【8份试卷合集】黑龙江省哈尔滨道外区四校联考2020届高二数学下学期期末模拟试卷.doc
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数21y x =+在[]1,1x +∆上的平均变化率是( ) A ．2B ．2xC ．2x +∆D ．()22x +∆2．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．103．设全集U ＝｛1,3,5,7｝，集合M ＝｛1，|a －5|｝，M ⊆U ，U C M ＝｛5，7｝，则实数a 的值为 ( ) A ．2或－8B ．－8或－2C ．－2或8D ．2或84．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( )AB ．22CD ．45．己知函数()2sin 20191x f x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．06．2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算2K 的观测值8.249k ≈. 附表：参照附表，所得结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” 7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 8．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =I A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-9．已知空间不重合的三条直线l 、m 、n 及一个平面α，下列命题中的假命题．．．是（ ）． A ．若l m P ，m n P ，则l n P B ．若l αP ，n αP ，则l n P C ．若l m ⊥，m n P ，则l n ⊥D ．若l α⊥，n αP ，则l n ⊥10．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个11．在各项都为正数的等差数列{a n }中，若a 1+a 2+…+a 10=30，则a 5•a 6的最大值等于（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．3612．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为232，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．2,3]C ．2,4]D ．[1,4]二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.14．如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．15．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________． 16．在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°，BM BC λ=u u u u v u u u v .若17AM BC 3⋅=-u u u u v u u u v ,则实数λ的值为________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为34，23，12，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．()1求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 3cos 0,27,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 19．（6分）已知函数()ln()(,)f x ax b x a b R =+-∈．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =-+，求,a b 的值； （2）已知当0a >时()0f x ≤恒成立，求ab 的最大值． 20．（6分）甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子. （1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率. 21．（6分）已知函数()2ln mf x x x x=--+，m R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：()221f x x >-.22．（8分）如图，已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且153MF =. （1）求椭圆1C 的方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点A ，B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=u u u v u u u v u u u v，求实数2λ的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】【分析】根据平均变化率的计算公式列式，计算出所求的结果. 【详解】依题意，所求平均变化率为()22112x x x+∆-=+∆∆，故选C.【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．D 【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素． 故答案选D 3．D 【解析】分析：利用全集{}1,3,5,7U =，由()U M M U ⋃=ð，列方程可求a 的值.详解：由{}1,3,5,7U =，且{}{}5,7,1,3U M M =∴=ð， 又集合{}1,5,53M a a =-∴-=，∴实数a 的值为2或8，故选D.点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系. 4．A 【解析】 【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ+=+=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ+=+=+ (其中tan 4ϕ=),故2x y +≤2x y +，故选A .【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.5．A 【解析】 【分析】设()12019in 12019x xg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx xf x x x -=+=++++ 设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=Q ，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 6．C 【解析】分析：根据题目的条件中已经给出这组数据的观测值，把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”． 详解：由题意算得，28.2497.879k ≈＞ ，参照附表，可得在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”． 故选：A ．点睛：本题考查独立性检验的应用，属基础题． 7．D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D. 考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 8．A 【解析】{|12},A x x =-<<2 {|20}B x x x =+<{|20},x x A B =-<<⋂ {|10}x x =-<<(1,0)=-，故选A. 9．B 【解析】 【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项. 【详解】对于A 选项，根据平行公理可知，A 选项正确.对于B 选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B 选项是假命题. 对于C 选项，由于l m ⊥，m n P ，根据空间角的定义可知，l n ⊥，C 选项正确.对于D 选项，由于//n α，所以n 平行于平面α内一条直线a ，而l α⊥，所以l a ⊥，所以l n ⊥，即D 选项正确. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题. 10．B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B ．考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．11．C 【解析】试题分析：由题设，所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，当且仅当时等号成立，所以a 5·a 6的最大值等于9，故选C ． 考点：1、等差数列；2、基本不等式． 12．D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()11232F AB S a c b ∆-=-=2,3a c ==，1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡⎤∈⎣⎦，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 1325【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥u u u u r u u u u r，求得22z y =-，得到25128BP y y =-+进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-u u u u r.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r,因为1D P CM ⊥u u u u r u u u u r,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-u u u r，所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+ 因为02y ≤≤，所以当65y =时，min255BP =. 因为BC ⊥BP ,所以min 12525()22PBC S ∆=⨯⨯=. 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．15【解析】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为112,B C BC O =I ，如图，当E 为11C D 中点时，11//,//BD OE BD ∴平面1B CE ，则OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角，在OEC ∆中，155,2,3,cos 235EC OC OE OEC ===∴∠==⨯Q 15. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几15．12ln 22- 【解析】 【分析】转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x =与直线1y =x -及1x=的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCDS dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰， 所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算. 16．13【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,,BC AM BM u u u r u u u u r u u u u r ,利17AM BC 3⋅=-u u u u r u u u r ，即可求出λ的值.【详解】如图所示，ABC ∆中，3,2AB AC ==，120BAC ︒∠=，()(),BM BC AC AB AM BC AB BM BC λλ==-∴=⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r(()(()))(1)AB AC AB AC AB AB AC AC AB λλλ⎡⎤=+-⋅-=-+⋅-⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22(12)(1)AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-u u u r u u u r u u u r u u u r 22(12)32cos120(1)32λλλ︒=-⨯⨯⨯--⨯+⋅1719123λ=-=-解得13λ=， 故答案为：13λ=【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)724;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望． 【详解】（I ）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A ．则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4， ∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：ξ 2 2.5 3 3.5 4 P∴．【点睛】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 18．（1）23π，4；（23【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan 3A =从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 30,tan 3A A A =∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 72cos 77AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，113422322ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=132ABD ABC S S ∆∆∴==19．（1）1,2a b =-=；（2）2e． 【解析】 【分析】()1求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a ，b 的值；()2由()ln 1y x x =+-求导数可得单调性、最值，可知()ln 1x x +≤，由题意可得()()ln ln 1ax b x +≤+恒成立，即可得到ab 的最大值．【详解】 （1）因为()1af x ax b'=-+， 所以(1)12,(1)ln()11,a f a bf a b ⎧=-=-⎪+⎨⎪=+-=-⎩'解得1,2a b =-=．（2）当0a >时，函数()f x 的定义域为,,b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()1a b a x a a f x ax b ax b-⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=++． 当b a b x a a --<<时，()0f x '>；当a b x a->时，()0f x '<． 所以()f x 在,b a b a a -⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在,a b a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 所以max ()ln a b a b f x f a a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 由题意，知ln 0a ba a--≤恒成立，即ln b a a a ≤-恒成立． 于是22ln ab a a a ≤-在0a >时恒成立． 记22()ln g a a a a =-，则()2(2ln )(12ln )g a a a a a a a '=-+=-．当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<．所以()g a在上为增函数，在)+∞上为减函数． 所以()g a的最大值为22e e g e =-=．所以当2a b ==ab 取得最大值2e ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、最值，利用导数研究恒成立问题，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于难题． 20．（1）14；（2）712.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ， 基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P(A)=14； （2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ， 基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P(B)=2173612=． 答 （1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14. （2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 21． (1) 见解析. (2)证明见解析. 【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程22x x m -- =0根得情况分类讨论：当1m ≤-时，()'0f x ≤.∴()f x 在()0,+∞上单调递减. 当1m >-时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间， (2)先化简不等式222ln 1mx x ->，消m 得222ln 1x x ->-，再利用导数研究()2ln h x x x =-，()1,2x ∈单调性，得其最小值大于-1，即证得结果. 详解：（1）由()2ln mf x x x x=--+，得 ()22222'1m x x m f x x x x -++=-++= 222x x mx--=，()0,x ∈+∞. 设()22g x x x m =--，()0,x ∈+∞.当1m ≤-时，即440m ∆=+≤时，()0g x ≥，()'0f x ≤.∴()f x 在()0,+∞上单调递减. 当1m >-时，即440m ∆=+>时，令()0g x =，得11x =，21x =12x x <. 当10m -<<时，120x x <<，在()()120,,x x ⋃+∞上，()'0f x <，在()12,x x 上，()'0f x >， ∴()f x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减. 综上，当1m ≤-时，()f x 在()0,+∞上单调递减，当10m -<<时，()f x 在(0,1，()1+∞上单调递减，在(1+上单调递增，当0m ≥时，()f x 在(0,1上单调递增，在()1+∞上单调递减. （2）∵()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，∴由（1）知()22g x x x m =--有两个不同的零点1x ，2x ，11x =21x =10m -<<，此时，22220x x m --=，要证明()222222ln 1m f x x x x x =--+>-，只要证明222ln 1mx x ->. ∵2222m x x =-，∴只要证明222ln 1x x ->-成立.∵()1,0m ∈-，∴()211,2x =. 设()2ln h x x x =-，()1,2x ∈， 则()2'1h x x=-， 当()1,2x ∈时，()'0h x >， ∴()h x 在()1,2x ∈上单调递增，∴()()11h x h >=-，即222ln 1x x ->-，∴()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x >时，()221f x x >-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22． (1)22134x y +=；(2)440,,433⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由题意得()10,1F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知23M y =，23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由椭圆定义知，122a MF MF =+ 4=，得2a =，故23b =，从而椭圆1C 的方程为22134x y +=；（2）120x x x λ+=，120y y y λ+=，联立()22,4312,y k x t x y ⎧=+⎨+=⎩得()()22268,4343k t ktP k k λλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程，所以2222443k t kλ=+，又221t k t =-，所以2440,,433λ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试题解析：（1）由题意得()10,1F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知1513M MF y =+=， 得23M y =，于是易知23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而273MF ==，由椭圆定义知， 122a MF MF =+ 4=，得2a =，故23b =， 从而椭圆1C 的方程为22134x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则由OA OB OP λ+=u u u v u u u v u u u v知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=，①又直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）与圆()2211x y ++=1=，由0k ≠，可得221tk t =-（1t ≠±，0t ≠），② 又联立()22,4312,y k x t x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得()222224363120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立， 且2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k-=+， 所以()121228243kty y k x x kt k +=++=+，所以得()()22268,4343k tkt P k k λλ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭，代入①式，得()()4222222222121614343k t k t k k λλ+=++，所以2222443k tkλ=+，又将②式代入得，22224111t tλ=⎛⎫++⎪⎝⎭，0t≠，1t≠±，易知2221111t t⎛⎫++>⎪⎝⎭，且2221113t t⎛⎫++≠⎪⎝⎭，所以2440,,433λ⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
黑龙江省哈尔滨道外区四校联考2020届数学中考模拟试卷
黑龙江省哈尔滨道外区四校联考2020届数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cmB.10cmC.14cmD.无法确定2．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为（3a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A.3a ＝﹣b ﹣1B.3a ＝b+1C.3a+b ﹣1＝0D.3a ＝2b 3．下列运算正确的是（ ）A.624a a a -=B.235(a )a =C.235a a a ⋅=D.623a a a ÷=4．学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9,利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ） A ．200只；B ．1400只；C ．9800只；D ．14000只．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（4，3），点D 是边OC 上的一点，点E 在直线OB 上，连接DE 、CE ，则DE+CE 的最小值为（ ）A ．5B +1C ．D ．2456．如图所示，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，如果AB=6cm ，AD=5cm ，OF=2cm ，那么四边形BCEF 的周长为（ ）A．13cm B．15cm C．11cm D．9.5cm7．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A ＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（）A. B.C. D.8．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.2x-8x+17=0B.2x-6x-10=0C.2xD.2x-4x+4=09．在“纪念抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利70周年”歌咏比赛中，10位评委给小红的评分情况如表所示：A．中位数是7.5分B．中位数是8分C．众数是8分D．平均数是8分10．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A.6B.5C.4D.711．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（）A. D.312．如图，点A是反比例函数y=-kx图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数2yx=-的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则k的值为( )A．8 B．﹣4 C．5 D．﹣8二、填空题13．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为_______．14．满足不等式组212(1)8xx+<⎧⎨->-⎩的整数解为______．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．16．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF+12∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．其中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）17．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m＝_____．18．据统计，2018年哈尔滨冰雪大世界接待中外游客突破45000000人次，请将45000000人用科学记数法表示为__________人.三、解答题19．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？小超猜想当DE⊥AB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是；（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为：A（1，1），B（4，4），C（5，1）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；（2）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值为．21．计算：20(2)20183---．22．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 为⊙O 的直径，AD 与BC 相交于点E ，且BE ＝CE ． （1）请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若BC ＝6，ED ＝2，求AE 的长．23．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+分别交x 轴，y 轴于点A ，B 抛物线2322y ax x =--经过点A ，且交x 轴于另外一点C ，交y 轴于点D ． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB ⊥BC ；（3）点P 为x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点Q ，连结DQ ，设点P 的横坐标为m ，当以B ，D ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值．24．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，点D 在AB 的延长线上，连结AC 、BC .（1）求证：A BCD ∠=∠（2）若20A ∠=︒，4AB =，则BC 的长为+_________.（结果保留π） 25．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 在∠BCA 平分线CD 上，且PA ＝PB ． （1）用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法）； （2）判断△ABP 的形状（不需要写证明过程）【参考答案】*** 一、选择题13．2 14．－215．43π 16．（1）（2）（4） 17．9818．7105.4⨯ 三、解答题19．（1）AE ＝2CD ；（2）3.0；（3）详见解析；(4) 不正确，4，2.7． 【解析】 【分析】（1）根据时间和速度可得AE 和CD 的长，可得结论； （2）根据图象可得结论； （3）画图象即可；（4）作辅助线，根据勾股定理计算DE 的长，根据二次函数的最值可得结论． 【详解】解：（1）由题意得：AE ＝2x ，CD ＝x ∴AE ＝2CD ； 故答案为：AE ＝2CD ；（2）根据图象可得：当x ＝3时，y ＝3.0， 故答案为：3.0； （3）如图所示：（4）如图所示，过D 作DG ⊥AB 于G ，由（1）知：CD ＝x ，则BD ＝8﹣x ， sin ∠B ＝AC DGAB BD=， ∴6108DG x =-，DG ＝()385x -，BG ＝()485x -， ∴EG ＝AE+BG ﹣10＝2x+()485x -﹣10＝61855x -，∴y ∵0≤x≤5，∴当x ＝4时，y ≈2.7， 故答案为：不正确，4，2.7． 【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用勾股定理解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．20．（1）见解析；（2 【解析】 【分析】（1）分别作出三角形ABC 三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）作点C 1关于x 轴的对称点C′，连接B 1C′与x 轴的交点即为所求点P ，继而利用勾股定理求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）如图所示，点P即为所求，PB1+PC1．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．21．【解析】【分析】本题根据零指数幂、绝对值、二次根式化简在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式＝4+4﹣1﹣3＝4．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（1）AD⊥BC，理由见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）如图，连接OB、OC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）设半径OC＝r，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）AD⊥BC，理由：如图，连接OB、OC，在△BOE与△COE中，BE CE OE OE OB OC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BOE≌△COE（SSS），∴∠BEO＝∠CEO＝90°，∴AD⊥BC；（2）设半径OC ＝r ， ∵BC ＝6，DE ＝2， ∴CE ＝3，OE ＝r ﹣2， ∵CE 2+OE 2＝OC 2， ∴32+（r ﹣2）2＝r 2， 解得r ＝134， ∴AD ＝132， ∵AE ＝AD ﹣DE ， ∴AE ＝132﹣2＝92． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）见解析；（3）m 的值是2或或1． 【解析】 【分析】 （1）令y ＝﹣12x+2＝0，解得：x ＝4，即可求解，然后把点A 的坐标代入抛物线解析式，借助于方程求得a 的值即可；（2）把由函数图象上点的坐标特征求得点B 、C 的坐标，然后利用两点间的距离公式和勾股定理的逆定理证得结论；（3）以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD 即可求解． 【详解】 （1）令y ＝﹣12x+2＝0，解得：x ＝4，y ＝0，则x ＝2， 即：点A 坐标为：（4，0）． 代入2322y ax x =--中，得16a ﹣8＝0，得a ＝12． ∴该抛物线解析式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2． ∴当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝4，的C （﹣1，0）． 故OC ＝1．于是AB 2＝20，BC 2＝5，AC 2＝25． 从而AB 2+BC 2＝AC 2． ∴AB ⊥BC ；（3）由（1）知，抛物线解析式为： 213222y x x =--． 当x ＝0时，y ＝2，得D （0，﹣2）， ∴BD ＝4．当MQ ＝（﹣12m+2）﹣213222m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝212m -﹣m ﹣4＝4时，得m ＝2或m ＝0（舍去）．当MQ ＝（12m 2﹣32m ﹣2）﹣（﹣12m+2）＝212m ﹣m ﹣4＝4时，得m ＝m ＝1．综上所述，m 的值是2或1． 【点睛】主要考查了二次函数综合题，需要注重二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 24．(1)详见解析; （2）4.9π【解析】 【分析】（1）连接OC ，利用直径所对的圆周角是90°，得到90.A OBC ∠=︒-∠CD 切线，得到90OCD ∠=︒，可得.OBC OCB ∠=∠所以.A BCD ∠=∠ （2）∠BOC=40°，然后利用弧长公式进行计算即可 【详解】 （1）连结OC ．AB Q 是O 的直径，∴90.ACB ∠=︒ ∴90.A OBC ∠=︒-∠又CD 是O 的切线，∴90OCD ∠=︒. ∴90.BCD OCB ∠=︒-∠又.OB OC =∴.OBC OCB ∠=∠∴.A BCD ∠=∠（2）∵20A ∠=︒ ∴∠BOC=40° ∴BC 的长为40360︒︒×4π=4.9π【点睛】本题考查圆的基本性质以及弧长公式，本题关键在于角度的的代换 25．(1)见解析;(2)等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）由PA=PB 知点P 同时还在线段AB 的中垂线上，据此作图可得；（2）点P 分别作PE ⊥AC 、PF ⊥CB ，垂足为E 、F ，由全等三角形的判定定理得出Rt △APE ≌Rt △BPF ，再由全等三角形的性质即可判断出△ABP 是等腰直角三角形． 【详解】（1）如图所示，点P 即为所求；（2）△ABP 是等腰直角三角形，理由如下：过点P 分别作PE ⊥AC 、PF ⊥CB ，垂足为E 、F ．∵PC 平分∠ACB ，PE ⊥AC 、PF ⊥CB ，垂足为E 、F ，∴PE ＝PF ．在Rt △APE 与Rt △BPF 中，∵PE PF PA PB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △BPF ．∴∠APE ＝∠BPF ，∵∠PEC ＝90°，∠PFC ＝90°，∠ECF ＝90°，∴∠EPF ＝90°，∴∠APB ＝90°．又∵PA ＝PB ，∴△ABP 是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及线段中垂线的尺规作图、中垂线的性质．。
黑龙江省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
黑龙江省高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。
）1.复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）． A. 15 B. 15i C. 15i -D. 15-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。
【详解】()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+，因此，该复数的虚部为15，故选：A 。
【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。
2.已知X ～1(5,)4B ，则(21)E X += ( )．A.54B.72C. 3D.52【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望，计算出()E X ，再利用期望的性质求出()21E X +的值。
【详解】1~5,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()15544E X ∴=⨯=，因此，()()5721212142E X E X +=+=⨯+=，故选：B 。
【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值为（ ）. A. 17 B. 12C. 32D. 24【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值。
【详解】()3128f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令()2f x '=±，列表如下：所以，函数()y f x =的极大值为()224f -=，极小值为()28f =-，又()317f -=，()31f =-，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为24， 故选：D 。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6(2)x x-的展开式中的常数项是（ ） A ．192 B ．192-C ．160D ．160-【答案】D 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为1r T +，则66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（）， 令6022r r--=得：3r = ， ∴62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3633612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 2．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-8【答案】B 【解析】根据流程图可得：第1次循环：2,1,11y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第2次循环：1,2,13y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第3次循环：1,1,13y x y x x y i i =+=-=-=-=+= ； 第4次循环：2,1,14y x y x x y i i =+=-=-==+= ； 此时程序跳出循环，输出1x y +=- . 本题选择B 选项. 4．设103iz i=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+ B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】 试题分析：()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．5．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720 B ．360C ．270D ．180【答案】D【解析】 【分析】由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案. 【详解】解：根据题意，分两步进行：① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2630A =中情况；② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222422226C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确. 6．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A ．82B ．83C ．813或D ．812或【答案】C 【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得a ，再令1x =可得各项系数和． 详解：展开式通项为882188()()r rr r r r r aT C xa C x x--+=-=-，令820r -=，则4r =，∴448()1120a C -=，2a =±，所以展开式中各项系数和为8(1)1a -=或83．故选C ．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为2012()nn f x a a x a x a x L =++++，如求所有项的系数和可令变量1x =，即系数为(1)f ，而奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项系数为(1)(1)2f f --，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．8．已知方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,8e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由于0mx e >恒成立，构造函数2()1mx xf x e =-，则方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根等价于函数2()1mx x f x e =-在(]0,16上有两个不同的零点，利用导数研究函数2()1mx xf x e=-在(]0,16的值域即可解决问题。
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确 故答案选D 【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力. 2．不等式221x x-<的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()0,1【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =的单调性，得到关于x 的一元二次不等式，解得答案.【详解】 不等式221xx-<，转化为2022xx-<，因为指数函数2xy =单调递增且定义域为R ， 所以20x x -<，解得01x <<. 故不等式的解集为()0,1. 故选：D. 【点睛】本题考查解指数不等式，一元二次不等式，属于简单题.3．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ）A ．()± B ．()±C ．()±D ．()±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标． 【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x 轴上，所以焦点坐标为()±．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．4．已知(2,)M m 是抛物线24y x =上一点，则M 到抛物线焦点的距离是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离2p =+ ．详解：由抛物线方程可得抛物线24y x =中1p = ，则利用抛物线的定义可得点M 到抛物线焦点的距离221 3.p =+=+=．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．设i 是虚数单位，条件:p 复数()1,a bi a b R -+∈是纯虚数，条件:1q a =，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】若复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠所以由p 能推出q ； 但若1a =,不能推出复数1a bi -+是纯虚数. 所以由q 不能推出p .， 因此p 是q 充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，这名射手进行了10次射击，设X 为击中目标的次数， 1.6DX =，(=3)(=7)P X P X <，则p =A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2【答案】A 【解析】 【分析】利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式以及方差的计算公式，即可得到结果。
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二(下)期末综合测试试题含解析
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在极坐标系中,已知点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( ) A ．sin 1ρθ=B ．sin 3ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．cos 3ρθ=【答案】A【解析】【分析】将点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标的点，求出过点P 且平行于x 轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题。
【详解】因为点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()3,1，此点到x 轴的距离是1，则过点P 且平行于x 轴的直线的方程是1y =，化为极坐标方程是sin 1ρθ=故选A.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
2． “”是“”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.3．复数满足(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案.【详解】 由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.4．若随机变量X 的分布列： X0 1 P 0.2 m已知随机变量(,)Y aX b a b R =+∈且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值为( )A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==【答案】C【解析】【分析】先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合()10E Y =，()4D Y =，可求a 与b 的值.【详解】因为0.21m +=，所以0.8m =，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=,()0.20.80.16D X =⨯=； 因为()10E Y =，()4D Y =，所以22()0.810,()0.164aE X b a b a D X a +=+=== 解得5,6a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种【答案】A【解析】【分析】【详解】 根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三； 分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法，甲在星期二有A 32=6种安排方法，甲在星期三有A 22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A ．6．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ） A ．54 B ．52 C ．5 D ．10【答案】C【解析】 设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn ++=，由勾股定理可得：222436m n c +==，综上可得：220,10mn mn =∴=则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 7．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如图所示，以A(0,?f(0)),?B(1,?f(1)),?C(x,?f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数()S x ，则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】连结AB 后，AB 长为定值，由C 点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【详解】解：如图，△ABC 的底边AB 长一定，在点C 由A 到B 的过程中，△ABC 的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C 位于AB 连线和函数f （x ）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．8．已知函数()x f x e =，()1ln 22x g x =+的图象分别与直线()0y m m =>交于,A B 两点，则AB 的最小值为( )A ．2B ．2ln2+C ．21+2eD ．32ln 2e - 【答案】B【解析】由题意，()12,,2,m A lnm m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中，122m e lnm ->，且0m >，所以122m AB e lnm -=-.令12y 2,0x e lnx x -=->，则121y 2x ex --'=，y '为增函数. 令y 0'=，得12x =. 所以102x <<.时y 0'<，12x >时y 0'>, 所以12y 2,0x e lnx x -=->在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以12x =时, 22min AB ln =+. 故选B. 点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式； （2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.9．5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】D【解析】【分析】将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案.【详解】将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：424248A A ⨯= 故答案选D【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.10．已知函数()sin x x f x e e x x -=-+-（其中e 为自然对数的底数），则不等式()2(3)f x x f x -<+的解集为（ ）A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】【分析】求导得到'()1cos 0x x f x ee x -+--=-≤，函数单调递减，故23x x x ->+，解得答案.【详解】 ()sin x x f x e e x x -=-+-，则'()1cos 1cos 1cos 0x x f x e e x x x -=-+-≤--=---≤恒成立，故函数单调递减，()2(3)f x x f x -<+，故23x x x ->+，解得3x >或1x <-.故选：D .【点睛】本题考查了根据导数确定函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种 【答案】B【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．C ．2 D【答案】B【解析】【分析】 由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+=，即可计算. 【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T=，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+== B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．【解析】【分析】求出复数2z i =-，代入模的计算公式得|z |=【详解】由()431243212i i z i z i i++=+⇒==-+，所以||z ==【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________．【答案】21y x =--【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x=-'，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．设变量,x y 满足约束条件：3{123x y x y x y +≥-≥--≤,则目标函数1y z x+=的最小值为． 【答案】1【解析】【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】1 y z x+=的几何意义为区域内点到点G （0，-1）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG 的斜率最小，由3 23x y x y ＝＝+⎧⎨-⎩ 解得2 1x y ⎧⎨⎩＝＝，即A （2，1）， 则AG 的斜率k=112+＝1， 故答案为1【点睛】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键． 16．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为____． 第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81【答案】02；【解析】【分析】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02.【详解】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02，所以第5个个体的编号为02.【点睛】随机数表中如果个体编号是2位数，则从规定的地方数起，是每次数两位数，如果碰到超出编号范围，则不选；如果碰到选过的，也不选.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．己知函数()|2||1|f x x x =++-.（I ）求()f x 的最小值t ；（II ）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c t ++=，求证：3333a b b c c a abc ++≥.【答案】（I ）3t =（II ）见解析【解析】【分析】利用绝对值的性质可知当21x -≤≤函数()|2||1|f x x x =++-有最小值。
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年黑龙江省哈尔滨市数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列不等式中正确的有( )①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞ A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①②【答案】B 【解析】 【分析】逐一对每个选项进行判断,得到答案. 【详解】①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即sin x x >,正确②1,xe x x R ≥+∈,设函数()1xg x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞正确 答案为B 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力. 2．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 3．已知函数()2ln 134x f x x x +=--+，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．()4,1-B ．()1,1-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，负数不能开偶次方根，分母不能为零求解. 【详解】 因为函数()2ln 134x f x x x +=--+，所以210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，所以141x x >-⎧⎨-<<⎩，解得11x -<<，所以()f x 的定义域为()1,1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴⇒d ＝25．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 M106115124103则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强．而残差越大，则相关性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强． 考点：线性相关关系的判断． 6．用数学归纳法证明：2222222(21)123213n n n ++++++++=，第二步证明由"k 到1"k +时，左边应加（ ） A ．2k B ．2(1)k + C ．222(1)k k k +++ D ．22(1)k k ++【答案】D 【解析】 【分析】当n k =成立，当1n k =+时，写出对应的关系式，观察计算即可得答案. 【详解】在第二步证明时，假设n k =时成立，即左侧22222212321k =+++⋯++⋯++， 则1n k =+成立时，左侧22222222123(1)21k k k =+++⋯+++++⋯++，∴左边增加的项数是22(1)k k ++，故选：D ． 【点睛】本题考查数学归纳法，考查n k =到1n k =+成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．7．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。
2020年哈尔滨市名校数学高二第二学期期末预测试题含解析
2020年哈尔滨市名校数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2,1- B ．[]2,4C ．()2,1--D ．(],4-∞【答案】C 【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f （x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．详解：函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图：关于f 2（x ）+（a ﹣1）f （x ）﹣a=0有7个不等的实数根，即[f （x ）+a][f （x ）﹣1]=0有7个不等的实数根，f （x ）=1有3个不等的实数根， ∴f （x ）=﹣a 必须有4个不相等的实数根，由函数f （x ）图象 可知﹣a ∈（1，2），∴a ∈（﹣2，﹣1）． 故选：C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．2．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C 【解析】试题分析：由三角形面积为12，13120022|33xdx x ==⎰，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P ==考点：定积分及几何概型概率3．已知函数()2f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果． 【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=--=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ； 又()211ln110f =-=>，所以排除B,C ．已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 4．设函数f （x ）＝xlnx 的图象与直线y ＝2x+m 相切，则实数m 的值为（ ） A ．e B ．﹣eC ．﹣2eD ．2e【答案】B 【解析】 【分析】设切点为（s ，t ），求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s ，t ，进而求得m ． 【详解】设切点为（s ，t ），f （x ）＝xlnx 的导数为f ′（x ）＝1+lnx ， 可得切线的斜率为1+lns ＝2，解得s ＝e ， 则t ＝elne ＝e ＝2e+m ，即m ＝﹣e ． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．5．已知函数()()2ln ,x x t f x t R x+-=∈，若对任意的[]()()1,2,'x f x x f x ∈>-恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】对任意的[]1,2x ∈，()()0f x x f x '+>恒成立⇔对任意的[]1,2x ∈，22210x tx x-+>恒成立，⇔对任意的[]1,2x ∈，22210x tx -+>恒成立，参变分离得到12t x x <+恒成立，再根据对勾函数的性质求出12x x+在[]1,2x ∈上的最小值即可．【详解】 解：()()2ln ,x x t f x t Rx+-=∈∴221()x lnx t f x -+-'=∴对任意的[]1,2x ∈，22210x tx x-+>恒成立，∴对任意的[]1,2x ∈，22210x tx -+>恒成立，21211222x t x x x x x+∴<=+=+恒成立，又由对勾函数的性质可知12()g x x x=+在[]1,2x ∈上单调递增，∴()3()12min g x g ==，32t ∴<，即3,2t ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题． 6．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( ) A ．出现7点的次数 B ．出现偶数点的次数C ．出现2点的次数D ．出现的点数大于2小于6的次数【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量的定义可得到结果. 【详解】抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件∴出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A 【点睛】本题考查随机变量的定义，属于基础题.7．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =-的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56【答案】C 【解析】由0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得出0a b m n ⋅=-≥，计算出基本事件的总数以及事件m n ≥所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，0a b m n ∴⋅=-≥，即m n ≥，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”所包含的基本事件有：()1,1、()2,1、()2,2、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()6,1、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共21个，所有的基本事件数为2636=，因此，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”的概率为2173612=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题. 8．函数()()21x f x x e =-（e 为自然对数的底数）的递增区间为（ ）A ．(),-∞+∞B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()()21x f x x e +'=,由于0x e >恒成立,所以当0fx时,12x >-,则增区间为.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,故选择D. 9．已知复数2i3iz =-,则z 的共轭复数z =() A ．13i 55-- B ．13i 55-+ C ．1355i + D ．13i 55- 【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，然后得到z ，再求出共轭复数z .因为2i 3iz =-， 所以()22313955i i z i i +==-+-， 所以z 的共轭复数1355z i =-- 故选A 项. 【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题. 10．下列说法中，正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大 ②对kxy ce =同取对数，再进行化简，可进行判断③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值 【详解】对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确; 对于②,kx y ce =,∴两边取对数,可得()ln ln ln ln ln kx kxy ce c e c kx ==+=+, 令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==, 4c e ∴=.即②正确;对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中,2,1b x ==,3y =,则1a =.故 ③正确 因此，本题正确答案是:①②③二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值 11．直线2(1)40x m y +++=与直线320x y +-=平行，则m =（ ） A ．53-B ．53C ．－7D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】 由题意214132m +=≠-，解得5m =． 故选D ． 【点睛】本题考查两直线平行的条件，直线1110a x b y c ++=与2220a x b y c ++=平行的条件是：在222,,a b c 均不为零时，111222a b c a b c =≠， 若222,,a b c 中有0，则条件可表示为122112211221000a b a b a c a c b c b c -=⎧⎨-≠-≠⎩或．12．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（℃） 18 13 10 -1 用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（ ）A ．68度B ．52度C ．12度D ．28度【答案】A 【解析】 由表格可知，，根据回归直线方程必过得，因此当时，，故选择A.二、填空题：本题共4小题【解析】试题分析：()()322()33632f x x x a f x x x x x =++∴=+=+'单调增区间为[][]3,2,0,3--减区间为[]2,0-，最大值为()32727357f =++=考点：函数导数与最值14．复数2ii -的虚部是 ． 【答案】25【解析】 试题分析：因为，(2)122555i i i i i +==-+-，所以，复数2i i -的虚部是25． 考点：复数的代数运算，复数的概念．点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化．15．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .【答案】(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+- 【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案. 【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.16．若函数()()222,2log ,2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为()2f ，则实数a 的取值范围为______.【答案】[)0,+∞ 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的单调性，由题设条件得出()()2log 22a f +≥，于此求出实数a 的取值范围。
2020年哈尔滨市名校数学高二第二学期期末预测试题含解析
2020年哈尔滨市名校数学高二第二学期期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已定义在R 上的函数()f x 无极值点，且对任意x ∈R 都有()()32ff x x -=，若函数()()g x f x kx =-在[]1,2-上与()f x 具有相同的单调性，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．(],12-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】分析：易得函数()f x 是单调函数，令()3f x x t -=，则3f x t x =+（） ，（t 为常数），求出()f x 的单调性，从而求出()g x 在[]1,2-的单调性，得到23k x ≤在[]1,2-恒成立，求出k 的范围即可． 详解：∵定义在R 上的函数()f x 的导函数f x '（）无零点，∴函数()f x 是单调函数，令()3f x x t -=，则3f x t x =+（），230f x x '=≥（） 在[]1,2-]恒成立，故()f x 在[]1,2-递增， 结合题意()()g x f x kx =-在[]1,2-上递增， 故230gx x k '=-≥（）在[]1,2-恒成立， 故23k x ≤ 在[]1,2-恒成立，故0k ≤ ， 故选A ．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题2．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点 【答案】B【解析】 【分析】由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'0()0h x =，由此可判断极值情况. 【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又''000()()()'0h x g x f x =-=，则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．16162+B ．32162+C ．48D ．643【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可得几何体是如图所示四棱锥P ABCD -，根据三视图数据计算表面积即可.【详解】由三视图可得几何体是如图所示四棱锥P ABCD -，则该几何体的表面积为：1124424443222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选：B 【点睛】本题主要考查了三视图，空间几何体的表面积计算，考查了学生的直观想象能力.4．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -⋅=，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是（ ） A ．1i z =-- B ．2z z ⋅=C ．2z =D ．复数z 在复平面内表示的点在第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法除法运算求出z ，进而得出答案 【详解】由题可得()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+，在复平面内表示的点为()1,1-，位于第二象限，z =，故A,C,D 错误；1z i =--，2z z ⋅=，故B 正确； 【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题．5．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B 【解析】解：计算K 2≈8.815>6.869，对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系， 本题选择B 选项.6．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（ ）种不同的取法 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】直接由组合数定义得解． 【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中， 从中取3个球，共有种不同的取法.故选D 【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题．7．已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{}2|32B x y x x ==-，全集U =R ，则()U A B ∩ð等于（ ） A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可得出()U A B ∩ð. 【详解】因为2{|0211},{|320}A x x B x x x =<-≤=-≥，即1{|1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2}3x ≥，所以2{|0}3U B x x =<<ð，则12(){|}23UA B x x ⋂=<<ð，应选答案D. 【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，同时也涉及了二次不等式与对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 13,4,AB AA P ==是侧面11BCC B 内的动点，且1,AP BD ⊥记AP 与平面1BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为A．43B．53C．2D．259【答案】B【解析】【分析】建立以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，设点(),3,P m n，利用1AP BD⊥，转化为1AP BD⋅=u u u v u u u u v，得出34n m=，利用空间向量法求出sinθ的表达式，并将34n m=代入sinθ的表达式，利用二次函数的性质求出sinθ的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出tanθ的最大值．【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D xyz-，则()3,0,0A、()3,3,0B、()10,0,4D，设点(),3,P m n，则03m≤≤，04n≤≤，()3,3,AP m n=-u u u v，()13,3,4BD=--u u u u v，1AP BD⊥Q，则()()133334340AP BD m n m n⋅=--+⨯-+=-+=u u u v u u u u v，得34n m=，平面11BCC B的一个法向量为()0,1,0a=v，所以，()()2222sin339394AP aAP a m nm mθ⋅===⋅-++⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u u v vu u u v v=当[]6480,32525216m -=-=∈⨯时，sin θ取最大值，此时，tan θ也取最大值，且()max sin θ==cos θ==，因此，()max 5tan 3θ==，故选B ．【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题． 9．将函数()sin()f x x ωϕ=+图象上所有的点向左平移6π个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到sin y x =的图象，则下列各式正确的是（ ） A ．170824f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．502424f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．2701515f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．7201515f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据平移得到()sin(2)3f x x π=-，函数关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，得到答案.【详解】根据题意：1sin()sin 26x x πωωϕ⋅++=，故2ω=，取3πϕ=-，故()sin(2)3f x x π=-.故函数关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，由2715153πππ-+=，则27151526πππ-+= 故2701515f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则C 正确，其他选项不正确. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数平移，中心对称，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.10．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程$9.49.1y x =+，则实数a 的值为（ ） A ．37.3 B ．38C ．39D ．39.5【答案】C 【解析】 【分析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值。
2020年黑龙江省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2020年黑龙江省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．二项式61(2)x x-展开式中的常数项为（ ） A ．960- B ．160- C ．160 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，使得x 的指数为0，即可得出常数项. 【详解】通项为()6166266(2)2(1)rrr r r r r C x x C x -----=-⋅6203r r -=⇒=Q∴常数项为33362(1)160C ⋅-=-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求常数项，属于基础题. 2．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．115【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．4．6的展开式中的常数项是（ ） A ．192 B ．192-C ．160D ．160-【答案】D 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式66622166112r rr rrr r r rr T C C x ----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得6⎛⎝的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为1r T +，则66622166112r rr rrr r r r r T C C x ----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令6022r r--=得：3r = ，∴6⎛ ⎝展开式中的常数项为3633612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．5．若函数()()2212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．105a <≤ B ．105a ≤≤C ．105a <<D ．15a >【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可.当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a--≥，解得105a <≤. 综上所述：105a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题. 6．复数1(z i i =-为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由虚数的定义求解． 【详解】复数1z i =-的虚部是－1． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础． 7．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则则极值点0,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故选C ． 点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B 、D 选项，在A 、C 选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．8．将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A ．12 B ．36 C ．72 D ．108【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ．考点：计数原理的应用．9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由()0h x =，得出()()f x g x =，转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可． 【详解】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C. 【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11．已知定义在R 上的函数()f x ，若()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(2019)f = （ ） A ．1- B ．1C ．0D ．22019【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)f x +是偶函数判出1x =是函数()f x 的对称轴，结合()f x 是奇函数可判断出函数()f x 是周期为4的周期函数，由此求得()2019f 的值. 【详解】由于(1)f x +是偶函数，所以函数()f x 的一条对称轴为1x =，由于函数()f x 是奇函数，函数图像关于原点对称，故函数()f x 是周期为4的周期函数，故()()()()22019505411111f f f f =⨯-=-=-=-=-，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、考查函数的对称性、考查函数的周期性，考查函数值的求法，属于基础题. 12．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =， 612S =，则2S =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S⨯=+，则6423S S S =+ ，62412444033S S S =-=-=-=，选B. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．曲线21x y xe x +＝﹣在点(0,1)-处的切线方程为_______． 【答案】310x y --=. 【解析】 【分析】对函数求导得'(1)2xy x e =++，把0x =代入得'(0)3y =，由点斜式方程得切线方程为310x y --=.【详解】因为'(1)2xy x e =++，所以'(0)3y =，又切点为(0,1)-，所以在点(0,1)-处的切线方程为310x y --=. 【点睛】本题考查运用导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程.14．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______. 【答案】2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.15．已知向量()2,3a =v ，()1,4b =-v ，m a b λ=-v v v ，2n a b =-v v v ，若//m n v v ，则λ=_______.【答案】12【解析】 【分析】计算出向量m u r 与n r的坐标，利用共线向量坐标的等价条件列等式求出实数λ的值. 【详解】()()()2,31,42,34m a b λλλλ=-=--=+-u r r r Q ，()()()222,31,45,2n a b =-=--=r r r， 又//m n u r r ，所以，()()22534λλ+=-，解得12λ=，故答案为12.【点睛】本题考查利用共线向量求参数的值，解题时要计算出相关向量的坐标，利用共线向量的坐标的等价条件列等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.16．已知,a b v v 是两个非零向量，且||2a =r ，22a b +=r r ，则||a b b ++rr r 的最大值为_____．【答案】【解析】 【分析】构造=a b m b n +=r r r r r ，，从而可知m n ⊥r r ，于是||a b b ++r r r 的最大值可以利用基本不等式得到答案.【详解】由题意，令=a b m b n +=r r r r r ，，所以||||2m n a -==r r r ，|||2|2m n a b +=+=r r r r ，所以||||m n m n -=+r r r r ，所以m n ⊥r r ，所以||||||a b b m n ++=+≤=r r r r r 当且仅当||||m n ==r r且m n ⊥r r 时取等号.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知抛物线C ：2y =2px （p>0）的准线方程为x=-12,F 为抛物线的焦点 （I ）求抛物线C 的方程；（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72,2）,求PA PF +的最小值； （III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标．【答案】（Ⅰ）22y x =（II ）4（III ）线段MN 中点的坐标为（312，） 【解析】 【分析】（I ）由准线方程122p x =-=-求得p ，可得抛物线标准方程． （II ）把PF 转化为P 到准线的距离PB ，可得,,B P A 三点共线时得所求最小值． （III ）写出直线MN 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标． 【详解】（I ）∵准线方程x=-12,得p =1， ∴抛物线C 的方程为22y x =（II ）过点P 作准线的垂线，垂直为B ，则PB =PF 要使PA +PF 的最小，则P ，A ，B 三点共线此时PA +PF =72+12=4· （III ）直线MN 的方程为y=x-12· 设M （11,x y ），N （22,x y ），把y=x-12代入抛物线方程22y x =,得2x -3x+14=0 ∵△=9-4×1×14＝8＞0 ∴1x +2x =3，122x x +=32线段MN 中点的横坐标为32，纵坐标为31122-=线段MN 中点的坐标为（312，） 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．18．为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.（1）求所调查学生日均玩游戏时间在[40,50)分钟的人数；（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人； ①根据已知条件，完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系； 非游戏迷 游戏迷 合计 男 女 合计②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）.【答案】（1）16人（2）①填表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.②310【解析】 【分析】（1）计算日均玩游戏时间在[45,50)分钟的频率,再乘以总人数即可; （2）①计算 “游戏迷”有0.2010020⨯=人，由于“游戏迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,计算观测值，对照临界值得出结论；②利用古典概型求解即可 【详解】（1）日均玩游戏时间在[45,50)分钟的频率为1(0.0100.0080.0120.0140.0200.0140.0040.002)100.16-+++++++⨯=，所以，所调查学生日均玩游戏时间在[45,50)分钟的人数为1000.1616⨯=. （2）“游戏迷”的频率为(0.0140.0040.002)100.20++⨯=，共有“游戏迷”0.2010020⨯=人，由于“游戏迷”中女生有6人，故男生有14人. ①根据男、女学生各有50人，得列联表如下：222()100(3664414)4 3.841()()()()50508020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯.故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.②“游戏迷”中女生有6人，男生有14人，按照分层抽样的方法抽取10人，则女生有3人，男生有7人.从中任取9人，只剩1人，则共有910C = 10种基本情况，记这9人中男生全被抽中为事件A ，则有两名女生被选中,共有233C =种基本情况，因此所求事件A 的概率3()10P A =. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．19．已知函数f(x)=x e -ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0.【答案】 (1)()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞上是增函数（2）见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)．由x=2是f(x)的极值点得f '(2)=2，所以m=1． 于是f(x)=e x －ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(2)=2，因此当x ∈(－1，2)时， f '(x)<2;当x ∈(2，+∞)时， f '(x)>2．所以f(x)在(－1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x ∈(－m ，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>2． 当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．又f '(－1)<2， f '(2)>2，故f '(x)=2在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时， f '(x)<2;当时， f '(x)>2，从而当时，f(x)取得最小值．由f '(x 2)=2得=，，故．综上，当m≤2时， f(x)>2．20．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“课外体育达标”. （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；（Ⅱ）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】 (Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 【解析】【试题分析】（1）根据题目所给数据可填写好表格.（2）通过公式计算2 6.06 6.635K ≈<，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 【试题解析】 (1) (2) ()22200602030902006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.21．在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||3PA PB -= 【解析】 【分析】（1）将变换公式代入221x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||PA PB -的值. 【详解】（1）将12x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩代入221x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，由3sinπρθ=（-），得 33sin coscos sinππρθρθ-=把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式得直线l0y -+=.（2）因为直线l 的倾斜角为3π，所以其垂线l 0的倾斜角为56π， 则直线l 0的参数方程为51cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程整理得27120t --=，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，由题意知10t >，20t <，则12127127t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，且247120∆=+⨯⨯>（，所以1212121111||||3t t PA PB t t t t +-=-==--.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 13=AB ，四边形B 1C 1CB 为矩形，过A 1C 作与直线BC 1平行的平面A 1CD 交AB 于点D ． （Ⅰ）证明：CD ⊥AB ；（Ⅱ）若AA 1与底面A 1B 1C 1所成角为60°，求二面角B ﹣A 1C ﹣C 1的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）59191- 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接AC 3交A 3C 于点E ，连接DE ．推导出BC 3∥DE ，由四边形ACC 3A 3为平行四边形，得ED 为△AC 3B 的中位线，从而D 为AB 的中点，由此能证明CD ⊥AB ．（Ⅱ）过A 作AO ⊥平面A 3B 3C 3垂足为O ，连接A 3O ，以O 为原点，以11OA OB OA u u u r u u u r u u u r ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣A 3C ﹣C 3的余弦值． 【详解】（Ⅰ）连接AC 3交A 3C 于点E ，连接DE ．因为BC 3∥平面A 3CD ，BC 3⊂平面ABC 3，平面ABC 3∩平面A 3CD ＝DE ， 所以BC 3∥DE ．又因为四边形ACC 3A 3为平行四边形，所以E 为AC 3的中点，所以ED 为△AC 3B 的中位线，所以D 为AB 的中点． 又因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ．（Ⅱ）过A 作AO ⊥平面A 3B 3C 3垂足为O ，连接A 3O ，设AB ＝3． 因为AA 3与底面A 3B 3C 3所成角为60°，所以∠AA 3O ＝60°． 在Rt △AA 3O 中，因为123A A = 所以13AO =AO ＝2． 因为AO ⊥平面A 3B 3C 3，B 3C 3⊂平面A 3B 3C 3， 所以AO ⊥B 3C 3．又因为四边形B 3C 3CB 为矩形，所以BB 3⊥B 3C 3， 因为BB 3∥AA 3，所以B 3C 3⊥AA 3．因为AA 3∩AO ＝A ，AA 3⊂平面AA 3O ，AO ⊂平面AA 3O ，所以B 3C 3⊥平面AA 3O ． 因为A 3O ⊂平面AA 3O ，所以B 3C 3⊥A 3O ．又因为13AO =，所以O 为B 3C 3的中点． 以O 为原点，以11OA OB OA u u u r u u u r u u u r ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图． 则)130A ，，，C 3（0，﹣3，0），A （0，0，2），B 3（0，3，0）．因为()11310AB A B ==-u u u r u u u u r，，， 所以()313B -，，，3132D ⎫-⎪⎪⎝⎭，，， 因为()11310AC AC ==--u u u r u u u u r，，， 所以()313C --，，，()12313A B =-u u u r，，，()11020BC B C ==-u u u r u u u u r，，，()12313AC =--u u u r，，，133132A D ⎫-=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，，． 设平面BA 3C 的法向量为n r＝（x ，y ，z ），由100A B n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r 得23300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令3x =z ＝3，所以平面BA 3C 的一个法向量为)32n =r，，．设平面A 3CC 3的法向量为m r＝（a ，b ，c ），由11100AC m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v ru u u v r 得302330a b a b c ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩令3a =，得b ＝﹣2，c ＝3，所以平面A 3CC 3的一个法向量为()331m =-r，，．所以591n m cos n m n m⋅<>==r u rr u r rr ，，因为所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣A 3C ﹣C 3的余弦值为591-． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。
哈尔滨市名校2020年高二(下)数学期末达标检测试题含解析
哈尔滨市名校2020年高二(下)数学期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列说法错误的是（ ）A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B ．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C ．线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点D ．在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 【答案】C 【解析】对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.2． “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（ ） A ．杨辉 B ．刘微C ．祖暅D ．李淳风【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理. 【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C. 【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题. 3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( ) A ．恰有1件一等品 B ．至少有一件一等品 C ．至多有一件一等品 D ．都不是一等品【答案】C 【解析】 【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案． 【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4．与463-o 终边相同的角可以表示为()k ∈Z A ．360463k ⋅+o o B ．360103k ⋅+o o C ．360257k ⋅+o o D ．360257k ⋅-o o【答案】C 【解析】 【分析】将463-o 变形为360([0,360))()k k Z αα⋅+∈∈ooo的形式即可选出答案. 【详解】因为4632360257-=-⨯+o o o ，所以与463-o 终边相同的角可以表示为360257k ⋅+o o ，故选C ． 【点睛】本题考查了与一个角终边相同的角的表示方法，属于基础题. 5．θ为第三象限角，1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A ．355B ．155C 355D 155【答案】B 【解析】分析：先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1+1ππ3tan tan[()]=214413θθ=-+=-，由同角三角函数基本关系式，得22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得2212cos ,55sin θθ== 又因为θ为第三象限角，所以sin θθ==则sin cos θθ-= 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：ππ=(),2()()44θθααβαβ-+=++-、2=()()βαβαβ+--；2.利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．6．已知函数()283640f x x x =-+-在[)1,2上的值域为A ，函数()2x g x a =+在[)1,2上的值域为B .若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先计算出两个函数的值域，根据x A ∈是x B ∈的必要不充分条件可得B 是A 的真子集，从而得到a 的取值范围. 【详解】因为()f x 在[)1,2上单调递增，所以[)12,0A =-，又函数()2xg x a =+在[)1,2上单调递增，于是[)2,4B a a =++.因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，故有21240a a +≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时取），得[]14,4a ∈--，故选B .（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．7．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2018项和为（ ） A ．20172018-B ．20172018C ．20182019-D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】利用313a b ==，15715a b ==求出数列{}n a ，{}n b 的公差，可得数列{}n a ，{}n b 的通项公式，从而可得n c =111(1)1n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，进而可得结果. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为a d ，b d ，则由已知得1531212a a a d -==，71612b b b d -==，所以1a d =，2b d =，所以3(3)n a a a n d n =+-=，1(1)21n b b b n d n =+-=+，所以121(1)(1)n n n c n n -+=-=+111(1)1n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，所以数列{}nc 的前2018项和为201812201811111223S c c c ⎛⎫⎛⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭... 11113445⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1120172018⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ (1111201820182019120192019)⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,故选D . 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量运算，考查了数列的求和，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8．设集合{}2|log (1)1M x x =-<，{|2}N x x =≥|，则M N ⋃=（） A ．{|23}x x ≤< B ．{|2}x x ≥C ．{|1}x x >D ．3|}1{x x ≤<【答案】C【分析】解出集合M 中的不等式即可 【详解】因为{}{}2|log (1)1|13M x x x x =-<=<<，{|2}N x x =≥ 所以M N ⋃={|1}x x > 故选：C 【点睛】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.9．已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，将选项代入验证即可. 【详解】由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B 【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题. 10．若2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】D 【解析】分析：先求()f x '，再求函数的单调增区间.详解：由题得2242242(2)()22x x x x f x x x x x----=--==' 令220,2 1.x x x x -->∴><-或因为x>0，所以x>2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 用导数求函数的单调区间：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论； 由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11(,)[,)88-∞-+∞U B ．11[,0)(0,]48-U C ．(0,8] D ．11(,][,)48-∞-+∞U【答案】D 【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时，()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数()sin f x x x =-在区间[,]-ππ的最大值为_______． 【答案】π 【解析】 【分析】利用导数，判断函数()f x 的单调性，可得结果. 【详解】由()sin f x x x =-，所以'()1cos f x x =- 当[,]x ππ∈-时，1cos 1x -≤≤， 所以'()1cos 0f x x =-≥ 则()f x 在[,]-ππ单调递增， 所以()max ()sin f x f ππππ==-= 故答案为：π 【点睛】本题考查函数在定区间的最值，关键在于利用导数判断函数的单调性，属基础题.14．函数()ln 2f x x =-的零点个数为__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据图像与函数的单调性分析即可. 【详解】()2ln 2f x x x =+--的零点个数即2ln 2x x +=+的根的个数,即2y x =+与ln 2y x =+的交点个数.又当0x →时22y x =+→,ln 2y x =+→-∞,此时2y x =+在ln 2y x =+上方.当1x =时, 23y x =+=,ln122y =+=,此时2y x =+在ln 2y x =+下方.又对2y x =+求导有'22y x =+,对ln 2y x =+求导有1'y x=,故随x 的增大必有122x x <+,即2y x =+的斜率大于ln 2y x =+的斜率. 故在1x >时, 2y x =+与ln 2y x =+还会有一个交点.分别作出图像可知有两个交点.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意分析函数斜率的变化规律与图像性质.属于中档题.15．在等比数列{}n a 中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =________ 【答案】31 【解析】 【分析】根据2532a a a =，求出42a =，又4a 与72a 的等差中项为54，得到714a =，所以可以求出 12q =，116a =，即可求出5S 【详解】依题意，数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，即252112a q a q =，所以42a = ，又4a 与72a 的等差中项为54，所以752224a +=⨯，即714a =，所以37418a qa ==，所以12q =，所以41316a a q ==， 551161()231112S ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-故答案为：31 【点睛】本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市新高考高二数学下学期期末质量检测试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ） A ．110B ．14C ．310D ．252．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 3．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭4．已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ； ③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b 以上命题正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=有两个不同交点的充要条件是（ ） A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m <6．设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ）A ．-2B ．C ．2D ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线8πα<<，若sin ,(sin )(1,2,3,)n x x x n αα===，则数列{}x 是（ ）C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列9．如图，P 是正四面体V ABC -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．离心率为223的椭圆 D ．离心率为3的双曲线10．已知函数()(,0)x f x e ax b a R b =--∈>，且对任意的x ∈R ，都有()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为（） A ．eB ．2eC ．2eD ．22e11．若复数(32)z i i =-，则z =（ ） A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -12．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了二、填空题：本题共4小题13．在5名男生和3名女生中各选出2名参加一个演唱小组，共有__________种不同的选择方案. 14．2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染 未感染 总计 注射 10 40 50 未注射 20 30 50 总计3070100参照附表，在犯错误的概率最多不超过____的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．220()P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82815．若348,n n A C =则n 的值为_______．16．若双曲线22219y x a -=(0)a >的一个焦点是(0,13)，则该双曲线的渐近线方程是______三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021哈尔滨市高三数学下期末一模试题(附答案)
2020-2021哈尔滨市高三数学下期末一模试题(附答案)一、选择题1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1122．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30° 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34 B ．16 C ．1112D ．25246．已知向量)3,1a =r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=r r b =r（ ）A ．3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．133,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,07．若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin θcos θ8=-，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3B ．32C ．5-D 58．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩 9．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4B ．–2C ．4D ．210．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．已知,a b rr 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 12．已知非零向量AB u u u v 与AC u u uv 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v 且12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能二、填空题13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．17．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r，()1,d k =u r(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +r r r ，求x 的值.（2）若函数()f x a b =⋅r r，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.24．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =25. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求12λλ+的值.25．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 26．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．C解析：C 【解析】 【分析】,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c r r分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解. 【详解】设直线,b c 的方向向量,b c r r，,b c αβ⊥⊥， 所以,b c r r分别是平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为60°，,b c r r的夹角为060或0120，因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C. 【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．5．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选 C. 6．B解析：B 【解析】 【分析】设()(),0b x y y =≠r，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b r的坐标. 【详解】 设(),b x y =r ，其中0y ≠，则33a x y b ⋅=+=r r. 由题意得221330x y x y y ⎧+=⎪⎪+=⎨≠⎪⎩，解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r . 故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【解析】试题分析：θ是ABC ∆的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.考点：三角函数诱导公式的运用.8．A解析：A 【解析】【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．D解析：D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.10．C解析：C 【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，由题意可知：2211OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON ou u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅r rr r ，代入夹角公式即可.【详解】设,a b rr 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥r r r，(2)b a b -⊥，所以222a b a b ==⋅r r r r ， 则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=r r r r r r 故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .12．C解析：C 【解析】 【分析】AB AB u u u v u u u v 和AC AC u u u vu u uv 分别表示向量AB u u u v 和向量AC u u u v 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v 表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC V 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v 可求出A ∠，即得三角形形状。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市高二下学期(文科)数学期末模拟考试试题【含答案】
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市高二下学期（文科）数学期末模拟考试试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．复数（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．02．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为()f x '，则3f π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝（ ） A ．﹣ B ． C ．D ．﹣ 3．独立性检验中，为了调查变量X 与变量Y 的关系，经过计算得到P （K 2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（ ）A ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系B ．有1%的把握认为变量X 与变量Y 有关系C ．有0.01%的把握认为变量X 与变量Y 有关系D ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系4．曲线y ＝x 3﹣x 在点（1，0）处的切线方程为（ ）A ．2x ﹣y ＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．2x +y +2＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0 5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标6．执行如图所示的程序框图，若输入N 的值为28，则输出N 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．已知函数f （x ）的导函数()f x '的图象如图所示，则关于f （x ）的结论正确的是（）A．在区间（﹣2，2）上为减函数B．在x＝﹣2处取得极小值C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数D．在x＝0处取得极大值8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．82.5B．83C．93D．7210．若函数f（x）＝ke x﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．（，+∞）D．[0，+∞）11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A．3B．4C．6D．712．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为.70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 0356 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 9314．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为．15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为．16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为__________三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．18.（本小题满分12分）设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的极值．19.（本小题满分12分）已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．20.（本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．21.（本小题满分12分）已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．22.（本小题满分12分）设函数f（x）＝x2+cos2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．答案一．选择题1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．0【解答】解：∵＝，∴的实部是0．故选：D．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴．故选：C．3．独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到P（K2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（）A．有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系B．有1%的把握认为变量X与变量Y有关系C．有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系D．有99%的把握认为变量X与变量Y有关系【解答】解：独立性检验中，P（K2≥3.841）＝0.01表示的意义是有99%的把握认为变量X与变量Y有关系．故选：D．4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【解答】解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（）A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标【解答】解：A选项，甲的滑轮指标为4分，雪地足球指标也为4分，故A错误；B选项，甲的雪地足球指标为4分，乙的雪地足球指标也为4分，故B错误；C选项，甲的爬犁速降指标为4分，乙的爬犁速降指标为4分，故C正确，D选项，乙的俯卧式爬犁指标为5分，甲的雪合战指标为5分，故D错误．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：模拟程序的运行，可得N＝28，不能被3整除，可得：N＝28﹣1＝27；27能被3整除，；9能被3整除，，此时，3≤3，终止循环，输出N＝3．故选：A．7．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（）A．在区间（﹣2，2）上为减函数B．在x＝﹣2处取得极小值C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数D．在x＝0处取得极大值【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，故f（x）在x＝﹣2取极小值，在x＝2取极大值，故选：B．8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意事件“抽取一个容量为2的样本，某个被抽到”包含了5个基本事件，而总的基本事件数是C62＝15∴事件“某个个体被抽到的”概率是＝故选：B．9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．82.5B．83C．93D．72【解答】解：将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，则这组数据的中位数是＝82.5．故选：A．10．若函数f（x）＝ke x﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．（，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：f′（x）＝ke x﹣x，依题意，ke x﹣x≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，令，则，易知函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴，∴．故选：A．11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A．3B．4C．6D．7【解答】解：第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选：B．12．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，画出的图象，如图．直线g（x）＝k（x﹣1）过定点（1，0），由图象可知，函数g（x）的图象与的图象相切时，函数f（x），g（x）的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P（x0，y0），由f'（x）＝x+2，x＜0，得，化简得，解得或（舍去），要使方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则函数f（x），g（x）的图象恰有三个交点，结合图象可知，所以实数k的取值范围为，故选：D．二．填空题13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为（）70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 0356 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93A．12B．13C．03D．40【解答】解：从随机数表第1行第5列开始，向右读取，依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03则第5个个体的编号为03．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为700．【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．故答案为：700．15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为（0，3）．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax，∵函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，∴3x2﹣2ax＝0在（0，2）内有解．∴a＝x∈（0，3）．故答案为：（0，3）．16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为____201______A．401B．201C．402D．202【解答】解：由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为2n+1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201．三．解答题17.在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．【解答】解：（1）直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，转换为直角坐标方程为：x+2y﹣5＝0．曲线C：＝1．转换为参数方程为（θ为参数）．（2）设，则，当，即，（k∈Z），此时，即时，．18.设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的极值．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+6x+a，k切＝f′（0）＝a，又因为切线方程为y＝﹣12x+1，所以k切＝﹣12，得a＝﹣12，因为切点在切线上也在曲线上，所以，所以b＝1，所以f（x）的解析式为y＝2x3+3x2﹣12x+1．（2）f（x）定义域为R，f′（x）＝6x2+6x﹣12令f′（x）＝0得，x＝﹣2或1，所以在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，所以f（x）极大值＝f（﹣2）＝21f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．19.已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．【解答】（1）解：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|，∴当x＜0时，等价于|x|+|x﹣2|＞﹣4，该不等式恒成立；当0＜x≤2时，等价于2＞4，该不等式不成立；当x＞2时，等价于，解得x＞3，∴不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|≥|x﹣（x﹣2）|＝2，当且仅当0≤x≤2时取等号，∴M＝2，a+2b+2c＝2，由柯西不等式，可得4＝（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2）＝9（a2+b2+c2），当且仅当时等号成立，∴．时，函数f（x）为，当x＝4时，函数f（x）的最小值为．20.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．【解答】解：（1）平均数x＝（0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13）×2＝6，“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5，所以500人中“长潜伏者”的人数为500×0.5＝250人；（2）（i）由题意补充后的表格如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a，b，c，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，从中抽取2人，共有21种不同结果，分别为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（a，F），（a，G），（b，c），（b，D），（b，E），（b，F），（b，G），（c，D），（c，E），（c，F），（c，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果．所以两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率为．21.已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），将点A，B坐标代入椭圆的方程两式相减+＝0，所以k AB＝＝﹣，因为D为AB的中点，所以k OD＝，所以k AB•k OD＝﹣＝﹣，所以＝，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；（2）由（1）可得左顶点M（﹣2，0），由题意设直线AB的方程：x＝my+1，联立直线与椭圆的方程：整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以k AM+k BM＝+＝＝＝＝﹣m，因为k AB•k OD＝﹣•k OD＝﹣，所以m＝﹣k OD，所以k AM+k BM＝k OD．22.设函数f（x）＝x2+cos2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x﹣2sin x cos x＝2x﹣sin2x，f''（x）＝2﹣2cos2x＝2（1﹣cos2x）≥0，∴函数f′（x）为增函数，又f′（0）＝0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）不等式f（x）≥kx+1即为x2﹣kx﹣1+cos2x≥0，设g（x）＝x2﹣kx﹣1+cos2x，x≥0，则g′（x）＝2x﹣k﹣sin2x，由（Ⅰ）可知，g′（x）是[0，+∞）上的增函数，因为g′（0）＝﹣k，所以当k≤0时，g′（0）≥0，函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意；当k＞0时，g′（0）＝﹣k＜0，故存在x0＞0，使得g′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在x∈（0，x0）上为减函数，在x∈（x0，+∞）上为增函数，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，0]．。
〖精选3套试卷〗2020学年黑龙江省哈尔滨市高二数学下学期期末质量检测试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．ˆ1yx =- 3．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（ ） A ．()1333x xy -=- B ．1233xy log x+=- C ．y ＝x ﹣1 D ．y ＝tanx4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．已知函数()2cos 2f x x x =-的图象向左平移3π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数()g x 的图象，则()g x 在下列区间上为单调递减的区间是（）A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,26ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=8．若21299m m C C --=且m N +∈；则()21mx -的展开式4x 的系数是（ ） A ．4-B ．6-C ．6D ．49．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．410．10名学生在一次数学考试中的成绩分别为如1x ，2x ，3x ，…，10x ，要研究这10名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（ ） A ．频率B ．平均数C ．独立性检验D ．方差11．以()1,0F 为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．22y x =C ．24x y =-D ．22x y =12．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332二、填空题：本题共4小题13．函数()()22(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时， ()1f x ≤恒成立，求23f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 14．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）. ①随机事件个数与随机变量一一对应； ②随机变量与自然数一一对应； ③随机变量的取值是实数.15．已知实数,x y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，，则23y x -的最大值为____．16．已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}．若P∪Q＝Q ，求实数a 的取值范围__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题（共12题；共60分）1．在极坐标系中已知点(2,)3P π，则其直角坐标是 ( )A ．(3，1)， B(-3，1) C ．(1，3)， D(-1， 3)2. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.12B. 14 C .13 D.163若i 是虚数单位，则复数 11ii+- =（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣i D. i4用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数 5.已知m ，n ∈R ，mi －1＝n ＋i ，则复数m ＋ni 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限6.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：个零件所需要的加工时间约为（ ）A. 93分钟B. 94分钟 C. 95分钟 D. 96分钟7. 6(2)x +的二项展开式中，2x 项的系数是（ ） A. 45 B. 60 C. 135 D. 240 8.22个数之和为偶数”，事件2个数均为( )1,8A 1,4B 2,5C 1,2D9．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--10.如图，长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)，曲线过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）5,12A 1,2B 3,4C 2,3D11.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p ， 则P(－1<ξ<0)等于（ ）1,2A p 1,2B p -,12C p - ,1D p - 12.如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ） A. 288种 B. 264种C. 240种D. 168种黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地三解答题（17题10分，18-22每题12分） 17.解答题（1）复数532z i =+-求z 的共轭复数；（2）实数m 取什么数值时，复数221(2)z m m m i =-+--分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？18.已知曲线314()33f x x =+ （1）求f′（5）的值；（2）求曲线在点P （2，4）处的切线方程．19．已知设P(x ，y)是曲线C ：{2cos sin x y θθ=-+= (θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求 （1）曲线C 的普通方程 （2）yx 的取值范围20.证明题：1）求证：3625->-求证：2）.已知x 为实数，221,2,12a xb xc x x =+=-=-+， 求证：,,a b c 中至少有一个不小于1．21.为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图（Ⅰ）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组的中点值做代表）．（Ⅱ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本的方差s2，（i）利用该正态分布，求P（100＜X≤122.8）；（ii）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的人数，利用（i）的结果，求E（ξ）附：≈11.4，若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x ty=-=⎧⎪⎨⎪⎩ (t为参数)．(1)写出直线l与曲线C在直角坐标系下的方程；(2)设曲线C经过伸缩变换{2x x y y'='=得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M(x0，y0)，求3x0＋12y0的取值范围．答案解析部分一、单选题【解析】【解答】B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法,故选B.二填空题13.【答案】y′=2xsinx+x2cosx14.【答案】-415.16n42解答题17.【答案】（1）解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3= =2+i，∴z=5+i， =5﹣i；（2）略18.【答案】解：（1）y=f（x）=的导数为f′（x）=x2，即有f′（5）=25；（2）由导数的几何意义可得切线的斜率k=f′（2）=4，点P（2，4）在切线上，所以切线方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．19（略）20略21.【答案】解：（Ⅰ）；s2=（﹣40）2×0.1+（﹣20）2×0.24+0+202×0.22+402×0.11=520；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（100，520），且σ≈22.8，∴P（100＜X≤122.8）= = ；（ii ）由（i ）知学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的概率为0.6826， 依题意ξ服从二项分布，即ξ～B （200，0.6826）， ∴E （ξ）=200×0.6826=136.5222 (1)直线l 的普通方程为3x ＋y －23－1＝0， 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x y ′＝2y 得到曲线C ′的方程为x 2＋y24＝4，则点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2cos θy 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0得，3x 0＋12y 0＝3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∴3x 0＋12y 0的取值范围是[－4,4]．2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.线性回归分析中，相关指数2R 的值越大，说明残差平方和（ ） A.越大B.越小C.可能大也可能小D.以上都不对2.用反证法证明“方程()200ax bx c a ++=≠至多有两个解”的假设中，正确的是（ ） A.至少有两个解 B.有且只有两个解 C.至少有三个解D.至多有一个解3.—个物体的运动方程为21s t t =-+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（ ） A.6米/秒B.7米/秒C.8米/秒D.9米/秒4.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.在数列|{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭由此归纳出{}n a 的通项公式 B.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C.某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D.两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒5.已知随机变量8ξη+=，若()10,0.4B ξ，则()(),E D ηη分别是（ ）A ．6和5.6B ．4和2.4 C. 6和2.4 D ．4和5.66.用数学归纳法证明某命题时，左式为()()*1cos cos3cos 21,,2n k k Z n N ααααπ++++-≠∈∈在验证1n =时，左边所得的代数式为（ ）A ．12B ．1cos 2α+ C. 1cos cos32αα++ D ．1cos cos3cos52ααα+++7.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A.34 种B.35 种C. 120 种D. 140 种8.()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为（ ）A ．B ． C. D ．9.二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的第二项的系数为，则22a x dx -⎰的值为（ ） A ．3 B ．73 C. 3或73 D ．3或103-10.观察两个变量(存在线性相关关系）得如下数据:则两变量间的线性回归方程为（ ）A ．112y x =+B ．y x = C. 123y x =+ D ．1y x =+11.若()()201822018012201821x a a x a x a x x R -=++++∈，则32018223201811112222a a a a a a ++++=（ ） A ．12018 B ．12018- C.14036 D ．14036- 12.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()g x x =，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．γαβ>>B ．βγα>> C. βαγ>> D ．αβγ>>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数2112ii +++在复平面中对应的点位于第 象限. 14.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若/()()232P a p a ξξ<-=>+，则实数a 等于 ．15.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其 中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 ．16.下列命题中①若()00f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切； ③若z C ∈(C 为复数集），且221z i +-=，则22z i --的最小值是3；④定积分04π-=⎰.正确的有 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,,a b c 均为正数，证明:2222111a b c a b c ⎛⎫+++++≥ ⎪⎝⎭,,a b c 为何值时，等号成立.18.已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。