＋1)[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝(k2＋1)(64k2－123＋4k2－4×32k23＋4k2＋16)＝(k2＋1)363＋4k2.所以(k2＋1)363＋4k2＝817，解得k＝±24.经检验成立．所以直线m的方程为y＝±24(x－4)．22．(13分)(2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)＝f′(1)e x－1－f(0)x＋12x 2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥12x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．解析：(1)由已知得f′(x)＝f′(1)e x－1－f(0)＋x，所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.从而f(x)＝e x－x＋12x 2.由于f′(x)＝e x－1＋x，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 从而，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)由已知条件得e x－(a＋1)x≥b (*)①若a＋1<0，则对任意实数b，当x<0，且x<1－ba＋1时，可得e x－(a＋1)x<b，因此(*)式不成立．②若a＋1＝0，则(a＋1)b＝0.③若a＋1>0，设g(x)＝e x－(a＋1)x，则g′(x)＝e x－(a＋1)．当x ∈(－∞，ln(a ＋1))时，g ′(x )<0； 当x ∈(ln(a ＋1)，＋∞)时，g ′(x )>0.从而g (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在(ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增． 故g (x )有最小值g (ln(a ＋1))＝a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)． 所以f (x )≥12x 2＋ax ＋b 等价于b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)． (* *)因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)．设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)，则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．所以h (a )在(－1，e 12－1)上单调递增，在(e 12－1，＋∞)上单调递减，故h (a )在a ＝e 12－1处取得最大值．从而h (a )≤e2，即(a ＋1)b ≤e2.当a ＝e 12－1，b ＝e 122时，(* *)式成立， 故f (x )≥12x 2＋ax ＋b .综上得(a ＋1)b 的最大值为e2.。
2013全国统一考试普通高等学校招生数学能力加强卷11理学生专用
2013全国统一考试普通高等学校招生数学能力加强卷数学理（11）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【原创改编题】集合{}1,M z z z =≤∈C ，1,2N z z bi b ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭R ，则M N =∅ ，则实数a 的取值范围是 （ ）A.3(,(,)-∞+∞ B. 3(,[,)-∞+∞C.(D. [2. 【北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）】下列命题中，真命题是( )（A ）x ∀∈R ,210x --< （B ）0x ∃∈R ,2001x x +=- （C ）21,04x x x ∀∈-+>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R 3. 【山东省枣庄市2013届高三测试试题】定义在R 上的函数()x f 满足()()()()2log 1,0,12,>0,x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨---⎪⎩ 则()8f 的值为A.-1B.0C.1D.24. 【江西省南昌二中2013届高三数学模拟题二】若函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A ．(,0)8π-B ．(,0)8πC ．（0，0）D ．(,0)4π-5. 【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（ ）A: a c b << B: a b c << C: b a c << D: b c a <<6. 【江西省南昌市2011—2012学年度高三第三次模拟测试】 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a ＝4，10=110S ，则nn a S 64+的最小值为（ ） A ．7B.215 C ． 8 D.217 7. 【原创改编题】若命题:p 210x ax ++>的解集为R ，命题q ：直线y x a =+与圆222x y +=有公共点，若命题p q ⌝∧真，则实数a 的取值集合是（ ）A.[]2,2-B.(2,2)-C.(,2][2,)-∞-+∞D.{}2,2-8. 【广东省惠州市2013届高三第二次调研考试】若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．CD ．29. 【湖北省武汉市2012年考试答题适应性训练】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：零件数x (个)1020 30 40 50 60 70 80 加工时间y (min) 626875818995102108设回归方程为y bx a =+，则点,a b （）在直线45100x y +-=的A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方10. 【原创改编题】定义在R 上的函数)(x f y =，对任意不等的实数1x ，2x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成立，又函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，若不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，则当41≤≤x 时，xy的取值范围是（ ）A.1[,)2-+∞B.(,1]-∞C.1[,1]2-D.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2013版高考数学二轮复习专题训练 立体几何
安徽财经大学附中2013版高考数学二轮复习专题训练：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若一个棱锥的各棱长均相等，则该棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥 【答案】D2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，则AE AF⋅的值为( ) A ．2aB ．212a C ．214a D2 【答案】C3．一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②矩形;③正方形;④正六边形.其中正确的结论有( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④ 【答案】B4．点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，ABC PA ABC PA ∆=⊥，在，平面8中，底边BC P AB BC 到，则点，56==的距离为( )A ．54B ．3C ．33D ．32【答案】A5．—个几何体的正视图与侧视图相同，均为下图所示，则其俯视图可能是( )【答案】B6．如图，已知四棱锥 V-ABCD 的底面是边长为2正方形，侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C7．若用一个平面去截一个正方体得到一个截面多边形,则该多边形不可能．．．是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．菱形 D ．正六边形 【答案】B8．空间三条直线中的一条直线与其他两条都相交，那么由这三条直线最多可确定平面的个数是( )个A ．1B ．2C ． 3D ．4 【答案】C9．已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是( ) ①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①② 【答案】A10．下列说法正确的是( )A ． 直角梯形绕其一边旋转形成圆台B ． 直角三角形绕其一边旋转形成圆锥C ． 圆柱不是旋转体D ． 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 【答案】D11．一凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为( )A ．24B ．22C ．18D ．16 【答案】D12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．π34B ．2C ．π38D ．π310 【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知123F i j k =+- ，223F i j k =-+- ，3345F i j k =-+ ，若1F 、2F 、3F共同作用于一个物体上，使物体从点1M （1，-2，1）移到点2M （3，1，-2），则合力所做的功为 . 【答案】414．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .【答案】15．正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面____________ 【答案】面AD 1C16．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 【答案】①③④⑤三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝BC ，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)在CC 1上是否存在一点E ，使得∠BA 1E ＝45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面A 1BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．【答案】(1)连结AB 1与A 1B 相交于M ，则M 为A 1B 的中点．连结MD ，又D 为AC 的中点， ∴B 1C ∥MD ，又B 1C ⊄平面A 1BD ，MD ⊂平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD. (2)∵AB ＝B 1B ，∴平行四边形ABB 1A 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴AC 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1. 又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)设AB ＝a ，CE ＝x ，∵B 1C 1⊥A 1B 1，在Rt △A 1B 1C 1中有A 1C 1＝2a ，同理A 1B 1＝2a ， ∴C 1E ＝a －x ，∴A 1E ＝2a 2＋(a －x)2＝x 2＋3a 2－2ax ，BE ＝a 2＋x 2， ∴在△A 1BE 中，由余弦定理得BE 2＝A 1B 2＋A 1E 2－2A 1B ·A 1E ·cos45°，即a 2＋x 2＝2a 2＋x 2＋3a 2－2ax －22a 3a 2＋x 2－2ax ·22，∴3a 2＋x 2－2ax ＝2a －x ，∴x ＝12a ，即E 是C 1C 的中点，∵D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点，∴DE ⊥AC 1. ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴DE ⊥平面A 1BD.又DE ⊂平面BDE ，∴平面A 1BD ⊥平面BDE.18．如图，在四棱锥A-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点.(1）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； (2）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；(3）当二面角E-BD-C 的大小为45°时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）连接，由条件可得∥. 因为平面，平面， 所以∥平面.(Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以.因为，所以. 又因为，所以平面平面. -(Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥的底面边长为2，则，，，，，. 所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为，则 即令，得. 易知是平面的法向量.因为，所以，所以平面平面.(Ⅲ）设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为.因为， 所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为. 所以，所以，解得.所以点是的中点.19．如图，在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知11,2,BC CC AB ===13BCC π∠=(1）求证：1C B ABC ⊥平面；(2）、当E 为1CC 的中点时，求二面角11A EB A --的平面角的正切值.【答案】（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有1BC ==故有222111BC BC CC C B BC += ∴⊥ 而 BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面(2）取1EB 的中点D ，1A E 的中点F ，1BB 的中点N ，1AB 的中点M ， 连DF 则11//DF A B ，连DN 则//DN BE ，连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ，且MNDF 为矩形，//MD AE 又1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角在Rt DFM中，111(22DF A B BCE ==∆ 为正三角形）111222MF BE CE ===1tan 2MDF ∴∠== (法二： 建系：由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥ ， 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A与EA的夹角因为11B A BA ==1(2EA =-故1111cos tan 2EA B A EA B A θθ⋅==⇒=⋅ ） 20．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为PC 的中点.(I ）求证：AD ⊥PC ；(II ）求三棱锥P-ADE 的体积；(III ）在线段AC 上是否存在一点M ，使得PA//平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）因为PD ⊥平面ABCD.所以PD ⊥AD.又因为ABCD 是矩形， 所以AD ⊥CD. 因为,D CD PD =⋂ 所以AD ⊥平面PCD.又因为⊂PC 平面PCD ， 所以AD ⊥PC.(II ）因为AD ⊥平面PCD ，V P-ADE =V A-PDE ， 所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD=DC=4， 所以.444212121=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯==∆A PDC PDE S S 又AD=2， 所以.38423131=⨯⨯=⋅=∆-PDE PDE A S AD V (III ）取AC 中点M ，连结EM 、DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM//PA ，又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以PA//平面EDM. 所以.521==AC AM 即在AC 边上存在一点M ，使得PA//平面EDM ，AM 的长为5.21．如图，直三棱柱-'''ABC ABC ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'AB 和''B C 的中点(1）证明：//''MN AACC平面；(2）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值 【答案】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠︒三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱，所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点 所以//'MN AC ，又MN ⊄平面''AACC'AC ⊂平面''AACC ，因此//''MN AACC平面 (2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示设'=1,AA 则==AB AC λ，于是()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1A B C A B C λλλλ，所以1,0,,,,12222M N λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111=,,m x y z 是平面'AMN 的法向量， 由'=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩得11111-=0221+=022x z y z λλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=1,-1,m λ 设()222=,,n x y z是平面MNC 的法向量，由=0,=0n NC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩ 得22222-+-=0221+=022x y z y z λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=-3,-1,n λ 因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2=0,-3+-1-1+=0m n λ⨯即，解得λ 22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是正方形，DM ⊥PC ，垂足为M.(1）求证：BD ⊥平面PAC ．(2）求证：平面MBD ⊥平面PCD ． 【答案】（1）连结AC ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ，∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA⊥BD，∵PA ⋂AC=A∴BD⊥平面PAC．(2）由（1）知BD⊥平面PAC ∵PC⊂平面PAC∴BD⊥PC∵DM⊥PCBD ⋂DM=D∴PC⊥平面DBM∵PC⊂平面PDC，∴平面MBD⊥平面PCD.。
2013年高考试题分项版解析数学(理) 专题11 排列组合、二项式定理(Word精析版)(2)
第十一章 排列组合、二项式定理一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】用0,1,2,...9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243B.252C.261D.2792.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】2531()x x-展开式中的常数项为（ ） A ．80B.-80C.40D.-403.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）4.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】 6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .【答案】155.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________.7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________.（用数字作答）二．能力题组8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．710.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a = （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1012.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56 B ．84 C ．112 D ．16813.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】将序分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连，那么不同的分法种数是.三．拔高题组14.【2013年全国高考新课标（I ）理科】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5B 、6错误！未找到引用源。
2013最新高考复习专题限时练习：数学第11讲 推理与证明
专题限时集训(十一)[第11讲 推理与证明](时间：10分钟＋35分钟)1．“因为指数函数y ＝ax 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫14x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫14x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错2．用反证法证明命题：“m 、n ∈N ，mn 可被3整除，那么m 、n 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( )A ．m 、n 都能被3整除B ．m 、n 都不能被3整除C ．m 、n 不都能被3整除D ．m 不能被3整除3．已知数列{an }满足递推式(n ＋1)an ＝nan ＋1，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想an ＝( )A ．n B.2n (n ＋1)C.n ＋12D.22n －14．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含有两个数{3,5}；第三组含有三个数{7,9,11}；…，则第n 组内各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)1一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等．A ．①B ．①②C ．①②③D ．③3．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设aij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若aij ＝2011，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24…图11－2A ．105B ．106C ．107D ．1084．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12[62－(12＋22＋32)]＝11， T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12[102－(12＋22＋32＋42)]＝35， T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋4×5＝12[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85. 则T 7＝________.(写出计算结果)5．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V ＝________.6．已知命题：若数列{an }为等差数列，且am ＝a ，an ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则am ＋n ＝bn －am n －m{bn }(bn >0，n ∈N *)，bm ＝a ，bn ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到bm ＋n ＝________.7．在数列{an }中，a 1＝3，an ＝－an －1－2n ＋1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{an ＋n }是等比数列，并求{an }的通项公式；(3)求数列{an }的前n 项和Sn .8．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x .(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{an }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (an ＋1)＝g (an )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有an ≤M .专题限时集训(十一)【基础演练】1．A 【解析】 y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．2．B 【解析】 用反证法证明命题应先否定结论，故选B.3．A 【解析】 由(n ＋1)a n ＝na n ＋1知a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1，将这n －1个式子相乘，得到a n ＝n ，故选A.4．B 【解析】 第1组中含有1个数1＝13，第2组中和为3＋5＝8＝23，第3组中和为7＋9＋11＝27＝33，…，由此归纳第n 组内各数之和为n 3，选B.【提升训练】1．C 【解析】 由合情推理可知①②③全部正确．2．A 【解析】 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，当n ＝2时，a 2＝10，当n ＝3，a 3＝14，由此推测，第n 个图案中有白色地面砖的块数是：a n ＝4n ＋2.3．D 【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2011＝2×1006－1，所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j －1)，所以j ＝45，所以i ＋j ＝108.4．322 【解析】 T 7＝12[(1＋2＋…＋7)2－(12＋22＋…＋72)]＝322. 5.13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 【解析】 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．6.n －m b n am 【解析】 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －am n －m可以类比等比数列中的n －m b n a m .故b m ＋n ＝n －m b na m .8．【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32. 当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝⎛⎭⎫33<0，则φ(x )在⎝⎛⎭⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝⎛⎭⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32. 当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0，＋∞)上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0.(i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k<x0＋x0＝x30知，a k＋1<x0.<x0成立．因此，当n＝k＋1时，a k＋1故对任意的n∈N*，a n<x0成立．(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a＋a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1≤a显然成立．＝a k＋a k≤a＋a≤a3②假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1知，a k≤a.＋1≤a成立．因此，当n＝k＋1时，a k＋1故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.。
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A∩B。
A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,4}答案：B3. 若直线l的方程为y=2x+1，求直线l的斜率。
A. 1B. 2C. -2D. -1答案：B4. 计算三角函数sin(π/6)的值。
A. 1/2B. √3/2C. 1D. 0答案：A5. 在等差数列{an}中，若a3 + a7 = 10，且公差d=2，求a5的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C6. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若a=3，b=2，求双曲线的焦点坐标。
A. (±√13, 0)B. (±√5, 0)C. (0, ±√13)D. (0, ±√5)答案：A7. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A8. 若复数z满足|z|=1，且z的实部为1/2，求z的虚部。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：B9. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(2, 1)，求向量a与向量b的数量积。
A. -2B. 2C. -10D. 10答案：C10. 计算二项式(1+x)^5的展开式中x^3的系数。
A. 10B. 20C. 30D. 40答案：B二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
答案：3x^2 - 6x12. 若矩阵A为2x2矩阵，且|A|=4，求矩阵A的逆矩阵的行列式。
答案：1/413. 已知等比数列{bn}中，b1=2，公比q=3，求b4的值。
高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)
专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。
2013高考数学试题分类汇编：专题11 圆锥曲线(解析版)
专题11 圆锥曲线一、选择题：1．（山东省济南市2013年1月高三上学期期末文12）已知椭圆方程22143x y +=,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率C. 2D. 32．(山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考文7)过点P （0，2）的双曲线C 的一个焦点与抛物线216x y =-的焦点相同，则双曲线C 的标准方程是（ ）A ．221124x y -=B ．221204x y -=C ．221412y x -=D ．221420y x -=3. (山东省济宁市2013届高三1月份期末测试文5)已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为A.1B.2C.12D.44. (山东省济宁市2013届高三1月份期末测试文9)已知双曲线的方程为()222210,2x y a b a b -=>>，（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为A.32D.525. (山东省烟台市2013届高三上学期期末文7)已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点，点P 在直线y+1=0上的射影是点M ，点A 的坐标(4,2)，则P A P M +的最小值是C.3D.2【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1y =-。
根据抛物线的定义可知PM PF =,所以P A P M P A P F AF +=+≥，即当A,P,F 三点共线时，所以最小值为=选A.6. (山东省烟台市2013届高三上学期期末文8)已知与向量v=(1,0)平行的直线l 与双曲线2214x y -=相交于A 、B 两点，则A B 的最小值为A.2C.4D.7.(山东省潍坊市2013年1月高三上学期期末考试A 卷文9)已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（A ）2（B ）3（C ）2（D ）238. （山东省泰安市2013届高三上学期期末文11）以双曲线22163x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是A.(22x y -+=B.(223x y -+=C.()223x y -+=D.()2233x y -+=9. （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试文12）抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A.215+ B.12+ C.13+ D.2122+10.（山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试文）设12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F 的切点，则椭圆的离心率为11.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)椭圆191622=+y x 的焦距为A.10B.5C.7D.72【答案】D【解析】由题意知2216,9a b ==，所以2227c a b =-=，所以c =，即焦距为2c =，选D.12.(山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B ．C D13.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A B C ．32D14.(山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试)过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为 （ ）A B C ．12 D ．13二、填空题：15. （山东省泰安市2013届高三上学期期末文13）若双曲线221y x m-=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值为__________.16.(山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文)过抛物线2x =2py(p>0)的焦点F 作倾斜角030的直线，与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则AF BF的值是___________．17.(山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文)如图所示, C是半圆弧x2+y2=1(y≥0)上一点, 连接AC并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时,D 点的轨迹是_______的一部分，D点所经过的路程为.18.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||4a >时，||||PA PM +的最小值是 。
(新课标)山东省2013高考数学二轮复习
（新课标）山东省2013高考数学二轮复习（研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升）第一部分专题五概率与统计1-5-2第二讲统计、统计案例理一、选择题1．某中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要从该中学抽取一个容量为10的样本，将学生按一、二、三年级依次编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254.以上四组号码中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的是( )A．①②B．②③C．①③ D．①④解析：通过分析四种情况可知，①、④是分层抽样，②、③是系统抽样，故选D.答案：D2．(2012年高考湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析：根据频率的定义求解．由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10，40)的频率为920＝0.45.答案：B3．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为( )A．120 B．80C．15 D．150解析：根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.答案：D4．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑10i ＝1x i ＝17，∑10i ＝1y i ＝4，则b 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：依题意知，x -＝1710＝1.7，y -＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋bx 一定经过点(x -，y -)，所以－3＋b ×1.7＝0.4，解得b ＝2.答案：A5．(2012年高考安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由条形统计图得到相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解． 由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8； 乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9，所以x -甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x -乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6. 所以x -甲＝x -乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4， 乙的成绩的极差为：9－5＝4， 故D 不正确．故选C. 答案：C 二、填空题6．(2012年大同模拟)将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________．解析：依题意得，前三组的频率总和为2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝920，因此有27n ＝920，即n ＝60.答案：607．(2012年唐山质检)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660.将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．(2012年海淀模拟)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大的城市是________．解析：根据茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙 乙 三、解答题9．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解析：(1)由题意知，x -＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y -＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑10i ＝1（x i －109）（y i －23.2）∑ni ＝1（x i －109）2＝3081 570≈0.196 2，a ＝y -－bx -＝23.2－0.196 2×109＝1．814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．10．(2012年长春模拟)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M 、p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率．解析：(1)由题可知10M ＝0.25，25M ＝n ，m M ＝p ，2M＝0.05.又10＋25＋m ＋2＝M ，解得M ＝40，n ＝0.625，m ＝3，p ＝0.075. 则[15，20)组的频率与组距之比a 为0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数为360×0.625＝225.(3)在样本中，处于[20，25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，处于[25，30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名学生中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种；至多1人在[20，25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )共7种，所以至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率为710.11．2012年元旦、春节前夕，各个物流公司都出现了爆仓现象，直接原因就是网上疯狂的购物．事实上，现在网上购物已经成为人们购物的一种新方式，正所谓“不上街并不是不逛街”，利用网络，人们可以足不出户地选购自己所需的商品，方便快捷，但也有一些隐患，比如网络欺骗、所得商品与网上宣传的有差距等．某商家针对人们在网上购物的态度在某城市进行了一次调查，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人对网上购物持赞成态度，另外27人持反对态度；男性中有21人赞成网上购物，另外33人持反对态度．(1)估计该地区对网上购物持赞成态度的比例；(2)有多大的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关；(3)根据以上结论，能否有更好的调查方式来估计该地区对网上购物持赞成态度的比例，并说明理由．附： 表1K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋c ）（b ＋d ）（a ＋b ）（c ＋d ）解析：(1)接受调查的124人中，有64人对网上购物持赞成态度，所以该地区对网上购物持赞成态度的估计值为64124＝1632.(2)2×2列联表： 表2K 2＝124×（43×33－27×21）270×54×64×60≈6.201，因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关．(3)该项调查是在某城市进行的，具有一定的局限性，所以应该先确定该地区城市人口、农村人口的比例，在此基础上进一步确定城市人口、农村人口中的性别比例；然后利用分层抽样的方法抽取样本，最后进行统计，这样得到的结果会更加可靠．。
2013届高考数学第二轮复习专题训练：专题2 函数含详解
专题2 函数（2）一、填空题例1已知函数3()3()f x xax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是 ．答：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭提示：∵2()33f x xa '=-，不等式()1f x '≠-对任意x 都成立，∴131,3a a ->-<．例2设曲线()1xy ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ,若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．答：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示：直线1l ，2l 的斜率分别为()0101x k axa e =+-,()0202x k x e -=-．由题设得()()1200121k k axa x =+--=-在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,∴()()000321x a x x -=-+． 令0333,2t x⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦,则()()131,41425t a t t t t⎡⎤==∈⎢⎥++⎣⎦++．例3已知函数()y f x =上任一点()()0,x f x 处的切线斜率()()20031k xx =-+，则该函数的单调递减区间为 ． 答：(),3-∞提示:由()()()2310f x x x '=-+<得3x <．例4已知函数()()sin 2cos x f x bx b x =-∈+R 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，则b = ．答：0b = 提示：()()22cos 12cos x f x b x +'=-+,由题设得203f π⎛⎫'=⎪⎝⎭，∴0b =．经检验满足．例5已知函数()()21ln 202f x x axx a =--≠存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ． 答:()()1,00,-+∞提示：2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-．∵函数()f x 存在单调递减区间，∴()0f x '<在()0,+∞上有解．从而22111211a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1a >-．又0a ≠,∴10a -<<或0a >．例6已知函数()4322f x xax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是 ．答：88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦提示：()()2434f x x xax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24340xax ++≥成立,即有29640a∆=-≤．解得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值．例7若函数()f x 满足()f x ＝()f x π-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则(1),(2),(3)f f f 的大小关系为 ．答:(3)(1)(2)f f f <<提示:由()f x ＝()f x π-，得函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又当(,)22x ππ∈-时，()1cos 0f x x '=+>恒成立，∴()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数． ∵(2)(2)f f π=-，(3)(3)f f π=-，且03122πππ<-<<-<，∴(3)(1)(2)f f f ππ-<<-），即(3)(1)(2)f f f <<．例8若函数()()320f x axax a =++≠满足()()11,11f f -><，则方程()1f x =的实数解的个数为 个． 答:1提示：设()()1g x f x =-，则由题设知()()110g g -<，∴()()1g x f x =-在()1,1-内至少有一个零点．又()()()223310g x ax a a x a '=+=+≠，易知0a >时，()g x 单调递增；0a <时，()g x 单调递减．∴()g x 仅有一个零点，即方程()1f x =仅有一根．例9如图,从点()10,0P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点()10,1Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．现从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ,1Q ；2P ，2Q ；…；nP ,nQ ，则1nkkk P Q ==∑ ．答:11n e e e ---提示：设点1k P -的坐标是()1(,0)2k x k -≥， ∵xy e =，∴xy e '=，∴曲线在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-．令y =，则11k k x x -=-（2k n ≤≤）． ∵10x=，∴(1)k x k =--，∴(1)kx k k k PQ ee --==． ∴1nk kk P Q==∑12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-．例10如图，用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(新课标)山东省2013高考数学二轮复习
（新课标）山东省2013高考数学二轮复习 （研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升） 第一部分 专题一 客观题专题攻略 1-1-3第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理 理一、选择题1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 答案：C2．(2012年高考广东卷)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z max ＝3×3＋2＝11.答案：B3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2，我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．答案：B4．(2012年高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种． 答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1， 解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．答案：B6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C ．[45，4]D ．[45，5]解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D.答案：D7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C8．(2012年高考福建卷)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案：B 二、填空题9．如果(3x 2－2x3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：由T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r·(－2x3)r＝C rn ·3n －r·(－2)r ·x2n －5r，∴2n －5r ＝0，∴n ＝5r2(r ＝0，1，2，…n )，故当r ＝2时，n min ＝5. 答案：510．某实验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3 kg 的药品袋数为x ，购买每袋2 kg 的药品袋数为y ，花费为z 元， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥100≤x ≤50≤y ≤5x ∈Z，y ∈Z，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2，2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：4411．(2012年唐山模拟)在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1，5块区域颜色相同，则有C14C13C12＝24种不同的着色方法；若2，4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．答案：48。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练11(附解析)
强化训练11 空间几何体的表面积与体积——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东临沂一模]已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )A ．3πB ．3π3C ．3 πD ．2π2．[2022·山东潍坊一模]以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为( )A ．2πB ．8πC ．2π3D ．8π33．在三棱锥P - ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且P A ＝AB ＝2，AC ＝23 ，则三棱锥P - ABC 外接球的体积等于( )A ．2033 πB ．203π C ．2053π D ．20π 4．[2022·湖北黄冈中学模拟]已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为( )A ．3πB ．6πC ．62 πD ．32 π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为( )A ．6 πB ．2πC ．3πD ．22 π6．[2022·河北唐山二模]如图，圆锥的轴为PO ，其底面直径和高均为2，过PO 的中点O 1作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为( )A ．2∶1B ．5∶3C ．3∶1D ．8∶37．已知正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥B 1 - AC 1E 的体积为( ) A.12 B ．13C ．14D ．168．[2022·山东济宁三模]若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．7∶3D ．7∶4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )A.侧面积之比为1∶4B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶2610．[2022·湖北武汉模拟]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为4πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．球的体积是圆锥体积的两倍11．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是()A．半径是3B．体积为18πC．表面积为27πD．表面积为18π12．[2022·山东滨州二模]在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P-AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是()A．P A⊥EFB．三棱锥M -AEF的体积为4C．三棱锥P -AEF外接球的表面积为24πD．过点M的平面截三棱锥P -AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东济南一模]已知圆锥的轴截面是一个顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为________．14．[2022·广东惠州一模]若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π，圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2(r1<r2)，则r22－r21＝________．15．一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为________．16．[2022·山东烟台三模]某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为________．强化训练11 空间几何体的表面积与体积1．解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ＝2，则l2＝r2＋h2＝4，底面周长2πr ＝12 ×（2π×2）⇒r ＝1，所以h ＝4－12 ＝ 3 ，所以圆锥的体积为13 ×π×12× 3 ＝3π3 .答案：B2．解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，由圆柱的体积公式得：V ＝π×22×2＝8π，所以所得到的几何体的体积为8π.答案：B3．解析：PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，因此以AP ，AB ，AC 为棱构造一个长方体，此长方体的外接球即为三棱锥P - ABC 的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，由已知长方体对角线长为22＋22＋（23）2 ＝2 5 ，所以外接球半径为R ＝5 ，外接球体积为V ＝43 π·（ 5 ）3＝2053 π.答案：C4．解析：由题意知圆台母线长为12＋（2－1）2 ＝ 2 ，且上底面圆周为2π，下底面圆周为4π，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为12＋12 ＝ 2 ，则圆环所在的大圆半径为2 2 ，所以侧面展开图的面积S＝12×4π×2 2 －12×2π× 2 ＝3 2 π.答案：D5．解析：如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD - MENF，则正方体GBCD - MENF的棱长GB＝22 BD＝ 2 ，此正方体的体对角线长为6 ，正四面体BDMN与正方体GBCD - MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R＝6 2，所以正四面体BDMN的外接球体积为V＝43πR3＝43π·（62）3＝ 6 π.答案：A6．解析：圆锥的体积为V1＝13π×12×2＝2π3，圆柱的体积为V2＝π×（12）2×1＝π4，所以V1∶V2＝2π3∶π4＝8∶3.答案：D7．解析：由ABCD - A1B1C1D1为正方体，显然AB为A到平面EB1C1的距离，所以VB1 - AC1E＝VA - EB1C1＝13 S△EB1C1·AB＝13 ×12 ×1×1×1＝16 .答案：D8．解析：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝ 3 ，即内切球的半径r＝ 3 ，OA2＝OO21＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝7 ，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3. 答案：C9．解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.答案：BD10．解析：对于A，∵圆柱的底面直径和高都等于2R，∴圆柱的侧面积S1＝2πR·2R＝4πR2故A正确；对于B，∵圆锥的底面直径和高等于2R，∴圆锥的侧面积为S2＝πR·R2＋4R2 ＝ 5 πR2，故B错误；对于C，∵圆柱的侧面积为S1＝4πR2，球的表面积S3＝4πR2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为V1＝43πR3，圆锥的体积为V2＝13πR2·2R＝23πR3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．答案：ACD11．解析：如图，△PAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r，AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为 2 r，棱锥体积为V＝13 ×（ 2 r）2×r＝23 r3＝18，r＝3，半球体积为V ＝23 πr3＝23 π×33＝18π，表面积为S ＝2π×32＋π×32＝27π.答案：ABC12．解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4的长方体，如图所示：对A ：因为AP ⊥PE ，AP ⊥PF ，PE∩PF ＝P ，所以AP ⊥平面PEF ，所以PA ⊥EF ，故选项A 正确；对B ：因为M 为BE 的中点，所以VM - AEF ＝12 VP - AEF ＝12 ×13 ×12 ×2×2×4＝43 ，故选项B 错误；对C ：三棱锥P - AEF 外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R ）2＝22＋22＋42＝24，所以三棱锥P - AEF 外接球的表面积为S ＝4πR2＝24π，故选项C 正确；对D ：过点M 的平面截三棱锥P - AEF 的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为πR2＝π（ 6 ）2＝6π，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径r ＝R2－OM2 ＝6－5 ＝1，截面圆的面积为πr2＝π，所以过点M 的平面截三棱锥P - AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]，故选项D 正确．答案：ACD13．解析：因圆锥的轴截面是一个顶角为2π3 ，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h ，因此，h ＝2cos π3 ＝1，圆锥底面圆半径r ＝22－h2 ＝ 3 ，所以圆锥的体积为V ＝13 πr2h ＝13 π×（ 3 ）2×1＝π.答案：π14．解析：圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为2πr2π －2πr1π ＝2r2－2r1，圆台的侧面积为2πr1＋2πr22×（2r2－2r1）＝2π（r 2 －r 21 ）＝4π， 所以r 22 －r 21 ＝2.答案：215．解析：设该正四棱锥为P - ABCD ，由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为O ，底面中心为E ，因为底面是正方形，所以DE ＝12 102＋102 ＝5 2 ，在直角三角形ODE 中，OD2＝OE2＋DE2，设球的半径为r ，所以有r2＝（7－r ）2＋50⇒r ＝9914 .答案：991416．解析：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为△MNG 的中心，因为MN ＝6，所以△MNG 内切圆的半径r ＝OH ＝13 MH ＝13 MN2－HN2 ＝3 ，即内切球的半径R ＝ 3 ，所以内切球的表面积S ＝4πR2＝12π，又正三棱柱的高AA1＝2R ＝2 3 ，所以OM ＝23 OH ＝2 3 ，所以AO ＝OM2＋AM2 ＝（23）2＋（3）2 ＝15 ，所以A 到球面上的点的距离最小值为AO －R ＝15 － 3答案：12π 15 － 3。
高考(2013-2015)数学(理)试题分项：专题11 排列组合、二项式定理
高考（2013-2015）数学（理）试题分项：专题11 排列组合、二项式定理一、选择题1.【2014天津，理6】如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确结论的序号是 （ ）EFDABC（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④2. 【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）523. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .1304. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ）A.20-B.5-C.5D.205. 【2013山东，理10】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A ．243B ．252C ．261D ．2796. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝()．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－18. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．109. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，学科网最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种10. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6012. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．813. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 21014.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16815. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.4216. 【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．9218. (2013辽宁，理7)使3nx⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．719. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．2420.【2015湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-621. 【2013四川理8】从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b-的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20二、填空题1.【2013天津，理10】6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为__________．2. 【2013天津，理11】已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.3. 【2013天津，理13】如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．4. 【2014天津，理13】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B 两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为___________．5. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .6. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．7. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有 种.8. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）9. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .10. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .11. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）12.【2014山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 13.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．15. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答） 16. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.17. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________18. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 19. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.20. 【2013年.浙江卷.理11】设二项式53x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ，则A ＝__________. 21. 【2013年.浙江卷.理14】将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．22.【2013高考重庆理第13题】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．23. 【2015高考重庆，理12】532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 24. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．25. 【2013，安徽理11】若83x x ⎛ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______． 26.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）27.【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 28.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC•AE=DC•AF，B、E、F、C 四点共圆． （1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； （2）若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比
（Ⅰ）将 T 表示为 x 的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率； （Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并
以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x ∈[100，110））则取 x=105，且 x=105 的概率等于需求量落入[100，110）的 频率，求 T 的数学期望．
值．
23．已知动点 P、Q 都在曲线
（β 为参数）上，对应参数分别为 β=α
与 β=2α（0＜α＜2π），M 为 PQ 的中点． （1）求 M 的轨迹的参数方程； （2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标
原点．
24．【选修 4﹣﹣5；不等式选讲】 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明： （Ⅰ）
20．（12 分）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：
（a＞b＞0）右焦点
的直线 x+y﹣ =0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 ．
（Ⅰ）求 M 的方程 （Ⅱ）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD
面积的最大值．
3}
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【解答题题专练】高考数学(理)二轮专题第二部分：专题十一 平面解析几何
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(3)(2016·长沙调研)已知点 P 是函数 f(x)＝32x2－lnx 图像上一
点，若点 P 到直线 2x－y－a＝0 的最小距离为3105，则 a＝( )
A．－2 或 1
1 B.2
C．1
D．2 或－1
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【解析】 由题意可知，当距离最小值，函数图像在点 P 处 的切线平行于 2x－y－a＝0，则 f′(x)＝3x－x1＝2，可得 x＝1，x ＝－31(舍去)，此时 P(1，23)，所以点 P 到直线 2x－y－a＝0 的最 小距离为|2×1－532－a|＝3105，可得 a＝2 或－1.
【答案】 C
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(5)(2016·长春质量监测)已知 AB 为圆 O：(x－1)2＋y2＝1 的
直径，点 P 为直线 x－y＋1＝0 上任意一点，则P→A·P→B的最小值
为( )
A．1
B. 2
C．2
D．2 2
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【解析】 由题意，设 A(1＋cosθ，sinθ)，P(x，x＋1)，则 B(1－cosθ，－sinθ)，∴P→A＝(1＋cosθ－x，sinθ－x－1)，P→B ＝(1－cosθ－x，－sinθ－x－1)，∴P→A·P→B＝(1＋cosθ－x)(1 －cosθ－x)＋(sinθ－x－1)(－sinθ－x－1)＝(1－x)2－cos2θ＋ (－x－1)2－sin2θ＝2x2＋1≥1，当且仅当 x＝0 时，等号成立，故 选 A.
【答案】 D
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(1)给定直线 l：Ax＋By＋C＝0，则 l1：Ax＋By＋C1＝0(C1 ≠C)与 l 平行，l2：Bx－Ay＋C2＝0 与 l 垂直．
(2)判定两直线平行的方法． ①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式， 若 k1＝k2，且 b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判 定是否重合．
云南省2013年高三数学第二次毕业生复习统一检测试题 理(云南省二模)新人教A版
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．● 参考公式： ● 样本数据12,,,n x x x 的标准差●● 其中x 为样本平均数 ● 柱体体积公式V Sh = ● 其中S 为底面面积，h 为高● 锥体体积公式 ● 13V Sh =● 其中S 为底面面积，h 为高● 球的表面积，体积公式 ● 24R S π=，334R V π=● 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2S =，集合{}T a =，∅表示空集，如果ST S =，那么a 的值是A ．∅B ．1C ．2D ．1或22．在291()x x-的二项式展开式中，常数项是A ．504B ．84C ．84-D ．504-3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为A ．2B ．3C ．12D ．134．已知,a b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半径，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π6．已知常数a 、b 、c 都是实数，32()34f x ax bx cx =++-的导函数为()f x '，()0f x '≤的解集为{}|23x x -≤≤，若()f x 的极小值等于－115，则a 的值是正视图 侧视图俯视图A ．8122-B ．13C ．2D ．57．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，如果||84z z i +=-，那么z 等于A ．34i --B ．34i -+C ．43i +D ．34i +8．已知P 的半径等于6，圆心是抛物线28y x =的焦点，经过点(1,2)M -的直线l 将P分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为A ．230x y ++=B ．250x y --=C ．20x y +=D ．250x y --=9．在数列{}n a 中，11a =，22a =，若2122n n n a a a ++=-+，则n a 等于A ．3126555n n -+B ．32594n n n -+-C ．222n n -+D ．2254n n -+10．已知()f x 是定义域为实数集R 的偶函数，10x ∀≥，20x ∀≥，若12x x ≠，则1212()()0f x f x x x -<-．如果13()34f =，184(log )3f x >，那么x 的取值范围为A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,12,2⎛⎤+∞⎥⎝⎦D ．110,,282⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是170”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人有A ．44人B ．42人C ．22人D ．21人12．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，底面△ABC 是正三角形，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点．若平面AMN ⊥平面PBC ，则平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值等于A ．6B ．6ABCPMNCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．如果执行下列程序框图，那么输出的S ＝ ． 14．一个射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人数情况见下表：那么x ＝ ．15．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若222a b c bc =+-，12c b =+tan B 的值等于 ． 16．已知1F 、2F是双曲线2221x y a-=的两个焦点，点P 在双曲线上，120PF PF ⋅=，如果点P 到x 轴的距离等于5，那么该双曲线的离心率等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知21()cos cos 2f x x x x =-+． （1）写出()f x 的最小正周期T ； （2）求由5()(0)6y f x x π=≤≤，50(0)6y x π=≤≤，5(10)6x y π=-≤≤，10(0)2x y =-≤≤围成的平面图形的面积．18．（本小题满分12分）一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得0分，选对得5分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题，该考生做对了这8个题．其余4个题，有一个题因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两选项不符合题目要求，对于这两个题该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：（1）在这次考试中，求该考生选择题部分得60分的概率；（2）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为X ，求X 的数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AD CD ==，15AD =，M 是线段11B D 的中点．（1）求证：BM ∥平面1D AC ；（2）求直线1DD 与平面1D AC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知22()2ln(1)f x x x x =--+． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数2()()3F x f x x x a =-++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在直线2a x b=上，线段1PF 的垂直一部分线经过点2F ．直线y kx m =+与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且椭圆E 上存在点M ，使OA OB OM λ+=，其中O 是坐标原点，λ是实数．（1）求λ的取值范围；（2）当λ为何值时，△ABO 的面积最大？最大面积等于多少？请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一ABCA 1D B 1C 1D 1M题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，四边形ABCD 的外接圆为O ，EA 是O 的切线，CB 的延长线与EA 相交于点E ，AB AD =．求证：2AB BE CD =⋅23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线C 的参数方程为35cos ,5sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知13x ≥-，关于x 的不等式|3||210|152|13|0x x x a --+++-+≥的解集不是空集，求实数a 的取值范围．。
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2013高考数学第二轮专题复习测试题11A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )． A ．64B ．81C ．128D ．243解析 设数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， ∴由a 1＋a 1q ＝3得a 1＝1，∴a 7＝1×27－1＝64. 答案 A2．(★)(2010·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )． A ．X ＋Z ＝2Y B ．Y (Y －X )＝Z (Z －X ) C ．Y 2＝XYD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n ＝1得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7代入验算，选D. 答案 D错误!3．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )． A ．2B ．4C ．8D ．16解析 由a n a n ＋1＝a 2n q ＝16n＞0知q ＞0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋116n ＝16，∴q ＝4.答案 B4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )．A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2解析 (a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝a 65＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝5 2.答案 A5．(2012·日照模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )． A ．4B ．5C.45D.15解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析 设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}故q 的最小值是33. 答案33 7．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1. 答案 4n －18．(2011·广州一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝6，S 4＝30，则S 6＝________.解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即6,24，S 6－30成等比数列，∴242＝6×(S 6－30)， ∴S 6＝126. 答案 126三、解答题(共23分)9．(11分)已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.10．(12分)(2011·全国新课标)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．(1)证明 因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n＝1－a n2. (2)解 b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·兰州模拟)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )．A ．35B ．33C ．31D ．29解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12 ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案 C2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn ＝( )． A.32 B.32或23C.23D ．以上都不对解析 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或mn ＝23. 答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·福州二模)在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.解析 因为{a n }是等比数列，所以a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100成等比数列，从而得a 99＋a 100＝b 9a 8.答案 b 9a84．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴x n ＋1x n 10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100＝100. 答案 100三、解答题(共22分)5．(10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .6．(12分)(2011·江西)(本小题满足12分)已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}唯一，求a的值．解(1)设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－ 2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1.(2)设数列{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝1 3 .。