高等数学第九章(二重积分)

o
y = ϕ1( x)
a
x
b
x
∫∫ f ( x,
D
y )dxdy = ∫ dx ∫
a
b
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy
y
型区域： （2）Y-型区域： ） 型区域
D : ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d ,
d
x = ψ 1 ( y)
σ 是 D 的面积， 的面积， 则在 D上至少存在一点 (ξ , η ) , 使得
∫∫ f ( x ,
D
y )dσ = f (ξ , η ) ⋅ σ .
7.奇偶对称性： 奇偶对称性： 奇偶对称性
∫∫
D
0 D关于 或y)轴对称 f(x,y)为y(或x)的奇函数 关于x(或 轴对称 轴对称, 关于 为 或 的奇函数 f ( x , y )dσ = 关于x(或 轴对称 轴对称, 2∫∫ f ( x, y)dσ D关于 或y)轴对称 f(x,y)为y(或x)的偶函数 关于 为 或 的偶函数
第九章 重积分
二重积分
一、二重积分的概念
1．定义 ： ．
∫∫ f ( x,
D
y )dσ = lim ∑ f (ξ i , η i )∆σ i
λ →0 i =1
n
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积 ．几何意义：
V = ∫∫ f ( x , y )dσ
D
( f ( x , y ) ≥ 0)
顶 : z = f ( x , y ) 底 : D
D
x2 dσ ,其中 D 是由直线 x = 2, y = x 其中 2 y
所围成的闭区域. 及曲线 xy = 1所围成的闭区域 的图形,然后根据图形的特点选择适 分析 首先应画出区域 D的图形 然后根据图形的特点选择适 当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算，即框图中线路1 当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算，即框图中线路 的方法。 既是X-型区域 又是Y-型区域 但若用Y型区域, 型区域, 的方法。注意到 D既是 型区域 又是 型区域 但若用 型区域计算， 分割成两个Y-型区域的和的形式 型区域的和的形式. 型区域计算，需把 D分割成两个 型区域的和的形式 故 积分的次序计算比较简单. 本题选择先对 y 积分后对 x 积分的次序计算比较简单
积分区域如图所示. 解： 积分区域如图所示 型区域， 积分区域 D 为X- 型区域，
1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2; x
y
1 y= x
(1, 1)
y= x
x
. D
0
.
1
2
的二次积分， 将二重积分转化为先对 y 对后 x 的二次积分，得
∫∫
D
2 2 x x x2 dxdy = ∫ dx ∫ 1 2 dy 2 1 y x y
的质量. 3．物理意义： M = ∫∫ ρ( x , y )dσ —— D的质量 ．物理意义：
D
二、二重积分的性质
1．线性性质： ．线性性质：
∫∫ [α f ( x,
D
y ) ± β g ( x , y )]dσ = α ∫∫ f ( x , y )dσ ± β ∫∫ g( x , y )dσ
D D
9dσ ≤ I = ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ ∫∫
D
D
∫∫ 25dσ ,
D
即 亦即
9 ⋅ 4π ≤ I =
( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ 25 ⋅ 4π ∫∫
D
36π ≤ I = ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ 100π .
D
【例3】计算二重积分∫∫ 】
D1
三、二重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算 ．
∫∫ f ( x ,
D
y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dxdy .
D
关键： 关键：选择积分次序
.
y
y = ϕ2(x)
型区域： （1）X-型区域： ） 型区域
D
D : ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b
x x 9 = ∫ ( x 3 − x )dx = − = 1 2 1 4 4
2
4 2
2
注：若本题将二重积分转化为先对x 后对 y 的二次积分, 的二次积分 则计算相对复杂。 则计算相对复杂。
【例4 其中D = {( x , y ) | | x | + | y | ≤ 1 }.
y
D
x = ψ 2 ( y)
c
o
∫∫ f ( x,
D
y )dxdy = ∫ dy ∫
c
d
ψ 2 ( y)
ψ1( y)
f ( x , y )dx .
x
2．利用极坐标计算 ．
D : ϕ 1 (θ ) ≤ ρ ≤ ϕ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
∫∫ f ( x ,
D
y )dxdy = ∫∫ f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ⋅ ρdρdθ
解题方法流程图
No
I = ∫∫ f ( x , y )dxdy
D
f (x, y) = g(x2 + y2 )
Yes 2
D为圆域 为圆域
1
应用直角坐标
Yes No
应用极坐标
D-X型 型
a ≤ x ≤ b D: ϕ ( x ) ≤ y ≤ ψ ( x )
No
D = ∑ Di
α ≤ θ ≤ β D: ρ1 (θ ) ≤ ρ (θ ) ≤ ρ 2 (θ )
2. 可加性： 可加性：
D = D1 + D2
∫∫ f ( x,
D
y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ
D1 D2
3. 区域 D的面积： 的面积：
σ=
∫∫ dσ
D
4. 单调性： 若在 D 上, f ( x, y ) ≤ ϕ ( x, y ) ,则 单调性： 则
∫∫ f ( x,
D
y )dσ ≤ ∫∫ ϕ( x , y )dσ
D
5．估值性质： 设 m ≤ f ( x, y) ≤ M , ( x, y) ∈ D, σ是 D的面积 ．估值性质： 则
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ .
D
6．中值定理： 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 D上连续 ．中值定理： 上连续,
M=
x= 1 M
∫∫ ρ( x ,
D
D
y )dσ
1 M
∫∫ x ρ ( x, y )dσ , y =
∫∫ y ρ ( x,
D
y )dσ .
（3）转动惯量 I x = ∫∫ y 2 ρ ( x , y )dσ , I y = ∫∫ x 2 ρ ( x , y )dσ . ）
D
D
2. 典型例题 【例1】根据二重积分的性质，比较积分 ∫∫ ln( x + y )dσ 与 】根据二重积分的性质，
D-X型 型 No
n
Yes
D = ∑ Di , D i − Y 型
i =1
n
D = ∑ D i , Di − X 型
i =1
a ≤ x ≤ b D : ϕ ( x ) ≤ y ≤ ψ ( x )
I = ∫ dy ∫
c
d
ψ ( y)
ϕ ( y)
fdx
ci ≤ y ≤ d i Di : ϕ i ( y ) ≤ x ≤ ψ i ( y )
D
[ln( x + y )]2 dσ 的大小；其中 D 是三角形的闭区域 三个 的大小； 是三角形的闭区域,三个 ∫∫
D
顶点分别为 (1, 0) , (1, 1) ,( 2, 0) . 由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小, 分析 由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小 只需 比较被积函数在积分区域上的大小即可。 比较被积函数在积分区域上的大小即可。 特点， 一般要考虑到所围成的区域 D 特点， 二要恰当运用不等式证明的方法。 二要恰当运用不等式证明的方法。 积分区域如图所示. 解: 积分区域如图所示
= I1 + I 2
由 I1 , I 2 分别确定 D1 , D2
D = D1 + D2 I = ∫∫ fdxdy
D
由 I1 , I 2 分别确定 D1 , D2
D = D1 + D2 I = ∫∫ fdxdy
D
Yes D-Y型 型 No
c ≤ y ≤ d D : ϕ ( y ) ≤ x ≤ ψ ( y )
.
y
(1, 1)
x+ y=2
D
.
0
1
2
x
的下方, 由于D 位于直线 x + y = 2 的下方 故在 D内有 x + y ≤ 2 , 所以 ln( x + y ) < 1; 又因为 D内的点满足 x ≥ 1, y ≥ 0,
2 x + y ≥ 1, 故 ln( x + y ) ≥ 0. 于是 ln( x + y ) ≥ [ln( x + y )] , 从而
改变二次积分的积分次序
I =
∫
b1 a1
dx ∫
ϕ1 ( x ) φ1 ( x )
fdy +
∫
b1 a1
dx ∫
ϕ2 ( x ) φ2 ( x )
fdy
I =
∫
d1 c1
dy ∫