【精准解析】湖南师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
湖南省师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
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2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_18
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
湖南湖南师范大学附属中学高一数学上册期末试题
湖南湖南师范大学附属中学高一数学上册期末试题一、选择题1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞ D ．[3,2)(2,)-⋃+∞3．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同； ⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．如果角α的终边过点(1,，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．5．对于,a b ∈R ，定义运算“⊗”：22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≤⊗=⎨->⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊗-，且关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根123,x x x ,，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)6．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：小时）的变化关系为220()t aC t t b+=+（,a b 为常数，0t ≥），当0t =时池水中药品的浓度为0mg /L ，当1t =小时池水中药品的浓度为4mg /L ，则池水中药品达到最大浓度需要（ ）A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时7．设函数()21lg 111x x f x x x -=-++-，()()1212g x f x f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭B ．3111,,4224⎡⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1130,,224⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦8．设函数()4sin2xf x π=，若存在实数12,,,n x x x ，满足当12n x x x <<<时，()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，则正整数n 的最小值为（ ）A ．505B ．506C ．507D ．508二、填空题9．下列说法正确的是（ ）A ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -=，则()f x 是偶函数B ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -≠，则()f x 不是偶函数C ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上是增函数D ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上不是减函数 10．（多选）下列命题中正确的是（ ）A ．已知a 、b 是实数，则“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件B ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若45A =，14a =，16b =，则ABC 有两解C ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若cos cos a A b B =，则ABC 为直角三角形D ．已知A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，()()1tan 1tan 2A B ++=，则4A B π+=11．已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列叙述正确的是（ ）A ．3πϕ=-B ．当[]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增C ．当[]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为33D ．当100t =时，6PA =三、多选题13．若命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.14．关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，则k 的值为__________.15．已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________.16．已知函数4,02,()3, 2.2x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根1x ，2x ，且满足124x x <，则实数a 的取值范围为______.四、解答题17．已知全集为R ，集合6|03x A x x -⎧⎫=∈>⎨⎬+⎩⎭R ，{}2|2(10)50B x x a x a =∈-++≤R . （1）若B A ⊆R，求实数a 的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B A ⊆R的什么条件（充分必要性）.①[7,12)a ∈-；②(7,12]a ∈-；③(6,12]a ∈.18．已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0ϕπ<<，0>ω）图象的一条对称轴方程为12x π=，且()f x 相邻的两个零点间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式； （2）求方程()34f x =在区间[]0,2π内的所有实数根之和. 19．已知函数()2,bf x x c x=++其中,b c 为常数且满足()()14,2 5.f f == （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在区间(0，1)上是减函数.20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米（04t <<）；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高（点O 到BC 边的距离）为f t .（1）求函数f t 的解析式；（2）要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（3）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？22．已知二次函数()()22033b af x ax bx a -=++≠.（1）a 、b 为整数且3b a =+，若函数()f x 在区间()1,1-上单调递增. ①求a 、b 的值； ②函数()23g x x k =+，已知在区间()1,1-上函数()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数k 的取值范围；（2）函数()f x 在区间[]1,0-上是否存在零点，请证明你的结论.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】直接根据补集的概念进行运算可得解. 【详解】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA{|12}x x -≤≤.故选：B2．C 【分析】根据函数解析式，列不等式组3020x x +≥⎧⎨+≠⎩求解即可.【详解】根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C. 3．A 【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4．C 【分析】利用三角函数的定义，直接求解. 【详解】点()1,3-到原点的距离()22312r =-+=，由定义知3sin 2y r α==-. 故选：C 5．A 【分析】由题设写出()f x 的解析式，222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，再结合函数图像可知231x x +=，再求出1x 的范围，即可求得结果.【详解】由题设知22(21)(21)(1),211()(21)(1)(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x x x ⎧-----≤-=-⊗-=⎨----->-⎩ 化简整理得：222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，画出函数的图像，如下图由1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设1230x x x <<<，则23x x ,是2x x t -+=的两个根，关于12x =对称，故231x x +=，下面求1x 的范围：211120x x t x ⎧-=⎨<⎩，解得：1x =10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()181,3t ∴+∈，()11∴，故1x ⎫∈⎪⎪⎝⎭所以123x x x ⎫∈⎝++⎪⎪⎭故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. 6．A 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明4,0y t t t=+>的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得02041a ba b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0,4a b ==当0t =时，(0)0C =，当0t >时，22020()44t C t t t t==++令4,0y t t t=+>任取()12,0,t t ∈+∞，且12t t <，则()()121212121212444t t t t y y t t t t t t --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭ 当2t ≥时，12120,4t t t t -<>，即12y y <；当02t <<时，12120,4t t t t -<<，即12y y > 则函数4,0y t t t=+>在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，即min 4224t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即当2t =时，max ()(2)5C t C == 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数4,0y t t t=+>的单调性进而得出其最小值.7．D 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数进行化简，结合函数的单调性得到关于x 的不等式，再求出x 的范围. 【详解】 由101xx->+，且110x +-≠，得11x -<<，且0x ≠， 故函数的定义域为()()1,00,1-⋃，故函数()2112lg lg lg 111111x x x f x x x x x x x --⎛⎫=-=-=-+- ⎪++-++⎝⎭， 在1,0和0,1单调递减，由()()12102g x f x f ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭得，()1212f x f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以112112x -<-≤<且210x -≠， 解得102x <<或1324x <≤， 故选：D. 8．C 【分析】根据正弦函数的性质，确定()4sin2xf x π=的最值，根据题中条件，得到()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，即可求解.【详解】 因为()[]4sin0,42xf x π=∈，即()min 0f x =，()max 4f x =，所以()()124f x f x -≤，当()1f x 与()2f x 一个等于0，另一个为4时，()()12f x f x -取得最大值4；为使满足()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=的正整数n 最小，只需()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，而505420202021⨯=<，所以至少需506个()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈，才能使()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，此时1506n -=，即507n =. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定()f x 的最大值，得到()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈中有505项取得最大值4时，即可求解.二、填空题9．BD 【分析】取函数()()21f x x x =-，可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；取函数()2f x x x =+，可判断C 选项的正误；利用反证法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取函数()()21f x x x =-，则()()110f f -==，函数()f x 的定义域为R ，()()()21f x x x f x -=--=-，此时，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，必有()()f x f x -=， 因为()()11f f -≠，所以，()f x 不是偶函数，B 选项正确；对于C 选项，取函数()2f x x x =+，则()10f -=，()12f =，()()11f f -<， 但函数()2f x x x =+在R 上不单调，C 选项错误；对于D 选项，假设函数()f x 是定义在R 上的减函数，则()()11f f ->，这与题设矛盾， 假设不成立，所以，函数()f x 在R 上不是减函数，D 选项正确. 故选：BD. 10．ABD 【分析】求出1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、33log log a b >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义可判断A 选项的正误；比较sin b A 、a 、b 的大小关系，可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用两角和的正切公式可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>，所以，3311log log 33aba b ⎛⎫⎛⎫<⇒>/ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，充分性不成立.必要性：由1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>，所以，3311log log 33ab a b ⎛⎫⎛⎫<⇐> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立.因此，“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，sin 16sin 4582b A ==，所以，sin b A a b <<，如下图所示：所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，cos cos a A b B =，可得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅， 整理得2242240a c a b c b --+=，即()()222220a b c a b ---=，a b ∴=或222+=a b c ，因此，ABC 为等腰或直角三角形，C 选项错误； 对于D 选项，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，可得()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，由于()()1tan 1tan 2A B ++=可得tan tan tan tan 10A B A B ++-=，即()()()tan 1tan tan 1tan tan 0A B A B A B +---=，即()()tan 11tan tan 0A B A B +-⋅-=⎡⎤⎣⎦， 由于A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，则tan tan 1A B ≠，所以，()tan 1A B +=，02A π<<，02B π<<，0A B π∴<+<，可得4A B π+=，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 的范围对三角函数值的影响．11．BD 【分析】举反例可判断选项A 、C 不正确，由不等式的性质可判断选项B 、D 正确，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：举反例：3a =-，4b =-，0c ，2d =-满足,a b c d >>，但ac bd <， 故选项A 不正确；对于选项B ：因为22ac bc >，则20c >，所以 a b >，故选项B 正确；对于选项C ：因为2a =，1b =，1c =-，满足0a b >>，但()0a b c -<，故选项C 不正确；对于选项D ：因为c d >，所以d c ->-，因为a b >，所以a d b c ->-，故选项D 正确， 故选：BD. 12．AD 【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论. 【详解】由题意，R 6，T ＝120＝2πω，∴ω＝60π，当t ＝0时，y ＝f (t )＝-代入可得-6sin φ，∵2πϕ<，∴φ＝－3π.故A 正确； 所以()6sin()603f t t ππ=-，当[]0,60t ∈时，260333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，所以函数()y f t =在[]0,60不是单调递增的，故B 不正确；因为260333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，max 66y ==，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 不正确；当100t =时，46033t πππ-=，此时y =-(3,P --，()336PA =--=，故D 正确， 故选：AD ． 【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.三、多选题13．{1a a <-或}3a > 【分析】根据存在命题的定义，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”等价于200(1)10x a x +-+=有两个不等实数根，所以2(1)40a ∆=-->，即2230a a -->，解得1a <-或3a >.故答案为：{1a a <-或}3a >. 14．2 【分析】由题意转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，求导得()'cos 10f x x =+≥，从而()f x 在R 上递增，且()20f <，502f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得结果. 【详解】由题意得，关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点， ()'cos 10f x x =+≥，()f x ∴在R 上递增，由()2sin 223sin 210f =+-=-<，且5555511sin 3sin302226222f π⎛⎫=+->+-=-= ⎪⎝⎭， 由函数的零点存在定理可得()f x 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，又因为方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，所以2k =.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：方程sin 30x x +-=的解转化为函数()sin 3f x x x =+-的零点问题，求导得()f x 的单调性，再结合函数的零点存在定理. 15．6 【分析】利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值． 【详解】∵0,0a b >>，∴211933(3)(3)(3)312ab a b a b a b a b a b =++=⋅++≤+++．(318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成立，故答案为：6． 【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到． 16．（4,5） 【分析】分别作出(),y f x y a ==的图像，有两个交点得4a >，由2114=,32x x a a x ++=找到1x ，2x 的关系，把124x x <转化为2112684x x -+<解出1x 的范围，从而确定a 的范围.【详解】分别作出(),y f x y a ==的图像，如图示，∴4a >；方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根1x ，2x 如图示，则有12x ≤， 且2114=,32x x a a x ++=， ∴21211148=3=262x x x x x x +++-，∴ ∴124x x <可化为2112684x x -+<解得：112x <<，∴()114=4,5a x x +∈ 即实数a 的取值范围为（4,5） 故答案为：（4,5） 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．四、解答题17．（1）612a -≤≤（2）选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是是充分不必要条件. 【分析】（1）解出集合A ，根据补集的定义求出A R，由B A ⊆R，得到关于a 的不等式，解得；（2）由（1）知B A ⊆R的充要条件为[6,12]a ∈-，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】解：（1）集合6|0(3)(6,)3x A x x -⎧⎫=∈>=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭R ， 所以[3,6]A =-R，集合{}2|2(10)50{|(2)(5)0}B x x a x a x x a x =∈-++≤=∈--≤R R ，若B A ⊆R，且5[3,6]A ∈=-R，只需362a-≤≤， 所以612a -≤≤. （2）由（1）可知B A ⊆R的充要条件是[6,12]a ∈-，选择①，[7,12)[6,12]-⊄-且[6,12][7,12)-⊄-，则结论是不充分不必要条件；选择②，[6,12]-(7,12]-，则结论是必要不充分条件； 选择③，(6,12][6,12]-，则结论是充分不必要条件.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.18．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）133π.【分析】（1）依题意可得T π=，即可求出ω，再根据函数的对称轴求出ϕ，即可求出函数解析式；（2）作出()y f x =与34y =的大致图象，根据函数的对称性计算可得； 【详解】 （1）()f x 相邻的两个零点间的距离2π，∴()f x 的最小正周期222T πππω==⨯=，∴2ω=.又函数()f x 图象的一条对称轴方程为2x π=，∴21262k πππϕπ⨯+-=+()k Z ∈，即2k πϕπ=+()k Z ∈，而0ϕπ<<，∴2ϕπ=. 故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()f x 的最小正周期为π，所以()f x 在[]0,2π内恰有2个周期. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，即函数的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 因为3342<，作出()y f x =与34y =的大致图象如图.由图可知两个图象在[]0,2π内有4个交点，横坐标依次为1x ，2x ，3x ，4x ， 且1x 与2x 关于712x π=对称，3x 与4x 关于1912x π=对称， 所以1276x x π+=，34196x x π+=， 故所有实数根之和为133π19．（1）()22f x x x=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）由f （1）4=，f （2）5=可列出关于b 和c 的方程组，解之即可；（2）根据函数单调性的定义，运用“五步法”：任取、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可．【详解】 （1）解：()()14,25f f ==，24,452bb c c ∴++=++= 解得2,0b c ==，()f x ∴的解析式为()22f x x x=+（2）证明：任取1201x x ， 则()()()()211212121212121222122221x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭121212101,?0,10x x x x x x <<<∴-<-< ()()120,f x f x ∴->即()()12f x f x >故函数()f x 在区间(0，1)上是减函数. 【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 20．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122xx y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x xt +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xxy =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）()()24043t t f t t -+=<<（2）3厘米（3）【分析】（1）先求出点D 的坐标，再求出AB 的长，从而得出函数f t 的解析式； （2）由二次函数的性质求解即可；（3）先得出窗户的高与BC 长的比值为121()(04)62g t t t t =+-<<，再结合基本不等式得出答案. 【详解】（1）因为抛物线方程为23x y =-，所以2,3D t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭又因为8242t AB DC t -===-，所以点O 到AD 的距离为23t 所以点O 到BC 的距离为243t t +-，即()()24043t t f t t -+=<<（2）因为()13122304t t -=⨯<=<-，所以当32t =时有最小值 2min33333132()44232424f t f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭==-+=-+=⎪⎝⎭此时32t =，32232BC t ==⨯=，故BC 应设计为3厘米（3）窗户的高与BC 长的比值为241213()(04)262t t g t t t t t -+==+-<<因为1211211262622t tt t +-⋅=，当且仅当26t t =，即t = 所以要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，2BC t == 【点睛】关键点睛：在解决第二问时，关键是利用二次函数的单调性求出该函数的最小值。
2019-2020学年湖南省高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|13}x x <„B ．{|11}x x -<„C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟2．（4分）函数()(1)f x lg x =+的定义域是( ) A ．[1-，2] B ．(1-，2]C ．(1，2]D ．(1,2)3．（4分）已知a =，b =c =，则( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（4分）函数5()()42x f x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1)5．（4分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//αβ，则//l β B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//αβ，则m α⊥6．（4分）若直线20x y ++被圆224x y +=截得的弦长为(m = )AB ．5C ．10D ．257．（4分）已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．40πD ．403π8．（4分）函数2(31),1()3,1a log x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++⎩„在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．3[2C ．D ．3(1,]29．（4分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆22:(3)(1C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( ) A ．9B ．14C ．18D ．2610．（4分）设1x ，2x ，3x 分别是方程3log 3x x +=，3log (2)x x +=-，4x e lnx =+的实根，则( ) A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为 ． 12．（4分）已知点(3,1)A ，(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ． 13．（4分）若幂函数222()(22)mmf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m = ．14．（4分）已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =．现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C = ．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程． 17．（8分）（1）求值0.5021()(3)16π-+-；（2）求值21log 5400222lg lg +-+．18．（8分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点(2,4)P 在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:(1)40l m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求m 的值． 19．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE ． （1）证明：AE PC ⊥． （2）求三棱锥P ADE -的体积．20．（10分）已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）函数25()3g x x =-，如果总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈，12()()f x g x …都成立，求实数a 的取值范围．。
湖南师大附中高一上学期数学期末试题及答案.doc
时量：120分钟满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）必考试卷Ⅰ一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（ ） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形. B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形. C ．正方形的直观图是正方形. D ．圆的直观图是圆 答案：Ｂ.2．已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为（ ） A ．y x =+2. B ．y x =-2 C ．y x =-+2 D ．y x =--2 答案：Ａ3．已知直线:(),l m x y -+-=11210:,l mx y -+=230 若l l ⊥12，则m 的值为（ ） A ．2. B ．-1 C ．-21或 D ．13答案：Ｃ4．已知一个棱长为3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（ ） ( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π 答案：Ｄ5．已知圆:C x y x y +++-=2212880与圆:C x y x y +---=2224420相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为（ ）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y --= 答案：Ｂ6．若a 、b 表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．,a b a b αα⊥⇒⊥∥ B ．a b a b αα⇒∥,∥∥ C ．a b a b αα⊂⇒∥,∥ D ．a a αβαβ⊥⊂⇒⊥,答案：A7．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A.π33B. π3C.π53D.π5答案：Ａ二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8. 若球的表面积为36π，则该球的体积等于 。
湖南师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析
湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期末考试一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}lg 1A x y x ==+,{}24xB x =>，则()A B =R（ )A. ()2,+∞B. (]1,2- C 。
()1,2- D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的性质以及指数函数的单调性求出集合A 、B,然后再利用集合的交补运算即可求解。
【详解】由题知()1,A =-+∞，()2,B =+∞,从而得到()(]1,2R A B =-. 故选：B 。
【点睛】本题考查了集合的交补运算,同时考查了对数型函数的定义域以及利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题。
2.已知扇形的弧长是4，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ) A 。
1 B 。
2 C 。
4 D 。
1或4【答案】C 【解析】因为扇形弧长为4,面积为2，所以扇形的半径为：12×4×r=2，解得：r=1，则扇形的圆心角的弧度数为41=4．故选C ．3。
已知ABC ∆中,5BC =,4AC =，6C π=，则BC CA ⋅=（ )【解析】 【分析】利用向量数量积的定义直接进行求解即可.【详解】5cos 6a BC CA b π⋅=⨯⨯542⎛=⨯⨯-=- ⎝⎭。
故选：B .【点睛】本题考查了向量的数量积，解题的关键是求出向量的夹角,属于基础题。
4。
在平面直角坐标系中，角β的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点)P a，若300β=︒，则a =（ ）A.1B. 3-C.13D 。
12【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义1cos 2β==即可求解。
【详解】由三角函数的定义得1cos 2β==,解得3a =±,从而3a =-。
故选：B .【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题的关键是确定终边所在的象限，属于基础题.5。
湖南师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试期末答案(数学)
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湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。
湖南师大附中2019年高一上数学期末试题及答案.doc
湖南师大附中 2019 年高一上数学期末试题及答案Ⅰ部分一、选择题：本大题共7 小题，每小题5 分，满分 35 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 、 已 知 过 点 A( 2, m) 和 B(m,4) 的 直 线 与 直 线 2x y1 0 平 行 ， 则 m 的 值 为（ A ）A ．8 B ． 0 C ． 2 D ． 102、过点 P( 1,3) 且垂直于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（ B ）A ． 2x y 5 0．B 2x y 1 0C ． x 2y 5 0D ． x 2y 7 03、下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ A）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm ，则球的表面积是（ B ） Ａ． 8 cm 2Ｂ． 12 cm 2Ｃ． 16 cm 2Ｄ． 20 cm 25、圆 x 2y 2 1上的点到点 M (3,4) 的距离的最小值是（B）A ． 1B．4C． 5D． 66、若 P(2, 1) 为圆 (x1) 2 y 2 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ D ）A. 2xy52xy3B.C. xy 1 0D. xy 3 07、把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 ,当以 A, B, C, D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为（ C ）A ． 90B ． 60C ． 45D ． 30二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、在空间直角坐标系中，点 A(1,1,3) 与点 B(1, 3,0) 的距离为 5 .9 、方程 x 2y 2xy m 0 表示一个圆，则m 的取值范围是( , 1) .210、如图，正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， AB 2 ，点 E 为 AD 的1 / 7中点，点 F 在CD上，若 EF // 平面 AB1C ，则线段 EF 的长度等于 2 ．11、直线ax y 1 0 恒经过定点P ，则 P 点的坐标为 (0,1)12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为48 3 .【第12 题图】【第 13 题图】13、如图，二面角 C EF G 的大小是60°，线段AB在平面EFGH上，B在 EF 上，AB 与EF所成的角为3 30°，则AB与平面CDEF所成的角的正弦值是4三．解答题：本大题共 3 小题，共35 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14、 (满分 11 分）某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位 cm）；（ 1）求出这个工件的体积；（ 2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米 1 元，现要制作10 个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.【解析】（ 1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为 3， .........................................2 分设圆锥高为 h ，则 h2 25 ........................4 分3 2则 V 1Sh 1 R2 h 1 4 5 4 5 (cm3 ) ...6 分3 3 3 3（ 2）圆锥的侧面积S1 Rl 6 ，......... 8 分则表面积 =侧面积 +底面积 = 6 4 10 （平方厘米）喷漆总费用 =10 10 100 314 元 ............... 11 分2 / 715、（ 分12 分）如 ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1 中，（1）求 ： AD 1 平面 CDA 1B 1;DC1（2 ）求直 AD 1 与直 BD 所成的角1【解析】 (1)在正方体中 AD 1A 1 D ，B 1又 A 1 B 1面 ADD 1 A 1 ，且 AD 1 面ADD 1 A 1 ,A 1AD 1 A 1 B 1 ,而 A 1D , A 1B 1 在平面 CDA 1B 1 内，且相交故 AD 1平面 CDA 1B 1 ； ...........................................6 分DC（2） 接 B 1 D 1, AB 1 ，因 BD 平行 B 1D 1 ， AD 1B 1 即 所求的角，B而三角形 AB 1D 1 正三角形，故AAD 1 B 1 60 ，直 AD 1 与直 BD 所成的角 60 .......................................12 分16、（ 分 12 分）已知 C x 2y 22x 4 y 3 =0（ 1）已知 不 原点 的直 l 与 C 相切，且在 x ， y 上的截距相等，求直 l 的方程；（ 2）求 原点且被 C 截得的 段 2 的直 方程。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_62
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合,,故.故选：C【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.2.命题“”的否定是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题判定即可.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题.3.函数的定义域为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数中真数大于0求解即可.【详解】由题,,即,解得或.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域,属于基础题.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.方程的解所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理判定即可.【详解】设，，根据零点存在性定理可知方程的解所在的区间是.故选：C【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.6.函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性与当时的正负判定即可.【详解】因为.故为奇函数,排除CD.又当时, ,排除B.故选：A【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数的正负解决,属于基础题.7.已知,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判断各式与0,1的大小即可.【详解】,,。
2019-2020师大附中高一上学期期末试卷(学生版)
西北师大附中2019-2020学年第一学期期末试卷高一数学一、选择题(本大题共12个小题,每小题有且只有一个正确答案,每小题5分,共60分)1.已知全集,U R =集合(){}{22log 2,1A x y x x B y y ==-+==+,则U A C B ⋂= ( )A. {}01x x <<B. {}0x x <C.{}2x x >D.{}12x x <<2.设l 为直线,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥B. //,////l l αβαβ⇒C. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥D. ,//l l αβαβ⊥⊥⇒ 3.已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直,则a =( )A.143B.52C.112D.34.设()102,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,则()()2f f -=( ) A.1- B.14 C.12 D.325.《九章算术》中队一些特殊的几何有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖騰（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中15,3,4AA AC AB BC =+==,则阳马111C ABB A -的外接球的面积是( )A.25πB.50πC.100πD.200π6.已知0x 是函数()112xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,且()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则( ) A.()()120,0f x f x << B.()()120,0f x f x >>C.()()120,0f x f x <>D.()()120,0f x f x ><7.设0.90.8 1.1log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.c a b <<8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 (单位：cm),则该几何体的体积为( )A.3120cmB.380cmC.3100cmD. 360cm9.过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点,则MN =( )A. B.8 C. D. 1010.若不等式()()1213lg 1lg33x xa x ++-≥-对于(),1x ∀∈-∞恒成立,则a 的取值范围为( )A.(],0-∞B.[)1,+∞C.(],1-∞D.[)0,+∞11.过点)引直线l 与曲线=y ,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )B. C.12.已知函数()()221,70,2ln ,-⎧+-≤≤==-⎨≤<⎩x x f x g x x x x e x e ,设a 为实数,若存在实数m ,使得()()20-=f m g a ,则a 的取值范围是( )A.[)1,+∞B.[]1,3-C.(][),13,-∞-+∞D.(],3-∞二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线AC 与1A D 所成角的大小为____________.14.已知线段PQ 两端点的坐标分别为()1,1P -和()2,2Q ,若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点,则实数m 的取值范围是__________.15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形,1PA =,且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为_________.16.已知圆()()222:34C x y r -+-=和两点()()4,0,4,0A B -,若圆C 上存在一点P ,使得90APB ∠=︒,则r =_________.三、解答题(本题共5小题,共70分.)17.直线420ax y +-=与250x y b -++=互相垂直,垂足为()1,.c(1)求a b c ++的值;(2)求过垂足与4370x y --=的平行的直线方程.18.函数()()2210g x ax ax b a=-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()() g xf xx=.(1)求,a b的值;(2)若不等式()220x xf k-⋅≥在[]1,1x∈-上有解,求实数k的取值范围.19.如图,ABC是边长为2的正三角形,AE⊥平面ABC,//,2CD AE AC CD A==.(1)求证:平面BDE⊥平面BCD;(2)求D点到平面BCE的距离.20.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线43290x y +-=相切,(1)求圆的方程;(2)若直线()500ax y a -+=>与圆交于,A B 两点,求实数a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a ,使得弦AB 的垂直平分线l 过点()2,4P -,若存在,求实 数a 的值;若不存在,请说明理由.21.已如函数()22,f x x a x x a R =-+∈.(1)若0a =,判断函数()y f x =的奇偶性,并加以证明(2)若函数()f x 在R 上是增函数,求实数的a 的取值范围；(3)若存在实数[]2,2a ∈-,使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根,求实数t 的取值范围.。
2019-2020学年湖南省高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则R ()A B =I ð( ) A ．}3|1{x x <„ B ．{|11}x x -<≤C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟【答案】A【解析】根据集合运算法则计算． 【详解】因为集合{10}{1|}|B x x x x =-<=<，所以R {|1}B x x =…ð， 所以R (){|13}A B x x ⋂=<„ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交补综合运算，掌握集合的运算法则是解题基础． 2．函数()lg(1)f x x =+的定义域是( )A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】B【解析】由420,10x x -≥+>可得． 【详解】由420,10,x x -⎧⎨+>⎩…得2,1,x x ⎧⎨>-⎩„所以(1,2]x ∈-.故选：B. 【点睛】本题考查求函数定义域．函数定义域是使函数式有意义的自变量的集合，特别要注意对数的真数大于0. 3．已知ln 2a =，b =c =( ) A ．b c a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】a 与0比较，b 与1比较，c 与0和1都比较一下．可得．因为ln10a =<<，103331b =>=，000.31c <=<=，所以a c b <<.故选：C. 【点睛】本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．注意不同底的幂、对数、不同类型的数可借助中间值如0，1比较大小．4．函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( ) A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()0,1【答案】A【解析】根据函数单调递增和()10f <,()20f >得到答案. 【详解】()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2 故选：A 【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且l αP ，m β⊥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若αβ∥，则l β∥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则l β∥ D ．若αβ∥，则m α⊥【答案】D【解析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择. 【详解】选项A,C 直线l 可能在β平面内，故不正确；选项B, 若αβ⊥，m β⊥，则，m αP 或m 在平面α内，而l αP ，故l 与m 可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D ：由 m β⊥， αβ∥，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m α⊥，故为正确.【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.6．若直线20x y +=被圆224x y +=截得的弦长为m =( ) A ．5 B ．10C ．15D ．25【答案】A【解析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理列式，从而可求得m ． 【详解】圆的圆心坐标为0,0（），半径2r =，由直线被圆截得的弦长为的距离为d ==5m =. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是用几何方法，即由垂径定理得垂直后由勾股定理求解．7．已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16π B ．20πC ．40πD ．42π【答案】C【解析】求出圆柱底面半径，然后可得球的半径，再求球表面积． 【详解】因为圆柱的底面圆的面积为9π，所以圆柱的底面圆的半径为3r =，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱高为2，所以该球的半径R =，则该球的表面积为2440R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是求出球半径．利用圆柱的轴截面是球大圆的内接矩形可得．8．函数2log (31),1()3,1a x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++≤⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B．32⎡⎢⎣C．D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由函数()f x 在R 上单调递增,可得不等式组13123log 4a a a >⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩,求解即可得解. 【详解】解：由函数2log (31),1()3,1a x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++≤⎩在R 上单调递增, 则13123log 4a a a>⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩,得312a <≤， 故选：D. 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.9．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P是圆223)1:((C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( )A ．9B ．14C ．26D ．28【答案】C【解析】设(,)P x y ，直接计算22||||AP BP +，再利用22xy +的几何意义可得．【详解】设O 为坐标原点，设(,)P x y ，圆C圆心为C ， 则()222222222||||(2)(2)282|8|AP BP x y x y x y PO +=+++-+=++=+，又222min||(||)(41)9PO OC r =-=-=，所以()22min||||18826AP BP +=+=.故选：C. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，利用几何意义求解是解题关键，本题还考查了点与圆的位置关系．属于中档题．10．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x +=ln 4x e x =+的实根,则( )A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x -<<；对于ln 4x e x =+,由4xy e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想二、填空题11．若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为__________. 【答案】1-【解析】由两直线平行的充要条件求解． 【详解】因为直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，所以523a -=-⨯，解得1a =-. 此时直线方程为3610x y -+=与直线220x y -+=平行． 故答案为：1- 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．解题时要注意如果只由,x y 的系数之间的关系求得参数值不一定保证两直线平行，还可能是重合的，因此需要进行检验．12．已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______. 【答案】()()22125x y -+-= 【解析】求出圆心坐标和半径可得． 【详解】因为圆心的坐标为()1,2，()()22231125R =-+-=，所以该圆的标准方程为()()22125x y -+-=.故答案为：()()22125x y -+-=． 【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题． 13．若幂函数()212()22mf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m =__________.【答案】1【解析】由幂函数定义求得m ，再由减函数确定最终m 取值． 【详解】由已知2221m m +-=，解得3m =-或1m =.当3m =-时，7()f x x =在(0,)+∞上为增函数，不符合题意; 当1m =时，1()f x x -=在(0,)+∞上为减函数，符合题意. 故答案为：1.本题考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性．属于基础题．14．已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为_____. 【答案】1010x y +-=【解析】两圆方程相减消去平方项即得公共弦所在直线方程． 【详解】将圆221:(2)(1)10C x y -+-=化为224250x y x y +---=，联立两圆方程22224250,66,x y x y x y x y ⎧+---=⎨++-=⎩两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为1010x y +-=. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查相交两圆公共弦所在直线话中，由两点确定一条直线可得两圆公共弦所在直线方程就是由两圆方程相减所得．15．如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.【答案】2【解析】由于折叠过程中DE 与AD 和BD 的垂直关系保持不变，因此可得DE ⊥平面1A BD ，结合平行的性质可得1CB BA ⊥，然后在直角三角形中可求得1A C .【详解】易知DE BD ⊥，1DE A D ⊥，1BD A D D =I ，所以DE ⊥平面1A BD ，因为160A DB ∠=︒，12A D BD ==，所以12A B =.又//BC DE ，所以BC ⊥平面1A BD ，所以1BC A B ⊥，从而2212222AC =+=. 故答案为：22本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三、解答题16．已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--. (1)求直线1l 的方程;(2)若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程. 【答案】(1)3460x y --=;(2)65x =-【解析】（1）由垂直可设1:340l x y m -+=，代入点的坐标可得； （2）求出交点坐标，可得垂直于x 的直线方程． 【详解】(1)由1l 与l 垂直，则可设1:340l x y m -+=，1l Q 过(2,3)--，3(2)4(3)0m ∴⨯--⨯-+=，解得6m =-，1:3460l x y ∴--=.(2)由431203460x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得65125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴1l 与l 的交点坐标为612,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又2l 垂直于x 轴，则直线2l 的方程为65x =-． 【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的关系，考查求直线交点坐标，属于基础题．在求垂直直线方程时可用待定系数法．17．(1)求值0.50116π-⎛⎫++ ⎪⎝⎭(2)求值21log 5lg 4002lg 22+-+.【答案】(1)8;(2)12【解析】（1）由幂的运算法则和根式的定义计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】(1)原式11134-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭413=++8=(2)原式lg400lg425=-+⨯400lg104=+210=+12= 【点睛】本题考查幂的运算法则和对数运算法则，掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础．18．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.【答案】（1）()22525x y -+=；（2）1m =-或73m =-【解析】（1）设出圆心坐标为(,0)a ，得圆标准方程()222x a y a -+=，利用P 在圆上求出参数a ；（2）求出圆心到直线的距离d ，然后通过勾股定理列式求得m ． 【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，则圆C 的方程可设为()222x a y a -+=.因为点()2,4P 在圆C 上，所以()22224a a -+=，解得5a =.故圆C 的方程为()22525x y -+=.（2）由（1）可知圆C 的圆心()5,0C ，半径=5r . 因为8AB =，所以圆心C 到直线l 的距离3d ===，即231070m m ++=，解得1m =-或73m =-. 【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长l =d 为弦心距）．19．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥. （2）求三棱锥P ADE -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）12534【解析】（1）由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAB ，即得BC AD ⊥，于是有AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥，得出PC ⊥平面ADE .最后得证线线垂直；（2）由（1）得PE 是三棱锥P ADE -的高，求出高和底面面积即可得体积． 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥. 又AB BC ⊥，PA AB A =I ， 所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， 所以AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥. 又DE PC ⊥，AD DE D ⋂=， 所以PC ⊥平面ADE .因为AE ⊂平面ADE ，所以AE PC ⊥.（2）解：由（1）知PE 是三棱锥P ADE -的高，所以13P ADE ADE V S PE -∆=⋅.由已知5AC PA ===， 又AB AP AD BP ⋅==122AE PE PC ===， 由（1）知AD ⊥平面PBC ，则AD DE ⊥，所以DE == 所以1122ADE S AD DE ∆=⋅==所以1112533234P ADE ADE V S PE -∆=⋅==. 【点睛】 本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．20．已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数. (1)证明:()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)函数25()3g x x =-，如果总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f x g x ∈…都成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞【解析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出()f x 和()g x 的最大值，由()f x 的最大值不小于()g x 的最大值可得a 的范围．【详解】（1）设120x x <<， 则11221222()()()()33x x x x f x f x e e e e ---=+-+1212211[()()]3x x x x e e e e=-+-1212122()(1)x x x x x x e e e e e e--=， ∵120x x <<，∴12x x e e <，121x x e e >，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f x g x ∈…都成立，即max max ()()f x g x ≥，25()3g x x =-的最大值为max 5()3g x =， 22()3x xe ef x -+=是偶函数，在(0,)+∞是增函数，∴当[,]x a a ∈-时，max 22()()3a a e e f x f a -+==， ∴22533a a e e -+≥，整理得22520a a e e -+≥，(2)(21)0a a e e --≥， ∵0a >，∴1a e >，即210a e ->，∴20a e -≥，∴ln 2a ≥．即a 的取值范围是[ln 2,)+∞．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为max max ()()f x g x ≥，如果把量词改为：对任意1x ，总存在2x ，使得12()()f x g x ≥成立，则等价于min min ()()f x g x ≥，如果把量词改为：对任意1x ，任意2x ，使得12()()f x g x ≥恒成立，则等价于min max ()()f x g x ≥，如果把量词改为：存在1x ，存在2x ，使得12()()f x g x ≥成立，则等价于max min ()()f x g x ≥.（12,x x 的范围均由题设确定）．。
精品解析：湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试化学试题(原卷版)
湖南师大附中2019-2020学年度高一第一学期期未考试化学时量：90分钟分值：100分可能用到的相对原子质量：H~1C~12O~16Na~23第I卷（选择题共42分）一、单项选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分）1.下列物质中，不属于．．．合金的是（）A.硬铝B.黄铜C.钢铁D.金2.下列叙述中，错误的是（）A.摩尔是物质的量的单位B.36g水中含氢原子数目为4N A（N A表示阿伏加德罗常数的值）C.在0.5molNa2SO4中，含有的Na+数约是6.02×1023D.等质量的O2与O3，所含氧原子数之比为3：23.下列物质属于电解质的是（）A.Ba(OH)2B.CuC.Cl2D.酒精4.节日燃放的烟花利用了“焰色反应”的原理。
下列说法中正确的是A.焰色反应属于化学变化B.NaCl与Na2CO3灼烧时火焰颜色相同C.某样品的焰色颜色为黄色，则该样品仅含有钠元素D.焰色反应时金属丝应用硫酸清洗并在外焰上灼烧至没有颜色，再蘸取样品灼烧5.下列有关离子方程式错误的是（）A.盐酸与氢氧化钡溶液反应：H++OH-=H2OB.碳酸钙与稀盐酸反应：CaCO3+2H+=Ca2++CO2↑+H2OC.铜粉与足量的稀硝酸反应：3Cu+8H++2NO3-=3Cu2++2NO↑+4H2OD.硫酸铝溶液与过量氢氧化钠溶液反应：Al3++3OH-=Al(OH)3↓6.某溶液中含有Na+、K+、HCO-3、SO2-3等离子。
向其中加入足量Na2O2后，溶液中离子浓度基本保持不变的是A.Na+B.SO2-3C.K+D.HCO-37.下列物质都具有漂白性，漂白原理与其它几种不同的是（）A.氯水B.SO2C.H2O2D.HClO8.高纯度晶体硅是良好的半导体材料，它的发现和使用引起了计算机的一场“革命”。
它可以按下列方法制备：SiO2Si(粗)SiHCl3Si(纯)下列说法不正确的是（）A.步骤③中氢气作还原剂B.硅和二氧化硅都能用作计算机“芯片”C.步骤①的化学方程式为：SiO2+2C Si+2CO↑D.步骤①②③中发生的反应都属于氧化还原反应9.已知三个氧化还原反应：a．2FeCl3+2KI=2FeCl2+2KCl+I2b．2FeCl2+Cl2=2FeCl3c．2KMnO4+16HCl=2KCl+2MnCl2+5Cl2↑+8H2O若某溶液中Cl¯、Fe2+和I¯共存，要想除去Fe2+和I¯而又不影响Cl¯，可加入的试剂是A.Cl2B.KMnO4C.FeCl3D.HCl10.只用一种试剂区别Na2SO4、MgCl2、Al2(SO4)3三种溶液，这种试剂是（）A.H2SO4B.Ba(OH)2C.NaOHD.AgNO311.下列实验能达到目的的是（）A B C D实验室制备Fe(OH)2实验室制氯气分离胶体和溶液油、水分离A.AB.BC.CD.D12.ClO2是一种新型水消毒剂，工业上用NaClO2与盐酸反应制备ClO2的反应为5NaClO2+4HCl(稀)=5NaCl+4ClO2↑+2H2O，下列说法正确的是（）A.反应中HCl作还原剂B.ClO2之所以能做水消毒剂，是利用了它的强氧化性C.反应中氧化产物与还原产物物质的量之比为4：5D.反应中每生成1molClO2转移4mol电子13.一块表面己被缓慢氧化的金属钠，其质量为10.8g，投入100g水中，收集到氢气0.2g。
湖南师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
中 附 大 师 南 湖
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2
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性以及函数值依次排除即可得出选项.
-4-
【详解】因为 y tan x 是奇函数,所以 f x 3 tan x 1 ( x 且 x 0 )是奇函
tan x 2
2
数,
因此 B,C 不正确,
又因为 f x 3 tan x 1 ( 0 x )时函数值为正,所以 A 不正确.
单调性解不等式，属于基础题.
2.已知扇形的弧长是 4，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 1 或 4
【答案】C
【解析】
因为扇形的弧长为 4，面积为 2，
1
所以扇形的半径为： ×4×r=2，解得：r=1，
2 4
则扇形的圆心角的弧度数为 =4．
1
故选 C．
3.已知
ABC
y1
log 1
2
x
和
y2
1 2
x
的图象,观
察函数图像的交点个数即可求解.
-5-
【详解】由
f
x
0 ,得
log 1
2
x
1 2
x
,作出函数
y1
log 1
2
x
和
y2
1 x 2
中,
BC
5
,
AC
4
,C
6
,则
BC CA
(
)
A. 10
B. 10 3
C. 10 3
D. 20
【答案】B
【解析】
-1-
【分析】
利用向量数量积的定义直接进行求解即可.
【详解】
uuur BC
uuur CA
a
b
cos
5
6
5 4
3 2
10
3.
故选：B.
【点睛】本题考查了向量的数量积，解题的关键是求出向量的夹角，属于基础题.
3 a2 2 故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题的关键是确定终边所在的象限，属于基础题.
5.要得到函数
y
sin
2x
3
的图象,只需将函数
y
sin
2
x
的图象(
)
A. 向左平移个单位 长度
3 C. 向左平移个单位 长度 6
【答案】C
B. 向右平移个单位 长度
3 D. 向左平移个单位 2 长度
3
【解析】
【分析】
利用三角函数图像的平移变换即可求解.
【详解】函数
y
sin
2x
3
sin
2
x
6
,
-2-
其图象可由 y sin 2x 的图象左移 个单位长度而得.
6 故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，平移的法则是相对于 x 平移且“左加右减”的
原则，属于基础题.
6.已知函数
f
x
log 3x ,
2
x
x, x 0
0,则ffFra bibliotek1 4
(
)
A. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
1
B.
9
C. 3
D. 1 9
利用分段函数求值先求出
f
1 4
2
，进而求
f
2 的值即可.
【详解】根据分段函数可得
f
1 4
2
,则
f
f
1 4
f
2
32
1
.
9
故选：B.
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
tan x
2
故选：D.
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，同时考查了排除法在选择题中的应用，属于基础
题.
10.已知 、 为锐角， sin 3 ， tan 1 ，则 tan ( )
5
3
13
A.
9
9
B.
13
C. 3
【答案】A
1
D.
3
【解析】
∵ sin 3 5
∵α为锐角∴ cos = 1-sin2 = 4 5
A. log3 0.993 log2 0.8
B. log2 0.8 log3 0.993
C. 0.993 log2 0.8 log3
D. log2 0.8 0.993 log3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值“ 0 ”、 “1”即可比较出大小.
∴
tan
=
sin cos
=
3 4
∴
tan
=
tan[(
)
]
tan( ) tan 1 tan( ) • tan
=
13 9
.
故选 A.
11.函数 f x 2x log 1 x 1 的零点个数为(
2
A. 0
B. 1
【答案】C
)
C. 2
D. 3
【解析】
【分析】
将函数零点个数转化为函数图像的交点个数，作出函数
4.在平面直角坐标系中,角 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有一点
P 3, a ,若 300 ,则 a ( )
A. 1
【答案】B
B. 3
1
C.
3
1
D.
2
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义 cos 3 1 即可求解. 3 a2 2
【详解】由三角函数的定义得 cos 3 1 ,解得 a 3,从而 a 3.
【详解】由 0 0.993 1, log3 1, log2 0.8 0 ,得 log2 0.8 0.993 log3 .
故选：D.
【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，属于基础题.
9.函数 f x 3 tan x 1 ( x 且 x 0 )的图象可能是( )
tan x 2
7.已知向量 a, b 满足 a 1 , b
3 ,且 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等,则
rr a b 等于( )
A. 2
B. 5
C. 4
D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
r
r
利用向量数量积的几何意义可得 a cos b cos ，进而求出向量的夹角，再利用向量数量
积求出向量的模即可.
C. 1, 2
D.
1,
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质以及指数函数的单调性求出集合 A、B，然后再利用集合的交补运算即可
求解.
【详解】由题知 A 1, , B 2, ,从而得到 AI ðR B 1, 2 .
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的交补运算，同时考查了对数型函数的定义域以及利用指数函数的
r
r
【详解】设两个向量的夹角为 ,则 a cos b cos ,
从而
cos
0
,
2
,所以
r a
r b
r2 r r r2 a 2a b b
42.
-3-
故选：A.
【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量的模，属于基础题.
8.三个数 0.993 , log3 , log2 0.8 的大小关系为( )
湖南师大附中 2019-2020 学年度高一第一学期期末考试
一､选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 A x y lg x 1 , B x 2x 4 ,则 A ðRB ( )
A. 2,
B. 1, 2