高中数学《参数方程》同步练习1 新人教A版选修4-4
人教A版 选修4-参数方程习题
选修4——参数方程习题一、选择题1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．31(,)42-B ．1(,2C． D． A 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12y =2．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈3．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线4．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 5．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制6．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5；当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2二、填空题1．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
新人教A版选修4-4《椭圆的参数方程》习题及答案
高中数学 2.2.1椭圆的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．平面上点P 到定点F 1、F 2距离之和等于|F 1F 2|，则点P 的轨迹是____________；到定点F 1、F 2距离之和大于|F 1F 2|，则点P 的轨迹是__________；到定点F 1、F 2距离之和小于|F 1F 2|，则点P 的轨迹________．2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为________________________(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在________、焦点在________上的椭圆参数方程．►预习思考椭圆x 29＋y 24＝1的参数方程为______________________________．, 预习梳理1．线段F 1F 2 椭圆 不存在2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ 原点O x 轴预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)一层练习1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A ．π B.π2C ．2π D.3π21．A2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29 D ．229 2.B3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π23.B4．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的左焦点的坐标是________．4．(－4，0)5．点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 5. 5 － 5 二层练习6．点(2，33)对应曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k ∈Z)B ．k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π＋π6(k ∈Z)D ．2k π＋π3(k ∈Z)6．D7．设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33 B. 3 C.332 D.2397.D8．椭圆x 29＋y 24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55 B. 5 C.655D ．08.A9．曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上一点P 到点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为________．9．8三层练习10．在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．10.311．直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ (θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．11.3212．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．12.6313．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 3 cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．13．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．(2014·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．14．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.1．对椭圆的普通方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)在解题时可利用参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)来寻求解决方案． 2．可利用椭圆的参数方程来解决最值、有关轨迹等问题． 3．要针对解题时的不同情况合理选择椭圆的方程形式．。
高中数学新人教A版选修4-4 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
由 kPA＝x－y 1，又 k MN＝xy11－－xy22＝y1＋8 y2＝4y， ∴x－y 1＝4y.∴y2＝4(x－1)． ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
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是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去 t. [解析] (1)将yx＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2 即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3) (2)y＝x2
二 圆锥曲线的参数方程
2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1 的参数
方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ，
规定参数 φ 的取值范围为[0,2π)且 φ≠π2，
φ≠32π.
(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1 的参数 方程是yx＝＝absteacnφφ.，
新课标人教A版选修4-4坐标系与参数方程名校精选综合练习(一)
一、填空题 1 ． （河南省郑州市盛同学校 2013 届高三 4 月模拟）已知圆 C 的参数方程为
x cos ( 为参数),以原点 y sin 2
为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 2 cos sin 1 , 则直线被圆 所截得的弦长是________.
C 相交于 点 M,N 两点. (I)求曲线 C 和直线 l 的普通方程;
2 t, 2 (t 为参数)与曲线 2 t 2
(Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值
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4 ． （山西省太原市 2013 届高三调研）已知曲线 C:y = 4x,直线 l 过点 P(-1,-2),倾斜角为 30 ,直线 l 与曲线 C
3 3 , ) 作倾斜角为 a 的直线 l 与曲 2 2
线 C : x 2 + y 2 = 1 相交于不同的两点 M , N . (1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 求
1 1 + 的取值范围. PM PN
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7 ． （山西省 2013 届高三第三次四校联考）以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.
11． （河南省郑州一中 2013 届高三第七次调考）直线 l: í
ì x＝a＋4t p (t为参数) ,圆 C:ρ=2 2 cos(θ+ )(极轴 4 î y＝－1－2t
与 x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同). (Ⅰ)求圆心 C 到直线 l 的距离;(Ⅱ)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为
6 5 ,求 a 的值. 5
新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案
高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt2＋2pty －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y 22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0.∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹过程．13．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得x A ＝2p k 2，y A ＝2pk.以－1k代替上式中的k ，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px ， 得x B ＝2pk 2，y B ＝－2pk .∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B (2pk 2，－2pk )．(2)设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2，y ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ，消去参数k ，得y 2＝px －2p 2，此即为点M 轨迹的普通方程． 14．已知方程y 2－2x －6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0. (1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；(2)求抛物线在直线x ＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值． 14．(1)证明：将原方法配方得(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，曲线为抛物线，顶点为(4cos θ，3sin θ)，设顶点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，消去θ得x 216＋y 29＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)解析：将x ＝14代入已知方程，得y 2－6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ－19＝0，得y＝3sin θ±28－8cos θ.因为－8≤8cos θ≤8，所以20≤28－8cos θ≤36.设抛物线在直线x ＝14上截得的弦长为l ，则l ＝|y 1－y 2|＝228－8cos θ，所以45≤l ≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2k π(k ∈Z)，l min ＝45；当cos θ＝－1，即θ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时，l max ＝12.1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．【习题2.2】1．解析：因为2a ＝15565，2b ＝15443，所以a ＝7782.5，b ＝7721.5.所求的椭圆参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7782.5cos φ，y ＝7721.5sin φ(φ为参数)．2．证明：设M (a cos φ，b sin φ)，P (x P ，0)，Q (x Q ，0)．因为P ，Q 分别为B 1M ，B 2M 与x 轴的交点，所以kB 1P ＝kB 1M ，kB 2Q ＝kB 2M .由斜率公式并计算得x P ＝a cos φ1＋sin φ，x Q ＝a cos φ1－sin φ，所以|OP |·|OQ |＝|x P |·|x Q |＝|x P ·x Q |＝a 2(定值)．3．证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a tan φ(φ为参数)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋12＝|a2cos 2 φ－a 2tan φ|2＝a 22(常数)．4．证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 22，－2pt 2)．直线AB 的方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2(x －2pt 21)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝1t 1－t 2(x －2pt 21)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .5．解析：直线OA 的方程为y ＝kx ，直线OB 的方程为y ＝－1k x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px得点B 的坐标是(2pk 2，－2pk )．设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝2pk2＋2pk 22＝p k 2＋pk 2，y ＝2pk －2pk2＝pk－pk ，所以线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk2＋pk 2，y ＝p k －pk(k 为参数)．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程一曲线的参数方程达标训练含答案
一 曲线的参数方程更上一层楼基础·巩固1已知某条曲线的参数方程为（其中a 是参数），则该曲线是( ）A 。
线段 B.圆C 。
双曲线的一部分 D.圆的一部分思路解析：将两式平方相减,得x 2-y 2=1。
并且由|x|=21｜a+a 1｜≥1,x≥1或x≤—1,从而易知结果.答案：C2已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x （0≤t≤5），则该曲线是( )A.线段B.圆弧C.双曲线的一支 D 。
射线思路解析：由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x （0≤t≤5)，消去参数t,得x —3y=5。
又0≤t≤5,故1≤y≤26。
故题中所给曲线是线段。
答案:A3曲线C 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=54,3222t t y t t x (t∈R ），则曲线C 的图象在( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路解析：本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状，故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.x=(t+1）2+2≥2，y=（t+2)2+1≥1,从而易知该曲线位于第一象限。
答案：A4与普通方程x 2+y —1=0等价的参数方程（t 为参数）为( ） A.⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin B.⎩⎨⎧-==ty t x 2tan 1tan C.⎩⎨⎧=-=t y tx 1 D.⎩⎨⎧==t y tx 2sin cos思路解析：所谓与方程x 2+y-1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程,形式一致，且x,y 的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证。
A.化为普通方程为x 2+y —1=0,x∈［—1,1］,y∈[0,1］。
B 。
化为普通方程为x 2+y —1=0，x∈R ，y∈（—∞，1］.C.化为普通方程为x 2+y-1=0,x∈[0,+∞）,y∈（-∞，1].D 。
化为普通方程为x 2+y —1=0，x∈[—1,1］，y∈［0,1］。
高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：2.2.1 直线的参数方程
2．1 直线的参数方程 直线的参数方程(1)经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝□01x 0＋t cos α，y ＝□02y 0＋t sin α(t 为参数)．①其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是□03从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示．当PM→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取□04正数． 当PM→与e 反向时，t 取□05负数． 当M 与P 重合时，t ＝□060． (2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□07x 1＋λx 21＋λ，y ＝□08y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP→的数量比QM MP． 当λ＞0时，□09M 为内分点； 当λ＜0时，且λ≠－1时，□10M 为外分点； 当λ＝0时，□11点M 与Q 重合．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过M (1，5)且倾斜角为π3的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．( )(2)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，则直线l 的斜率为1．( )(3)当0<α<π时，sin α>0，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上的．( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．做一做(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t(t 为参数)，M 0(－1，2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M →的数量 B ．有向线段MM 0→的数量 C ．|M 0M →| D ．以上都不是 答案 B(2)已知直线l 的方程⎩⎨⎧x ＝1－t sin25°，y ＝2＋t cos25°(t 为参数)，那么直线l 的倾斜角为( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115° 答案 D(3)曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆 D ．射线答案 D(4)经过点Q (1，2)，P (3，7)的直线的参数方程为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．探究1 直线的参数方程的求法例1 (1)已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1，1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5，4)的距离．(2)已知两点A (2，1)，B (－1，2)和直线l ：x ＋2y －5＝0．求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点的坐标．解 (1)由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45． 又点P (1，1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上． 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5． (2)设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝APPB，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－λ1＋λ，y ＝1＋2λ1＋λ(λ为参数)．①把①代入x ＋2y －5＝0得λ＝－12．把λ＝－12代入①得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝0，即交点坐标为(5，0)．求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)求；若已知两个定点，利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)求．理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数的几何意义，解决此类问题的关键．【跟踪训练1】 (1)设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________；(2)一直线过P 0(3，4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数) (2)见解析解析 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)．(2)设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t (t 为参数)，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋22t ＝6，解得t ＝－1125， 所以|MP 0|＝|t |＝1125．探究2 直线与圆的参数方程的综合应用 例2 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解 (1)∵直线l 过点P (1，1)，倾斜角为π6， ∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2． 所以|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2．(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程． (2)充分利用参数几何意义求解．求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．【跟踪训练2】 直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A ，B 两点坐标．解 (1)∵直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6， ∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2(t 为参数)，代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0．*设A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝23． (2)解*得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32． 探究3 直线与圆锥曲线的参数方程的综 合应用例3 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)求|AB |；(2)求AB 的中点M 的坐标及|FM |．解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25t(t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0．设F A →＝t 1e ，F B →＝t 2e ，其中e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，25，则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20． (1)|A B →|＝|F B →－F A →|＝|t 2e －t 1e | ＝|t 2－t 1||e |＝|t 2－t 1| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(25)2＋80＝10．(2)由于AB 的中点为M ，则AM →＝M B →，∴FM →－F A →＝F B →－FM →，即FM →＝12(F A →＋F B →)， 又FM →＝12(F A →＋F B →)＝t 1＋t 22e ，故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5， ∴M (3，2)，|FM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5．设二次曲线C ：F (x ，y )＝0，直线l ：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，如果l 与C 相交于A ，B 两点，那么将l 的方程代入F (x ，y )＝0后可得at 2＋bt ＋c ＝0，则该方程有两个不等实数根t 1，t 2，此时M 0A →＝t 1e ，M 0B →＝t 2e ，e ＝(cos α，sin α)，于是易得以下两个常见的公式：(1)|AB |＝|t 1－t 2|；(2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22，且|M 0M |＝|t 1＋t 2|2．【跟踪训练3】 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos α，y ＝t sin α(t为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． 解 (1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x (x ≠0)． (2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ， 得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α， 所以由参数t 的几何意义得 |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取最小值2．1．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量，可为正，为负，也可为零．2．在直线参数方程中，如果直线上的点M 1，M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝12(t 1＋t 2)．1．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t sin20°，y ＝t cos20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160° 答案 B解析 将t ＝ycos20°代入x ＝3＋t sin20°，得x ＝3＋y tan20°，即x －y tan20°－3＝0．设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20°＝tan70°．又α∈[0°，180°)，∴α＝70°． 2．已知直线l 的普通方程是2x －y ＋1＝0，则直线l 的参数方程的标准形式为( )A ．⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋2t (t 为参数)B ．⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝55t ，y ＝1＋255t (t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)答案 C解析 由直线l 的普通方程，知直线l 的斜率为2． 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝2，且α为锐角， ∴cos α＝11＋tan 2α＝55，sin α＝cos αtan α＝255． 又直线l 经过点(0，1)，∴直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ，y ＝1＋255t(t 为参数)．3．直线l 经过点M 0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|＝( )A ．3＋1B ．6(3＋1)C ．6＋ 3D ．63＋1 答案 B解析 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．4．直线⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)与曲线交于A ，B 两点，A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2，则|AB |等于 ( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1|＋|t 2|C ．|t 1－t 2|D ．|t 1＋t 2|2答案 C解析 由参数t 的几何意义可知，|AB |＝|t 1－t 2|，故选C ． 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)上与点P (－2，4)距离等于4的点Q 的坐标为________．答案 (－4，4＋23)或(0，4－23) 解析 因为直线的参数方程为标准形式， 所以由t 的几何意义可知|PQ |＝|t |＝4， 所以t ＝±4，当t ＝4时，⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝4＋23；当t ＝－4时，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4－2 3.A 级：基础巩固练一、选择题1．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π6或5π6 答案 D解析 直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6． 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4， AB 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.3．过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )A ．⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋t B ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－t D ．⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t答案 B解析 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x ＋1－23，其斜率k 1＝3，设所求直线的斜率为k ，由kk 1＝－1，得k ＝－33，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋t (t 为参数)．4．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋45t ，y ＝－2＋35t (t 为参数)，则过点(4，－1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距是( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4 答案 D解析 由题意知，过点(4，－1)且与l 平行的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋45t ，y ＝－1＋35t(t 为参数)．令x ＝0，得t ＝－5．把t ＝－5代入y ＝－1＋35t ，得y ＝－1＋35×(－5)＝－4，故所求截距为－4．5．已知直线l 过点A (2，1)，且与向量a ＝(－1，1)平行，则点P (－1，－2)到直线l 的距离是( )A ． 2B ．2 2C ．3 2D ．2 答案 C解析 由已知得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋t (t 为参数)．因为直线l 上的任意一点M 的坐标可表示为(2－t ，1＋t )，所以|PM |＝(2－t ＋1)2＋(1＋t ＋2)2＝2(t 2＋9)，当t ＝0时，|PM |有最小值，最小值是32，此时|PM |为点P 到直线l 的距离． 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长是( )A ．16B ．3C ．163D ．316 答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝4x 得到⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，整理得3t 2－8t －16＝0．设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝83，t 1t 2＝－163，所以|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫832＋643＝163，故弦AB 的长为163． 二、填空题7．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t(t 为参数)，则在这个方程中P 点对应的t 值为________．答案 ±1解析 由|PM 0|＝2知，t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3，1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1．8．过点(6，7)，倾斜角的余弦值是32的直线l 的参数方程为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋32t ，y ＝7＋12t(t 为参数)解析 设倾斜角为α，∵cos α＝32，∴sin α＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋32t ，y ＝7＋12t(t 为参数)．9．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4．联立⎩⎨⎧y ＝33x (x ≥0)，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为(3，1)． 三、解答题10．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t (t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解 (1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－4(x －5)3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0． (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35(－5t )，y ＝10＋45(－5t )，令t ′＝－5t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．B 级：能力提升练1．已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)求点P (－1，2)到线段AB 中点C 的距离．解 (1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t 2＋6t －2＝0．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－67，t 1t 2＝－27．所以，线段|AB |的长为32＋(－4)2|t 1－t 2| ＝5(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10237．(2)根据中点坐标的性质可得AB 中点C 对应的参数为t 1＋t 22＝－37．所以，由t 的几何意义可得点P (－1，2)到线段AB 中点C 的距离为32＋(－4)2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－37＝157． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0． (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0．于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11．|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44．由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153．所以l 的斜率为153或－153．由Ruize收集整理。
最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：2.3直线的参数方程 Word版含解析.doc
课后训练1．已知P 1，P 2是直线11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是( )．A ．12||||2t t + B ．12||2t t + C ．12||2t t - D ．12||||||2t t - 2．若直线的参数方程为13,2332x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则此直线的斜率为( )．A ．3B ．3- 3．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为( )．A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)4．设直线的参数方程为53,104x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线的普通方程为__________． 5．直线13,:1x t l y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)上的点P (－4,13-)到l 与x 轴交点间的距离是________．6．直线3,1x t y t=-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线y ＝x 相交，则交点到点(3,1)的距离为__________． 7．经过点P (1,0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为________．8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为,2x t y m t=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？ 9．已知斜率为1的直线l 过椭圆22+=14x y 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25sin ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.参考答案1. 答案：B解析：由t 的几何意义可知，P 1P 2的中点对应的参数为122t t +，P 对应的参数为t ＝0，∴它到点P 的距离为12||2t t +. 2. C ．33 D ．33- 答案：B解析：直线的参数方程为13,233,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化为标准形式3cos120,3sin120x t y t ⎧=+(-)︒⎪⎨=+(-)︒⎪⎩(－t 为参数)，∴直线的倾斜角为120°，斜率为3-.3. D ．(2－2，2＋2)答案：D解析：曲线2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩即为圆(x －2)2＋y 2＝1．直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1， 即|2|<12b -， ∴22<<2+2b -. 4. 答案：4x ＋3y －50＝0解析：把53x t -=代入y 的表达式，得45103x y (-)=-，化简得4x ＋3y －50＝0. 5. 答案：232－解析：在直线13,:1x t l y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩中令y ＝0，得t ＝－1．故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． ∴222||=13413431=232PQ (--+)+(-)=(-)-. 6. 答案：2解析：两直线相交时，可求得t ＝1，故交点坐标为(2,2)，它到点(3,1)的距离为2.7. 答案：172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：设直线的倾斜角为α.由直线的斜率为34，得cos α＝45，sin α＝35.又直线过点P (1,0)，则直线的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝x ，得234=1+55t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即9t 2－20t －25＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 中点M 的相应参数是121029t t t +==， 所以点M 的坐标是172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. 解：由题知椭圆的标准方程为22+=14y x ．由直线l 的参数方程,2x t y m t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 得55,5255,5x t y m t ⎧=()⎪⎪⎨⎪=+()⎪⎩令5t't =，则得直线的参数方程的标准形式55255x t'y m t'⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，(t ′为参数，其绝对值的几何意义是直线上的点到点(0，m )的距离)，将其代入椭圆方程并整理，得8t ′2＋45mt'＋5m 2－20＝0.设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则根据根与系数的关系，有t 1′＋t 2′＝52m -，t 1′·t 2′＝25208m -. ∴弦长为22125520||=4648m m t 't '---⋅=， ∴2165m =，解得45±5m =. 9. 解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4. 椭圆22+=14x y 的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为23,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入椭圆方程22+=14x y ，得222322=142t t ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭， 整理，得5t 2＋26t －2＝0.设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 12265t t +=-，1225t t ⋅=-， 2121212||=4t t t t t t -(+)- 22688555⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以弦AB 的长为85. 10. 解法一：(1)由25sin ρθ=，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223=522t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2324=0t t -+.由于△＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根． 所以121232,4.t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32.解法二：(1)同解法一．(2)因为圆C 的普通方程为x 2＋(y －5)2＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5. 由2255,35,x y y x ⎧+(-)=⎪⎨=-++⎪⎩得x 2－3x ＋2＝0. 解得1,25x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩或2,1 5.x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩ 不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝222=32+.。
高中数学 第二讲 参数方程测评习题(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
第二讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l 的参数方程为{x =2017+3t ,y =2016-t (t 为参数),则直线l 的斜率等于()A.3B.-3C.1D.-13l 的斜率k=-13=-13.2.直线3x-4y-9=0与圆:{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=95<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.3.参数方程为{x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线2表示一条平行于x 轴的直线,而由x=t+1t知x ≥2或x ≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.4.已知椭圆的参数方程为{x =2cost ,y =4sint(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM的斜率为() A.√3 B.-√33C.2√3D.-2√3t=π3时,x=1,y=2√3,则M (1,2√3),所以直线OM 的斜率k=2√3. 5.已知圆的渐开线{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为()A.πB.3πC.4πD.9π(3,0)代入参数方程得{3=r (cosφ+φsinφ), ①0=r (sinφ-φcosφ),②由②得φ=tan φ,即φ=0.再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.6.已知直线l 的参数方程为{x =a +t ,y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与点P (a ,b )之间的距离是() A.|t 1| B.2|t 1| C.√2|t 1|D.√22|t 1|P 1的坐标为(a+t 1,b+t 1),则点P 1与点P 之间的距离为√t 12+t 12=√2|t 1|.7.直线{x =1+12t ,y =-3√3+√32t(t 为参数)和圆x 2+y 2=16相交于A ,B 两点,则线段AB 中点的坐标为() A.(3,-3) B.(3,-√3) C.(√3,-3)D.(-√3,3)(1+12t)2+(-3√3+√32t)2=16,得t 2-8t+12=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8,t 1+t 22=4.所以线段AB 的中点的坐标满足{x =1+12×4,y =-3√3+√32×4, 即{x =3,y =-√3.故所求的中点坐标为(3,-√3).8.已知经过曲线{x =3cosθ,y =4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P 与原点O 的直线PO ,若它的倾斜角为π4,则点P 的极坐标为() A.(3,π4) B.(3√22,π4) C.(-125,π4)D.(12√25,π4)将曲线化成普通方程为x 29+y 216=1(y ≥0),将其与直线PO :y=x 联立可得点P 的坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为(12√25,π4).9.与普通方程x 2+y-1=0等价的参数方程是() A.{x =sint ,y =cos 2t (t 为参数) B.{x =tanφ,y =1-tan 2φ(φ为参数) C.{x =√1-t ,y =t (t 为参数) D.{x =cosθ,y =sin 2θ(θ为参数)A 中,由于普通方程x 2+y-1=0中x 可以取得一切实数,但A 中x 大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B 中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C 中,由偶次根式的定义可知,x 不可能取得一切实数,故错误;选项D 中,结合余弦函数的有界性可知x 不能取得一切实数,错误.故选B .10.已知直线l :{x =√3t ,y =2-t (t 为参数)和抛物线C :y 2=2x ,l 与C 分别交于点P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点的距离之和是() A.4+√3 B.2(2+√3) C.4(2+√3)D.8+√3{x =-√32t ',y =2+12t '(t'为参数,t'=-2t ),将其代入y 2=2x ,得t'2+4(2+√3)t'+16=0. 设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+√3),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP 1|+|AP 2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+√3).11.若曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθ,y =-1+3sinθ(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l的距离为7√1010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4C 的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=√10=7√1010,且3-7√1010<7√1010, 故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.导学号73574066过抛物线{x =2t 2,y =√3t (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为() A.π3 B.π3或2π3 C.π6D.π6或5π6y 2=32x ,它的焦点坐标为(38,0).设弦所在直线的方程为y=k (x -38),由{y 2=32x ,y =k (x -38)消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0.设弦的两个端点的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(34·k 2+2k 2)2-916=√1+k2,解得k=±√3.故倾斜角为π3或2π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:{x =2s +1,y =s (s 为参数)和直线l 2:{x =at ,y =2t -1(t 为参数)平行,则常数a 的值为.1的普通方程为x=2y+1,l 2的普通方程为x=a ·y+12,即x=a2y+a2,因为l 1∥l 2,所以2=a2,故a=4.14.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=4上的动点,记以射线Ox 为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C 的参数方程为.C 的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为2θ,所以圆C 的参数方程为{x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数).x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数)15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线{x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=.ρcos θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x 3=y 2,所以y 2=43=64, 即y=±8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.16.若直线{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数)与圆{x =4+2cosα,y =2sinα(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.y=x ·tan α,圆(x-4)2+y 2=4,如图所示,sin α=24=12,则α=π6或α=5π6.5π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1){x =7cosφ,y =4sinφ(φ为参数);(2){x =1-5t ,y =7t (t 为参数).因为{x =7cosφ,y =4sinφ,所以{x7=cosφ,y4=sinφ.两边平方相加,得x 249+y 216=cos 2φ+sin 2φ=1,故所求的普通方程为x 249+y 216=1,它表示焦点在x 轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆. (2)因为{x =1-5t ,y =7t ,所以将t=y 7代入x=1-5t ,得x=1-5·y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过(0,75)和(1,0)的一条直线.18.(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为{x =1+t ,y =-5+√3t (t 为参数),直线l 2的方程为x-y-2√3=0.求直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标及点P 与点Q (2√3,-5)间的距离.{x =1+t ,y =-5+√3t代入x-y-2√3=0,得t=2√3,∴点P 的坐标为(1+2√3,1).又点Q 为(2√3,-5),∴|PQ|=√12+62=√37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =1+3cost ,y =-2+3sint (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为√2ρsin (θ-π4)=m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.消去参数t ,得圆C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin (θ-π4)=m , 得ρsin θ-ρcos θ-m=0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2, 即2=2,解得m=-3±2√2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)若A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.因为圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.故圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)由题意知直线AB 的方程为x-y+2=0,点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|.所以△ABM 面积的最大值为9+2√2. 21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A 的极坐标为(2sin α,α),点B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,且最大值为4. 22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值X 围.由已知可得A ,B ,C ,D 的直角坐标分别为A (2cos π3,2sin π3),B (2cos (π3+π2),2sin (π3+π2)), C (2cos (π3+π),2sin (π3+π)),D (2cos (π3+3π2),2sin (π3+3π2)),即A (1,√3),B (-√3,1),C (-1,-√3),D (√3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值X 围是[32,52].。
人教A版高中数学选修4-4同步练习参数方程的概念
∴sint＋1＝± 3．
又 sint＋ 1≥ 0， ∴sint＋1＝ 3，
∴交点坐标为 (1， 3)．
A 级：基础巩固练
一、选择题
1．下列方程可以作为 x 轴的参数方程是 ( )
x＝ t2＋ 1， A．
y＝ 0
x＝0， B．
y＝3t＋1
x＝ 1＋ sinθ， C．
y＝ 0
x＝4t＋ 1， D．
y＝0
6．直线 l 的参数方程为
(t 为参数 )，l 上的点 P1 对应的参数是 t1，
பைடு நூலகம்
y＝ b＋t
则点 P1 与 P(a， b)之间的距离是 ( ) 2
A． |t1| B．2|t1| C． 2|t 1| D． 2 |t1| 答案 C 解析 ∵ P1(a＋t1， b＋t1) ，P(a，b)， ∴ |P1P|＝ a＋t1－a 2＋ b＋ t1－ b 2＝ t21＋t21＝ 2|t1|． 二、填空题 7．由方程 x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－ 4＝ 0(t 为参数 )所表示的一族圆的圆心的轨 迹的参数方程为 ________．
解 (1)令 y＝ 0， 则 2tsin6π－ 12gt2＝0，
解之得 t＝2g．
∴炮弹从发射到落地所需要的时间为 2g．
(2)y＝2tsin6π－12gt2＝－ 12gt2＋t
＝－
1 2g
t
2－
2 gt
1 ＝－ 2g
1 t－g
2－g12
1 ＝－ 2g
1 t－g
2
1 ＋2g，
∴当 t＝ 1g时 ，y 取最大值 21g．
解析 将点的坐标代入方程：
解 θ的值 ．若有解 ，则该点在
y＝sin2θ，
最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：2.1曲线的参数方程 Word版含解析.doc
课后训练1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．A ．(2,3)B ．(1,5)C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,0) 2．将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( )． A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．设曲线C 的参数方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若P (2，－1)为圆O ：15cos ,5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝05．圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，那么圆的参数方程为( )．A ．cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩ B ．1cos sin x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩ C ．cos 1sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=(+)⎩ D ．1cos2sin2x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩6．直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)相切，则θ＝__________. 7．两动直线3x ＋2y ＝6t 与3tx －2ty ＝6相交于点P ，若取t 为参数，则点P 的轨迹的参数方程为________．8．已知某条曲线C 的参数方程为212,x t y at =+⎧⎨=⎩(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程． 9．已知弹道曲线的参数方程为2π2cos ,6π12sin ,62x t y t gt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．10．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求：(1)点P (x ＋y ，xy )的轨迹；(2)点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．参考答案1. 答案：D解析：当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2. 答案：C解析：转化为普通方程为y ＝x －2，但由于x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 答案：B解析：∵曲线C 的方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离|232|7710101910d ++===+. 又∵710<310，1410>310，∴有2个点． 4. 答案：A解析：∵圆心O (1,0)，∴k PO ＝－1．∴k l ＝1．∴直线l 的方程为x －y －3＝0.5. 答案：D解析：如图，设圆心为O ′，连接O ′M .∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴圆的参数方程为cos2,sin2.x r r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 6. 答案：π6或5π6解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 7. 答案：221,312t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 解析：两方程联立，得326,32 6.x y t tx ty +=⎧⎨-=⎩①②①×t ＋②，得21t x t +=；①×t －②，得2312t y t(-)=. ∴所求点P 的轨迹的参数方程为221,31.2t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 8. 解：(1)由题意，可知2125,4,t at +=⎧⎨=⎩故2,1,t a =⎧⎨=⎩ 所以a ＝1．(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为212,.x t y t =+⎧⎨=⎩由第一个方程，得12x t -=，代入第二个方程，得212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .9. 解：(1)令y ＝0,2π12sin =062t gt -，∴t 1＝0， 220.204t g=≈.即从发射到落地需0.204. (2)22π132sin6263g y t gt x x =-=-+，是开口向下的抛物线， ∴2max 330.05146y g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=≈⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 即最大高度为0.051．10. 解：(1)设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)， 则cos sin ,cos sin ,x'y'θθθθ=+⎧⎨=⎩①② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即21=2'2x'y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴所求点P 的轨迹为抛物线21=22x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一部分1||2,||2x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. (2)设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则()()2121cos cos sin cos cos sin ,sin cos sin sin cos sin ,x y θθθθθθθθθθθθ⎧=+=+⎪⎨=+=+⎪⎩ ∴112111sin2,11sin2sin 2.22x y x y θθθ+=+⎧⎪⎨=+⎪⎩将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得2211111222 x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴所求点Q的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆．。
高中数学 参数方程训练 理 新人教A版选修44
【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学参数方程训练理新人教A版选修4-41.判断方程t tt tx22y22--⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t为参数)表示的曲线的形状.2.(2012·武汉模拟)求直线x14ty13t=+⎧⎨=--⎩(t为参数)被曲线2cos()4πρ=θ+所截的弦长.3.若动点(x,y)在曲线222x y14b+= (b>0)上变化，求z=x2+2y的最大值和最小值.4.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，(1)求yx2+的取值范围；(2)若3x+4y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围.5.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上且离心率为12，点P(x,y)是椭圆上的点，若2x+3y的最大值为10，求椭圆的标准方程．6.已知直线l过点P(2,0)，斜率为43，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|；(2)M点的坐标；(3)|AB|.7.(2012·沈阳模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程是：2x5t22y5t2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)将曲线C横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l距离的最小值.8.(2012·太原模拟)已知曲线C1：x4costy3sint=-+⎧⎨=+⎩(t为参数)，C2：x8cosy3sin=θ⎧⎨=θ⎩(θ为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t=2π， Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3:x 32ty 2t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)距离的最小值.9.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x 3t 22y 5t 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA|+|PB|.10.直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为1x t 21y t 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).(1)写出曲线C 在直角坐标系的标准方程和直线l 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点M 在曲线C 上移动，试求△ABM 的面积的最大值.答案解析1.【解题指南】注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项.【解析】x 2-y 2=(2t-2-t )2-(2t+2-t )2=-4,即y 2-x 2=4.由于2t >0,2t +2-t≥t t 222-g =2，即y ≥2.∴y 2-x 2=4(y ≥2).它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支. 2.【解析】由x 14ty 13t =+⎧⎨=--⎩得直线的普通方程为3x+4y+1=0,∵ρ=2cos(θ+4π)=cos θ-s in θ,∴ρ2=ρcos θ-ρsin θ,∴x 2+y 2=x-y,即22111(x )(y ).222-++=由点到直线的距离公式,得圆心C(11,22-)到直线3x+4y+1=0的距离2211|34()1|122d,1034⨯+⨯-+==+所以弦长为221172r d2.21005-=-=3.【解题指南】设曲线的参数方程,建立目标函数,结合三角函数的值域以及二次函数的图象和性质,讨论正参数b的取值范围,从而求得最大值和最小值.注意分段函数的表示和应用.【解析】由于点(x,y)在曲线222x y14b+= (b>0)上变化，故设x2cosy bsin=θ⎧⎨=θ⎩(θ为参数),∴x2+2y=(2cosθ)2+2bsinθ=4cos2θ+2bsinθ=-4si n2θ+2bsinθ+4=22b b164(sin).44+-θ-+由于-1≤sinθ≤1,b>0,当b4>1,即b>4时，z max=2b,z min=-2b；当0<b4≤1,即0＜b≤4时，2maxb16z4+=， z min=-2b.综上所述,2maxb16,0b4 z,42b,b4⎧+<≤⎪=⎨⎪ >⎩z min=-2b(b>0).4.【解题指南】(1)设圆的参数方程,建立目标函数,结合三角函数的性质,转化为不等式求解;也可以运用动直线与圆有公共点,利用一元二次方程的根的判别式的不等式解决;(2)不等式的恒成立问题,通常转化为求变量的最大值或最小值问题来解决:若a≥f(x,y)恒成立,则a≥f(x,y)max;若a≤f(x,y)恒成立,则a≤f(x,y)min.【解析】由于点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，故设圆的参数方程为x cosy1sin=θ⎧⎨=+θ⎩，(1)方法一:令y sin1k, x2cos2θ+== +θ+则sinθ-kcosθ=2k-1,∴21k sin()2k 1+θ+ϕ=- ∴22k 1sin(),1k-θ+ϕ=+由于|sin(θ+φ)|≤1,∴22k 11,1k-≤+两边平方,整理,得3k 2-4k ≤0,解得0≤k ≤4,3∴y x 2+的取值范围是［0,43］. 方法二:令yx 2+=k,则y=kx+2k,代入x 2+y 2=2y,整理,得 (1+k 2)x 2+(4k 2-2k)x+4k 2-4k=0,由题意,得Δ≥0,即(4k 2-2k)2-4(1+k 2)(4k 2-4k)≥0, 化简,得3k 2-4k ≤0,解得0≤k ≤4,3∴y x 2+的取值范围是［0,43］. (2)由题意，得3x+4y+a =3cos θ+4sin θ+4+a ≥0, ∴a ≥-(3cos θ+4sin θ)-4, ∴a ≥-5sin(θ+φ)-4, ∵-9≤-5sin(θ+φ)-4≤1, ∴a ≥1.所以实数a 的取值范围是［1,+∞).5.【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上且离心率为12，设椭圆标准方程是2222x y 14c 3c +=，c>0,它的参数方程为x 2ccos y 3csin =θ⎧⎪⎨=θ⎪⎩ (θ是参数).由于点P(x,y)是椭圆上的点，于是2x+3y=4ccos θ+3csin θ=5csin(θ+φ),所以2x+3y 的最大值是5c ，依题意,得5c=10，解得c=2，所以椭圆的标准方程是22x y 1.1612+=6.【解析】(1)∵直线l 过点P(2，0)，斜率为4,3设直线的倾斜角为α,tan α=4,3sin α=4,5cos α=3,5∴直线l 的参数方程为3x 2t 54y t 5⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝ (t 为参数)(*)∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2=2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0,且Δ=152+4×8×50>0, 设这个一元二次方程的两个根为t 1、t 2, 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝15,8t 1t 2＝254-，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得12t t 15PM .216+＝＝ (2)∵中点M 所对应的参数为M 15t ,16=将此值代入直线的参数方程(*)， 点M 的坐标为31541x 2516164153y 5164⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，即M(413164，)为所求. (3)|AB|＝|t 2－t 1| ()212125t t 4t t 73.8+-=7.【解析】(1)将曲线C ：ρ=4cos θ化为普通方程为(x-2)2+y 2=4,直线l 的普通方程是x-y+25(2)将曲线C ：(x-2)2+y 2=4横坐标缩短为原来的12，得到曲线的方程为(2x-2)2+y 2=4,即4(x-1)2+y 2=4,再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2+y 2=4,即22y x 1.4+= 设曲线C 1上的任意一点为(cos θ,2sin θ), 它到直线l 的距离为|cos 2sin 25||255sin()|d 22θ-θ+-θ+ϕ==∵5|255sin()|35,≤-θ+ϕ≤故10310d .22≤≤ ∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为10.28.【解析】(1)C 1:(x+4)2+(y-3)2=1，222x y C :1.649+= C 1为圆心是(-4,3)，半径是1的圆.C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t=2π时，P(－4,4),Q(8cos θ,3sin θ)， 故M(-2+4cos θ,2+32sin θ).直线C 3的普通方程为x-2y-7=0，M 到C 3的距离为d=55|4cos θ-3sin θ-13| =55|5sin(θ+φ)-13|. 从而当cos θ=4,5sin θ=35-时，d 取得最小值5.5 9.【解析】方法一：(1)由ρ5θ，得22x y 25y 0+-=，即(22x y 55.+-=(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223t t 522-+=（），整理，得2t 32t 40.-+= 由于Δ=(-322-4×4=2>0，故可设t 1、t 2是上述方程的两个实根，所以1212t t 32,t t 4⎧+=⎪⎨=⎪⎩g又直线l 过点5，故由上式及t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3 2. 方法二：(1)同方法一.(2)因为圆C 的圆心为(05)，半径5l 的普通方程为：5由(22x y 55,y x 35⎧+=⎪⎨⎪=-++⎩得x 2-3x+2=0. 解得x 1y 25=⎧⎪⎨=+⎪⎩x 2y 15=⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设A(1，5，B(2，5)， 又点P 的坐标为(35， 故823 2.=10.【解析】(1)由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x 2+y 2-2x=0，所以曲线C 的标准方程为(x-1)2+y 2=1,直线l 的普通方程为x-y=0.(2)圆心(1，0)到直线l 的距离为2d r 1,2==<=∴直线与圆相交,则圆上的点到直线l 的最大距离为2d r 12+=+ (r 为圆的半径)， 又∵|22AB |212,2=-=（） ∴()ABM 11221S AB d r 21,2222≤+=+=V ） ∴△ABM 面积的最大值为21.2。
人教A版高中数学选修参数方程同步练习新(4)
参数方程填空题31、方程(θ为参数)的普通方程是___________________。
2、直线的倾斜角是______________________。
3、椭圆12222=+by a x 的内接矩形的最大面积是＿＿＿＿＿。
4、通过抛物线y 2=8x 的焦点作一条倾角为4π的直线,交抛物线于A 、B 两点，弦AB 长为＿＿＿＿。
5、椭圆(θ为参数)，焦点坐标为________，___________。
6、设有定点A(－1,0)、B(1,0),试在圆x 2＋(y －3)2=1上求一点P,使22PB PA +的值最小.那么P 点的坐标应为________,最小值是________.7、双曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=1121t t y t t x 的中心坐标是________________. 8、椭圆⎩⎨⎧+=+=θθθ(sin 32cos 41y x 为参数)的两条准线的方程是____________ 9、抛物线⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧====θθsin 2cos 22y x ty t x 与圆相交,则交点坐标是_________,相应的t 是____,θ是________.10、动点A(θθcos sin +,θθcos sin -)(θ为参数)的轨迹方程是____________11、直线⎩⎨⎧+=-=ty t x 3231与直线y=x 交于Q 点,那么点P(1,2)到Q 的距离是________. 12、直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t y t x 211212(t 为参数)被圆x 2＋y 2=4截得的弦长是________ 13、一直线过点(－2,3),倾角为3π,它的参数方程是________________;此直线与曲线y 2=－x －1相交于A 、B 两点,则AB =____________.14、当点B （x’,y’）在椭圆⎩⎨⎧==θθθ(sin 3cos 2y x 为参数)上运动时，动点P （x’＋y’ ，x’－y’）的轨迹的普通方程是________15、参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22111k k y k x 的普通方程是________________. 16、圆⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕcos 3sin 4cos 4sin 3y x 的半径长等于________.17、两圆与(θ为参数)的位置关系是：________。
36990_《参数方程》同步练习4(新人教A版选修4-4)
参数方程填空题 2 1、参数方程x=1－2t ，y=2t 2－t(t 为参数)化为普通方程是____.2、将下列参数方程化为普通方程(t,θ为参数)： (1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x ：____________;(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2224448t t y t t x ：____________. 3、如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2+y 2－2x=0的参数方数方程是________________. 4、将下列参数方程化为普通方程(t,θ为参数)：(1)⎩⎨⎧-=+=--t t t t e e y e e x ：____________;(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ：____________. 5、椭圆⎩⎨⎧=+=θθsin 3,1cos 4y x (θ为参数)的左焦点坐标是____________.6、抛物线⎩⎨⎧+==1222t y t x (t 为参数)的准线的普通方程是____________. 7、以过点A(0,4)的直线的斜率t 为参数,则椭圆4x 2+y 2=16的参数方程是____________.8、方程x t t y t t =+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪11(t 为参数)的普通方程是__________________。
9、已知弹道曲线的参数方程为x V t y V t gt ==-⎧⎨⎪⎩⎪00212cos sin αα(t 为参数)当发射角?=π4时，则炮弹的射程是________________。
10、半径r ，圆心在(x 0，y 0)的圆的参数方程(?为参数)是__________________。
11、设y=tx ＋2(t 为参数)，则9y 2-4x 2=36的一个参数方程是________________。
12、动点P 在椭圆(x ?1)2＋y b 2=1(0<b<1)上运动，则连接原点和P 点的线段长度的最大值是。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：2.3 参数方程化为普通方程 Word版含答案
第二章 参数方程参数方程化为普通方程参数方程和普通方程是曲线方程的□01两种不同形式，普通方程用代数式□02直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是□03借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系．两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：(1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，□04解出参数，然后把参数的表达式□05代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程． ②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行□06代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程．(2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用□07三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．( )(2)将普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一条曲线的参数方程会有不同的形式．( )(3)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ(θ为参数)化成普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1．( ) (4)⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)化成普通方程为x 2＋y 2＝4．( ) 答案 (1)√ (2)√(3)√ 由已知⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y 由三角恒等式cos 2θ＋sin 2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程．(4)× ∵π≤t ≤2π， ∴－2≤x ≤2，－2≤y ≤0，∴普通方程是x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)． 2．做一做(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 答案 C解析 x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]， ∴x ＋y ＝1，(x ∈[0，1])为线段．(2)将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 答案 C解析 代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈[2，3]，y ∈[0，1]，故选C ． (3)参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．答案 y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)解析 由于cos2θ＝1－2sin 2θ，故y ＝1－2x 2， 即y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)． (4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________．答案 x 2－y ＝2(y ≥2)解析 y ＝t 2＋1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2．又y ＝t 2＋1t 2≥2，故所求普通方程为x 2－y ＝2(y ≥2)．探究1 把参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．(1)⎩⎨⎧x ＝1－3t ，y ＝4t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数，0≤t ≤π)；(3)⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos2θ(θ为参数)．解 (1)由已知t ＝1－x3，代入y ＝4t 中，得4x ＋3y －4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．(2)∵0≤t ≤π，－1≤cos t ≤1，0≤sin t ≤1． ∴－3≤x ≤5，－2≤y ≤2，(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16． ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝16(－3≤x ≤5，－2≤y ≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．(3)由y ＝－1＋cos2θ可得y ＝－2sin 2θ，把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ可得y ＝－2(x －2)，即2x ＋y －4＝0，又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段．(1)将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x＋e －x )2－(e x－e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等． (2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．【跟踪训练1】 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．解 (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1，代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)，这是以(1，1)为端点的一条射线． (2)由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14， ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1．探究2 把曲线的普通方程化为参数方程例2 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1(θ为参数)； (2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1(t 为参数)．解 (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1，得y ＝2＋5sin θ． ∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)． 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0，得 y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1． ∴⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)． 这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝tan 2θ＋tan θ－1(θ为参数)．【跟踪训练2】 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ．∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎨⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24．∴x ＝±16－t 22．因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝16－t 22，y ＝t和⎩⎨⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)． 探究3 参数方程的应用例3 已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos2α，2sin2α)，因此M (cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos2α，y ＝sin α＋sin2α(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标顶点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键． (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．【跟踪训练3】 已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1．C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ．M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5sin(φ－θ)－13|⎝ ⎛⎭⎪⎫φ为锐角且tan φ＝43． 从而当sin(φ－θ)＝1时，d 取得最小值855．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．1．下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C ．(2，3)D ．(1，3) 答案 B解析 化为普通方程：y 2＝1＋x (－1≤x ≤1)， 当x ＝－34时，y ＝±12．2．曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝t 2＋2t ＋3，y ＝t 2＋4t ＋5(t ∈R )，则曲线C 的图象在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可，不需要知道图象形状，故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可．x ＝(t ＋1)2＋2≥2，y ＝(t ＋2)2＋1≥1，从而易知该曲线位于第一象限．3．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 答案 B解析 化圆的参数方程为x 2＋y 2＝r 2．圆心为(0，0)，它到直线x cos θ＋y sin θ＝r 的距离为|－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ． ∴直线与圆相切．4．若直线y ＝x ＋b 与曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，且⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．答案 (－2，－1] 解析 曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，且－π2≤θ≤π2表示圆x 2＋y 2＝1(0≤x ≤1，－1≤y ≤1)的右半部分， 结合图形易得直线y ＝x ＋b 与该曲线有两个不同的交点时，b 的范围是－2<b ≤－1．5．指出下列参数方程表示什么曲线． (1)⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤π)；(2)⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (π≤t ≤2π)．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，得x 2＋y 2＝9．又∵0≤θ≤π，∴－3≤x ≤3，0≤y ≤3． ∴所求方程为x 2＋y 2＝9(0≤y ≤3)．这是一个半圆(圆x 2＋y 2＝9在x 轴上方的部分)． (2)由⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t ，得x 24＋y 29＝1．∵π≤t ≤2π，∴－2≤x ≤2，－3≤y ≤0．∴所求方程为x 24＋y 29＝1(－3≤y ≤0)．它表示半个椭圆椭圆x 24＋y 29＝1在x 轴下方的部分．A 级：基础巩固练1．参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．椭圆 答案 A解析 消去t ，得x －3y －5＝0． ∵0≤t ≤5，∴－1≤y ≤24． 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2) 答案 C解析 x 2＝sin α2＋cos α22＝1＋sin α．y 2＝2＋sin α，∴y 2－x 2＝1． 又x ＝sin α2＋cos α2＝2sin α2＋π4∈[－2，2]， 即|x |≤2．故应选C ．3．已知直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A ．π4，(1，0)B ．π4，(－1，0) C ．3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 答案 C解析 根据加减消元法和三角恒等式消去参数，再求直线的倾斜角和圆心坐标．因为直线l 的普通方程为y ＝－x ，所以其斜率是－1，倾斜角是3π4．将圆的参数方程化为普通方程得(x －1)2＋y 2＝4，所以圆心C 的直角坐标是(1，0)，故选C ．4．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，那么该圆圆心到直线⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝t ＋1(t为参数)的距离为( )A ．22B ．62C ．322D ．362 答案 C解析 依题意得圆心坐标是(1，2)，直线方程是x －y －2＝0，因此圆心到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－2－2|2＝322，故选C ．5．参数方程⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t (t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线 答案 B解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t (t 为参数)化为普通方程为2x －y －5＝0，表示的图形是直线．极坐标方程ρ＝sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－y ＝0，表示的图形是圆．6．椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(0，－2)，(0，2)C ．(0，－4)，(0，4)D ．(－4，0)，(4，0) 答案 D解析 利用平方关系化为普通方程x 225＋y 29＝1，c 2＝16，c ＝4，焦点在x 轴上，∴焦点为(－4，0)，(4，0)，故选D ．二、填空题7．参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．答案 y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1，－1≤y ≤1) 解析 y ＝cos2θ＝1－sin 2 θ＝1－2x 2， y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1，－1≤y ≤1)．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．答案 (1，1)解析 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2．由⎩⎨⎧ y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1，1)．9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 答案 3解析 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a ． 椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 24＝1．又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3． 三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点C 的坐标．解 ∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，t ＝2t ，∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0，① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x ，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，12，－1．11．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝33cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12． (1)将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 的距离的最小值．解 (1)依题意可得直线l 的直角坐标方程为x －3y －12＝0，曲线C 的普通方程为x 227＋y 23＝1．(2)设P (33cos θ，3sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|33cos θ－3sin θ－12|2＝6cos θ＋π6－122，故当cos θ＋π6＝1时，d min ＝3．B 级：能力提升练在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)， 因为这两点间的距离为2，所以a ＝3．当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1．(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1．当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x′＝310 10．当α＝－π4，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝25．。
【同步练习】2020人教A版选修4-4课后练习本《直线的参数方程》含答案解析)
2020人教A 版选修4-4课后练习本：直线的参数方程一、选择题1.直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(-1,2)和M(x ，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意义是( )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M → D ．以上都不是2.直线l 1：x ＋y-22=0与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t(t 为参数)的交点到原点O 的距离是( )A ．1B ．2C ．2D ．2 23.若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离 4.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝－2＋tsin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1) 5.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos θ，y ＝tsin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)相切，则θ= ( ) A.π3 B.2π3 C.π6或5π6 D.π3或2π36.对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－tcos 30°，y ＝2＋tsin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos 30°，y ＝2－tsin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线7.若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离8.一条直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t (t 为参数)，另一条直线的方程是x-y-23=0，则两条直线的交点与点(1，-5)之间的距离是( ) A ．23B ．43C ．32D ．34二、填空题9.若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．10.已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB|=________．11.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= .12.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．三、解答题13.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2=25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=10.求l 的斜率．14.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍．得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．答案解析1.答案为：C ；解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．2.答案为：C ；解析：直线l 2的普通方程为y=x ，两直线的交点坐标为(2，2)，该点到坐标原点的距离为2.3.答案为：B ；解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2=0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10=2105= 85<2，故直线与圆相交而不过圆心．4.答案为：A ；解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．5.答案为：C ；解析：直线为y=xtan θ，圆为(x －4)2＋y 2=4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtan θ－y=0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2θ＋1=2， 解得tan θ=±32，易知θ=π6或5π6.6.答案为：B ；解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－tcos 30°，y ＝2＋tsin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos 150°，y ＝2＋tsin 150°， 所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos 30°，y ＝2－tsin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，y ＝2＋（－t ）sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．7.答案为：B ；解析：直线的普通方程为y=3x ＋2，，圆的普通方程为(x ＋1)2＋(y-3)2=4，圆心(-1,3)到直线的距离为410=2510=85＜2.故直线与圆相交而不过圆心．8.答案为：B ；解析：由题意可知，点(1，-5)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t (t 为参数)上．将参数方程代入x-y-23=0，得6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32t=23，所以t=23－612－32=43，根据t 的几何意义，得两直线的交点与点(1，-5)之间的距离是4 3.9.答案为：－43；解析：由参数方程可知，cos θ=－35，sin θ=45(θ为倾斜角)，所以tan θ=－43，即为直线斜率． 10.答案为：2955；解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2=4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y=0，将C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2－6t －2=0，则t 1＋t 2=65，t 1t 2=－25，则|AB|=1＋22|t 1－t 2|=5·（t 1＋t 2）2－4t 1t 2=5× ⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋4×25=2955.11.答案为： 5.解：由题意，得直线l 的普通方程为x-y ＋1=0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2=4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=－2＋－2= 5.12.答案为：(2，1)；解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为x 2＋y 2=5，① x －y=1，②其中0≤x≤5，0≤y ≤5，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)．13.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x ＋6)2＋y 2=25得ρ2＋12ρcos θ＋11=0.(2)设直线l 的斜率为k ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α得l ：y=kx.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，＋2＋y 2＝25得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11=0∴x 1＋x 2=-12k 2＋1，x 1x 2=11k 2＋1， ∴|AB|=10=1＋k 21＋x 22－4x 1x 2 =1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2＋12－4×11k 2＋1⇒k=±153.14.解：(1)直线l 的普通方程为y=3(x-1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2=1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3－，x 2＋y 2＝1得l 与C 1的交点为A(1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB|=1.(2)曲线C 2为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ，P 到l 的距离d=⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32=34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=-1时，d min =64(2-1)．。
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高三《极坐标与参数方程》训练试题
1． 将极坐标方程cos()4π
ρθ=-化为直角坐标方程是____________
2． 在极坐标系中，圆cos ρθ=与直线cos 1ρθ=的位置关系是
3． 两曲线cos()20084πρθ+=与cos()20094π
ρθ-=的位置关系是 4． 极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线的直角坐标方程是
5． 在极坐标系中，直线1sin =θρ与圆θρcos 2=的交点的极坐标为
6． 若曲线的极坐标方程是1
cos 4122-=θρ，则它的直角坐标方程是 7． 点N M ,分别是曲线2sin =θρ和θρcos 2=上的动点，则MN 的最小值是
8． 在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于,A B 两点，则
=AB
9． 在极坐标系中，直线(sin cos )4ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为
10．在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是
11．自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H(3,
2(π)，则直线l 的极坐标方程为 12．极坐标系内，点(2,)2π
关于直线cos 1ρθ=的对称点的极坐标为
13．在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程为
14．极坐标方程分别为θρθρsin cos 2==和的两个圆的圆心距为
15．在极坐标系中，定点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
π23,2A ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为__________
16．在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4
,2(π,则A 、B 两点间的距离是 17．圆C ：1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（为参数）的普通方程为_________ _
18．已知点P 为椭圆13
22
=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于
19．直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=t
y t x 2322（t 是参数）的倾斜角的大小是 20．椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的离心率是_____ ，直线3445x t y t
=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)的斜率为
21．在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ
=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以o 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为_______________
22．已知θ为参数，则点(3，2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
的距离的最大值是 23．已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θ
θsin 2cos 21y x （θ为参数），P 是圆C 与y 轴的交点，若以圆
心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P 的圆切线的极坐标方程是 .
24．已知点)4(14),(22
2>=+b b
y x y x p 为椭圆上的点，则y x 22+的最大值是 25．已知抛物线C ：2
22x t y t
⎧=⎨=⎩，（t 为参数）设O 为坐标原点，点00(,)M x y 在C 上运动，点(,)P x y 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为
26．已知F 是曲线2cos ()1cos 2x R y θθθ
=⎧∈⎨=+⎩的焦点，(1,0)A ，则||AF 的值是
27．已知(1,0)A ，点P 是曲线2cos ()1cos 2x R y θθθ=⎧∈⎨
=+⎩上任意一点，设点P 到直线l ：12
y =-的距离为d ，则||AP d +的最小值是 28．在平面直角坐标系中，已知曲线2cos :sin x c y θθ
=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππθθ∈为参数）则曲线c 关于y x =对称的曲线方程是
29．已知点P 是椭圆14
22
=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________。