2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(二十八) 基本不等式 Word版含答案

高考达标检测（二十八） 基本不等式一、选择题1．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：选B 因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a2>0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.2．(2017·衡水模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ， 而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件． 3．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22解析：选C 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b有最大值2，故选C.4．(2017·开封摸底考试)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4，故选B.5．(2017·江南十校联考)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B ∵a x＝b y＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＋1y ＝1log a 2＋1log b 2＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )． 又a >1，b >1，∴8＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤8， 当且仅当2a ＝b ，即a ＝2，b ＝4时取等号， ∴1x ＋1y＝log 2(ab )≤log 28＝3.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y max ＝3.6．不等式x 2＋2x <a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选 C 不等式x 2＋2x <ab＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min ，由于a b ＋16ba ≥2 ab ·16ba＝8(当a ＝4b 时等号成立)， ∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C. 7．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B. 94C ．9D ．16解析：选B1a ＋1＋4b ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)]＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋a ＋b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝a ＋b ＋1，即a ＝13，b＝53时取等号，故选B. 8．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z取最大值时，1x＋12y －1z的最大值为( ) A ．2B.32C ．1D.12解析：选D ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)， ∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx－3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)， 此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2＝－12(t －1)2＋12≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.二、填空题9．(2017·云南两市联考)已知向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，m >0，n >0，若a ∥b ，则 1m ＋2n的最小值是________．解析：向量a ∥b 的充要条件是m ×1＝1×(1－n )，即m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m＋2m n≥3＋22，当且仅当n ＝2m ＝2－2时等号成立，故1m ＋2n的最小值是3＋2 2.答案：3＋2 210．已知a ，b ，c 都为实数，且b ，c 同号，若a ＋1b ＋1c ＝bc a，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c 的最小值为________．解析：由已知得a 2＋a b ＋a c＝bc ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c ＝a 2＋a b ＋a c ＋1bc ＝bc ＋1bc≥2(当且仅当bc ＝1时取等号)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c 的最小值为2. 答案：211．(2016·周口调研)已知对任意正实数x ，y ，x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2，又λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立，所以λ≥2，即λ的最小值是2.答案：212.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y 米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6， ∴y ＝BC ＋2x ＝18x＋3x2(2≤x <6)， 从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 3 三、解答题13．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.14．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ·7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。