等腰三角形常见问题
初二等腰三角形解题技巧
初二等腰三角形解题技巧
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，其中两边长度相等。
在初二数学中，等腰三角形是一个重要的知识点，需要掌握其性质和判定方法。
首先，要明确等腰三角形的性质。
等腰三角形两腰相等，两个底角相等，并且有一个顶角。
此外，等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。
这些性质是解决等腰三角形问题的关键。
其次，要掌握等腰三角形的判定方法。
有以下几种方法：
1. 两边相等：如果一个三角形的两边长度相等，则它是等腰三角形。
2. 两个角相等：如果一个三角形的两个角相等，则它是等腰三角形。
3. 三线合一：如果一个三角形的高、中线和角平分线三线合一，则它是等腰三角形。
最后，要学会运用这些性质和判定方法来解决等腰三角形的问题。
以下是一些常见的题型和解题技巧：
1. 求角度：利用等腰三角形的性质，可以通过已知的角度或边长来求其他角度。
2. 作辅助线：在解题过程中，可以通过作辅助线来将问题转化为更容易解决的问题。
例如，作等腰三角形的高、中线或角平分线。
3. 利用三线合一：在解题过程中，可以利用三线合一的性质来证明或求解问题。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论，分别考虑不同的情况。
总之，掌握等腰三角形的性质和判定方法是解决等腰三角形问题的关键。
在解题过程中，要灵活运用这些性质和判定方法，通过作辅助线、分类讨论等方法来解决问题。
同时，要注意细节和计算准确性，避免因为粗心而出现错误。
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学等腰三角形中做辅助线的七种常用方法在数学中，等腰三角形是一种非常常见的三角形，其两边长度相等，而另外一边则为底边。
由于等腰三角形的对称性，中心轴线即底边中线，将等腰三角形分为两个对称的部分。
在解决等腰三角形问题时，我们可以运用七种常用的辅助线方法来简化解题过程。
下面将一步一步回答这个主题。
一、作中线中线是连接等腰三角形底边中点和对立角顶点的直线线段。
相比于直接解题，中线的作用是将等腰三角形分解成一个矩形和两个全等直角三角形。
我们可以利用三角形的性质和数学定理，来推导出等腰三角形的各种性质和解题方法。
例如，在求等腰三角形的面积时，利用中线将其分成两个全等直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解。
二、作高线高线是从三角形一个顶点，垂直于另一条边所作的线段。
在等腰三角形中，高线不仅垂直于底边，而且还平分底边。
利用高线我们可以求出三角形的高和底边中分线段的长度。
例如，当已知等腰三角形的底边和顶角时，我们可以利用高线分割出一个全等直角三角形。
再根据勾股定理，直接求出等腰三角形的两边长度和面积。
三、作角平分线角平分线是从一个角的顶点，把角分成两个角度相等的线段。
在等腰三角形中，角平分线从顶点出发，与底边平行，平分底边长度，并将等腰三角形分成两个全等三角形。
例如，在已知等腰三角形两边长度和底边角度的情况下，我们可以画出角平分线并运用正弦定理求解。
四、作中垂线中垂线是连接等腰三角形底边中点和对立角的角平分线的垂线。
利用中垂线，我们可以将等腰三角形分解成一个底边中垂线分割的两个全等直角三角形。
例如，当已知等腰三角形的两边长度和底边长度时，可以利用中垂线将三角形分成两个全等直角三角形。
再根据直角三角形勾股定理求出等腰三角形的两边长度和面积。
五、作垂线垂线是从一个点到一条线段垂直的线段。
在等腰三角形中，垂线从顶点出发，垂直于底边，平分底边，并将等腰三角形分解成两个全等直角三角形。
等腰三角形动点最值问题解题技巧
等腰三角形动点最值问题解题技巧简介等腰三角形是数学中常见的一种三角形形状，其具有许多有趣的几何性质。
在这篇文档中，我们将讨论如何解决等腰三角形动点最值问题。
通过使用解题技巧和公式推导，我们可以轻松找到等腰三角形的各个动点的最值。
基本定义1.等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
我们可以通过连接底边中点和顶点，形成一个高。
由于等腰三角形具有对称性，底边中点和顶点之间的连线与底边垂直相交，划分出两个等腰直角三角形。
2.动点在几何学中，动点是指在平面上移动的点。
通过改变动点的位置，我们可以观察到某些几何量的变化情况。
在等腰三角形中，我们可以考虑顶点和底边上的某个点作为动点。
动点最值问题解题步骤步骤一：建立坐标系为了简化问题的分析和计算，我们可以将等腰三角形放在坐标系中。
通过选取合适的坐标轴和原点，我们可以方便地描述动点的位置。
步骤二：确定动点位置根据问题描述，确定我们所关注的是等腰三角形的哪个动点。
例如，我们可以考虑探索顶点和底边上的某个点的变化。
步骤三：建立几何关系通过观察等腰三角形的几何性质，我们可以建立动点与其他几何元素之间的相互关系。
这可以通过直线、角度、距离等几何关系来描述。
步骤四：建立动点与几何量的关系式利用步骤三中建立的几何关系，我们可以将动点的位置表示为其他几何量的函数。
这个函数可以是一个方程、一个不等式或一个定义域。
步骤五：求解最值通过求解动点位置的函数，我们可以得到动点所在位置的最值。
这可能是一个最大值、最小值或其他特定值。
步骤六：验证解的合理性最后，我们需要验证我们得到的最值是否合理，并根据实际情况进行解释。
这可以通过对几何性质和约束条件的分析来完成。
例题分析例题：在等腰三角形A BC中，AB=A C=6c m，B C=8c m。
动点P在边B C 上，求B P+PC的最小值。
解题步骤：步骤一：建立坐标系。
选择顶点A为坐标原点，建立x轴和y轴。
步骤二：确定动点位置。
在边BC上选择点P作为动点。
等腰三角形典型题解析
B
E
∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
C FD
又∵△ACD 中 AF 是 CD 边的中线（已知）
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∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
三、练习
（一）、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线
B．底边上的高
C．底柱 BD、DE 要多长？
B D
以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠A=30°， A E C
1
1
AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= AB．
2
4
[例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高．
分析：观察图形可
1
所 以 DE= AD， BC=
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A D
E
B
C
答案： 10．60°或 120° 11．∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°， ∴在 Rt△ADC 中 CD=2AD， ∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，
⊥CD.
分析：要证明 AF⊥CD，而点 F 是 CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接 AC、
AD，证明 AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
在△ABC 和△AED 中
证 明 ： 连 接 AC、 AD A
AB AE(三 三 ) ABC AED(三 三 ) BC ED(三 三 )
等边三角形
一、复习知识要点
1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
2016中考数学等腰三角形中的常见问题
等腰三角形中的常见问题等腰三角形的知识是整个初中数学教材中的重要内容之一，中考中也作为总要的考点。
在教学中笔者总结了解决等腰三角形相关问题的一些实用的解题思想方法，供大家参考。
等腰三角形的知识内容：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。
相等的两条边叫等腰三角形的腰，第三条边叫等腰三角形的底边。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等。
（简称“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，并且平分底边。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
（简称“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。
（简称“等角对等边”） 4、等边三角形：（1）三条边均相等的三角形是等边三角形。
（2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形中常见的结论：1、 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；2、 等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于一腰上的高（运用面积法，底边延长线上的点到两腰距离的差等于一腰上的高）；3、 三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大于第三条线段。
4、 过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。
以上知识的运用在等腰三角形的学习中占很重要的地位，现举例如下： 例1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。
解：设其腰长为x ，则底边长为（12－2x ），由题意得：2122212x xx >-⎧⎨<⎩解得3<x<6 ∵x 为整数 ∴x=4或5∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。
例2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
(2) 等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。
等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)--常见几何模型全归纳之模型解读
等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1)无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2)“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A，B两点是定点，找一点C构成等腰△ABC方法：两圆一线具体图解：①当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C在⊙A上(B，C除外)②当AB=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作⊙B，点C在⊙B上(A，E除外)③当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上(D除外)1(2023秋·河北张家口·八年级统考期末)△ABC是等腰三角形，AB=5,AC=7，则△ABC的周长为()A.12B.12或17C.14或19D.17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当△ABC的腰为5时，△ABC的周长5+5+7=17；当△ABC的腰为7时，△ABC的周长5+7+7=19．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．2(2023春·四川巴中·七年级统考期末)等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，则其它两边长是()A.8cm，16cmB.12cm，12cmC.8cm，16cm或12cm，12cmD.12cm，8cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和构成三角形的条件即可得．【详解】解：∵等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，∴①当底边长为8cm时，其它两边长是32-82=12(cm)，②当腰长为8cm时，其它两边长是8cm或32-2×8=16(cm)，8+8=16，此时三边不能构成三角形，综上，其它两边长是12cm，12cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件，解题的关键是掌握这些知识点．3(2023秋·广东八年级课时练习)若△ABC是等腰三角形，∠A=36°，则∠C的度数是()A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°【答案】D【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=36°，∴当∠A是顶角时，∠C=∠B=180°-36°2=72°；当∠A是底角时，①当∠B=∠A=36°时，则∠C=180°-2×36°=108°；②∠C=∠A=36°；综上所述，∠C的度数是36°或72°或108°，故选：D．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．4(2022秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为．【答案】30°或150°【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，如图(1)所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；如图(2)所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，即顶角为150°；故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．5(2023秋·江苏·八年级专题练习)在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰△ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．6(2023·重庆市八年级期中)如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°<α<135°)得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ =90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．7(2022秋·江苏徐州·八年级校考期中)如图，∠AOB=70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC=PC，②当PO=PC，③当OP=OC，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，①当OC=PC时，∴∠COP=∠CPO=70°∴∠OCP=180°-∠OPC-∠COP=40°．②当PO=PC时，∠OCP=∠COP=70°；③当OP=OC时，∠OCP=180°-∠AOB2=55°；综上所述，∠OCP的度数为70°或40°或55°．故答案为：70或40或55．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．8(2023·安徽阜阳·八年级统考期末)在平面直角坐标系中，若点A0,4，B3,0，则AB=5.请在x轴上找一点C，使ΔABC是以AB为腰的等腰三角形，点C的坐标为.【答案】-3,0、-2,0或8,0【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC．【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C(-3，0);②当AB=BC=5时，若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2，此时点C的坐标为(-2，0);若点C在B点右侧，CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为(8,0).综上所述，满足条件的点C有3个.故答案为：-3,0、-2,0或8,0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C 必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中．9(2023·江苏苏州·八年级校考期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)若点P 在BC 上，且满足PA =PB ，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值：(3)在运动过程中，当t 为何值时，△ACP 为等腰三角形．【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或95或3【分析】(1)设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，利用勾股定理求出AC =3cm ，在Rt △ACP 中，依据AC 2+PC 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．(2)如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，依据AD 2+PD 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在∠ABC 的角平分线上，此时，t =AB 2=52．(3)分四种情况：当P 在AB 上且AP =CP 时，当P 在AB 上且AP =CA =3cm 时，当P 在AB 上且AC =PC 时，当P 在BC上且AC =PC =3cm 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】(1)解：如图，设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，∵∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，∴AC =AB 2-BC 2=3cm ，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AC 2+PC 2=AP 2，∴32+4-x 2=x 2，解得x =258，∴BP =258，∴t =AB +BP 2=5+2582=6516；(2)解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵BP 平分∠ABC ，∠C =90°，PD ⊥AB ∴PD =PC ，∠DBP =∠CBP ，在△BCP 与△BDP 中，∠BDP =∠BCP∠DBP =∠CBP BP =BP，∴△BDP ≌△BCP AAS∴BC =BD =4cm ，∴AD =5-4=1cm ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得AD 2+PD 2=AP 2，∴12+y2=3-y2，解得y=43，∴CP=43，∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB2=52．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．(3)解：分四种情况：①如图，当P在AB上且AP=CP时，∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，∴t=AP2=54．②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，∴t=AP2=32．③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-1252=95cm，∴AP=2AD=185cm，∴t=AP2=95．④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1cm，∴t=AB+BP2=62=3．综上所述，当t的值为54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键．10(2022春·四川成都·八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A-2，6的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P 作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y y≠0，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x+4，D-5，0(2)y=32m+3，-2<m<4(3)存在，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0【分析】(1)据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设直线AB解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD 的值，从而求出D点的坐标；(2)直接根据待定系数法求出AD的解析式，先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；(3)要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值，就可以求出F点的坐标．【详解】(1)解：∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，∵直线AB经过A-2，6，∴2+n=6，∴n=4，∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B4，0，∴OB=4，∵△ABD的面积为27，A-2，6，∴S△ABD=12×BD×6=27，∴BD=9，∴OD=5，∴D-5，0，∴直线AB的解析式为y=-x+4，D-5，0(2)解：设直线AD的解析式为y=ax+b，∵A-2，6，D-5，0∴-2a+b=6-5a+b=0，解得a=2b=10．∴直线AD的解析式为y=2x+10；∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P m，-m+4，∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=-m-62，∴E-m-62,-m+4，∴PE的长y=m--m-62=3m2+3；即y=32m+3，-2<m<4；(3)解：在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，①当∠FPE=90°时，如图①，有PF=PE，PF=-m+4，PE=32m+3，∴-m+4=32m+3，解得m=25，此时F25,0；②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，∴EF=-m+4，∴-m+4=32m+3，解得：m=25，∴点E的横坐标为x=-m-62=-165，∴F-165,0；③当∠PFE=90°时，如图③，有FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR= 12PE．∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=1232m+3，解得：m=107，∴PR=FR=-m+4=-107+4=187，∴点F的横坐标为107-187=-87，∴F-87,0．综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练1(2023春·四川成都·七年级统考期末)等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则这个三角形的周长为()A.22cmB.17cm或13cmC.13cmD.17cm或22cm【答案】A【分析】分4cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①4cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、4cm、9cm，因为4+4<9,故不能组成三角形；②4cm是底边长时，三角形的三边分别为4cm、9cm、9cm，能组成三角形，周长=4+9+9=22cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是22cm．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．2(2023·浙江·八年级课堂例题)如图，P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠OAP的度数一定不可能是()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【分析】分AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=30°，故∠A=120°；②当AO=OP时，则∠A=∠APO=12180°-30°=75°；③当OP=AP时，则∠A=∠AON=30°，综上可知：∠A不可能为60°；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3(2023·福建龙岩·八年级校考期中)在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，B0,2，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】分为AB=AC、BC=BA，CB=CA三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB=AC时，符合条件的点有2个；当BC=BA时，符合条件的点有1个；当CB=CA，即当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4(2023·江苏八年级期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点(小正方形的顶点叫做格点)，若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有()A.0个B.2个C.4个D.8个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键5(2023·山东日照·八年级统考期末)如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．6(2022·山东青岛·统考二模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为1,3，若M为x 轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7(2022·安徽淮北·九年级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6．若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB=AP，②AB=BP，③AP=BP，得出即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=8，AC=6，由勾股定理的：AC=AC2+BC2=62+82=10，如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8(2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,1，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，OA=12+12=2，当AO=OP1，AO=OP3时，P1(-2，0)，P3(2，0)，当AP2=OP2时，P2(1，0)，当AO=AP4时，P4(2，0)，故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9(2022·四川广元·八年级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，(此时AB=AM)；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6(此时BM=BA)．③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB)，交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．10(2023春·山东泰安·七年级统考期末)等腰三角形的一角为30°，则其顶角的大小是．【答案】120°或30°【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可．【详解】解：分两种情况：当30°的角是底角时，180°-30°×2=120°，则顶角度数为120°；当30°的角是顶角时，则顶角为30°；故答案为：120°或30°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11(2023·四川凉山·八年级校考期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则底角是．【答案】27°或63°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=36°，∴∠A=90°-∠ABD=54°，∴∠ABC=∠C=12180°-54°=63°；②当高在三角形外部时，如图：∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°，∵∠ABD =36°，∴∠DAB =90°-36°=54°，∴∠ABC =∠C =12∠DAB =12×54°=27°．∴综上所述，底角是27°或63°．故答案是：27°或63°．【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．12(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k ．若k =2，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】90【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵k =2，∴设顶角=2α，则底角=α，∴α+α+2α=180°，∴α=45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．13(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是．【答案】6，9或8，5【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是12-9=3，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：12-9=3，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为x +3，由题意可得，x +3+2x =12+9，解得：x =6，x +3=6+3=9，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为x -3，由题意可得，x -3+2x =12+9，解得：x =8，x -3=8-3=5，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，2)，在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点(O 除外)；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15(2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A -C -B -A 运动，设运动时间为t 秒t >0 ，当点P 在边AB 上，当t =s 时，△BCP 是等腰三角形．【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，∴由勾股定理得：BC =AB 2-AC 2=102-82=36=6(cm )，当P 在BA 上时，①当BC =BP =6cm 时，如图，∴t =8+6+6 ÷1=20s ；②当BC =CP =6cm 时，过CD ⊥PB 于点D ，如图，∴BD =DP =12BP ，∵S △ABC =12AC ∙BC =12AB ∙CD ，∴CD =AC ∙BC AB=6×810=4.8，在Rt △CBD 中，由勾股定理得：BD =BC 2-CD 2=62-4.82=3.6cm ，∴BP =2BD =2×3.6=7.2cm ，∴t =8+6+7.2 ÷1=21.2s ，③当BP =CP ，如图，∵∠ACB =90°，BP =CP ∴CP =BP =12AB =5cm ∴t =8+6+5 ÷1=19s 综上可知：t 的值为：19或20或21.2．，故答案为：19或20或21.2．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．16(2022秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当t =s 时，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形．【答案】5或8【分析】△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AB =BP 时；②当AB =AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，∴BC =AB 2-AC 2=52-32=4cm ，①当AB =BP 时，如图1，则t =5；②当AB =AP 时，BP =2BC =8cm ，t =8故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．17(2022·河南平顶山·八年级期末)如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD =BD ，点E 是线段AB 上的动点(与A 、B 不重合)，连接DE ，当△BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为．【答案】4或43##43或4【分析】现根据已知条件得出∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．【详解】解：∵△ABC中BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵BD=AD，∴∠ABD=∠BAD，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=AB2-BC2=122-62=63，∵∠CBD=30°，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=23，BD=2CD=2×23=43=AD；(1)当BE=BD=43时，如图：(2)当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴∠EDB=∠ABD=30°，∴∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-60°-30°=90°，∴△ADE为直角三角形，又∵∠A=30°且AD=43，∴DE=4，∴BE=4；(3)当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；综上所述，BE为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．18(2023·上虞市初二月考)在如图所示的三角形中，∠A=30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB =BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．19(2022·浙江·八年级专题练习)已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ΔACP为等腰三角形．(利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点P1、P2、P3即为所求．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意△ACP是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．20(2022·山东·周村二中八年级期中)在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．(1)如图，求作△ABC的巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．(2)如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．(3)等边三角形的巧妙点的个数有()A.2个B.6个C.10个D.12个【答案】(1)见解析；(2)6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；(3)C．【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；(2)分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；(3)根据(2)中作图方法画出图形，即可得答案．【详解】(1)点P为所求，(2)如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个，∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=12∵AP1=AB，∴∠P1BA=∠BP1A，∴∠BAP5=2∠P1BA=40°∴∠P1BA=20°，∴∠BP1C=2∠P1BA=40°，∵AP2=AC，BP2=BC，∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2，∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，∴∠BP2A=∠BCA=50°，∴∠ABP2=∠ABC=50°，∴∠P2BC=100°，(180°-∠P2BC)=40°，同理可得：∠BP3C=40°，∴∠BP2C=12∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，∴∠ABP5=∠BAP5=40°∵∠ABP5=∠BAP5=40°，∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°，∵BP5=CP5，∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°，∵AC=AP4，∠CAP4=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°，∵AC=CP6，∴∠AP6C=∠CAP6=40°，∴∠BP6C=2∠AP6C=80°．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．(3)如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．21(2022·黑龙江密山·八年级期末)如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA-6+OB-82=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为245，求线段AB的长；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A(0，6)，B(8，0)；(2)AB=10；(3)存在，(-8，0)、(-2，0)、(18，0)．【分析】(1)由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；(2)根据S△OAB=12AB∙d=1 2∙OA∙OB求解可得；(3)先设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．(1)∵OA-6+OB-82=0∴OA-6=0OB-8=0∴OA=6OB=8则A点的坐标为A(0，6)，B点的坐标为(8，0)(2)∵S△OAB=12AB∙d=12∙OA∙OB，d=245∴AB=OA∙OBd=6×8245=10(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100①若PA=AB，则PA2=AB2，即a2+62=100，解得a=8(舍)或a=-8，此时点P(-8，0)；②若AB=PB，即AB2=PB2，即100=a-82解得a=18或a=-2，此时点P(18，0)或(-2，0)；综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(-8，0)或(18，0)或(-2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键。
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。
本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。
一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。
现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。
二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。
2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。
在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。
3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。
三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。
这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。
四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。
通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。
在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。
等腰三角形的知识点
等腰三角形的知识点等腰三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，它具有独特的性质和特点，在解决数学问题和实际生活中的测量、设计等方面都有广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解等腰三角形的知识点。
首先，等腰三角形的定义是：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质是理解和解决与它相关问题的关键。
性质一：等腰三角形的两腰相等。
这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
性质二：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
例如，在等腰三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。
这个性质在证明角相等、计算角度等问题中经常被用到。
性质三：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
这是一个非常重要且实用的性质。
比如，已知等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，那么 AD 也是 BC 边上的中线和高；同样，如果 AD 是 BC 边上的中线，那么 AD 也是∠BAC 的平分线和 BC 边上的高；若 AD 是 BC 边上的高，那么 AD 也是∠BAC 的平分线和 BC 边上的中线。
等腰三角形的判定方法也同样重要。
判定一：如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
判定二：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
在实际应用中，等腰三角形的这些性质和判定方法可以帮助我们解决很多几何问题。
比如，在求等腰三角形的角度时，如果已知顶角的度数，那么可以根据“三角形内角和为 180 度”以及“等腰三角形两底角相等”的性质，求出底角的度数；反之，如果已知底角的度数，也能求出顶角的度数。
再比如，在证明两个三角形全等时，如果其中一个三角形是等腰三角形，我们可以利用等腰三角形的性质来找到对应相等的边或角，从而使证明更加简便。
等腰三角形三线合一典型题型
等腰三角形三线合一典型题型等腰三角形是数学中常见的一个重要概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，等腰三角形的三线合一是一个典型的题型，也是解决等腰三角形相关问题的重要方法之一。
本文将对等腰三角形和三线合一的典型题型进行探讨和解析。
1. 等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：性质1：等腰三角形的底角相等。
性质2：等腰三角形的两条等边平分顶角。
性质3：等腰三角形的高线、角平分线、中线三条线段重合。
2. 三线合一的概念及应用三线合一是指等腰三角形的高线、角平分线和中线三条线段重合的现象。
在解决等腰三角形相关问题时，可以利用三线合一来简化计算和推导过程。
3. 三线合一的推导过程考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，线段BE是底边AC的中线，线段CF是顶角A的角平分线，线段AD是高线。
我们需要证明BE、CF和AD三条线段重合。
证明思路：首先，连接线段AE和线段AF，并延长线段AF相交线段AD于点G，线段AE与线段DC相交于点H。
根据等腰三角形的性质，可知线段AG与线段AH相等。
同时，由于线段CF是角平分线，所以角BAF 与角CAF相等，进而线段AF与线段GF相等。
再根据等腰三角形的性质，可以得出线段AF与线段FE相等。
于是，我们可以得出线段EF 与线段AG、线段AH相等。
又因为线段BE是底边AC的中线，所以线段EF与线段BE相等。
综上所述，我们得出线段BE、CF和AD三条线段重合。
4. 三线合一的应用示例现给定等腰三角形ABC，其中AB=AC=8cm，顶角A的角平分线与底边BC的交点为D，底边BC上一点为E。
求证：线段DE是等腰三角形ABC的高线。
解题过程：根据题意，我们已知AB=AC，即等腰三角形的两条边相等。
又因为顶角A的角平分线与底边的交点D恰好是底边BC上的一点，所以DE与BC相交于一点。
为了证明线段DE是等腰三角形ABC的高线，我们需要证明线段DE与等腰三角形的两边垂直。
等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形专题全然知识总结：一、全然概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此〔如：假设明白三角形的两个底角相当，那么需要利用等角对等边，证明边相等才可〕二、性质：①等边对等角②三线合一3、判定：等角对等边常见题型：1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，那么知足条件的点p 有几个？mn • •A B变式1：假设取cm AB 2=，那么点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，那么符合条件的点p 有几个？2、三线合一的性质应用〔知二即知三〕应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，假设D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 别离交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.变式1：假设DM ⊥DN 别离和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足别离为F E 、，求证：〔1〕DF DE =；〔2〕DF DE ⊥应用二：证垂直平分例3：，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、别离是ABD ∆和ACD ∆的高。
求证：AD 垂直平分EF .例4：四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、别离为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .应用三：逆命题：知二即知等腰①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．〔线段垂直平分线的性质〕②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.例5：如图，D 、E 别离是AB 、AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：AC=AB.例6：，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,D 为垂足，AB>AC 。
已知等腰三角形底边坐标 与夹角 求顶点坐标
已知等腰三角形底边坐标与夹角求顶点坐标【已知等腰三角形底边坐标与夹角求顶点坐标】1. 引言等腰三角形是一种常见的几何图形，它具有一些特殊的性质和规律。
当我们已知等腰三角形的底边坐标和夹角时，我们可以通过一定的方法来求解其顶点坐标。
本文将围绕这一主题展开讨论，并解释这一问题的解决方法。
2. 底边坐标的确定我们需要确定等腰三角形的底边坐标。
假设底边两个顶点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
有了底边坐标后，我们可以根据已知的夹角来进一步确定顶点坐标。
3. 夹角的考虑夹角是我们求解顶点坐标的关键信息。
假设等腰三角形的顶点坐标为(x, y)，底边的中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
此时，我们可以利用三角函数来建立夹角和顶点坐标之间的关系，从而求解顶点坐标。
4. 顶点坐标的计算根据已知的底边坐标和夹角信息，我们可以利用三角函数的性质来求解顶点坐标。
具体来说，可以利用正弦函数、余弦函数或正切函数来表达顶点坐标与夹角之间的关系，进而得出顶点坐标的具体数值。
5. 个人观点在求解等腰三角形顶点坐标的过程中，我们需要充分利用几何知识和三角函数的性质。
通过对底边坐标和夹角的合理利用，我们可以比较容易地求解出顶点坐标，进而完整地确定等腰三角形的位置和形状。
这一过程对于理解几何和三角函数的关系具有一定的启发意义，值得我们深入思考和探讨。
6. 总结通过对已知等腰三角形底边坐标与夹角求顶点坐标的讨论，我们可以看到这一问题涉及到了几何和三角函数的知识。
求解顶点坐标的关键在于合理利用已知的信息，并通过数学方法进行推导和计算。
通过这一过程，我们不仅可以求解具体问题，还可以深入理解几何图形和数学函数之间的内在联系。
7. 结尾通过本文的讨论，希望读者能对已知等腰三角形底边坐标与夹角求顶点坐标这一问题有更加清晰的认识，并能在实际问题中灵活运用相关的知识和方法。
也希望本文对读者在几何和三角函数方面的学习能够起到一定的辅助和启发作用。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是几何学中常见的一种特殊三角形，它的性质独特，应用广泛。
本文将深入探讨等腰三角形的性质以及在实际问题中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，有以下几个重要的性质：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两边长相等的角）相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
可以通过对角度进行比较或利用对称性来证明。
2. 顶角平分线与底边垂直：等腰三角形的顶角平分线（即连接顶角和底边中点的线段）与底边垂直。
这个性质对于求解等腰三角形的高、应用中的问题都非常有用。
3. 高重合：等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直线段）重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的高也是底边上的中线和中位线。
二、等腰三角形的性质证明1. 两底角相等的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，要证明∠ACB = ∠CAB。
证明：由于AC=BC，且直线段AB共线，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，两边AC和BC相等，而根据三角形中的一对对应角相等的性质，∠ACB = ∠CAB。
2. 顶角平分线与底边垂直的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，M为底边AB的中点，要证明AM ⊥ BC。
证明：连接AM和BM，由于AC=BC，AM=BM，所以三角形ABM和ACM是等腰三角形。
根据等腰三角形高重合的性质，AM重合于CM，而由高重合又可以得到AM ⊥ BC。
三、等腰三角形的应用1. 求解等腰三角形的高：已知等腰三角形的底边长和顶角，可以利用三角函数的性质来计算等腰三角形的高。
例如，如果已知等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则高h可以通过h = a * sin(θ/2) 来计算。
2. 三角形的构造问题：在一些实际问题中，可以利用等腰三角形的特性来进行三角形的构造。
例如，已知一个角的两条边长相等，可以根据等腰三角形的性质构造出一个等腰三角形。
3. 几何证明问题：在几何证明中，等腰三角形常常可以作为中间步骤，起到简化问题的作用。
《等腰三角形》 知识清单
《等腰三角形》知识清单一、等腰三角形的定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边，两腰所夹的角称为顶角，底边与腰的夹角称为底角。
二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
2、两底角相等（等边对等角）因为等腰三角形两腰相等，所以根据三角形内角和定理以及全等三角形的判定（等角对等边），可以推出两底角相等。
3、顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）例如，已知一个等腰三角形，若作顶角的平分线，那么这条平分线也是底边上的中线和高；同样，若已知是底边上的中线，那么这条中线也是顶角平分线和底边上的高；若已知是底边上的高，那么这条高也是顶角平分线和底边上的中线。
4、等腰三角形是轴对称图形对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。
三、等腰三角形的判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形这是根据等腰三角形的定义直接得出的判定方法。
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
四、等腰三角形中的重要线段1、角平分线等腰三角形顶角的平分线平分顶角并且垂直于底边。
2、中线等腰三角形底边上的中线平分底边并且垂直于顶角。
3、高等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边。
五、等腰三角形相关的计算1、边长计算已知等腰三角形的腰长和底边长，或者已知底角和腰长，通过三角函数或勾股定理可以计算出其他边长。
2、角度计算已知顶角或底角，利用三角形内角和为 180°，可以求出其他角的度数。
3、面积计算可以使用底乘以高除以 2 的方法来计算等腰三角形的面积。
当已知腰长和底角时，也可以通过三角函数来计算面积。
六、等腰三角形在实际生活中的应用1、建筑设计在建筑结构中，等腰三角形的稳定性和对称性可以被利用，例如屋顶的设计。
2、制作家具一些家具的造型可能会采用等腰三角形的元素，既美观又实用。
等腰三角形培优专题
等腰三角形培优专题
简介
等腰三角形是一种有趣且常见的几何图形，为了提高学生的几
何思维和解题能力，本专题将重点培养学生对等腰三角形的认识和
理解。
通过系统的研究和练，学生能够掌握等腰三角形的特征、性
质及其相关定理，进而在解决几何问题时能够灵活应用。
培优内容
1. 等腰三角形的定义和基本特征
- 通过图示解释等腰三角形的定义，并强调等腰三角形的两边
长相等的性质。
- 给出一些例题，让学生观察并找出等腰三角形的特征。
2. 等腰三角形的性质和定理
- 介绍等腰三角形的内角性质和外角性质，并给出证明过程。
- 阐述等腰三角形底角和顶角相等的定理，并给出例题进行练。
- 引入等腰三角形中位线线段相等的定理，让学生进行推理和
证明。
3. 等腰三角形的应用
- 通过一些应用题，让学生将所学的等腰三角形的性质应用于解决实际问题。
- 强调等腰三角形在建筑、工程等领域的实用价值，激发学生对几何学科的兴趣。
研究方法与建议
- 研究前要先了解等腰三角形的定义和特征，有助于更好地理解后续研究内容。
- 研究过程中要注重练，通过做题加深对等腰三角形性质和定理的理解。
- 可以与同学一起探讨等腰三角形的问题，相互讨论和解答疑惑。
- 遇到难题时，可以向老师请教或寻求同学的帮助。
总结
本专题旨在帮助学生全面掌握等腰三角形的性质和应用，提高他们的几何思维和解题能力。
通过深入学习和练习，相信学生们能够在等腰三角形的领域取得优异的成绩，并在几何学科中取得更好的发展。
高中数学解等腰直角三角形的技巧
高中数学解等腰直角三角形的技巧等腰直角三角形是高中数学中常见的一个特殊三角形，它具有一条直角边和两条相等的斜边。
解决等腰直角三角形的问题，需要掌握一些技巧和方法。
本文将从三个方面介绍解等腰直角三角形的技巧，包括边长关系、角度关系和面积计算。
一、边长关系对于等腰直角三角形 ABC，如果已知直角边 AC 的长度为 a，斜边 AB 的长度为 b，那么根据等腰直角三角形的性质，我们可以得到以下边长关系：1. 斜边的长度：由勾股定理可知，直角边的平方和等于斜边的平方，即 a^2 + a^2 = b^2，化简得到b = √2a。
2. 直角边的长度：同样由勾股定理可知，直角边的平方和等于斜边的平方的一半，即 a^2 + a^2 = (b^2)/2，化简得到a = √(b^2/2) = b/√2。
利用这些边长关系，我们可以在已知任意一条边的情况下，求解出等腰直角三角形的其他边长。
例题：已知等腰直角三角形 ABC 中，直角边 AC 的长度为 4 cm，求斜边 AB 的长度和另一条直角边 BC 的长度。
解析：根据边长关系，我们知道b = √2a，代入已知数据，得到b = √2 * 4 =4√2 cm。
再利用a = b/√2，可以求得a = 4√2 / √2 = 4 cm。
因此，斜边 AB 的长度为4√2 cm，另一条直角边 BC 的长度为 4 cm。
二、角度关系等腰直角三角形的两个锐角是相等的，每个锐角等于 45°。
这个角度关系在解题过程中常常被用到。
例题：已知等腰直角三角形 ABC 中，∠B = 45°，求解∠A 和∠C。
解析：由等腰直角三角形的性质可知，∠A = ∠C。
又因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入已知数据，得到∠A + 45° + ∠A = 180°。
化简得到 2∠A = 135°，解方程得到∠A = 67.5°，所以∠A = ∠C = 67.5°。
等腰三角形掌握等腰三角形的性质和计算方法
等腰三角形掌握等腰三角形的性质和计算方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和计算方法。
本文将着重探讨等腰三角形的性质和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用等腰三角形。
一、等腰三角形的性质等腰三角形的性质有以下几个方面：1. 底角与顶角相等：等腰三角形的两条底边的夹角相等，也就是说，底角与顶角的度数相同。
2. 两边相等：等腰三角形的两条底边的长度相等。
3. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角角平分底边，也就是说，底边的中垂线与底边的延长线相等。
4. 顶角定理：等腰三角形的顶角是三角形内角和的一半，即等腰三角形的顶角等于其他两个角的和的一半。
二、等腰三角形的计算方法掌握等腰三角形的计算方法，可以帮助我们更好地解决与等腰三角形相关的问题。
下面介绍几种常见的计算方法：1. 计算底边长度：如果已知等腰三角形的顶角和两边的长度，可以使用余弦定理来计算底边的长度。
余弦定理可以表示为：b² = a² + a² -2ab * cosC，其中a表示等腰三角形的两边长度，b表示底边的长度，C表示顶角的度数。
2. 计算顶角度数：如果已知等腰三角形的两边长度和底角度数，可以使用反余弦函数来计算顶角的度数。
反余弦函数可以表示为：C = acos((a² + a² - b²) / (2ab))，其中a表示等腰三角形的两边长度，b表示底边的长度，C表示顶角的度数。
三、等腰三角形的应用等腰三角形的性质和计算方法在实际生活和工作中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形的特性常用于设计建筑物的立面和屋顶结构，以创造美观和稳定的建筑形态。
2. 测量和导航：等腰三角形的计算方法可用于测量和导航工作。
例如，在航海和飞行领域，通过测量等腰三角形的顶角和两边长度，可以计算出位置和方向。
3. 数学问题解决：在数学问题解决中，等腰三角形的性质和计算方法经常用于证明和推导其他几何形状的特性，扩展数学知识。
等腰三角形的中线的性质和判定精选练习
等腰三角形的中线的性质和判定精选练习等腰三角形是一个有趣且常见的三角形形状。
在本文档中，我们将介绍等腰三角形中线的性质以及判定方法。
通过精选练问题的形式，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
等腰三角形中线的性质等腰三角形的中线是指连接等腰三角形两底边中点的线段。
下面是等腰三角形中线的性质：1. 等腰三角形的中线与底边平行。
这意味着中线与等腰三角形的底边具有相同的斜率。
2. 等腰三角形的中线长度等于底边长度的一半。
即中线的长度等于底边长度除以2。
3. 等腰三角形的中线将底边分为两个相等的部分。
中线与底边的两个中点重合。
等腰三角形的判定方法在研究等腰三角形时，判定一个三角形是否为等腰三角形是一个基本的技能。
下面是一些判定等腰三角形的方法：1. 判断两边是否相等：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。
2. 判断两角是否相等：如果一个三角形的两角相等，那么它就是一个等腰三角形。
3. 判断一边和一个角是否满足某种关系：例如，如果一个三角形的一边和一个角的对边相等，那么它就是一个等腰三角形。
这些判定方法可以帮助我们快速确定一个三角形是否为等腰三角形，而无需进行复杂的计算和推导。
精选练为了帮助读者巩固所学的知识，以下是一些等腰三角形的判定练问题：1. 三角形ABC的两边AB和AC相等，是否为等腰三角形？2. 三角形DEF的两角D和E相等，是否为等腰三角形？3. 三角形GHI的边GH和角H的对边相等，是否为等腰三角形？请读者根据所学的知识进行思考和解答。
参考答案可在文末附上，以供读者核对。
参考答案1. 是2. 是3. 是以上就是关于等腰三角形中线的性质和判定的精选练习文档。
希望读者通过这份文档，对等腰三角形的中线有更深入的了解，并能熟练应用这些知识。
如有任何疑问，请随时向我提问。
两圆一线处理等腰三角形问题
等腰三角形处理策略-两圆一线以函数为背景的等腰三角形存在性问题，是函数综合题的一大类，时常见于各类考卷的压轴题位置。
若要在考场上脱颖而出，冲刺A线或者千分之一，这是必备知识之一。
例如，2014年长沙卷压轴题第（3）问，考的就是这个问题。
今天这篇文章，依然从便于自学的角度来写，以期能最大化地覆盖不同基础的学生。
首先，我们来解决第一个问题，等腰三角形的生成问题。
【引例1】在平面内有一线段AB，点C为平面内任意一点，若△ABC为等腰三角形，则这样的点C有几个？点C的轨迹又是什么？【解析】根据等腰三角形的性质，线段AB有可能为底边，也有可能为腰，故有两种基本情况。
情况（1）：线段AB为底边，则有AC=BC，即点C到线段AB两端点的距离相等，故点C在线段AB的中垂线上，此时点C有无数个，点C的轨迹为直线（不取与AB相交的点），如下图：情况（2）：线段AB为腰，则有：①AB=AC，即点C到点A的距离等于点B到点A的距离，则点C在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点B和与A、B共线点），如下图：②AB=BC，即点C到点B的距离等于点A到点B的距离，则点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点A和与A、B共线的点），如下图：综上所述，这样的点C有无数个，点C的轨迹为两个圆和一条直线，为了方便记忆，我们简称“两圆一线”，这是等腰三角形存在性处理的基本定性策略。
请记住这两圆一线：一线，指的是线段的中垂线，两圆，指的是以线段长度为半径，线段端点为圆心而产生的两个圆。
放另个类题练习。
【题1】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,1，点B 的坐标是()30，，点C 在坐标平面内。
若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C 有_________个。
【题2】在正△ABC 所在平面上找点P ，使△PAB 、△PBC 、△PCA 同时为等腰三角形，则这样的点P 有个。
1存在性系列之等腰三角形存在性问题
存在性系列之等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC 1=AB=(4-1)2+(3-1)2=作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1 C 1H =C 2H = 13-1=2 xC 1(1-2 3,0) C 2(1+2 3,0)C 3、C 4 同理可求，下求C 5 ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A 、B 均往下移一个单位，当点 A 坐标为（1,0），点 B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3，BH =2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x (3-x )2+22=x 213 解得：x = 619故C 坐标为（ ,0）5 6而对于本题的C 5 ，或许代数法更好用一些．313【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点C 5 坐标为（m ，0），又 A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段： AC 5 =， BC 5 =（3）分类讨论：根据 AC = BC ，可得：=，5 5（4）求解得答案：解得： m = 23 ，故C 坐标为,0．65 6 ⎪ ⎝ ⎭【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018 泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax2 +bx +c 交x 轴于点A(-4, 0) 、B(2, 0) ，交y 轴于点C(0, 6) ，在y 轴上有一点E(0, -2) ，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求∆ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使∆AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．11 (2 5 )2-12 19 【分析】（1） y = - 3 x 2 - 3x + 6 ；4 2（2）可用铅垂法，当点 D 坐标为(-2,6) 时，△ADE 面积最大，最大值为 14； （3）这个问题只涉及到 A 、E 两点及直线 x =-1（对称轴）①当 AE =AP 时，以 A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE = 2 ，∴ AP 1 =2 ，又 AH =3，∴ P 1H = ， 故 P 1 (-1, 11)、 P 2 (-1, - 11)．②当 EA =EP 时，以 E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作 EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM =1， P 3 M = P 4 M = = ，故 P 3 (-1, -2 + 19 )、 P 4 (-1, -2 - 19 )．③当 PA =PE 时，作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 P 点． 设 P (-1, m ) ， P A 2 = (-1+ 4)2+ (m - 0)2， P E 2 =(-1- 0)2+ (m + 2)2555∴ m 2 + 9 = (m + 2)2+1，解得：m =1．故 P 5 (-1,1)．综上所述，P 点坐标为 P 1 (-1, 11)、P 2 (-1, - P 5 (-1,1)．11)、P 3 (-1, -2 +19 )、P 4 (-1, -2 -19 )、【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．yP 5AO BxEy P 3AOBxMEP 4y P 1HAOBxE P 25 5【2019 白银中考（删减）】如图，抛物线y =ax2 +bx +4 交x 轴于A(-3, 0) ，B(4, 0) 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；5 2⎛ 5 2 5 2 ⎫ ⎛ 5 2 5 2 ⎫ 【分析】（1） y = - 1 x 2 + 1x + 4 ；3 3（2）①当 CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q 作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则CH = QH =2 ，故 Q 点坐标为 ,4 - 2 2 ⎪ ． ⎝⎭ ②当 AC =AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y =-x +4，可设 Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =故 Q 点坐标为（1，3）．= 5 ，解得：m =1 或 0（舍），③当 QA =QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述，Q 点坐标为 ,4 - 2 2 ⎪ 或（1，3）． ⎝ ⎭x(m + 3)2 + (-m + 4 - 0)2(m + 3)2+ (-m + 4 - 0)2y C PQ 1A O Q 2 MB5 【2019 盐城中考删减】如图所示，二次函数 y = k (x -1)2 + 2 的图像与一次函数 y = kx - k + 2 的图像交于 A 、B 两点， 点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于C 、 D 两点，其中k < 0 ． （1）求 A 、 B 两点的横坐标；（2）若∆OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为 1、2； （2）求 k 的值等价于求 B 点坐标，B 点横坐标始终为 2，故点 B 可以看成是直线 x =2 上的一个动点， 满足△OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（1，2），故OA =①当 OA =OB 时，即OB = ，记直线 x =2 与 x 轴交点为 H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故 B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1 或-3． ②当 AO =AB 时，易知 B 点坐标为（2，0），k =-2．综上所述，k 的值为-1 或-2 或-3．y DABCOxy DABCOHx5【2018 贵港中考（删减）】如图，已知二次函数y =ax2 +b x +c 的图像与x 轴相交于A(-1, 0) ，B(3, 0) 两点，与y 轴相交于点C(0, -3) ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当∆PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．2 【分析】（1） y = x 2 - 2x - 3；（2）①当 PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为(m , m 2 - 2m - 3)，则 M 点坐标为(m , m - 3)， 故线段 PM = (m - 3) - (m 2 - 2m - 3)= -m 2 + 3m 故点 M 作 y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△MCN 是等腰直角三角形，故 MC = 2m ，∴ -m 2 + 3m = 2m ，解得m = 3 - 或 0（舍）， 故 P 点坐标为(3 - 2, 2 - 4 2 )．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3 - 2, 2 - 4 2 )．yHA OBxCPMyHA OxNB MCP【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-4x2 +bx +c 经过点A(-5, 0) 和点B(1, 0) ．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN=∠DBA，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得∆DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1） y = - 4 x 2 - 16 x + 20，顶点 D 坐标为(-2, 4) ；9 9 9（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当 MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ， 可得 AM =BD =5，故 AN =BM =1；x②当 NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ，△MAD ∽△DAB ，可得 AM = 25 ， BM = 11∴AN 6 6 25= AM ， 即 AN = 6 ， BM BD解得： AN =55 ． 3611 5 6x③当 DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点 M ．综上，AN 的值为 1 或 55．36yDCN AM OByDCN AMOB2 【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y = -x + 4 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点C ，抛物线 y = -x 2 + bx + c 经过 B ，C两点，与 x 轴另一交点为 A ．点 P 以每秒 个单位长度的速度在线段 BC 上由点 B 向点C 运动（点 P 不与点 B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于点 E ，交抛物线于点 M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接 AM 交 BC 于点 D ，当∆PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．x【分析】（1） y = -x 2 + 3x + 4 ；（2）①考虑到∠DPM =45°，当 DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线 AM ：y =x +1，联立方程： -x 2 + 3x + 4 = x + 1， 解得： x 1 = 3 ， x 2 = -1 （舍）．此时 t =1．xyCDMA P EB OyCMDA P BEO2 2 2 2 2 2 45° 12 145°222.5°2 + 12 ②当 PD =PM 时，∠PMD =∠PDM =67.5°，∠MAB =22.5°，考虑 tan ∠22.5°= 直线 AM ： y =( -1， - 1)x +- 1 ，联立方程： -x 2 + 3x + 4 =( -1)x + - 1解得： x 1 = 5 - 2 ， x 2 = -1 （舍）．此时 t = -1．x综上所述，t 的值为 1 或 -1．附：tan22.5°= -1．22.5°tan 22.5︒ =1= - 1【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．2 2 yCDMA OP B E。
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例6 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另 一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三 角形的顶角是_______．
误区警示 不少学生只考虑锐角三角形的情况， 如图所示：图4(1)中∠A＝50°．
思路分析 根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨 论： (1)当等腰三角形为锐角三角形时，如图4(1)所示． 点拨 解决此类问题的关键是注意 ∵EF为AB的垂直平分线， ∴∠AEF＝90°． 等腰三角形的顶角为锐角和钝角时 又∠AFE ＝40°， ∴∠A＝180°－90°－40°＝50°； 一腰的垂直平分线与另一腰的交点 (2)当等腰三角形为钝角三角形时，如图 4(2)所示． 位置不同，应分锐角三角形和钝角 ∵EF 为AB的垂直平分线， ∴AFE＝90°． 又∠AEF ＝40°， ∴∠EAF＝180°－90°－40° 三角形两种情况讨论． ＝50°， ∴∠BAC＝180°－50°＝130°． 综上，等腰三角形的顶角为50°或130°．
• 2014秋•锡山∠B的平分线BP于P，则 △PBC的面积为（ ）
（2011秋•香坊区期末）如图，在下列三角形中， 若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰 三角形的是（ ）
四、锐角三角形和钝角三角形不分
• 例5 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则顶角为_______．
误区警示 不少学生想当然地误解为：如图所示， 图3(1)中顶角为50°．
点拨 等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时 思路分析 根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论： ，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外， (1)如图3(1)所示，等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角 (2)如图3(2)所示，等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高是在三 要注意分两种情况讨论． 故顶角为50°或130°．
例4（2010年荆门中考题）如图2，坐标平面内 一点A（2，－1），O为原点，P是x轴上的一 个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形 是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数 为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
思路分析 根据题意，结合图形，分三种情况讨论： 点拨 判定一个三角形是否为等腰三角形， (1)若点P为顶角顶点，O、A为底角顶点，则PO＝OA， 关键是将三角形的三个顶点分别作为顶 符合条件的动点 P有一个； 角顶点进行讨论，把情况考虑完整． (2)若点O为顶角顶点，P、A为底角顶点，则OP＝OA，动点P有 (3)若点A为顶角顶点，O、P为底角顶点，则AP＝AO，动点P有 综上所述，符合条件的动点P的个数共4个．故选C．
例2 如图1，已知等腰三角形一腰上的中线 把三角形周长分为12cm和15cm两部分， 求它的底边BC的长．
要分两种情况讨论： 设AD＝x． (1)当AB＋AD＝12，BC＋DC＝15时， 2x＋x＝12， ∴x＝4，即AB＝AC＝8． ∵周长是12＋15＝27， ∴BC＝11： 点拨 解决等腰三角形 (2)当AB＋AD＝15，BC＋DC＝12时， 求边长或周长问题时， 2x＋x＝15， 解题关键是要分情况讨论， ∴x＝5． 明确已知边是腰还是底， 即AB＝AC＝10． 并根据三角形的三边关系 ∵周长是12＋15＝27， 定理检验各情况是否成立． ∴BC＝7． 综上可知，底边BC的长为7cm或11cm．
一、腰和底不分 例1 （2011年烟台中考题）等腰三角形的周 长为14，其一边长为4，那么它的底边为 _______．
(1)当腰是4时，另两边是4，6，且4＋4>6，6－4 <4， 满足三角形三边关系定理； (2)当底是4时，另两边长是5，5，又5＋4>5，5－4 <5， 满足三角形三边关系定理． 所以等腰三角形的底边为4或6．
二、顶角和底角不分
• 例3 （2010年楚雄中考题）已知等腰三角形的 一个内角为700，则另外两个内角的度数是( ) • (A)55°，55° • (B)70°，40° • (C)55°，55°或70°，40° • (D)以上都不对
思路分析 等腰三角形的一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可 (1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x＋70＝180，∴x＝5 所以另外两个内角的度数是55°、55°； (2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y＋70×2＝180，∴y＝ 所以另外两个内角的度数是70°、40°． 故选C