物理竞赛

2010年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。

答：长度（m）2分质量（kg）2分时间（s）2分电流（A）1分热力学温度（K）1分发光强度（cd）1分物质的量（mol）1分二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。

求: （1）火车的速率是多少？(2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？解：（1）2021VL LC=-4分22714LV CL=-=2分（2）221VL LC'=-2分337.5m=2分三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm ，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm 。

若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）解：标准状态，气化P 0=1atm,气温为0 0c ，空气平均mol 质量3109.28-⨯=μ千克/摩尔。

1. 内质量： 330V 910M 28.91011.6V 22.4μ-⨯=∙=⨯⨯=（千克） 3分2. 由气体状态方程可得：RT MV μ=0P 2分RT M V P 222NN N μ=1分0.78442828.90.76MM P P 222N N 0N =⨯=∙=∴μμ ()atm 0.78440.7844P P 0N 2==∴ 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为51.222.210radDϕλδ-==⨯ 2分可分辨最小间距：77102.23500005y =⨯⨯=∙=-ϕδδL (米) 1分 看不到长城！四、将质量相同、温度分别为T 1、T 2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。

（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。

（设水的摩尔等压热容量为C p ，每杯水的量为ν摩尔） 解：（1）两杯水构成一个孤立系统。

设想第一杯水依次与温度为T T T ∆+11,，T T ∆+21，…，221T T +的热源接触。

设想第一杯水依次与温度为T T T ∆-22,，T T ∆-22，…，221T T +的热源接触。

初态： 终态：设摩尔等压热容量为P C ，每杯水为νmol 。

p p dQ C ndT=，ν=n则:p p dQ C dT ν= （3分） 总的熵变应等于两杯水熵变之和：对第一杯水熵变：121211T 221211S ln2T T T P P T T C dTT T dQC TTT νν+++∆===⎰⎰ （1分） 对第二杯水熵变：121222T 221222ln2T T T P P T T C dTT T dQS C TTT νν+++∆===⎰⎰（1分） 总熵变为：()212121212P 1212S S C ln ln ln 224P T T T T T T S C T T TT νν+⎛⎫++∆=∆+∆=+= ⎪⎝⎭（1分） （2）.由：22121212T 2S ln 4P T TT C TT ν++∆=212221212T ,T T T T T >+∴≠2212121212P 1212T 222S ln C ln 044P T TT TT TT C TT TT νν+++∴∆=>= （2分）即0>∆S 。

此过程熵增加。

（2分）水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。

),(),,(21p T p T ),2(),,2(2121p TT p T T ++五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e 主 =1.5534，n o =1.5443），其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？ 解：.这是一个劈尖干涉的情况：M 的投射光为线偏光，设光强为m I ，它振动的方向与晶轴夹角45。

，故晶体出射光强：m m e I I I 2145cos 2==。

m m o I I I 2145sin 2==。

此时o ，e 光（在劈背）光程差： 2()o e dn n πδλ=-主o ，e 光出射后的光强： m e eN I I I 4145cos 2==。

m o oNI I I 4145cos 2==。

eN I 与oN I 又有附加光程π，在N 后看劈背出来eN I ，oN I 的相位差：（2k+1）π （k=0，1，2，3….） 暗纹2()o e dn n πδπλ=-+=主 （5分）2k π （k=0，1，2，3….） 明纹若是明纹：3610.5101()(1.5534 1.5443)9.620.5102e o dk n n ξλ--⨯=-+=-+=⨯（2分） 可看到10条条纹（2）在劈尖的最顶端A 处，其d=0mm 则：δπ= 为暗纹（2分） 则其光强0I =（1分）图 1→|a |← NMA六、空气折射率n 约为1.0003。

用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L 的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。

设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n 的数学表达式。

解：3分4分实验步骤：1、 打开钠光灯电源开关，调节光强，并水平照射到干涉仪的分光板G1上。

2、 调整光束与G1成45度。

3、 调整定臂光路，发现从定镜M2反射到钠光入射孔附件的光斑有四个，其中光强最强的那个光斑就是要调整的光斑。

4、 反复调整到两个臂上的反射光斑都应进入钠灯反射孔，且在毛玻璃屏上的两组光斑重合。

5、 用扩展钠光灯，按上诉步骤反复调节，直到毛玻璃屏上出现清晰的等倾干涉条纹，再在一臂光路中放入真空管。

6、 调换另一个玻璃管，观察现象。

记录数据，并画出表格，绘出N 与△P 的关系变化曲线。

3分数学表达式：空气折射率与其密度成正比：ρρ00/1/1=--n nρ，n 0是空气在热力学标准状态下的密度和折射率；ρ，n 对应于任意温度和压强下的密度和折射率。

根据理想气体状态方程有：ρ/ρ=pT 0/P 0T=n -1/n 0-1如果温度不变：)/()/1(/0T p n T p n ∙-=∆∆ 其中，p n ∆∆/为压强变化引起的折射率变化。

因为)1(0t T T α+=，其中α为相对压强系数。

所以有))1/()(/1(0α+∆-=∆p n p n由于折射率的变化，引起干涉仪两束光路光程差的变化：λδN nL =∆=2, 其中N 为相应条纹干涉的变化数，为光源的波长。

所以：)/)(2/)(1(10p N L t p n∆++=λα，n 0为空气折射率。

七、在光滑水平桌面上，有一长为L 质量为m 的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L 的光滑金属圆环上滑动，接触良好。

旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R （不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B ，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。

求：（1）任意时刻t 金属棒的角速度ω ；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。

解：（1）某时刻大，棒的角速度为ω，此时，棒切割磁力线获得电动势：21B L 2εω=，棒中电流：2B L I R 2Rεω== 2分 棒中（r-r+dr ）所受安培力为：：dF IBdr =，dr 所受的磁力矩：M d IBrdr =；合力矩：2420124LL B L M dM IBrdr IBL Rω====⎰⎰2分2241)31(0)43d M JJ mL dt B L d d mL R dt dtωωωω===-<由力学转动方程：（转动惯量022222203B 40B 4B 4.........................................2t L t Rmd L dtRmd L dtRmeωωωωωωωω-∴=-=-∴=⎰⎰分量变量：积分:分223B 400222........................2dt4.........................................23L t Rmd d dt dtd eRm B Lθθωθωθωωθ-∞=⇒==∴=⎰⎰ （）分分八、粒子在无限深方势阱 [-a/2，a/2] 内作一维运动的波函数为ax n A n πψcos=（n=1,2,3,……）。

求：(1) 归一化常数A ；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8，a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度()22x x x -=∆（x 为位移平均值，2x 为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p ∆不小于多少？ 解：（1）由归一化条件：/22/21a n a dx ψ-=⎰1分得 /2/22222/2/221coscos 122a a a a n xn a a A xdx A dx A aππ--+==∙=⎰⎰ 2/A a ∴= 1分所以，归一化的波函数为：()2/cos1,2,3n n a x n aπψ== （2）零点能即基态能，这是1n =可由111ˆH E ψψ= 1分 即222211122(2/cos )22a x E m x a m a ππψψ∂-==∂ 22212228h E m a ma π∴== 1分 （3）第二激发态2n = 波函数为222/cosa x aπψ= 1分 2228a a dx ρψ∴=⎰ 1分 228231(2/c o s )0.29684a a a x dx a ππ==-≈⎰ 1分（4）基态下：/2/2221/2/2(2/cos)0a a a a x x dx x a x dx aπψ--===⎰⎰1分22/2/22222212/2/22cos 122a a a a a a x x dx x xdx a a πψπ--===-⎰⎰ 1分222211()122x x x x a π∴∆=-==- 由不确定关系：2x p ∆∙∆≥2226(6)p a ππ∴∆≥- p ∆不小于2226(6)a ππ- 1分九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L ，内外半径为a 、b ，极化强度矢量p=k r/r 2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr 、相对磁导率为μr ，求：（1）圆筒内外的电场强度E 、电位移矢量D 分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H 、磁感应强度B 分布。