测量平差第五章
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中,如某个误差超过了容许误差,则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比,称为相对误差。在某 些测量工作中,有时用中误差还不能完全反映测量精度, 例如测量某两段距离,一段长200m,另一段长100m, 它们的测量中误差均为±0.2m,为此用观测值的中误差 与观测值之比,并将其分子化为1,即用1/K表示,称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2,第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明, 在大量同精度观测的一组误差中,绝对值大于两倍中误差 的偶然误差,其出现的可能性约为5%;大于三倍中误差 的偶然误差,其出现的可能性仅有3‰,且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例:量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms: 解:列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差=观测值-真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 (如温度、湿度、风力、大折光等)的影响,这三方面的 客观条件统称观测条件。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明,当对某一未知量进行多次 观测时,无论观测仪器多么精密,观测进行得
多么仔细,观测值之间总是存在着差异。例如,
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解:圆周长:
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差:
将以上各式两边平方、取平均,可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立,则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性,上式末项当 k 时趋近于 零,故:
测量某一平面三角形的三个内角,其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的,外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因,都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来,称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化,是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测,称为 等精度观测;观测条件不同的各次观测,称为不等精 度观测。
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV-2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导: T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为: 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
=
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数,且 f i、g i 均为x的函数, d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意:当N为满秩方阵时,才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边+测方向
边角网
(导线网) 测边+测角
三、三角网的布设--从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ; 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网(经典自由网)---只有必要起算数据d。
非独立网(附合网)---已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件: n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件:
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
测量平差 第五章 条件平差
北京建筑工程学院 测绘工程系
求解法方程,求的联系数K
N aa K + W = 0
− K = − ( A P − 1 A T ) − 1 W = − N aa1W
回代求解观测值改正数
V = P −1 A T K = QA T K
观测值平差值
ˆ L = L +V
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
四、条件平差的计算步骤
1. 首先确定条件方程的个数 r=n-t
ˆ 列出平差值条件方程式, AL + Ao = 0
列出改正数条件方程 AV + W = 0 定观测值的权阵P 2. 组成法方程式 4. 求改正数V值 5. 求出平差值 6. 检核
误差理论与测量平差基础
( AP −1 AT ) r×r K r×1 + W = 0
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
水准网平差例2 A
h1
t = 7 −1− 3 = 3
C
h3
r = n−t = 7−3= 4
E
h2 h6 h5
符合条件方程
G
h4
h7
F D
B
ˆ ˆ ˆ h1 + h2 − h3 − ( H C − H A ) = 0 ⎫ ⎪ ˆ + h − h −( H − H ) = 0⎪ ˆ ˆ h1 6 7 B A ˆ + h + h − ( H − H ) = 0 ⎬ 闭合条件方 h7 ˆ 5 ˆ 4 ⎪ D B ⎪ ˆ ˆ ˆ h2 − h5 − h6 = 0 ⎭
矩阵计算基础知识 1. 向量 矩阵 2. 矩阵转置 3. 矩阵相乘 4. 矩阵微分 5. 矩阵求逆 6. 特殊矩阵 7. Matlab 矩阵计算
测量平差教学课件PPT
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度: • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成,
精确度可用观测值的均方误差来描述,即:
• 当 时,即观测值中不存在系统误差,亦即 观测值中只存在偶然误差时,均方误差就 等于方差,此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中:DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
(correlation observation) 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为:
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
第五章 测量误差
(2)水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共观测了n站,则总高 差为: 设每站的高差中误差均为m站 ,则 mh = 取3倍中误差为限差,则普通水准路线的容许误差为: m容= 3
2.水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角,那么用盘左 盘右观测同一方向的中误差为±6” ,即 =±6”。 假设盘左瞄准A点时读数为A左,盘右瞄准A时读数 为A右,那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为
求真误差的方差: 由方差的性质可得:
中误差为标准差σ的估计值,而标准差的平方就等 于方差,故
二、线性函数
1、倍数函数 设有函数 Z=Kx 式中 x—直接观测值,其中误差为mx; K—常数 Z—观测值x的函数 若对x作n次同精度观测,其真误差列为 设对应的函数的真误差列为 。 观测值与函数间的真误差关系式为:
三、非线性函数 设有非线性函数 z=f(x1、x2、…、xn) 式中,x1、x2、…、xn为独立观测值,其相应的中
误差分别为m1、m2、…、mn,对其全微分得到
四、误差传播定律的应用 1.水准测量的误差分析
(1)一个测站的高差中误差 每站的高差为:h=a-b;a、b为水准仪在前后水准 尺上的读数,读数的中误差m读,m读≈±3mm,则 每个测站的高差中误差为
二、中误差(均方差)
1.测量工作中,用标准差来衡量观测的精度,我 们称之为中误差,用m表示。 设在相同的观测条件下,对未知量进行重复独立 观测,观测值为:l1,l2,…,ln,其真误差为Δ 1,
Δ 2,…,Δ n ,则真误差的方差
式中当n→∞,E(Δ ) = 0 ,根据数学期望的定义 E(Δ 2)就是Δ 2的算术平均值。
将上式平方,得 按上式求和,并除以n,得
误差理论与测量平差基础习题集
第五章条件平差§5-1条件平差原理条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t,若按条件平差法进行平差,其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?5. 试用符号写出按条件平差法平差时,单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。
图5-15. 1. 04 在图5-2中,已知A ,B的高程为Ha = m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:图5-2S1=2km,S2=Ikm,S3=,h1=,h2= m,h3= m,求改正数条件方程和各段离差的平差值。
在图5-3的水准网中,A为已知点B、C、D为待定点,已知点高程HA=,观测了5条路线的高差:h1=,h2=0. 821 m,h3=,h4=,h5= m。
各观测路线长度相等,试求:(1)改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差值。
有水准网如图5-4所示,其中A、B、C三点高程未知,现在其间进行了水准测量,测得高差及水准路线长度为h1=1 .335 m,S1=2 km;h2= m,S2=2 km;h3= m,S3=3km。
试按条件平差法求各高差的平差值。
如图 5-5 所示,L1=63°19′40″,=30″;L2=58°25′20″,=20″;L3=301°45′42″,=10″.(1)列出改正数条件方程;(2)试用条件平差法求∠C的平差值(注: ∠C是指内角)。
5-2条件方程5. 对某一平差问题,其条件方程的个数和形式是否惟一?列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关?. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点,h i表示观测高差)。
(a) (b)图5-65. 2. 11指出图5-7中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中P i 为待定坐标点)。
[理学]第五章 间接平差_OK
3.由误差方程系数B和常数阵 l 组成法方程;
4.解算法方程,求出参数的改正数,并计算参数的平 差值;
5.由误差方程计算V,并计算出观测量的平差值。
17
绵阳师范学院
间接平差原理
平差的关键:函数模型的建立。
7
绵阳师范学院
间接平差原理
按数学上求函数自由极值的方法,即
8
绵阳师范学院
间接平差原理
最后得到角度观测值的平差值为:
9
绵阳师范学院
间接平差原理
一般地:有n个观测值
间接平差的函数模型:
L BXd
n1 nt t1 n1
对参数取近似值,令:
X X0x
l L (BX 0 d ) L L0 误差方程的形式为:
Yj )2
Xk X j
Y jk
S
2 jk
sin jk
S jk
38
绵阳师范学院
误差方程
1
f Yk
(Xk Xj) 1 ( Yk Yj
)2
(Xk
(Xk Xj) X j )2 (Yk Yj
)2
Xk X j
X jk cos jk
S
2 jk
S jk
39
绵阳师范学院
误差方程
sin 0 cos 0
求改正数:
0.78
V
B
x l
0.89
0.89
1.22
28
绵阳师范学院
间接平差原理
参数平差值:
1.004
hi
hi
vi
0.500 0.504
6 第五章 条件平差
三角网的基本图形构成
单三角形; 大地四边形; 中点多边形
30
§2 条件方程
二.三角网 1.独立测角网条件方程
测角网的观测值
测角网的观测值很简单,全部是角度观测值
测角网的作用
确定待定点的平面坐标
测角网的基准
位置基准2个(任意一点坐标X0Y0) 方位基准1个(任意一边方位角α0) 长度基准1个(任意一边的边长S0)
Av f 0
V PV min
T
在满足 Av f 0 的条件下,
求函数 V PV min 的V值
T
条件 极值 问题
4
§1 条件平差原理 条件平差的步骤
5
§1 条件平差原理
列条件方程 观测值权阵
最小二乘原则
求唯一解
6
§1 条件平差原理 一.基础方程及其解
r个线性条件方程:
3 ka 3 k 2 0 6 b
写成矩阵形式:
(2)定权: 100米量距为单位权:Pi=100/Si
1/Pi=Si/100 1/P1=2, 3=3, 1/P 1/P2=3, 4=5, 1/P
2 0 Q 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5
AV f 0 PLL diag p1 p2 p4
组、解法方程: AQAT K f 0
由改正数方程求: V P A K
T 1
ˆ 求平差值: L L V
15
§1 条件平差原理 二.条件平差的求解步骤及示例
条件平差计算步骤
16
§1 条件平差原理
例:
r 1
r 1
r个改正数条件式:
a1v1 a2 v2 an vn wa 0 b1v1 b2 v2 bn vn wb 0 r1v1 r2 v2 rn vn wr 0
测量学 第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异,说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差,也叫真误差。
X l i i -=∆ (i =1、2、……、n ) X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律;正确地处理测量成果,求出最可靠值;评定测量结果的精度;为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测,如果误差的大小、符号表现出系统性,或按一定的规律变化,或保持不变,这种误差称为系统误差。
其特点:具有累积性,但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测,如果误差的大小和符号不定,表面上没有规律性,但实际上服从于一定的统计规律性,这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性,不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此,观测结果中偶然误差占据了主要地位,是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差,通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差,通常采用多余观测来减少误差,提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中,观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中,各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度,是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称,表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
测量平差 第五章
二、测角网
图5-5为一测角网,其中A、B是坐标为已知的三角点, C和D为待定点,要确定其坐标。共观测了9个水平角,即 ai, bi, ci(i=1,2,3)。
返回目录 返回本节
根据角度交会的原理知,为了 确定C、D两点的平面坐标,必要观 测t=4,例如测量a1和b1可计算D点坐 标,再测量a2和c2可确定待定点C。 于是,图3-5的多余观测数r=n-t=94=5。故总共应列出5个条件方程。 测角网的基本条件方程有三种类型, 现以此例说明。 第一类是三角形内角和条件,通过 图形条件。由图3-5可列出三个图形 条件,即 o ˆ ˆi bi ci 180 0 (i=1,2,3) ˆ a 其最后形式为 V V V W 0 (i=1,2,3)
r .r
i
pi
1i
1
2i
2
ri
r
返回目录
和
式中
N11k1 N12 k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22 k 2 N 2 r k r W2 0 N r 1 k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
i i i
sin a1 sin a2 sin a3 sin( a1 va ) sin( a1 va ) sin( a1 va ) 1 sin b1 sin b2 sin b3 sin(b1 vb ) sin( a1 va ) sin( a1 va )
i 2 3 1 2 3
3 2
va vb sin a1 sin a2 sin a3 sin a1 sin a2 sin a3 ctgb2 ctgb3 0 sin b1 sin b2 sin b3 sin b1 sin b2 sin b3
第五章测量平差系统的可靠性理论1
i
li 0
1
P
i
四、粗差的估计
1. 粗差的估计 设 gi 为第i个观测值的粗差估值 由式 则其粗差估值为: 2. 粗差估值的精度。
gi
v
* i
r
i
i
v r
i i
由误差传播定律有:
gi
li i
r
例:设:
v
则:求得
i
1cm,
li
1cm, ri 0.01
3. 1983年,Förstner第一次提出模型误差的可区分性,从 两个一维备选假设出发,由检验量之间的相关系数来区分模 型误差。 在单个粗差检测方面: ① Förstner, Koch 等导出了未知方差因子的t检验量。 ② Pope, Koch导出了τ检验量。 在多个粗差检验方面: ③ Förstner, Koch导出了F检验量。 4. 1984—1986年间,李德仁院士的博士论文。 从高斯—马尔科夫模型含两个多维备选假设出发,研究总体 相关和最大相关,并导出内部和外部可靠性理论,可发现与 可区分的模型误差的下界,及不可区分不可发现的模型误差 对平差的影响。
r
i
当
ri 0
,则意为该观测值为必要观测;
当
r 1
i
,则意为该观测值完全多余,即未参加平差,此时有:
由此式说明,多余观测分量代表观测差 i 反映在改正数 vi 中的百分比。 讨论: (1)、一般情况下,观测值误差只能部分反映在它的改正数中。
*
v
* i
r
i
i
(2)、当没有多余观测(r=0)时,所有多余观测分量
第5章测量误差及测量平差ppt课件
X X Zj
j 1
1 j j 1
2 j j 1
X nj j 1
1
2
n
k
2 Zj
m 2
j 1
Z
k
k
2 ij
m 2
j 1
i
k
m 2 ( f)2m 2 ( f)2m 2 ( f)2m 2
z X 1 X 2
X n
1
2
n
.
一、一般函数的中误差
Z=f(X1,X2,…Xn)
m z( X f)2m 1 2 ( X f)2m 2 2 ( X f)2m n 2
求相应水平D距 及离 其中误差。
解:D s cos
D cos cos15 0.9659
s
D s sin 50sin15 12.9410
m D
D
2
s
m2 sD2m2 s化为弧度
0.96592 0.052 (12.9410)2
30
2
0.048m
206265
.
第四节 测量平差原理
hBC5.74m 7,中误m差 hBC0.00m 9,
求A,C两点间的高差 差及 。其中误
解 hA: C hAB hBC 1.5 475 6.747 2.1 22m3 m hA Cm 2 hABm 2 hB C0.0122 0.002 90.01m5 hAC 2.1 220 3.01(m 5 )
.
第一组:-3″,-2″,2″,4″,-1″,0″,-4″,3″,2″,-3″;
第二组:0″,1″,-7″,-2″,-1″,1″,8″,0″,3″,-1″。
解:
m2.7
1
n
m3.6
测量平差基础
停止
返回
误差:测量值与真值之差
由于误差的存在,使测量数据之间产生
矛盾,测量平差的任务就是消除这种矛
盾,或者说是将误差分配掉,因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
停止
返回
产生误差的原因
测量仪器:i角误差、2c误差 观测者:人的分辨力限制 外界条件:温度、气压、大气折光等
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
例2:在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角,每个三角 形内角之和应等于180度,但由于误差的影响往往不等于180度,计算 各内角和的真误差,并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
返回
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A,若存在一个同阶 方阵B,使AB=BA=I(E),称B为A的 逆矩阵。记为:
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0,称A为非奇异矩阵,否 则为奇异矩阵
停止
返回
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
测量平差原理,於宗俦等,测绘出版社 误差理论与测量数据处理,测量平差教 研室,测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
停止
返回
第一章 绪论
第一节:概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差
闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 角度测量………..
1
4
测量平差第五章条件平差习题参考答案
测量平差第五章条件平差习题参考答案测量平差第五章思考题参考答案5.1 (a )n=6,t=3,r=3(b )n=6,t=3,r=3(c )n=14,t=5,r=95.2 (a )n=13,t=6,r=7共有7个条件方程,其中有5个图形条件,2个极条件。
(b )n=14,t=8,r=6共有6个条件方程,其中有3个图形条件,3个极条件。
(c )n=16,t=8,r=8共有8个条件方程,其中有6个图形条件,2个极条件。
(d )n=12,t=6,r=6共有6个条件方程,其中有4个图形条件,1个圆周条件,1个极条件。
5.3 n=23,t=6,r=17共有17个条件方程,其中有9个图形条件,1个圆周条件,1个固定角条件,1个固定边条件,5个极条件。
5.4 (1)n=22,t=9,r=13:7个图形条件,1个圆周条件,2个极条件,2个边长条件,一个基线条件。
(2)128379413141215201117181956101661011199101112135101800180018001800?1800?1800?18001800???sin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-= 171961116203614184715192211151217121318124sin 1()sin sin sin sin sin sin sin sin 1()sin sin sin sin ??()sin sin sin sin ??(sin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719)sin sin sin sin sin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件(基线条件)5.5 n=8,t=4,r=4;有多种条件方程的列法,其中之一为:1001000100110000120001001104000011014V -??? -=-----(注意常数项单位为mm ) 5.6 (1)P=3/2,(2)P=15.7 (1)P B =1.6,P C =2.1,P D =2.1,P E =1.6(2)P hCD =1.85.8 []? 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h=2P σ=0.32(mm) 5.9 1234561110009100110900101016V V V V V V-+=??--????[]045452TV mm =---[]? 1.576 2.219 3.7950.867 2.443 1.352T h m =--- 5.10 (1)1?10.3556h m = 215.0028h m = 3?20.3556h m = 414.5008h m =5? 4.6472h m = 6? 5.8548h m = 7?10.5020h m = (2)±2.2mm。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
式中常数项为:
wa a1 L1 a2 L2 an Ln a0 wb b1 L1 b2 L2 bn Ln b0 wr r1 L1 r2 L2 rn Ln r0
§5.1 条件平差原理
ˆ ˆ H h ˆH C A 1
一般地,设平差值函数为:
§5.3 精度评定
—— 称为权函数式! 其矩阵形式为:
§5.3 精度评定
§5.3 精度评定
1 1 1 0 0 0 A 0 0 0 1 1 1
§5.3 精度评定
例(补)已知:
ˆ 和 求:L ˆ ˆ
PC
1.求观测量的平差值:
§5.2 条件方程
1.以角度改正数表示的图形条件方程 ˆ ˆ ˆ 360 0 1 2 3
ˆ ˆ ˆ 0 1 2 3
v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3
v1 v2 v3 w பைடு நூலகம் 0
w 1 2 3 360
①列立条件方程式
PE
ˆ L 573216 1 ˆ 73 0308 L2 1 1 1 1 ˆ 360 0 W AL A0 [1 1 1 1]12651 28 360 12 L 3 ②组成并解算法方程 102 3 3 2 0 ˆ L4
2.解决问题的基本思想 根据 i2 02Qii 知:
2 要计算平差值函数的中误差,首先要求出 0 ;
最后,根据Q ˆ ˆ 求得平差值函数的中误差 ˆ。
然后,根据协因数传播律求出平差值函数 ˆ 的协因数 Qˆˆ ;
§5.3 精度评定
如在例5-2中,为求C点平差高程可建立如下平差值函数式:
ˆ L
Q-QATNaa-1AQ 0
K
V
-Naa-1AQ
-QVV Q-QATNaa-1AQ
-I
-QAT 0
Naa-1
QATNaa-1 0
Naa-1AQ
QAT Naa-1AQ 0
0
0 Q- QVV
ˆ L
备注
(Naa=AQAT)
§5.3 精度评定
三、平差值函数的中误差 1.问题的提出
水准网中的观测值是高差 — 平差求得的是观测高差的平差值。 但是,水准网平差后要求得到的是各待定点的平差高程。 测角网中的观测值是角度 —平差求得的是观测角度的平差值。 但是,测角网平差后要求得到的是各待定点的坐标、边长和方位角等。 而点的平差高程、坐标、边长和方位角等都是观测量平差值的函数。 那么如何计算平差值函数的中误差呢?
三、以坐标为观测值的条件方程
1.直角与直线型的的条件方程
则有:
§5.2 条件方程
将其代入
2.距离型的条件方程 条件方程: 线性化: 常数项:
§5.3 精度评定
2 2 1 随机模型: ˆ0 ˆ0 D Q P 一、单位权方差的估值公式
— r为自由度(也是多余观测数)
二、协因数阵的计算
令:
§5.2 条件方程
3.以边长改正数表示的图形条件方程(以图5-8为例)
h2 v3 (vS 4 cos ABDv S1 cos ADBv S3 ) h3 代入下式即可:
v 2
ha v1 (vS5 cos ABCvS1 cos ACBvS 2 ) h1
L1 573216 L 73 03 08 L 2 L3 126 51 28 L 102 3 3 2 0 4
PA 38 2321
ˆ L ˆ L ˆ L ˆ 360 0 L 1 2 3 4
r1
上述方程可表示为:
ˆA 0 AL 0
将对V求一阶导数,并令其为 零,得:
d 2V T P 2 K T A 0 dV
即: V T P K T A
或:
1 T
P V A K
T T
PV AT K
V P A K QA K
T
§5.1 条件平差原理
1.基础方程
AV W 0
— 条件方程(r个)
V P 1 AT K QAT K — 改正数方程(n个)
2.法方程
将基础方程中的第一式 代入第二式,得:
AQAT K W 0
令:
Naa AQAT
N aa K W 0
解得:
— 法方程(r个)
K N 1W
V P 1 AT K QAT K
第五章 条件平差
§5.0 概 述
§5.1 条件平差原理
§5.2 条件方程 §5.3 精度评定 §5.4 条件平差公式汇编 和水准网平差示例(自学)
结束
§5.0 概 述
通过第四章的学习,我们知道条件平差的数学模型如下: ˆ A 0 AL 0 rn n1 r1 r1 函数模型 AV W 0 条件方程 条件平差
几 何 模 型
三角形
大地四边形 中点多边形
多 余
条 件 方 程 数
观 测 图形条件 圆周条件 极条件
1
4
1
3
0
0 1
0
1 1
n
n
§5.2 条件方程
二、测边网条件方程
几 何 模 型 三角形 大地四边形 中点多边形 多 余 观 测 0 1 1 条 件 方 程 数
(图 形 条 件)
0 1 1
列立测边网图形条件基本思想: 第一步:根据边长求出网中内角,列出角度间应满足的条件; 第二步:建立边长改正数与角度改正数的关系式; 第三步:以边长改正数代替角度改正数即可。
令:
a1 b A 1 rn r1 a2 an b 2 bn r2 rn
wa w W b r1 wr
a0 b A0 0 r1 r0
ˆ L 1 ˆ ˆ L2 L n1 ˆ Ln
§5.1 条件平差原理
三、例题
解:n 3,t 2,r n t 1
ˆ L V L i i i
§5.1 条件平差原理
§5.1 条件平差原理
解:n 4,t 2,r n t 2
§5.1 条件平差原理
解:n 4,t 2,r n t 2
§5.1 条件平差原理
V1 V V 2 n1 Vn
(W AL A0 ) AV W 0 为使V T PV min,按求条件极值的拉格朗 日乘数法,构成新函数 : V T PV 2K T ( AV W ) T K [ k k k ] 式中: a b r — 称为联系数向量
ˆ L V 最后求的观测量的平差 值: L
§5.1 条件平差原理
二、按条件平差求平差值的计算步骤
1.根据平差问题的具体情况,列出条件方程式,条 件方程的个数等于多余观测数r。
2.根据条件式的系数,闭合差及观测值的协因数阵 组成法方程式,法方程的个数等于多余观测数r。 3.解算法方程,求出联系数K值。 4.将K值代入改正数方程式,求出V值,并求出平差 ˆ L V 。 值 L 5.为了检查平差计算的正确性,常用平差值 列出平差值条件方程式,看其是否满足方程。 重新
§5.2 条件方程
一、测角网条件方程
图形条件不只列
三个,但独立的
只有三个!
圆周条件只有一个!
§5.2 条件方程
各边均与D有关,即以D为极,故称为极条件。
在中点多边形测角网中,ai、bi、ci 通常按顺时针编号,且ci以 中点为顶点,称为圆周角或间隔角;ai 称为求距角;bi 称为传 距角。这样,在列极条件时规律性很强!
§5.2 条件方程
★极条件的线性化:
§5.2 条件方程
解:n 9,t 4,r n t 5 三个图形条件: 一个圆周条件:
一个极条件:
§5.2 条件方程
解:n 8,t 4,r n t 4
三个图形条件:
一个极条件:
§5.2 条件方程
测角网条件方程小结(独立网):
数学模型
(W AL A0 )
随机模型 平差准则
2 2 D 0 Q 0 P 1 nn nn nn
V T PV min
条件平差就是要求在满足r个条件方程条件下,求 函数 VTPV = min的V 值,在数学中就是求函数的 条件极值问题。
§5.1 条件平差原理
ˆ a L ˆ a L ˆ a 0 a1 L 1 2 2 n n 0 ˆ b L ˆ b L ˆ b 0 b1 L 1 2 2 n n 0 设有r个平差值线性条件方程 : ˆ r L ˆ r L ˆ r 0 r 1L 1 2 2 n n 0
一、基础方程及其解
a1v1 a2 v2 an vn wa 0 ˆ L V 代入上式,可得: b1v1 b2 v2 bn vn wb 0 将L i i i r1v1 r2 v2 rn vn wr 0
(vS6 cos ACDvS 2 cos ADCvS3 )
v A
(vS a cos CvSb cos Bv Sc )
C
B
A
v1 v2 v3 w 0
其中: w 1 2 3
1、 2、3可由余弦定理求得。
§5.2 条件方程
2.角度改正数与边长改正数的关系式 微分得: 2Sa dSa (2Sb 2Sc cos A)dSb (2Sc 2Sb cos A)dSc 2Sb Sc sin AdA