江苏省扬州市宝应中学高三数学上学期暑期检测试卷 文(

2015-2016学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）暑期检测数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，计70分）1．设集合A={2，5}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=__________．2．命题“∃x∈R，”的否定是__________．3．设a∈R，复数（i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为__________．4．已知角的终边经过点，则tanα=__________．5．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||=__________．6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若（b2+c2﹣a2）tanA=bc，则sinA__________．7．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行且不重合，则a的值是__________．8．如果函数y=3sin（2x+ϕ）（0＜ϕ＜π）的图象关于点（，0）中心对称，则ϕ=__________．9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=5，b=7，B=60°，则c=__________．10．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是__________．11．已知函数f（x）=x2﹣cosx，，则满足的x0的取值范围是__________．12．已知菱形ABCD中，对角线AC=，BD=1，P是AD边上的动点，则的最小值为__________．13．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN＜2，则k的取值范围是__________．14．已知圆C：x2+y2=1与x轴的两个交点分别为A，B（由左到右），P为C上的动点，l过点P且与C相切，过点A作l的垂线且与直线BP交于点M，则点M到直线x+2y﹣9=0的距离的最大值是__________．二、解答题（共6道题，计90分）15．（14分）已知向量，（1）求|；（2）求的值．16．（14分）△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．（1）若•=2S，求A的值；（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，且a2+b2＜c2求：（1）角C的大小；（2）的取值范围．18．过点P（﹣2，﹣1）作圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9的两条切线，切点分别为A，B，（1）求直线AB的方程；（2）求在经过点A，B的所有圆中，面积最小的圆的方程．19．（16分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD，设∠COB=θ．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．20．（16分）已知函数f（x）=mx﹣（m+2）lnx﹣，g（x）=x2+mx+1，其中m＜0．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x1、x2∈[1，2]，使得f（x1）﹣g（x2）≥1成立．求m的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）暑期检测数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，计70分）1．设集合A={2，5}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={2，5}，B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】此题考查了交集的及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∃x∈R，”的否定是．【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据已知的特称命题，结合特称命题的否定方法，即改变量词，又改变结论，可得答案．【解答】解：命题“∃x∈R，”的否定是：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题．3．设a∈R，复数（i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为﹣6．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0且虚部不为0得答案．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．已知角的终边经过点，则tanα=．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】根据角的终边经过点，可得x=2，y=4，再根据tan=，及两角和的正切函数公式计算求得结果．【解答】解：∵角的终边经过点，∴可得x=2，y=4，∴tan==2=，∴tanα=．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了两角和的正切函数公式的应用，属于基础题．5．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||=2．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由题意可得向量的模长，由夹角公式可得．【解答】解：向量与的夹角是120°，且满足，∴||==，又∵，∴||cos120°=﹣，解得||=2故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角，属基础题．6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若（b2+c2﹣a2）tanA=bc，则sinA．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinA的值即可．【解答】解：∵（b2+c2﹣a2）tanA=bc，b2+c2﹣a2=2bccosA，∴2bccosAtanA=bc，则sinA=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行且不重合，则a的值是﹣1．【考点】两条直线平行的判定．【分析】已知两条直线：l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0．l1∥l2⇔，根据直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0的方程，代入构造方程即可得到答案．【解答】解：若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则a（a﹣1）﹣2=0，即a2﹣a﹣2=0解得：a=2，或a=﹣1又∵a=2时，l1：x+y+3=0与l2：x+y+3=0重合故a=﹣1故答案为：﹣1【点评】两条直线：l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0．l1∥l2⇔或8．如果函数y=3sin（2x+ϕ）（0＜ϕ＜π）的图象关于点（，0）中心对称，则ϕ=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得3sin（+ϕ）=0，故有+ϕ=kπ，k∈z，再由0＜ϕ＜π 可得ϕ的值．【解答】解：如果函数y=3sin（2x+ϕ）（0＜ϕ＜π）的图象关于点（，0）中心对称，则有 3sin（+ϕ）=0，故有+ϕ=kπ，k∈z，再由0＜ϕ＜π 可得ϕ=，故答案为．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+ϕ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象求解析式，属于中档题．9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=5，b=7，B=60°，则c=8．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】直接利用余弦定理，求出c的表达式，求出c的值即可．【解答】解：因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=5，b=7，B=60°，由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB．所以 49=25+c2﹣10ccos60°．c2﹣5c﹣24=0解得c=8或c=﹣3（舍去）．故答案为：8．【点评】本题既可使用正弦定理解决，也可使用余弦定理解决，使用正弦定理时要让学生考虑如何对所解得的答案进行取舍，使用余弦定理解决后要让学生细心体会方程思想的灵活应用．10．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】先求出f（1）的值，再利用分段函数解不等式即可．【解答】解：∵f（1）=3当x＜0时，令x+6＞3有x＞﹣3，又∵x＜0，∴﹣3＜x＜0，当x≥0时，令x2﹣4x+6＞3，∴x＞3或x＜1，∵x≥0，∴x＞3或0≤x＜1，综上不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}；故答案为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．【点评】本题主要考查分段函数的应用和不等式的求法．属中档题．注意：函数的定义域．11．已知函数f（x）=x2﹣cosx，，则满足的x0的取值范围是（﹣，）．【考点】余弦函数的奇偶性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数的图象特征，余弦函数的奇偶性和单调性，数形结合求得结论．【解答】解：函数f（x）=x2﹣cosx，为偶函数，则且函数在[0，]上单调递增，如图所示：结合图象可得满足的x0的取值范围是，故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查函数的图象特征，余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．12．已知菱形ABCD中，对角线AC=，BD=1，P是AD边上的动点，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】分别以对角线BD，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，设P（x，y），由可得，代入=（）==根据二次函数的性质可求【解答】解：分别以对角线BD，AC为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系∵AC=，BD=1，AC⊥BD∴A（0，﹣），B（﹣，0），C（0，），D（，0），∵P是AD边上的动点，设P（x，y），，∵∴∵，∴=（）==根据二次函数的性质可知，当x=时，值最小为故答案为：【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于基础试题13．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN＜2，则k的取值范围是{k|k≤﹣，k≥0}．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】设圆心到直线y=kx+3的距离为d，求得d=，利用勾股定理，结合|MN|≤2，即可求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，则d=，由于=4﹣d2，且MN＜2，求得d≥1，即≥1，求得k≤﹣，k≥0，即k的取值范围是{k|k≤﹣，k≥0}，故答案为：{k|k≤﹣，k≥0}．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．14．已知圆C：x2+y2=1与x轴的两个交点分别为A，B（由左到右），P为C上的动点，l过点P且与C相切，过点A作l的垂线且与直线BP交于点M，则点M到直线x+2y﹣9=0的距离的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先利用交轨法求出M的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，再利用圆心到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：设P（a，b），则l的方程为ax+by=1，∴AM的方程为bx﹣ay+b=0，BP的方程为bx﹣（a﹣1）y﹣b=0，联立，可得M（2a﹣1，2b），即x=2a﹣1，y=2b，∴a=，b=，∵a2+b2=1，∴（x+1）2+y2=4，即M的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，圆心到直线x+2y﹣9=0的距离d==2，∴点M到直线x+2y﹣9=0的距离的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查轨迹方程，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（共6道题，计90分）15．（14分）已知向量，（1）求|；（2）求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）先求出sin（α+）的值，得到α+的范围，求出﹣2=（﹣2，10），从而求出它的模；（2）先求出cos（2α+）的值，从而求出的值即可．【解答】解：（1）因为⊥，所以，…解得，又因为…∴＜α+＜+=，而∴… （注：不交待些范围的，要扣2分）∴，…所以﹣2=（﹣2，10），因此．…（2）由（1）知，∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=．∴cos（2α+）=．…∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=…（14分）【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，考查向量问题，熟练掌握三角函数以及向量的基础知识是解答本题的关键，本题是一道中档题．16．（14分）△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．（1）若•=2S，求A的值；（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．【考点】三角形中的几何计算；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知中•=2S，可得tanA=，进而求出A值；（2）设tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，（k＞0），利用和角正切公式，可得k=1，再由正弦定理，可得答案．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．∴S=bcsinA，∴•=||•||cosA=bccosA=2S=bcsinA，∴cosA=sinA，∴tanA=，∵A是△ABC的内角，∴A=30°（2）∵tanA：tanB：tanC=1：2：3，∴设tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，（k＞0）则tanC=﹣tan（A+B）=，即，解得：k=1，故tanB=2，tanC=3，则sinB=，sinC=，由正弦定理可得：，即b==【点评】本题考查的知识点是三角形面积公式，向量的数量积公式，两角和的正切公式，正弦定理，难度中档．17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，且a2+b2＜c2求：（1）角C的大小；（2）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；数形结合；综合法；解三角形．【分析】（1）通过a2+b2＜c2及余弦定理可知C为钝角，利用计算可得结论；（2）通过（1）及三角形内角和定理可知B=、可以正弦定理化简即得结论．【解答】解：（1）因为，a2+b2＜c2，由余弦定理，所以，C为钝角．…∵，又，∴，∴…（2）由（1）得，B=，．…根据正弦定理，=…又∵，∴从而的取值范围是…【点评】本题考查解三角形的应用，涉及正弦定理、余弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．18．过点P（﹣2，﹣1）作圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9的两条切线，切点分别为A，B，（1）求直线AB的方程；（2）求在经过点A，B的所有圆中，面积最小的圆的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）连结AC，BC，PC，记PC交AB于D，根据AB⊥CD求出直线斜率，再根据C到直线AB的距离，可得直线AB的方程；（2）经过点A，B的所有圆中，面积最小的圆是以AB为直径的圆，进而得到答案．【解答】解：（1）如图，连结AC，BC，PC，记PC交AB于D，因为，PA，PB是圆C的切线，所以CA⊥PA，CB⊥PB，PC⊥AB …在Rt△PAC中，PC=，AC=3，∴PA=6由Rt△PAC∽Rt△ADC得，…由条件知，圆心C（4，2），∴，k AB=﹣2可设直线AB的方程为y=﹣2x+m，即2x+y﹣m=0，∴，∴m=7或m=13（舍去）所以，直线AB的方程为y=﹣2x+7…（2）在经过点A，B的所有圆中，以AB为直径的圆，其面积最小．…直线PC的方程为x﹣2y=0，与y=﹣2x+7联立，解得点D的坐标为…由（1）知，…（13分）∴所求圆的方程为：…【点评】本题考查的知识点是圆的切线方程，圆的标准方程，点到直线的距离公式，难度中档．19．（16分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD，设∠COB=θ．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．【考点】解三角形的实际应用．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用余弦定理求出BC，CD，DA，可得l，利用换元、配方法，即可得出结论；（2）利用三角形的面积公式、扇形的面积公式，再利用导数，可得当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．【解答】解：（1）由题意，BC=CD==2sin，DA==2cosθ，∴l=2+4sin+2cosθ（0＜θ＜），令t=sin，则（0＜t＜），l=﹣4（t﹣）2+5，∴t=时，即θ=，l的最大值为5；（2）S=s inθ+sin（π﹣2θ）+×=sinθ+sin2θ+θ，∴S′=+cos2θ+=0，∴8cos2θ+2cosθ﹣3=0，∴cosθ=，∴θ=，且0＜θ＜时，函数单调递增，＜θ＜时，函数单调递减，∴θ=时，鲜花种植面积S最大．【点评】本题考查余弦定理，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．20．（16分）已知函数f（x）=mx﹣（m+2）lnx﹣，g（x）=x2+mx+1，其中m＜0．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x1、x2∈[1，2]，使得f（x1）﹣g（x2）≥1成立．求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出原函数的导数，然后在定义域内借助于二次函数的图象判断导数值的符号，从而确定原函数的单调区间；（2）不等式左侧可能的最大值要≥1才行，分别求出函数f（x），g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值，从而求出m的范围．【解答】解：f′（x）=m﹣+=（﹣m）（﹣1）=2（﹣）（﹣1），f（x）定义域（0，+∞），m＜0，（1）①令f′（x）≤0，解得≤≤1 且x＞0，即x≥1，令f′（x）≥0，解得：≥1 或≤且x＞0，即 0＜x≤1，即：f（x）单调递减区间[1，+∞），单调递增区间（0，1]；（2）由（1）得：f（x）在[1，2]单调递减，f（1）=m﹣2，f（2）=2m﹣（m+2）ln2﹣1，则在[1，2]区间上，f（x）最小值=f（2）=2m﹣（m+2）ln2﹣1，f（x）最大值=f（1）=m﹣2，g（x）抛物线对称轴是x=﹣＞0，g（1）=2+m，g（2）=5+2m，g（﹣）=1﹣，要使f（x1）﹣g（x2）≥1成立，等价于不等式左侧可能的最大值要≥1才行，当1≤﹣≤2（对称轴在区间之内），即﹣4≤m≤﹣2时，g（x）在x=﹣（对称轴处）取得最小值g（﹣）=1﹣，此时f（x₁）﹣g（x₂）的最大值为：f（1）﹣g（﹣）=m﹣2﹣（1﹣）=+m﹣3≥1则m2+4m﹣16≥0，即（m+2）2≥20，结合﹣4≤m≤﹣2，解得：m无解．当﹣＜1（对称轴在区间左侧），即﹣2＜m＜0时，g（x）在x=1处取得最小值g（1）=2+m，此时f（x₁）﹣g（x₂）的最大值为f（1）﹣g（1）=m﹣2﹣（2+m）=﹣4＜1，此时[1，2]区间上不可能存在x₁，x₂，使得f（x₁）﹣g（x₂）≥1成立，当﹣＞2（对称轴在区间右侧），即m＜﹣4时，g（x）在x=2处取得最小值g（2）=5+2m，此时f（x₁）﹣g（x₂）的最大值为f（1）﹣g（2）=m﹣2﹣（5+2m）=﹣m﹣7≥1，解得m≤﹣8，因此m取值范围是（﹣∞，﹣8]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想、分类讨论（2）中问题转化为不等式左侧可能的最大值要≥1是解题的突破口．。