【世纪金榜】高中数学 1.1简单几何体课时提能演练 北师大版必修2
2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步1简单几何体(教师用书)教案北师大版必修2
布置作业：
根据本节课学习的简单几何体的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的代表作，其中包含了关于立体几何的详细论述，对于理解立体几何的概念和定理非常有帮助。
举例：可以用坐标系表示几何体的顶点或中心点的位置，用向量表示几何体的尺寸和方向。
（3）几何体的表面积和体积计算：如何计算简单几何体的表面积和体积。
举例：正方体的表面积公式为6a²，其中a为边长；正方体的体积公式为a³。
2.教学难点
（1）理解并应用几何体的特征：学生可能对几何体的特征和性质理解不深，难以运用到实际问题中。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕简单几何体的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几何体的应用，提高实践能力。
在新课呈现结束后，对简单几何体的知识点进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
- 学习如何表示和描述简单几何体的尺寸和位置；
- 掌握如何计算简单几何体的表面积和体积。
2.教学目标：
- 学生能准确识别和描述常见简单几何体的特征；
- 学生能运用数学语言和符号表示简单几何体的尺寸和位置；
- 学生能计算简单几何体的表面积和体积，并能解决相关实际问题。
三、教学步骤
1.导入（5分钟）：通过展示一些实际生活中的几何体模型，引导学生思考和讨论这些模型的特征和数学关系。
北师大版必修2高中数学11《简单几何体》课时训练
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1、1 简单几何体课时训练北师大版必修2一、选择题1.下列命题中正确的是（）A.圆锥的底面和侧面都是圆面B。
夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D。
通过圆台侧面上一点，有无数条母线【解析】A错误,圆锥的侧面应为曲面;B错误,没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时,正确，其他情况则结论就是错误的；D错误，通过圆台侧面上一点,只有一条母线.故选C、【答案】C2。
下列说法中正确的是（)A.所有的棱柱都有一个底面B。
棱柱的顶点至少有6个C.棱柱的侧棱至少有4条D.棱柱的棱至少有4条【解析】棱柱都有两个底面，A错误;三棱柱的顶点最少,6个；侧棱最少,3条;棱最少,9条.故选B、【答案】B3.（2013·宿州高一检测)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A。
1个B。
2个C.3个D.4个【解析】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中,取四棱锥A1－ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形。
【答案】D4.下列命题中,正确的是( ）①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥;②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③圆台的所有母线的延长线交于同一点；④侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.A。
①④B。
②③C.③④D。
③【解析】①中棱锥的顶点位置不定,未必能保证侧面为全等的等腰三角形,故①错;②中棱锥，当底面多边形为圆内接多边形，且圆心的正上方为棱锥的顶点时，即可使棱锥的侧棱都相等,但并不一定为正棱锥（以后可证)；③正确，④不正确，反例如图：三棱锥S—ABC 中,SB＝SC＝AB＝AC＝2,SA＝BC＝1,显然满足条件,但并非正三棱锥。
故选D、【答案】D图1－1－65.如图1－1－6,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱台的组合体D。
(北师大版)数学必修二达标练习：1.1简单几何体(含答案)
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课堂达标·效果检测1.下面没有体对角线的一种几何体是( )A.三棱柱B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱【解析】选A.三棱柱只有面对角线，没有体对角线.2.下列对棱柱的叙述正确的是( )A.棱柱的所有面中仅有一组对面平行B.棱柱的所有面中仅有一组面垂直C.相邻两个面的交线为棱柱的侧棱D.在棱柱中相互垂直的面可能有多组【解析】选D.如在正方体中平行的面和垂直的面有多组，故A， B错误.对于C，因为底面和侧面的交线不是侧棱，故C错误.3.(2018·南昌高一检测)下列说法正确的是( )A.棱柱的所有侧棱不平行B.棱柱的所有棱长都相等C.棱柱的所有侧面都是正方形或长方形D.棱柱的侧面个数与底面的边数相等【解析】选D.根据棱柱的定义知棱柱的所有侧棱都是平行的，A错误，棱柱的所有棱长不一定相等，B不正确.棱柱的侧面都是长方形或正方形或平行四边形，C不正确.棱柱的侧面的个数与底面边数相等，D正确.4.有下列说法：(1)用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台(2)两个底面平行且相似，其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台.(3)棱锥的底面和侧面都是三角形.其中正确的有________个.【解析】(1)中的平面不一定平行于底面，(1)错.(2)中的各条侧棱不一定交于一点，(2)错.( 3)棱锥的侧面都是三角形，但底面不一定是三角形，(3)错.答案：05.一个棱柱至少有________个面，面数最少的棱柱有________个顶点，有__________条棱.【解析】面数最少的棱柱是三棱柱，共有5个面，6个顶点，9条棱.答案：5 6 96.已知ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且AB>CD绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体可以分成几个简单几何体？【解析】将等腰梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周形成的几何体如图所示，是由两个相同的圆锥和一个圆柱构成的.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演练 北师大版必修2
"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )（A）a+b （B）|a|+|b|（C）|a+b| （D）只能恒为正数2.直线l过点A（-1，-1）和B（2，5），且点C（1 005，b）也在直线l上，则b的值为( )（A）2 008 （B）2 009 （C）2 010 （D）2 0113.(2012·九江高一检测）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为( )（A）x-y-1=0（B）x+y-3=0或x-2y=0（C）x-y-1=0或x-2y=0（D）x+y-3=0或x-y-1=04.过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题）如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行，则m=_________.6.（2012·合肥高一检测)已知直线l与直线3x+4y-7=0斜率相同，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时，与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时，只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时，是x轴；（5）设P(x0，y0)为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.8.求过定点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【挑战能力】（10分）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？答案解析1.【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab ≠0)化成截距式得x y b a+=1，在两坐标轴上的截距之和为a+b. 2.【解析】选D.方法一：由题意可知k AB =k AC . ∴,----=----51b 121 1 0051（）（）（）（）∴b=2 011.方法二：由两点式得，直线l 的方程为,y 5x 21512--=----即y=2x+1.又点C （1 005，b ）在l 上，∴b=2×1 005+1=2 011.3.【解析】选C.当直线过原点时，直线l 的方程为x-2y=0； 当直线不过原点时，设其方程为xya a -=1,即x-y=a,又过点（2，1），可解得a=1,故方程为x-y-1=0.4.【解题指南】本题中a ∈N *,b ∈N *是解决问题的关键，利用它可缩小a,b 的范围.【解析】选B.由题意13＋a b ＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.∵a ∈N *，b ∈N *，∴.a ＝2a ＝4，有两个解，或b ＝6b ＝4⎧⎧⎨⎨⎩⎩5.【解析】∵直线与y 轴平行，∴m 2+3m+2=0．解得m=-1或m=-2．又当m=-2时，直线方程(m+2)x+(m 2+3m+2)y=m+2为0×x+0×y=0，它不表示直线，应舍去．故当m=-1时，直线与y 轴平行．答案：-1【误区警示】此题容易忽视直线方程一般式中的条件（A ·B ≠0）而导致失误.6.【解析】设l ：3x+4y+m=0,则当y=0得x=-m3；则当x=0得y=-m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12×|-m 3|×|-m4|=24,∴m=±24.∴直线l 的方程为3x+4y ±24=0.答案：3x+4y ±24=0【变式训练】斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_______.【解析】设直线方程为y=34x+b,令y=0,得x=-43b,∴12|b ·（-4b 3)|=6, ∴b=±3,∴所求直线方程为3x-4y-12=0或3x-4y+12=0.答案：3x-4y-12=0或3x-4y+12=07.【解析】（1）把原点(0,0)代入Ax+By+C=0，得C=0.（2）此时斜率存在且不为零,即A ≠0且 B ≠0.（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B=0且C ≠0.（4）A=C=0,且B ≠0.（5）∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，∴Ax 0+By 0+C=0,C=-Ax 0-By 0，∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.8.【解析】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距均为a ，故所求的直线方程为x y a a +=1，即x+y=a ．将点P(2,3)代入，得a=5．故所求直线方程为x+y=5． 所以，所求直线方程为3x-2y=0或x+y=5．【一题多解】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，∴直线的斜率k=-1，可得直线的点斜式方程为y-3=-(x-2)，即x+y=5.故所求直线方程为x+y=5．【挑战能力】【解析】如图，以河流所在直线为x 轴，以过A 点与河流垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，则A （0，300），B （x ，700），设B 点在y 轴上的射影为H ，则x=|BH|，故点B （300，700）． 点A 关于x 轴的对称点A 1(0,-300)，则直线A 1B 的斜率k=103， 直线A 1B 的方程为y=103x-300． 令y ＝0得x ＝90，得点P （90，0），故水电站建在河边P （90，0）处电线用料最省．【方法技巧】巧设直线方程(1)已知一点通常选择点斜式;(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式;(3)已知截距通常选择截距式;(4)已知两点通常选择两点式.。
【世纪金榜】高中数学 第一章立体几何初步课件 北师大版必修2
【解析】选C.∵VA=VC，F为AC的中点, ∴AC⊥VF，同理AC⊥BF，又VF∩BF=F, ∴AC⊥平面VBF,∴AC⊥PF， 又∵E，D分别是VA，VC的中点,∴DE∥AC， ∴DE⊥PF.故选C.
4.把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得 旋转体的体积为( )
A
【例1】下列说法正确的有__________.(把正确的序号都填上) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱; (2)一个棱柱至少有五个面;
(3)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台;
(4)棱台的各侧棱延长后交于一点;
(5)棱台的侧面是等腰梯形;
(6)以直角梯形的一腰为旋转轴,另一腰为母线旋转得到圆台. 【审题指导】解决与几何体的特征有关的题目 ,要熟练掌握各 种几何体的结构特征.
【规范解答】过B点作平行于底的截面，将几何体分为两部分， 下半部分是一个底面半径为r，高为b的圆柱，其体积为 V1=πr2b;将上半部分再补成圆柱，这样上半部分的体积是所 补成的圆柱体积的一半， 为 V2 1 r 2 a b . 所以，所求几何体的体积为 V V1 V2 1 r 2 a b .
平面ABCD.
∴点Q是以AD为直径的圆与BC的交点.
由图可知点Q最多有两个.
3.(2011·长沙高一检测)如图所示， 正三棱锥V－ABC中，点D，E，F分别 是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意 一点，则直线DE与PF所成的角的大 小是( )
(A)45°
(C)90°
(B)60°
(D)随P点的变化而变化
几何体的结构特征
关于几何体的结构特征的几点认识 (1)对于棱柱、棱锥，棱台等多面体的概念、性质要类比记
新北师大版高中数学必修二同步练习：1-1简单几何体(含答案)
第一章§1 1.1一、选择题1．对于以下几何体，说法正确的选项是()A．图①是圆柱 B ．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D ．图⑤是圆台[答案] D[分析 ]图①与图④中几何体两个底面不相互平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面 )不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A． 10B．20C． 40D．15[答案 ]B[分析 ]圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、 4，则面积为4×5＝ 20.3．用一个平面去截一个几何体，获得的截面是四边形，这个几何体可能是() A．圆锥 B ．圆柱C．球体 D ．以上均有可能[答案 ]B[分析 ]圆锥、球体被平面截后不行能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．4．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成()[答案] C[分析 ]汽车内胎是圆形筒状几何体．5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是以下图中的()[答案 ]B[分析 ]由组合体的构造特点知，球只与正方体的上、下底面相切，而与双侧棱相离．故正确答案为 B.6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为 ()A． 13B．12C． 5D． 149[答案 ]A[分析 ]设球的半径为R，则 R＝52＋ 122＝ 13.二、填空题7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为 1，高为 1，则圆台的下底面半径为 ________．[答案 ]2[分析 ]设下底面半径为r，则r－1＝ tan45 °，∴ r＝ 2.18．有以下说法：①球的半径是连结球面上随意一点和球心的线段；②球的直径是球面上随意两点间的线段；③用一个平面截一个球，获得的是一个圆；④空间中到必定点距离相等的点的会合是一个球．此中正确的有________．[答案 ]①[分析 ]球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的关闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，所以①正确；假如球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，所以②错误；球是一个几何体，平面截它应获得一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到必定点距离相等的点的会合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．三、解答题9．如下图，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶ 16，截去的小圆锥的母线长是 3 cm，求圆台 OO′的母线长．[分析 ]设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、 下底面积之比为1∶ 16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.过轴SO 作截面如下图．则△ SO ′A ′∽△ SOA ，SA ′ O ′ A ′∴SA ＝ OA. 又 SA ′＝ 3， SA ＝ 3＋ l ，O ′A ′＝ r ， OA ＝ 4r ，3r 1∴ 3＋ l ＝4r ＝4.解得 l ＝ 9.即圆台的母线长为9 cm.一、选择题1．以下命题中，错误的选项是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是全部过极点的截面中面积最大的一个C ．圆台的全部平行于底面的截面都是圆D ．圆锥全部的轴截面都是全等的等腰三角形[答案 ] B[分析 ]当圆锥的轴截面顶角大于 90°时，面积不是最大的．2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和 8π，它们位于球心的同一侧， 且相距为 1，那么这个球的半径是 ()A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1[答案 ] B[分析 ]如图，设球的半径为R ，两截面圆的半径分别为r1， r2，22则πr＝ 5π，πr＝ 8π，12∴r1＝ 5， r2＝ 2 2.又 O1O2＝ 1，取 OO2＝ x，则有 R2＝ 5＋ (x＋1) 2， R2＝ 8＋ x2，∴5＋(x＋ 1)2＝8＋ x2，∴x＝1，∴ R＝ 3.二、填空题3．若母线长是 4 的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．[答案 ]22[分析 ]如下图，设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高是16－ r2，∵12·2r ·16－ r 2＝ 8，∴ r＝ 2 2.∴圆锥的高为 16－22＝2 2.4．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为 2，则其底面面积为 ________．[答案 ]π2[分析 ]如下图，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC ，设圆锥的底面半径为 r.∵△ ABC 为等腰三角形，∴△ ABO 为直角三角形．又∵∠ BAO ＝ 30°，1 2∴BO＝r ＝2AB ＝2 .2π∴底面圆 O 的面积为 S＝πr＝ .2三、解答题5．如下图，已知AB 是直角梯形ABCD 与底边垂直的一腰．分别以AB ， CD ，DA 为轴旋转，试说明所得几何体的构造特点．[分析 ] (2)以 CD (1) 以 AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1) 所示．边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图(2) 所示．(3)以AD边为轴旋转获得一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3) 所示．6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为3，求该圆锥的底面半径、高和母线长．[分析 ]如图△ SAB为等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为r，高为 h，母线长为l，则在轴截面△SAB 中，有 OB＝ r， SO＝ h， SB＝ l，且∠ SBO＝ 60°.在直角△ SOB 中， h＝3r， l＝ 2r，所以 S△SAB＝12×AB×SO＝ rh＝3r2，依据题意得3r2＝3，解得 r ＝1，所以 l＝ 2r＝ 2， h＝3r＝ 3.即该圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为 2.7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为224π cm和 25πcm，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析 ] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD( 如图 )．2由于圆台上底面面积为4πcm，所以上底面半径为2cm.2又由于圆台下底面面积为25πcm，所以下底面半径为5cm，所以高为 AM ＝ 122－－2＝ 3 15(cm) ．(2)延伸 BA ，CD 订交于点 S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，由于 Rt△ SAO 1∽ Rt△ SBO ，SA AO 1l－ 122，所以SB＝BO，即l＝5解得 l ＝ 20(cm) ，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.。
【世纪金榜】高中数学 2.1.2.1直线方程的点斜式课时提能演练 北师大版必修2
"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.1直线方程的点斜式课时提能演练 北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2012·福州高一检测）已知直线l 的倾斜角为60°,且l 在y 轴上的截距为-1，则直线l 的方程为( )(A)y=-3x-1 (B)y=-3x+12.（2012·安徽师大附中模拟)绕直线2x －y －2＝0与y 轴的交点逆时针旋转90°所得的直线方程是( )(A)x-2y+4=0 (B)x+2y-4=0(C)x-2y-4=0 (D)x+2y+4=03.（2012·济南高一检测）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 正确的是( )4.（易错题）直线ax+by=1(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( ) (A)12ab (B)12|ab| (C) 12ab (D)12ab二、填空题（每小题4分，共8分） 5.在y 轴上的截距是-6，倾斜角的正切值是45的直线方程是____________. 6.经过点（1，-2），倾斜角是直线y=x-3倾斜角的2倍的直线方程是__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.直线y=3x+1的倾斜角是直线l 的倾斜角的12,求分别满足下列条件的直线l 的方程： (1)过点P(3,-4);(2)在y 轴上的截距为-3.8.过点B （0，2）的直线交x 轴负半轴于A 点，且|AB|=4，求直线AB 的方程．【挑战能力】（10分）已知直线l ：5ax －5y －a+3＝0，（1）求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限；（2）为了使直线l 不过第二象限，求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.∵直线l的倾斜角为60°，∴k l=tan60°又直线l在y轴上的截距为-1，故直线l的方程为2.【解析】选D.直线2x－y－2＝0与y轴交点为A(0，－2)，故所求直线过点A且斜率为1－2，∴所求直线方程为y＋2＝1－2(x－0)，即x＋2y＋4＝0.3.【解析】选C.直线y=ax过（0，0），斜率为a,直线y=x+a的斜率为１，在y轴上的截距为a,由此可知选C.4.【解题指南】由题意可知该三角形为直角三角形，且直角边长和a、b有关.【解析】选D.令x=0，可得：y=1b；令y=0，可得：x=1a.∴三角形面积S=12×|1a|×|1b|=.112a b2ab=⨯5.【解析】由直线倾斜角的正切值即斜率为k=45，又其在y轴上的截距为-6，可得直线方程为y=45x-6.答案：y=45x-66.【解析】直线y=x-3的倾斜角为45°,故所求直线的倾斜角为90°，从而过点（1，-2）且直线的倾斜角为90°的直线方程为x=1.答案：x=1【举一反三】把题干中“倾斜角是直线y=x-3倾斜角的2倍”换成“与直线y=x-3的夹角为45°”,求相应直线方程.【解析】因为直线y=x-3的倾斜角为45°,所以与其夹角为45°的直线的倾斜角为0°或90°.当倾斜角为0°时，该直线与x轴平行，即所求直线方程为y=-2.当倾斜角为90°时，该直线与y轴平行，即所求直线的方程为x=1.7.【解析】直线x+1的倾斜角为30°,∴直线l的倾斜角为60°，则l的斜率为tan60°（1）∵直线过点P(3,-4),∴直线的点斜式方程为：即：（2）∵直线在y 轴上的截距为-3，∴直线的斜截式方程为【变式训练】求过（1，2）且与直线y=3x+1的夹角为30°的直线l 的方程. 【解析】直线y=3x+1的倾斜角为30°，又l 与直线y=3x+1的夹角为30°，∴l 的倾斜角为60°或0°. 当l 的倾斜角为60°时，直线斜率；当l 的倾斜角为0°时，直线的斜率为0，直线方程为：y=2,所以直线l 的方程为：y-2=或y=2.8.【解析】在Rt △ABO 中，|AB|=4，得∠BAO=30°，∴k=3，直线AB 的方程为y=3x+2. 【挑战能力】 【解析】（1）直线l 的方程可化为y-35=a(x-15)，由点斜式方程可知直线l 的斜率为a ，且过定点A(15, 35)，由于点A 在第一象限，所以直线l 一定过第一象限.（2）如图，直线l 的倾斜角介于直线AO 与AP 的倾斜角之间，AO 305k 3105-==-，直线AP 的斜率不存在，故a ≥3.。
高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何体高效测评北师大版必修2word版本
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步 1.1 简单几何体高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．有下列命题，其中正确的是( )①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．A．①②B．②③C．①③D．②④解析：圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”．故①③错误，②④正确．答案： D2．一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是( )A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体解析：平移后形成的几何体是以此多边形(起点处和终点处)为两底面的棱柱，故选B.答案： B3．如图，E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱锥D．五面体解析：选择左右两个平行平面为底面，则它符合棱柱的结构特征，故选A.答案： A4．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A是错误的，例如由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是棱锥；B是错误的，直角三角形绕着直角边旋转一周形成的面所围成的几何体才是圆锥；C是错误的，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中错误的是________．①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；②圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；③圆台的所有平行于底面的截面都是圆；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．解析：因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，过圆锥顶点的截面面积最大，当夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大的．答案：②6．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．解析：三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．答案：圆锥挖去一个球的组合体三、解答题(每小题10分，共20分)7．画一个三棱台，再把它分成(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解析：(1)如图①，三棱柱是A′B′C′－AB″C″.(2)如图②，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.8．观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．解析：图①是由圆柱中挖去圆台形成的，图②是由球、棱柱、棱台组合而成的．尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所给的平面图形是由Rt△EDC和正方形ABCD所构成的，现分别绕A、D、E 所在的直线l1和BC所在的直线l2旋转一周，试分析所形成的两个几何体的结构特征．解析：当绕直线l1旋转时，所得的是一个上面是圆锥、下面是圆柱的组合体；当绕直线l2旋转时，得到的是将一个圆柱中挖去一个圆锥所得到的组合体．。
【世纪金榜】高中数学 第一章 立体几何初步单元质量评估 北师大版必修2
【世纪金榜】高中数学第一章立体几何初步单元质量评估北师大版必修2（120分钟 150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )(A)一个圆台、两个圆锥(B)两个圆台、一个圆柱(C)一个圆台、一个圆柱(D)一个圆柱、两个圆锥2.下列说法中，正确的是( )(A)经过不同的三点有且只有一个平面(B)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线(C)垂直于同一个平面的两条直线是平行直线(D)垂直于同一个平面的两个平面平行3.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积分别为( )(A)24πcm2, 12πcm3 (B)15π cm2,12πcm3(C)24πcm2,36πcm3 (D)以上都不正确4.若l，m，n是互不相同的空间直线，α,β是不重合的平面，则下列说法中正确的是( )(A)若α∥β, lα,nβ，则l∥n(B)若α⊥β, lα，则l⊥β(C)若l⊥α, l∥β,则α⊥β(D)若l⊥n,m⊥n,则l∥m5.已知点O为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列结论正确的是( )（A）直线OA 1⊥平面AB1C1（B）直线OA1∥平面CB1D1（C）直线OA1⊥直线AD（D）直线OA1∥直线BD16. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°7.（易错题）一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )(A)(π53+4) cm3 (B)(π23+8) cm3(C)π83cm3 (D)(π23+4) cm38.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面有( )(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对9.（2020·辽宁高考）如图，四棱锥S -ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )(A)AC⊥SB(B)AB∥平面SCD(C)平面SDB⊥平面SAC(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)611．如图所示，三棱锥P-ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈［0,3］)，下列四个图像大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是( )12.已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为( )(A)8 cm (B)53 cm(C)10 cm (D)5π cm二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13.圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成60°,则圆台的侧面积为__________.14.若一个底面边长为6，2侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_________.15.点M是线段AB的中点，若点A、B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面α的距离为_________.16.（2020·安徽高考）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则______(写出所有正确结论的编号) .①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．18.（12分）在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知DA=DC=4,DD1=3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.19.（12分）倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6 cm，水面与容器口的距离为1 cm，现放入一个棱长为4 cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？20.（能力题）（12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设E是B1C1上的一点，当11B EEC的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PD-C的正弦值．22.（能力题）（12分）如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，设AE与平面ABC所成的角为θ,且tanθ=,32四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．（1）求三棱锥C-ABE的体积；（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．答案解析1.【解析】选D.如图所示：所得几何体为由一个圆柱和两个圆锥组成的几何体.2.【解析】选C.A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行，相交；D中，两个平面可能相交．3.【解析】选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高为4 cm，则表面积及体积分别为24π cm2,12π cm3.【变式训练】如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为( )(A)4 (B)23 (C)2 (D) 3【解析】选B.本题考查三视图及面积的计算，先画出左视图，可知其为矩形，且长为2，宽为3.故所求面积为2×3=234.【解析】选C.A中，两条直线还可能异面；B中，还可能lβ或l与β斜交或平行；D中，两条直线还可能相交或异面．5.【解析】选B．可证平面A 1BD∥平面CB1D1．6.【解析】选C.设圆锥底面半径为r ，母线长为l ， 则依条件有2πr ＝πl ，如图所示，∴r 1＝2l ，即∠ASO ＝30°,∴圆锥的顶角为60°.7.【解析】选A.由三视图可知，该几何体为一个半球、一个四棱柱和半个圆柱构成的组合体．V 半球=()ππ,33142r cm 233⨯⨯⨯= V 半圆柱=()ππ,231r h cm 2⨯⨯⨯=V 四棱柱=Sh=4(cm 3).∴该几何体的体积V=π.35（4）cm 3+ 【误区警示】由三视图可知，该几何体为一个半球、一个四棱柱和半个圆柱构成的组合体．不要误认为是一个棱柱和半个球组成的几何体.【举一反三】若三视图(单位：cm)改为：求几何体的体积.【解析】由三视图可知，该几何体为一个半球和一个四棱柱构成的组合体． V 半球=()ππ,33142r cm 233⨯⨯⨯= V 四棱柱=Sh=2×2×2=8（cm 3）. ∴该几何体的体积V=（π283+）cm 3. 8.【解析】选C.本题考查图形的翻折和面面垂直的判定，显然面ABD ⊥面BCD ，面ABC ⊥面BCD ，面ABD ⊥面ACD.选项 具体分析结论 A 四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，所以AC ⊥BD ，又SD ⊥底面ABCD ，所以SD ⊥AC ，从而AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ． 正确 B 由AB ∥CD ，可得AB ∥平面SCD ．正确 C 选项A 中已证得AC ⊥平面SBD ，又SA=SC ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角正确 DAB 与SC 所成的角为∠SCD ，此为锐角，而DC 与SA 所成的角即AB 与SA 所成的不正确角，此为直角，二者不相等．10.【解析】选C.正三角形的每一个内角为60°，以六个这样的正三角形为侧面不能围成棱锥(顶点出发的几个内角的和应小于360°)，所以最多应有5个，故应选C.11．【解析】选A.()()(),.⨯⨯︒∈Vg gAMC2111V＝S NO＝3x sin308－2x3321＝－x －2＋2，x［03］212.【解题指南】本题涉及到最短路径问题，往往需要把几何体展开，从而使空间问题平面化.【解析】选B.连接AA1，作OC⊥AA1于C，∵圆锥的母线长为5 cm，∠AOA1=120°，∴AA1=2AC=53cm．13.【解析】设r1=1,r2=2,l=2,S圆台侧面=π(r1+r2)l=6π.答案:6π14.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对角线的长．设球的半径为R，由已知可得().⨯2262R＝2＋6＝23，R＝32（）所以球的体积为πππ.⨯3344R＝3＝4333（）答案：43π15.【解析】(1)如图(1)，当点A、B在平面α的同侧时，分别过点A、B、M作平面α的垂线AA′、BB′、MH，垂足分别为A′、B′、H，则线段AA′、BB′、MH的长分别为点A、B、M到平面α的距离．由题设知AA′＝4 cm，BB′＝6 cm.因此()AA＋BB4＋6MH＝＝＝5cm．22''(2)如图(2)，当点A、B在平面α的异侧时，设AB交平面α于点O，∵AA′∶BB′＝4∶6，∴AO∶OB＝4∶6.又∵M为AB的中点，∴MH∶AA′＝1∶4，即MH＝1(cm)．故点M到平面α的距离为5 cm或1 cm.答案:5 cm或1 cm16.【解题指南】作出立体图，根据点线面的位置关系判断.【解析】可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x,y,z ，则①需要满足x=y=z ，才能成立；因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证），则②正确；正四面体的同一顶点处三个角之和为180°，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180°，③显然不成立；由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立. 答案：②④⑤17.【证明】如图所示．(1)连接B 1D 1.∵E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，∴EF ∥B 1D 1. 又∵B 1D 1∥BD ，∴EF ∥BD ， ∴EF 与BD 共面，∴E ，F ，B ，D 四点共面． (2)∵AC ∩BD ＝P ，∴P ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF.同理，Q ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF. ∵A 1C ∩平面DBFE ＝R ，∴R ∈平面AAV 1C 1C ∩平面BDEF ， ∴P ，Q ，R 三点共线．【方法技巧】四点共面与三点共线的证明方法 （1）证明四点共面的常用方法：①证明两点所在的直线与另外两点所在直线平行或相交； ②证明其中一点在另外三点所确定的平面上. （2）证明三点共线的常用方法：①证明三点同时在两个平面内，则三点在两个平面的交线上； ②证明其中一点在另外两点所确定的直线上. 18.【解析】连接A 1D ，∵A 1D ∥B 1C,∴∠BA 1D 为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角(或其补角）. 连接BD ，在△A 1DB 中，A 1B=A 1D=5，BD=2则cos ∠BA 1D=.2221111A B A D BD 25253292A B A D 25525+-+-==g g g g故异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为925. 19.【解题指南】此题关键是比较容器口下的部分实心铁块和圆锥形容器剩余空间的体积. 【解析】如图甲所示：O ′P=6 cm,OO ′=1 cm.当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD 部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定. 如图甲，设水的体积为V 1，容器的总容积为V ，则容器剩余容积为V-V 1. 由题意得，O ′P=6,OO ′=1.∴OP=7,OA 2=,493O ′C 2=12, ∴V=ππ,217OA 74939⨯=⨯V 1=ππ.21O C 6243'⨯= ∴未放入铁块前容器中剩余的容积为V-V 1=79×49π-24π≈44.3(cm 3). 放入铁块后，图乙为以铁块下底面对角线作的轴截面. ∴MN=42，∴O 1M=22，O 1P=26， ∴GM=7-26，∴正方体铁块位于容器口下的体积为 4×4×(7-26)=112-326≈33.6＜44.3, ∴放入铁块后容器中的水不会溢出.20.【解析】（1）在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD 平面ABC ，∴ AD ⊥CC 1．又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1． （2）由（1）得，AD ⊥BC ． 在正三角形ABC 中， D 是BC 的中点． 当11B EEC =1时，即E 为B 1C 1的中点时， A 1E ∥平面ADC 1．事实上，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ．又B 1B ∥AA 1，且B 1B=AA 1， ∴DE ∥AA 1，且DE=AA 1．所以四边形ADEA 1为平行四边形，所以EA 1∥AD ． 而EA 1平面ADC 1,AD平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1．21.【解析】（1）在四棱锥P-ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD平面ABCD ，故CD ⊥PA ．由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC=A ，∴CD ⊥面PAC ． 又AE面PAC ，∴AE ⊥CD ．由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，可得AC=PA ． ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ，∴PC ∩CD=C ．综上得AE ⊥平面PCD ．（2）过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ． 由（1）知，AE ⊥平面PCD ， AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则AM ⊥PD ．因此∠AME 是二面角A-PD-C 的平面角． 由已知，得∠CAD=30°． 设AC=a ，23得PA a ，AD a ，3212PD a ，AE a ．====在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ×PD=PA ×AD ，则23a aPA AD273AM a ．PD721a ⨯⨯=== 在Rt △AEM 中， AE 14sin AME ．AM ∠== 22.【解析】（1）∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE,∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC ，∴∠EAB 为AE 与平面ABC 所成的角，即∠EAB ＝θ， 在Rt △ABE 中，由θ,BE 3tan AB 2==AB=2得BE=3. ∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC,∴,22AC AB BC 3=-=∴·.ABC 13S AC BC 22==V ∴V C -ABE =V E-ABC =13S △ABC ·BE ＝13×32×3=12. （2）∵DC ⊥平面ABC,BC平面ABC, ∴DC ⊥BC ．∵BC ⊥AC 且DC ∩AC=C,∴BC ⊥平面ADC ．∵DE ∥BC,∴DE ⊥平面ADC.又∵DE 平面ADE,∴平面ACD ⊥平面ADE.(3)在CD 上存在点M ，使得MO ∥平面ADE ，该点M 为DC 的中点. 证明如下：取BE 的中点N ，连接MO ，MN ，NO ，∴M ，N ，O 分别为CD ，BE ，AB 的中点，∴MN ∥DE ，∵DE 平面ADE ，MN 平面ADE ，∴MN ∥平面ADE,同理可得NO ∥平面ADE.∵MN ∩NO=N ，∴平面MNO ∥平面ADE.∵MO 平面MNO ，∴MO ∥平面ADE.。
【世纪金榜】高中数学 1.5.2.2平面与平面平行的性质课时提能演练 北师大版必修2 (1)
"【世纪金榜】高中数学 .2平面与平面平行的性质课时提能演练北师大版必修2 "一、选择题（每题4分，共16分）1.（易错题）如图给出的是长方体木材，想象沿图中平面所示位置截长方体，那么截面图形是下面四个图形的( )2.（2021·潍坊高一检测）假设平面α∥平面β，直线a∥α,且aβ,点B∈β，那么在β内过点B的所有直线中( )(A)不必然存在与a平行的直线(B)只有两条与a平行的直线(C)存在无数条与a平行的直线(D)存在惟一一条与a平行的直线3.如下图，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,α别离交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.假设PA′∶AA′=2∶5,求△A′B′C′与△ABC的面积比为( )(A)2∶5 (B)2∶7 (C)4∶49 (D)9∶25,N,P为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,那么以下说法中,不正确的选项是( )(A)④⑤(B)②③④(C)②③⑤(D)②③二、填空题（每题4分，共8分）5.（2021·烟台高一检测）过正方体ABCD -A1B1C1D1的极点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，那么l与A1C1的位置关系是_________.6.如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD别离交α于点E，F，G.假设BD=4,CF=4,AF=5.那么EG=_________.三、解答题（每题8分，共16分）7.（2021·山东高考）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD.（1）求证：BE=DE；（2）假设∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.8.设平面α，β知足α∥β,A，C∈α,B，D∈β,直线AB与CD交于S，假设SA=18，SB=9，CD=34.求SC 的长度.【挑战能力】（10分）在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？答案解析1.【解析】选C.长方体的相对表面相互平行，因此由面面平行的性质知此题中的截面是平行四边形.2.【解析】选D.∵B a,∴a与B确信平面γ.设γ∩α=m,γ∩β=n,∵α∥β,∴m∥n.又∵a∥α,∴a∥m,∴n∥a,∴直线n即为β内过B与a平行的直线，它是惟一的.3.【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方.【解析】选C.∵平面α∥平面ABC,A′B′α，AB平面ABC,∴A′B′∥AB.∴A′B′∶A B=PA′∶PA.又PA′∶AA′=2∶5,∴A′B′∶AB=2∶7.同理B′C′∶BC=2∶7,A′C′∶AC=2∶7,∴△A′B′C′∽△ABC,∴S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.4.【解析】选C.①,④别离是直线和平面平行的传递性,正确；②中a与b还可能异面或相交；③中M与N 还可能相交；⑤中可能还有a M.【方式技术】“平行”关系结论大荟萃空间的平行关系,有些具有“传递性”,有些不具有,此题中的各类说法用文字描述为:①平行于同一条直线的两条直线平行.②平行于同一个平面的两条直线不必然平行.③平行于同一条直线的两个平面不必然平行.④平行于同一个平面的两个平面平行.⑤平行于同一个平面的直线与平面不必然平行.5.【解题指南】用两个平面平行的性质去判定.【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l.由面面平行的性质可知l∥A1C1.答案：平行6.【解析】A a，那么点A与直线a确信一个平面，即平面ABD.因为a∥α,且α∩平面ABD=EG,故a∥EG,即BD∥EG.因此答案：2097.【解题指南】（1）先取BD中点O，连接OC，OE，证明OE是BD的垂直平分线即可.（2）此题考查线面的平行关系，可取AB中点N，连接MN，MD,DN,利用平面MND ∥平面BEC 来证.【证明】(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，那么由BC=CD 知，CO ⊥BD.又已知CE ⊥BD ，CO ∩CE=C ，因此BD ⊥平面O CE.因此BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，因此BE=DE.(2)取AB 中点为N ，连接MN,MD,DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE.∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，因此∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC ⊥AB ，因此ND ∥BC ，又因为MN ∩DN=N ，BE ∩BC=B ，因此平面MND ∥平面BEC ， 故DM ∥平面BEC.8.【解析】设相交直线AB ，CD 确信的平面为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD,由α∥β,得AC ∥BD.S 点在两平面同侧时，如图（1）.∵BD ∥AC ，因此SB SD ，SA SC = 即9SC 34，18SC-=∴SC=68. S 点在两平面之间时，如图（2）.∵BD ∥AC,因此SA SC SC ，SB SD CD SC==-即18SC ，934SC =-解得68SC .3=综上知SC 的长度为68或68.3【挑战能力】【解析】如图，设平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1=D 1M, 点M 在AA 1上，由于平面D 1BQ ∩平面BCC 1B 1=BQ, 平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M. 假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1=D 1M, 平面PAO ∩平面ADD 1A 1=AP ,可得AP ∥D 1M,因此BQ ∥D 1M ∥AP .因为P 为DD 1的中点，因此M 为AA 1的中点， 因此Q 为CC 1的中点.故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行.。
同步北师大版高中数学必修二培优新方案(一) 简单几何体
课时跟踪检测（一）简单几何体一、基本能力达标1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列命题中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．四棱锥有五个顶点C．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选D A中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面之间的部分只能叫多面体，故A错误；B中，根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故B错误；C中，正棱锥还要求底面是正多边形，故C错误；D中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确．3．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．已知正三棱柱ABC-A 1B1C1的底面边长为4 cm，高为10 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为()A．16 cm B．12 3 cmC．24 3 cm D．26 cm解析：选D将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，如图所示，最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值．由已知，拼成的矩形的长等于6×4＝24 cm，宽等于10 cm，所以最短路线为l＝242＋102＝26 cm，故选D.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．★答案☆：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．★答案☆：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．★答案☆：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．二、综合能力提升1．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体解析：选D根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.3．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0B．1C．2 D．3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．下列关于圆柱的说法中不正确的是()A．圆柱的所有母线长都相等B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱解析：选C根据圆柱的定义和结构特征，易知选项C不正确．5．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．★答案☆：②④6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出截面(4)．★答案☆：(1)(2)(3)7．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．探究应用题8．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.(1)求圆台的高；(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，记为ABCD，如图所示．作AM⊥BC于点M.记圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O，连接O1O.由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，所以AM＝122－32＝315(cm)，即圆台的高为315 cm.(2)如图，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l.则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，解得l＝20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。
【世纪金榜】高中数学 1.2直观图课时提能演练 北师大版必修2
"【世纪金榜】高中数学 1.2直观图课时提能演练 北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.给出以下几个结论:①水平放置的角的直观图一定是角.②相等的角在直观图中仍相等.③相等的线段在直观图中仍相等.④若两线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍平行.其中叙述正确的个数是( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42.（2012·延安高一检测)水平放置的△ABC 有一边在水平线上,它的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形（C ）钝角三角形 （D ）任意三角形3.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′=3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )(A)252 4.（2012·肇庆高一检测)对于一个底边在x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图的面积是原三角形面积的( )（A ）2倍 （B ）4 （C ）2倍 （D ）12倍 二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题)以正方形一组邻边为x 轴、y 轴的正方形的直观图是一个平行四边形,其中直观图中有一边长为4,则此正方形的面积是________.6.如图为△ABO 水平放置的直观图，其中O ′D ′=B ′D ′=2A ′D ′,由图判断原三角形中AB ，BO ，BD ，OD 从小到大的顺序是_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.画出正六棱柱的直观图.8.如图,△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.【挑战能力】（10分）用斜二测画法画出多边形A 1A 2…A n 的直观图A 1′A 2′…A n ′,试探索多边形A 1A 2…A n 与A 1′A 2′…A n ′的面积之间有无确定的数量关系(提示:先从三角形入手).答案解析1.【解析】选B.由正方形的直观图是邻边不等的平行四边形,知②③错误.在直观图中平行性不变,故④正确.由斜二测画法的规则知①正确.2.【解析】选C.如图,原图中∠BAC>90°.3.【解题指南】先将直观图还原为原图形，然后再求解.【解析】选A.原平面图形如图所示.∴AB ==∴AB边上的中线的长度为.2 4.【解析】选B.对于一个底边在x 轴上的三角形,其直观图在x 轴上的底边长度不变,对应的高是原三角形高的12⨯=倍,由此知其直观图的面积是原三角形面积的4倍. 【一题多解】一般性结论,对于特殊情况一定成立.作出Rt △ABO 及其直观图(如图),求它们的面积比即可.设OA=a,OB=2b,则O ′A ′=a,O ′B ′=b,S △ABO =ab,S △A ′B ′O ′=1a b ,2⨯=A B O ABO S 4，S ab 4'''==故选B. 5.【解析】若直观图中与x ′轴平行的那条边的长为4,则此正方形的面积为16；若直观图中与y ′轴平行的那条边的长为4,则此正方形的面积为82=64.答案：16或64【误区警示】本题易出现漏解，只得到一种答案的错误.6.【解析】将直观图还原为原图形如图，由三角形的有关性质可知，BO>AB>BD>OD.答案：OD<BD<AB<BO7.【解析】（1）画轴.画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′=45°，∠x ′O ′z ′=90°.（2）画底面.根据平面图形的直观图的画法画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过A 、B 、C 、D 、E 、F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图.顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图.8.【解析】(1)画直角坐标系xOy,在x 轴上取OA=O ′A ′,即CA=C ′A ′.(2)在原图中,过B ′作B ′D ′∥y ′轴,交x ′轴于D ′,在x 轴上取OD=O ′D ′,过D 作DB ∥y 轴,并使DB=2D ′B ′.(3)连接AB 、BC,则△ABC 为△A ′B ′C ′的原图形,如图所示.【挑战能力】【解析】(1)设有△ABC,CD 为高,AB 边平行于x 轴,其直观图为△A ′B ′C ′,则有C ′D ′=12CD,△A ′B ′C ′的高为C ′M=2C ′D ′=4CD,所以S △A ′B ′C ′=12A ′B ′·C ′M=12AB ·44S △ABC . (2)当△ABC 的三边都不与x 轴平行时,必可过其一个顶点作与x 轴平行的直线与对边相交,不妨设可过A 作直线交BC 于D,则AD 将△ABC 分成两个三角形△ABD 和△ACD,由(1)可知S △A ′B ′C ′=S △A ′B ′D ′+S △A ′C ′D ′=4S △ABD +4△ACD =4S △ABC . (3)对多边形A 1A 2…A n ,可连接A 1A 3,A 1A 4,…,A 1A n-1,得到(n-2)个三角形,即△A 1A 2A 3,△A 1A 3A 4,…,A 1A n-1A n ,由(1)和(2)知(.--''⋯'∆'''∆'''∆'''∆∆∆⋯=++⋯+=++⋯+=12n1231341n1n1231341n1n12nA A A A A A A A A A A多边形AA A A A A A A A A多边形A A AS S S SS S S）4综上可知,一个多边形与其直观图的面积之间有确定的数量关系.。
【世纪金榜】高中数学 1.7.1简单几何体的侧面积课时提能演练 北师大版必修2
"【世纪金榜】高中数学 1.7.1简单几何体的侧面积课时提能演练 北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1．圆心角为34π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) （A ）11∶8 （B ）3∶8（C ）8∶3 （D ）13∶82.（2011·辽宁高考）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示.左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )（A ）4 （B ）（C ）2 （D 3．（2012·北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+4．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )（A ）10 cm （B ）cm（C ）cm （D ）52二、填空题（每小题4分，共8分）5．（2012·武汉高一检测）已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为____________.6．已知正四棱锥底面正方形的边长为6 cm ，高与斜高夹角为45°，则斜高为________；侧面积为_______；全面积为__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的表面积与侧面积的比．8．（易错题）在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积．【挑战能力】（10分）圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱表面积有最大值？最大值是多少?答案解析1．【解析】选A ．设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r,∵34π·l =2πr,∴r=38l . A B =πππ2r r r +l l =1+r l =.118 2.【解题指南】通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高、棱长，然后求出左视图矩形的长和宽，即可求出面积.【解析】选B.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为设高为x,所以=34x=2,左视图的矩形2，矩形的面积为故选B.3．【解题指南】由三视图还原直观图，再求表面积.【解析】选B.直观图如图所示，底面是边长AC=5，BC=4的直角三角形，且过顶点P 向底面作垂线PH ，垂足在AC 上，AH=2，HC=3，PH=4.S △ABC =12×4×5=10， S △PAC =12×5×4=10.因为PH ⊥面ABC ，所以PH ⊥BC. 又因为BC ⊥AC ，PH ∩AC=H,所以BC ⊥平面PAC,所以BC ⊥PC,所以S △PBC =12×4×5=10.在△PAB 中，PA=取PA 中点E ，连结BE ，则BE=6,所以S △PAB =12××6=因此三棱锥的表面积为10+10+10+=30+【方法技巧】求多面体的表面积求多面体的表面积的基本思路:关键是求直棱柱、正棱锥、正棱台中的基本元素,几个主要截面集中了这些简单几何体的基本元素,对它们应高度重视.4．【解题指南】解答本题关键是利用圆柱展开图，找出最短路径，通过解三角形求解．【解析】选D ．圆柱的侧面展开图如图所示，可知EG 的长即为所求的最短距离．在展开图中，可得EH=5,HG=12·2π·52=52π,在Rt △EHG 中，由勾股定理可知=cm ）. 5．【解析】如图为轴截面，则∠ADH=∠DAH=45°，由DH=1，AH=1，DO 1=1，∴AO 2=2.答案：26．【解析】正棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE.∵OE=3 cm ，∠OPE=45°，∴OE PE sin45==︒cm ）， 因此，S 侧=12ch ′=12×4×6×（cm 2）， S 全=S 侧+S 底=）cm 2.答案：cm cm 2 36）cm 27．【解析】设底面圆半径为r ，母线即高为h ．∴h ＝2πr ．πππππ.ππ2表侧S 2r 2rh r h S 2rh hr 2r 122r 2++==++==8．【解析】该几何体相当于圆台挖去以上底面为底面的圆锥．易知：EC=2,BC=5,S 圆台侧=π(2+5)×5=35π.S 圆台下底=π·52=25π.S 圆锥侧=π·2·.∴S=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=35π+25π+=（60+π.【误区警示】解答本题时容易忽略上面圆锥的表面积．所以做此类问题时要认真审题，最好画出其直观图．【挑战能力】【解题指南】（1）利用轴截面找到相关元素的关系,使空间问题平面化．（2）通过构造二次函数,把问题转化为我们熟悉的函数在给定区间上的最值问题．【解析】 如图SAB 是圆锥的轴截面，其中SO ＝12 cm ，OB ＝5 cm ．设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C ＝x ， 由△SO 1C ∽△SOB ，得11SO SO ＝，O C OB 11SO 12SO ＝O C ＝x ，OB 5∴OO 1＝SO-SO 1＝1212x ，5- 则圆柱的表面积S ＝S 侧＋2S 底＝2π（1212x ，5-）x ＋2πx 2＝2π（12x-75x 2）． 当x ＝307cm 时，S 取到最大值π2360 cm 7。
【世纪金榜】高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质课时提能演练 北师大版必修2 (1)
"【世纪金榜】高中数学 .2平面与平面垂直的性质课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每题4分，共16分）1.（2021·西安高一检测）以下说法错误的选项是( )(A)假设α⊥β,那么平面α内所有直线都垂直于β(B)假设α⊥β，那么平面α内必然存在直线平行于β(C)假设α⊥γ,γ⊥β,α∩β=l，那么l⊥γ(D)假设α不垂直于β，那么平面α内必然不存在直线垂直于平面β2.（易错题）如下图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，那么点H在( )(A)直线AC上(B)直线AB上(C)直线BC上(D)△ABC的内部3.假设三棱锥三个侧面两两垂直，过极点作底面的垂线，那么垂足是底面三角形的( )(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心4.直二面角α-AB-β，点C∈α，点D∈β，当知足∠CAB=∠DAB=45°时，则∠CAD的大小为( )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°二、填空题（每题4分，共8分）5.（2021·苏州高一检测）已知直线l和平面α，β，且lα,lβ,给出如下三个论证：①l⊥α,②α⊥β，③l∥β.从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你以为正确的说法________（写出一种即可）.6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l,A∈l,B∈l,ACα,BDβ,AC⊥l，BD⊥l,且AB＝4，AC＝3，BD＝12，那么CD＝_______.三、解答题（每题8分，共16分）7.（2021·聊城高一检测）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD为正方形，ABEF是矩形，且AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC.AF＝128.（2021·安徽高考）平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=2，A1B1=A1C1=5.现将该平面图形别离沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C 垂直，再别离连接A1A,A1B,A1C,取得如图2所示的空间图形，对此空间图形解答以下问题.（1）证明：AA1⊥BC；（2）求AA1的长；（3）求二面角A-BC-A1的余弦值.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F别离是PC，DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.求证：（1）平面EFO∥平面PDA；（2）PD⊥平面ABCD；（3）平面PAC⊥平面PDB.答案解析1.【解题指南】依照直线、平面垂直的性质一一验证.【解析】选A.假设α⊥β，那么平面α内的直线可能与β垂直,也可能平行、斜交.2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B,∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC,∴平面BAC⊥平面BC1A.∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足，平面BAC∩平面BC1A=AB,∴H∈AB.3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC，∴SB⊥AC，又SO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∴BO⊥AC，同理可证AO⊥BC，CO⊥AB，∴O为垂心.4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.∵二面角α-AB-β是直二面角,∴CE⊥β,∴CE⊥E F.在Rt△ACE中，∠CAE=45°,∴AC=2CE,同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得AF=2CE，CF=2CE,∴△ACF是等边三角形,∴∠CAD=60°.5.【解析】若l⊥α,α⊥β.又∵lβ,∴l∥β.若l∥β,过l作平面γ交β于m，那么l∥m.又l⊥α,故m⊥α.又∵mβ,因此α⊥β.若α⊥β，l∥β,那么l与α关系不确信.答案：若l⊥α,α⊥β，那么l∥β（或假设l⊥α, l∥β,那么α⊥β）6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解.【解析】连接BC，∵AC⊥l,AC=3,AB=4,∴BC=5.∵BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BDβ,∴BD⊥α.又BCα，∴BD⊥BC.在Rt△BDC中，22DC＝BD BC＝13.答案：137.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明.【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴CB⊥AB.∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AG，GB平面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG.又AD＝2a,AF=a,ABEF是矩形，G是EF的中点.∴AG＝BG＝2a,AB=2a,AB2=AG2+BG2,∴AG⊥B G.∵CB∩BG=B,∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC.故平面AGC⊥平面BGC.8.【解题指南】（1）通过线线垂直证明线面垂直进而取得线线垂直；（2）构造Rt△AA1D,在△AA1D中求AA1；（3）先找到平面角，然后在三角形中求出.【解析】（1）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,A1O,A1O1，那么由AB=AC知AO⊥BC，由面ABC⊥面BB1C1C可知AO⊥面BB1C1C；同理，A1O1⊥面BB1C1C，由此可得AO∥A1O1，即A,O,A1,O1共面.又OO 1⊥BC,OO 1∩AO=O ，那么BC ⊥面AOA 1O 1，因此AA 1⊥BC ；（2）延长A 1O 1到D ，使O 1D=OA ，那么O 1D OA,AD OO 1；OO 1⊥BC ， 面A 1B 1C 1⊥面BB 1C 1C ，那么OO 1⊥面A 1B 1C 1，AD ⊥面A 1B 1C 1，在Rt △AA 1D 中，=+=++=222211AA AD DA 4(21)5；（3）因为AO ⊥BC,A 1O ⊥BC ，那么∠AOA 1是二面角A-BC-A 1的平面角.在Rt △OO 1A 1中，在Rt △OAA 1中，因此二面角A-BC-A 1的余弦值为55-. 【挑战能力】 【证明】（1）∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点.∵E,F 别离是PC,DC 的中点,∴EF ∥PD.又EF 平面PAD ，PD 平面PAD ，∴EF ∥平面PDA ，同理FO ∥平面PAD.而FO ∩EF=F ，EF ，FO平面EFO ，∴平面EFO ∥平面PDA.（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PD平面PAD ， ∴PD ⊥平面ABCD.（3）∵PD ⊥平面ABCD ，AC平面ABCD, ∴AC ⊥PD.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PD∩DB=D，PD，DB平面PBD.∴AC⊥平面PBD.∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.。
（北师大版）数学必修二课时作业：1.1简单几何体（含答案）
（北师⼤版）数学必修⼆课时作业：1.1简单⼏何体（含答案）温馨提⽰：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动⿏标滚轴，调节合适的观看⽐例，答案解析附后。
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课时提升作业(⼀)简单⼏何体⼀、选择题(每⼩题3分，共18分)1.(2014·⾩阳⾼⼀检测)下列说法正确的是( )A.棱柱的侧⾯都是矩形B.棱柱的侧棱都相等C.棱柱的各个⾯都是平⾏四边形D.棱柱的侧棱总与底⾯垂直【解析】选B.由棱柱的定义知，棱柱的侧⾯都是平⾏四边形，故A错误.⽽平⾏四边形的对边相等，故侧棱都相等，棱柱的底⾯不⼀定是平⾏四边形，故C错.棱柱的侧棱可以与底⾯垂直，也可以不垂直.2.下列图形所表⽰的⼏何体中，不是棱锥的为( )【解析】选A.由棱锥的定义及结构特征知A不是棱锥.3.(2014·亳州⾼⼀检测)下列说法错误的是( )A.多⾯体⾄少有四个⾯B.九棱柱有9条侧棱，9个侧⾯，侧⾯为平⾏四边形C.长⽅体、正⽅体都是棱柱D.三棱柱的侧⾯为三⾓形【解析】选D.多⾯体中⾯数最少的是三棱锥，有四个⾯，故A正确.根据棱柱的结构特征知B正确.长⽅体、正⽅体符合棱柱的结构特征，C正确.D中三棱柱的侧⾯为平⾏四边形，D错误.4.下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )【解析】选C.根据三棱柱的结构特征知，A，B，D中的展开图都可还原为三棱柱，但是C中展开图还原后的⼏何体没有下底⾯，故不是三棱柱的展开图.5.(2014·南昌⾼⼀检测)下列说法正确的个数为( )①存在斜四棱柱，其底边为正⽅形；②存在棱锥，其所有⾯均为直⾓三⾓形；③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；④矩形绕任意⼀条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①存在斜四棱柱，其底⾯为正⽅形，正确.②正确.如图.③不正确，圆锥的顶⾓⼩于90°时就不存在.④不正确，矩形绕其对⾓线所在直线旋转，不能围成圆柱.6.以钝⾓三⾓形的较⼩边所在的直线为轴，其他两边旋转⼀周所得的⼏何体是( )A.两个圆锥拼接⽽成的组合体B.⼀个圆台C.⼀个圆锥D.⼀个圆锥挖去⼀个同底的⼩圆锥【解析】选D.如图所⽰.旋转⼀周后其他两边形成的⼏何体为在圆锥AO的底部挖去⼀个同底的圆锥BO.【误区警⽰】本题易选A⽽导致错误.事实上圆锥BO为空⼼的，并⾮真正的圆锥.⼆、填空题(每⼩题4分，共12分)7.矩形绕⼀边所在的直线旋转⼀周得到圆柱，则得到不同形状的圆柱有________个.【解题指南】矩形包括正⽅形和长⽅形，不同的情况下得到圆柱的情形不同. 【解析】若该矩形为长⽅形，则矩形的长与宽所在的直线为轴可以得到2个不同形状的圆柱，若该矩形为正⽅形，则得到1个圆柱.答案：1或2【误区警⽰】本题易漏掉⼀种情形⽽导致答案错误.8.如图，将装有⽔的长⽅体⽔槽固定底⾯⼀边后将⽔槽倾斜⼀个⼩⾓度，则倾斜后⽔槽中的⽔形成的⼏何体的形状是________.【解析】如图：假设以AB边固定进⾏倾斜，则⼏何体BB2C2C-AA2D2D⼀定为棱柱.答案：棱柱9.五棱柱中，不同在任何侧⾯且不同在任何底⾯的两顶点的连线称为它的对⾓线，那么⼀个五棱柱对⾓线的条数为________.【解析】上底⾯内的每个顶点，与下底⾯内不在同⼀侧⾯的两个顶点的连线可构成五棱柱的对⾓线，上底⾯每个顶点有两条对⾓线，故⼀个五棱柱的对⾓线共有5×2=10条.答案：10三、解答题(每⼩题10分，共20分)10.⼀直⾓梯形ABCD，如图所⽰，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转⼀周，画出所得⼏何体的⼤致形状，并指明它是由哪些简单⼏何体组成的.【解析】以AB为轴旋转所得⼏何体是⼀个圆台，如图a；以BC为轴旋转所得⼏何体是⼀个圆柱和⼀个圆锥拼接⽽成，如图b；以CD为轴旋转所得⼏何体是⼀个圆台挖去⼀个⼩圆锥后，再与⼀个⼤圆锥拼接⽽成，如图c；以DA为轴旋转所得⼏何体是⼀个圆柱挖去⼀个圆锥⽽成，如图d.C1D1的⼋个顶点中任取若⼲，连11.试从正⽅体ABCD -A结后构成以下空间⼏何体，并且⽤适当的符号表⽰出来.(1)只有⼀个⾯是等边三⾓形的三棱锥.(2)四个⾯都是等边三⾓形的三棱锥.(3)三棱柱.【解析】(1)如图所⽰，三棱锥A1-AB1D1(答案不惟⼀).(2)如图所⽰，三棱锥B1-ACD1(答案不惟⼀).(3)如图所⽰，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不惟⼀).【变式训练】判断如图所⽰的⼏何体是不是棱台？为什么？【解析】①②③都不是棱台.因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截⾯和底⾯不平⾏，故不是棱台，只有⽤平⾏于棱锥底⾯的平⾯去截棱锥，截⾯与底⾯之间的部分才是棱台，③是由长⽅体截得，是棱柱⽽不是棱台.⼀、选择题(每⼩题4分，共16分)1.(2014·西安⾼⼀检测)AB为圆柱下底⾯内任⼀不过圆⼼的弦，过AB和上底⾯圆⼼作圆柱的⼀截⾯，则这个截⾯是( )A.三⾓形B.矩形C.梯形D.以上都不对【解析】选D.如图，AB∥CD，且AB≠CD，但AD，BC是曲线，不是直线，故选D.【误区警⽰】本题易误将曲线AD，BC当作直线选C⽽导致错误.2.下列叙述，其中正确的有( )①两个底⾯平⾏且相似，其余的⾯都是梯形的多⾯体是棱台；②如图所⽰，截正⽅体所得的⼏何体是棱台；③棱锥被平⾯截成的两部分不可能都是棱锥.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于⼀点.②不正确，因为侧棱延长后不能交于⼀点，还原后也并⾮棱锥.③不正确，如图，⽤⼀个过顶点的平⾯截四棱锥得到的是两个三棱锥.【拓展延伸】棱台定义的应⽤除了⽤它作判定之外，⾄少还有三项⽤途：①为保证侧棱延长后交于⼀点，可以先画棱锥再画棱台；②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；③可以利⽤两底是相似多边形进⾏有关推算.3.⽤⼀个平⾯去截⼀个三棱锥，截⾯形状是( )A.四边形B.三⾓形C.三⾓形或四边形D.不可能为四边形【解题指南】截⾯与三棱锥的棱有⼏个交点，连起来就是⼏边形.【解析】选C.如图，若截⾯截三棱锥的三条棱，则截⾯的形状为三⾓形(如图①)，若截⾯截三棱锥的四条棱，则截⾯的形状为四边形(如图②).4.(2014·重庆⾼⼀检测)如图所⽰，模块①～⑤均由4个棱长为1的⼩正⽅体构成，模块⑥由15个棱长为1的⼩正⽅体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为⼀个棱长为3的⼤正⽅体.则下列选择⽅案中，能够完成任务的为( )A.模块①②⑤B.模块①③⑤C.模块②④⑤D.模块③④⑤【解析】选A.先将模块⑤放到模块⑥上，再把模块①放到模块⑥上，再把模块②放到模块⑥上，即得到棱长为3的⼤正⽅体.⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5.(2014·北京⾼⼀检测)如图所⽰，不是正四⾯体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是________.【解析】(3)(4)中的四个三⾓形有公共顶点，⽆法折成三棱锥，当然不是正四⾯体的展开图.答案：(3)(4)【变式训练】试判断下列三个图是否为正四⾯体的表⾯展开图.【解析】①②③都是正四⾯体的表⾯展开图.6.(2014·吉安⾼⼀检测)在圆锥中平⾏于底⾯的截⾯⾯积是底⾯的，则此截⾯分圆锥的⾼为上、下两段，其⽐值为__________.【解题指南】作出圆锥的轴截⾯图运⽤⼏何知识解决.【解析】作出圆锥的轴截⾯如图，截⾯圆半径ED，底⾯圆半径OB.由题意=，解得=，由△SED∽△SOB知=，故=1∶1.即截⾯分圆锥的⾼上、下两段的⽐为1∶1.答案：1∶1三、解答题(每⼩题12分，共24分)7.如图所⽰的⼏何体的侧⾯展开图是⼀个矩形，且⼏何体的底⾯边长均为3，侧⾯的棱长为5，已知点P是棱AA1上⼀动点，Q 是棱BB1上⼀动点，求CP+PQ+QC1的最⼩值.【解析】将⼏何体沿棱CC1剪开，其侧⾯展开为平⾯图形，如图所⽰，CP+PQ+QC1的最⼩值即平⾯图中矩形对⾓线CC1的长，所以(CP+PQ+QC1)min==.【拓展延伸】求⼏何体表⾯上连结两点曲线长的最⼩值问题的策略(1)将⼏何体沿着某些棱剪开后展开，画出其侧⾯展开图.(2)将所求曲线问题转化为平⾯上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.8.如图，图①是正⽅体⽊块，把它截去⼀块，可能得到的⼏何体有②，③，④，⑤的⽊块.(1)我们知道，正⽅体⽊块有8个顶点、12条棱、6个⾯，请你将图②，③，④，⑤的⽊块的顶点数、⾯数填⼊下表：(2)观察你填出的表格，归纳出上述各种⽊块的顶点数V、棱数E、⾯数F之间的关系.(3)看图⑥中正⽅体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确.【解题指南】可从顶点数V+⾯数F的和与棱数E的关系考虑.【解析】(1)通过观察各⼏何体，得到表格：(2)由特殊到⼀般，归纳猜想得到：顶点数V+⾯数F-棱数E=2.(3)该⽊块的顶点数为10，⾯数为7，棱数为15，有10+7-15=2，与(2)中归纳的数量关系式“V+F-E=2”相符.关闭Word⽂档返回原板块。
北师大版数学高一1.1 简单几何体学案必修2
§1简单几何体自主学习1．能根据圆柱、圆锥、圆台和球的定义及结构特征，掌握它们的相关概念和表示方法．2．能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法．1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作________，球面所围成的几何体叫作________，简称______．半圆的圆心叫作________．用一个平面去截一个球，截面是圆面．球面被经过球心的平面截得的圆叫作大圆．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作________________________．3．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的________，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的________，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的________．4．棱柱的结构特征：两个面____________，其余各面都是__________，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面围成的几何体叫做棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫作____________，底面是正多边形的直棱柱叫作__________．5．棱锥的结构特征：有一个面是__________，其余各面是________________________________，这些面围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是____________，且各侧面________，就称作正棱锥．6．棱台的结构特征：用一个__________棱锥底面的平面去截棱锥，________________ 之间的部分叫作棱台．对点讲练旋转体的有关概念例1 有以下命题：①以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不同的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得的两个圆柱可能是两个不同的圆柱．其中正确的个数有()A．1B．2C．3D．4点评本题是考查圆柱、圆锥、圆台概念的理解问题．对几何体的概念理解要到位，稍有疏忽都会造成错误的判断，做题时要注意哪条边所在直线为旋转轴，必须清楚地认识到：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转得圆锥，以斜边为旋转轴旋转就是两个圆锥的组合体；以直角梯形垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得圆台，以斜腰所在直线为旋转轴把直角梯形旋转一周得两个圆锥和一个圆台的组合体．变式训练1下列命题中，错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形多面体的有关概念例2 给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3点评只有理解并掌握好各种简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才能不至于被各个命题的表面假象所迷惑，从而对问题做出正确的判断．变式训练2有四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．正确的命题有________________．(填序号)几何体的结构特征例3 (1)请画出下图所示的几何体的表面展开图．(2)根据下图所给的平面图形，画出立体图．点评(1)要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的问题．(2)平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题(即逆向过程)．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并准确地画出在折叠和展开的前后的平面图形和立体图形，进而找到折叠和展开前后的变化的量和不变的量．变式训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？课时作业一、选择题1．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台2．有下列四个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．下图是由哪个平面图形旋转得到的()4．如图所示，将装有水的长方体槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定5．下图中不可能围成正方体的是()二、填空题6．在下面4个平面图形中，哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．(把你认为正确的序号都填上)7．下列命题中：①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形绕与底边垂直的腰所在直线旋转而成的几何体；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．正确命题的序号为__________．三、解答题8．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．9．四边形ABCD为直角梯形，分别以边AD、边AB、边CD所在直线为轴旋转，分析所形成的三个几何体的结构特征．第一章立体几何§1 简单几何体答案自学导引1．球面球体球球心2．圆柱、圆锥、圆台3．底面侧面母线4．互相平行四边形互相平行直棱柱正棱柱5．多边形有一个公共顶点的三角形正多边形全等6．平行于底面与截面对点讲练例1 A变式训练1 B例2 A变式训练2③④例3 解(1)将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．展开图如图所示．(2)将各平面图形折起后的空间图形如下图所示．变式训练3解(1)五棱柱；(2)五棱锥；(3)三棱台．如图所示．课时作业1．C2．C3．A4．A5．D6．①②7．①②③8．解截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′—DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．9．解以边AD所在直线为旋转轴，旋转一周后所得的几何体如图1；以边AB所在直线为旋转轴，旋转一周所得的几何体如图2；以边CD所在直线为旋转轴，旋转一周所得的几何体如图3；其中图1为圆台；图2为圆柱和圆锥的组合体；图3是将一个大圆柱挖去一个圆锥而得到的几何体．。
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（30分钟 50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.下列说法中正确的是( )
（A）棱柱的底面一定是平行四边形
（B）棱锥的底面一定是三角形
（C）棱台的底面是两个相似的正方形
（D）棱台的侧棱延长后必交于一点
2.在如图所示的图形中，是圆柱的是( )
3.（2012·铜川高一检测）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
（A）四边形（B）三角形
（C）三角形或四边形（D）不可能为四边形
4.（2012·深圳高一检测）如图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2011·广东高考）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为____________.
6.____________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（易错题）如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰，分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.
8.画一个三棱台，再把它分成
（1）一个三棱柱和另一个多面体；
（2）三个三棱锥，并用字母表示.
【挑战能力】
（10分）在正四棱柱上任意选择4个顶点，试画图分析以下两个问题：
（1）这4个顶点可能是哪几种平面图形的顶点？
（2）这4个顶点可能是哪几种空间图形的顶点？
答案解析
1.【解析】选D.由棱台、棱锥、棱柱的定义可得.
2.【解析】选C.A为圆台，D为棱锥，B中上、下两底面不平行，不是圆柱，故C正确.
3.【解析】选C.如图，若截面截三棱锥的
三条棱，则截面的形状为三角形（如图①），
若截面截三棱锥的四条棱，则截面的形状为
四边形（如图②）.
4.【解析】选A.直接观察或动手折叠，可得选A.
5.【解题指南】本题主要考查体对角线的概念，由体对角线的概念可得答案.
【解析】上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面的两个顶点的连线可构成正五棱柱的对角线.上底面每个顶点有两条对角线，故一个正五棱柱的对角线共有5×2=10条.
答案：10
6.【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，解之得
=
【方法技巧】巧化未知为已知
长方体棱长和体对角线长的关系公式为l此公式的推导利用了长方体中体对角线与棱构
成的直角三角形，体现了化立体几何问题为平面几何问题的思想方法，这种思想方法对于解决立体几何问题是十分重要的.
7.【解析】（1）以AB边为轴旋转所得的旋转体是圆台，如图（1）所示.
（2）以CD边为轴旋转所得几何体为：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥,如图（2）所示. （3）以AD边为轴旋转得到几何体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图（3）所示.
【误区警示】本题以CD为轴旋转所得的几何体易忽略挖去底面的小圆锥而出错.
8.【解析】画三棱台一定要利用三棱锥.
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是
A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
【挑战能力】
【解析】（1）这4个顶点可能是以下平面图形的顶点：矩形，正方形.
（2）这4个顶点可能是以下空间图形的顶点：
有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体（如图1，2）；每个面都是等腰三角形的四面体（如图3）；每个面都是直角三角形的四面体（如图4）．。