2015建模A题太阳影子定位

A题太阳影子定位

一，摘要

（宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文）

本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。

第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。

第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。

关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法

二，问题提出

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技

术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用

你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39

度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆

所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直

杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，

给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直

杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个

可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

三，问题分析

第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化

第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后`1通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度

四，建模过程

第一问

1．模型假设

（1）：假设单一光源（太阳光）照射

（2）：直杆严格垂直于水平地面

（3）：被照射直杆的形状不会影响影子的长度

（4）：将整个天空视为一个天体圆

（5）：不考虑大气折射

（6）：问题中给出的数据可靠

2．定义符号说明

3．模型建立：

以杆影在阳光下产生影子端点移动的轨迹，代替太阳运行轨迹。运用相对运动原理，将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动，太阳绕地球转动。如图一、二所示：

图一：

图二：

（1） 计算磁偏角（赤纬角）

全年之中，每一天太阳和地球的运转与天体圆赤道之间所形成的夹角，也就是所谓的磁偏角α都不同，会在23.45︒+与23.45︒-之间变化，其计算公式为：

2(284)

23.45sin[

]

365N πα︒+= (1)

（2）由北京时间计算当地时间：

按太阳运行位置，世界采取了时差制度并且遵循此制度，各国时间历法都以此制度

为基础。按太阳运行位置，划分时区，每个时区相差15︒（每个时区相差1个小时）。当地时间s 的计算公式：

(120)

6015

s t β-=-⨯ (2)

当所得值为负数时，加上24小时。 （3）计算时角

因为地球自转一周约为24小时，所以，太阳每小时大约自东向西移动15︒

（即36024

︒

），

故时角w 的计算公式为：

()1512w s ︒=- (3)

w 为正表示偏东，w 为负表示偏西。 注意：计算中将其划为弧度制。

（4）计算太阳高度角

太阳高度角简称太阳高度(其实是角度)。太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素，它在数值上等于太阳在地球地平坐标系中的地平高度。太阳高度角ε的计算公式为：

()sin sin sin cos cos cos arc w ραγαγ=+ (4)

（5）利用太阳高度角、杆长及影长列出函数式

图三：立竿测影模拟图

如图三所示，由立竿见影的测量方式，得出影长L 公式为：

tan H

L ρ

=

(5) 4，模型求解：

已知： 由（1）（2）（3）（4）（5）得： 1tan[cos (sin sin cos cos cos )]L

H

αγαγω-=+ 根据上式，

图四

由图四，在t R ABC 中

tan AB H

BC L

ρ=

= 由有几何学原理，已知tan ρ在02

πρ<<

时为递增函数，故太阳高度越小，影子越长。影子有时比

物体长，有时比物体短。太阳高度为45度时影子和物体一样长。由一天中太阳位置的变化规律得出， 早晚影子最长，中午最短，早上到中午影子慢慢变短，中午到晚上影子慢慢又变长。相似的，我们可以得出，早晚太阳高度最小，中午最大，早上到中午太阳高度慢慢变大，中午到晚上太阳高度慢慢又变小。

②

（2）关于北京影长问题的探索

利用Matlab 绘出影子的变化规律图。 第一问需要求解的题目中给出一下参数：

:N 自1月1日算起的第295天。

（2015年10月22日） :t 北京时间 9:00-15:00