材料力学3-扭转详解
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学-3-扭转(包含连接件)
3.5 圆轴扭转时的强度条件
3.5 圆轴扭转时的强度条件
为了让杆件正常工作，要对杆中的最大切应力加以限制
强度条件：
max
M x max [ ] （[ ]——许用切应力） Wp
危险截面在哪儿？
危险点在哪儿？
三类强度计算问题 强度校核 截面尺寸设计 确定许可荷载
M x max max [ ] Wp M x max Wp [ ] M x max Wp [ ]
D 2 d 2
32 D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
(
d ) D
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（4）应力分布
M x IP
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重 量轻，结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
D 4
32
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题3
√
解：
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者 形成一个整体，同时产生扭转变形。因此，在里、外层交 界处二者具有相同的切应变。 剪切弹性模量（G1＝2G2）
G
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题4
3
如图所示的传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将一 半传递给铅垂C轴，另一半传递给水平H轴。已知输入功率P1＝ 14kW, 水平轴（E和H）转速n1= n2= 120 r/min；锥齿轮A和D的齿数 分别为z1=36, z3=12；各轴的直径分别为d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm。 求：各轴横截面上的最大切应力。
工程力学之扭转
x
②计算并校核剪应力强度
max
T Wt
1.55 103
0.073 16
23MPa
[ ]
③此轴满足强度要求。
材料力学讲义（扭 转 ）
§3–5 圆轴扭转时旳变形
一、扭转时旳变形
由公式
d T
dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角φ 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl (若T 值不变） GI p
[]=30MPa，试设计杆旳外径；若[φ]=2º/m ，试校核此杆旳刚
度，并求右端面转角。
解：①设计杆旳外径
Wt
Tmax
[ ]
Wt 1D6（3 1 4）
1
D
16Tmax
（1义（扭 转 ）
T 40Nm
1
D
16Tmax
（1 4）[
]
3
代入数值得： D 0.0226m。
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处旳与到圆心旳距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。
dx
材料力学讲义（扭 转 ）
2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
材料力学讲义（扭 转 ）
3. 静力学关系：
T A dA
A
G
2
d
dx
dA
G
2 0
0.033 (弧度）
T
40Nm
x
材料力学讲义（扭 转 ）
[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
材料力学-扭转问题解读
d1 86.4mm
4.直径d2的选取 按强度条件:
3 3
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
16T 16 4580 d2 π[ ] π 70106 69.3 103 m 69.3mm
4580 N m 7640 N m
按刚度条件 :
32T 180 32 4580 180 3 d2 76 10 m 76mm 2 9 2 Gπ [ ] 80 10 π 1
§3.7 非圆截面杆扭转 矩形截面杆扭转
变 形 特 征
T Wt
T
12100
x
max
Wt
D 3
16
T [ ]
-1590
D3
16 Mn
58.7 mm
刚度条件：
T 180 G Ip
D 4 T 180 Ip 32 G
32 Mn 180 D4 49mm G
4
圆轴扭转的强度条件:
max
T T T R I Ip Wt p R Wt 抗扭截面系数
Wt Wt
D 3
16 16
实心圆
4
D 3
1
d 空心圆 D
d
对阶梯轴，因各段的Wt不同 ,最大切应 力不一定在最大T所在截面，须综合考 虑T和Wt，确定T/ Wt极值。
1 G1 2 G2
2) 在下述三种情况下的切应力分布情况： （1）G1 > G2; （2） G1=G2 ; （3） G1<G2
G2Ip2
R2
G1Ip1
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学 第3章扭转
d 90 ×10 −3 m − 2 × 2.5 × 103 m α= = D 90 × 10 −3 m = 0.944
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
中南大学土木工程学院
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
材料力学 第三章-扭转
1.受力特点： 1.受力特点：承受的外力或其合力均是绕轴线转动 受力特点 的外力偶。或外力偶作用平面和杆件横截面平行。 的外力偶。或外力偶作用平面和杆件横截面平行。 2.变形特点 相邻截面绕轴相对转动。 变形特点： 2.变形特点： 相邻截面绕轴相对转动。
Me
A
扭转
Me
ϕ
B
B'
ϕ：相对扭转角 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。
τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy
x
τ =τ ′
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
y
τ′
A dy B dx D dz C
τ
x
τ =τ ′
切应力互等定理
单元体上两个互垂面上切 应力的大小相等、 应力的大小相等、方向相 反，共同指向截面交线或 背离截面交线。 背离截面交线。
扭转
三、强度条件Strength condition
Tmax = ≤ [τ ] ，[τ]—许用切应力； 许用切应力； τ 许用切应力 Wp
强度条件： 强度条件：τ max
τ max --最大工作切应力 最大工作切应力
根据强度条件可进行： 根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 强度校核 选择截面 计算许可荷载。 计算许可荷载。
y
τ′
A dy D dz C
τ
怎样才能平衡？ 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 微元能不能平衡 哪些力互相平衡？？ 哪些力互相平衡？
x
B dx
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
Me
A
扭转
Me
ϕ
B
B'
ϕ：相对扭转角 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。
τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy
x
τ =τ ′
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
y
τ′
A dy B dx D dz C
τ
x
τ =τ ′
切应力互等定理
单元体上两个互垂面上切 应力的大小相等、 应力的大小相等、方向相 反，共同指向截面交线或 背离截面交线。 背离截面交线。
扭转
三、强度条件Strength condition
Tmax = ≤ [τ ] ，[τ]—许用切应力； 许用切应力； τ 许用切应力 Wp
强度条件： 强度条件：τ max
τ max --最大工作切应力 最大工作切应力
根据强度条件可进行： 根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 强度校核 选择截面 计算许可荷载。 计算许可荷载。
y
τ′
A dy D dz C
τ
怎样才能平衡？ 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 微元能不能平衡 哪些力互相平衡？？ 哪些力互相平衡？
x
B dx
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
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a
'
d
b
'
c
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
§3-3 关于切应力的若干重要性质
薄壁圆筒轴的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 1、实验：
t
1 r0 , r0：为平均半径） 10
2
d
T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 A 0
2
T 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 l
为扭转角
r0 l
r0 l
即
做薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— 2 2r0 t r0 l
3
C
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
T3
3
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C 6.37 M4
P M e 7.024 (kN m) n
其中：P — 功率，马力（PS）
1PS=735.5N· m/s , 1kW=1.36PS
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
1、扭转杆件的内力（截面法）
取左段为研究对象：
m
m
m
x
0, T m 0
m T
T m
取右段为研究对象：
x
m
m
T m
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力 （1） 0 0 （2） 0 0 因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律：
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
微段扭转 变形 d
DD' Rd tan dx dx
第三章
扭 转
§3-1 扭转概念和工程实例
§3-2 自由扭转杆件的内力计算 §3-3 关于切应力的若干重要性质
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
§3-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算
§3-6 圆轴扭转破坏分析
§3-1
扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
mA
阻抗力偶
主动力偶
me
主要发生扭转变形的杆——轴。
§3-2
自由扭转杆件的内力计算
一、外力偶矩计算
功率、转速与外力偶矩的关系：
P Me 其中：P — 功率（W）， — 角速度（1/s） 2n P Me 其中：n — 转速，转/分（rpm, r/min） 60 P 其中：P — 功率，千瓦（kW） M e 9549 (N m) n .m/s 1kW=1000N P M e 9.55 (kN m) n
x
0, m T 0
T
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
+
T
-
3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
扭矩图作法：同轴力图： 例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
得
F 0 F 0 M 0
y x z
自动满足
存在'
y
切应力互等定理
'
a dy
O ' dx
d
c x
z
b
在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上
0, 0 0 0
D
t
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
tan dd d
dx
dx
d dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
解：
一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 A
M3 B
M1
M4
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
剪切虎克定律
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p,
G
E G 2(1 )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 Me M
e
y a
dy b
'
d x d z
d
O '
c
d yd z
x
z
dx
d y d z d x d x d z d y