关于F(y (n),y (n-m))=0型微分方程求解方法
微分方程 09.6.15
上
下
停
积分因子： ( x, y) 0, 使
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
为恰当方程.
找 的方法：① 分项组合法
② 公式法
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0 有积分因子 ( x)
1 (M N ) ( x), 且 ( x) e ( x)dx .
第十二章
微分方程
一、知识网络关系图
一阶方程
类型 1.可分离 变量方程 2.齐次方程 3.线性方程 4.伯努利方程 5.全微分方程
基本概念
高阶方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根
定 系
及其对应项
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
可降阶方程
线性微分 方程
解的结构
欧拉方程
目
回
上
下
停
一阶显示微分方程的初等积分法
(若已知其一个特解 y1( x)) (令 z y y1( x)，化为z的n 2的伯努利方程)
目
回
上
下
停
5º全微分方程： M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
( 恰当)
u u( x, y), 使
d u(x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy (x, y) G
N y x
目
回
上
下
停
可降阶微分方程
1. y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z y(n1),
因此
z f ( x)dx C1
即
同理可得 y(n2) f ( x)dx C1dx C2 f ( x)dx dx C1x C2
(整理)微分方程的例题分析与解法
微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。
，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
第6章-微分方程
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k， 解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出 陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解 设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其 中 k 0 .
u
2
x
2
u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型 ）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0
高等数学：第九章 常微分方程1-2
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
15
5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,
数学微分方程：微分方程的解
数学微分方程：微分方程的解微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、经济、生物等各个领域。
微分方程的解对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、微分方程的定义和分类微分方程是描述自变量、未知函数及其导数（或高阶导数）之间关系的方程。
一般形式如下：\[F(x, y, y', y'', ... , y^{(n)}) = 0\]其中，\(y\) 是未知函数，\(x\) 是自变量，\(y'\) 是 \(y\) 对 \(x\) 的导数，\(y''\) 是 \(y\) 的二阶导数，\(y^{(n)}\) 是 \(y\) 的 \(n\) 阶导数。
\(F\) 是关于 \(x, y, y', y'', ... , y^{(n)}\) 的已知函数。
微分方程根据方程中出现的变量和导数阶数的不同，可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中只包含一元函数的导数，而偏微分方程则包含多元函数的偏导数。
二、微分方程的解法解微分方程是找到满足方程的未知函数。
根据方程的类型和形式的不同，求解微分方程可以采用不同的方法。
1. 可分离变量法当微分方程可以写成如下形式时：\[M(x) \, dx + N(y) \, dy = 0\]其中，\(M(x)\) 和 \(N(y)\) 只是与 \(x\) 和 \(y\) 相关的两个函数，且\(M(x) \neq 0\) 和 \(N(y) \neq 0\)。
此时，我们可以将方程两边分别关于\(x\) 和 \(y\) 进行积分，得到：\[\int M(x) \, dx + \int N(y) \, dy = c\]其中，\(c\) 是常数。
通过求解这两个积分方程，即可得到微分方程的解。
2. 齐次微分方程法当微分方程可以写成如下形式时：\[y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\]其中，\(f\left(\frac{y}{x}\right)\) 是关于 \(\frac{y}{x}\) 的函数。
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程
求解全微分方程的方法主要有两种：分离变量法和恰当微分方程法。
1. 分离变量法：
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的全微分方程，可以将dy和dx分离
到等式两边，然后分别对x和y进行积分。
例如，对于dy/dx=x/y，可以将等式两边乘以y，得到ydy=xdx，然后对两边进行积分，得到y^2/2=x^2/2+C，其中C为常数。
2. 恰当微分方程法：
对于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的全微分方程，如果存在一个
函数f(x,y)，使得∂f/∂x=M和∂f/∂y=N成立，那么该方程就是一
个恰当微分方程。
可以通过求解该函数f(x,y)来求解全微分方程。
具体的求解方法是，首先判断∂M/∂y与∂N/∂x是否相等，如果
相等，则可以令∂f/∂x=M，然后对f(x,y)关于x求偏导，得到
f(x,y)=∫M dx+g(y)，其中g(y)为与x无关的函数，再将该结果
代入∂f/∂y=N中，解出g'(y)，再对g'(y)关于y积分，得到g(y)，最终得到函数f(x,y)，从而求解全微分方程。
需要注意的是，不是所有的微分方程都可以通过以上两种方法求解，有些微分方程可能需要借助其他的数学工具或者数值解法来求解。
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
常微分方程第一章
常微分⽅程第⼀章第⼀章⼀阶微分⽅程1.1学习⽬标：1. 理解微分⽅程有关的基本概念, 如微分⽅程、⽅程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分⽅程的三种主要⽅法: 解析⽅法, 定性⽅法和数值⽅法.2. 掌握变量分离法，⽤变量替换将某些⽅程转化为变量分离⽅程, 掌握⼀阶线性⽅程的猜测检验法, 常数变易法和积分因⼦法,灵活运⽤这些⽅法求解相应⽅程, 理解和掌握⼀阶线性⽅程的通解结构和性质.3. 能够⼤致描述给定⼀阶微分⽅程的斜率场, 通过给定的斜率场描述⽅程解的定性性质; 理解和掌握欧拉⽅法, 能够利⽤欧拉⽅法做简单的近似计算.4. 理解和掌握⼀阶微分⽅程初值问题解的存在唯⼀性定理, 能够利⽤存在唯⼀性定理判别⽅程解的存在性与唯⼀性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解⾃治⽅程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定⾃治⽅程的相线, 判断平衡点类型进⽽定性分析满⾜不同初始条件解的渐近⾏为.6. 理解和掌握⼀阶单参数微分⽅程族的分歧概念, 掌握发⽣分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分⽅程族的分歧图解, 利⽤分歧图解分析解的渐近⾏为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建⽴与实际问题相应的常微分⽅程模型, 并能够灵活运⽤本章知识进⾏模型的各种分析.1.2基本知识： (⼀) 基本概念1. 什么是微分⽅程:联系着⾃变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（⼀般是指等式），称之为微分⽅程. 2. 常微分⽅程和偏微分⽅程:(1) 如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程,例如 )(22t f cy dt dy b dt y d =++, 0)(2=++y dtdyt dt dy .(2) 如果在微分⽅程中，⾃变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分⽅程为偏微分⽅程. 例如 0222222=??+??+??zTy T x T , t T x T ??=??422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的⽅程或微分⽅程均指常微分⽅程. 3. 微分⽅程的阶数: 微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶导数的阶数. 例如，)(22t f cy dt dyb dty d =++ 是⼆阶常微分⽅程； 0222222=??+??+??zTy T x T 与t T x T ??=??422是⼆阶偏微分⽅程. 4. n 阶常微分⽅程的⼀般形式：(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=,这⾥(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，⽽且⼀定含有n n d y dt的项；y 是未知函数，t 是⾃变量. 5. 线性与⾮线性：（1）如果⽅程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt =的左端是y 及,...,n n dy d ydt dt的⼀次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=为n 阶线性微分⽅程. （2）⼀般n 阶线性微分⽅程具有形式：1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt---++++= 这⾥1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.（3）不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程. （4）举例：⽅程)(22t f cy dt dyb dt y d =++是⼆阶线性微分⽅程；⽅程0sin 22=+φφl gdtd 是⼆阶⾮线性微分⽅程；⽅程0)(2=++y dtdy t dt dy 是⼀阶⾮线性微分⽅程. 6. 解和隐式解：如果将函数()y t ?=代⼊⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ?=为⽅程的解. 如果关系式,0t yΦ=（）决定的隐函数()y t ?=是⽅程的解，则称,0t yΦ=（）为⽅程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n 个独⽴的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ?=称为n 阶⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独⽴性是指，对?及其 1n -阶导数11,...,n n d d dt dt--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可⽐⾏列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)120n n n n n nc c c c c c c c c ?---??????'''??????≠??????L L M M L M L.为了确定微分⽅程⼀个特定的解，通常给出这个解所必须满⾜的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, n 阶微分⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt---====，，这⾥(1)(1)0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满⾜初始条件的解称为微分⽅程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(⼆) 解析⽅法1．变量分离⽅程形如()()dyf t y dt=的⽅程为变量分离⽅程，其中(),()f t y ?分别为,t y 的连续函数.⽅程解法如下：若()0y ?≠，则()()()()dyf t dt y dyf t dt cy ??==+??上式确定⽅程的隐式通解. 如果存在0y ，使得()00y ?=，则0y y =也是⽅程的解. 2. 可化为变量分离⽅程的⽅程(1) 齐次⽅程形如 ()dy yg dt t=的⽅程为齐次⽅程，()g u 为u 的连续函数. 解法如下：做变量替换y u t =，即y ut =，有dy dut u dt dt=+，从⽽原⽅程变为()du t u g u dt +=，整理有()du g u udt t-=，此为变量分离⽅程，可求解. (2) 形如111222a tb yc dy dt a t b y c ++=++的⽅程, 其中121212,,,,a a b b c c , 为常数. ●111222a b c k a b c ===的情形. 此时⽅程化为,dyk dt=可解得y kt c =+. ●11220,a b a b =即1122a bk a b ==的情形: 令 22,u a t b y =+ 则有 122222ku c du dya b a b dt dt u c +=+=++ 此为变量分离⽅程. ●11220a b a b ≠的情形对120c c ==的情况, 直接做变量替换y u t =. 当12,c c 不全为零, 求 11122200a t b y c a t b y c ++=??++=?的解为t y αβ=??=?. 令 T t Y y αβ=-??=-?, 则⽅程组化为112200a T bY a T b Y +=??+=?. 原⽅程化为12()a T bY dY Yg dT a T bY T+==+的齐次⽅程可求解. 3．⼀阶线性微分⽅程(1) ⼀般形式：()()()0dya tb t yc t dt++=，若()0a t ≠，则可写成()()dyP t y Q t dt=+的形式. (2) ⼀阶齐次线性微分⽅程：()dyP t y dt =，通解为(),P t dt ce c ? 为任意常数.(3) ⼀阶⾮齐次线性微分⽅程：()()dyP t y Q t dt=+，()0Q t ≠.(4) 齐次线性微分⽅程的性质性质1 必有零解 0y =;性质2 通解等于任意常数c 与⼀个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分⽅程的解. (5) ⾮齐次线性微分⽅程的性质性质1 没有零解;性质2 ⾮齐次⽅程的解加上对应齐次⽅程的解仍为⾮齐次⽅程的解; 性质3 任意两个⾮齐次⽅程的解的差是相应齐次⽅程的解.(6) ⼀阶⾮齐次线性微分⽅程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 ()P t 为常数, 此时⽅程为()dyay Q t dt=+, a 为常数. 对应齐次⽅程的通解为atce , 只需再求⼀个特解, 这时根据()Q t 为特定的函数,可猜测不同的形式特解. 事实上, 当()BtQ t Ae =, ,A B 为给定常数, 且B a ≠时可设待定特解为BtCe , ⽽当B a =时, 可设特解形式为BtCte , 后代⼊⽅程可确定待定常数C . 当()Q t 为cos ,sin At At 或它们的线性组合时, 其中A 为给定常数. 这时可设待定特解为cos sin B At C At +代⼊⽅程后确定,B C 的值. 当()Q t 具有多项式形式1011n n n n a t a t a t a --++++L , 其中01,,n a a a L 为给定常数且00a ≠, 这时可设待定特解为1011n n n n b t b t b t b --++++L 代⼊⽅程可求得,0,1,,i b i n = L 的值. 对于()Q t 有上述⼏种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令()()P t dty c t e ?=，代⼊⽅程，求出()c t 后可求得通解为()()(())P t dtP t dty e Q t e dt c -?=+.(iii) 积分因⼦法: ⽅程改写为()()dyP t y Q t dt-=, 将()P t dt e µ-?=, 乘⽅程两端得 ()()()()()P t dt P t dtP t dt dy e e P t y Q t e dt---?-= 即 ()()()()P t dtP t dt d ye Q t e dt--?=, 从⽽通解为 ()()()P t dt P t dt ye Q t e dt c --?? =+?，即 ()()(())P t dt P t dt y e Q t e dt c -??= +?.注意, ⾮齐次线性微分⽅程通解的结构是: ⾮齐次线性微分⽅程的通解等于其对应的齐次线性微分⽅程的通解加上⾮齐次线性微分⽅程的⼀个特解.4. 伯努利(Bernoulli)⽅程. 形如()()n dyP t y Q t y dt=+的⽅程, 其中 n 是常数且0,1,(),()n P t Q t ≠ 是连续函数, 称为伯努利⽅程. 伯努利⽅程可通过变量替换 1nz y-=化为(1)()(1)()dyn P t z n Q t dt=-+-, 这是关于未知函数z 的线性⽅程, 可求其通解.(三) 定性⽅法与数值⽅法：1. 斜率场：⼀阶微分⽅程(,)dyf t y dt =的解()y t ?=代表ty 平⾯上的⼀条曲线，称之为微分⽅程的积分曲线. 微分⽅程(,)dyf t y dt=的通解()y t ?=，c 对应于ty 平⾯上的⼀族曲线，称之为微分⽅程的积分曲线族. 满⾜初始条件00()y t y =的特解就是通过点00(,)t y 的⼀条积分曲线. ⽅程(,)dy f t y dt =的积分曲线上的每⼀点(,)t y 处的切线斜率dydt刚好等于函数(,)f t y 在这点的值. 也就是，积分曲线的每⼀点(,)t y 以及这点上的切线斜率dydt恒满⾜⽅程；反之，如果在⼀条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)f t y 在这点的值，则这⼀条曲线就是⽅程的积分曲线. 这样，可以⽤(,)f t y 在ty 平⾯的某个区域D 内定义过各点的⼩线段，其斜率为(,)f t y ，⼀般称这样的⼩线段为斜率标记. ⽽对ty 平⾯上D 内任⼀点(,)t y , 有这样⼀个⼩线段与之对应, 这样在D 内形成⼀个⽅向场, 称为斜率场. 斜率场是⼏何直观上描述解的常⽤⽅法2. 欧拉⽅法：求微分⽅程初值问题00(,)()dyf t y dty t y== 的解，可以从初始条件00()y t y =出发，按照⼀定的步长t ? 依照某种⽅法逐步计算微分⽅程的近似解()n n y y t =, 这⾥0n t t n t =+?这样求出的解称为数值解. 利⽤欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+? =+?,可求初值问题的近似解，这种⽅法称为欧拉⽅法.欧拉⽅法具有⼀阶误差精度 .如果我们先⽤欧拉公式求出近似解,再利⽤梯形公式进⾏校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度,具体为预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+?,校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++?, 这种⽅法称为改进的欧拉⽅法.(四) 解的存在性、唯⼀性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz ）条件: 函数(,)f t y 称为在区域2D ?R 内关于y 满⾜利普希茨条件，是指如果存在常数0L >，使得不等式1212(,)(,)f t y f t y L y y -≤-对于所有的12(,),(,)t y t y D ∈都成⽴, 其中L 称为利普希茨常数. 2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << < 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y== 的解. (2) 解的唯⼀性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <且关于y 满⾜利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈并且12(),()y t y t 是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==在区间00(,)t t εε-+内的两个解，那么对任意的00(,)t t t εε∈-+,12()()y t y t =,即解是唯⼀的.注记1: 存在性定理和唯⼀性定理结合在⼀起称为初值问题解的存在唯⼀性定理，叙述如下：设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << < 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y== 的唯⼀解. 因⽽当我们判断初值问题解的存在唯⼀性时，要检查(,)f t y 需要满⾜的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常⽤(,)f t y 在2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ ≤≤ ≤≤R上对y 有连续偏导数来代替. 事实上，如果在D 上y f ??存在且连续，则yf在D 上有界. 设在D 上L yf≤??, 这时 2121212(,())(,)(,)f t y y y f t y f t y y y yθ?+--=-?21y y L -≤,其中 12(,),(,),01t y t y D θ∈ <<. 但反过来满⾜利普希茨条件的函数(,)f t y 不⼀定有偏导数存在. 例如(,)||f t y y = 在任何区域内都满⾜利普希茨条件，但它在0y =处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ?=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==在区间00(,)t h t h -+内的解，其中 0h >,那么，对任意给定的0>ε，必能找到正数(,)0h δδε=>，使得当2220000t t y y δ-+-<（）（）时，初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==的解00(,,)y t t y ?=在区间00(,)t h t h -+内也有定义，并且0000|(,,),,|,t t y x t y ??ε-<（） 00(,)t t h t h ∈-+. (4) 解对初值的连续性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ?=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==的解, 那么00(,,)t t y ?作为00,,t t y 的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当⼀个微分⽅程初值问题的解存在, 唯⼀并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分⽅程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==, 只要在00(,)t y 所在的区域内,(,)f t y 连续并且关于y 满⾜利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) ⾃治⽅程的平衡点与相线1. ⾃治⽅程当⼀阶微分⽅程(,)dy f t y dt =的右端项只是y 的函数⽽与⾃变量t ⽆关, 即()dy f y dt=时, 称为⾃治⽅程.2. 平衡解与平衡点对⾃治⽅程()dyf y dt=⽽⾔, 若()0f y =有解0y y =, 则称 0()y t y ≡是⽅程的平衡解, ⽽点0y 称为⽅程的⼀个平衡点. 3. 相线相线是仅仅对⾃治⽅程()dyf y dt=⽽⾔的⼀种简化的斜率场. ⾃治⽅程的斜率场在⽔平直线上的斜率标记是⼀样的, 这样只要知道⼀条竖直直线上的斜率标记,我们就可以知道整个斜率场. 因⽽, 在⼀个竖直的直线上, 我们⽤向上的箭头表⽰正的导数, ⽤向下的箭头表⽰负的导数. 对于导数为零的点, ⽤实⼼圆点来标记它, 则形成该⾃治⽅程的相线. 4. 画相线的基本步骤 (1) 画出y -线(竖直线),(2) 找到并在y -线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点 (3) 找到()0f y >的区间, 在这些区间上画上向上的箭头, (4) 找到()0f y <的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题0(),(0)dyf y y y dt= =解的渐近⾏为 (1) 趋向于平衡点, 如01()(1),2f y y y y =- =;(2) 在⽆限时间内趋于⽆穷, 如0(),1f y y y = =;(3) 在有限时间内趋于⽆穷(爆破), 如20(),1f y y y = =;(4) 在有限时间内停⽌(导数趋于⽆穷), 如 01(),1f y y y=- =. 6. 平衡点的分类对于⾃治⽅程()dyf y dt=, 如果()f y 在(,)-∞+∞ 内连续, 那么它的解当t 增加时要么(在有限或⽆限时间⾥)趋于+∞或-∞, 要么渐近趋于平衡点. 因⽽,平衡点在⾃治⽅程的研究中起着重要的作⽤. (1) 汇对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都渐近趋于0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为汇, 它是稳定的. (2) 源对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都远离0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为源,它是不稳定的. (3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的. 7. 判断平衡点类型的线性化⽅法 1. 如果0y 是⾃治⽅程()dyf y dt=的⼀个平衡点, 即0()0f y =, 那么 (1) 0y 是源当且仅当()f y 在0y 附近严格单调增加; (2) 0y 是汇当且仅当()f y 在0y 附近严格单调递减. 2. (线性化定理) 如果0y 是⾃治⽅程()dyf y dt=的⼀个平衡点, 即0()0f y =, 并且()f y 是连续可微的, 那么 (1) 若0()0f y '> 则0y 是源; (2) 若0()0f y '<, 则0y 是汇;(3) 若0()0f y '=, 则需要进⼀步的信息决定其类型.(六) 分歧⼀阶微分⽅程解的渐近⾏为随参数变化发⽣了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分⽀, 分叉).1. 分歧发⽣的条件对于单参数微分⽅程族()(,)dyf y f y dtµµ==, 0µµ=是⼀个分歧值的必要条件是: 存在平衡点0y , 使得 0000(,)(,)0ff y y yµµ?==?. 这样我们要找分歧点可以通过求解⽅程组 (,)0(,)0f y fy y µµ=??=?, 得到解 00(,)y µ,0µ为可能的分歧值, ⽽0y 是可能发⽣分歧的平衡点. 2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是y µ 平⾯上⽅程在分歧值附近的所有相线的图, ⽤以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化. (1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当µ从左到右经过分歧值0µ时, ⽅程的平衡点从两个变为⼀个再变为不存在, 这种分歧⼀般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当µ从右到左经过分歧值0µ=时, ⽅程的平衡点由三个变为⼀个, 这种分歧⼀般称之为⾳叉分歧.图 1-1 鞍结点分歧图 1-2 ⾳叉分歧图 1-3 跨越分歧图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当0µ= 时, ⽅程有⼀个平衡点; 当0µ≠ 时, ⽅程有两个平衡点. 0µ=是⼀个分歧值. 虽然在分歧值的两侧⽅程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当0µ> 时, 0y =是⼀个汇,它是稳定的; 当0µ<时, 0y =是⼀个源,它是不稳定的.这类分歧⼀般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 µ从左到右变化时,相应的⽅程平衡点依次由⼀个变为两个,三个,两个再变回⼀个, 这种分歧⼀般称之为复合分歧.(七) ⼀阶微分⽅程的应⽤1. 增长和衰减问题设 ()S t 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率dS dt与当前数⽬成正⽐, 其⽐例系数为 k , 则有dS kS dt =, 或 0dS kS dt-=. 设()S t 可微, 因⽽是连续函数. Malthus ⼈⼝模型满⾜上述微分⽅程, 虽然对⼈⼝问题,()S t 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在⼀定情况下提供了很好的近似对某⼀⽣物种群进⾏研究时, 该⽣物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量N , 称为最⼤承载量, ⽤以表⽰⾃然资源和环境条件所能容纳的最⼤数量, 并且假定（1）当基数很⼩时，增长率与当前数成正⽐；（2）当基数很⼤，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的.此时⽅程可改写为(1)dS Sk S dt N=-, 称为具有增长率k 和最⼤承载量N 的Logistic 模型，该模型最早由荷兰⽣物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题⽜顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正⽐, 设 T 是物体的温度, T 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为dTdt, ⽜顿冷却定律可表⽰为 ()dTk T T dt=--, 其中k 是正的⽐例系数, ⽽负号表⽰在冷却过程中, 物体温度 T ⼤于周围环境温度T , 变化率0dT dt <. 在加热过程中0dT dt>, 此时T T <. 3. 稀释问题⼀容器最初容纳0V 升盐⽔溶液, 其中含盐 a 克. 每升含盐 b 克的盐⽔溶液以e 升/分的速度注⼊,同时, 搅拌均匀的溶液以f 升/分的速度流出, 问在任何时刻 t , 容器中的含盐量.设Q 为任何时刻容器中的含盐量. Q 的变化率dQdt等于盐的注⼊率减去流出率. 盐的注⼊率是 be 克/分. 要决定流出率, ⾸先计算在时刻t , 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积0V 加上注⼊的体积 et 后减去流出的体积ft . 因此, 在任⼀时刻t , 盐⽔的体积是 0V et ft +-. 在任何时刻的浓度是0Q V et ft +-, 由此得流出率为 0QfV et ft+-/分.于是得到微分⽅程0dQ Qf be dt V et ft =-+-, 即 0dQ fQ be dt V et ft+=+-, 这是⼀个⼀阶线性⽅程.4. 电路⼀个简单的 RC 回路是包含有电阻R (欧姆), 电容C (法拉)和电源V (伏特),如图1-5.图1-5 RC 电路图1-6 RL 电路由电路学知识，C 的电压()v t 与电阻R 的电压之和应为电源的电压()V t . 电路中的电流I (安培)为 ()dQ dCv t dv I Cdt dt dt ===, 其中 Q 为电量从⽽R 处的电压为 dvRI RC dt=, 由此我们可以建⽴RC 电路的模型如下：()dv RC v V t dt +=, 即 ()dv V t vdt RC-=. 对于⼀个包含有电阻R (欧姆), 电感L (亨利)和电源V (伏特)的RL 回路,如图1-6. 电路中的电流应满⾜的基本⽅程为 dI R VI dt L L+=.(⼋) 种群⽣态学中的模型设()y t 表⽰⼀个⽣物种群的数量, t 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型dyky dt=. Malthus 模型的解()(0)kty t y e =预测了种群数量的指数增长.由于种群数量⼤的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数⽬增⼤⽽减⼩，因此更为合理的假设是()dyyf y dt = (*) 这⾥()f y 是单位增长率，因为dy dt 为增长率，y 是种群数量, ⽽()/dyf y y dt=. 当考虑种群数量的变化时.对()f y ⽽⾔, 其代数形式并不重要, ⽽关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进⾏⼤致分类:(1) 若()f y 在[0,)+∞上是递减的，称(*)为 Logistic 型； (2) 若()f y 在[0,)+∞上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若()f y 在[0,)+∞上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1考虑微分⽅程3220dyy y y dt=--, 问 (1) y 为何值时, ()y t 将保持不变?(2) y 为何值时, ()y t 将增加?(3) y 为何值时, ()y t 将减少?解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt<时, ()y t 将减少. 由3220dyy y y dt=--知,(1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 例2假定在鄱阳湖中⼀种鱼类的数量()S t 随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为k , 最⼤承载量为N , 即有(1)dS Sk S dt N=-. 如果每年要从湖中捕获⼀定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之⼀? (3) 捕获量与总量的平⽅根成正⽐?解: (1)(1)10dS Sk S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.(3) (1)dS Sk S l S dt N=--, 其中 l 是捕获量与总量平⽅根的⽐例系数.例3求解⽅程dy tdt y=- 解：变量分离得 ydt tdy =-.两边积分 22222y t c =-+. 通解为 22t y c +=, c 为任意正常数.例4求解⽅程231dy y dx xy x y+=+ 解：变量分离得221(1)ydy dxy x x =++, 两边积分2221()1(1)1ydy dx xdx y x x x x ==-+++.即22111ln(1)ln ||ln(1)22y x x c +=-++, 1c 为任意常数, 整理得222(1)(1)y x cx ++=, 12c c e =为任意正的常数.例5求解⽅程tan dy yxy dx x -=. 解: 将⽅程改写为 tan dy y ydx x x=+, 这是齐次⽅程,做变量替换yu x =，即y ux =，有dy du x u dx dx=+，从⽽原⽅程变为tan dux u u u dx+=+ 即tan du udx x=利⽤分离变量法求得 sin u cx =, 代回原变量得通解为sin ycx x =, c 为任意常数例6 求解⽅程22dyx y x y dx=+-.解: ⽅程改写为2sgn 1()dy y y x dx x x=+?- 令u=y x ，则y ux =，从⽽2sgn 1du x u u x u dx+=+?- 当210u -≠时，2sgn 1du xdx xu =-, arcsin sgn ln u x x c =?+, 即 arcsinsgn ln yx x c x=?+, c 为任意常数．此外，还有解210u -=，即22y x =．例7求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- 解: 解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=?的解为12x y =??=?. 令 12X x Y y =-??=-? , 则原⽅程化为 dY X Y dX X Y -=+.令 Y u X =,则可化为变量分离⽅程 21,12dX u du X u u +=-- 解得 222Y XY X c --=, 代回原变量有22262y xy x y x c +---=, c 为任意常数. 例8求解⽅程2()dyy b t dt-=, 其中 (1) 2()1b t t t =++, (2) 4()tb t e = (3) 2()3tb t e = (4) ()cos3b t t =(5) 422()3cos31t t b t e e t t t =+++++解: 对应齐次⽅程的通解为 2ty ce =, 下⾯⽤猜测-检验法求特解(1) 设 21y At Bt C =++ 代⼊221dyy t t dt-=++, 有 2222()1At B At Bt C t t +-++=++解得 1,1,12A B C =- =- =-, 从⽽21112y t t =---, 原⽅程的通解为 22112ty ce t t =---, c 为任意常数. (2) 设 42ty Ae = 代⼊ 42t dy y e dt-=, 有44442t t t Ae Ae e -=解得 12A =, 从⽽4212ty e =, 原⽅程的通解为 2412tt y ce e =+, c 为任意常数.(3) 不能设2tAe 形式的特解, 因为它是相应齐次⽅程的解,不可能是⾮齐次⽅程的解,设 23ty Ate = 代⼊22t dyy e dt-=, 有 2222223t t t t Ate Ae Ate e +-=解得 3A =, 从⽽233ty te =, 原⽅程的通解为2223(3)t t ty ce te c t e =+=+, c 为任意常数.(4) 设 4cos3sin 3y A t B t =+ 代⼊2cos3dyy t dt-=, 有 3sin33cos32(cos3sin3)cos3A t B t A t B t t -+-+=有 2310320A B A B -+-=??--=?, 解得 23,1313A B =- =,从⽽423cos3sin 31313y t t =-+, 原⽅程的通解为 223cos3sin 31313ty ce t t =-+, c 为任意常数.(5) 根据叠加原理, 由前⾯4个⼩题知⽅程有特解422512313cos3sin 31213132t t y e te t t t t =+-+---原⽅程的通解为242212313cos3sin 31213132t t t y ce e te t t t t =++-+---,c 为任意常数.例9求⽅程22dy y dx x y =-的通解. 解: 将⽅程改写为222dx x y x y dy y y-==-. 求齐次线性微分⽅程2dx x dy y=, 得通解为2x cy =. (常数变易法) 令 2()x c y y =代⼊原⽅程得()1,()ln ||dc y c y y c dy y=- =-+, 从⽽可得原⽅程的通解为2(ln ||)x y y c =-+, c 为任意常数.例10 求⽅程26dy yty dt t=-的通解. 解: 此为 2n =的伯努利⽅程. 令 1z y -=可得6dz z t dt t=-+，此为线性⽅程可求通解为 268c t z t =-+, 代回原变量得2618c t y t =-+, 即688t t c y -=, c 为任意常数. 此外, 原⽅程还有解0y =. 例11 ⽤积分因⼦法求解⽅程32(1)1dy y t dt t =+++. 解: ⽅程改写为 32(1)1dy y t dt t -=++, 积分因⼦为 221()(1)dtt t e t µ- -+?==+,乘⽅程两端得 23(1)2(1)1dyt t y t dt--+-+=+, 即2(1)1d t y t dt -+=+, 有 421(1)(1)2y t c t =+++, c 为任意常数.例12 若()f t 连续且0()()10tf t f s ds t = , ≠?, 试求函数()f t 的⼀般表达式.解: 设0()()tF t f s ds =?, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dFFFdF dt dt= =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, ⼜(0)0F =, 得0c =. 从⽽ ()2F t t =±,进⽽ 1()()2f t F t t'==±. 例13 求具有性质 ()()()1()()y t y s y t s y t y s ++=- 的函数 ()y t , 已知(0)y '存在.解: ⾸先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-,化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义。
常微分方程考研讲义第二章一阶微分方程的初等解法
常微分⽅程考研讲义第⼆章⼀阶微分⽅程的初等解法第⼆章、⼀阶微分⽅程的初等解法[教学⽬标]1. 理解变量分离⽅程以及可化为变量分离⽅程的类型（齐次⽅程），熟练掌握变量分离⽅程的解法。
2. 理解⼀阶线性微分⽅程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努⼒⽅程的求解。
3. 理解恰当⽅程的类型，掌握恰当⽅程的解法及简单积分因⼦的求法。
4. 理解⼀阶隐式⽅程的可积类型，掌握隐式⽅程的参数解法。
[教学重难点] 重点是⼀阶微分⽅程的各类初等解法，难点是积分因⼦的求法以及隐式⽅程的解法。
[教学⽅法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离⽅程，齐次⽅程以及可化为变量分离⽅程类型，⼀阶线性微分⽅程及其常数变易法，伯努利⽅程，恰当⽅程及其积分因⼦法，隐式⽅程。
[考核⽬标]1.⼀阶微分⽅程的初等解法：变量分离法、⼀阶线性微分⽅程的常数变易法、恰当⽅程与积分因⼦法、⼀阶隐⽅程的参数解法。
2.会建⽴⼀阶微分⽅程并能求解。
§1 变量分离⽅程与变量变换1、变量分离⽅程1) 变量分离⽅程形如()()dyf xg y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）的⽅程，称为变量分离⽅程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解⽅法如果()0g y ≠，⽅程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+??（2.2）把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()()f x y ?的某⼀个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满⾜⽅程（2.1）.因⽽（2.2）是如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在⽅程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解⽅程dy x dx y=- 解将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因⽽，通解为22x y c += 这⾥的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解⽅程2cos dyy x dx= 并求满⾜初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得到 2cos dyxdx y= 两边积分，即得1sin x c y-=+因⽽，通解为1sin y x c=-+这⾥的c 是任意的常数.此外，⽅程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代⼊通解中确定常数c ，得到 1c =- 因⽽，所求的特解为11sin y x=-例3 求⽅程 ()dyP x y dx的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= 两边积分，即得ln ()y P x dx c =+?这⾥的c 是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx cy e +?=即()P x dxc y e e ?=±令ce c ±=，得到()P x dxy ce ?=（2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因⽽，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数. 注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.⽅程的通解不⼀定是⽅程的全部解,有些通解包含了⽅程的所有解，有些通解不能包含⽅程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分⽅程的通解表⽰的是⼀族曲线，⽽特解表⽰的是满⾜特定条件00()y x y =的⼀个解，表⽰的是⼀条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离⽅程的类型1）.形如 dy y g dx x ??=（2.5）的⽅程，称为齐次⽅程，这⾥的()g u 是u 的连续函数. 另外,ⅰ)对于⽅程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡事实上，取1t x=，则⽅程可改写成形如(2.5)的⽅程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y== ⅱ)对⽅程(,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则⽅程也可改写成形如(2.5)的⽅程(1,)dy y f dx x= 对齐次⽅程（2.5）利⽤变量替换可化为变量分离⽅程再求解. 令yu x= （2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代⼊（2.5），则原⽅程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=（2.8）⽅程（2.8）是⼀个可分离变量⽅程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原⽅程（2.5）的解.例4 求解⽅程dy y y tg dx x x=+ 解这是齐次⽅程，以,y dy duu x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgudx x=（2.9）分离变量，即有dx= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这⾥的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，⽅程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，⽅程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原⽅程的通解为sinycx x =例5 求解⽅程(0).dyxy x dx+=<解将⽅程改写为(0)dy y x dx x=<这是齐次⽅程，以,y dy du u x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为dux dx=（2.11）分离变量，得到dxx = 两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>(2.12)这⾥的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u = 注意，此解不包括在通解（2.12）中.原⽅程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ?-+-+>=?它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次⽅程dy y g dx x ??=的求解⽅法关键的⼀步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu x dx dx=+，再将其代⼊齐次⽅程使⽅程变为关于,u x 的可分离⽅程.2.齐次⽅程也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代⼊齐次⽅程dxx f dy y ??=使⽅程变为,v y 的可分离⽅程⼩结：这⼀讲我们主要讲解了⼀阶微分⽅程的可分离变量法和齐次⽅程的dy y g dx x ??=形状的解法.⽽这⼀齐次⽅程通过变量替换任然可化为可分离⽅程，因⽽，⼀定要熟练掌握可分离⽅程的解法. 2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13）的⽅程经变量变换化为变量分离⽅程，这⾥的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形. 这时⽅程（2.13）属齐次⽅程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +??== ?+??此时，令yu x=，即可化为变量可分离⽅程. （2）0a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则⽅程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则⽅程化为22()dua b f u dx=+ 这是⼀变量分离⽅程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时⽅程（2.13）右端的分⼦、分母都是,x y 的⼀次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=??++=?（2.14）代表xy 平⾯上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进⾏坐标平移，将坐标原点(0,0)移⾄(,)αβ就⾏了，若令X x Y y αβ=-??=-?（2.15）则（2.14）化为11220a X bY a X b y +=??+=?从⽽（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +??== ?+??（2.16）因此，得到这种情形求解的⼀般步骤如下：(1)解联⽴代数⽅程（2.14），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.15）将⽅程化为齐次⽅程（2.16）； (3)再经变换Y将（2.16）化为变量分离⽅程； (4)求解上述变量分离⽅程，最后代回原变量可得原⽅程（2.13）的解. 上述解题的⽅法和步骤也适⽤于⽐⽅程（2.13）更⼀般的⽅程类型111222a x b y c dyf dx a x b y c ??+== ?++??()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyx f xy dx= 2dy y xf dx x= ?以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等⼀些⽅程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离⽅程.例6 求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- （2.17）解解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=? 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+??=+?代⼊⽅程（2.17），则有 dY X YdX X Y-=+ （2.18）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u22ln ln 21X u u c=-+-+22(21)c X u u e +-=± 记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.18）的解.因此⽅程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.3、应⽤举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所⽰的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升⾼，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第⼆定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ dI Cu C dt dt dt=== （2.20）将（2.20）代⼊（2.19），得到c u 满⾜的微分⽅程 cc du RC u E dt+= （2.21）这⾥R 、C 、E 都是常数.⽅程（2.21）属于变量分离⽅程.将（2.21）分离变量，得到C C du dtu E RC=-- 两边积分，得到11ln C u E t c RC-=-+ 即1112t t c RCRCC u E e e c e---=±=这⾥12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代⼊，得到2c E =-. 所以 1(1)t RC C u E e -=-这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增⼤，且当t →+∞时，C u E →，在电⼯学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实⽤上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进⾏.例8 探照灯反射镜⾯的形状在制造探照灯的反射镜⾯时，总是要求将点光源射出的光线平⾏地射出去，以保证照灯有良好的⽅向性，试求反射镜⾯的⼏何形状.解取光源所在处为坐标原点，⽽x 轴平⾏于光的反射⽅向，设所求曲⾯由曲线()y f x z =??=?（2.23）绕x 轴旋转⽽成，则求反射镜⾯的问题归结为求xy 平⾯上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任⼀点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：⼊射⾓等于反射⾓，容易推知12αα= 从⽽OM ON = 注意到2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满⾜的微分⽅程式dy dx =（2.24）这是齐次⽅程.由2.12知引⼊新变量xu y=可将它化为变量分离⽅程.再经直接积分即可求得⽅程的解.对于⽅齐次⽅程（2.24）也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程也可由x yv =得dx dvv y dy dy=+代⼊（2.24）得到sgn dvv y v y dysgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+（2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平⾯曲线，它是抛物线，因此，反射镜⾯的形状为旋转抛物⾯22(2)y z c c x +=+ （2.27）⼩结: 本节我们主要讨论了⼀阶可分离微分⽅程和齐次微分⽅程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性⽅程与常数变易法1、⼀阶线性微分⽅程()()()0dya xb x yc x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成()()dyP x y Q x dx=+ （2.28）对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这⾥假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dyP x y dx= （2.3）称为⼀阶齐线性⽅程.若()0Q x ≠，（2.28）称为⼀阶⾮齐线性⽅程.2、常数变易法（2.3）是变量分离⽅程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ?=（2.4）这⾥c 是任意的常数.下⾯讨论⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的求解⽅法.⽅程(2.3)与⽅程(2.28)两者既有联系⼜有区别,设想它们的解也有⼀定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令 ()()P x dx（2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx=+ （2.30）将（2.29）、（2.30）代⼊（2.28），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx-?= 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -?=+?（2.31）这⾥c 是任意的常数..将（2.31）代⼊（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--=+ +（2.32）这就是⽅程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的⽅法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是⼀种变量变换的⽅法.通过变换（2.29）可将⽅程（2.28）化为变量分离⽅程.注: ⾮齐线性⽅程的通解是它对应的齐线性⽅程的通解与它的某个特解之和. 例1 求⽅程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这⾥的n 为常数. 解将⽅程改写为 (1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33）先求对应的齐次⽅程01dy n y dx x -=+ 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35）以（2.34）、（2.35）代⼊（2.33），再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代⼊公式（2.34），即得原⽅程的通解 (1)()n x y x e c =++ 这⾥c 是任意的常数. 例2 求⽅程22dy ydx x y=-的通解. 解原⽅程改写为2dx x y dy y=- （2.36）把x 看作未知函数，y 看作⾃变量，这样，对于x 及dxdy来说，⽅程（2.36）就是⼀个线性⽅程了.先求齐线性⽅程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代⼊（2.36），得到()ln c y y c =-+ 从⽽，原⽅程的通解为2(ln )x y c y =-这⾥c 是任意的常数,另外0y =也是⽅程的解. 特别的，初值问题00()()()dyP x y Q x dxy x y ?=+=? 的解为00()()()=()xxsx x x P d P d P d xx y ceeQ s eds ττττττ-+?例3 试证（1）⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性⽅程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的⾮零解，⽽()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）⽅程（2.3）任⼀解的常数倍或两解之和（或差）仍是⽅程（2.3）的解. 证（1）设12,y y 是⾮齐线性⽅程的两个不同的解，则应满⾜⽅程使1122()(1)()(2)dy py Q x dxdy py Q x dx=+=+（1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=-说明⾮齐线性⽅程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性⽅程的解.（2）因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论成⽴.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成⽴.3、Bernoulli ⽅程。
微分方程基本概念
微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。
一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。
二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。
常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。
一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。
根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。
将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。
通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。
4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。
第十二章 微分方程习题课
它的特征方程 解得两个不同的实根
故齐次方程的通解为
r 2 3r 2 0
r1 1, r2 2
Y C1e x C2e2 x
x 由于 f ( x) 5 是Pm ( x)e 型(其中 Pm ( x) 5, 0 )，且 0
0 y * ae a ，求出 不是特征方程根，所以应设特解
y y 2 y (1 2 x)e x
y Y y C1e x C2e2 x xe x
【例5】求方程 y 3 y 2 y 5 满足初始条件 y(0) 1 , y(0) 2 的特解。
分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结 构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解. 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，
1．定义
y py qy 0 (2)二阶常系数线性非齐次微分方程: y py qy f ( x )
(1)二阶常系数线性齐次微分方程： 2．解的结构性质 (1)若 y1 和 y2 是齐次方程的解,则 C1 y1 C2 y2是齐次方程的解。 (2)若 y1 和 y2 是齐次方程的线性无关解,则 C1 y1 C2 y2 是齐次 方程的通解。
解题方法流程图
求 y py qy f ( x ) 通解 特征方程：r 2 pr q 0 Yes 有实根 No
Yes
r1 r2
No
r1,2 i
Y C1er1x C2er2 x
f ( x ) 的类型
Yes 混合型 No
Y (C1 C2 x)e r1 x
可降阶的高阶微分方程
解题方法流程图
No
Yes
y ( n) f ( x)
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
偏微分方程求解算法研究及应用
偏微分方程求解算法研究及应用偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。
从最简单的热传导方程到流体力学中的Navier-Stokes方程，这些方程的求解能够获得很多实际问题的解答。
随着计算机技术的飞速发展，可解决的偏微分方程问题的范围和复杂性也得到了提高。
在本文中，我们将讨论偏微分方程的一些求解算法及其应用，以及这些算法如何在实践中发挥作用。
第一部分：解析方法解析方程的基本思想是寻找满足特定条件的解析表达式。
在偏微分方程的求解中，常见的解析方法包括分离变量法、变量参数法和特征线方法等。
1.1 分离变量法分离变量法是解决大多数运筹学、物理学和工程学问题的重要方法。
它的基本思想是，假设找到一种函数形式，使得偏微分方程中的某些变量可以单独表示，这样就可以得到关于单个变量的一组普通微分方程。
通过求解这些方程，就可以获得原始问题的解。
例如，考虑一个双曲型偏微分方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 $$我们可以假设$u(x,t)$的解有如下形式：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$将它代入原方程得到：$$ \frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-\lambda $$其中$\lambda$是分离常数。
然后，我们可以解出关于$X$和$T$的两个普通微分方程：$$ X''+\lambda X=0, T''+\lambda T=0 $$这两个方程都是熟悉的谐振动方程，其解可以表示为正弦波和余弦波的线性组合。
因此，原方程的通解可以写成：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(\sqrt{\lambda_n}x)+B_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x))(C_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+D_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t)) $$其中，$A_n,B_n,C_n$和$D_n$是一些常数，根据边界条件和初始条件来确定。
第三章 微分方程及差分方程方法
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
x
C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
(整理)微分方程的例题分析与解法
微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。
，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
数学物理方程第二版习题解答第四章
数学物理方程第二版习题解答第四章复旦第二版第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结§1二阶方程的分类1．证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后（4）gnyu某某+2u某y+gn某uyy1某>0=0(gn某=0某=0)1某<0(5)u某某4u某y+2u某z+4uyy+uzz=0解：(1)某2u某某y2uyy=0 =a212a11a22的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为a11u某某+2a12u某y+a22uyy+b1u某+b2uy+cu=f经可逆变换某=某(某,y)D(某,η)η=η(某,y)D(某,y)≠0化为11u某某+212u某η+22uηη+2uη+=f=a某2+2a某某+其中1111某12某ya22某y212=a11某某η某+a12(某某ηy+某yη某)+a22某yηy22=a11η某2+2a12η某ηy+a22ηy2所以=2121122=a212(某某2ηy2+某y2η某2)2a11某某某yη某ηy+2a11a22某某某yη某ηy2)=(a212D(2a11a22(η某2某y2+某某2ηyaη某,η)11a22)(某某y某yη某)2=D(某,y)因D(某,η)2D(某,y)>0，故与同号，即类型不变。
2．判定下述方程的类型（1）某2u某某y2uyy=0（2）u某某+(某+y)2uyy=0（3）u某某+某yuyy=0因=某2y2>0当某≠0,y≠0时>0,某=0或y=0时=0。
即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。
（2）u2某某+(某+y)uyy=0因=(某+y)2≤0，在直线某+y=0上，=0为抛物型，其余处<0，为椭圆型。
（3）u某某+某yuyy=0因=某y在坐标轴上，=0为抛物型；在一，三象限中，<0，为椭圆型；在二，四象限中，>0，为双曲型。
（4）gnyu某某+2u某y+gn某uyy=0因=1gn某gny,在坐标轴上>0，为双曲型；在一，三象限内=0，为抛物型；在二，四象限内>0，为双曲型。
常微分方程公式大全
常微分方程公式大全1、一阶微分方程：一阶微分方程是一类含自变量x与未知数y(x)及其一阶导函数y'(x)的方程，它可以表示为 F(x,y,y′)=0 。
如果可以解出y'，可表示为： dydx=f(x,y)2、一阶微分方程的其中一种解法--分离变量法：形如 dydx=M(x)·N(y) ：若N(y)≠0，我们可以化成（分离变量法）： 1N(y)dy=M(x)dx 然后两边同时积分：∫1N(y)dy=∫M(x)dx ，则得结果： F(y)=G(x)+C3、齐次方程：如果一阶微分方程可以化为如下形式： dydx=φ(yx) ，则称此类方程为齐次方程。
4、齐次方程一般解法：引出新的位置变量函数 u=yx ，就可以把它化成可以分离变量的方程！（1）由u=yx得到 y=ux（2）两边取x的微分得到 dydx=xdudx+u ，并代入dydx=φ(yx)（3）得到 u+xdudx=φ(u) 再换一下位置 duφ(u)−u=dxx（4）两边积分，得到∫duφ(u)−u=∫dxx（5）设Φ(u) 是 1φ(u)−u 的一个原函数，则得通解：Φ(u)=ln|x|+C ，再把 u=yx 代回这个式子，就得到齐次方程的通解。
5、一些可以转化成一阶齐次微分方程的一阶微分方程：形如 dydx=ax+by+ca1x+b1y+c1 ，其中 aa1≠bb1 （原因是只有这样才可以解出h和k）当c=c1=0时，方程是齐次的，否则是不齐次的。
在非齐次型的情况下，可用以下步骤解：（1）作代换 x=X+h ； y=Y+k 。
（2）求常数h和k：因为dx=dX；dy=dY。
所以方程代换后变成：dYdX=aX+bY+(ah+bk+c)a1X+b1Y+(a1h+b1k+c1) ，因为要使得方程是齐次，所以令后面的常数项为0，即 ah+bk+c=0 以及 a1h+b1k+c1=0联立这两个方程就可以解出h和k。
（3）求 dYdX=aX+bYa1X+b1Y 的通解后，把x-h代X，y-k 代Y，就得到原方程的通解。
常微分方程基本理论
常微分方程基本理论常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，研究微分方程的性质和解的存在性、唯一性以及稳定性等基本理论。
本文将从常微分方程的基础概念入手，逐步介绍一些常见的常微分方程及其解法，并探讨一些常微分方程在科学和工程问题中的应用。
一、基本概念在进一步深入研究常微分方程之前，我们首先需要了解一些基本概念。
常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示\(y\)的二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。
\(F\)是关于\(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\)的函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
常见的一阶常微分方程形式如下：\[y'=f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是关于\(x\)和\(y\)的已知函数。
我们可以通过分离变量、变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
三、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到一阶和二阶导数的方程。
常见的二阶常微分方程形式如下：\[y''=f(x,y,y')\]同样可以通过变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
四、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，生态学中可以通过常微分方程模型研究物种数量的变化规律；经济学中可以利用常微分方程模拟经济增长和波动等现象；物理学中可以运用常微分方程描述运动方程和波动方程等；工程学中常微分方程也用于探讨电路、振动等问题。
五、常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括解析解和数值解两种方法。
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两 边积分 ， 得
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两边 积分 ， 得
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５ ４
数 学 教 学研 究
第 ２ 卷第 ７ ９ 期
２１ ０ ０年 ７月
关于 Ｆ（ ‘ Ｙ ’ ＝０型微分 方程 求 解 方 法 ｙ刖，‘ ） 肌
谢 光 海
（ 阳 理工 学 院 机 电系 ，河南 洛 阳 洛 ４１２） ７ ０ ３
摘 要 ： 于 高阶 微 分 方 程 ． 够 求 解 的 类 型 很 少 ． 文 用 高 等 数 学 的 方 法 ， 妙 地 解 决 了形 如 Ｆ 对 能 本 巧 （“ ．“ ’：Ｏ ’Ｙ 一 ） （＞ ） 一 类 高 阶微 分 方程 的求 解 方 法 。 找 出 了对 应 的 参 数 解 公 式 ． 这 并
与 Ｙ 司表 为
１Ｊ － —
（ ） 即为方 程 Ｆ（ ， ‘ ）＝ ２式 ｙ ’ ｙ ＝ ０的参 ： 数解 ．
３ 当 ｍ＝２时 ， 程型 为 Ｆ（ ｊ 一’ ＝０ 方 ｙ Ｃ ， ） 。 ｌ
的 参 数 解 由
Ｙ‘ 一 （） Ｙ ＝ （） 一 ￡，‘ ’ ￡．
令 ｃ＝ ２（ （ ＋ ， 整理 得 ｚ （ ｃｉ ） ｆ） ）
（ ） ） （ ∽） 出 ）
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又 由 ｄ 。 Ｙ ｒ ｘ， ｙ 一 “ ｄ 代入 已知 条件 ， 得
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两 边积分 ， 得
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（ １ ）
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（ ） 即 为 方 程 Ｆ（ ｙ ’ ＝ ０的 参 数 １式 ｘ， “ ）
解．
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２ 当 ｍ＝１时 ， 程型 为 Ｆ Ｙ 。 ’ ＝Ｏ 方 （㈨ Ｙ ）
累次 推演 ， 后 可得 最
若 Ｙ一 “ ”与 Ｙ ’ 可表 为
收 稿 日期 ：０ ０ ０ — ７ ２ １ — ５ ０
第２ ９卷第 ７ 期
２１ ０ ０年 ７ 月
数 学 教 学 研 究
５ ５
ｆ ＝ 一 （ ’ ， ’ ’ 一 ） Ｙ： ｌ ￡ ＝ ｌ … 】 ，
看 Ｙ
关键词 ： 分方程 ； 微 参数 解
中 圈 分 类 号 ： ７ ０１５
ｌ 方 程型 为 Ｆ ｘ Ｙ ’ ；０ （ ．‘ ）
Ｙ … ＝ ｑ ）， ＝ Ｋｔ Ｙ… ＝ ｄ（ ） ＝ ＝ｄ ｔ ． ＝
若 此 时 与 Ｙ ’ 表为 “可 ｚ ＝ （） Ｙ ’ ￡ ， 一 （） （＜ｆ １下 同） ，ａ ＜． ９ ， ．