chapt01-数学物理方法
Chapt_1复变函数
代数式： z x iy,
三角式： z cos isin ,
指数式： z ei，
14
3. 辐角主值: 满足
0 Arg z 2
的特定值称为主值： 记为 arg z, =Argz=argz+2k， (k=0, 1, 2,….)
复数零：辐角无意义 复共轭：关于实轴的对称点：
z* x iy cos i sin ei，
有理分式
a0
a1z
a2 z 2
an zn
b0 b1z b2z2 bmzm
( m和n为整数)
a0, a1, a2,, an , b0, b1, b2,, bn , a 为复常数
3. 根式 z a
ez exiy exeiy ex (cosy i sin y)
24
sin z 1 (eiz eiz ), 2i
交换律、结合律和分配律
除法： z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22 y22
x22 y22
18
乘、除、乘方、开方运算用指数式（或三角式）较 代数式方便
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
e . i(12 ) 12
z1 z2
1 2
环，奇点分类。
第四章 留数定理 (5学时)
基本要求：
1. 了解留数的意义。
2．熟练掌握求留数的方法。
3．熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分的方法。
内 容：留数定理，留数的计算，几种类型定积分的计算
。
5
第五章 傅里叶变换 (6学时) 基本要求：
1. 掌握周期函数、有限区间上的函数展为傅里叶级数的方 法，非周期函数展为傅里叶积分的方法。
数学物理方法第二篇第2章
数学物理⽅法第⼆篇第2章第⼆章数学物理⽅程和⼆阶线性偏微分⽅程分类§2.2.1数学物理⽅程数学物理⽅程（简称数理⽅程）通常是指从物理模型中导出的函数⽅程，特别是偏微分⽅程，我们这⾥着重讨论⼆阶线性偏微分⽅程.数学物理⽅程⼀般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类：1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动⽅程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的⽅程.有⼀维波动⽅程xx tt u a u 2=（⾃由振动⽅程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动⽅程），这⾥u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播速度.tt u 表⽰22t u ??，xx u 表⽰22xu ??；⼆维波动⽅程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（⼆维的），222222zy x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散⽅程，热传导⽅程.例如，有⼀维的热传导⽅程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表⽰x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.⽅程),(2t x f u a u xx t +=表⽰有热源的传导⽅程.3.稳定（或者静⽌、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯⽅程.02222=??+??≡?yu x u u . 在数学中，把⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类，其中有三种最重要的类型，分别称为双曲型⽅程、抛物型⽅程和椭圆型⽅程，⽽上⾯所指出的那些数理⽅程都是⼆阶线性偏微分⽅程.波动⽅程可以作为研究双曲型⽅程的模型，热传导⽅程可以作为研究抛物型⽅程的模型，拉普拉斯⽅程可以作为研究椭圆型⽅程的模型.对于仅有数理⽅程这类偏微分⽅程还不⾜以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作⽤有关.从数学的⾓度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求⼀个微分⽅程的解满⾜⼀定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.⽽初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，⼜叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题.边界条件⼀般有三种类型，以⼀维的为例：在x =0点的第⼀边界条件：)(),0(t t u µ=；第⼆边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这⾥h 为已知常数，)(t µ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t µ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，⼀般将边界条件写成)()],(),([t f t M nu t M u D M =??+?∈βα，D ?表⽰区域D 的边界，n 是D ?的外法线⽅向，这⾥α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述.如果⼀个定解问题中既有初始条件⼜有边界条件，则称为混合问题.例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点⾃由；(3)端点固定在弹性⽀承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.设杆的两端的坐标分别为x =0与x =l ,(1)端点固定，表明端点⽆位移，所以有0),(,0),0(==t l u t u ,(2)端点⾃由，此时在端点处⽆外⼒作⽤，因此有边界条件0),0(=??t xu 或0),0(=t u x , 因为在端点x =0点的拉⼒为S t xu E ),0()0(，E 为杨⽒模量，S 为细杆的截⾯积.同理在端点x =l 处有边界条件0),(=??t l xu 或0),(=t l u x . (3)端点固定在弹性⽀承上，此时端点受的外⼒与⽀承的变形成⽐例.例如，在杆的左端x =0处有弹性⽀承,⽀承的弹性系数为k ，⽀承对杆的作⽤⼒为S t xu E),0()0(,且其正向与x 轴⽅向相反，因此杆对⽀承的作⽤⼒亦为S t xu E ),0()0(,但其正向与x 轴⽅向相同，⽀承的伸长与杆的位移⼀致，因此有),0(),0()0(t ku S t x u E =，亦即 0)(0=+??-=x u x u σ，其中S E k )0()0(==σσ.同理，对x =l 处弹性⽀承的情形，类似地有0)(=+??=lx u x u σ，这⾥S l E k l )()(==σσ. 例2．对于热传导问题的边界条件设物体所占的空间域为Ω，其边界为Σ，即Ω?=∑.(1)如果边界Σ上的温度已知，则边界条件为第⼀边界条件， ),,(t M u ?=ΣΣ∈M这⾥?为已知的函数.(2)如果边界Σ上流⼊的热流密度为已知),(t M Q n ψ=-Σ，这⾥n Q 代表热流密度在边界⾯的外法线⽅向n 的分量，ψ为已知的函数，按傅⽴叶定律，nu k Q n ??-=，因⽽得第⼆边界条件 ),,(1t M kn u ψ=??ΣΣ∈M 如果边界是绝热的.则0=ψ，即边界绝热的条件为0=??Σn u . (3)如果物体的表⾯与外界通过辐射或者对流等过程交换热量，则得边界条件为第三边界条件0][hu hu nu =+??Σ，这⾥0u 代表外界温度，h 是⼀个正的常数.§2.2.2⼆阶线性偏微分⽅程分类和简化2.2.2.1⼆阶⽅程的分类上⼀段我们讨论了三种典型的数理⽅程：波动⽅程：),(2t x f u a u xx tt +=,热传导⽅程或扩散⽅程：),(2t x f u a u xx t +=,拉普拉斯⽅程：0=+yy xx u u .这些⽅程各代表不同性质的物理过程，因此它们的解也各有不同的特性，但是这些⽅程都是⼆阶线性偏微分⽅程，这⾥以两个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx为例，讨论分类和简化，其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 都只是⾃变量x 和y 的函数.⼆阶线性偏微分⽅程怎样进⾏分类和简化呢？我们通过作⾃变量的变换==),(),(y x y x ψη?ξ并假设在所考虑的平⾯区域内雅可⽐（Jacobi ）⾏列式0),(D ),(D ≠y x ηξ，将⽅程化为标准型，这⾥要求雅可⽐⾏列式不为零是为了保证这种变换是可逆的，从⽽对⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类，那么这样的),(),,(y x y x ψη?ξ==是如何确定的呢？为此，称⼀阶常微分⽅程02)(2=+-c xy b x y a d d d d 为⼆阶线性偏微分⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx 的特征⽅程.请注意，它的特征⽅程的系数与⼆阶线性偏微分⽅程的⼆阶偏导数yy xy xx u u u ,,的系数有⼀定的对应关系，xx u 的系数a 与特征⽅程中x y d d 的⼆次项系数相同，⽽xy u 的系数与特征⽅程中x y d d 的系数互为相反数，yy u 的系数与特征⽅程的常数项相⼀致.特征⽅程是关于xy d d 的⼀元⼆次⽅程，它的判别式ac b y x -≡?2),( 的符号决定着特征⽅程解的情况.依据判别式),(y x ?的符号对⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类：当0),(>?y x 时称⽅程为双曲型⽅程；当0),(=?y x 时称为抛物型⽅程；当0),(2.2.2.2⼆阶线性偏微分⽅程的标准形式现在分别就三种类型的⽅程讨论它的简化问题(1)双曲型⽅程例3．把⽅程06232=++--y x yy xy xx u u u u u化为标准形式，并确定它的类型.解：写出它的特征⽅程032)(2=-+xy x y d d d d ，解得 01=-x y d d ，或03=+x y d d . 积分得⽅程的通解1c x y =-，23c x y =+，21,c c 为任意常数.特征⽅程的解称为特征线，因此0),(2>-≡?ac b y x 有两族实的特征线.这⾥0431>=+=?，故这个偏微分⽅程属于双曲型⽅程. 作变量变换，令x y -=ξ，x y 3+=η，它的雅可⽐⾏列式041311),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，为⽅便仍⽤),(ηξu 记为),(y x u ，所以ηξηξu u u u u x 33)1(+-=?+-=, ηξu u u y +=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx 9633)1(33+-=?+-+?-=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xy 3233++-=++--=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u yy ++=+++=2,把它们代⼊原⽅程，原⽅程就简化成012416=++-ηξξηu u u ，化简得双曲型⽅程的标准形式ηξξηu u u 4341+= (2)抛物型⽅程例4．确定⽅程02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ，（0≠a 常数）的类型并把它化为标准形式.写出它的特征⽅程02)(2=+-a xy a x y a d d d d ，判别式022=-=?a a ，故⽅程是抛物型的，这时特征⽅程只有⼀族特征线 1c x y =-，那么做变量变换只有 x y -=ξ，另⼀个变量η怎么引进呢？可以做最简单的变换，只要保证这种变换的雅可⽐⾏列式不为零就可以.例如这⾥令x =η，那么有010111),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ记),(),(ηξu y x u =，就有ηξηξu u u u u x +-=?+-=1)1(, ξηξu u u u y =?+?=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+?-+--=2)1(1)()1(, ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=?+?+?-?-=0101,ξξξηξξu u u u yy =?+?=01,代⼊原⽅程中，化简为0)(=++--u bu u c b au ηξηη，得到这个⽅程的标准形式为u au a b u a c b u 1---=ηξηη. (3)椭圆型⽅程例5．试确定⽅程0254=++++y x yy xy xx u u u u u的类型，并把它化为标准型.写出它的特征⽅程054)(2=+-xy x y d d d d ，这时01522<-=-=?，所以⽅程是椭圆型的.解特征⽅程 0)2(=--i x y d d ，或0)2(=+-i xy d d 积分得两组复特征曲线：12c ix x y =+-，22c ix x y =--，取实部、虚部，引进变量变换，令y x +-=2ξ，x =η，这是实变量的实变换，且010112),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，记),(),(ηξu y x u =，于是有ηξηξu u u u u x +-=+-=2)2(, ξηξu u u u y =?+?=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+-=44)2(24,ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=?+?+?--=201022,ξξξηξξu u u u yy =?+=0,代⼊⽅程，化简得0=++ηηηξξu u u ，于是有椭圆型⽅程的标准形式ηηηξξu u u -=+应当指出，由于所取的⾃变量的变换),(y x ?ξ=，),(y x ψη=的形式不是唯⼀的，所以⽅程的标准形式也不是唯⼀的，但⽅程的类型是不变的，即判别式ac b -=?2的符号与⾃变量变换的选取⽆关.因为判别式ac b -=?2⼀般是),(y x 的函数，因此⼀个⼀般的线性⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx在不同区域内可以属于不同类型.例如特⾥⾕⽶(Tricomi)⽅程0=+yy xx u yu的判别式y -=?，因此，当0程是抛物型的；当0>y 时⽅程为椭圆型的.由此可见，数理⽅程中的波动⽅程),(2t x f u a u xx tt =-是双曲型⽅程；⼀维热传导⽅程),(2t x f u a u xx t =-是抛物型⽅程；拉普拉斯⽅程是椭圆型⽅程，这三类⽅程所描述的物理现象的本质不同，因⽽这三类⽅程的性质也不同，⽽⼆阶线性偏微分⽅程的分类正是这种客观现象的实际反映.。
数学物理方法概述
数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学工具和物理理论相结合，用数学方法来解决物理问题。
数学物理方法在现代物理学的发展中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解自然界的规律，还推动了科学技术的进步。
本文将对数学物理方法进行概述，介绍其基本概念、应用领域以及在物理学中的重要性。
一、基本概念数学物理方法是一种将数学工具应用于物理问题的方法论。
它主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具，以及量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等物理理论。
通过数学物理方法，我们可以建立物理模型，推导物理规律，解决物理问题。
1.1 数学分析数学分析是数学物理方法中的基础工具之一，它包括微积分、级数、极限等内容。
在物理学中，我们经常需要对物理量进行微分、积分运算，利用微积分理论可以描述物理系统的变化规律，求解运动方程等问题。
1.2 微分方程微分方程是描述物理系统演化规律的数学工具，它在数学物理方法中扮演着重要角色。
通过建立微分方程模型，我们可以预测物理系统的未来状态，研究系统的稳定性和动力学行为。
1.3 变分法变分法是一种优化方法，它在物理学中被广泛应用于求解最优控制问题、能量最小化问题等。
通过变分法，我们可以得到物理系统的最优解，优化系统的性能。
1.4 群论群论是一种抽象代数学，它研究对称性和变换的数学结构。
在物理学中，群论被用来研究对称性和守恒律，揭示物理规律背后的对称性原理。
1.5 复变函数复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在量子力学、电磁学等领域有重要应用。
复变函数理论为我们提供了处理振荡、波动等问题的有效工具。
二、应用领域数学物理方法在物理学的各个领域都有广泛应用，包括量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等。
下面我们将分别介绍数学物理方法在这些领域的应用。
2.1 量子力学量子力学是描述微观世界的物理理论，它通过波函数和算符等数学工具来描述微粒的运动和相互作用。
数学物理方法在量子力学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解量子力学的基本原理，推导薛定谔方程，研究量子力学中的对称性和守恒律。
【免费下载】数学物理方法讲义
0
ih t
复数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h2 2m
x, y, z, t
1. 数的概念的扩充
正整数（自然数） 1，2，…
负数
整数
运算规则 ＋，－，×，÷， 2 ，
－ 1 2 1
÷2
2
x2
0，-1，-2，…
…，-2，-1，0，1，2，…
2
y 2
1 0.5 1 0.333
有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数
无理数 无限不循环小数
实 数 有理数、无理数
虚数 复数
2. 负数的运算符号
2 1.414
1 i yi
实数、虚数、实数＋虚数
x2 1
x i
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学物理方法01
2
2
因为 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z 2 2 Re( z1 z2 ),
z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 )
z1 z2 2 [Re( z1 z2 )] [Im( z1 z2 )] z1 z2 2 z1 z2
2 2 2 2 2 2
z1 z2 z1 z2
2016/9/13 16
乘法运算
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 )
两个复数相乘 1 2 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) 等于它们的模相乘， 幅角相加 1 2 exp[i (1 2 )]
2016/9/13
2
x y .
2
2 2 2 注意: z ( x y ) i 2 xy
共轭复数的性质:
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
( 2) z z;
( 3) z z Re( z ) Im( z ) ;
2016/9/13 10
3.复数的几何表示
复数 z = x + iy 与有序实数对 (x ,y )成一一
对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴 , 纵轴
叫虚轴或 y 轴 .这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
复数的向量表示法
复数 z x iy 可以用复平 面上的点向量oz 表示.
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
数学物理方法概述
数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学和物理学的知识相结合，用数学的方法来解决物理学中的问题。
数学物理方法在现代物理学的研究中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解物理现象背后的数学原理，还为物理学家提供了强大的工具来解决复杂的物理问题。
本文将对数学物理方法进行概述，介绍其在物理学中的应用和重要性。
一、数学物理方法的基础数学物理方法的基础是数学和物理学的结合。
数学作为一种抽象的科学，通过符号和公式来描述事物之间的关系，而物理学则研究自然界中的物质和运动规律。
数学物理方法将数学的严谨性和物理学的实验性相结合，通过数学模型来描述物理现象，从而揭示事物之间的内在联系。
在数学物理方法中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、微分方程、泛函分析等。
这些数学工具为物理学家提供了描述物理现象的数学语言，帮助他们建立物理模型并进行定量分析。
通过数学物理方法，我们可以用数学语言来描述物理规律，从而预测物理系统的行为并进行实验验证。
二、数学物理方法在物理学中的应用数学物理方法在物理学中有着广泛的应用，涉及到多个领域，如量子力学、统计物理、电磁学、流体力学等。
下面将分别介绍数学物理方法在这些领域中的应用。
1. 量子力学量子力学是描述微观世界的物理学理论，它通过波函数来描述微粒的运动状态。
数学物理方法在量子力学中扮演着重要的角色，如波动方程、薛定谔方程等数学工具被广泛应用于量子力学的研究中。
通过数学物理方法，我们可以计算微粒的能级、波函数等物理量，并预测微粒在不同势场中的行为。
2. 统计物理统计物理研究大量微粒的集体行为，通过统计方法来描述物质的宏观性质。
数学物理方法在统计物理中有着重要的应用，如配分函数、统计力学等数学工具被用来描述系统的热力学性质。
通过数学物理方法，我们可以计算系统的熵、内能等热力学量，并研究系统的相变行为。
3. 电磁学电磁学研究电荷和电磁场之间的相互作用，描述电磁波的传播和辐射现象。
数学物理方法在电磁学中有着广泛的应用，如麦克斯韦方程组、洛伦兹力等数学工具被用来描述电磁现象。
《数学物理方法》第一章
……
第一章
复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念 复数 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？
复数相等
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
举例
_______
z1 z1 设z1 = 5 − 5i, z2 = −3 + 4i, 求 和 z2 z2
设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy 2为两个任意复数， 证明：z1 z2 + z1 z2 = 2 Re( z1 z2 )
求(1 + i )100 和 4 1 + i
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。 学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
3
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
q q p q q p x = 3 − + ( ) 2 + ( )3 + 3 − − ( ) 2 + ( )3 2 2 3 2 2 3
数学物理方法 课件
数学物理方法课件一、引言数学物理方法是一种广泛应用于科学、工程和技术领域的工具，它涵盖了从最简单的线性代数到更复杂的微分方程和量子力学等广泛的主题。
本篇文章将概述数学物理方法在科学、工程和技术中的应用，并重点介绍一些常用的数学物理方法及其基本原理。
二、数学物理方法的应用数学物理方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、工程学和地球科学等。
例如，在物理学中，数学物理方法被用于描述和预测各种现象，如力学、电磁学、热力学和量子力学等。
在化学和生物学中，数学物理方法被用于研究化学反应和生物系统的动态行为。
在工程学和地球科学中，数学物理方法被用于解决实际问题和预测自然现象，如流体动力学、结构力学和气候变化等。
三、常用的数学物理方法1、线性代数：线性代数是数学物理方法的基础，它研究的是向量空间和线性变换的数学性质。
线性代数在物理学、工程学和化学中被广泛应用，用于描述和预测各种现象。
2、微积分：微积分是研究变化率和累积量的数学工具，它在物理学和工程学中被广泛使用，用于描述和预测各种动态行为。
3、微分方程：微分方程是描述动态系统变化的数学工具，它在物理学、工程学和生物学中被广泛应用。
微分方程可以用来描述物体的运动、化学反应的速度以及生物系统的动态行为等。
4、量子力学：量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，它使用数学物理方法来描述和预测微观粒子的状态和行为。
量子力学在物理学、化学和材料科学中被广泛应用。
四、结论数学物理方法是科学、工程和技术领域中不可或缺的工具，它为我们提供了描述和预测各种现象的强大工具。
通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
在我们的日常生活中，物理现象无处不在。
当我们打开电灯时，为什么会立刻看到光线？当我们在冷天洗热水澡时，为什么会感到身体变暖？这些都是物理现象的表现。
今天，我们将一起走进这个充满奇妙和神秘的物理世界。
让学生了解物理是什么，以及物理学科的特点和研究内容。
数学物理方法-绪论PPT课件
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2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
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3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
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教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
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绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
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二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
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Байду номын сангаас
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三、学习目标
数学物理方法
数学物理方法什么是数学物理方法，想必大家都有很多疑惑吧。
下面是由小编为大家整理的“数学物理方法”，欢迎大家阅读，仅供大家参考，希望对您有所帮助。
数学物理方法数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。
本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。
所以，本课程受到了广大学生的高度重视。
数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。
本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。
所以，本课程受到了广大学生的高度重视。
《数学物理方法》作者郭玉翠，由清华大学出版出版，该书是物理系本科各专业以及部分工科专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为学习物理专业课程提供基础的数学处理工具。
一、出版信息清华大学出版书名：数学物理方法ISBN：9787302140047作者：郭玉翠定价：34元出版日期：2006-12-29出版社：清华大学出版社定价: 33.00元二、清华版本书是在北京邮电大学出版社出版的《数学物理方法(研究生用)》的基础上修订而成的.此次修订除了对一些章节的内容作了调整，以便更适合教学外，主要增加了计算机软件Maple在求解定解问题中的应用，以及用Maple将一些结果可视化的内容.全书内容分为10章，分别介绍矢量分析与场论的基础知识、数学物理定解问题的推导、求解数学物理问题的分离变量法、行波法与积分变换法、Green函数法、变分法、二阶线性常微分方程的级数解法与Sturm?Liouville本征值问题、特殊函数(一)——Legendre多项式、特殊函数(二)——Bessel函数以及积分方程的基本知识.本书从理论到实例都考虑了电子、通信类各专业的特点，兼顾数学理论的严谨性和物理背景的鲜明性，体现了数学物理方法作为数学应用于物理和其他科学的桥梁作用.本书可以作为高等学校工科硕士研究生的教材，也可以供对这门课程要求较高的专业的本科生使用，或作为教学参考书.前言本书第1版于2003年1月出版后，曾蒙广大师友和读者的关怀与厚爱，于2005年9月进行了第2次印刷.此次修订主要是增加了应用数学软件Maple来辅助求解数学物理定解问题，并将部分结果用Maple进行可视化的内容.因为“数学物理方法”这门课程作为众多理工科学生的基础课之一，在后续课程和完成学业后的科研工作中都有许多应用，需要学生清楚地理解其中的概念，娴熟地掌握解题方法，并且了解结果的物理意义.但是由于课程本身的内容多而难，题目繁而杂，被公认为是一门难学的课程，主要体现在公式推导多，求解习题往往要计算复杂的积分或级数等.随着计算机的深入普及，功能强大的数学软件(如Maple等)为复杂数学问题的求解提供了有力的工具，目的在于：(1)将繁难的数学运算，比如求解常微分方程、计算积分、求解复杂代数方程等借助于计算机完成，可使读者更专注于模型(数学物理方程)的建立、物理思想的形成和数学方法应用于物理过程的理论体系;(2)借助于计算机强大的可视性功能，把一些抽象难懂但又非常有用的知识变成生动的、“活”的物理图像展现在读者面前，这无疑有益于读者对知识的理解和掌握.数学软件Maple的符号运算功能强大，它的最大好处是不用编程，可以直接进行符号运算，因此读者不用另外学习编程的知识，更不要求以会编程为学习基础，这会带来极大的方便，读者只要在计算机上装上Maple软件，直接输入命令即可.本次修订除了增加上述内容外，还对原版的内容作了以下调整：将第1章“场论初步”改成“矢量分析与场论初步”，增加了矢量分析的内容，删去了矢量场的梯度、张量及其计算，以及并矢分析两节内容;将第5章“特殊函数”分成两章“特殊函数(一)——Legendre 多项式”和“特殊函数(二)——Bessel函数”;在“变分法”一章中，增加了复杂泛函Euler方程的推导，因为在数学物理问题中经常会遇到求解复杂变分的问题;在“积分方程的一般性质和解法”一章中，按照积分核的类型讲解相应的解法，以便使内容更加清晰和系统.全书的文字内容进行了重写或修改，也改正了第1版中几处印刷错误.书中加“*”号内容可作为选学内容，读者可根据需要取舍.编著者十分感谢清华大学出版社对本书再版的大力支持和帮助，尤其感谢刘颖和王海燕两位编辑，其严谨、辛勤的敬业精神令人钦佩.目录第1章矢量分析与场论初步1.1矢量函数及其导数与积分1.1.1矢量函数1.1.2矢量函数的极限与连续性1.1.3矢量函数的导数和积分1.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式1.2.1直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子1.2.2正交曲线坐标系中的“三度”1.2.3“三度”的运算公式1.3正交曲线坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式1.4算子方程第2章数学物理定解问题2.1基本方程的建立2.1.1均匀弦的微小横振动2.1.2均匀膜的微小横振动2.1.3传输线方程2.1.4电磁场方程2.1.5热传导方程2.2定解条件2.2.1初始条件2.2.2边界条件2.3定解问题的提法2.4二阶线性偏微分方程的分类与化简2.4.1两个自变量方程的分类与化简2.4.2常系数偏微分方程的进一步简化2.4.3线性偏微分方程的叠加原理第3章分离变量法3.1(1+1)维齐次方程的分离变量法3.1.1有界弦的自由振动3.1.2有限长杆上的热传导3.22维Laplace方程的定解问题3.3高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用3.4非齐次方程的解法3.4.1固有函数法3.4.2冲量法3.4.3特解法3.5非齐次边界条件的处理第4章二阶常微分方程的级数解法本征值问题4.1二阶常微分方程系数与解的关系4.2二阶常微分方程的级数解法4.2.1常点邻域内的级数解法4.2.2正则奇点邻域内的级数解法4.3Legendre方程的级数解4.4Bessel方程的级数解4.5Sturm?Liouville本征值问题第5章特殊函数(一)Legendre 多项式5.1正交曲线坐标系中的分离变量法5.1.1Laplace方程5.1.2Helmholtz方程5.2Legendre 多项式及其性质5.2.1Legendre多项式的导出5.2.2Legendre多项式的性质5.3Legendre多项式的应用5.4一般球函数5.4.1关联Legendre函数5.4.2球函数第6章特殊函数(二)Bessel函数6.1Bessel函数的性质及其应用6.1.1柱函数6.1.2Bessel函数的性质6.1.3修正Bessel函数6.1.4Bessel函数的应用6.2球Bessel函数6.3柱面波与球面波6.3.1柱面波6.3.2球面波6.4可化为Bessel方程的方程6.5其他特殊函数方程简介6.5.1Hermite多项式6.5.2Laguerre多项式第7章行波法与积分变换法7.1一维波动方程的d′Alembert公式7.2三维波动方程的Poisson公式7.3Fourier积分变换法求定解问题7.3.1预备知识——Fourier变换及性质7.3.2Fourier变换法7.4Laplace变换法解定解问题7.4.1Laplace变换及其性质7.4.2Laplace变换法第8章Green函数法8.1引言8.2Poisson方程的边值问题8.2.1Green公式8.2.2解的积分形式——Green函数法8.2.3Green函数关于源点和场点是对称的8.3Green函数的一般求法8.3.1无界区域的Green函数8.3.2用本征函数展开法求边值问题的Green函数8.4用电像法求某些特殊区域的Dirichlet?Green函数8.4.1Poisson方程的Dirichlet?Green函数及其物理意义8.4.2用电像法求Green函数*8.5含时间的定解问题的Green函数第9章变分法9.1泛函和泛函的极值9.1.1泛函9.1.2泛函的极值与泛函的变分9.1.3泛函取极值的必要条件——Euler方程9.1.4复杂泛函的Euler方程9.1.5泛函的条件极值问题9.1.6求泛函极值的直接方法——Ritz方法9.2用变分法解数学物理方程9.2.1本征值问题和变分问题的关系9.2.2通过求泛函的极值来求本征值9.2.3边值问题与变分问题的关系*9.3与波导相关的变分原理及近似计算9.3.1共振频率的变分原理9.3.2波导的传播常数γ的变分原理9.3.3任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算第10章积分方程的一般性质和解法10.1积分方程的概念与分类10.2积分方程的迭代解法10.2.1第二类Volterra方程的迭代解法10.2.2第一类Volterra方程的迭代解法10.2.3第二类Fredholm方程的迭代解法10.2.4叠核、预解核10.3退化核方程的求解10.4弱奇异核的Abel方程的解法10.5对称核的Fredholm方程10.6微分方程与积分方程的联系10.6.1二阶线性常微分方程与Volterra方程的联系10.6.2微分方程的本征值问题与对称核积分方程的联系参考文献三、西科大版第1章数学物理方程的定解问题1.1 基本概念1.1.1 偏微分方程的基本概念1.1.2 三类常见的数学物理方程1.1.3 数学物理方程的一般性问题1.2 数学物理方程的导出1.2.1 波动方程的导出1.2.2 输运方程的导出1.2.3 稳定场方程的导出1.3 定解条件与定解问题1.3.1 初始条件1.3.2 边界条件1.3.3 三类定解问题1.4 本章小结习题1第2章行波法2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔(D’Alembert)公式的导出2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义2.1.3 依赖区间和影响区域2.2 半无限长弦的自由振动2.3 三维波动方程的泊松公式2.3.1 平均值法2.3.2 泊松公式2.3.3 泊松公式的物理意义2.4 强迫振动2.4.1 冲量原理2.4.2 纯强迫振动2.4.3 一般强迫振动2.5 三维无界空间的一般波动问题2.6 本章小结习题2第3章分离变量法3.1 双齐次问题3.1.1 有界弦的自由振动3.1.2 均匀细杆的热传导问题3.1.3 稳定场分布问题3.2 本征值问题3.2.1 斯特姆-刘维型方程3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题3.2.3 斯特姆-刘维本征值问题的性质3.3 非齐次方程的处理3.3.1本征函数展开法3.3.2 冲量原理法3.4 非齐次边界条件的处理3.4.1 边界条件的齐次化原理3.4.2 其他非齐次边界条件的处理3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法3.6 本章小结习题3第4章特殊函数4.1 二阶线性常微分方程的级数解4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点4.1.2 方程常点邻域内的级数解4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解4.2勒让德多项式4.2.1 勒让德多项式4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示4.3 勒让德多项式的性质4.3.1 勒让德函数的母函数4.3.2 勒让德多项式的递推公式4.3.3 勒让德多项式的正交归一性4.3.4 广义傅里叶级数展开4.4 勒让德多项式在解数理方程中的应用4.5 连带勒让德函数4.5.1 连带勒让德函数本征值问题4.5.2 连带勒让德函数的性质4.5.3 连带勒让德函数在解数理方程中的应用4.6 球函数4.6.1 一般的球函数定义4.6.2 球函数的正交归一性4.6.3 球函数的应用4.7贝塞尔函数4.7.1 三类贝塞尔函数(贝塞尔方程的解) 4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题4.8 贝塞尔函数的性质4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示4.8.2 贝塞尔函数的递推关系4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开4.9 其他柱函数4.9.1 球贝塞尔函数4.9.2 虚宗量贝塞尔函数4.10 贝塞尔函数的应用4.11 本章小结习题4第5章积分变换法5.1 傅里叶变换5.1.1傅里叶积分5.1.2 傅里叶变换5.1.3 傅里叶变换的物理意义5.1.4 傅里叶变换的性质5.1.5 δ函数的傅里叶变换5.1.6 n维傅里叶变换5.2 傅里叶变换法5.2.1 波动问题5.2.2 输运问题5.2.3 稳定场问题5.3 拉普拉斯变换5.3.1 拉普拉斯变换5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质5.4 拉普拉斯变换的应用5.4.1 拉普拉斯变换解常微分方程5.4.2 拉普拉斯变换解偏微分方程5.5 本章小结习题5第6章格林函数法6.1δ函数6.1.1 δ函数的定义6.1.2 δ函数的性质6.1.3 δ函数的应用6.2 泊松方程边值问题的格林函数法6.2.1 格林函数的一般概念6.2.2 泊松方程的基本积分公式6.3 格林函数的一般求法6.3.1 无界空间的格林函数6.3.2 一般边值问题的格林函数6.3.3 电像法6.3.4 电像法和格林函数的应用6.4 格林函数的其他求法6.4.1 本征函数展开法求解边值问题的格林函数6.4.2 冲量法求解含时间的格林函数6.5 本章小结习题6第7章数学物理方程的其他解法7.1 延拓法7.1.1 半无界杆的热传导问题7.1.2 有界弦的自由振动7.2 保角变换法7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义7.2.2 拉普拉斯方程的解7.3积分方程的迭代解法7.3.1 积分方程的几种分类7.3.2 迭代解法7.4变分法7.4.1 泛函和泛函的极值7.4.2 里兹方法第8章数学物理方程的可视化计算8.1 分离变量法的可视化计算8.1.1 矩形区泊松方程的求解8.1.2直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用8.2 特殊函数的应用8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加8.2.2 平面波展开为球面波的叠加8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用8.2.4 球体雷达散射截面的解析解8.3 积分变换法的可视化计算8.4 格林函数的可视化计算参考文献四、北理工版基本信息作者: 闫桂峰出版社: 北京理工大学出版社ISBN: 9787564023485装帧:平装页码: 279开本: 16中文:简体中文简介本书主要介绍了三类典型数学物理方程定解问题的多种求解方法。
数学物理方法总结
数学物理方法总结数学物理方法在物理学领域中扮演着非常重要的角色，它不仅仅是物理学家的工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
数学物理方法的应用涉及到了许多领域，包括经典力学、电磁学、热力学、量子力学等。
本文将对数学物理方法进行总结，以便对这些方法有一个全面的了解。
首先，我们来谈谈在经典力学中的数学物理方法。
在经典力学中，微积分和微分方程是非常重要的工具。
微积分通过对函数的积分和导数运算，可以描述物体的运动和力学系统的行为。
而微分方程则可以用来描述物体的运动规律，比如牛顿第二定律就可以用微分方程来描述。
此外，拉格朗日力学和哈密顿力学也是经典力学中重要的数学物理方法，它们可以通过变分原理和哈密顿原理来描述物体的运动。
其次，我们来看看在电磁学中的数学物理方法。
在电磁学中，矢量分析和电磁场方程是非常重要的数学工具。
矢量分析可以用来描述电场和磁场的分布和性质，而电磁场方程则可以用来描述电磁场的行为，比如麦克斯韦方程组可以描述电磁波的传播。
此外，复数和调和函数也是电磁学中常用的数学工具，它们可以简化电磁场的计算过程。
再者，我们来讨论一下在热力学中的数学物理方法。
在热力学中，统计物理和热力学定律是非常重要的数学物理方法。
统计物理可以用来描述大量粒子系统的性质，比如玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布可以用来描述气体中粒子的分布。
而热力学定律则可以用来描述热量和功的转化，比如热力学第一定律可以用来描述热力学系统的能量守恒。
最后，我们来看看在量子力学中的数学物理方法。
在量子力学中，线性代数和波动方程是非常重要的数学工具。
线性代数可以用来描述量子态的性质，比如态矢量和算符可以用来描述量子系统的性质。
而波动方程则可以用来描述波函数的行为，比如薛定谔方程可以用来描述量子系统的演化。
综上所述，数学物理方法在物理学中扮演着非常重要的角色，它们不仅仅是工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
通过对数学物理方法的总结，我们可以更好地理解物理学中的各种现象和规律，为我们的科研工作提供更加丰富的思路和方法。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法
数学物理方法数学物理方法是一种将数学方法应用于物理问题求解的方法。
数学物理方法在解决物理问题中起着重要的作用，因为它能够将复杂的物理现象转化为数学模型，并通过数学的推导和计算得到解析解或近似解。
本文将介绍一些常用的数学物理方法。
微积分是数学物理方法中最基础的部分。
微积分通过导数和积分的概念，能够对物理过程进行建模和分析。
例如，在力学中，通过对物体的运动进行微积分，可以得到速度、加速度和位移等与时间相关的量。
在热力学中，通过对能量和熵的微积分，可以得到热量和功的关系。
微积分在物理学中的应用是非常广泛的。
常微分方程是描述物理过程中变量随时间变化的方程。
常微分方程可以用来描述林松系统、振动系统、电路等各种物理系统的行为。
通过对常微分方程进行求解，可以得到物理系统的解析解或近似解。
物理学中常用的求解常微分方程的方法有分离变量法、变系数法和拉普拉斯变换法等。
偏微分方程是描述物理过程中变量在空间和时间上的变化的方程。
偏微分方程可以用来描述电场、磁场、温度、压力等物理现象。
物理学中常用的求解偏微分方程的方法有分离变量法、变换法和变系数法等。
例如，在电动力学中，可以通过拉普拉斯方程求解电势分布情况；在热传导中，可以通过热传导方程求解温度分布情况。
波动方程是描述波动现象的方程。
波动方程可以用来描述声波、光波等波动的传播和干涉现象。
物理学中常用的求解波动方程的方法有分离变量法、变换法和叠加法等。
例如，在声学中，可以通过波动方程求解音波的传播和频谱特性；在光学中，可以通过波动方程求解光波的衍射和干涉现象。
变分法是一种计算变量最优值的方法。
在物理学中，变分法可以应用于发现物理系统的最优路径和能量最小化等问题。
变分法通过对泛函进行变分，得到使泛函达到极值的方程。
物理学中常用的变分法有欧拉-拉格朗日方程和哈密顿方程等。
例如，在光学中，可以通过变分法求解最速降线和菲涅尔原理等最优路径问题。
总之，数学物理方法是一种将数学方法应用于物理问题求解的方法。
数学物理方法教学Chapt1
复数的运算 注意!
IzI2 = zz*
复数的模
z2 = z*z
复数的自乘
● 既然复数可以用实部和虚部表示，那么复数的研究往往就归
结为一对实数的研究(实部和虚部)；
例如，复变数 z=x+iy 逼近复常数 z0=x0+iy0 ，即 z→z0 的问题， 完全可以归结为一对实变数x和y分别逼近实常数x0和y0，即
f(z)在第一、三象限的实部和虚部分别为 u=sqrt(xy),v=0；在第二、四象限，u=0,v=sqrt(IxyI). 下面分别给出实部和虚部在点z=0处的偏导数：
柯西—黎曼条件
令Δz的幅角ψ保持一定，而模Δρ→0,即有Δz=eiψΔρ→0，则在第一、三 象限，Δf/Δz的极限为：
类似地，在第二、四象限，Δf/Δz的极限为i*sqrt(IcosψsinψI)/eiψ.可见， 极限值随ψ的不同而不同，从而，f(z)在点z=0不可导.
在复变函数论中，主要研究的是解析函数
点集E
区域
在解析函数论中，函数的定义域不是一般的点集，而是满足一定条件的 点集，称为区域，用B 表示。
边界线 内点 区域B 边界点
z0
外点
邻域
区域
区域：（1）全由内点组成 （2）点集是连通的，即点集中的任何两点都可以用 一条曲线连接起来，且线上的点全属于该点集。 闭区域：包括境界线的区域B叫闭区域，以
无限远点
复数的运算
两个复数 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2 的基本运算规则有：
加法
适用实数加法的交换律和结合律
减法 乘法
适用实数乘法的交换律、结合律和分配率
除法
复数的运算
利用复数的三角式或指数式进行复数的乘、除、乘方和开方等运算 乘法
数学物理方法课件第七章
数学物理方法课件第七章第二篇数学物理方程第七章数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+??+??+??++??22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
数学物理方法基础(复变函数)
1.2 复变函数
为了更好的理解这个定义，我们需要 了解以下概念：区域、邻域、内点、外点 、境界线、闭区域、开区域等。
邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε 为 半径作一圆，则圆内所有点的集 合称为Zo的邻域。
内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该 点叫作E的内点。 外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
1
2)
z n n cos n i sin n n ein
n
n z cos i sin e n n n
n i
1-1 课堂练习
1、下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez>1/2
答案
再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z u ( x, y y ) iv( x, y y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim y 0 iy v( x, y ) u ( x, y ) i y y
上篇
复变函数论
主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 拉普拉斯变换与傅立叶变换 线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。
第一章 复变函数
1—1 复数及复数运算 1.复数的基本概念 2.复数及其表示形式 3.无穷远点 4.复数的基本运算
1、什么是复数
一个复数可表示为 z=x + i y, 其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为:x=ReZ, y=ImZ;(i即虚单位)。复数的上述表示 称为复数的代数式. 1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分. 2)若实部x=0 ,虚部y=0 ,则z=0——复数零. 3)如果把x，y看做是平面上的点，那么复数Z就与 平面上的 点一一对应起来，这个平面称作复平面。
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Arg z 0 2kπ k 0,1,2,...
π<0 π
的辐角 0 为辐角 Argz 的主值，记为 0 arg z .
(1.2.10)
定义 1.2.5 复数的三角表示 利用直角坐标关系， x r cos , y r sin ，可以把非零复数 z 表示成 (1.2.11) z r (cos i sin ) 称为复数的三角表示式. 即为
| z | x2 y 2 | z |
zz
z z ( x iy)( x iy) x y | z | | z |
2 2 2 2
1.3 复数的乘幂与方根
1.3.1 复数的乘幂
定理 1.3.1 两个复数相乘， 其模等于它们模的乘积， 其辐角等于它们辐角的和.
定义 1.3.1 乘幂 利用数学归纳法可以将上式推广到 n 个复数相 乘的三角形式与指数形式
z r cos ir sin r (cos i sin ) z cos Argz i sin Argz
（1.2.12）
1.2.3 复数的指数表示
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler)公式
可以把任意非零复数 z x iy r cos isin 表示 为指数形式 i z re (1.2.14)
y tan Arg z tan x
【2 】
(1.2.8)
y
0
x
图 1.2
2kπ 0
需要指出， 任何一个非零复数 ( z 0) 有无穷多个辐 角. 如图 1.2 所示，若 0 是辐角中的一个，则有 (1.2.9) 式(1.2.9)表示 z 的全部辐角. 我们规定其中满足
1.1.2 复数的基本代数运算
1.四则运算
加（减）法： z1
z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法： z1 z2 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y2 y1 x2 x1 y2 2 2 i 2 2 除法： z2 x2 iy2 x2 y2 x2 y2
自从有了复变函数论，实数领域中的禁 区或不能解释的问题，比如： 负数不能开偶数次方； 负数没有对数； 指数函数无周期性； 正弦、余弦函数的绝对值不能超过1； …… 等已经不复存在.
数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱， 便会产生无可估量的创造力.哈密顿的四元 数的发明，使数学家们认识到如果可以抛 弃实数和复数的交换性(即抛弃复数的基本 性质)去构造一个有意义、有作用的新“数 系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏 离实数和复数的通常性质的代数构造，从 而使得另一通向抽象代数的大门被打开.我 们相信随着科学技术的不断发展，数学系 统理论将不断地完善和自洽.
洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小
的溪渠，以至于干涸，因此有必要引 导我们的努力转向于将许多有特点的 和各式各样的科学事实的共同点及其 相互关联加以阐明，以重新统一这种 分离的趋向” 或许我们今天所应做 的正是柯朗所指出的。数学物理方法 也正是将这种分裂进行重新统一并实 现有机结合的具体体现。
数学物理方法
复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。
( z2 0)
1.复数的二项式定理
实数的二项式定理对复数同样有效,我们有下述定理 定理 1.1.1 复数的二项式定理.根据复数的四则运 算，如果 z1 和 z2 为任意复数，那么二项式展开满足
z1 z2
n
C z
k 0
n
k nk k n 1 2
z1 z2 zn rr2 rn [cos(1 2 n ) isin(1 2 n )] 1 rr2 rne 1
十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学 家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘 （Argand）以及德国的数学家高斯 （Gauss）等都对“虚数”(也称为“复 数”)给出了几何解释，并使复数得到了实 际应用. 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物， 即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯 特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎 曼（Rieman，1826－1866）.柯西和维尔斯 特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数， 黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的 不懈努力，终于建立了系统的复变函数论.
十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard· Euler， 1707-1783) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称 之为“幻想中的数”或“不可能的数”.他在《对 代数的完整性介绍》(1768－1769年在俄国出版， 1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象 的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即 为有序数. 所以很清楚，负数的平方根不能包括在 可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新 的数，而就其本性来说它是不可能的数. 因为它们 只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想中的 数，于是Euler首先引入符号作为虚数单位.
在实数中，若 a b, c 0 则 ac bc ;
若 a b, c 0 , 则 ac bc . 我们用复数 i 和 0 来说 明. 对于非零复数即 i 0 , 若 i 0 ，根据实数不等 式的性质，两边同乘以“大于零”的 i ，得 i i i 0 ， 即 1 0 ,矛盾. 若 i 0 ,同样两边同乘以“小于零” 的 i 可推得 1 0 ，也矛盾. 由此可见,在复数域中无法定义大小关系，即两个 复1.2.13)
1.2.4 共轭复数
定义 1.2.7 共轭复数（复数的共轭）复数 z x iy 的共轭复 数定义为 z x iy （1.2.15） 所谓共轭复数是指其实部不变， 虚部反号. 共轭复数在复平 面内的几何意义表明： 点 z ( x, y) 是点 z ( x, y) 关于实轴的对称点. 性质：
计 算 机 仿 真 篇 特 殊 函 数 篇 数 学 物 理 方 程 篇 复 变 函 数 篇
数 学 物 理 基 础 篇
第一篇 复变函数论
复变函数论
微分 积分
傅里叶积分变换 拉普拉斯积分变换
平均 解析函数的 无限次可微 性 柯西 莫勒纳定理 不等 式 值公 式
柯西积分定理 柯西积分公式
留数定理 留数和定理
3
q q p q q p x 3 ( ) 2 ( )3 3 ( ) 2 ( )3 2 2 3 2 2 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登着《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年). 至此，我们明白了这样的 事实，此方程根的求得必须引入虚数概念. 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认 识.“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家 笛卡儿（Descartes）正式取定的.“虚数”代表 的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”， 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣.
z
(1.1.5)
(n=1,2,….) 即为二项式定理 . 其中：
n! C k ! n k !
k n
(k=0,1,2,…,n)
1.2 复数的表示
1.2.1 复数的几何表示
y
P y
r
x
o
图 1.1
x
定义 复数的几何表示 直角坐标表示
在复平面内，复数 z 除了用点 ( x, y ) 表示外， 还可以用从原点指向点 z ( x, y) 的矢量(或向量) OP 来表示复数, 称为复数的几何表示，如图 1.1 所 示，矢量 r 或 OP 代表复数 z x i y . 从这种几何意 义上， 我们把 z x iy 称为复数的直角坐标表示 （或 复数的代数表示）.
z x iy
x Re z, y Im z .
复数的无序性
实数可以比较大小，是有序的，但复数 不能比较大小，即复数是无序的. 尽管复数 的实部和虚部均为实数，但是由于复数是 实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是 不能比较大小的.
问：复数为什么不能比较大小？
解释： 复数是实数的推广，若复数能比较大小，则 它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性 质.
1.1 复数的概念及四则运算 1.1.1 复数概念
定义 复数 把形如 x iy 的数称为复数，记为 （1.1.1） 或 z ( x, y) . 其中 x 称为复数 z 的实部（Real Part） ， y 称为复数 z 的虚部(Imaginary Part)，分别记为 x Re( z ), y Im( z ) （1.1.2） 或
《数学物理方法》课程教材
教 材
参考教材
(国外优秀教材)
参考教材
(国内优秀教材)
序言
将数学思想方法应用于现代高新技术专业 领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问 题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强 的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙 的数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。 脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论 指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型）， 数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜 能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽 善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人 类科学技术赖以发展的动力之源。
1.2.2 复数的三角表示
1.复数的辐角 定义 1.2.4 辐角 辐角的主值 复数 z x i y 对应的点 ( x, y ) 的极坐标为 r 和 ，当 z 0 时，复数 z 的向量与实轴正向间的夹角 称为复数 z 的辐 角，记为 Arg z （1.2.7） 显然我们有 x r cos ， y r sin ， r x 2 y 2 ，所以