北京市高考数学一轮复习讲义 第4讲 平面向量 理
高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)
【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得
cos ab , a b ab 2 ) 1 , 2 a b | | a | b |
sin 1 cos 2 1 (
【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(
【思路点拨】(1)将a·b表示为θ的三角函数，然后求得a·b 的最值，转化为解不等式的问题. (2)①由 | BC BA | 2 得到关于θ的关系式，两边平方可求解； ②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题
求解.
【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|= 因此a· b=mcos θ+nsin θ =
3. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM＝2MA， 则 CMCB 等于( (A)2 (B)3
) (C)4 (D)6
【解析】选B.由题意可知，
1 CM CB CA＋ AB)CB ＝( 3 1 ＝CACB ABCB ＋ 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形
【解析】选A.由 ( AB AC )BC 0 知△ABC为等腰三角形，且 AB | AC | AB＝AC.由 AB AC 1 知， 与AC 的夹角为60°，所以 AB 2 AB | AC |
备战2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)第4讲 平面向量与复数
第4讲 平面向量与复数一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C2．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n - B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n +【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ．3．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠， ∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.6．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（ ）A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +. 【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D8．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1-C ．13-+D ．13-【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-+-故选 ：C 10．（2022·全国·高考真题（文））若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z + 故选：D.11．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A 【解析】 【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】12iz =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A12．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限， 故选：A.13．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.14．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.15．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C 【解析】【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z . 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.16．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】 由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 二、多选题17．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α==，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 三、双空题18．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 【答案】 1 1120【解析】 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.19．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】 0 3【解析】 【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=. 故答案为：0；3. 四、填空题20．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．21．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________． 【答案】34-##0.75-【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.22．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP⋅的最小值为________ 【答案】78【解析】【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()22,,0,222M C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0P x ，22x -≤≤，则(2,11MP CP x x x x x ⎛⎛⋅=⋅=+=+ ⎝⎭⎝⎭，当x =时，()2min718MP CP ⋅=+=⎝⎭故答案为：78.23．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 【答案】92- 【解析】 【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-.24．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=． 故答案为：35． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==， 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．25．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-=∴32b =.故答案为： 26．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-. 【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】 ()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+, (),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=. 27．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=. 故答案为：85.。
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件004001-平面向量的概念及其线性运算
|λ||a|
1、对共线向量的理解
(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同．( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (3)(2013· 郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量，且 1 向量 a＋λb 与 2a－b 共线，则 λ＝－ .( ) 2 (4)(2013· 陕西卷改编)设 a，b 为向量，则“|a· b|＝|a|· |b|”是 “a∥b”的充分必要条件．( )
解 由题意知，在平行四边形 OADB 中， → ＝1BC → ＝1BA → ＝1(OA → －OB → )＝1(a－b) ＝1a－1b， BM 3 6 6 6 6 6 1 1 1 5 → → → 则OM＝OB＋BM＝b＋ a－ b＝ a＋ b. 6 6 6 6 2→ 2 → → 2 2 2 → ON＝ OD＝ (OA＋OB)＝ ( a＋b)＝ a＋ b， 3 3 3 3 3 → ON → OM → 2(a b) 1a 5b 1a 1b. MN ＝ － ＝ ＋ － － ＝ － 3 6 6 2 6
一是同向，二是反向， 反向时 a＝－|a|a0，
故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是 3.
考 点
平面向量的线性运算
→ → ＝b， 【例 2】 如图，在平行四边形 OADB 中，设OA＝a，OB → ＝1BC → ，CN → ＝1CD → .试用 a，b 表示OM → ，ON → 及MN →. BM 3 3
规律方法
平面向量的有关概念
训练 1 设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且 |a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( Ｄ )． A．0 B．1 C．2 D．3
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第四篇 平面向量(必修4) 第2节 平面向量基本定理及其坐标表示 .pdf
第2节 平面向量基本定理及其坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.[考纲展示]考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a = .我们把不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.不共线λ1e 1+λ2e 2互相垂直单位向量3.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个i ,j 作为基底,a 为坐标平面内的任意向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x,y唯一确定,我们把实数对 叫作向量a 的坐标,记作 .(2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1).4.平面向量的坐标运算(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b = ;(2)若a =(x,y),则λa =(λx,λy).(x,y)a =(x,y)(x 1±x 2,y 1±y 2)5.向量共线的充要条件的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ .x1y2-x2y1=0对点自测B1.已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( )(A)e 1+e 2和e 1-e 2 (B)3e 1-2e 2和4e 2-6e 1(C)e 1+2e 2和e 2+2e 1 (D)e 2和e 1+e 2解析:因为4e 2-6e 1=-2(3e 1-2e 2),所以3e 1-2e 2与4e 2-6e 1共线,又作为一组基底的两个向量一定不共线,所以它们不能作为一组基底.故选B.D2.(2018·三明月考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.A 3.(2018·湖南省永州市一模)已知a =(1,-1),b = (1,0),c=(1,-2),若a 与m b -c平行,则实数m等于( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3解析:由题m b -c=(m-1,2),又因为a 与m b -c平行,所以1×2=-(m-1),m=-1,故选A.4.(教材改编题)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为 .答案:(1,5)5.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .答案:-3考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 平面向量基本定理及其应用反思归纳(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b为( ) (A)(-3,4)(B)(3,4)(C)(3,-4)(D)(-3,-4)答案:(1)A (2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .答案:(2)(2,4).反思归纳(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【跟踪训练2】 (1)(2018·福州模拟)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:(1)2a+b=2×(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.(2)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c等于( )(A)(-23,-12)(B)(23,12)(C)(7,0) (D)(-7,0)解析:(2)3a-2b+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选A.考点三 共线向量的坐标表示答案:(1)B (2)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .反思归纳(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.答案:(1)A(2)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ= .解析:(2)因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.答案:(2)0备选例题【例2】 已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意得a+b=(2,2+m),由m=-6得a+b=(2,-4),因为(-1)×(-4)=-2×2=0,所以a∥(a+b);由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.点击进入应用能力提升。
2021高考北师版(理科)数学一轮复习讲义： 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲 ] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进展平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角(1)定义：两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫作向量a与b 的夹角．(2)范围：0°≤∠AOB ≤180°.(3)向量垂直：∠AOB ＝90°时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量垂直．2．平面向量的数量积(1)射影的定义设θ是a 与b 的夹角，那么|b |cos θ叫作b 在a 方向上的射影(或投影)．(2)平面向量数量积的定义两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b .(3)数量积的几何意义a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影|b |·cos θ的乘积．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 结论 几何表示坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21 数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θa ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b | |x 1x 2＋y 1y 2| ≤x 21＋y 21·x 22＋y 22 4.平面向量数量积的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)；(3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (分配律)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )(2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( )(3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝c .( )(4)在四边形ABC D 中，AB →＝D C →且AC →·B D →＝0，那么四边形ABC D 为矩形.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2021·全国卷Ⅲ)向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，那么∠ABC ＝( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.应选A.]3．(2021 ·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，那么(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，应选C.]4．(教材改编)|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，那么向量b 在向量a 方向上的射影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的射影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.]5．(2021·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，那么x ＝________. －23 [∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，∴x ＝－23.]平面向量数量积的运算(1)(2021·天津高考)△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接D E 并延长到点F ，使得D E ＝2EF ，那么AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118(2)正方形ABC D 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么D E →·CB →的值为________；D E →·D C →的最大值为________.【导学号：57962208】(1)B (2)1 1 [(1)如下图，AF →＝A D →＋D F →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且D E ＝2EF ，所以A D →＝12AB →，D F →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，那么AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.应选B.(2)法一：以射线AB ，A D 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D(0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，那么D E →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以D E →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为D C →＝(1,0)，所以D E →·D C →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故D E →·D C →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，D E →在CB →方向上的射影都是CB ＝1，所以D E →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，D E →在D C →方向上的射影最大，即为D C＝1，所以(D E →·D C →)ma x ＝|D C →|·1＝1.][规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底〞意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1] (1)AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D(4,5)，那么向量AB →在C D →方向上的射影为( )A ．－322B ．－3 5 C.322 D ．3 5(2)(2021·南宁二次适应性测试)线段A D ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，那么A D →·BE →＝( )A ．－32 B.32 C ．－332 D.332(1)C (2)A [(1)因为点C (－1,0)，D(4,5)，所以C D ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在C D →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，C D →〉＝AB →·C D →|C D →|＝1552＝322. (2)由等边三角形的性质得|A D →|＝|BE →|＝3，〈A D →，BE →〉＝120°，所以A D →·BE →＝|A D →||BE →|cos 〈A D →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，应选A.] 平面向量数量积的性质☞角度1 平面向量的模(1)(2021·合肥二次质检)不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，那么|b |＝( )A. 2B ．2C ．2 2D ．4(2)向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，那么|λ|＝________.【导学号：57962209】(1)B (2)5 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，那么|b |2＝4，|b |＝2，应选B.(2)∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0.∴⎩⎨⎧ λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]☞角度2 平面向量的夹角(1)假设|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，那么向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π6B ．π3 C.2π3 D ．5π6(2)平面向量a ，b 的夹角为120°，且a ·b ＝－1，那么|a －b |的最小值为 ( )【导学号：57962210】A. 6B ． 3 C. 2 D ．1(1)B (2)A [(1)由|a ＋b |＝|a －b |两边平方得，a ·b ＝0，由|a －b |＝2|a |两边平方得，3a 2＋2a ·b －b 2＝0，故b 2＝3a 2，那么(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝a 2，设向量a ＋b与a 的夹角为θ，那么有cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 22a 2＝12，故θ＝π3. (2)由题意可知：－1＝a ·b ＝|a |·|b |cos 120°，所以2＝|a |·|b |≤|a |2＋|b |22.即|a |2＋|b |2≥4，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＋2≥4＋2＝6，所以|a －b |≥ 6.]☞角度3 平面向量的垂直(2021·山东高考)非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，假设n ⊥(t m ＋n )，那么实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.应选B.][规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b |a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)假设a ＝(x ，y )，那么|a |＝x 2＋y 2.平面向量在平面几何中的应用△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：A D ⊥CE .[证明] 建立如下图的平面直角坐标系，设A (a,0)，那么B (0，a )，E (x ，y ). 2分∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2. 4分 又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . 8分∵A D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ，∴A D →·CE →＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－13a 2＋13a 2＝0.10分 ∴A D →⊥CE →，即A D ⊥CE .12分[规律方法] 平面几何问题中的向量方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进展相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．(2)基向量法：适中选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进展求解．[变式训练2] 在平行四边形ABC D 中，A D ＝1，∠BA D ＝60°，E 为C D 的中点．假设AC →·BE →＝1，那么AB 的长为________.【导学号：57962211】12 [设AB 的长为a (a >0)，因为AC →＝AB →＋A D →，BE →＝BC →＋CE →＝A D →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋A D →)·⎝⎛⎭⎪⎫A D →－12AB →＝12AB →·A D →－12AB →2＋A D →2＝－12a 2＋14a ＋1，故－12a 2＋14a ＋1＝1，解得a ＝12，所以AB ＝12.][思想与方法]1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要无视数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．4．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.[易错与防范]1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，那么有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，那么有a·b<0，反之不成立．3．在求向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．。
北京市海淀区高三数学一轮复习平面向量、不等式、复数讲义
高三一轮总复习——《平面向量》、《不等式》、《复数》前言对高三一轮复习的认识一、复习课的目的(梳理知识、训练技能、发展思维)1、高三复习课的意义和价值2、高三复习的特点3、复习课要有效率二、课程设计策略1、梳理知识网络，整体把握知识体系，提高学生的归纳概括能力2、沟通知识间联系，加深学生对知识本质的理解，对知识运用的综合3、精选、巧编问题，为复习的教学目标选好载体三、给出的参考题目建议从以下几个方面来选择使用能够从知识点的考查内容上来运用、从知识点的考查要求上来选择、能够从知识的整合的程度上来连接、能够用联系的观点来指导学生解题、能够用发展的眼光来选择习题帮助学生．四、要对复习课的教学效果进行反思对照考纲，逐条反思教学效果．反思主要方式可以通过课堂观察，作业问题，答疑情况，考试分析等调查了解，整体定位，为下一阶段复习做好学情总结，做好教法思考．第一部分《平面向量》一、对《平面向量》课标精神、高考要求的理解及一轮复习的基础和目标（一）平面向量问题解决能力提高的几条有效途径1、确认学生残缺的知识体系，进而有针对性的完善知识结构（而不是一味的给出复杂的知识体系表）2、关注学生解决向量问题的数学语言习惯，规范或引导学生找寻适合问题解决的语言表达“图形——符号——坐标”三种数学表示是向量问题解决的基本语言，既要强调问题解决的向量语言的适用性，也要关注多种语言间问题解决的一致性（验证结果）．3、接受学生类比推广实数运算律的思维习惯，通过对向量运算法则的理解来抵消死记硬背符号运算律的消极影响（而不是通过大量的、反复练习来固化向量中的运算规律）（二）一轮复习的基本前提和切实目标1、理解和准确记忆向量的有关概念2、理解和掌握向量的加减法、数乘和数量积运算是向量的重要运算，理解与实数相应运算律的区别和联系3、在向量的运算中提高基本技能，在向量的运算中培养数形结合的思想和方程思想（三）两个附表1、向量三种语言表述下的运算知识表2、2009-2015年北京卷中与平面向量有关的高考题二、《平面向量》一轮复习的内容和要点（一）《平面向量》知识内容的归纳整理（二）建议课时（6-7课时）1、知识内容结构（1 课时）2、平面向量的概念（1 课时）3、平面向量的运算 ①向量的加减法和实数与向量的积（1-2 课时） ②向量的数量积（1课时）4、向量的应用（1课时）5、综合练习反馈（1课时） （三）知识点解读1、向量概念及表示（1）向量的概念：向量定义、模、零向量、单位向量、平行（共线向量）、相等向量、相反向量 （2）向量的表示：几何表示法——有向线段AB 或a ； 坐标表示法——(,)x y a = 2、向量的三种运算及运算的三种形式 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量．每一种运算都可以有三种表现形式：图形语言、符号语言、坐标语言． （1）向量运算知识表（附表1）（2）与运算有关的三个基本图形（几何意义）①向量加、减法法则（几何意义）——三角形或平行四边形； ②实数与向量乘积（几何意义）——共线；③平面向量基本定理的特殊情形的几何意义（定比分点基本图形）——起点相同的三个向量终点 共线．3、平面向量基本定理如果1e →、2e →是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a →，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a →=λ11e →+λ22e →，称λ11e →+λ22e →为1e →，2e →的线性组合．（1）向量与坐标根据平面向量基本定理，任一向量a →与有序数对（λ1,λ2）一一对应，称（λ1,λ2）为a →在基底{1e →，2e →}下的坐标；当取{1e →，2e →}为单位正交基底{i →，j →}时，定义(λ1，λ2)为向量a →的平面直角坐标．（2）向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若(,)A x y ，则(,)OA x y =；当向量起点不在原点时，向量AB --→坐标为终点坐标减去起点坐标，即若(,)A A A x y ，(,)B B B x y ， 则(,)B A B A AB x x y y =--4、一个夹角公式、两个充要条件（刻画两个向量相对位置的数量） （1）向量的模与相等向量的数量积的关系 公式：设(,)a x y =，则222||()a a x y ==+ （2）两个向量的夹角公式符号语言：cos ,||||a ba b a b ⋅<>=坐标语言：设11(,)a x y →=，22(,)b x y →=，则121222221122cos ,x x y y a b x y x y +<>=++（3）平行和垂直① 两个向量平行的充要条件符号语言：若a →∥b →，a →≠0→，则a →=λb →坐标语言：设11(,)a x y →=，22(,)b x y →=，则a →∥b →⇔1221x y x y =或1122(,)(,)x y x y λ=② 两个向量垂直的充要条件符号语言：a →⊥b →⇔a →·b →=0坐标语言：设11(,)a x y →=，22(,)b x y →=，则a →⊥b →⇔12120x x y y +=5、向量的应用 三、《平面向量》参考题目 （一）与概念有关1． 下列命题正确的是 （ ）D （A ）单位向量都相等 （B ）任一向量与它的相反向量不相等 （C ）平行向量不一定是共线向量 （D ）模为0的向量与任意向量共线 2． 下列命题正确的是（ ）D （A ）若||0a =，则0a = （B ）若||||a b =，则a b =或a b =- （C ）若//a b ，则||||a b = （D ）若0a =，则0a -=3．下列说法正确的是（ ） C （A ）任何一个非零实数与向量的积都是一个非零向量 （B ）零与任何一个向量的积都是零（C ）对于任何一个非零向量a ，a λ（λ∈R ）可以表示所有与a 共线的向量（D ）非零向量a 的单位向量为||aa ±4．（2013辽宁）已知点()()1,3,4,1A B - ，则与向量AB 同方向的单位向量为（ ）A （A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5． 已知下列命题：（1）对任意向量,a b ，都有a b a b -<+;（2）若1()2AD AB AC =+，则点D 是线段AB 的中点；（3）在四边形ABCD 中,若0AB AC BD BA -+-=,则ABCD 为平行四边形； （4）在ABC ∆中，若AB AC AB AC +=-，则AB AC =．其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）（2）（3）6．(2012浙江理5)设a ，b 是两个非零向量, 下列命题正确的是（ ）C（A ）若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b （B ）若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b | （C ）若| a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb （D ）若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | (二)与线性运算有关 1．（2008陕西）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c②若a 与b -c 都是非零向量且“a ⋅b =a ⋅c ”则“a (⊥b -c )”③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60︒其中真命题的序号为 ．②（写出所有真命题的序号）2．（2013广东文）设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：① 给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ．上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）BA ．1B ．2C ．3D ．4 ▲3．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AD AB AC μλ+=，则=+μλ（ ） AA ． 2B ． 2-C ． 3D ． 3-CDB AABPMO 4．（12东城一模文12）在△ABC 中，,D E 分别为,BC AC 的中点，F 为AB 上的点，且1||||4AF AB =．若A D A F A E λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+= ． 35．(2014福建) 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是（ ）B（A ） e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) （B ） e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) （C ） e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) （D ） e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)6． 化简：CE AC DE AD +--=__________．07． (2014广东文3)已知向量()1,2a =，()3,1b =，则b a -=（ ）B（A ）()2,1- （B ）()2,1- （C ）()2,0 （D ）()4,3 8． 已知点()()1,1,5,3A B ，向量AB 绕点A 逆时针旋转32π到AC 的位置，那么点C 的坐标是 ． (3,3)-9． 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么=EF （ ）D （A ）1123AB AD - （B ）1142AB AD + （C ）1132AB DA + （D ）1223AB AD - 10． （2010四川文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，AB AC AB AC +=-，则AM =（ ） C（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）11．如图，设O 为ABC ∆内一点，PQ //BC ，且PQt BC=，OA =a ，OB =b ，OC =c ，试用a ，b ，c 表示,OP OQ ． 答案: OP =(1)t t -+a b , OQ =(1)t t -+a c▲12．（2013北京文14）已知点()11A -，，()30B ，，()21C ，．若平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ=+()1201λμ≤≤，≤≤的点P 组成，则D 的面积为 ．3▲13． 如图：OM//AB,点P 在由射线OM 、线段OB 以及AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ；当12x =-时，y 的取值范围是 ． 13(,0);(,)22x y ∈-∞∈ 14．（1）设M ,N ,P 分别是ABC ∆三边BC ，AC ，AB 上的点，且14BM BC =，14CN CA =，14AP AB =，设A B a =，AC b =，试用,a b 表示,,MN MP PN ． （1344PN a b →→→=-+，1331()4442MN CN CM b a b a b →→→→→→→→=-=---=-+，1124MP MN NP MN PN a b →→→→→→→=+=-=--）（2）在四面体O ABC -中，OA =a ,OB =b ,OC =c ,D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用，，a b c 表示）． 答案 111244++a b c ▲15．（2013湖南理6）若,a b 是单位向量，0⋅=a b ． 若向量c 满足1--=|c a b |，则|c |的取值范围是（ ）A（A ）2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，（B ）2-1,2+2⎡⎤⎣⎦， （C） 1,2+1⎡⎤⎣⎦， （D ）1,2+2⎡⎤⎣⎦，FEDC BAA BA 5P 6P4P 7P 2P 3P1P （三）与向量的数量积有关 1．（14西城文理5）设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）B （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2． 设a →，b →，c →为非零向量，且相互不共线，下列命题（ ）D ① (a →·b →)c →=(c →·a →)b →=0② |a →|-|b →|<|a →-b →|③ (b →·c →)a →-(c →·a →)b →不与c →垂直 ④ (3a →+2b →)·(3a →-2b →)=9|a →|2-4|b →|2其中真命题是：（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ 3． 下列结论正确的是（ ）D （A ）a b a b = （B ）a b a b -<-（C ）若()()0a b c c a b -= （D ）若a 与b 都是非零向量，则a b ⊥的充要条件为a b a b +=- 4．（2014辽宁） 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是（ ） A（A ）p ∨q （B ）p ∧q （C ） (⌝p )∧(⌝q ) （D ）p ∨(⌝q ) 5． (2010山东文理12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的(,),(,)a m u b p q ==，另a b mq np =-，下面的说法错误的是（ ）B（A ）若a 与b 共线，则0a b = （B ）a b a b =（C ）对任意的λ∈R ，有()()a b a b λλ= （D ）2222()()||||a b a b a b ==6． 如果向量a 与b ，c 的夹角都是60︒，而b c ⊥，且||||||1a b c ===，求(2)()a c b c -+的值．-1 ▲7． （06四川）如图，已知正六边形123456P P P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A（A ）1213PP PP （B ）1214PP PP（C ）1215PP PP （D ）1216PP PP▲8． (2014上海文17题)如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 个． 3▲9．(2014浙江) 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1（ ） B（A ）若θ确定，则|a |唯一确定 （B ）若θ确定，则|b |唯一确定 （C ）若|a |确定，则θ唯一确定 （D ）若|b |确定，则θ唯一确定 10．（1）（2013新课标Ⅰ文）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =___．2（2）已知向量a 和b 的夹角为60°，|a | = 3，|b | = 4，则(2a –b )·a 等于 12（3）若||2=a ，||2=b 且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是4π （4 ）（11全国Ⅱ理12）设向量a ，b ，c 满足|||1=a |b =，12⋅=-a b ，60--=︒<a c,b c >，则||c 的最大值 ．2▲11． （12东城理6）如图，在△ABC 中，1AB =,3AC =，D 是BC 的中点，则 AD BC ⋅=( ) BD AB C（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）不能确定▲12． （2010天津理15）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= ．313．（2014·江苏）如图13所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．22▲14．（2009福建理9文12）设→a ，→b ，→c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足→a 与→b 不共线，→a ⊥→c ,∣→a ∣=∣→c ∣，则∣→b •→c ∣的值一定等于（ ）B（A ）以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积 （B ） 以→b ，→c 为两边的三角形面积（C ）→a ，→b 为两边的三角形面积 （D ） 以→b ，→c 为邻边的平行四边形的面积 ▲15．（14海淀理14）已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）．若10k ⋅=a a ，则k =_9___；123||,||,||,,||,n a a a a 中第______项最小． 3 （四）与平行与垂直有关 1．（1）已知A (-1,-3)，B (1,1)，C (x ,3)三点共线，则x =________． x =2（2）已知向量b a m b m a 与若),4,2(),2,(==反向，则m =_____． －12．(1)已知12,e e 为不共线向量，122a e e =-，123b e e =+，使2a b +与2a b λ-共线的实数λ为 ．14λ=-(2)设,,a b c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a b +与c 共线，且b c +与a 共线，则b a c ++= 3．设,a b 是平面内两不共线向量，AB a kb =+，AC ma b =+ (k ,m ∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条 件是 ( ) D（A ）k+m=0 （B ）k =m （C ）km +1=0 （D ）km=1 4．（2010陕西文）已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2）若（a ＋b ）∥c ，则m ＝．－ 15． 已知向量3,(1,2)a b ==，且a b ⊥，则a 的坐标______．（655，—355），（—655，355）6．（2014·重庆卷）已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝ ． 3 7．（2014湖北） 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．±3 8．（2009浙江）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（）DA ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--（五）综合应用1． (09福建)一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为( ) D（A ） 6 （B ） 2 （C ） 25 （D ） 27 2． 在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则该四边形的面积为（ ）C（A ）5 （B ）52 （C ） 5 （D ）103．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为________．90°4．（1）已知△ABC 满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则△ABC 是 ( )C（A ）等边三角形 （B ）锐角三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角三角形 （2）已知△ABC 中,AB =a , AC =b ,a ⋅b 1504ABC S ∆<,=,|a |=3,|b |=5,则BAC ∠等于( ) C（A ）30° （B ）-150° （C ）150° （D ）30°或150° 5．（1）（09宁夏海南理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ( ) C （A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（2）若AP =()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠，则点P 所在直线过ABC ∆的_______心（内心）第二部分 《不等式》一、知识结构图及考试说明要求 知识结构考试说明考试内容要求层次 A B C 不等式一元二次不等式解一元二次不等式√ 简单的线性规划 用二元一次不等式组表示平面区域 √ 简单的线性规划问题√ 基本不等式： 2a bab +≥（,0a b ≥） 用基本不等式解决简单的最大（小）值问题√二、问题与对策（1）不等式复习常见障碍 （2）不等式高效复习的策略三、把脉高考——梳理题型——思考障碍——高效教学掌握知识构成及考察要求层级，挖掘高考题目中的基本成分，完成一轮教学的根本任务。
2021高考北师版(理科)数学一轮复习讲义： 第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算
第四章平面向量、数系的扩大与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]考点2021年2021 年2021年2021年2021年平面向量的线性运算—全国卷Ⅰ·T7全国卷Ⅱ·T13全国卷Ⅰ·T10——平面向量根本定理及坐标运算—全国卷Ⅰ·T7———平面向量的数量积及其应用全国卷Ⅰ·T13全国卷Ⅱ·T3全国卷Ⅲ·T3全国卷Ⅰ·T5全国卷Ⅰ·T15全国卷Ⅱ·T3全国卷Ⅰ·T13全国卷Ⅱ·T13全国卷·T13复数的相关概念及其运算全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T1全全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T2全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T2全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T2全国卷·T31．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考察平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四那么运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形〞与“数〞的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．[导学心语]1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法那么是学好本章的根底．(1)向量的几何运算侧重于“形〞，坐标运算侧重于“数〞，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透充分表达了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足根底知识和根本技能，强化应用．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实〞的思想方法．第一节平面向量的概念及线性运算[考纲] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为零的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度为单位1的向量．(4)向量平行(或共线)：表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向一样的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法和减法(1)加法法那么：服从三角形法那么，平行四边形法那么．运算律：①交换律a＋b＝b＋a；②结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(2)减法法那么：减法与加法互为逆运算；服从三角形运算法那么．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ>0时，λa与a的方向一样；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(2)运算律：设λ，μ∈R，那么①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，假设存在一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：假设向量b 与非零向量a 共线，那么存在一个实数λ，使得b ＝λa .1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)假设a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .( ) (3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，那么A D →＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2021 ·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3C D →，那么( ) A.A D →＝－13AB →＋43AC → B.A D →＝13AB →－43AC → C.A D →＝43AB →＋13AC → D.A D →＝43AB →－13AC →A [A D →＝AC →＋C D →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.应选A.]3．(2021·银川质检)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，那么PC →＋P A →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法那么知，点P 为AC 的中点，故PC →＋P A →＝0.]4．(教材改编)▱ABC D 的对角线AC 和B D 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，那么D C →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．b －a －a －b [如图，D C →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]5．a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，那么λ＝________.【导学号：57962190】－13 [由得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]平面向量的有关概念给出以下六个命题：①假设|a |＝|b |，那么a ＝b 或a ＝－b ； ②假设AB →＝D C →，那么ABC D 为平行四边形； ③假设a 与b 同向，且|a |>|b |，那么a >b ； ④λ，μ为实数，假设λa ＝μb ，那么a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，那么λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________.【导学号：57962191】①②③④⑤⑥ [①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝D C →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABC D 不一定是平行四边形．③不正确．两向量不能比拟大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．] [规律方法] 1.(1)易无视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进展否认是对向量的有关概念题进展判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．假设a 为非零向量，那么a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[变式训练1] 设a 0为单位向量，①假设a 为平面内的某个向量，那么a ＝|a |a 0；②假设a 与a 0平行，那么a ＝|a |a 0；③假设a 与a 0平行且|a |＝1，那么a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模一样，但方向不一定一样，故①是假命题；假设a 与a 0平行，那么a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2021·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB的中点，那么EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12A D →C.A D →D.12BC →(2)(2021·广东广州模拟)在梯形ABC D 中，A D ∥BC ，A D ＝4，BC ＝6，假设C D →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，那么m n ＝( )【导学号：57962192】A ．－3B ．－13 C.13D ．3(1)C (2)A [(1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2A D →＝A D →.(2)如图，过D 作D E ∥AB ，C D →＝mBA →＋nBC →＝CE →＋E D →＝－13BC →＋BA →， 所以n ＝－13，m ＝1，所以mn ＝－3.应选A.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进展向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的根本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABC D 对角线的交点，O 为平行四边形ABC D 所在平面内任意一点，那么OA →＋OB →＋OC →＋O D →等于( )【导学号：57962193】A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →(2)D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λP D →，那么实数λ的值为________．(1)D (2)－2 [(1)因为M 是AC 和B D 的中点，由平行四边形法那么，得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋O D →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋O D →＝4OM →.应选D.(2)因为D 是BC 的中点，那么AB →＋AC →＝2A D →. 由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λP D →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2A D →＝－2P D →，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线，(1)假设AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )， 2分∴B D →＝BC →＋C D →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，B D →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线. 5分(2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . 9分 ∵a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 12分 [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，假设存在实数λ，使a ＝λb ，那么a 与b 共线．(2)证明三点共线：假设存在实数λ，使AB →＝λAC →，那么A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，C D →＝－3a ＋3b ，那么( )【导学号：57962194】A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2021 ·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，那么实数λ＝________.(1)B (2)12 [(1)∵B D →＝BC →＋C D →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴B D →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．应选B.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法那么应注意“首尾相接，指向终点〞；向量减法的三角形法那么应注意“起点重合，指向被减向量〞；平行四边形法那么应注意“起点重合〞．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，那么P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易无视“a ≠0〞，否那么λ可能不存在，也可能有无数个．。
最新-北京市2021届高三数学理一轮复习 4.1 平面向量的概念与线性运算课件 精品
(2)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B)．
(3)O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
2．必知联系 (1)向量平行与直线平行的联系与区别． (2)向量共线与三点共线的区别与联系(当两向量共线且有公共点时，
2. 已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2， 若 A，B，D 三点共线，则 k＝__________。
解析：若 A，B，D 三点共线，则A→B∥B→D， 设A→B＝λB→D。
因为B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2， 所以 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， 所以 λ＝2，k＝－4λ，所以 k＝－8。
知识梳理
知识点 1 向量的有关概念
名称
定义
备注
既有_大__小__又有_方__向__的量；向量的大小
向量
平面向量是自由向量
叫做向量的__长__度_ (或称模)
零向量 长度为__0_的向量；其方向是任意的 记作__0_
单位向量 长度等于__1_的向量
非零向量 a 的单位向量为±|aa|
知识梳理
平行向量 方向_相__同__或_相__反__的非零向量
a 的方向相__反__；当 λ＝0 时，λa＝_0_
知识点 3 共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得_b_＝__λ_a__.
名师点睛
1．必会结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后
一个向量终点的向量，即A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
最新-北京市2021届高三数学文一轮复习 4.3 平面向量的数量积及其应用课件 精品
真题再现
真题再现
知识梳理
1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 |a||b|cos θ,
叫作a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ . 规定：零向量与任一向量的数量积为_0___. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0 ，两个非零向量a与 b平行的充要条件是a·b＝±|a||b| .
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跟踪训练1
(1)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD
＝5，C→P＝3P→D，A→P·B→P＝2，则A→B·A→D＝__2_2_____.
解析:由C→P＝3P→D，得D→P＝1D→C＝1A→B，A→P＝A→D＋D→P＝A→D＋1A→B，
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B→P＝A→P－A→B＝A→D＋14A→B－A→B＝A→D－34A→B.
或2θ＋ ＝ .因此θ＝ ，或θ＝ .
(2) 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c， 设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积.
解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB， 即a· ＝b· ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ∴a＝b. ∴△ABC为等腰三角形. (2)由题意可知m·p＝0， 即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22
(a3⊥)设b⇔两个x1x非2＋零y向1y2量＝a0，. b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
考点一 平面向量数量积的运算
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1 平面向量经典精讲
考查方向
● 向量的整体运算
● 向量运算的几何意义
金题精讲
题一：边长为1的正六边形ABCDEF ，以A 为起点，其余点为终点的5个向量分别为12345,,,,a a a a a u u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为顶点，其余点为终点的5个向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r ．
记M ，m 分别()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最大值和最小值，(i , j , k ∈{1,2,3,4,5}且两两不相等；r , s , t ∈{1,2,3,4,5}且两两不相等)则( )．
A ．m = 0, M ＞0
B ．m ＜0, M ＞0
C ．m ＜0, M ＝0
D ．m ＜0, M ＜0
题二：梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC = 60°，|AB |=1，|BC |=3，|CD |=2，动点P 在线段BC 上．
求(1)|2PA PD +u u u r u u u r |最小时P 点的位置；(2)|2PD PA +u u u r u u u r |最小时P 点的位置．
题三：扇形AOB 的圆心为O ，半径为1，∠AOB =120°．动点P 在»
AB 上，且满足2(,R)OP OA OB λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，求2λμ+的最大值．
平面向量经典精讲
金题精讲
题一：D 题二：(1)P 点距离B 点
76或176；(2) P 点距离B 点13或53
题三：2。