高考数学第1轮总复习 10.3排列数、组合数公式课件 文(广西专)

17 - n 2n
3
2
又n∈N*，故n=6.
所以原式=
C 18 19
C 17 18
C 16 17
C 11 12
= C119 C118 C117 C112
=19 18 17 12
=124 .
题型2 解排列数、组合数方程
2. 解下列方程：
(1) 3Cxx--37 5Ax2-4；
(2) C n n 3 1C n n -1 1C n n-2C n n 1.
( x 1) x( x -1) ( x - m 2) m!
C
. m
x 1
故②能推广.
1. 公式的应用体现为三种形式，即正向应 用、逆向应用和变式应用，其中变式应用是较 难掌握的，它要根据实际问题的需要进行变式， 如利用组合数性质的变式： Cnm-1Cnm1求-C 和nm.
2. 对含排列数、组合数的代数式的计算， 要注意利用阶乘的性质、组合数性质和提取公 因式等手段简化运算过程.
5.规定0!＝⑥__1___；C
0 m
=⑦__1___.
6.n(n-1)!=⑧__n_!__.
盘点指南：①n(n-1)(n-2)…2·1;
n!
②(n - m )! ; ③ n! ;
m !(n - m )!
④ Cnm Cnn-m;
⑤ CnmCnm-1Cnm1; ⑥1;
⑦1;
⑧n!.
若n∈N*，且n<10，则(10-n)(11-
C70C7 1 C77=27=128(个).
参考题
题型 证明排列数、组合数恒等式 1. 证明下列等式：
(1) AnmmAnm-1Anm 1 ；
(2) m n-m 1Cnm1n-m m1Cnm-1.
证明：(1)证法1：
A
m n
m
A
m n
-1
(n
n! -m
)!
m
(n
n! -m
1)!
n !(n - m 1) m n !
第十章
排列、组合、二 项式定理和概率
10.3 排列数、组合数公式
考点 搜索
●排列数、组合数基本公式，阶乘的 计算公式
●组合数的两个基本性质
高考 猜想
以函数、方程、不等式及实际问题为 背景，考查排列数、组合数公式的应 用.
1. n的阶乘n!=①__n_(n_-_1_)_(n__-2_)_…__2_·_1_.
其中含有元素a1的排列数
为 Am 1Anm-1mAnm-1；不含有元素a1的
排列数为
A
m n
.
由分类计数原理，
得 AnmmAnm-1Anm 1.
(2)因为
mn-m1Cnm1
m1 n-m
n! (m1)!(n-
m-1)!
n! m!(n-m)!
Cnm
，
n-m m1Cnm-1
n-m1 m
n! (m-1)!(n-m1)!
解：(1)方程可化为 3 (x-3)! 5(x-4)! ，
即 3(x -3)
5
(x-7)!4! (x-6)!
，所以(x-3)(x-6)=40，
4! x -6
即x2-9x-22=0，所以x=11或x=-2(舍去).
经检验，x=11是原方程的解.
(2)方程可化为C n 2 3C n 2 1 C n 2 C n 1 1(n2 )，
A. 8
B. 5
C. 3
D. 0
解：A
1 1
=1，A
2 2
=2，A
3 3
=6，A
4 4
=24，
而
A
5 5
，A
6 6
，…，
A
1 1
0 0
0 0
的个位数字均为0，
从而S的个位数字是3.
组合数 C
r n
(n＞r≥1，n、r∈Z)恒等于
( D)
A. nr11Cnr--11
B. (n1)(r1)Cnr--11
3.排列数、组合数公式都有两种形式， 对含字母的排列数、组合数的运算，一般 用阶乘的形式运算较方便.
4. 对解含排列数、组合数的方程和不 等式，应先利用相关公式将方程和不等式 化归为常规问题，但必须注意字母的取值 范围，防止增根.
(25- x)(24- x)(x-2)(x-3)
即 23-xx-1
，
4 x 22
由此解得，4≤x＜12(x∈N*).所以 原不等式的解集是｛x|4≤x＜12， x∈N*｝.
点评：解排列式、组合式型的不 等式有两个关键之处：一是先转化为 常规的不等式，二是符合公式意义的 自然数解.
求集拓合展M共练有习多设少集个合子M 集？{n|C 1n3-C 1n4C 2n5,nN*}，
所以n=8或n=-7(舍去).
故参观团有男人10人，女人8人.
题型3 解排列数、组合数不等式
3. 解下列不等式:
(1)
A9x
6
Ax-2 6
;
(2) C2x1-4C2x1-2C2x1-1.
解：(1)原不等式可化为
9! 6 (9- x)!
(86-！x)！，即
9
9
8 -
x
7
6
，
得-75＜x＜9.
又1≤x-2≤6，故3≤x≤8，x∈N*.
(n - m 1)!
(n - m 1)!
n ! (n - m 1) m
(n - m 1)!
n !(n 1) (n 1)! (n - m 1)! (n 1 - m )!
Am n 1
证法2：从a1，a2，…，an+1这n+1 个不同元素中任取m个元素作排列，共
有A
m n
1
个排列.
拓展练习 某参观团共18人，从中选
出2人担任联络工作，要求选出的2人 中至少要有一个男人，而其中有2个老 年男人不能入选，已知符合要求的选 法共有92种，求该参观团男女成员各 多少人？
解：设参观团有女人n个，则男人 有18-n个，且0＜n＜15，n∈N*.
由已知
，
所以n(C 16n 1-C n1 1)6+-n1 (C 11 62 6--n n )(1952-n)=92， 即n2-n-56=0，2
即C n 22C n 12C n 22C n 2，所以
C1 n2
Cn2，
即 n 2 n(n-1) ，所以n2-3n-4=0.
2
所以n=4或n=-1(舍去).
故n=4是原方程的解.
点评：解排列数、组合数方程时，一般先 把排列式、组合式化成全排式(阶乘式)，然后 约去一些公共因式，得到基本方程，最后求得 的解需符合排列式、组合式的意义.
所以原式 (1- 21！)(21！- 31!)
n1!-
1 (n1)!
1- 1 .
(n1)!
(2)原式
m!1
(m 1)! m!
(m 2)! m!2!
(m n)! m!n!
m!(Cm0 1
C1 m1
C2 m2
Cmnn )
m !(Cmm21
Cm m2
Cmnn )
m !(Cmmn1
Cm mn
)
m
C. nrCnr--11
D. nn r
C r -1 n -1
C
r n
.
题型1 排列数、组合数的四则运算 1. 计算下列各式的值：
(解1)：AA(85961-)原AA 9584式;=(24 )4CA A8149 95080 -A1A 3A 09 1C5 84190 70 5 3.A A8 95 43 5A 98A 484257 .
(2)原式＝C1200C1300
C3 101
11.
点评：排列数A、1301组合C 数130公1· 3式3的! 化6简与运
算，
就是公式的顺用、逆用和变用的结合.
拓展练习计算：C 1 3 3 n n C 1 3 2 n -1 n C 1 3 1 n -n 2 C 2 1 7 n -n.
解：据题意，3n 1 3 n ，所以 17 n 13 .
解：不等式可化为
6
-
24
n(n-1)(n-2) n(n-1)(n-2)(n-3)
240
(n 5)
n(n -1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)
，
即1- 4 40
，
n-3 (n-3)(n-4)
化简得n2-11n-12＜0，解得-1＜n＜12. 因为n≥5，且n∈N*， 所以M={5，6，7，8，9，10，11}， 从而其子集的个数为
所以原不等式的解集是{3，4，5，6，7，8}.
(2)原不等式可化为 (2 5-x 2 )！ 1 (!x-4 )！ (2 3-x 2 )1 !(!x-2 )!(2 2-x 2 )！ 1 ！ (x-1 )！ ，
1
1
即 (25 - x)(24 - x) (x - 2)(x - 3) ，
1 1
23- x x -1
m是正整数)的情形？若能推广，则写出推
广的形式并给出证明；若不能，则说明理
由.
解：(1) (2)性质
C ①-38不-能8推(-9 广3)!. (-10)-120.
例如取x=
2
时，C 1 2
有定义，但 C
2 -1 2
无意义.
性质②能推广，其推广形式是
CxmCxm-1Cxm1 (x∈R，m是正整数).
n!
234...组CA nnm合m ==数n(AA n的nmmm-1两)=(个n③-2性_)_…质m__(!(是n_nn-_-!m:_m④_+) !_1_C_)_=.n_m②____C__(_nn_n_-_-m__m_;)_! _.