最短距离专题(答案部分)

（4）作 A 关于 OM 的对称点 E，再作 B 关于 ON 的对称点 F，连接 EF 交 OM 于 C，交 ON 于 D，连接 AC，CD，BD， 则四边形 ABCD 即为所求．
4．已知直线 L 外有两点 A、B，AC⊥L，BD⊥L，垂足分别为 C、D，且 AC=3，BD=8， CD=12． （1）当 A、B 在 L 同侧时，在 L 上求一点 P，使 PA+PB 值最小，画出图形，并求 出最小值． （2）当 A、B 在 L 异侧时，在 L 上求一点 P，使|PA﹣PB|最大，画出图形，并求 出最大值． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得 B 点关于 L 的对称点 B′，根据线 段垂直平分线的性质，可得 PB=PB′，根据两点之间线段最短，可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质，可得 A 点关于 L 的对称点 A′，根据线段垂直 平分线的性质，可得 PA=PA′根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）如图 1：
3．作图题（不写作法，用尺规作图，保留作图痕迹）： （1）如图①，点 A、B 在直线 l 的两侧，在 l 上求一点 P，使得 PA+PB 最小； （2）如图②，点 A、B 在直线 l 的同一侧，在 l 上求一点 P，使得 PA+PB 最小； （3）如图③，点 A 是锐角三角形 MON 内部任意一点，在∠MON 的两边 OM， ON 上各取一点 B、C，与点 A 组成三角形，使三角形周长最小； （4）如图④，AB 是锐角三角形 MON 内部一条线段，在∠MON 的两边 OM，ON 上各取一点 C、D 组成四边形，使四边形周长最小．
【分析】（1）首先作出∠AOB 角平分线，再作出 MN 的垂直平分线，交点即为 P； （2）先作出 M 点关于 AB 的对称点 G，连接 NG 交 AB 于 Q，则 Q 就是所求． 【解答】解：（1）如图所示：
∴点 P 是所求做的点； （2）由题意，得 ∴点 Q 是所求作的点． 【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，线段的垂直平分线的性质的运用， 轴对称最短路径问题的运用，解答时熟练掌握基本作图的方法是关键．
4、如图，∠AOB 内有一点 P，在 OA 和 OB 边上分别找出 M、N，使Δ PMN 的周 长最小。
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基本应用
1．如图，∠AOB=30°，内有一点 P 且 OP=5，若 M、N 为边 OA、OB 上两动点， 那么△PMN 的周长最小为 5 ．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出 OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等 边三角形 DOE，求出 DE=5，求出△PMN 的周长=DE，即可求出答案． 【解答】解：作 P 关于 OA 的对称点 D，作 P 关于 OB 的对称点 E，连接 DE 交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 PM，PN，则此时△PMN 的周长最小， 连接 OD，OE， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OD=OP，PM=DM， 同理 OE=OP，PN=EN，∴OD=OE=OP=5， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OA⊥PD， ∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA， 同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB2×30°═60°， ∵OD=OE=5，∴△DOE 是等边三角形， ∴DE=5 即△PMN 的周长是 PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=5，
=
=13．
5．（1）如图 1，直线同侧有两点 A、B，在直线上求一点 C，使它到 A、B 之和最 小．（保留作图痕迹不写作法）
（2）知识拓展：如图 2，点 P 在∠AOB 内部，试在 OA、OB 上分别找出两点 E、 F，使△PEF 周长最短（保留作图痕迹不写作法） （3）解决问题：①如图 3，在五边形 ABCDE 中，在 BC，DE 上分别找一点 M，N， 使得△AMN 周长最小（保留作图痕迹不写作法） ②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM 的度数为 110° ．
【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点； （2）过 A 作直线 l 的垂线，在垂线上取点 A′，使直线 l 是 AA′的垂直平分线，连 接 BA′即可得出 P 点位置； （3）作出 A 关于 OM 的对称点 A'，关于 ON 的 A 对称点 A''，连接 A'A''，根据两 点之间线段最短即可得到三角形周长最小； （4）作 A 关于 OM 的对称点 E，再作 B 关于 ON 的对称点 F，连接 EF 交 OM 于 C，交 ON 于 D，连接 AC，CD，BD，根据两点之间线段最短即可得到四边形 ABCD 即为所求． 【解答】解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点 P， 则点 P 即为所求；
【分析】（1）由直线 PM 为线段 AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AM=BM，同理可得 AN=NC， 然后表示出三角形 AMN 的三边之和，等量代换可得其周长等于 BC 的长，由 BC 的长即可得到三角形 AMN 的周长． （2）作 P 关于 OA，OB 的对称点 C，D．连接 OC，OD．则当 M，N 是 CD 与 OA， OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长．根据对称的性质可以 证得：△COD 是等腰三角形，据此即可求解． 【解答】（1）证明：∵直线 MP 为线段 AB 的垂直平分线（已知）， ∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 又∵直线 NQ 为线段 AC 的垂直平分线（已知）， ∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∴△AMN 的周长 l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），
【分析】（1）作 M 关于 OA 的对称点 M′，作 M 关于 OB 的对称点 M″，连接 M′M″ 交 OA 于 P，交 OB 于 Q，于是得到线段 M′M″的长度=△PMQ 的周长最小值，连 接 OM′，OM″，OM，根据轴对称的性质得到 OM=OM′=OM″，∠M′OA=∠MOA， ∠MOB=∠M″OB，推出△M′OM″是等边三角形，即可得到结论； （2）△PMQ 的周长会发生变化，由（1）知，△PMQ 的周长=M′M″，当△PMQ 的周长取到最小值时，M′M″取到最小值，由于 M′M″=OM，于是得到 OM⊥AB 时，OM 取到最小值，即可得到结论． 【解答】解：（1）作法：作 M 关于 OA 的对称点 M′，作 M 关于 OB 的对称点 M″， 连接 M′M″交 OA 于 P，交 OB 于 Q，则线段 M′M″的长度=△PMQ 的周长最小值， 连接 OM′，OM″，OM， ∴OM=OM′=OM″，∠M′OA=∠MOA，∠MOB=∠M″OB， ∵∠AOB=30°， ∴∠M′OM″=60°， ∴△M′OM″是等边三角形， ∴M′M″=OM=2， ∴此时△PMQ 的周长=2； 故答案为：作 M 关于 OA 的对称点 M′，作 M 关于 OB 的对称点 M″，连接 M′M″ 交 OA 于 P，交 OB 于 Q，则线段 M′M″的长度=△PMQ 的周长最小值，
（2）△PMQ 的周长会发生变化， 由（1）知，△PMQ 的周长=M′M″， 当△PMQ 的周长取到最小值时， M′M″取到最小值，
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∵M′M″=OM， ∴OM 取到最小值， ∴OM⊥AB 时，OM 取到最小值， 即 OM⊥AB 时，△PMQ 的周长取到最小值．
7．已知，如图，△AOB 的 OA、OB 两边上的两点 M、N． ①求作：点 P，使点 P 到 OA、OB 的距离相等，且 PM=PN．（尺规作图，不写作 法，保留作图痕迹） ②在 AB 上找一点 Q 使四边形 ONQM 周长最小．（不一定尺规作图，可以用三角 尺，不写作法）
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（2）如图②，过 A 作直线 l 的垂线，在垂线上取点 A′，使直线 l 是 AA′的垂直平 分线，连接 BA′交直线 l 于 P 点， 则点 P 即为所求；
（3）作 A 关于 OM 的对称点 A'，关于 ON 的 A 对称点 A''，与 OM、ON 相交于 B、 C，连接 AB，BC，AC， 则△ABC 即为所求三角形；
6．已知：如图，点 M 是锐角△AOB 的 AB 边上任意一点． （1）请在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点 Q，使得△PMQ 的周长最小； 如果 OM=2，∠AOB=30°，求此时△PMQ 的周长． 作法： 作 M 关于 OA 的对称点 M′，作 M 关于 OB 的对称点 M″，连接 M′M″交 OA 于 P，交 OB 于 Q，则线段 M′M″的长度=△PMQ 的周长最小值 ； （2）当点 M 在 AB 边上运动时，△PMQ 的周长会发生变化吗？如果会发生变化， 请研究△PMQ 的周长何时会取到最小值．
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8．如图（1），在△ABC 中中，直线 ME 垂直平分 AB，分别交 AB、BC 于点 E、M， 直线 NF 垂直平分 AC，分别交 AC、BC 于点 F、N．
（1）求证：△AMN 的周长等于 BC 的长； （2）结合（1）的启发，解决下列问题：如图（2），在∠AOB=60°内部有一定点 P，且 OP=4，试在 OA、OB 上确定两点 M、N，使△PMN 周长最短，并求出最短 周长．
2．尺规作图（保留作图痕迹）：如图，已知直线 l 及其两侧两点 A、B． （1）在直线 l 上求一点 P，使到 A、B 两点距离之和最短； （2）在直线 l 上求一点 Q，使 QA=QB； （3）在直线 l 上求一点 M，使 l 平分∠AMB．
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【分析】（1）连接 AB，交直线 l 于点 P，则 P 点即为所求； （2）作线段 AB 的垂直平分线，交直线 l 于点 Q，则点 Q 即为所求； （3）作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 BA′并延长交直线 l 于点 M 即可． 【解答】解：（1）如图，点 P 即为所求； （2）如图，点来自百度文库Q 即为所求； （3）如图，点 M 即为所求．
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【分析】（1）根据两点之间线段最短，作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，即可得出答案； （2）作 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 角 OA、OB 于 E、F．此时△PEF 周长有最小值； （3）①取点 A 关于 BC 的对称点 P，关于 DE 的对称点 Q，连接 PQ 与 BC 相交于 点 M，与 DE 相交于点 N，根据轴对称的性质可得 AM=PM，AN=QN，然后求出 △AMN 周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ 的长度即为△AMN 的周长 最小值； ②根据三角形的内角和等于 180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可得出 答案． 【解答】解：（1）作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，连 接 AC，BC， 则此时 C 点符合要求．
（2）作图如下：
（3）①作图如下：
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②∵∠BAE=125°， ∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°， ∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°． 【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂 直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键．
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作 B 点关于 l 的对称点 B′，连接 AB′交 L 于 P 点，延长 AC 至 E，使 B′E⊥AE，
PA+PB 最小值=AB′=
=
=；
（2）如图 2：
， 作 A 点关于 L 的对称点 A′，连接 BA 交 L 于 P 点，|PA=PA′，
||PA﹣PB|最大值=|PA′﹣PB|=A′B=
回到原理，不按套路 基本图形
1、 直线 l 的一侧有一点 P，在直线 l 上求一点 Q，使得 PQ 的长度最短。
2、（1）直线 l 的两侧分别有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使 AC+BC 最小； （2）直线 l 的同侧有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使 AC+BC 最小。
3、（1）直线 l 的同侧有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使得 AC BC 最大； （2）直线 l 的两侧分别有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使得 AC BC 最大。