江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题
2014-2015年江苏省淮安市清江中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．（5分）命题“∀x＞4，x2＞16”的否定是．2．（5分）已知cos x＝（0＜x＜），则sin2x的值为．3．（5分）“α＝”是“tanα＝1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4．（5分）若函数，则f（x）的定义域是．5．（5分）用反证法证明时，对结论“自然数a，b，c至少有1个为偶数”的正确假设为．6．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝．7．（5分）已知向量，，若，则x＝．8．（5分）已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值是．9．（5分）一元二次不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|＜x＜1}，则a+b＝．10．（5分）函数y＝2x2﹣lnx的最小值是．11．（5分）已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，若的最小值为9，则正数a＝．13．（5分）已知函数f（x）＝对任意x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是．．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是实数，且满足，则d的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．（14分）已知向量＝（sin A，sin B），＝（cos B，cos A），＝sin2C，其中A、B、C为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求AB的长．16．（14分）解关于x的不等式：①；②（2mx﹣1）（x﹣2）＜0（m 为实常数）17．（14分）如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB＝xm，圆柱的体积为Vm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？18．（16分）已知函数f（x）＝x+（x＞0）的最小最小值为，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：PM•PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．20．（16分）已知等差数列{a n} 中，a3＝7，a1+a2+a3＝12，令b n＝a n•a n+1，数列{}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n＜；（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．（5分）命题“∀x ＞4，x 2＞16”的否定是 ∃x ＞4，x 2≤16 ．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ＞4，x 2＞16”的否定是：∃x ＞4，x 2≤16． 故答案为：∃x ＞4，x 2≤16；2．（5分）已知cos x ＝（0＜x ＜），则sin2x 的值为 ．【解答】解：∵cos x ＝，x ∈（0，），∴sin x ＝，∴sin2x ＝2sin x cos x ＝，故答案为：．3．（5分）“α＝”是“tan α＝1”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既 不充分也不必要”） 【解答】解：时，tan α＝1；tan α＝1时，，所以不一定得到；∴是tan α＝1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要． 4．（5分）若函数，则f （x ）的定义域是 [﹣1，0）∪（0，1] ．【解答】解：∵函数，则有 ．解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，故函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故答案为[﹣1，0）∪（0，1]．5．（5分）用反证法证明时，对结论“自然数a，b，c至少有1个为偶数”的正确假设为a，b，c都是奇数．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c都是奇数”，故答案为：a，b，c都是奇数．6．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝5．【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，∴a32+2a3a5+a52＝25，即（a3+a5）2＝25．再由a3＝a1•q2＞0，a5＝a1•q4＞0，q为公比，可得a3+a5＝5，故答案为：5．7．（5分）已知向量，，若，则x＝3或﹣1．【解答】解：向量，，若，可得﹣（3﹣x）＝x（3﹣x），解得x＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．8．（5分）已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值是﹣1．【解答】解：画出可行域，得在直线x﹣y+2＝0与直线x+y＝0的交点A（﹣1，1）处，目标函数z＝2x+y的最小值为﹣1．故答案为﹣1．9．（5分）一元二次不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|＜x＜1}，则a+b＝1．【解答】解：由题意知，、1是方程ax2+bx﹣1＝0的两根，且a＜0，所以，解得，所以a+b＝（﹣3）+4＝1，故答案为：1．10．（5分）函数y＝2x2﹣lnx的最小值是+ln2．【解答】解：函数y＝2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝4x﹣＝，∴函数y＝2x2﹣lnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴当x＝时，函数y＝2x2﹣lnx有最小值，最小值为＝+ln2．故答案为：+ln2．11．（5分）已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，由此推测，函数的图象的对称中心为故答案为：12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，若的最小值为9，则正数a＝4．【解答】解：∵a＞0，∴＝（）（x+y）＝1+a+≥a+1+2＝（+1）2，当且仅当取等号，则有，解得a＝4．故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）＝对任意x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是．[）．【解答】解：由题意知函数f（x）在R上单调递增；∴f（x）的两段函数在各自区间上单调递增；∴1﹣2a＞0，即；又e0﹣2≤（1﹣2a）•0+2a；∴﹣1≤2a；∴；∴实数a的取值范围是[）．故答案为：[）．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是实数，且满足，则d的取值范围是．【解答】解：∵，由等差数列的前n项公式得（2a1+d）（2a1+3d）+（a1+d）2＝﹣2，展开并化简整理得5a12+10a1d+4d2+2＝0，将此式看作关于a1的一元二次方程，d 为系数．∵a1、d为实数，∴△＝100d2﹣4×5×（4d2+2 ）≥0．化简整理得d2﹣2≥0，∴d∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．（14分）已知向量＝（sin A，sin B），＝（cos B，cos A），＝sin2C，其中A、B、C为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）（2分）对于△ABC中A+B＝π﹣C，0＜C＜π∴sin（A+B）＝sin C，∴（4分）又∵，∴（7分）（Ⅱ）由sin A，sin C，sin B成等差数列，得2sin C＝sin A+sin B，由正弦定理得2c＝a+b（9分）∵，∴，即ab cos C＝18，ab＝16（12分）由余弦弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab，∴c2＝4c2﹣3×36，，c＝6（14分）16．（14分）解关于x的不等式：①；②（2mx﹣1）（x﹣2）＜0（m 为实常数）【解答】解：①原不等式可化为，即，所以有，解得：，可得不等式的解集为{x|≤x＜}．②对于不等式（2mx﹣1）（x﹣2）＜0，当m＝0时，原不等式即为﹣（x﹣2）＜0解得：x＞2．当m≠0时，原不等式可化为，当m＜0时，得，解得它的解集为{x|}．当m＞0时，原不等式可化为，当0＜m＜时，＞2，所以不等式的解集为{x|}；当m＝时，＝2，所以原不等式无解；当m＞时，可得＜2，所以不等式的解集为{x|}．综上所得：原不等式的解集为：当m＜0时，解集为；当m＝0时，解集为（2，+∞）；当0＜m＜时，解集为；当m＝时，解集为φ；当m＞时，解集为．17．（14分）如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB＝xm，圆柱的体积为Vm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？【解答】解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，∵AB＝x，∴OA＝，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即4π2r2＝9﹣x2，∴V＝πr2•x＝，其中0＜x＜3．…（6分）（2）由V′＝＝0及0＜x＜3，得x＝，…（8分）列表如下：…（10分）所以当x＝时，V有极大值，也是最大值为．…（14分）答：当x为m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是m3．…（16分）18．（16分）已知函数f（x）＝x+（x＞0）的最小最小值为，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：PM•PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．【解答】解：（1）∵x＞0，若a≤0，则f（x）递增，没有最小值，∴a＞0，∴，∴x＝时，；∴．（2）设，则，PN＝x0，则PM•PN＝1；（3）设，则直线PM：，由得，M；S OMPN＝S△OPN+S△OPM＝＝≥．（当且仅当，即x0＝1时取等号）；故四边形OMPN面积的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．【解答】解：（1）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R），…（1分）由f′（2）＝9，得a＝5．，…（2分）∴∴f（2）＝3，∴（2，3）在直线9x﹣y+b＝0上，∴b＝﹣15．…（4分）（2）①若a＝0，，∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．…（6分）②若a＜0，则，令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1．…（9分）∴f（x）的单调减区间为，（1，+∞）．…（10分）（3），0＜a＜1，列表：，，…（12分）∴f（x）的极小值为＝．…（14分）当时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为．…（16分）20．（16分）已知等差数列{a n} 中，a3＝7，a1+a2+a3＝12，令b n＝a n•a n+1，数列{}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n＜；（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．（1）设数列{a n}的公差为d，由解得．∴【解答】解：a n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）∵a n＝3n﹣2，a n+1＝3n+1，∴b n＝a n•a n+1＝（3n﹣2）（3n+1），∴．∴．（3）由（2）知，，∴，，∵T1，T m，T n成等比数列，∴，即．当m＝2时，，n＝16，符合题意；当m＝3时，，n无正整数解；当m＝4时，，n无正整数解；当m＝5时，，n无正整数解；当m＝6时，，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1＝（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m＝2，n＝16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．。
江苏省淮安市高二数学下学期期中试题苏教版
淮阴师范学院附属中学2012～2013学年度第二学期期中考试高二年级数学（文科）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．设集合}4,3,2,1,0{=S ，}6,5,3,2{=T ，则S T =2．函数2()lg(21)f x x =+的定义域为3．命题R x ∈∀,0122>+x 的否定是：4．已知Z=bia ii+=-+12，则b a +=5．已知函数=⎩⎨⎧>+-≤+=)]25([,)1(3)1(1)(f f x x x x x f 则_____________ 6．已知函数2()45f x x x =-+在区间[),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是7．设函数22,(,1]()1,(1,)x x f x x x⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩则满足41)(=x f 的x 值为8．已知2log 0.3a =，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者从大到小的关系是 9．若3484log 4log 8log log 16,m ⋅⋅=则m ＝ 10. 已知函数f (x )是定义在R 上奇函数，当x >0时，,2)(2x x x f +=那么当x <0时f (x )的解析式是11．已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，给出如下命题： （1）若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；（2）若n m m ⊥⊥,α，则α//n ； （3）若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //； （4）若,,//α⊥n n m 则α⊥m 。
其中正确命题的序号是 12. 若x xx f +=1)(，111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++= 13．方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根分布在区间)3,2(和)4,3(之间，则实数m 的取值范围为14. 已知f (x )＝(31)4(1)log (1)aa x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2015-2016年江苏省淮安市淮阴区高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高二（下）期中数学试卷（文科）一．填空题（每题5分，计70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，∁U B={1，2，4}，则A∩B=．2．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）3．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则|z|的值为．4．（5分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是．5．（5分）已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是．6．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则a、b、c从小到大的顺序是．7．（5分）已知幂函数y=（m﹣1）2•x在（0，+∞）上单调递增，则m 的值为．8．（5分）设函数，若f（a）＞2，则a的取值范围是．9．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=．10．（5分）从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x﹣3）=f（x+2），当﹣＜x＜0时，f（x）=x，则f（2016）=．12．（5分）已知函数f（x）=的值域为R，且在（﹣∞，1﹣）上是增函数，则a的取值范围是．13．（5分）十六进制与十进制的对应如表：例如：A+B=11+12=16+7=F+7=17，所以A+B的值用十六进制表示就等于17．试计算：A×B+D=（用十六进制表示）14．（5分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2016|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2016|（x ∈R），且f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则满足条件的所有整数a的和是．二．解答题（计90分）15．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（1）求A∪B；（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．16．（14分）（1）已知，求实数x，y的值；（2）已知z1，z2∈C，若z1=3+4i，|z2|=5，z1•z2是纯虚数，求z2．17．（14分）已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．19．（16分）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中a：b=1：2（1）试用x，y表示S（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？20．（16分）在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）﹣f（x1）|＜|x1﹣x2|；（3）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，求实数a，b的取值范围．2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（每题5分，计70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，∁U B={1，2，4}，则A∩B={3，5}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：根据补集的定义可知，B∩（∁U B）=∅，B∪（∁U B）=U，B=∁U（∁B）U∵全集U={1，2，3，4，5，6}，∁U B={1，2，4}，∴B={3，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩B={3，5}．故答案为：{3，5}．2．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：log512==．故答案为：．3．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则|z|的值为．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：由z•i=2﹣i，得．∴．故答案为：．4．（5分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【考点】49：指数函数的图象与性质．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．5．（5分）已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是{a|a＞}．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．6．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则a、b、c从小到大的顺序是c ＜b＜a．【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a=20.5=≈1.414，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2sin＜log2sin=log21=0，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．7．（5分）已知幂函数y=（m﹣1）2•x在（0，+∞）上单调递增，则m 的值为0．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【解答】解：∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2=1，得m=0，或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m=0时，2＞0成立，当m=2时，4﹣8+2=﹣2＞0，不成立，故答案为：0．8．（5分）设函数，若f（a）＞2，则a的取值范围是（1，2）∪（4，+∞）．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；7E：其他不等式的解法．【解答】解：由题意得或∴1＜a＜2或a＞4．f（a）＞2，则a的取值范围是：（1，2）∪（4，+∞）故答案为：（1，2）∪（4，+∞）9．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=x3﹣ln（1﹣x）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣x3+ln（1﹣x）=﹣f（x），则f（x）=x3﹣ln（1﹣x），故答案为：x3﹣ln（1﹣x）；10．（5分）从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：∵1=1=（﹣1）1+1•11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1•（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1•（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1•（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x﹣3）=f（x+2），当﹣＜x＜0时，f（x）=x，则f（2016）=﹣1．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3T：函数的值．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），由f（x﹣3）=f（x+2），即为f（x）=f（x+5），则f（x）为最小正周期为5的函数，即有f（2016）=f（2015+1）=f（1）=f（﹣1）．当﹣＜x＜0时，f（x）=x，则f（﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）已知函数f（x）=的值域为R，且在（﹣∞，1﹣）上是增函数，则a的取值范围是[0，2]．【考点】3G：复合函数的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=的值域为R，故函数t（x）=x2﹣ax﹣a能取遍所有的正数，故有△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4，或a≥0．再根据f（x）在（﹣∞，1﹣）上是增函数，可得函数t（x）=x2﹣ax﹣a在（﹣∞，1﹣）上是减函数，可得≥1﹣且t（1﹣）=4﹣2+a﹣2≥0，求得a≤2．综上可得，0≤a≤2，故答案为：[0，2]．13．（5分）十六进制与十进制的对应如表：例如：A+B=11+12=16+7=F+7=17，所以A+B的值用十六进制表示就等于17．试计算：A×B+D=92（用十六进制表示）【考点】EM：进位制．【解答】解：∵A×B+D=11×12+14=146，146÷16=9余2，9÷16=0余9，∴用十六进制表示146为92．故选：92．14．（5分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2016|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2016|（x ∈R），且f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则满足条件的所有整数a的和是6．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；8I：数列与函数的综合．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2011|（x∈R），∴f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x+2|+…+|﹣x+2011|+|﹣x﹣1|+|﹣x﹣2|+…+|﹣x﹣2011|=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2011|=f（x）即函数f（x）为偶函数若f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则a2﹣3a+2=a﹣1，或a2﹣3a+2=﹣（a﹣1）即a2﹣4a+3=0，或a2﹣2a+1=0解得a=1，或a=3又∵f（0）=f（1）=f（﹣1）∴当a=2时，也满足要求故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6故答案为：6．二．解答题（计90分）15．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（1）求A∪B；（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．【考点】1E：交集及其运算；4N：对数函数的图象与性质．【解答】解（1）函数f（x）的自变量x需满足条件，解得，2＜x≤4，所以，A={x|2＜x≤4}，对于函数g（x），因为≤x≤8，所以，g（x）=log2x∈[﹣2，3]，因此，B={x|﹣2≤x≤3}，所以，A∪B={x|﹣2≤x≤4}；（2）由B∩C=C得，C⊆B，对集合C讨论如下：①当C=∅时，a＞3a﹣1，解得a＜，因为空集是任何集合的子集，故符合题意；②当C≠∅时，需要满足下列条件：，解得，≤a≤，综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（﹣∞，]．16．（14分）（1）已知，求实数x，y的值；（2）已知z1，z2∈C，若z1=3+4i，|z2|=5，z1•z2是纯虚数，求z2．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【解答】解：（1）∵，∴（1+i）+（2﹣3i）=x+yi，整理，得+i=xi+yi，∴x=，y=；…（6分）（2）设z2=a+bi，a、b∈R，∴z1z2=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i，…（8分）∴，…（10分）解得或，∴z2=4+3i或z2=﹣4﹣3i．…（14分）17．（14分）已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；4K：对数函数的定义域．【解答】解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，当a＜0时，解得．故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．（2）令，因为为减函数，故要使f（x）在（2，4）上是减函数，则在（2，4）上为增且为正．故有．故a∈[1，2）．18．（16分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3E：函数单调性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（5分）（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x∴解析式为f（x）=（10分）（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；∴g（x）=．（16分）19．（16分）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中a：b=1：2（1）试用x，y表示S（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6E：利用导数研究函数的最值；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）由题可得：xy=1800，b=2a，则y=a+b+3=3a+3…（4分）∴=．…（8分）（2）方法一：（x＞0），…（10分），…（14分）当且仅当，即x=40时取等号，S取得最大值．此时．所以当x=40，y=45时，S取得最大值…（16分）方法二：设（x＞0），…（10分），…（12分）令f′（x）=0得x=40，当0＜x＜40时，f′（x）＞0，当x＞40时，f′（x）＜0．∴当x=40时，S取得最大值．此时y=45所以当x=40，y=45时，S取得最大值．…（16分）20．（16分）在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）﹣f（x1）|＜|x1﹣x2|；（3）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，求实数a，b的取值范围．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：（1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，因为=====，所以在区间（0，1]上为减函数．所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”．（2）证法1：要证|f（x2）﹣f（x1）|＜，不妨设0≤x1＜x2，由f（x）=1﹣在[0，+∞）单调递增，得f（x2）＞f（x1），那么只要证f（x2）﹣f（x1）＜，即证f（x2）﹣＜f（x1）﹣．令g（x）=f（x）﹣，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）﹣在[0，+∞）单调递减即可．事实上，g（x）=f（x）﹣=1﹣﹣，当x∈[0，+∞）时，g′（x）=﹣≤0，所以g（x）=f（x）﹣在[0，+∞）单调递减，故命题成立．证法2：|f（x2）﹣f（x1）|===，因为x 1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，＞2，所以|f（x2）﹣f（x1）|＜．（3）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立．当x=0时，不等式显然成立．当x∈（0，1]时，等价于恒成立．由（1）知为减函数，1﹣≤＜，所以a≥且b≤1﹣．。
江苏省淮安市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题_Word版含答案
淮安市2014－2015学年度第二学期期末高二调研测试数 学 试 卷（文） 2015.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合{0,1,2}{|1}A B x y x ===-，，则=B A I．2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为 ． 3．已知233m +-ii为实数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值为 ． 4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 5．已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-的值为_____． 6．已知函数sin ,1()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩≤，则43f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．7．已知函数141)(-+=x a x f 的图象关于原点对称，则实数a 的值是 ． 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．9．已知抛物线24y x =与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若3MF =，则该双曲线的离心率为 ．10．已知过点()23,2P --的直线l 与圆O ：224x y +=有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．11．将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ．12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，若关于x 的不等式()()2f x a f a x +-≥在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的最大值是 ．BAxyO第15题M第16题图13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n 2，则数列{n a }的前n 项和n S = .14．已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其终边分别交单位圆于A B ，两点．若A B ，两点的横坐标分别是53，102-． 试求（1）αtan ，βtan 的值；（2）AOB ∠的值．16．如图，已知多面体ABCDFEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，若四边形ADEF 为矩形，AB ∥CD ，12AB CD =，BC ⊥BD ，M 为EC 中点．（1）求证：BC ⊥平面BDE ； （2）求证：BM //平面ADEF ．17．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？18．已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ，且1≠a ． （1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使)(x f >0的x 的集合．19．已知椭圆：M 22221x y a b+=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若A ，求△AOB 的面积；（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数()ln xx kf x +=e（其中, 2.71828k ∈=e L R 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．（1）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若(]0,1x ∈时，方程()0f x '=有解，求实数k 的取值范围；（3）若()10f '=，试证明：对任意()2210,x f x x x-+'><+e 恒成立．MN2014－2015学年度高二调查测试数学试卷参考答案与评分标准（文）本试卷满分共160分；考试时间120分钟。