伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析

第24卷　第6期摩擦学学报V o l24,　N o6 2004年11月TRIBOLOGY N o v,2004伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析方海容,丁旺才,孙启国(兰州交通大学系统分析与集成研究所,甘肃兰州　730070)摘要:对分段线性阻尼和干摩擦共同作用下的车辆悬挂系统进行了非线性动力学分析研究,阐述了判定系统周期运动稳定性的理论方法;利用数值模拟方法分析了具有不同阻尼参数组合的系统对简谐激励的振动响应,并分析了由干摩擦引起的粘-滑振动行为.结果表明:提高摩擦力对抑制响应有利,但车辆系统在低速下运行时会出现复杂的粘-滑振动,轮轨之间产生较大的瞬时刚性冲击;而通过增加轮对与侧架的弹性悬挂可以有效减弱这种瞬时刚性冲击.关键词:车辆;干摩擦;分段线性阻尼;稳定性;粘-滑振动;非线性动力学分析中图分类号:U270.1;T H117.2文献标识码:A文章编号:1004-0595(2004)06-0545-05 随着列车运行速度的提高,对机车车辆的运动稳定性、运行平稳性及曲线性能提出了更高要求.车辆的动力学性能主要取决于悬挂参数.研究表明,若能控制车辆系统中悬挂参数随位移或速度呈非线性变化关系,则有利于改善车辆的振动性能.Pun等[1]采用增量谐波平衡法分析了两自由度分段线性吸振器的动力性能,True等[2,3]利用现代非线性理论研究了车辆动力学中的混沌现象,并进行了数值模拟.已有的分段线性非光滑系统动力学研究大部分涉及刚度和阻尼随位移而变化的情况,而针对干摩擦阻尼和粘性阻尼随速度方向产生变化的非线性模型的研究较少[4～6].为此,本文作者以简化的铁道车辆垂向减振系统作为研究对象[7],在考虑钢轨波磨导致的车辆周期性激励的基础上[8,9],探讨了干摩擦和粘性阻尼随速度发生变化的分段线性振动系统的周期运动稳定性、分叉以及由干摩擦导致的粘-滑振动(stick-slip vibration)[10,11].1　力学模型和运动方程将车辆简化为某一单轴车,假定该车以等速v运行于直线轨道,且轨道的高低不平顺Y为简谐函数.系统仅由车体、轮对和一系悬挂所组成.一系悬挂包含弹簧、液压减振器和干摩擦减振器,液压减振器的阻尼系数C随速度的方向而改变.相应的力学模型如图1所示.该模型也适用于汽车系统,相当于取汽 F ig1　T he mechanical model o f the vehicle图1　车辆非线性振动力学模型车的1/4作为研究对象.系统运动微分方程为:MX+C(X-Y)+K(X-Y)+F sign(X-Y)=0.(1)C=C1,X-Y>0,C2,X-Y<0.(2)式中:Y=h sin( T+ ),h为线路不平顺的幅值; = 2v/l,l为线路波长.令x=X-Y,则式(1)变换为: Mx+Cx+K x+F sign(x)=Mh 2sin( T+ ).(3)式中:x=d x/d T.设!= M/K,t=T K/M,∀= C/(2K M),y=K x/(Mh 2),f=F/(Mh 2),则可将式(3)转化为如下的无量纲形式:y+2∀y+y+f sig n(y)=sin(!t+ ).(4)式中:y=d y/d t,且:基金项目:国家自然科学基金资助项目(10072051);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS031-B25-009-G);铁道部专项基金资助项目(JZ0002076).收稿日期:2003-12-23;修回日期:2004-03-01/联系人孙启国,e-m ail:sunqiguo2002@.作者简介:孙启国,男,1963年生,博士,教授,目前主要从事润滑理论、转子动力学和车辆动力学研究.∀=∀1=C 1/2K M ,y >0,∀2=C 2/2K M ,y <0.(5)速度方向变化时,阻尼系数的大小和干摩擦力的作用方向发生变化,从而导致系统力学特性表现为非线性.但在速度方向发生变化的两相邻临界速度0点的一段时间间隔内,式(4)为线性方程,故该系统为分段线性系统.假定t i -1和t 对应于2个相邻速度0点,称为第i 个阶段,则在该时间段里运动方程为:y i +2∀i y i +y i +f i =sin(!t +i ).(6)式中:t =t -t i -1,t i -1≤t ≤t i ,y i (t )=y (t ),i = +!t i -1(M od2 ),∀i =∀1或∀2.在0≤t ≤t i -t i -1时间段以内式(6)的方程解已知.当振子运动为非粘着运动时,则:y i (t )=e -∀i t (a i sin #i t +b i cos #i t )+A i sin(!t + i )+　B i cos (!t +i )-f i .(7)式中:#i =1-∀2i ,f i =±f ,且:A i =(1-!2)/[(1-!2)2+(2∀i !)2],B i =-2∀i !/[(1-!2)2+(2∀i !)2].另一方面,当振子在0≤t ≤t i -t i -1时间段内处于粘着状态时(此时速度一直为0),通过式(6)可以确定相应的摩擦力:f i =-y i +sin (!t +i ),!f i !≤f .(8)我们对所研究的动力系统的稳定周期运动最感兴趣.对于通常的n -k -p周期运动(n 为激励的周期数,k 为时间段总数,包括粘着和非粘着阶段,p 为粘着段数,即停顿次数),典型的时间-速度关系曲线示于图2,t k =2n /!.F ig 2　A n ex ample of periodic mot ion o f the vibr ato r图2　振子周期运动示意图在式(7)中,未知量a i 、b i 、每个时间段的通过时刻t i 及相位i 角可以通过匹配的周期与边界条件来确定.假定系统有周期解,有任意数量的阶段,则应该关注的重点在于确定周期解的稳定性,为此首先要探求合适的分析方法,然后得到相应的分岔解,以便于研究系统参数变化时解的形式及其特性的变化.2　系统的周期运动稳定性与分叉在分析周期运动的整体稳定性之前,我们分别分析非粘着和粘着运动时的情况.假定在非粘着(non-sticking )状态时运动的初始条件如下:y i (0)=y i ,y i (0)=0.(9)将式(9)代入式(7)可得:a i =[∀i (y i +f i )+(-A i ∀i +B i !)sin i -(A i !+B i ∀i )cos i ]/#i .(10a )b i =yi +f i -A i sin i -B i cos i .(10b )设y i 、 i 分别有扰动∃y i 、∃ i ,且为微小量.扰动解为:y ~i (t )=e -∀i t (a ~i sin #i t +b ~i cos #i t )+A i sin(!t + i +∃ i )+B i cos (!t + i +∃ i )-fi .(11)满足条件:y ~i (0)=y i +∃y i ,y ~・(0)=0.(12)进行微分处理后得到以下关系式:a ~i =a i + a i y i ∃y i + a i i ∃ i .b ~i =b i + b i y i ∃y i + b i i∃ i .将式(10)分别对y i 、 i 求偏导可得:a i y i =∀i #i ≡U i ,b iy i =1, a i i =1#i[(-A i ∀i +B i !)co s i +(A i !+B i ∀i )sin i ]≡V i . b ii=-A i cos i +B i sin i ≡W i .(13)这样一来,在下一个时间段[t i ,t i +1]内,令∃%i =∃ i +1-∃ i ,则扰动解满足以下条件:y ~i +1(0)=y ~i (t ~ic )=yi +1+∃y i +1.(14a)y ~・i +1(0)=y ~・i (t ~ic )=0.(14b)对式(14a)进行泰勒展开,并略去二次项和高次项,可得:u i 1∃%i +u i 2∃t i +u i 3∃ i =∃t i +1.(15)式中:u i 1=1!e i [-(a i ∀i +b i #i )s i +(a i #i -b i ∀i )c i ]+A i cos (!t ic +i )-B i sin (!t ic + i )=!y i (t ic )=0,u i 2=e i (c i +s i U i ),u i 3=e i (s i V i +c i W i ),s i =sin #i t ic ,c i =cos #i t ic ,e i =e-∀i t ic .同样地,对式(14b)进行相似处理后可得:546摩　擦　学　学　报第24卷 u i 4∃%i +u i 5∃y i +u i 6∃ i =0.(16)式中:u i 4=1![∀i (p i b i -q i a i )-#i (p i a i +q i b i )]-A i !sin (!t ic +i )-B i !cos (!t ic + i )=y i (t )ic ≡&i ,u i 5=q i U i -p i ,u i 6=q i V i -p i W i ,p i =e i (s i #i +c i ∀i ),q i =e i (c i #i -s i ∀i ).由式(15和16)可确定在第i 阶段始末扰动的关系:∃y i +1∃ i +1=P i ∃yi ∃i .(17)P iu i 2u i 3-u i 5/u i 41-u i 6/u i 4.(18)利用类似的方法可以求得系统在某粘着阶段的始末扰动关系,在式(19)中yi =y i +1=sin (!t ic + i )-f i ..(19)引入小的时间和位移扰动后,其解满足以下关系式:∃y i +1=∃y i .(20a )y i +1+∃y i +1=sin (!t ic +i +∃ i +1)-f i .(20b )对式(20b )进行泰勒展开,取一阶项∃y i +1=cos (!t ic + i )∃i +1,再联立式(19)求解可得:∃y i =±1-(y i +f i )2∃i +1.(21)式(21)的正负号取决于相位角所在的象限,由式(20a)与式(21)可得到同式(18)形式相似的表达式:P i =10±1/1-(y i +f i )20.(22)根据以上分析,如果运动在一个周期内有k 个分段解,则在一个周期内,末段的误差与初始误差的关系为:∋k +1=∃y k +1∃ k +1=(∃y k∃ k.(23)式中:(≡P k +1……P 1采用同样的分析方法可以确定一个经过m ×n 周期激振力的n 周期解的误差关系为∋mk =(m∋0.周期解渐近稳定的条件是矩阵(的特征值小于1.只要当矩阵(有一个特征值大于1时,则周期解不稳定.从上述分析可知,矩阵(的所有元素都是系统参数的已知函数.因此,系统参数变化将导致矩阵(的特征值变化.假设)是矩阵(的特征值中模最大的一个,当)=1时,可能会出现鞍结分岔、叉式分岔、超临界分岔;当)=-1时,出现周期倍化分岔;当)是模为1的复数时,出现Hopf 分岔.!)!=1时相应的系统参数确定了系统的稳定范围,并可提供在分岔值附近出现的运动类型的信息.3　数值模拟我们首先分析最简单的周期1-2运动.取定一组参数∀1、∀2、f .边界条件为:y 1(0)=y 1(t 1c )=y 2(0)=y 2(t 2c )=0,y 1(0)=y 2(t 2c ),y 1(t 1c )=y 2(0).(24)且:!t 1c +!t 2c =2 .由式(24)可以得到6个方程,当给定!时可解出6个未知数a 1、b 1、a 2、b 2、 1和 2,同时求出时间段t 1c 和t 2c .将这些值代入式(23),通过计算(的特征值来判定周期运动的稳定性.数值分析结果表明,当干摩擦无量纲值f 较小、无量纲频率!(对应于实际的激励频率与无阻尼固有频率之比)较大时,系统总是出现稳定的1-2周期运动;当f 较大、!较小时,系统可能产生周期1-3-1运动或周期1-4-2运动,这就是所谓的粘-滑振动(stick-slip v ibration).图3示出了不同阻尼组合∀1、∀2对应的幅频响应 Fig 3　Respo nse diag ra ms fo r differ entda mping combinations图3　不同分段阻尼对应的幅频响应曲线,除一条粗线外,其它4条曲线对应的干摩擦无量纲值f =0.01.当∀1=∀2时,若忽略干摩擦则系统为线性的,系统对激励的响应较清晰.由图3可以看出,∀1=0.1、∀2=0.4这一组阻尼对系统在简谐激励下的振动响应相对较好,但对来自路面的瞬态冲击或随机激励的非线性系统响应还值得进一步研究.干摩擦对系统运动的影响比较复杂,由图3中所示的粗实曲线可知,当f 较大时,系统对简谐激励下的振动响应受到明显抑制,而选用较好的阻尼组合可大幅降低系统的振动.图4(a ～c )分别示出了取不同参数值时系统的复杂周期运动,每组图包括速度、位移时间历程和相图.图4(a)表明系统在一个周期内出547第6期方海容等:　伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析(a)∀1=0.05,∀2=0.1,f =0.1,!=0.18,periodic 1-4-2motion(b)∀1=0.05,∀2=0.1,f =0.2,!=0.45,per iodic 1-3-1mo tion(c)∀1=0.1,∀2=0.1,f =0.35,!=0.15,per io dic 1-8-4motionF ig 4　I nfluence o f dr y fr ictio n on the periodic motion图4　干摩擦对系统周期运动的影响现2次停顿;图4(b )表明随着!增大系统运动转变为每周期1次停顿,随!继续增大时,系统运动将无停顿;图4(c)表明当f 较大、!较小时,系统运动每周期出现4次停顿.4　结论a.　增大摩擦力有利于抑制我国货车转向架用干摩擦减振器的振动响应;但车辆在低速下运行时出现粘-滑振动,产生类似卡滞的现象,轮轨之间产生较大的瞬时刚性冲击;为此应增加轮对与侧架的弹性悬挂.b.　干摩擦阻尼在共振点附近对激励产生振动响应的衰减效果不佳.c.　当粘性阻尼因子∀1和∀2都为正值时,车辆系统处于稳定的周期运动状态,随着频率!的增大,振幅减小.参考文献:[1]Pun D,L iu Y B.On the des ign of the piecew ise linear vibration abs orber[J ].Nonlinear Dynamics,2000,22:393-413.[2]　T rue H.Chaos in railroad vehicle dynamics [J ].Rail Trans -portation ASM E,1994,37-48.[3]　M ejaard J P,Pater A D.Railw ay vehicle systems dynam icsan d ch aotic vib rations [J ].In t J Nonlinear M echan ics ,1989,24:1-17.[4]Natsiavas S.Stability of piecewis e lin ear os cillators with -viscous and dry friction damping [J ].J ournal of S ou nd and Vibration ,1998,217(3):507-522.[5]　Wiercigroch M.A note on th e s w itch function for the stick -slip phenomenon[J].Jour nal of Sound and Vibration,1994,175:700-704.[6]　S haw S W ,Holm es P J.A per iodically forced piecew is e linearos cillator [J].Journal of S ou nd and Vibr ation,1983,90(1):700-704.[7]Gilles pie T 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University ,L anz hou 730070,China )Abstract :The no nlinear dy namics o f a vehicle suspension system w ith piecew ise linear viscous and dry fr iction dam ping was studied .T he theo retical metho d on the stability analysis of a system in periodic m otion w as presented.And num er ical simulatio n w as perfo rmed to investig ate the r esponses o f the vehicle suspension system to harmo nically ex cited vibration w ith respect to different com binatio ns of the damping param eters .T he stick -slip vibrations induced by dr y friction w ere analyzed in detail as w ell .As the results ,it w as favo rable to decreasing the respo nses amplitude of the system to v ibration by increasing the friction fo rce.How ev er ,the com plicated stick-slip vibration took place at a small velocity ,w hich led to a severe instantaneous stiff im pact lo ad betw een the w heel and rail.It w as sug gested to decrease such an instantaneous stiff im pact load by supplem enting elastic suspensio n betw een the w heelset and side frame .Key words :vehicle;dr y friction;piecew ise linear damping ;stability ;stick-slip vibration;no n-linear dynamic analysisAuthor :SU N Qi -guo ,male ,bo rn in 1963,Ph .D .,Professor ,e -mail :sunqiguo 2002@y aho o .co m .cn549第6期方海容等:　伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析。