最短距离专题(答案部分)

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初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)

初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。

(完整版)勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ．故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1，根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是。

解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172．所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

中考压轴题二次函数求最短距离

20XX 年中考数学二次函数求最短距离备考专题训练知识点：1.点到直线的距离直线外一点到直线的距离垂线段最短。

2.直线与直线的距离两直线间垂线段最短。

3.在直线上找一点与直线同侧两点（不在直线上）的连线距离和最短的求法首先找同侧两点中任一点关于该直线对称的点，再将同侧另一点与对称点连线，该连线与直线的交点即为所求。

中考真题训练1．如图，在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．ABCDN M（第1题图）2．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．3．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

(第2题)4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6B C D -444.如图所示，已知点(10)A -，，(30)B ，，(0)C t ，，且0t >，tan 3BAC ∠=，抛物线经过A 、B 、C 三点，点(2)P m ，是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）对于动点(1)Q n ，，求PQ QB +的最小值；（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求AMP △的边AP 上的高h 的最大值．二次函数求最短距离参考答案1．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，OACBxy请说明理由．解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12a =．……1分将点B (2，n )的坐标代入212y x =，求得点B 的坐标为(2，2)，则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． ……1分直线AP 的解析式是5433y x =-+．……1分令y =0，得45x =．即所求点Q 的坐标是(45，0)．……1分(2)① 解法1：CQ =︱-2-45︱=145，……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短，……2分此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分解法2：设将抛物线212y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．直线A ′′B ′的解析式为554333y x m =+-． (1)分要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上， ……1分将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145m =．……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分② 左右平移抛物线212y x =，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短； ……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．……1分第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分(第1题)4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B CD -44(第1题(1)) 4 x2 2A8 -2 O -2 -4 y 6 BCD -44Q P (第1题(2)①)4 x2 2 A ′8-2 O -2 -4 y 6B ′ CD -4 4 A ′′(第1题(2)②)4 x 2 2A ′8-2 O-2 -4 y6B ′CD -4 4 A ′′B ′′点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)，直线A ′′B ′′的解析式为55222y x b =++．要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析式，解得165b =．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116()25y x =+．……1分2．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

数学考点---最短距离问题(带答案)

数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。

利用勾股定理求最短距离-补充资源-贾东旭

变式训练第1题变式.如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？答案：由勾股定理，82+62=102102+242=262 .∴30-26=4.第14题变式1、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？答案：解：将正方体展开，连接AM，根据两点之间线段最短，AM==．答：蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为．(考点：平面展开-最短路径问题。

)变式2：如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是．答案：解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．(考查知识点：根据两点之间线段最短求解．)变式3、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是10．答案：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB==10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．第15题变式：1、如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少cm．（π取3）答案：解：将圆柱体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，则AC=4π=12，∴AB==20cm．变式2：如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为13cm．答案：解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．综合应用.1、(考点：轴对称-最短路线问题)如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河流的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3万元，请你在河流CD上选择建水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？答案：解：作点A关于CD的对称点E，连接EB，交CD于M.则AC=CE=10公里.过点A作AF⊥BD,垂足为F.过点B作CD的平行线交EA延长线于G，得矩形CDBG.则CG=BD=30公里，BG=CD=30公里，EG=CG+CE=30+10=40里.在Rt△BGE中，由勾股定理，BE2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，∴3×50=150(万元).答：铺设水管的总费用最少为150万元.2、(此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，解答时要注意应用相似三角形的性质)如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米．答案：解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．易得△A′CM≌△BDM，AC=BD，所以A′C=BD，所以CM=DM，M为CD的中点，由于A到河岸CD的中点的距离为500米，所以A′到M的距离为500米，A′B=1000米．故最短距离是1000米．3、(主要考查正方形中的最小值问题．把轴对称、两点之间线段最短、以及把立体图形转化成平面图形等相关知识与勾股定理相结合)。

最短距离专题训练

最短距离专题训练一．选择题（共5小题）1．在直角坐标系中，已知点A（﹣3，2），B（2，﹣4），在x轴上找一点C，使AC+BC最短，则点C的坐标为（）A．B．C．（﹣4，0）D．2．在直角坐标系中点A（2，3）点B （﹣3，1），在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（1，0）3．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6B．8C．10 D．12二．填空题（共4小题）6．已知点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（2，2），在x轴上求一点C，使得AC+BC最短，则C的坐标为_________．7．已知在坐标轴上有两点A（3，6），和B（2，﹣2），试在y轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为_________．三．解答题（共21小题）10．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一颗树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．11．某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用：（1）如图1，是在直线l上找一点P，使得PA+PB最短（画图即可）．（2）如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA+PE的值最小，并说明理由．（3）探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，MN，NA，请你应用（1）的原理在图2中找出点M，N，使得EM+MN+NA的值最小，画图即可．12．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）13．如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）请猜想点P在边AC的什么位置上，试用这个结论，若三角形ABC的边AC上的高为1，求MP+NP的最短长度．14．已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）15．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；（2）线段CC′被直线l_________；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，并算出这个最短长度．16．在平面直角坐标系中，A（2，﹣5）、B（5，﹣1）①在x轴上找一点C，是C点到A、B的距离之和最短，求C点坐标；②在x轴上有两点M（a，0）、N（a+2，0），当四边形ABNM的周长最短时，求a的值．17．如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）若AC边上的高为1，求MP+NP的最短长度．18．如图，已知直线MN与直线MN同侧的两点A、B，试在MN上找一点，使得PA=PB．19．如图，在8×6正方形方格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；（2）线段CC′被直线l_________；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，不写作法，保留作图痕迹．20．如图，已知△ABC和直线l．（1）请你作出与△ABC关于直线l对称的△A′B′C′．（保留作图痕迹，不写作法）（2）请你在直线l上找到一点P，使得AP+BP最短．21．已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．23．在直线m上找一点C，使CA+CB的值最小．24．（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR 的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是_________．25．平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB．从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考．而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径．这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）26．七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是_________；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD 的周长最小，则点D的坐标应该是_________；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC 周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）27．如图，在平面直角坐标系中，若A点的坐标是（﹣2，1），B点的坐标是（4，3）．在x轴上求一点C，使得CA+CB最短．28．如图，已知平面坐标系中，A（﹣1，5），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．（1）求出△ABC的面积；（2）写出A、B、C三点关于y=3的直线对称点A1、B1、C1的坐标；（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最短，求出P点坐标．29．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．30．已知平面直角坐标系中有A（﹣2，1），B（2，3）两点．（1）在x轴上找一点M，使MA+MB最小，并求出点M的坐标；（2）在x轴上找一点N，使得△ABN为等腰三角形，并通过画图说明使△ABN为等腰三角形的点N有多少个？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．在直角坐标系中，已知点A（﹣3，2），B（2，﹣4），在x轴上找一点C，使AC+BC最短，则点C的坐标为（）A．B．C．（﹣4，0）D．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：计算题；压轴题．分析：点A（﹣3，2）在第二象限，点B（2，﹣4）在第四象限，连接AB交x轴于C点，C点即为所求．根据A、B两点的坐标求直线AB的解析式，再求C点坐标．解答：解：设直线AB解析式为y=kx+b，将A（﹣3，2），B（2，﹣4）代入，得，解得，∴y=﹣x﹣，当y=0时，x=﹣，即C（﹣，0）．故选B．点评：本题考查了坐标系中求最短路线问题．当已知两点在x轴两侧时，直接连接这两点，与x轴的交点即为所求；当已知两点在x轴同侧时，作其中一个点关于x轴的对称点，将对称点与另外一个点连接，与x轴的交点即为所求．2．在直角坐标系中点A（2，3）点B （﹣3，1），在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（1，0）考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．分析：得到点A关于x轴的对称点的坐标A′，可得到直线A′B的解析式，求得与x轴的交点即为所求点的坐标．解答：解：∵点A（2，3），∴点A关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3），设直线A′B的解析式为y=kx+b，，解得k=﹣，b=﹣∴y=x﹣∴P的坐标为（﹣，0）．故选：B．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点．3．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6B．8C．10 D．12考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．专题：压轴题．分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．解答：解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B，过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，在Rt△AEB中，BE==，在Rt△A′EB中，A′B==8．故选B．点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．二．填空题（共4小题）6．已知点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（2，2），在x轴上求一点C，使得AC+BC最短，则C的坐标为（，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：计算题；数形结合．分析：利用轴对称变换得到一个点关于x轴的对称点，求出此点与另一点组成的直线的解析式，最后求出直线与x 轴的交点坐标即可．解答：解：A（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为D（﹣1，﹣2），设直线AD的解析式为y=kx+b∴解得：∴解析式为y=x﹣令x﹣=0，解得：x=∴C点的坐标为（，0）．故答案为（，0）．点评：本题考查了轴对称的相关知识以及求直线的解析式和直线与坐标轴的交点的知识．7．已知在坐标轴上有两点A（3，6），和B（2，﹣2），试在y轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为（0，）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．分析：先画出直角坐标系，标出A、B点的坐标，再求出A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则P即为所求点，用待定系数法求出过A′B两点的直线解析式，求出此解析式与y轴的交点坐标即可．解答：解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，设过A′B的直线解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得k=﹣，b=，故此直线的解析式为：y=﹣x+，当x=0时，y=，即点P的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．点评：本题考查的是最短线路问题及用待定系数法求一次函数的解析式，熟知轴对称的性质及一次函数的相关知识是解答此题的关键．三．解答题（共21小题）10．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一颗树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．考点：全等三角形的应用．分析：将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．解答：证明：如图，由做法知：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC∴AB=ED即他们的做法是正确的．点评：本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．11．某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用：（1）如图1，是在直线l上找一点P，使得PA+PB最短（画图即可）．（2）如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA+PE的值最小，并说明理由．（3）探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，MN，NA，请你应用（1）的原理在图2中找出点M，N，使得EM+MN+NA的值最小，画图即可．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：（1）先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．（2）首先作E点关于BD的对称点E′，再连接AE′，与BD的交点即为P点．此时PA+PE=AE′最小；（3）首先作F 和E关于BC对称再作G 和F关于CD对称，再连接AG，当N为AG和CD交点时最小，此时M为NF和BC的交点，得出图形即可．解答：解：（1）如图所示：（2）作E点关于BD的对称点E′，连接AE′，与BD的交点即为P点．因为AP+PE=AP+PE′=AE′，此时A，P，E′三点共线，所以此时此时PA+PE=AE′最小；（3）作F 和E关于BC对称再作G 和F关于CD对称，连接AG，当N为AG和CD交点时最小此时M为NF和BC的交点，理由：作了对称后有EM=FM，所以EM+MN=FM+MN≥FN，当且仅当F，M，N，3点共线时取等号，此时最小，同理可知道EM+MN+NA最小值．点评：此题主要考查了运用对称性解决最短距离问题，特别是（3）中利用轴对称得出当且仅当F，M，N，3点共线时EM+MN=FM+MN=FN是解决问题的关键．12．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）考点：轴对称-最短路线问题．专题：作图题．分析：作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点．解答：解：①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，②由对称的性质可知PN=PN′，故PN+PM=MN′，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′+MN．点评：本题考查的是最短线路问题，根据两点之间线段最短的知识作出N的对称点是解答此题的关键．13．如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）请猜想点P在边AC的什么位置上，试用这个结论，若三角形ABC的边AC上的高为1，求MP+NP的最短长度．考点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质．分析：（1）以点M为圆心，以任意长为半径画弧与AC相交于两点，再以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，相交于一点，过这点与M作直线与AC相交于点O，再截取OM′=OM，然后连接M′N与AC相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，点P即为使MP+NP最短的点；（2）根据等腰三角形的对称性猜测点P是AC的中点；连接PM、BP，根据等腰三角形三线合一的性质可得BP是AC边上的高，再求出∠A=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BP，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=AB，同理求出PN，相加即可得解．解答：解：（1）如图所示，点P即为所求；（2）P是AC的中点．连接PM，BP，∵AB=BC，P是AC的中点，∴BP为AC边上的高，BP=1，∴∠APB=90°．∵∠B=120°，∴∠BAP=30°，∴AB=2BP=2×1=2，又∵M是AB的中点，∴PM=AB=×2=1，同理PN=1，∴PM+PN=2．点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，利用轴对称确定最短路线问题的方法需熟练掌握并灵活运用，熟记各性质是解题的关键．14．已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）考点：轴对称-最短路线问题．专题：作图题．分析：先作出点A关于I的对称点A′，B点向左平移到B′（平移的长度为定值a），再连接A'B′，与l交于C，再作BD∥A′B′，与l交于D，即可确定点D、C．解答：解：如图所示：红线即为所求．点评：本题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题的几何作图，属稍难题，此题的难点主要是确定点C、点D的位置．15．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；（2）线段CC′被直线l垂直平分；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，并算出这个最短长度．考点：作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；（3）根据轴对称确定最短路线，连接B′C，与对称轴l的交点即为所求点P，再利用勾股定理求出即可．解答：解：（1）如图所示：（2）∵△ABC与△AB′C′关于直线l成轴对称，∴线段CC′被直线l垂直平分；故答案为：垂直平分；（3）连接B′C，交直线l与点P，此时PB+PC的长最短，可得BP=B′P，则B′C=BP+CP===．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线．16．在平面直角坐标系中，A（2，﹣5）、B（5，﹣1）①在x轴上找一点C，是C点到A、B的距离之和最短，求C点坐标；②在x轴上有两点M（a，0）、N（a+2，0），当四边形ABNM的周长最短时，求a的值．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：计算题；数形结合．分析：①在x轴上找一点C，使C到A，B的距离之和最短，A（2，﹣5）的对称点是A1（2，5）C点应该是A1B 连线与x轴的交点．②作A点关于x轴的对称点A1，然后将A1向右平移2个单位得到A2，连接A2、B，A2B与x轴交点即为N点，M点比N点横坐标小2．解答：解：①A（2，﹣5）的对称点是A1（2，5）．直线A1B的方程是：y=﹣2x+9所以C（，0）．②A1（2，5）向右平移两个单位后A2（4，5），A2B的方程为：y=﹣x+11所以N点的坐标为：（，0）．a=﹣2=．点评：本题考查路径最短问题，关键是通过对称找到最短路径，从而求出解得到结果．17．如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）若AC边上的高为1，求MP+NP的最短长度．考点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质．专题：作图题．分析：（1）作点M关于AC的对称点M′，连接M′C交AC于点P，则点P即为所求点；（2）连接AM′，MP，BP，则点M’和点M关于AC对称，根据对称的性质可得出△MPA≌△M’PA，由全等三角形的性质可判断出△BMP为等边三角形，再由等边三角形的性质即可解答．解答：解：（1）如图1所示，点P即为所求．（2）如图2所示，连接AM′，MP，BP∵点M′和点M关于AC对称∴MP=M′P，∠MPA=∠M′PA又∵PA=PA∴△MPA≌△M′PA∴∠BAC=∠M′AC，AM=AM′又∵AB=BC∴∠BAC=∠C∴∠M′AC=∠C又∵M，N分别为AB，BC边上的中点∴AM=NC即：AM′=NC又∵∠APM′=∠CPN∴△APM′≌△CPN∴AP=PC∴BP为AC边上的高又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30°∴BP=AB=MB又∵∠ABP=60°．∴△BMP为等边三角形∴MP=BP=1同理：NP=1∴MP+NP的最短长度为2．点评：本题考查的是最短路线问题及全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．18．如图，已知直线MN与直线MN同侧的两点A、B，试在MN上找一点，使得PA=PB．考点：作图—基本作图．专题：作图题．分析：到A，B的距离相等的点，应在AB的垂直平分线上．作出AB的垂直平分线，与MN的交点就是所求的点．解答：解：连接AB，作AB的垂直平分线CP，交AB于点C，交MN于点P，点P为即为所求．点评：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．19．如图，在8×6正方形方格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；（2）线段CC′被直线l垂直平分；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，不写作法，保留作图痕迹．考点：作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；（3）根据轴对称确定最短路线，连接BC′，与对称轴l的交点即为所求点P．解答：解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求作的三角形；（2）线段CC′被直线l垂直平分；（3）点P即为所求作直线l上使PB+PC的长最短的点．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线．20．如图，已知△ABC和直线l．（1）请你作出与△ABC关于直线l对称的△A′B′C′．（保留作图痕迹，不写作法）（2）请你在直线l上找到一点P，使得AP+BP最短．考点：作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．专题：作图题．分析：（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可得解；（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B与直线l的交点即为所求作的点P的位置．解答：解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的△ABC关于直线l对称的图形；（2）如图所示，点P即为AP+BP最短的点的位置．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称确定最短路线问题，找出对应点的位置是解题的关键．21．已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）考点：线段的性质：两点之间线段最短．专题：作图题．分析：显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．解答：解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB最小，理由是两点之间，线段最短．点评：本题考查了求两点之间的距离，线段最短，比较简单．22．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．考点：作图—复杂作图．专题：压轴题．分析：（1）以点A为圆心，大于点A到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C两点，则点B，C即为所求．或在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C即为所求；（2）在直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P．则点P即为所求．解答：解：（1）画法一：以点A为圆心，大于点A到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C两点，则点B，C即为所求．画法二：在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C即为所求．（2）画法：在直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P．则点P即为所求．点评：此题通过作图考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质．23．在直线m上找一点C，使CA+CB的值最小．考点：轴对称-最短路线问题．分析：作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点C，则CA+CB的值最小．解答：解：如图，点C即为所求．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决此类问题时，通常利用轴对称，将折线转化成直线，再根据“两点之间，线段最短”等知识得到最短线段．24．（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR 的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是10．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可得出P点位置；（2）根据轴对称的性质得出：∠P″OB=∠BOP，∠POA=∠AOP′，OP″=OP=OP′=10，进而利用勾股定理得出P′P″的长即可．解答：解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：连接OP″，OP′，根据对称性可得出：∠P″OB=∠BOP，∠POA=∠AOP′，OP″=OP=OP′=10，∵∠AOB=45°，∴∠P″OP′=90°，∴P′P″==．故答案为：10．点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，根据已知对称的性质得出∠P″OP′=90°是解题关键．25．平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB．从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考．而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径．这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）考点：轴对称-最短路线问题；线段的性质：两点之间线段最短．专题：阅读型；数形结合．分析：（1）根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案．（2）下面一题，就是上一题的变形，本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想：将折线长的问题转化为线段长的问题来解答．（3）利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E，将周长问题转化为线段长度的问题解答．（4）由于AB长度固定，四边形周长最小，即除AB外其余各边之和最小．解答：（1）解：如图所示．线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P．（2）解：首先，作点B关于L的对称点B′，（如图所示），因为OB'=OB，∠BOP=∠B′，OP=OP，所以△OPB≌△OPB′．所以，PB=PB′．因此，求AP+BP就相当于求AP+PB′．。

初二最短距离练习题及答案

初二最短距离练习题及答案（题目一）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(-4, 1)，求线段AB的长度。

（解答一）根据两点间的距离公式，假设点A的坐标为 (x1, y1)，点B的坐标为 (x2, y2)，则线段AB的长度可以计算为：AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]代入题目中的坐标值，可以得到：AB = √[(-4 - 2)^2 + (1 - 3)^2]= √[(-6)^2 + (-2)^2]= √[36 + 4]= √40= 2√10所以线段AB的长度为2√10。

（题目二）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点C(3, -5)和点D(1, 2)，求线段CD的长度。

（解答二）同样使用两点间的距离公式计算线段CD的长度，代入题目中的坐标值可以得到：CD = √[(1 - 3)^2 + (2 - (-5))^2]= √[(-2)^2 + 7^2]= √[4 + 49]= √53所以线段CD的长度为√53。

（题目三）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点E(-3, -1)和点F(5, -4)，求线段EF的长度。

（解答三）使用两点间的距离公式计算线段EF的长度，代入题目中的坐标值可以得到：EF = √[(5 - (-3))^2 + (-4 - (-1))^2]= √[(8)^2 + (-3)^2]= √[64 + 9]= √73所以线段EF的长度为√73。

（题目四）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点G(-2, 4)和点H(-4, -3)，求线段GH的长度。

（解答四）使用两点间的距离公式计算线段GH的长度，代入题目中的坐标值可以得到：GH = √[(-4 - (-2))^2 + (-3 - 4)^2]= √[(-2)^2 + (-7)^2]= √[4 + 49]= √53所以线段GH的长度为√53。

总结：初二最短距离练习题的答案如下：1. 线段AB的长度为2√10。

初二数学最短距离练习题答案

初二数学最短距离练习题答案这里将提供初二数学最短距离练习题的详细解答和答案。

通过对这些练习题的解析，你将能够更好地理解最短距离的概念和计算方法。

一、选择题1. 以下哪个选项不属于计算两点间最短距离的实际应用？A. 航空导航B. GPS定位C. 地图测绘D. 时间计算正确答案：D解析：最短距离的计算主要应用于航空导航、GPS定位和地图测绘等领域，帮助确定点与点之间的最短路径或距离。

时间计算与最短距离的概念没有直接关联。

2. 在直角坐标系中，点A(3,4)和点B(-1,2)之间的最短距离是多少？A. 2B. 4C. 5D. 6正确答案：C解析：根据两点间距离公式，设两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则最短距离d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

代入A(3,4)和B(-1,2)的坐标，得到d = √[(3-(-1))² + (4-2)²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5 ≈ 4.47，选C。

二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(5,1)之间的最短距离是_________。

答案：√10 或 3.16解析：带入最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，得到d = √[(5-2)² + (1-3)²] = √[9 + 4] = √13 ≈ 3.16，故答案为√13 或 3.16。

2. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(-2,4)和点B(3,1)之间的最短距离为______。

答案：√34 或 5.83解析：根据图中两点的坐标，应用最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，计算可得d = √[(3-(-2))² + (1-4)²] = √[25 + 9] = √34 ≈ 5.83，故答案为√34 或 5.83。

最短路径问题总动员（含答案）

最短路径问题总动员（含答案）最短路径问题专题练习1. 如图，长⽅体中，，，，⼀蚂蚁从点出发，沿长⽅体表⾯爬到点处觅⾷，则蚂蚁所⾏路程的最⼩值为A. B. C. D.2. 如图是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长、宽和⾼分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有⼀只壁虎，它想到点去吃可⼝的⾷物，请你想⼀想，这只壁虎从点出发，沿着台阶⾯爬到点，⾄少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的⼩正⽅形及其部分对⾓线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段⾛，那么从点到点的最短距离的⾛法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所⽰，圆柱的底⾯周长为，是底⾯圆的直径，⾼，点是母线上⼀点且．⼀只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表⾯爬⾏到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长、宽、⾼分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有⼀只蚂蚁，想到点去吃可⼝的⾷物，则蚂蚁沿着台阶⾯爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长⽅体上系⼀根绳⼦连接，绳⼦与交于点，当所⽤绳⼦最短时，绳⼦的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所⾏的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所⽰，⼀圆柱⾼，底⾯半径长，⼀只蚂蚁从点爬到点处吃⾷，要爬⾏的最短路程（取）是A. B. C. D. ⽆法确定9. 如图圆柱底⾯半径为 cm，⾼为 cm，点，分别是圆柱两底⾯圆周上的点，且，在同⼀母线上，⽤⼀棉线从顶着圆柱侧⾯绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图，点为正⽅体左侧⾯的中⼼，点是正⽅体的⼀个顶点，正⽅体的棱长为，⼀蚂蚁从点沿其表⾯爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所⽰是⼀棱长为的正⽅体，把它分成个⼩正⽅体，每个⼩正⽅体的边长都是 .如果⼀只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满⾜A. B. C. D. 或12. 如图所⽰，圆柱形玻璃杯的⾼为，底⾯周长为，在杯内离杯底的点处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正⽅体左侧⾯的中⼼，点是正⽅体的⼀个顶点，正⽅体的棱长为，⼀蚂蚁从点沿其表⾯爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样⼀道数学问题：“枯⽊⼀根直⽴地上，⾼⼆丈周三尺，有葛藤⾃根缠绕⽽上，五周⽽达其顶，问葛藤之长⼏何?”，题意是如图所⽰，把枯⽊看作⼀个圆柱体，因⼀丈是⼗尺，则该圆柱的⾼为尺，底⾯周长为尺，有葛藤⾃点处缠绕⽽上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底⾯的半径为，⾼为，，分别是两底⾯的直径．若⼀只⼩⾍从点出发，沿圆柱侧⾯爬⾏到点，则⼩⾍爬⾏的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器⾼，底⾯周长为，在杯内壁离杯底的点处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所⽰的正⽅体⽊块的棱长为，沿其相邻三个⾯的对⾓线（图中虚线）剪掉⼀⾓，得到如图②的⼏何体，⼀只蚂蚁沿着图②中的⼏何体表⾯从顶点爬⾏到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为．如果⽤⼀根细线从点开始经过个侧⾯缠绕⼀圈到达点，那么所⽤细线最短需要．19. 如图，长⽅体的长为，宽为，⾼为，点距离点，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点爬到点，蚂蚁爬⾏的最短距离是．20. 我国古代有这样⼀道数学问题：“枯⽊⼀根直⽴在地上，⾼⼆丈，周三尺，有葛藤⾃根缠绕⽽上，五周⽽到其顶，问葛藤之长⼏何?”题意是：如图，把枯⽊看做⼀个圆柱体，因⼀丈是⼗尺，则该圆柱的⾼是尺，底⾯周长为尺，有葛藤⾃点处缠绕⽽上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为，若⼀只蚂蚁从点开始经过个侧⾯爬⾏⼀圈到达点，则蚂蚁爬⾏的最短路径长为 .22. ⼀只蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬⾏的最短路线的长是．23. 如图所⽰是⼀段三级台阶，它的每⼀级的长、宽和⾼分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有⼀只蚂蚁，想到点去吃可⼝的⾷物，设蚂蚁沿着台阶⾯爬到点的最短路程为，则以为边长的正⽅形的⾯积为 .QQ群45011622524. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为．如果⽤⼀根细线从点开始经过个侧⾯缠绕⼀圈到达点，那么所⽤细线最短需要；如果从点开始经过个侧⾯缠绕圈到达点，那么所⽤细线最短需要25. 在⼀个长为⽶，宽为⽶的矩形草地上，如图堆放着⼀根长⽅体的⽊块，它的棱长和场地宽平⾏且⼤于，⽊块的正视图是边长为⽶的正⽅形，⼀只蚂蚁从点处，到达处需要⾛的最短路程是⽶（精确到⽶）26. 如图为⼀圆柱体⼯艺品，其底⾯周长为，⾼为，从点出发绕该⼯艺品侧⾯⼀周镶嵌⼀根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，⼀个没有上盖的圆柱盒⾼为，底⾯圆的周长为，点距离下底⾯，⼀只位于圆柱盒外表⾯点处的蚂蚁想爬到盒内表⾯对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬⾏的最短路程的长为．28. 图1 所⽰的正⽅体⽊块棱长为，沿其相邻三个⾯的对⾓线（图中虚线）剪掉⼀⾓，得到如图 2 的⼏何体，⼀只蚂蚁沿着图 2 的⼏何体表⾯从顶点爬⾏到顶点的最短距离为．29. ⼀只蚂蚁沿棱长为的正⽅体表⾯从顶点爬到顶点，则它⾛过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三⾓形，圆锥的底⾯半径为，假若点有⼀蚂蚁只能沿圆锥的表⾯爬⾏，它要想吃到母线的中点处的⾷物，那么它爬⾏的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底⾯半径是，是底⾯圆周上⼀点，从点出发绕侧⾯⼀周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，⼀个正⽅体⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．（1）请你在正⽅体⽊柜的表⾯展开图中画出蚂蚁能够最快达到⽬的地的可能路径；（2）当正⽅体⽊柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是⼀种植物，它⾃⼰腰杆不硬，为了争夺⾬露阳光，常常绕着树⼲盘旋⽽上，它还有⼀个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕⼀圈升⾼，则它爬⾏路程是多少?（2）如果树的周长为，绕⼀圈爬⾏，则爬⾏⼀圈升⾼多少?如果爬⾏圈到达树顶，则树⼲多⾼?34. 如图所⽰，长⽅体的长为，宽为，⾼为，点与点之间相距，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点爬到点，需要爬⾏的最短距离是多少?35. 图①，图②为同⼀长⽅体房间的⽰意图，图③为该长⽅体的表⾯展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙⾯爬⾏的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬⾏的最近路线和往墙⾯爬⾏的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆⼼到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬⾏路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底⾯是长为，宽为的长⽅形．⼀只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表⾯爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬⾏（不能重复爬⾏同⼀条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下⾯的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴⼀起做⼀个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌⾯上，则它的侧⾯展开图是⼀个．（3）如果点是的中点，在处有⼀只蜗⽜，在处恰好有蜗⽜想吃的⾷品，但它⼜不能直接沿爬到处，只能沿此⽴体图形的表⾯爬⾏．你能在侧⾯展开图中画出蜗⽜爬⾏的最短路线吗?（4）的长为，侧⾯展开图的圆⼼⾓为，请你求出蜗⽜爬⾏的最短路程．38. 如图，⼀只⾍⼦从圆柱上点处绕圆柱爬⼀圈到点处，圆柱的⾼为，圆柱底⾯圆的周长为，求⾍⼦爬⾏的最短路程．39. 如图，⼀个长⽅体形的⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达⽬的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图⼀个长⽅体形的⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓A处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．当＝，＝，＝时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. ⼀只蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬⾏的最短路线的长．42. 如图所⽰是⼀段楼梯，已知，，楼梯宽 .⼀只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬⾏的最短路程.QQ群45011622543. 如图，⼀个长⽅体⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓A处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达⽬的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底⾯半径为，⾼，现在有⼀只蚂蚁从底边上⼀点出发．在侧⾯上爬⾏⼀周⼜回到点，求蚂蚁爬⾏的最短距离．45. 如图，是⼀个长⽅体盒⼦，长，宽，⾼．（1）⼀只蚂蚁从盒⼦下底⾯的点沿盒⼦表⾯爬到点，求它所⾏⾛的最短路线的长．（2）这个长⽅体盒⼦内能容下的最长⽊棒的长度为多少?46. 图1、图2为同⼀长⽅体房间的⽰意图，图 3为该长⽅体的表⾯展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙⾯爬⾏的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬⾏的最近路线和往墙⾯爬⾏的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆⼼到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬⾏路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长⽅体中，，，⼀只蚂蚁从点出发，沿长⽅体表⾯爬到点，求蚂蚁怎样⾛最短，最短路程是多少?48. 如图，平⾏四边形中，，，，将平⾏四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的⼀个动点，请计算的最⼩值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸⽚折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸⽚还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深⼊探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最⼩值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某⼀种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶⾯展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎⾄少爬⾏．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正⽅体的左侧⾯与前⾯展开，构成⼀个长⽅形，⽤勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧⾯沿剪开并铺平得长⽅形，连接，如图．线段就是⼩⾍爬⾏的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长⽅体的右侧表⾯剪开与前⾯这个侧⾯所在的平⾯形成⼀个长⽅形，如图 1：长⽅体的宽为，⾼为，点离点的距离是，，，在直⾓三⾓形中，根据勾股定理得：。

人教版八年级数学下册《最短距离》专题训练

F ·DE CA B八年级数学下册《最短距离》专题训练1.如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为．2.已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为．3.已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8，△ABE 的周长为14，则AB 的长．1题图 2题图 3题图4.如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为 cm ．5.如图，在锐角ABC ∆中，AC=7cm ，214ABC S cm ∆=，AD 平分BAC ∠，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是．4题图 5题图6题图6.如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AD是BC边上的中线，且AD=12，点E是边AC的中点，点F是AD 上的动点，则一只蚂蚁从E到F，回到C点的最短路程是．7.如图，OD是△AOB内部的一条射线，在OD上截取OP=2，M、N分别为OA、OB上的动点。

若△PMN周长的最小值等于2，则△AOB=．8.如图，在△ABC中，△BAC=60 ，AM平分△BAC，点Q是线段AB的中点，点P 为线段AM上的一动点，连接QP、BP，当PQ+PB取得最小值时，△QPB的度数为．7题图7题图8题图9如图，四边形ABCD中，∠C=60°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一点M,N，使△AMN的周长最小，求∠AMN+∠ANM的度数.5．如图：△ABC中，AC=6，∠BAC=22.5°，点M、N分别是射线AB和AC上动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．2C．3D．3。

初二数学专题练习最短距离问题

初二数学专题练习最短距离问题1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ 最短．4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值5.如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是．6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCDAC P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．C．3 D7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置．（2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短．10.如图，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B 的距离最短．（河的两岸是平行的）①请画出架桥的位置．（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程．11.一次函数y kx b=+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．12.如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D （n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m=________，n=________．13.蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为1cm，2cm，3cm的AB处（如图所示），这只蚂蚁走的路程是B.D.(1cm14.如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想。