2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版检测：基础保分强化训练(四) Word版含解析
2020版高考数学二轮复习第一部分小题强化练小题强化练(四)(含解析)(最新整理)
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小题强化练(四）一、选择题1．设集合A＝｛y｜y＝log2x,0〈x≤4}，B＝{x|e x〉1}，则A∩B＝（)A．（0，2）B．（0，2]C．(－∞，2）D．R2．若i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝｜1－i｜＋i,则z的虚部为（)A。
错误!B。
错误!－1C.错误!iD.错误!3．设随机变量X～N（1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注:若X～N（μ，σ2)，则P（μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0。
954 5.A．6 038 B．6 587C．7 028 D．7 5394．《九章算术》中的“竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为（)A。
133升B。
错误!升C.199升D。
2512升5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E,F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( ）A.13B。
浙江专版2020年高考数学二轮专题复习保分大题规范专练四(20201124122828)
保分大题规范专练（四）1.函数f(x) =2sin( G.Y+/)( G>0, 0< 0<丁)的部分图象如图所示，M为最髙点，该图象与y轴交于点尸（0, a与X轴交于点B, G且△•蚊的面积为几・（1）求函数f&）的解析式;⑵若彳°一+）=^^，求cos 2 O的值.解：⑴因为Ssr=*X2X A證=刃，2 H所以最小一正周期T=2 H = ‘ Q = l,（I）由/(0) =2sin e=型,得sin 0=乎，因为0< 所以0=亍所以f3=2sin(*+-jj・(2)由彳a— )=2sin a得sin a =誓，所以cos 2.=l-2sin：a=z.2•如图，四边形個刃是圆台0Q的轴截面，AB=2CD=\.点“在底而圆周上，且ZAO)f=^r, DM LAC.（1）求圆台血的体积：（2）求二而角月DM 0的平而角的余弦值.解：法一：（1）由已知可得01/丄平面月血又AC丄DM从而有ACLD0.由平面几何性质可得ACLCB.设00,=h,在Rt △遊中，AC+BC=Aff.即（9+尸）+ （1+牙）=16, ••丄=羽，lw］台oa 的体积K=| n h（£ + +£） = —.（2）过点0在内作0EA.DM,作如丄平而加也垂足分别为E、连接胡易得EHLDM.故乙OEH 就是二面角於DM 0的平而角.在△QQ/中，0E=©易得D 、f=A ）f=2筋AD=2, Sz 产寸i ・ 由V 检備0 /"=卩險俊0亦,则二面角月DM 0的余弦值为芈.法二：（1）由题意可得0久0如 血两两互相垂直，以0为原点，分别以直线。
也OB. oa 、）7 X, y, z 轴建立空间直角坐标系（图略）,设 0Q=/?（QO ）,则 D （0, -1, h ）. M2, 0, 0）, J （0, -2, 0）, C （0, b A ）,A DM = (2, b -A), AC = (0, 3, A),DM A. AC. :.~DM • ~AC=3-/f=0. 解得h 卡,鬪台 OOi 的体积 K=| n 力Crj + iYn+iD =?£（2）由（1）知加=（2,2,0）, 莎=（2,1, —萌），而=（2,0,0）, 设平^ADM,平而〃H 的法向量分别为U= （-V1，Jit zj,卩=（上，必，7）,取 u=£, 一萌，1）,卩=（0, © 1）,u ■ “ \i77 *又二面角川DM 0为锐角，则二面角月DM 。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练 全集 理
基础保分强化训练(一)1．设集合A ＝{x ∈Z |x 2≤1}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,1} B ．{0} C ．{－1,0,1} D ．[－1,1]答案 C解析 ∵A ＝{x ∈Z |x 2≤1}＝{－1,0,1}，B ＝{－1，0,1,2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1}．故选C.2．已知复数z 满足：1＋z 1－z ＝－i(i 是虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则复数1＋z －对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由已知，得1＋a ＋b i ＝(1－a －b i)·(－i)，整理，得1＋a ＋b ＋(b －a ＋1)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，b －a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.故z ＝－i,1＋z －＝1＋i.所以1＋z －对应的点位于复平面内第一象限，故选A.3．直线y ＝3x 被圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0截得的弦长为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D. 2 答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|3＋1＝32，弦长为2×1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin2α的值等于( ) A.1225 B ．－1225 C.2425 D ．－2425答案 D解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425，故选D.5．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是( )A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加答案 D解析设2016年该校参加高考的人数为S，则2019年该校参加高考的人数为1.5S,2016年一本达线人数为0.28S,2019年一本达线人数为0.24×1.5S＝0.36S，可见一本达线人数增加了，故A错误；2016年二本达线人数为0.32S,2019年二本达线人数为0.4×1.5S＝0.6S，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故B错误；2016年和2019年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故C错误；2016年不上线人数为0.32S,2019年不上线人数为0.28×1.5S＝0.42S，不达线人数有所增加．故选D.6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )A．4 B．10 C．16 D．32答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.7．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( ) A.14AB →－34AC → B.14AB →＋34AC →C.34AB →－14AC →D.34AB →＋14AC → 答案 B解析 在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B. 8.已知函数f (x )＝sin x ＋lg (x 2＋1＋x )，g (x )＝cos x ＋2x ＋2－x，若F (x )＝f (x )g (x )＋2，则F (2019)＋F (－2019)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．1 答案 A解析 由题意可知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且定义域均为R ，所以f (x )g (x )为奇函数，令φ(x )＝f (x )·g (x )，则φ(2019)＋φ(－2019)＝0，因为F (x )＝f (x )·g (x )＋2＝φ(x )＋2，所以F (2019)＋F (－2019)＝φ(2019)＋2＋φ(－2019)＋2＝4，故选A.9．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59 C.49 D.513答案 D解析 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选D.10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是线段BC 1上一动点，则AP ＋PD 的最小值为( )A.3－ 6B.3－ 3C.3＋ 3D.3＋ 6答案 D解析 根据题意可得正方体如下图，将平面ABC 1D 1和平面DBC 1沿BC 1展开到一个平面内可得下图：由图可知，AP ＋PD 的最小值为AD ′，因为AB ＝1，BC 1＝BD ＝DC 1＝2，所以∠ABD ′＝150°，在△ABD ′中，由余弦定理可得AD ′2＝AB 2＋BD ′2－2AB ·BD ′·cos150°，代入可得AD ′2＝1＋2＋2×1×2×32＝3＋6，所以AD ′＝3＋6，故选D. 11．已知函数f (x )＝x 3－9x 2＋29x －30，实数m ，n 满足f (m )＝－12，f (n )＝18，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案 A解析 因为三次函数的图象一定是中心对称图形，所以可设其对称中心为(a ，c )，f (x )＝x 3－9x 2＋29x －30＝(x －a )3＋b (x －a )＋c ＝x 3－3ax 2＋(3a 2＋b )x －a 3－ab ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＝－9，3a 2＋b ＝29，－a 3－ab ＋c ＝－30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝3，所以f (x )的图象关于点(3,3)中心对称．又f (m )＝－12，f (n )＝18，f (m )＋f (n )2＝－12＋182＝3，所以m ＋n2＝3，得m ＋n ＝6，故选A.12．运行程序框图，如果输入某个正数n 后，输出的s ∈(20,50)，那么n 的值为________．答案 4解析 依次运行框图中的程序，可得， 第一次：s ＝1＋3×0＝1，k ＝2； 第二次：s ＝1＋3×1＝4，k ＝3； 第三次：s ＝1＋3×4＝13，k ＝4； 第四次：s ＝1＋3×13＝40，k ＝5； 第五次：s ＝1＋3×40＝121，k ＝6； …因为输出的s ∈(20,50)，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中n 的值为4.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x －y 的最大值是________．答案 12解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤1，y ≥－1表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线2x－y ＝0并平移，数形结合知，当直线经过点A 时，z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z max ＝2×12－12＝12.14．若x 10－x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 5＝________. 答案 251解析 x 10－x 5＝[(x －1)＋1]10－[(x －1)＋1]5，则a 5＝C 510－C 05＝252－1＝251.基础保分强化训练(二)A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A. 8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种 答案 A解析 由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0 答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA→＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.基础保分强化训练(三)1．已知1－i z＝(1＋i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 B解析 ∵1－i z ＝(1＋i)2，∴z ＝1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i ，∴z －＝－12＋12i.故选B. 2．设命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，则p 为( )A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 B ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 C ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0答案 A解析 ∵命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，∴p 为∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.故选A.3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |1<x <4} C ．{2,3} D ．{1,2,3,4}答案 C解析 因为A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，所以A ＝{1,2,3}，因为B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，所以B ＝{2,3,4}，根据集合交集运算，可得A ∩B ＝{2,3}，所以选C.4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意，该框图的含义是： 当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1； 当x >2时，得到函数y ＝log 2x . 因此，若输出的结果为1时，①若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2； ②若x >2，得到log 2x ＝1，解得x ＝2(舍去)．因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．故选B.5．已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 答案 A解析 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A.6．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为矩形，且A (－1,1)，B (1,1)，C (1,0)，D (－1，0)，曲线y ＝|x |3过点A 和B ，则在矩形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为( )A.45B.34C.23D.12 答案 B解析 因为当x ≥0时，y ＝|x |3，即y ＝x 3，⎠⎛01x 3d x ＝14x 410＝14，所以阴影部分的面积为34×2＝32，因为矩形ABCD 的面积为2，所以点M 在阴影区域内的概率为34，故选B. 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.272B ．27C ．27 2D ．27 3 答案 D解析 在长、宽、高分别为3,33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C －BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝273，故选D.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN |＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－3答案 D解析 设AF ，FB 的中点分别为D ，E ，则|AB |＝2|DE |，由题得|DE |＝43sinπ3＝8，所以|AB |＝16，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋p ＝16，∴x 1＋x 2＝16－p ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴3x 2－5px ＋34p 2＝0，所以16－p ＝5p 3，∴p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3.故选D.9．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝( )A.16B.13C.12D.23 答案 B解析 如图，由题意可知，点D 在平行于AB 边的中位线EF 上且满足DE ＝13AB ，S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，∴S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，∴S △BCD S△ABD ＝13，故选B.10．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E .从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°.若测得DC ＝23，CE ＝2(单位：百米)，则A ，B 两点间的距离为( )A. 6 B ．2 2 C ．3 D ．2 3 答案 C解析 根据题意，在△ADC 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝67.5°，DC ＝23，则∠DAC ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC ＝DC ＝23，在△BCE 中，∠BCE ＝75°，∠BEC ＝60°，CE ＝2，则∠EBC ＝180°－75°－60°＝45°，则有EC sin ∠EBC＝BCsin ∠BEC，变形可得BC ＝EC ·sin ∠BECsin ∠EBC＝2×3222＝3，在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝3，∠ACB ＝180°－∠ACD －∠BCE＝60°，则AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝9，则AB ＝3.故选C.11．已知直线l 与曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9相交，交点依次为A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝5，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x －5D ．y ＝－3x ＋2答案 B解析 设f(x )＝x 3－6x 2＋13x －9，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋13，设g(x )＝3x 2－12x ＋13，则g ′(x )＝6x －12，令g ′(x )＝0，得x ＝2，所以曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9的对称中心为(2,1)．由|AB |＝|BC |可知直线l 经过点(2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－6x 2＋13x －9，(x －2)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，因此可得直线l 过点(1，－1)，(3,3)，(2,1)，所以直线l 的方程为y ＝2x －3.故选B.答案 1解析 由二项式定理的展开式可得C r 10x10－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ,0)，B (m ,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．答案 [4,6]解析 由已知，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，又AB 的中点为原点，则|AB |＝2m ，则|m －1|≤(0－3)2＋(0－4)2≤m ＋1，解得4≤m ≤6，即m 的取值范围是[4,6]．14．已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，AB ＝6，BC ＝3，PE ＝2，则四棱锥P －ABCD 的外接球半径为________．答案 2解析 如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为O 1，由正弦定理可求出三角形PBC 外接圆半径为102，设F 为BC 边的中点，进而求出O 1F ＝12，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O 1F 2＝4，所以四棱锥外接球半径为2.基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4]D ．(0,4)答案 B解析 当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z|＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i答案 D解析 设z ＝a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析 将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49答案 A解析 如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|PA →|＝23，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln ((－x )2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时，x 2＋1＋x 单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分； Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12 D.32答案 B解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52， 即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析 根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即b a＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BCsin ∠A ＝AB sin ∠ACB ，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析 当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n (n －1)2＋1，由c n ＝n (n －1)2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.基础保分强化训练(五)答案 D 解析2．在复平面内，表示复数z ＝1＋2i1－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 由复数除法运算，可得z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，所以在复平面内对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即位于第二象限，所以选B.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为43，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1答案 D解析 设P (x 0，y 0)，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝c |y 0|＝43，则|y 0|＝43c ＝43a 2－4，若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2＝43，则0<|y 0|<2，即0<43a 2－4<2，解得a >4，e ＝a 2－4a ＝1－4a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，故选D. 4．设a ，b 为实数，则“a 2b <1”是“b <1a2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当b <1a 2成立时，a 2>0，从而ba 2<1一定成立．当a ＝0时，a 2b <1不能得到b <1a2，所以“a 2b <1”是“b <1a2”的必要不充分条件．5.执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )A.47B.45C.35D.34 答案 C解析 执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a>0，所以所求的概率为35.6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 3a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 1a 2019＝3，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝( )A ．2020B ．1010 C.20194 D.20192答案 D解析 由于b n ＝log 3a n ，所以b 1＋b 2019＝log 3a 1＋log 3a 2019＝log 3(a 1a 2019)＝1，因为{b n }是等差数列，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝b 1＋b 20192×2019＝20192，故选D.7．已知F 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－3 3 D ．3 3 答案 D解析 由题意知，双曲线渐近线为y ＝±ba x ，设直线方程为y ＝33(x ＋c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋c )，y ＝－b a x ，得y A ＝c 3＋a b.同理可得y B ＝c 3－a b，∵A 是FB 的中点，∴y B ＝2y A ⇒b＝3a ⇒c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴y A ＝32a ，y B ＝3a ⇒x A ＝－12a ，x B ＝a ，∴x C ＝x A ＋x B 2＝a 4，y C ＝y A ＋y B2＝334a ，∴k OC ＝y Cx C＝33，故选D. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532D ．3 3 答案 C解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为3，底面是一个边长为2的正三角形，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，故选C.9．已知四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 是边长为2的等边三角形，BD ＝DC ，BD ⊥DC ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.24 B.23 C.12 D.34答案 A解析 根据题意画出图形如图所示．∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，∴DC ⊥平面ABD ，以过点D 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0，0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A (1，0，3)，∴DB →＝(2,0,0)，AC →＝(－1,2，－3)，∴cos 〈DB →，AC →〉＝DB →·AC →|DB →||AC →|＝－22×22＝－24，∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为24.故选A.10．函数f (x )＝sin x2ex 的大致图象是( )答案 A 解析11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝60°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，则a ＋2c 的最小值为( )A ．4B ．5C ．2＋2 2D ．3＋2 2答案 D解析 根据题意，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ，因为∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，所以S △ABD ＝12BD ·c ·sin∠ABD ＝34c ，S △CBD ＝12BD ·a ·sin∠CBD ＝34a ，而S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，所以34ac ＝34c ＋34a ，化简得ac ＝c ＋a ，即1a ＋1c ＝1，则a ＋2c ＝(a ＋2c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝3＋a c ＋2c a ≥3＋2a c ·2ca≥3＋22，当且仅当a ＝2c ＝2＋1时取等号，即最小值为3＋22，故选D.12．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝4解析 设圆心坐标为(a,0)，半径为R ，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，圆心与切点连线必垂直于切线，根据点到直线的距离公式，得d ＝R ＝2＝|3a ＋4×0＋4|32＋42，解得a ＝2或a ＝－143⎝ ⎛⎭⎪⎫因圆心在x 轴的正半轴，a ＝－143不符合，舍去，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (0,3]解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝mx ＋m－1在区间(－∞，0)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1≤20＋1＝2，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]．14．如图所示，阴影部分由函数f (x )＝sin πx 的图象与x 轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为________．答案2π解析基础保分强化训练(六)1．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为( )A ．20B ．17C ．14D ．23 答案 B解析 因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为8＋12－3＝17.2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，N ＝{x |log 12(x －2)≥1}，则M∩N＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3答案 B解析 M ＝(2,3)，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x －2≤12＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，所以M ∩N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，选B.3．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，则(a －b )·b ＝( ) A ．－16 B ．－13 C ．－12 D ．－10 答案 C解析 ∵向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，∴a ·b ＝|a ||b |·cos60°＝2×4×12＝4，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝4－16＝－12.故选C.4．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术法》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334π B.332π C.12π D.14π答案 B解析 如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π.5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 1>0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )<0⇒1＋q <0⇒q <－1⇒q <0，而a 1>0，q <0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )>0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要不充分条件．6．执行如图的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]．若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由题意可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t (t <1)，4t －t 2(t ≥1)，画出该函数的草图．由图可知，若s ∈[0,4]，则(n －m )max ＝4－0＝4.故选D.7．在复平面内，复数z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )对应向量OZ →(O 为坐标原点)，设|OZ →|＝r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n(cos n θ＋isin n θ)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝( )A.12－32i B ．－12－32iC.12＋32i D ．－12＋32i答案 A解析 由题意得复数z ＝12＋32i 可化为z ＝cos π3＋isin π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π35＝cos 5π3＋isin 5π3＝12－32i.故选A. 8．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为( ) A ．27π B ．93π C ．9π D ．33π 答案 B解析 由题意可知，底面半径r ＝6sin30°＝3，圆锥的高h ＝6cos30°＝33，所以圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝93π，故选B.9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α＝( ) A ．－210 B ．－25 C.25 D.210答案 D解析 由题意可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，结合两角差的余弦公式有cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝210.故选D.10．已知四边形ABCD 为矩形，且AB ＝2BC ，点E ，F 在平面ABCD 内的射影分别为B ，D ，且BE ＝DF ，若△ABE 的面积为4，若A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点都在球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为( )A ．32πB ．25πC ．52πD ．85π 答案 D解析 设AB ＝2a ，BE ＝b ，则BC ＝a ，所以△ABE 的面积为12×2ab ＝4，即ab ＝4，由图形可观察出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点所在的多面体可以通过补形为长方体，如图所示，则球O 的表面积为S ＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋a 2＋b 222＝4π·5a 2＋b 24≥25ab π＝85π，当且仅当b ＝5a且ab ＝4时，等号成立，故选D.11．一项针对都市熟男(三线以上城市，30～50岁男性)消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生(80后)的被调查者、1980年以前出生(80前)的被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是( ) A ．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品 B ．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前 C ．80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品 D ．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2∶1 答案 D解析 从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A 正确；从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B 正确；从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为32.1%，超过3成，所以C 正确；根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选D.12．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －2x3n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．答案 112解析 依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x8－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.13．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________；随机变量ξ的期望是________．答案 351解析 根据题意知ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15；P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝2)＝C 22C 14C 36＝15；所以E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.14．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点A 作AA 1⊥y 轴，垂足为A 1，连接A 1B 交x 轴于点C ，若当|AB |长度最小时，四边形AA 1CF 的面积为6，则p ＝________.答案 4解析 因为当|AB |长度最小时，AB ⊥x 轴，垂足为F ，且|AF |＝|BF |＝p ，△BFC 与△BAA 1相似，且相似比为1∶2，因为四边形AA 1CF 的面积为6，所以S △AA 1B ＝8，又因为S △AA 1B ＝12×p2×2p ，所以p ＝4.。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版(跟踪检测)：解答题分类特训解答题分类特训4含答案
又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，所以BF∥平面ADP.
(2)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，
又AD⊥DC，且PD∩DC＝D，所以AD⊥平面CDPE.
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设PE＝1，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,2)，F(0,2(x，y，z)，
(2)如图所示，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(－2，2,0)．因为M是棱PD的中点，所以M(－1,1,1)．所以 ＝(－1,1,1)， ＝(2,0,0)，设n＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，所以 即 令y＝1，则 所以平面MAB的一个法向量为n＝(0,1，－1)．因为N是棱AB上一点，所以设N(x,0,0)，0≤x≤2， ＝(－x,2,0)．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的一个法向量n＝(0,1，－1)，所以sinα＝|cosn， |＝ ＝ ，解得x＝1，即AN＝1，NB＝1，所以 ＝1.
则 即
令y＝－1，则x＝1，z＝2，
所以n＝(1，－1,2)为平面BDF的一个法向量．
因为平面PDF的一个法向量为 ＝(2,0,0)，且二面角BDFP的平面角为钝角，
所以二面角BDFP的余弦值为－|cos〈 ，n〉|＝－ .
2．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA＝AB＝AC＝2，BC＝2 .
2020高考数学（理科）二轮专题复习课标通用版（跟踪检测）：解答题分类特训解答题分类特训4含答案
2020高考理科数学二轮分层特训卷：热点练(四)Word版含解析
热门 (四 ) 数列中的奇偶分类和最值1． (偶数项 ) 已知等差数列 { a } 的前 9 项和为 27，a ＝8，则 a＝ ()n10100A ．100B ．99C ．98D ． 97 答案： C分析： 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 { a n } 为等差数列，且 S 9＝9a 5＝ 27，所以 a 5＝ 3. 又 a ＝ 8，所以 5d ＝ a － a ＝ 5，所以 d ＝ 1，所以 a ＝ a ＋ 95d ＝ 98，应选 C.1010 5 100 52．(项数的最值 ) 已知 S是等差数列 { a } 的前 n 项和， a ＝ 2，a ＋ a ＝ a ，若 S >32，则nn1 1 4 5 nn 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ． 6答案： D分析： 由 a 1＝1 45，可得公差 5 662 且 a ＋ a＝ad ＝ 2，所以 S ＝ 30， S ＝ 42，即 S >32，应选D.3．(奇数项和 )已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，当 n ≥2 时，a n ＋ 2S n － 1＝n ，则 S 2 017的值为()A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 007答案： C分析： 因为 a nn －1＝ n ，n ≥ 2，所以 a n ＋ 1n*，两式相减得 a n ＋ 1n＋ 2S ＋ 2S ＝n ＋ 1，n ∈ N＋ a＝ 1， n ≥ 2.又 a 1＝ 1，所以 S 2 017＝a 1＋( a 2＋ a 3 )＋ ＋ (a 2 016＋ 22 017)＝ 1 009，应选 C.4． (项数的最值问题 )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若a 8<0，且 a 9 >|a 8 |，则使 S n >0建立的最小正整数 n 为 ()A ．15B ．16C ．17D ． 18 答案： B分析： 因为 a 8<0 ，且 a 9 >|a 8 |，所以此等差数列从第一项到第八项都是负数，从第九项开始是正数，因为 a 89710 1 16 8 9 8 n建立的最小正＋ a ＝ a ＋ a ＝ ＝ a ＋ a ，a ＋ a >0 ，a <0 ，所以使 S >0整数 n ＝ 16，应选 B.5．(数列中奇偶分类问题 )已知数列 { b n } 知足 b 1＝2n π n π1，b 2＝ 4，b n ＋ 2＝ 1＋ sin 2 b n ＋ cos 2，23 项的和为 ( )2则该数列的前A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047 答案： A分析： b 1 2n ＋22n π 2n π＝ 1＋ sinn2，＝1， b ＝ 4， b 2 b ＋ cos当 n 为奇数时， b n ＋2＝ 2b n ，数列为以 2 为公比的等比数列，当 n 为偶数时， b n ＋2＝ b n ＋ 1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴前 23 项和 S 23132324221－ 21211× 11－1＋ 11× 4＋＝( b ＋b ＋ ＋ b ) ＋(b ＋ b ＋ ＋ b )＝1－ 22×1＝ 212－ 1＋ 44＋55＝ 4 194，应选 A. 6． (奇数项和 )已知等差数列 nn≠ 0，若 n ≥2 且 an －1n ＋ 122n －1n{ a } 中， a ＋ a－ a ＝0， S＝ 38，则 n 等于 ________．答案： 10分析： ∵ { a n } 是等差数列， ∴2a n ＝ a n －1 ＋ a n ＋1，又 ∵a n － 1＋ a n ＋12＝0，∴ 2a2－a n n － a n ＝ 0， 即 a n (2 －a n )＝0.∵ a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，∴ S 2n － 1＝ (2n － 1)a n ＝ 2(2n － 1)＝ 38，解得 n ＝ 10.7．(范围问题 )在等差数列 { a } 中， a ＝ 7，公差为 d ，前 n 项和为 S ，当且仅当 n ＝8 时，n1nS n 获得最大值，则 d 的取值范围为 ________．答案： － 1，－78d<0 ，d<0 ，分析： 由题意可得8即7＋ 7d>0 ，解得－ 1<d<－7a >0，8.a <0，7＋ 8d<0，98． (奇偶项和 )一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则等比数列的项数为 ________．答案： 8分析： 由题意可知公比 q ＝ 2，设该数列为 a 1， a 2 ，a 3， ， a 2n ，则 a n ＋ a n ＋1＝24，又 a 1＝1， ∴ qn －1＋q n ＝ 24，即 2n －1＋ 2n ＝ 24，解得 n ＝ 4， ∴等比数列的项数为8.9． (和的最值问题 )已知数列 { a n } 知足 2a n ＋ 1＝a n ＋a n ＋ 2(n ∈ N * )，前 n 项和为 S n ，且 a 3＝110， S 6＝ 72，若 b n ＝ 2a n － 30，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的最小值．分析： ∵ 2a n ＋1 n n ＋2 n ＋1 n ＝ a n ＋ 2 n ＋ 1 n＝ a ＋ a ， ∴ a －a － a ，故数列 { a } 为等差数列．设数列a ＋ 2d ＝ 10，1{ a n } 的公差为 d ，由 a 3＝ 10，S 6 ＝72 得6a 1 ＋15d ＝ 72， 解得 a 1＝ 2，d ＝ 4.故 a n ＝ 4n － 2，b ≤ 0，2n － 31≤ 0，1n29≤ n ≤31则 b n ＝ 2a n － 30＝ 2n － 31，令则 解得 22，b n ＋1≥ 0， 2n ＋ 2－ 31≥0，∵ n ∈N * ， ∴ n ＝ 15，即数列 { b n } 的前 15 项均为负值， ∴ T 15 最小．∵ 数列 { b n } 的首项为－ 29，公差为 2， ∴T 15＝－ 29× 15＋15× 14× 2＝－225， 2 ∴ T n 的最小值为－ 225.10． [2019 湖·南省联考 ]设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和， a 1＝ 1， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋1.(1)求数列 { a n } 的通项公式；n1(2)设 b n ＝ (－ 1) log 3a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1)当 n ＝ 1 时， 2S 1＝ 5－ 3a 2＝ 2a 1＝2，求得 a 1＝ a 2＝ 1.当 n ≥2 时， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋ 1， 2S n －1＝ 5－ 3a n ，则 2S n － 2S n － 1＝ (5－3a n ＋1)－ (5－ 3a n )，a n ＋1 1整理得 2a n ＝ 3a n － 3a n ＋1，即 a n ＝3，1可知数列 { a n} 从第 2 项起为等比数列，且a2＝ 1，公比为3，1 n即当 n≥ 2 时， a n＝－ 23 .易知 a1＝1 不知足上式，所以数列 { a n} 的通项公式为1，n＝ 1，a n＝1 n－2*.3 ， n≥ 2，n∈ N0， n＝1，(2)由 (1) 得 b n＝－1 n n－ 2 ， n≥ 2，n∈ N*，则当 n≥ 2 时， T n＝ 0＋ 0－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋(－1)n(n－2)．n－ 2 当 n 为偶数时， T n＝ (－1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ [－ (n－ 3)＋ (n－2)] ＝2；n－ 3 1－ n当 n 为奇数时， T n＝2－( n－ 2)＝2，且当 n＝1 时，知足该式．1－ n综上可得，数列 { b n2， n为奇数，n ＝} 的前 n 项和 Tn－ 22，n为偶数.。
2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版考前强化练4 客观题12+4标准练D Word版含解析
姓名，年级：时间：考前强化练4客观题12+4标准练D一、选择题的共轭1.（2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数2+i1+i复数z在复平面内对应的点位于(）A.第一象限B。
第二象限C。
第三象限 D.第四象限2。
(2019河北邢台二中二模,理1）已知集合A={(x,y）|x2+y2=1｝,B=｛（x,y)｜y=x｝，则A∩B的真子集个数为（)A。
0 B.1 C。
2 D.33。
若实数x，y满足｜x—1｜-ln y=0,则y关于x的函数图象的大致形状是（）4.（2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器-—商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸）,其体积为12.6立方寸。
若取圆周率π=3,则图中的x值为（)A。
1.5 B。
2 C.3 D。
3。
15。
若数列{a n｝是正项数列,且√a1+√a2+…+√a n=n2+n,则a1+a22+…+a nn等于(）A。
2n2+2n B。
n2+2n C。
2n2+n D.2（n2+2n）6.将函数f（x)=cosωx22sinωx2—2√3cosωx2+√3（ω〉0）的图象向左平移π3ω个单位长度,得到函数y=g(x）的图象,若y=g(x）在0,π12上为增函数,则ω的最大值为（)A。
2 B。
4 C.6 D.87。
(2019黑龙江齐齐哈尔高三二模，理7)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a〉b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点，点A在x轴上方.若｜AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16，则直线AF2的方程是（)A.2x+3y-5=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y—4=0D.3x+4y-3=08.如图是计算函数y={-x,x≤-1,0,-1<x≤2,x2,x>2的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是（）A.y=-x，y=0，y=x2B.y=-x，y=x2，y=0C.y=0，y=x2,y=-xD。
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练二理
基础保分强化训练(二)A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A. 8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种 答案 A解析 由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0 答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA→＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。
2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题基础保分强化训练
基础保分强化训练(一)1．设集合A ＝{x ∈Z |x 2≤1}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,1} B ．{0} C ．{－1,0,1} D ．[－1,1]答案 C解析 ∵A ＝{x ∈Z |x 2≤1}＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1}．故选C. 2．已知复数z 满足：1＋z1－z ＝－i(i 是虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则复数1＋z －对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由已知，得1＋a ＋b i ＝(1－a －b i)·(－i)，整理，得1＋a ＋b ＋(b －a ＋1)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，b －a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.故z ＝－i,1＋z －＝1＋i.所以1＋z －对应的点位于复平面内第一象限，故选A.3．直线y ＝3x 被圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0截得的弦长为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D. 2 答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|3＋1＝32，弦长为2×1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin2α的值等于( ) A.1225 B ．－1225 C.2425 D ．－2425答案 D解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425，故选D.5．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是( )A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加答案 D解析设2016年该校参加高考的人数为S，则2019年该校参加高考的人数为1.5S,2016年一本达线人数为0.28S,2019年一本达线人数为0.24×1.5S＝0.36S，可见一本达线人数增加了，故A错误；2016年二本达线人数为0.32S,2019年二本达线人数为0.4×1.5S＝0.6S，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故B错误；2016年和2019年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故C错误；2016年不上线人数为0.32S,2019年不上线人数为0.28×1.5S＝0.42S，不达线人数有所增加．故选D.6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.7．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( )A.14AB →－34AC → B.14AB →＋34AC →C.34AB →－14AC → D.34AB →＋14AC → 答案 B解析 在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B. 8．已知函数f (x )＝sin x ＋lg (x 2＋1＋x )，g (x )＝cos x ＋2x ＋2－x，若F (x )＝f (x )g (x )＋2，则F (2019)＋F (－2019)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．1 答案 A解析 由题意可知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且定义域均为R ，所以f (x )g (x )为奇函数，令φ(x )＝f (x )g (x )，则φ(2019)＋φ(－2019)＝0，因为F (x )＝f (x )g (x )＋2＝φ(x )＋2，所以F (2019)＋F (－2019)＝φ(2019)＋2＋φ(－2019)＋2＝4，故选A.9．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59 C.49 D.513答案 D解析 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选D.10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上一动点，则AP＋PD的最小值为( )A.3－ 6B.3－ 3C.3＋ 3D.3＋ 6答案 D解析根据题意可得正方体如下图，将平面ABC1D1和平面DBC1沿BC1展开到一个平面内可得下图：由图可知，AP＋PD的最小值为AD′，因为AB＝1，BC1＝BD＝DC1＝2，所以∠ABD′＝150°，在△ABD ′中，由余弦定理可得AD ′2＝AB 2＋BD ′2－2AB ·BD ′·cos150°，代入可得AD ′2＝1＋2＋2×1×2×32＝3＋6，所以AD ′＝ 3＋6，故选D.11.已知函数f (x )＝x 3－9x 2＋29x －30，实数m ，n 满足f (m )＝－12，f (n )＝18，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案 A解析 因为三次函数的图象一定是中心对称图形，所以可设其对称中心为(a ，c )，f (x )＝x 3－9x 2＋29x －30＝(x －a )3＋b (x －a )＋c ＝x 3－3ax 2＋(3a 2＋b )x －a 3－ab ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＝－9，3a 2＋b ＝29，－a 3－ab ＋c ＝－30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝3，所以f (x )的图象关于点(3,3)中心对称．又f (m )＝－12，f (n )＝18，f m ＋f n2＝－12＋182＝3，所以m ＋n2＝3，得m ＋n ＝6，故选A. 12．运行程序框图，如果输入某个正数n 后，输出的s ∈(20,50)，那么n 的值为________．答案 4解析 依次运行框图中的程序，可得， 第一次：s ＝1＋3×0＝1，k ＝2； 第二次：s ＝1＋3×1＝4，k ＝3； 第三次：s ＝1＋3×4＝13，k ＝4； 第四次：s ＝1＋3×13＝40，k ＝5； 第五次：s ＝1＋3×40＝121，k ＝6； …因为输出的s ∈(20,50)，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中n 的值为4.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x －y 的最大值是________．答案 12解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤1，y ≥－1表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0并平移，数形结合知，当直线经过点A 时，z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z max ＝2×12－12＝12.14．设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋(y ＋2)2＝20解析 由题意得|PA |＝|PD |＋|DA |＝|DB |＋|DA |，又点D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，且A (0，－2)，B (0,2)为椭圆的两个焦点，∴|DB |＋|DA |＝25，∴|PA |＝25，∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.基础保分强化训练(二)1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A 解析 因为z ＝1＋m i1＋i＝＋m －＋－＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以a 1＋a 132＝13×a 1＋a 72，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋62－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫252＝－35. 13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.基础保分强化训练(三)1．已知1－i z＝(1＋i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 B解析 ∵1－i z＝(1＋i)2，∴z ＝1－i＋2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i ，∴z －＝－12＋12i.故选 B.2．设命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，则綈p 为( ) A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 B ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 C ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0答案 A解析 ∵命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，∴綈p 为∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.故选A. 3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |1<x <4} C ．{2,3} D ．{1,2,3,4}答案 C解析 因为A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，所以A ＝{1,2,3}，因为B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，所以B ＝{2,3,4}，根据集合交集运算，可得A ∩B ＝{2,3}，所以选C.4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意，该框图的含义是： 当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1； 当x >2时，得到函数y ＝log 2x . 因此，若输出的结果为1时，①若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2； ②若x >2，得到log 2x ＝1，解得x ＝2(舍去)．因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．故选B.5．已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 答案 A解析 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A. 6．如图所示的几何图形中，ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，EC ＝CF ＝3，BE ＝DF ＝4，BE ⊥EF ，DF ⊥EF ，现在几何图形中任取一点，则该点取自Rt △BCE 的概率为( )A.19B.18C.17D.16答案 D解析 ∵EC ＝3，BE ＝4，BE ⊥EC ，∴BC ＝5.又由题可知BD ＝EF ＝6，AC ＝2BE ＝8，∴S △BEC＝S △DFC ＝12×3×4＝6，S菱形ABCD＝12·AC ·BD ＝24，由几何概型概率公式可得，所求概率为P ＝624＋6＋6＝16，即该点取自Rt △BCE 的概率为16.故选D.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.272B ．27C ．27 2D ．27 3 答案 D解析 在长、宽、高分别为3,33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C －BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝273，故选D.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN |＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32D ．x ＝－3答案 D解析 设AF ，FB 的中点分别为D ，E ，则|AB |＝2|DE |，由题得|DE |＝43sinπ3＝8，所以|AB |＝16，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋p ＝16，∴x 1＋x 2＝16－p ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴3x 2－5px ＋34p 2＝0，所以16－p ＝5p 3，∴p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3.故选D.9．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCDS △ABD ＝( )A.16B.13C.12D.23 答案 B解析 如图，由题意可知，点D 在平行于AB 边的中位线EF 上且满足DE ＝13AB ，S △ABD ＝12S△ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，∴S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC，∴S △BCD S △ABD ＝13，故选B.10．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E .从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°.若测得DC ＝23，CE ＝2(单位：百米)，则A ，B 两点间的距离为()A. 6 B ．2 2 C ．3 D ．2 3 答案 C解析 根据题意，在△ADC 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝67.5°，DC ＝23，则∠DAC ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC ＝DC ＝23，在△BCE 中，∠BCE ＝75°，∠BEC ＝60°，CE ＝2，则∠EBC ＝180°－75°－60°＝45°，则有ECsin ∠EBC＝BCsin ∠BEC，变形可得BC ＝EC ·sin∠BECsin ∠EBC＝2×3222＝3，在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝3，∠ACB ＝180°－∠ACD －∠BCE ＝60°，则AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝9，则AB ＝3.故选C.11．已知直线l 与曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9相交，交点依次为A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝5，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x －5D ．y ＝－3x ＋2答案 B解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋13x －9，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋13，设g (x )＝3x 2－12x ＋13，则g ′(x )＝6x －12，令g ′(x )＝0，得x ＝2，所以曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9的对称中心为(2,1)．由|AB |＝|BC |可知直线l经过点(2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－6x 2＋13x －9，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，因此可得直线l 过点(1，－1)，(3,3)，(2,1)，所以直线l 的方程为y ＝2x －3.故选B.12．已知x ∈(0，π)，且cos x ＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝________.答案7210解析 因为x ∈(0，π)，且cos x ＝45，所以sin x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22sin x ＋22cos x ＝7210.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．答案 [4,6]解析 由已知，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，又AB 的中点为原点，则|AB |＝2m ，则|m －1|≤－2＋－2≤m ＋1，解得4≤m ≤6，即m 的取值范围是[4,6]．14．已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，AB ＝6，BC ＝3，PE ＝2，则四棱锥P －ABCD 的外接球半径为________．答案 2解析 如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为O 1，由正弦定理可求出三角形PBC 外接圆半径为102，设F 为BC 边的中点，进而求出O 1F ＝12，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O 1F 2＝4，所以四棱锥外接球半径为2.基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4] D ．(0,4)答案 B解析 当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i 答案 D解析 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋ a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析 将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49答案 A解析 如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|PA →|＝23，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln (－x2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时， x 2＋1＋x单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分；Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12 D.32答案 B解析 函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52， 即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析 根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即b a＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BCsin ∠A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析 当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n n －2＋1，由c n ＝n n －2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.基础保分强化训练(五)1．集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝{|y 6y∈N *，y ∈A }中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 A ＝{x |0<x <7，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪6y∈N *，y ∈A＝ {1,2,3,6}，则B 中的元素个数为4个．2．在复平面内，表示复数z ＝1＋2i1－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由复数除法运算，可得z ＝1＋2i1－i＝＋＋－＋＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，所以在复平面内对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即位于第二象限，所以选B.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P满足△PF 1F 2的面积为43，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1答案 D解析 设P (x 0，y 0)，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝c |y 0|＝43，则|y 0|＝43c ＝43a 2－4，若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2＝43，则0<|y 0|<2，即0<43a 2－4<2，解得a >4，e ＝a 2－4a ＝1－4a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，故选D. 4．设a ，b 为实数，则“a 2b <1”是“b <1a2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当b <1a 2成立时，a 2>0，从而ba 2<1一定成立．当a ＝0时，a 2b <1不能得到b <1a2，所以“a 2b <1”是“b <1a2”的必要不充分条件．5．执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )A.47B.45C.35D.34 答案 C解析 执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a >0，所以所求的概率为35.6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 3a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 1a 2019＝3，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝( )A ．2020B ．1010 C.20194 D.20192答案 D解析 由于b n ＝log 3a n ，所以b 1＋b 2019＝log 3a 1＋log 3a 2019＝log 3a 1a 2019＝1，因为{b n }是等差数列，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝b 1＋b 20192×2019＝20192，故选D.7．已知F 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－3 3 D ．3 3 答案 D解析 由题意知，双曲线渐近线为y ＝±ba x ，设直线方程为y ＝33(x ＋c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋c ，y ＝－b a x ，得y A ＝c3＋a b.同理可得y B ＝c3－a b，∵A 是FB 的中点，∴y B ＝2y A⇒b ＝3a ⇒c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴y A ＝32a ，y B ＝3a ⇒x A ＝－12a ，x B ＝a ，∴x C ＝x A ＋x B 2＝a 4，y C ＝y A ＋y B 2＝334a ，∴k OC ＝y Cx C＝33，故选D. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532D ．3 3答案 C解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为3，底面是一个边长为2的正三角形，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，故选C.9．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝4，点E ，F ，G ，H ，M 分别是边AA ′，AB ，BB ′，A ′B ′，BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 的内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′，则动点P 的轨迹长度为( )A ．2B ．2πC ．2 3D ．4 答案 D解析 连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以MF ∥平面AA ′C ′C ，FH ∥平面AA ′C ′C ，所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D.10．函数f (x )＝sin x2ex 的大致图象是( )答案 A11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝60°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，则a ＋2c 的最小值为( )A ．4B ．5C ．2＋2 2D ．3＋2 2 答案 D解析 根据题意，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ，因为∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，所以S △ABD ＝12BD ·c ·sin∠ABD ＝34c ，S △CBD ＝12BD ·a ·sin∠CBD ＝34a ，而S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，所以34ac ＝34c ＋34a ，化简得ac ＝c ＋a ，即1a ＋1c ＝1，则a ＋2c ＝(a ＋2c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝3＋a c ＋2c a≥3＋2a c ·2ca≥3＋22，当且仅当a ＝2c ＝2＋1时取等号，即最小值为3＋22，故选D.12．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝4解析 设圆心坐标为(a,0)，半径为R ，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，圆心与切点连线必垂直于切线，根据点到直线的距离公式，得d ＝R ＝2＝|3a ＋4×0＋4|32＋42，解得a ＝2或a ＝－143⎝ ⎛⎭⎪⎫因圆心在x 轴的正半轴，a ＝－143不符合，舍去，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (0,3]解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝mx ＋m－1在区间(－∞，0)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1≤20＋1＝2，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]．14．小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，假设小华每次投飞镖均能射在标靶图形中，则小华随机向标靶投飞镖，射中阴影部分的概率是________．答案 17解析 如图，连接OB ，OA ，可得△OBM 与△OAN 全等，∴S 四边形MONB ＝S 三角形AOB ＝12×2×1＝1，即正方形ABCD 和OPQR 重叠部分的面积为1，又正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形面积为4＋4－1＝7， 故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是17.基础保分强化训练(六)1．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为( )A ．20B ．17C ．14D ．23 答案 B解析 因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为8＋12－3＝17.2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，N ＝{x |log 12(x －2)≥1}，则M ∩N ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，3B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3 答案 B解析 M ＝(2,3)，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x －2≤12＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，所以M ∩N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，选B.3．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，则(a －b )·b ＝( )A ．－16B ．－13C ．－12D ．－10 答案 C解析 ∵向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，∴a ·b ＝|a ||b |·cos60°＝2×4×12＝4，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝4－16＝－12.故选C.4．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术法》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334π B.332π C.12π D.14π答案 B解析 如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝ 34×12×6π×12＝332π.5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 1>0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2(1＋q )<0⇒1＋q <0⇒q <－1⇒q <0，而a 1>0，q <0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )>0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要不充分条件．6．执行如图的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]．若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由题意可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t t，4t －t 2t ，画出该函数的草图．由图可知，若s ∈[0,4]，则(n －m )max ＝4－0＝4.故选D.7．在复平面内，复数z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )对应向量OZ →(O 为坐标原点)，设|OZ →|＝r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n(cos n θ＋isin n θ)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝( )A.12－32i B ．－12－32iC.12＋32i D ．－12＋32i答案 A解析 由题意得复数z ＝12＋32i 可化为z ＝cos π3＋isin π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π35＝cos 5π3＋isin 5π3＝12－32i.故选A. 8．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为( ) A ．27π B ．93π C ．9π D ．33π 答案 B解析 由题意可知，底面半径r ＝6sin30°＝3，圆锥的高h ＝6cos30°＝33，所以圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝93π，故选B.9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α＝( ) A ．－210 B ．－25 C.25 D.210答案 D解析 由题意可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，结合两角差的余弦公式有cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝210.故选D.10．已知四边形ABCD 为矩形，且AB ＝2BC ，点E ，F 在平面ABCD 内的射影分别为B ，D ，且BE ＝DF ，若△ABE 的面积为4，若A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点都在球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为( )A ．32πB ．25πC ．52πD ．85π 答案 D解析 设AB ＝2a ，BE ＝b ，则BC ＝a ，所以△ABE 的面积为12×2ab ＝4，即ab ＝4，由图形可观察出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点所在的多面体可以通过补形为长方体，如图所示，则球O 的表面积为S ＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋a 2＋b 222＝4π·5a 2＋b 24≥25ab π＝85π，当且仅当b ＝5a且ab＝4时，等号成立，故选D.11．一项针对都市熟男(三线以上城市，30～50岁男性)消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生(80后)的被调查者、1980年以前出生(80前)的被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是( )A．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C．80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2∶1答案 D解析从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B 正确；从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为32.1%，超过3成，所以C 正确；根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选D.12．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为________． 答案 －52解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x＋x －3＝x －x －x，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.13．如图，有四张形状大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张，则两张卡片上的算式都正确的概率是________．答案 16解析 由题意，设卡片编号分别为1,2,3,4，算式正确的卡片的编号为1,3，取两次的基本事件总数为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，两张卡片上的算式都正确的有(1,3)，故所求概率P ＝16.14．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点A 作AA 1⊥y 轴，垂足为A 1，连接A 1B 交x 轴于点C ，若当|AB |长度最小时，四边形AA 1CF 的面积为6，则p ＝________.答案 4解析 因为当|AB |长度最小时，AB ⊥x 轴，垂足为F ，且|AF |＝|BF |＝p ，△BFC 与△BAA 1相似，且相似比为1∶2，因为四边形AA1CF的面积为6，所以S△AA1B＝8，又因为S△AA1B＝12×p2×2p，所以p＝4.。
高考理科数学二轮专题提分教程全国课件基础保分强化训练
汇报人：XX 20XX-01-24
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾与巩固 • 专题突破与技巧指导 • 真题模拟与实战演练 • 备考策略与心理调适 • 总结回顾与展望
01 课程介绍与目标
高考理科数学现状及趋势
01
高考理科数学考试内容逐年更新，注重考查学生的数学 素养和创新能力。
拓展学习领域
除了数学学科，还可以尝试学习其他相关学 科，如物理、化学等，拓宽知识面。
培养良好的学习习惯
养成定时复习、预习等良好的学习习惯，提 高学习效率。
关注考试动态和政策变化
及时了解高考政策和考试动态，为未来的学 习和备考做好准备。
谢谢聆听
函数与导数
回顾函数的概念、性质及图像，深入理解 导数定义及计算，掌握导数的应用，如单 调性、极值等。
B
C
三角函数与解三角形
梳理三角函数的基本性质、图像和公式，掌 握正弦、余弦定理在解三角形中的应用。
数列与数学归纳法
理解数列的概念及通项公式，掌握等差、等 比数列的性质及求和公式，了解数学归纳法 的原理及应用。
03
提供详细解题思路和方法，帮助学生掌握解 题技巧
04
配备真题答案和评分标准，方便学生自我评 估和查漏补缺
模拟试卷实战演练（一）
模拟真实高考环境和流 程，提升学生应试能力
涵盖高考理科数学各个 考点和题型
配备详细解析和答案， 方便学生自我检查和纠 正错误
提供个性化错题分析和 复习建议，帮助学生针 对性提升
02
高考数学命题趋势向综合性、应用性和创新性发展，强 调对数学知识的深入理解和灵活运用。
03
学生需要掌握扎实的数学基础知识，并具备解决复杂问 题的能力和创新思维。
2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版应试技巧篇(88张)
5．如图，CD，BE 分别是边长为 4 的等边△ABC 的中线，圆 O 是△ABC 的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F.在△ABC 中随机取一点，则此点取自图 中阴影部分的概率是( )
3π π
3π
3π
A. 54 B.18 C. 27 D. 108
命题意图 本题考查运用平面几何知识求几何概型的概率．
建议教师组织专门特训，向学生说明特训的目的，在考试时应使用的思 想方法、解题方法、应试技巧等，进行有针对性使用！在讲评时，教师也应 重点讲评应试技巧在每一题中是怎样使用的！为方便您理解，我们特意命制 了一套样题供您参考．
本套试卷知识点覆盖全面，试题常规，难度中等，着重 考查基础知识、基本方法与基本技能，着重考查数学的四大思想和选、填题 的特殊技法，着重考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、 数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．
相等可得ab＋＝1.a2＋b2＝2，
∴ a＝43， b＝1，
故 z＝34＋i，∴选 B.
3．等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，则 a3＋a4＋a5 ＝( )
A．14 B．21 C．28 D．63 命题意图 本题需要将问题转化为基本量(首项和公比)的运算，另外还需 注意数列中不同两项之间的关系式的灵活应用，以减少计算量．
特训样题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时
间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，M∩N＝N，则集合 N 不可能是 ()
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程高难拉分攻坚特训四理
高难拉分攻坚特训(四)1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，且S n ＝1350.若a 2<2，则n 的最大值为( )A ．51B ．52C ．53D ．54答案 A解析 因为a n ＋1＋a n ＝2n ＋1 ①，所以a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3 ②，②－①得a n ＋2－a n ＝2，且a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＝4n －1，所以数列{a n }的奇数项构成以a 1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项，2为公差的等差数列，数列{a 2n －1＋a 2n }是以4为公差的等差数列，所以S n ＝Error!当n 为偶数时，＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不n (n ＋1)2会有相邻两数之积为2700)．当n 为奇数时，＋(a 1－1)＝1350，a 1＝1351－，n (n ＋1)2n (n ＋1)2因为a 2<2，所以3－a 1<2，所以a 1>1，所以1351－>1，所以n (n ＋1)<2700，又n (n ＋1)2n ∈N *,51×52＝2652，所以n ≤51，故选A.2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．答案 51281解析 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E 点，设BC ＝a ，则BO ＝a ，22在Rt△EOB 中，则有EO 2＋OB 2＝EB 2，故EO ＝，正四棱锥的高为2＋ ，正4－a 224－a 22四棱锥的体积为V ＝×a 2×，令x ＝ ，x ∈(0,2)，则V (x )＝×(8－2x 2)13(2＋4－a 22)4－a 2213×(2＋x )，即V (x )＝×(－2x 3－4x 2＋8x ＋16)，对V (x )求导得，V ′(x )13＝×(－6x 2－8x ＋8)，令V ′(x )＝0，即－6x 2－8x ＋8＝0，解得x ＝或x ＝－2(舍去)，当1323x ∈时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，当x ∈时，V ′(x )<0，V (x )单调递减，故当(0，23)(23，2)x ＝时，V (x )max ＝.23512813．已知函数f (x )＝Error!函数y ＝f [f (x )＋1]－m (m ∈R )恰有两个零点x 1和x 2.(1)求函数f (x )的值域和实数m 的最小值；(2)若x 1<x 2，且ax 1＋x 2≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当x ≤0时，f (x )＝e －x ＋1≥2.当x >0时，f (x )＝2>0.x ∴f (x )的值域为(0，＋∞)．令f [f (x )＋1]＝m ，∵f (x )＋1>1，∴f [f (x )＋1]>2，∴m >2.又f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为(0，＋∞)．设f (x )＋1＝t 1，f (x )＋1＝t 2，且t 1<0，t 2>1.∴f (x )＝t 1－1无解．从而f (x )＝t 2－1要有两个不同的根，应满足t 2－1≥2，∴t 2≥3.∴f (t 2)＝f [f (x )＋1]≥2.即m ≥2.33∴m 的最小值为2.3(2)y ＝f [f (x )＋1]－m 有两个零点x 1，x 2且x 1<x 2，设f (x )＝t ，t ∈[2，＋∞)，∴e－x 1＋1＝t ，∴x 1＝－ln (t －1)．2＝t ，∴x 2＝.x 2t 24∴－a ln (t －1)＋≥1对t ∈[2，＋∞)恒成立，t 24设h (t )＝－a ln (t －1)＋－1，t 24h ′(t )＝＋＝.－a t －1t 2t 2－t －2a2(t －1)∵t ∈[2，＋∞)，∴t 2－t ∈[2，＋∞)恒成立．∴当2a ≤2，即a ≤1时，h ′(t )≥0，∴h (t )在[2，＋∞)上单调递增．∴h (t )≥h (2)＝－a ln 1＋1－1＝0成立．当a >1时，设g (t )＝t 2－t －2a .由g (2)＝4－2－2a ＝2－2a <0，t →＋∞时，g (t )→＋∞.∴∃t 0∈(2，＋∞)，使得g (t 0)＝0.且当t ∈(2，t 0)时，g (t )<0，t ∈(t 0，＋∞)时，g (t )>0.∴当t ∈(2，t 0)时，h (t )单调递减，此时h (t )<h (2)＝0不符合题意．综上，实数a 的取值范围为a ≤1.4．已知F 是抛物线C ：x 2＝2py ，p >0的焦点，G ，H 是抛物线C 上不同的两点，且|GF |＋|HF |＝3，线段GH 的中点到x 轴的距离为.点P (0,4)，Q (0,8)，曲线D 上的点M 满足54·＝0.MP → MQ → (1)求抛物线C 和曲线D 的方程；(2)是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 分别与抛物线C 相交于点A ，B (A 在B 的左侧)、与曲线D 相交于点S ，T (S 在T 的左侧)，使得△OAT 与△OBS 的面积相等？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)由抛物线定义知＋＝，54p 232得p ＝，12故抛物线的方程为x 2＝y .由·＝0得点M 的轨迹D 是以PQ 为直径的圆，MP → MQ → 其方程为x 2＋(y －6)2＝4.(2)由△OAT 与△OBS 的面积相等得|AT |＝|BS |，则|AS |＝|BT |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，S (x 3，y 3)，T (x 4，y 4)，由＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，＝(x 2－x 4，y 2－y 4)，AS → TB → 且＝得x 3－x 1＝x 2－x 4，即x 1＋x 2＝x 4＋x 3.AS → TB → (ⅰ)当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝m ，此时只需点(0，m )在圆D 内即可，此时4<m <8.(ⅱ)当直线l 的斜率不为0时，由方程组Error!得x 2－kx －m ＝0，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，所以Δ＝k 2＋4m >0，①且x 1＋x 2＝k .由方程组Error!得(1＋k 2)x 2＋2k (m －6)x ＋(m －6)2－4＝0，直线l 与圆D 交于S ，T 两点，所以圆心D (0,6)到直线l 的距离d ＝<r ＝2，|m －6|1＋k 2即(m －6)2<4(1＋k 2)，②且x 3＋x 4＝－.2k (m －6)1＋k 2因为x 1＋x 2＝x 4＋x 3，所以k ＝－，k ≠0，2k (m －6)1＋k 2化简得k 2＝11－2m .代入①②得Error!解得－2<m <6.又k 2＝11－2m >0，∴－2<m <.112综上所述，实数m 的取值范围为(－2,8)．。
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程仿真模拟卷四(理科)
仿真模拟卷四本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∪B ＝( ) A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32答案 B解析 因为B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，A ＝{x |x ≥1}，所以A ∪B ＝[1，＋∞)．2．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i(i 为虚数单位)，则z －＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析 由(1－i)z ＝2i ，得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，∴z －＝－1－i.3．设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，则lg E 1E 2＝25(m 2－m 1)＝25×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而E 1E 2＝1010.1. 5．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意，该框图的含义是：当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1；当x >2时，得到函数y ＝log 2x ， 因此，若输出的结果为1时，若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2， 若x >2，得到log 2x ＝1，无解，因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．6．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种 答案 C解析 6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有C 26C 24＝90种安排方法，其中A 照顾老人甲的情况有C 15C 24＝30种，B 照顾老人乙的情况有C 15C 24＝30种，A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有C 14C 13＝12种，所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12＝42种．7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AE →·EC →＝( )A.725 B.14425 C.125 D.1225答案 B解析 如图，由AB ＝3，AD ＝4，得BD ＝9＋16＝5， AE ＝AB ·AD BD ＝125.又AE →·EC →＝AE →·(EO →＋OC →)＝AE →·EO →＋AE →·OC →＝AE →·EO →＋AE →·AO →， ∵AE ⊥BD ，∴AE →·EO →＝0，又AE →·AO →＝|AE →||AO →|·cos∠EAO ＝|AE →||AO →|·|AE →||AO →|＝|AE →|2＝14425，∴AE →·EC →＝14425.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．8＋π2＋7B ．8＋3π2＋7C ．6＋3π2＋ 3D ．6＋π2＋ 3答案 B解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，其中圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为3，取BC 的中点N ，连接MN ，PN ，则该几何体的表面积为S ＝12π×1×2＋12×π×12＋2×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×3＋4＝3π2＋8＋7.9．若函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x e x ＋e －xB ．f (x )＝xe x －e －xC ．f (x )＝e x＋e－xxD ．f (x )＝e x －e －xx答案 C解析 当x →0时，f (x )→±∞，而A 中的f (x )→0，排除A ；当x ＜0时，f (x )＜0，而B 中x ＜0时，f (x )＝xe x－e－x>0，D 中，f (x )＝e x －e－xx>0，排除B ，D. 10．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[－1,4) C ．[－1，＋∞) D ．[－1,6]答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝y x，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，∵y ＝－2t2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，y max ＝－1，∴a ≥－1，故a 的取值范围是[－1，＋∞)．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，则|OB |等于( )A ．aB ．bC ．eaD ．eb 答案 A解析 如图，延长F 2B 交PF 1于点C ，在△PCF 2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC |＝|PF 2|，B 为CF 2的中点，∴在△F 1CF 2中，有|OB |＝12|CF 1|＝12(|PF 1|－|PC |)＝12(|PF 1|－|PF 2|)＝12×2a ＝a .12．设min{m ，n }表示m ，n 二者中较小的一个，已知函数f (x )＝x 2＋8x ＋14，g (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，log 2(4x )(x >0)．若∀x 1∈[－5，a ](a ≥－4)，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则a 的最大值为( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．0 答案 C解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4x )，0<x <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≥1，则g (x )max ＝g (1)＝2.在同一坐标系作出函数f (x )(－5≤x ≤a )和g (x )(x >0)的图象，如图所示．由f (x )＝2，得x ＝－6或－2，∵∀x 1∈[－5，a ]， ∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴－4≤a ≤－2，∴a 的最大值为－2.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3，则点P 到原点O 的最大距离为________．答案34解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x ＋2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，由图得，当点P 的坐标为(－5,3)时，点P 到原点的距离最大，且最大值为25＋9＝34.14．函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin x 的最小正周期为________，最大值为________．答案 π 12解析 f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为12.15．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案 168解析 第一类，先选1女3男，有C 34C 12＝8(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A 24＝12(种)，故有8×12＝96(种)；第二类，先选2女2男，有C 24C 22＝6(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A 24＝12(种)，故有6×12＝72(种)，根据分类加法计数原理共有96＋72＝168(种)．16．如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则△ABC 的面积的最大值为________．答案 3 2解析 由sin ∠ABC 2＝33，可得cos ∠ABC 2＝63，则sin ∠ABC ＝2sin ∠ABC 2cos ∠ABC 2＝223.由sin ∠ABC 2＝33<22可知，0°<∠ABC2<45°，则0°<∠ABC <90°，由同角三角函数基本关系可知，cos ∠ABC ＝13.设AB ＝x ，BC ＝y ，AC ＝3z (x >0，y >0，z >0)，在△ABD 中，由余弦定理可得， cos ∠BDA ＝163＋(2z )2－x 22×433×2z，在△CBD 中，由余弦定理可得，cos ∠BDC ＝163＋z 2－y 22×433×z，由∠BDA ＋∠BDC ＝180°， 故cos ∠BDA ＝－cos ∠BDC ， 即163＋(2z )2－x 22×433×2z ＝－163＋z 2－y 22×433×z，整理可得16＋6z 2－x 2－2y 2＝0. ① 在△ABC 中，由余弦定理可知，x 2＋y 2－2xy ×13＝(3z )2，则6z 2＝23x 2＋23y 2－49xy ，代入①式整理计算可得，13x 2＋43y 2＋49xy ＝16，由基本不等式可得， 16≥213x 2×43y 2＋49xy ＝169xy ， 故xy ≤9，当且仅当x ＝32，y ＝322时等号成立，据此可知，△ABC 面积的最大值为S max ＝12(AB ·BC )max ·sin∠ABC ＝12×9×223＝3 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a n ≠1，a n ＋1＝2－1a n(n ∈N *)，数列{b n }中，b n＝1a n －1，且b 1，b 2，b 4成等比数列． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)若S n 是数列{b n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列．(2)由题意可得b 22＝b 1b 4，即(b 1＋1)2＝b 1(b 1＋3)，∴b 1＝1，∴b n ＝n ， ∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18．(本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)在(1)中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解 (1)∵样本容量与总体个数的比是6108＝118，∴样本中包含3个年龄段的个体数，分别是： 年龄在[7,20)的人数为118×18＝1，年龄在[20,40)的人数为118×54＝3，年龄在[40,80]的人数为118×36＝2，∴从这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2. (2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为n ＝C 26＝15，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m ＝C 23＋C 22＝4，∴这2人来自同一年龄组的概率P ＝m n ＝415.19．(本小题满分12分)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱A 1B 1与BB 1的中点，M ，N 为线段C 1D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且MN ＝C 1N .(1)证明：A 1E ⊥平面AC 1D ；(2)若NE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为1020，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值． 解 (1)证明：由已知得△A 1B 1C 1为正三角形，D 为棱A 1B 1的中点， ∴C 1D ⊥A 1B 1，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，C 1D ⊂底面A 1B 1C 1，则AA 1⊥C 1D . 又A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1， ∴C 1D ⊥平面ABB 1A 1，又A 1E ⊂平面ABB 1A 1， ∴C 1D ⊥A 1E .易证A 1E ⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AC 1D ， ∴A 1E ⊥平面AC 1D .(2)取BC 的中点O ，B 1C 1的中点O 1，连接AO ，则AO ⊥BC ，OO 1⊥BC ，OO 1⊥AO ， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则B (0,1,0)，E (0,1,1)，C 1(0，－1,2)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，2， 设C 1N →＝λC 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，32λ，0，则NE →＝C 1E →－C 1N →＝(0,2，－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，32λ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32λ，2－32λ，－1， 易知n ＝(1,0,0)是平面BCC 1B 1的一个法向量，∴|cos 〈NE →，n 〉|＝32λ3λ2－6λ＋5＝1020， 解得λ＝13，λ＝－59(舍去)．∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，32，－1，C 1M →＝2λC 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，0，BM →＝BC 1→＋C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫33，－1，2， ∴cos 〈NE →，BM →〉＝－16－32－2103× 163＝－111040，∴异面直线NE 与BM 所成角的余弦值为111040.20．(本小题满分12分)已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积；(3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”．若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n2为定值．解 (1)由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程，得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b 2a2－(－a )·3b 2－a 2＝－b 2a2， 由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明：由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0. ②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 203，因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n2＝49(为定值)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝x 2，a ∈R . (1)求函数f (x )的极值点；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝1x －a >0得0<x <1a，令f ′(x )＝1x －a <0得x >1a，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以函数f (x )有极大值点为x ＝1a，无极小值点．(2)由条件可得ln x －x 2－ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln xx－x 恒成立，令h (x )＝ln x x －x (x >0)，则h ′(x )＝1－x 2－ln x x2， 令k (x )＝1－x 2－ln x (x >0)，则当x >0时，k ′(x )＝－2x －1x<0，所以k (x )在(0，＋∞)上为减函数．又k (1)＝0，所以在(0,1)上，h ′(x )>0；在(1，＋∞)上，h ′(x )<0.所以h (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝－1，所以a ≥－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(其中t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线l的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 2.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．解 (1)消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程x 2－y 2＝4(x ≥2)． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝4，得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4<θ<π4.(2)将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2cos2θ.展开得3cos 2θ－23sin θcos θ＋sin 2θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)． 因为cos θ≠0，所以3tan 2θ－23tan θ＋1＝0. 于是方程的解为tan θ＝33，即θ＝π6. 代入ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2，得ρ＝22，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12 y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．。
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基础保分强化训练（三)1．已知错误!＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )A．－错误!－错误!i B．－错误!＋错误!iC.错误!－错误!i D。
错误!＋错误!i答案B解析∵错误!＝（1＋i）2，∴z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!－错误!i，∴错误!＝－错误!＋错误!i。
故选B。
2．设命题p：∀x∈R,x3－x2＋1≤0，则p为( )A．∃x∈R，x3－x2＋1〉0 B．∀x∈R，x3－x2＋1>0C．∃x∈R,x3－x2＋1≤0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≥0答案A解析∵命题p：∀x∈R，x3－x2＋1≤0，∴p为∃x∈R,x3－x2＋1〉0.故选A.3．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x<0}，B＝｛x∈Z|0〈log5x<1}，则A∩B＝( )A．｛x|0<x<5｝B．{x|1<x<4｝C．{2，3｝D．{1，2,3,4｝答案C解析因为A＝｛x∈Z｜x2－4x〈0}，所以A＝｛1，2,3}，因为B＝{x∈Z|0<log5x〈1}，所以B＝{2,3，4}，根据集合交集运算，可得A∩B＝{2，3｝,所以选C。
4．执行如图所示的程序框图,若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析根据题意，该框图的含义是:当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x>2时,得到函数y＝log2x。
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练六理
基础保分强化训练(六)1．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为( )A ．20B ．17C ．14D ．23 答案 B解析 因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为8＋12－3＝17.2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，N ＝{x |log 12(x －2)≥1}，则M∩N＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3答案 B解析 M ＝(2,3)，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x －2≤12＝⎝⎛⎦⎥⎤2，52，所以M ∩N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，选B.3．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，则(a －b )·b ＝( ) A ．－16 B ．－13 C ．－12 D ．－10 答案 C解析 ∵向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，∴a ·b ＝|a ||b |·cos60°＝2×4×12＝4，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝4－16＝－12.故选C.4．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术法》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334π B.332π C.12π D.14π答案 B解析 如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π.5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 1>0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )<0⇒1＋q <0⇒q <－1⇒q <0，而a 1>0，q <0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )>0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要不充分条件．6．执行如图的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]．若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由题意可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t (t <1)，4t －t 2(t ≥1)，画出该函数的草图．由图可知，若s ∈[0,4]，则(n －m )max ＝4－0＝4.故选D.7．在复平面内，复数z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )对应向量OZ →(O 为坐标原点)，设|OZ →|＝r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n(cos nθ＋isin nθ)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝( )A.12－32i B ．－12－32iC.12＋32i D ．－12＋32i答案 A解析 由题意得复数z ＝12＋32i 可化为z ＝cos π3＋isin π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π35＝cos 5π3＋isin 5π3＝12－32i.故选A. 8．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为( ) A ．27π B．93π C．9π D．33π 答案 B解析 由题意可知，底面半径r ＝6sin30°＝3，圆锥的高h ＝6cos30°＝33，所以圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝93π，故选B.9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α＝( ) A ．－210 B ．－25 C.25 D.210答案 D解析 由题意可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，结合两角差的余弦公式有cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝210.故选D.10．已知四边形ABCD 为矩形，且AB ＝2BC ，点E ，F 在平面ABCD 内的射影分别为B ，D ，且BE ＝DF ，若△ABE 的面积为4，若A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点都在球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为( )A ．32π B．25π C．52π D．85π 答案 D解析 设AB ＝2a ，BE ＝b ，则BC ＝a ，所以△ABE 的面积为12×2ab ＝4，即ab ＝4，由图形可观察出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点所在的多面体可以通过补形为长方体，如图所示，则球O 的表面积为S ＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋a 2＋b 222＝4π·5a 2＋b 24≥25ab π＝85π，当且仅当b ＝5a且ab ＝4时，等号成立，故选D.11．一项针对都市熟男(三线以上城市，30～50岁男性)消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生(80后)的被调查者、1980年以前出生(80前)的被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是( ) A ．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品 B ．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前 C ．80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品 D ．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2∶1 答案 D解析 从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A 正确；从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B 正确；从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为32.1%，超过3成，所以C 正确；根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选D.12．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 3n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．答案 112解析 依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.13．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________；随机变量ξ的期望是________．答案 351解析 根据题意知ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15；P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝2)＝C 22C 14C 36＝15；所以E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.14．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点A 作AA 1⊥y 轴，垂足为A 1，连接A 1B 交x 轴于点C ，若当|AB |长度最小时，四边形AA 1CF 的面积为6，则p ＝________.答案 4解析 因为当|AB |长度最小时，AB ⊥x 轴，垂足为F ，且|AF |＝|BF |＝p ，△BFC 与△BAA 1相似，且相似比为1∶2，因为四边形AA 1CF 的面积为6，所以S △AA 1B ＝8，又因为S △AA 1B ＝12×p2×2p ，所以p ＝4.。
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练五理
基础保分强化训练(五)答案 D 解析2．在复平面内，表示复数z ＝1＋2i1－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 由复数除法运算，可得z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，所以在复平面内对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即位于第二象限，所以选B.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为43，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1答案 D解析 设P (x 0，y 0)，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝c |y 0|＝43，则|y 0|＝43c ＝43a 2－4，若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2＝43，则0<|y 0|<2，即0<43a 2－4<2，解得a >4，e ＝a 2－4a ＝1－4a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，故选D. 4．设a ，b 为实数，则“a 2b <1”是“b <1a2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当b <1a 2成立时，a 2>0，从而ba 2<1一定成立．当a ＝0时，a 2b <1不能得到b <1a2，所以“a 2b <1”是“b <1a2”的必要不充分条件．5.执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )A.47B.45C.35D.34 答案 C解析 执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a>0，所以所求的概率为35.6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 3a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 1a 2019＝3，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝( )A ．2020B ．1010 C.20194 D.20192答案 D解析 由于b n ＝log 3a n ，所以b 1＋b 2019＝log 3a 1＋log 3a 2019＝log 3(a 1a 2019)＝1，因为{b n }是等差数列，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝b 1＋b 20192×2019＝20192，故选D.7．已知F 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－3 3 D ．3 3 答案 D解析 由题意知，双曲线渐近线为y ＝±ba x ，设直线方程为y ＝33(x ＋c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋c )，y ＝－b a x ，得y A ＝c 3＋a b.同理可得y B ＝c 3－a b，∵A 是FB 的中点，∴y B ＝2y A ⇒b＝3a ⇒c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴y A ＝32a ，y B ＝3a ⇒x A ＝－12a ，x B ＝a ，∴x C ＝x A ＋x B 2＝a 4，y C ＝y A ＋y B2＝334a ，∴k OC ＝y Cx C＝33，故选D. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532D ．3 3 答案 C解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为3，底面是一个边长为2的正三角形，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，故选C.9．已知四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 是边长为2的等边三角形，BD ＝DC ，BD ⊥DC ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.24 B.23 C.12 D.34答案 A解析 根据题意画出图形如图所示．∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，∴DC ⊥平面ABD ，以过点D 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0，0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A (1，0，3)，∴DB →＝(2,0,0)，AC →＝(－1,2，－3)，∴cos 〈DB →，AC →〉＝DB →·AC →|DB →||AC →|＝－22×22＝－24，∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为24.故选A.10．函数f (x )＝sin x2ex 的大致图象是( )答案 A 解析11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝60°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，则a ＋2c 的最小值为( )A ．4B ．5C ．2＋2 2D ．3＋2 2答案 D解析 根据题意，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ，因为∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，所以S △ABD ＝12BD ·c ·sin∠ABD ＝34c ，S △CBD ＝12BD ·a ·sin∠CBD ＝34a ，而S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，所以34ac ＝34c ＋34a ，化简得ac ＝c ＋a ，即1a ＋1c ＝1，则a ＋2c ＝(a ＋2c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝3＋a c ＋2c a ≥3＋2a c ·2ca≥3＋22，当且仅当a ＝2c ＝2＋1时取等号，即最小值为3＋22，故选D.12．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝4解析 设圆心坐标为(a,0)，半径为R ，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，圆心与切点连线必垂直于切线，根据点到直线的距离公式，得d ＝R ＝2＝|3a ＋4×0＋4|32＋42，解得a ＝2或a ＝－143⎝ ⎛⎭⎪⎫因圆心在x 轴的正半轴，a ＝－143不符合，舍去，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (0,3]解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝mx ＋m－1在区间(－∞，0)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1≤20＋1＝2，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]．14．如图所示，阴影部分由函数f (x )＝sinπx 的图象与x 轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为________．答案2π解析。
2020高考数学精准提分二轮(理科)：第三篇 (四)
2020高考数学精准提分二轮：审题路线中寻求解题策略审题是解题的前提，只有认真阅读题目，提炼关键信息，明确题目的条件与结论，才能通过分析、推理启发解题思路，选取适当的解题方法.最短时间内把握题目条件与结论间的联系是提高解题效率的保障.审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾.正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向.事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分.下面结合实例，教你正确的审题方法，制作一张漂亮的“审题路线图”，助你寻求解题策略.题目的条件是解题的主要素材，条件有明示的，也有隐含的，审视条件时更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，对条件进行再认识、再加工，注意已知条件中容易疏忽的隐含信息、特殊情形，明晰相近概念之间的差异，发挥隐含条件的解题功能. 1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c. (1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 审题路线图cos B cos C ＝－b 2a ＋c ―――――――――→隐含的三角形内角和正、余弦定理转化△ABC 边或角的关系→角B 的三角函数值―――――→角B 的范围角B ――――――→应用余弦定理求ac →△ABC 的面积解 (1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝2π3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos2π3，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近已知条件，从而发现和确定解题方向.2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 审题路线图欲求tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4―→sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4―――――――――――→⎝⎛⎭⎫θ＋π4－⎝⎛⎭⎫θ－π4＝π2利用sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35易求 答案 －43解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35>0，且θ是第四象限角，易知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， ∵θ－π4＝θ＋π4－π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43. 3.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.审题路线图(1)欲证平面P AB ⊥平面P AD ―――――――――→面面垂直的判定定理找线面垂直只需证AB ⊥平面P AD ―――――→找线线垂直条件中的∠BAP ＝∠CDP ＝90°(2)求四棱锥P －ABCD 的侧面积――――――――――→各侧面多边形内角可知各边的关系明确只需求出一边长――――――――→已知四棱锥的体积列方程求出AB 即可(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ， AP ，PD ⊂平面APD ， 从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解 如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ， 故AB ⊥PE ，又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解题目的关键. 4.函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )审题路线图图象的位置―→图象的对称、升降―→图象的特殊点―→极端趋势 答案 D解析 y ＝f (x )＝2x 2－e |x |为偶函数，当x >0时，f ′(x )＝4x －e x ，作y ＝4x 与y ＝e x 的图象如图所示，故存在实数x 0∈(0，1)，使得f ′(x 0)＝0，则当x ∈(0，x 0)时，f ′(x 0)<0，当x ∈(x 0，2)时，f ′(x 0)>0，所以f (x )在(0，x 0)内单调递减，在(x 0，2)内单调递增，又f (2)＝8－e 2≈8－7.4＝0.6，故选D.5.如图，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若AB →＋AC →＝AD →，且点D 在圆C 上，则AB →·AC →＝________.审题路线图AB →＋AC →＝AD →―→四边形ABDC 为平行四边形―――――――――→结合图形中圆的特征△ABC 为正三角形―→计算AB →·AC → 答案 r 22解析 根据向量加法的平行四边形法则知， 四边形ABDC 为平行四边形，而|CD →|＝|AC →|＝|BC →|＝|AB →|＝r ，∴△ABC 为正三角形， ∴AB →·AC →＝r 22.数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，和我们熟悉的数学结构联想比对，就可以寻找到解决问题的方案. 6.(2017·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)·a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和.审题路线图(1)a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ――――→和式特征作差法求a n (2)a n 2n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)――――→结构特征裂项法求和 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 两式相减，得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2).又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *).(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1(n ∈N *).题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向.在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法.7.(2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 审题路线图已知折线图――――――→审视数据的意义基础设施投资额的变化规律―――――――→比较两种模型预测得到更可靠的模型解 (1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ⅱ)从(1)的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题.例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等.因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件，审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向.所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性.8.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 两点.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积. 审题路线图(1)焦点，离心率―→c ，a 的值―→b 的值―→椭圆的标准方程 (2)▱OPTQ →S ▱OPTQ ＝2S △OPQ →S △OPQ ＝12·|OF ||y 1－y 2|→y 1和y 2关系→直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立解 (1)由已知可得，c a ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6.又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m ，解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S 四边形OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4×－2m 2＋3＝2 3.。
2020高考理科数学二轮分层特训卷：方法技巧专练(四)Word版含解析
专练 (四)技法 14 函数方程思想1．已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，点E 在线段 AB 上运动 (包括→ →端点 )，则 EM ·EC 的取值范围是 ()1 3 A. 2，2 B. 0，21 3C. 2，2 D ．[0，1] 答案： C分析： 解法一1将正方形 ABCD 放入如下图的平面直角坐标系中，设 E(x ，0)，0≤ x ≤ 1.又 M 1， 2 ，→ 1 → → → 1C(1， 1)，所以 EM ＝ 1－ x ， 2 ， EC ＝ (1－ x ， 1) ，所以 EM ·EC ＝ 1－ x ，2 ·(1－ x ， 1) ＝ (1－x)2＋ 1 0≤ x ≤ 1，所以 1 1 3 .由于 ≤ (1－ x)2＋ ≤ ，2 2 2 2→ → 1 3 即 EM ·EC 的取值范围是 2，2 .→ →→1→→→→1→→1 → 1 解法二 EM ·EC ＝ EB ＋ 2BC ·(EB ＋BC) ＝EB 2＋ 2BC 2＝ EB 2＋ 2，又 0≤ |EB|≤ 1，所以 2 → 1≤ 3 → → 1 3 ≤EB 2 2，2 .＋ 2 2，即 EM ·EC 的取值范围是 2．将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的 最大概积为 ( )π 8πA. 27B.27 π 2πC.3D. 9 答案： B分析：r2－ x如下图， 设圆柱的半径为r ，高为 x ，体积为 V ，由题意可得 1＝2，所以 x ＝ 2－ 2r ，所以圆柱的体积V＝πr2 (2－2r )＝ 2π(r 2－ r3)(0< r<1) ，设 V( r)＝ 2π(r 2－ r3)(0< r<1) ，则 V′( r)＝2π(2r －3r 2)，2由 2 π(2r － 3r 2)＝ 0 得 r ＝，32 2 23 8π所以圆柱的最大概积 V max＝ 2π3 － 3 ＝27.3． [2019 ·西西安二模陕] 已知函数f(x)＝ x2＋4x＋ 4，若存在实数t，当 x∈ [1， t]时， f(x －a)≤ 4x(a>0)恒成立，则实数 t 的最大值是 ( )A．4 B．7C．8D． 9答案： D分析：作函数 f(x)＝ x2＋ 4x＋ 4＝ (x＋ 2)2的简图如下图．由图象可知，当函数 y＝ f(x－a)的图象经过点 (1， 4)时，有 x∈ [1，t]， f(x－ a)≤ 4x(a>0) 恒成立，此时 t 获得最大值，由(1－ a)2＋ 4(1－ a)＋ 4＝4，得 a＝5 或 a＝ 1(舍 )，所以 4t＝ (t－ 5＋ 2)2，所以 t＝ 1(舍 )或 t＝ 9，故 t＝ 9.4． [2018 全·国卷Ⅰ ]△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c.已知 bsin C＋ csin B＝4asin Bsin C， b2＋ c2－ a2＝8，则△ ABC 的面积为 ________．2 3答案：分析：∵ bsin C＋ csin B＝ 4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋ sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.1又 sin Bsin C ＞ 0，∴ sin A＝2.由余弦定理得cos A＝ b2＋ c2－ a2 ＝8 ＝ 4 ＞ 0，2bc 2bc bc3 4 8 3∴ cos A＝2 ， bc＝cos A＝3 ，∴ S△ABC＝1 b csin A＝1×8 3×1 ＝2 3.2 23 2 35．已知 { a } 为等差数列，前* )， { b } 是首项为 2 的等比数列，且公比n 项和为 S (n∈ Nn n n大于 0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－ 2a1，S11＝ 11b4.则 a n＝ ________， b n＝ ________.答案： 3n－ 22n分析：设等差数列 { a n} 的公差为 d，等比数列 { b n} 的公比为 q.由已知 b2＋ b3＝ 12，得 b1 (q212＋q － 6＝ 0，解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 3，又由于 q>0，所以 q ＝2.所＋q )＝ 12，而 b ＝ 2，所以 q 以 b ＝ 2.由 b ＝ a － 2a ，可得3d － a ＝ 8 ① .nn 34 11由 S ＝ 11b，可得 a ＋ 5d ＝ 16 ② ，联立 ①② ，解得 a ＝ 1，d ＝ 3，由此可得 a ＝ 3n11411n－2.所以数列 { a n } 的通项公式为 n n n na ＝3n － 2，数列 { b } 的通项公式为b ＝ 2 .2 26．已知双曲线 C ： x 2－ y2＝ 1(a>0， b>0) 的左、右焦点分别为 F 1(－ c ，0) ，F 2(c ， 0)， P a b是双曲线 C 右支上一点，且 |PF 2|＝ |F 1F 2|，若直线 PF 1 与圆 x 2＋y 2＝ a 2 相切，则双曲线的离心率为 ________．答案： 53分析： 取线段 PF 1 的中点为 A ，连结 AF 2，又 |PF 2|＝ |F 1F 2|，则 AF 2⊥PF 1，∵ 直线 PF 11与圆 x 2＋ y 2 ＝a 2 相切， ∴ |AF 2 |＝2a ， ∵ |PA|＝ 2|PF 1|＝a ＋ c ， ∴ 4c 2＝ (a ＋ c)2＋ 4a 2，化简得 (3c5－5a)(a ＋c)＝ 0，则双曲线的离心率为 3.1＋ 2x ＋ 4x ·a7．已知函数 f(x)＝ lga 2－ a ＋1 ，此中 a 为常数，若当 x ∈ (－∞， 1] ， f(x)存心义，则实数 a 的取值范围为 ________．3答案： － 4，＋∞分析： 参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接成立对于a 的不等式 (组 )特别困难， 故应变换思想角度， 想法从原式中把 a 分别出来， 从头认识 a 与变元 x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题 “ 峰回路转 ”．由 1＋ 2x ＋ 4x ·a >0 ，且 a 2－ a ＋ 1＝ a －1 2＋ 3>0，2－a ＋ 124a1 1得 1＋2x ＋ 4x ·a>0，故 a>－ 4x ＋ 2x .1 1当 x ∈ (－ ∞， 1]时， y ＝ 4x 与 y ＝2x 都是减函数，1 1所以，函数 y ＝－ 4x ＋2x 在 (－ ∞， 1]上是增函数，1 1 3 3所以 － － 4x ＋ 2xmax ＝－4，所以 a>－ 4.3故实数 a 的取值范围是－4，＋ ∞ .xx 2912 － 1－ a － 4 x ≥0 在 x ∈ ，＋∞上恰成立， 则 a 的取值会合8．对于 x 的不等式 e － 2 为________．答案： {2 e}x 2分析： 对于 x 的不等式 e x－9 x ≥ 0 在 x ∈ 12 － 1－ a － 4 ，＋ ∞ 上恰成立 ? 函数 g(x)＝2 e x － 1 2x 2－ 11 9 x在 2，＋ ∞ 上的值域为 a － 4，＋ ∞ . e x 1x － 1 － 2x 2＋ 1由于 g ′ (x)＝x 2，令 φ(x)＝ e x(x －1) －1x 2＋ 1， x ∈ 1，＋ ∞ ，2 2 则 φ′ (x)＝ x(e x － 1)．11 17 e由于 x ≥2，所以 φ′ (x)≥ 0，故 φ(x)在 2，＋ ∞ 上单一递加， 所以 φ(x)≥ φ 2 ＝ 8－2 >0.1所以 g ′ (x)>0，故 g(x)在 2，＋ ∞ 上单一递加，1 11e 2－ 8－ 19则 g(x)≥ g 2 ＝1＝ 2 e －4，2 99所以 a － 4＝ 2 e － 4，解得 a ＝ 2 e ， 所以 a 的取值会合为 {2e} ．9．[2018 ·国卷全 Ⅱ 节选 ] 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k>0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， |AB|＝ 8.求 l 的方程．分析： 由题意得 F(1， 0)， l 的方程为 y ＝ k(x － 1)(k>0) ．设 A(x1，y1)， B(x2， y2)，y ＝ k x － 1 ，得 k 2x 2－(2k 2＋ 4)x ＋k 2＝0.由y 2＝ 4x2k 2＋ 4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x1＋x2＝k 2.4k 2＋ 4所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF |＝(x1＋1) ＋(x2＋ 1)＝ k 2.4k 2＋ 4由题设知 k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1(舍去 )或 k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝ x －1.10．已知数列 { a } 是各项均为正数的等差数列，a ＝ 2，且 a ， a ， a ＋1 成等比数列．n1234(1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ；1 ＋1＋ ＋ 1 ，若对随意的(2)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， b n ＝ n ∈ N *，不等式n ＋ 1n ＋ 2S 2nb ≤ k 恒成立，务实数 k 的最小值． SSn2分析： (1)由于 a 1＝ 2， a 3＝a 2 (a 4＋ 1)， 又由于 { a n } 是正项等差数列，所以公差 d ≥ 0， 所以 (2＋ 2d) 2＝ (2＋d)(3 ＋3d)， 解得 d ＝ 2 或 d ＝－ 1(舍去 )， 所以数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2n. (2)由 (1) 知 S n ＝ n(n ＋ 1)，则 b n ＝ 1 ＋ 1＋ ＋ 1S n ＋1 S n ＋ 2 S 2 n 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1＝n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 2 n ＋ 3 2n 2n ＋ 11 1 1 1 1 1＝－＋－＋ ＋－n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋2 n ＋ 32n 2n ＋ 11 1 ＝ n 1 .＝－＝1 n ＋ 1 2n ＋ 1 2n 2＋ 3n ＋ 12n ＋ n ＋ 3令 f(x) ＝2x ＋ 1 (x ≥ 1)，则 f ′ (x)＝ 2－ 12， xx 当 x ≥ 1 时， f ′ (x)>0 恒成立， 所以 f(x)在 [1，＋ ∞ )上是增函数， 故当 x ＝1 时， f(x) min ＝f(1) ＝ 3，1即当 n ＝ 1 时， (b n )max ＝ 6，要使对随意的正整数n ，不等式 b n ≤ k 恒成立，1则需使 k ≥ (b n )max ＝ 6，所以实数 k 的最小值为16.。
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基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4] D ．(0,4)答案 B解析 当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z|＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i 答案 D解析 设z ＝a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k 2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析 将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)等于( ) A ．－49 B ．－43 C.43 D.49 答案 A解析 如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|P A →|＝23，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln ((－x )2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时，x 2＋1＋x 单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分；Ω1：⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )A.112B.52C.12D.32 答案 B解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12， ∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52， 即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析 根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即ba ＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BC sin ∠A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{b n}，S n为数列{b n}的前n 项和．若S n＝2b n－1，则a56＝________.答案1024解析当n≥2时，∵S n＝2b n－1，∴S n－1＝2b n－1－1，∴b n＝2b n－2b n－1，∴b n＝2b n－1(n≥2且n∈N*)，∵b1＝2b1－1，∴b1＝1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n－1.设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n}，则c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，c n－c n－1＝n－1，累加得，c n－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，∴c n＝n(n－1)2＋1，由c n＝n(n－1)2＋1＝56，得n＝11，∴a56＝b11＝210＝1024.。