数学分析3-3函数极限存在的条件
《数学分析》考试大纲
《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。
六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。
七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。
应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。
能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域，有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限（一）考核内容数列。
数列极限的定义,无穷小数列。
收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
3-3函数极限存在的条件
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有时的一个子列当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U x Th 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。
数学分析3.3函数极限存在的条件
第三章函数极限(下载后可解决看不到公式问题)3 函数极限存在的条件定理3.8(归结原则)：设f在U⁰(x0;δ’)内有定义。
存在的充要条件是：对任何包含于U⁰(x0;δ’)且以x0为极限的数列{x n}，极限都存在且相等. 证：若=A，∀ε>0，有正数δ1(≤δ’)，使当0<|x-x0|<δ1时，|f(x)-A|<ε. 设{x n}⊂U⁰(x0;δ’)且=x0，则对δ1，有N>0，使当n>N时，有0<|x n-x0|<δ1，从而有|f(x n)-A|<ε. ∴=A. 其必要性得证.若{x n}⊂U⁰(x0;δ’)且=x0，则对∀δ>0(≤δ’)，有N>0，使当n>N时，有0<|x n-x0|<δ，设=A，∀ε>0，存在正数δ2，使当0<|x n-x0|<δ2，有|-A|<δ2，∴=A，其充分条件得证.注：1、归结原则可简述为：=A 对任何x n→x0(n→∞)有=A.2、若有以x0为极限的数列{x n}，使不存在，或两个以x0为极限的数列{x’n}与{x”n}，使与都存在但不相等，则也不存在.例1：证明极限不存在.证：设x’n=, x”n=(n=1,2,…)，则x’n→0，x”n→0(n→∞)，=0→0，=1→1(n→∞)，由归结原则可知不存在.定理3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)有定义. =A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列{x n}⊂U⁰+(x0)，有=A.证：若=A，则对∀ε>0，存在正数δ，当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε. 设递减数列{x n}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，当n>N时，有0<x n-x0<δ，即x0<x n<x0+δ，有|f(x n)-A|<ε，∴=A. 其必要性得证。
安徽师范大学考研数学分析教案chap3函数极限
第三章 函数极限教学目标：1. 掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。
2. 掌握极限存在性的判定及应用。
3. 熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限x x sin lim 0x →，x x )x11(lim +∞→及其应用。
4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。
重点：函数极限的概念、性质及计算。
难点：Heine 定理与Cauchy 准则的应用。
教学内容：§3.1 函数极限概念 一、x 趋于∞时函数的极限定义1 设f 为定义在[a, +∞)上的函数，A 为定数。
若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当x ＞M 时有A )x (f -＜ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =+∞→或f(x)→A(x →+∞).注1. A )x (f lim x =+∞→可看作数列极限a )n (f lim n =∞→的直接推广。
它们不同之处在于，这里所考虑的是所有大于M 的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。
注2. A )x (f lim x =+∞→的几何意义。
注3. A )x (f lim x ≠+∞→0ε∃⇔＞0，对M ∀＞a ，'x ∃＞M 使得A )'x (f -≥0ε.例1. 证明：(1)0xxsin limx =+∞→；(2) 231x 21x 3limx =-++∞→；(3) 2x arctan lim x π=+∞→ 定义1' (i)设f 是定义在U （-∞）(即(-∞,b])上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(-M ≤b)，使得当x ＜-M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =-∞→或f(x)→A(x →-∞).(ii)设f 是定义在U(∞)(即|x|≥a)上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当|x|＞M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =∞→或f(x)→A(x →∞).思考题：①用“ε-M ”语言叙述A )x (f lim x ≠-∞→及A )x (f lim x ≠∞→.②它们的几何意义？例2. 证明：(1) 21x 21x lim x -=--∞→；(2) 0a lim x x =-∞→(a ＞1)；(3) 2x arctan lim x π-=-∞→. 例3. 证明：(1) 0x1limx =∞→； (2) 1x11lim 2x =+∞→.命题 设f 为定义在U(∞)上的函数，则A )x (f lim x =∞→⇔A )x (f lim )x (f lim x x ==-∞→+∞→.注：x arctan lim x ∞→不存在.二、x 趋于x 0时函数的极限定义2(函数极限的δ-ε定义) 设函数f 在点x 0的某空心邻域U 0(x 0；δ')内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ')，使得当0＜|x-x 0|＜δ时有A )x (f -＜ε,则称函数f 当x 趋于x 0时以A 为极限，记作A )x (f lim 0x x =→或f(x)→A(x →x 0).例4. 证明：(1) 6)4x 2(lim 1x =+→；(2) 42x 4x lim 22x =--→；(3) 1x sgn lim 0x =→.例5. 证明：(1) o x x x sin x sin lim 0=→；(2) o x x csox x cos lim 0=→.例6. 证明：321x x 21x lim221x =---→ 例7. 证明：(1) o x x x x lim=→；(2) 202x x x 1x 1lim 0-=-→(|x o |＜1).由ε-δ定义立得c c lim 0x x =→，0x x x x lim 0=→(c 为常数，x 0为定实数)注1. 定义2中的δ，相当于数列极限ε-N 定义中的N ，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定. 一般，ε愈小，δ相应也小一些.注2. A )x (f lim 0x x =→研究的只是x →x 0这一过程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)在点x 0是否有定义或取什么值无关. 因此，只需在x 0的空心邻域中考虑. 注3. 0＜|x-x 0|＜δ⇔x ∈U 0(x 0;δ); |f(x)-A|＜ε⇔f(x)∈U(A;ε).于是, A )x (f lim 0x x =→⇔ε∀＞0，δ∃＞0，当x ∈U 0(x 0; δ)时有f(x)∈U(A; ε).⇔ε∀＞0，δ∃＞0，使得f(U 0(x 0; δ))⊂U(A; ε). 注4. ε-δ定义的几何意义.定义3 设函数f 在0U +(x 0; δ')=(x 0, x 0+δ'）（或0U -(x 0; δ')=(x 0-δ', x 0）)内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ'），使得当x 0＜x ＜x 0+δ(或x 0-δ＜x ＜x 0)时有|f(x)-A|＜ε,则称数A 为函数f 当x 趋于x +0(或x -0）时的右(左）极限，记作A )x (f lim 0x x =+→（A )x (f lim 0x x =-→）或 f(x)→A(x →x +0)（f(x)→A(x →x -0)）右极限与左极限统称为单侧极限。
数分极限知识点总结
数分极限知识点总结1. 极限的定义和性质极限是数学分析中的一个重要概念，用来描述一个函数在某一点附近的表现。
通俗地讲，极限就是描述函数在某一点“接近”的程度。
在数学上，极限可以用严谨的定义来描述，即对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数f(x)的取值趋于某一个常数L，那么就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(f(x))=L。
极限有许多重要的性质，其中最重要的包括极限的唯一性、极限的局部有界性、极限的保号性等。
这些性质在研究极限时起到了非常重要的作用。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们需要掌握一些常用的计算极限的方法，包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的放缩定理、极限的L'Hospital法则等。
这些方法对于计算复杂的极限非常有帮助，能够让我们更好地理解函数在某一点的表现。
3. 极限存在性的判定在实际问题中，我们常常会遇到需要判断一个函数在某一点是否存在极限的问题。
对于这类问题，我们需要掌握一些判定极限存在性的方法，包括柯西极限存在准则、极限存在性与函数连续性的关系、函数单调有界准则等。
熟练掌握这些方法能够帮助我们更好地解决实际问题中的极限存在性问题。
4. 极限与无穷大在数分中，我们经常会遇到一些极限涉及到无穷大的问题。
对于这类问题，我们需要掌握无穷大的性质、无穷大的比较定理等方法，来帮助我们更好地理解和计算这类复杂的极限。
5. 极限与级数级数是数学分析中的另一个重要概念，它是无穷多个项的和所组成的一种数列。
在研究级数时，极限起着非常重要的作用，我们需要掌握级数收敛的判定条件、级数与函数极限的关系等，来帮助我们更好地理解和计算级数的性质。
6. 极限与微积分微积分是数学分析中的一个重要分支，而极限是微积分中的基础概念。
在学习微积分时，我们经常会用到极限的概念。
我们需要掌握一些常见函数的极限性质，包括指数函数、对数函数、三角函数的极限等，以及极限在微积分中的应用，比如导数的定义、微分方程的求解等。
极限总结知识点
极限总结知识点极限的概念最早起源于17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨，并在此后的数学发展中被不断完善和深化。
极限的概念是微积分中的基础，也是分析数学和实变函数理论中的核心内容之一。
在学习极限的过程中，我们需要掌握一些基本概念和相关定理，下面就是对极限相关知识点的总结：一、极限的定义1. 函数极限的定义设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意小的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么就称limf(x)=A，即称A是当x趋于a时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A，或者limx→af(x)=A。
2. 数列极限的定义数列{an}的极限是指当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限趋向于一个确定的常数A，即limn→∞an=A。
二、极限的性质1. 唯一性如果f(x)的极限存在，那么极限是唯一的。
2. 有界性如果f(x)在某一点a的邻域内有界，那么f(x)在a处的极限也有界。
3. 保号性如果函数f(x)的极限存在并且大于（或小于）一个常数A，那么函数f(x)在a附近的某个去心邻域内也大于（或小于）A。
4. 夹逼性如果函数f(x)在点a的某个领域内与另外两个函数g(x)和h(x)夹在一起，并且当x趋于a 时，g(x)和h(x)的极限相等且等于A，那么函数f(x)的极限也等于A。
5. 收敛性与发散性如果函数f(x)的极限存在，那么称f(x)是收敛的，否则称f(x)是发散的。
6. 局部有界性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么f(x)在a的某个去心邻域内有界。
7. 局部半连续性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么函数f(x)在a的左、右邻域内至少有一个是半连续的。
三、极限的计算方法1. 用极限的定义计算极限利用极限的定义，可以求出一些函数在特定点处的极限。
2. 用夹逼准则计算极限当函数f(x)所在的区间内有另外两个函数g(x)和h(x)，并且g(x)≤f(x)≤h(x)在区间内成立，且limx→ag(x)=limx→ah(x)=A，那么可以利用夹逼准则求出函数f(x)的极限。
数学分析中的极限概念及限制条件
数学分析中的极限概念及限制条件数学分析是数学学科中的一门核心课程，因为它涉及到数学中最基本的概念：数与数量之间的关系。
其中，极限概念是数学分析中最重要的一个概念之一，它在数学研究中扮演着非常重要的角色，因此必须要有清晰的理解。
极限概念是在数学分析中实现量的无限可分性的基础。
极限是指数列或函数在某一点的近似值，是指序列中的一个元素趋近于无穷大或无穷小时的特殊值。
严格来说，对于一个无限数列中任意一个元素 a n，当 n 趋于无限大时，若 a n 趋近于一个确定的值 L，即当 n 充分大时，a n 与 L 之间差距可以任意的小，我们就称其为数列的极限，数学上可以表述为：当n→∞ 的时候，a n →L同样的，对于一个函数 y=f(x)，若 x 趋近于 a 时，f(x) 趋近于一个确定的值 L，即当 x 趋近于无穷大或无穷小时，f(x) 与 L 之间差距可以任意的小，我们就称 f(x) 在 x 为 a 的极限为 L，数学上可以表述为：当x→a 的时候，f(x)→L极限的研究使得我们能够更加深入地了解自然界中的变化规律，可以用来解决各个领域的问题。
但是，极限的概念也存在着许多限制条件，这些限制条件是我们在研究极限时必须要注意的问题。
首先，极限存在定理是寻找极限时需要遵循的一个基本原则。
其表述是：如果一个数列有极限，那么这个极限是唯一的。
数学上可以表示为：如果数列 a n 有极限 L，那么当 n 趋近于无限大时，a n 与 L 之间的差距可以任意小。
另外，如果存在一个数L’，当 n 趋近于无限大时，a n 与L’ 之间的差距也可以任意小。
那么，我们就有L=L’。
也就是说，如果不同的极限存在，则不是真正的极限。
其次，序列的有界性也是寻找极限时需要注意的限制条件之一。
对于一个数列 a n 来说，如果存在一个固定的数字 M，使得a n ≤M 对于所有的 n 都成立。
则这个数列就是有界的。
当数列 a n 是有界的时候，我们可以通过极值定理来证明该数列具有极限。
《数学分析》第三章 函数极限教案
f (x) A (x x0 ) 。
下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者特
别注意以下各例中 的值是怎样确定的。
例 3 设 f (x) x 2 4 ，证明 lim f (x) 4 。
Байду номын сангаас
x2
x2
证 由于当
时， f (x) 4 x 2 4 4 x 2 4 x 2 , x2
证 任给 0 ，由于
arctan x ( ) 2
（2）
等价于 arctan x ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，
2
2
所以只要考察其右半部分 x 的变化范围。为此，首先限制 ，则有 2
. 4.
x
tan(
)
tan(
)
2
2
故对任给的正数
，只须取 M
tan(
lim f (x) A lim f (x) A, lim f (x) A
x
x
x
例 1 证明 lim 1 0 。 x x
（1）
证
任给
0 ，取 M
1
，则当
x
M
时,有:
1 0 1 1
x
xM
所以 lim 1 0 。 x x
例 2 证明：1） lim arctan x ；
x
2
2） lim arctan x x
) ，则当 x
M
时,便有
2
2
（2）式成立。这就证明了 1）。类似地可证 2）。
注 由结论（1）可知，当 x 时 arctan x 不存在极限。(为什么？)
二． x 趋于 x0 时函数的极限
设 f (x) 为定义在 x0 某个空心邻域U 0 (x0 ) 内的函数。现在讨论当 x 趋于 x0 (x x0 ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数 A 。
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则及两个重要极限极限存在准则是数学分析中用来证明函数极限存在的重要工具。
它可以帮助我们判断函数是否有极限，并且有助于我们进行更深入的研究。
极限存在准则有许多种形式，而我们在这里将着重讨论两个重要的形式。
它们分别是Cauchy收敛准则和单调有界准则。
1. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是在实数集上定义的，它陈述了一个数列收敛的充要条件。
具体来说，对于给定的一个数列{an}，如果对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n、m大于等于N时，|an - am| < ε成立，则数列{an}收敛。
Cauchy收敛准则的证明基于一个重要的数学定理，即实数集的完备性。
根据这个定理，如果一个数列满足Cauchy收敛准则，那么它一定收敛到一个实数。
2.单调有界准则：单调有界准则是在实数集上定义的，它陈述了一个单调数列有界的充要条件。
具体来说，对于给定的一个单调数列{an}，如果它是递增有上界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≤M），或者是递减有下界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≥M），则数列{an}收敛。
单调有界准则的证明也是基于实数集的完备性。
根据这个准则，如果一个单调数列满足单调有界准则，那么它一定收敛到一个实数。
这两个极限存在准则在数学分析中非常重要，提供了一种判断函数极限存在的方法。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
值得一提的是，这两个准则只适用于实数集，而在实际的数学研究中，我们还会涉及到复数集和一些其他更一般的情况。
在这些情况下，我们需要使用更为复杂的准则和方法来判断函数极限的存在性。
总结起来，极限存在准则是数学分析中用来判断函数极限存在的重要工具。
Cauchy收敛准则和单调有界准则是其中两个重要的形式。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
函数极限存在条件
但 由 (2 )知 ,ln i m f(x n ) A ,矛 盾 .
定理3.10 设 f为 定 义 在 U 0(x0)上 的 单 调 有 界 函 数 ,
由 于 xn x0(n ), 对 上 述 的 0 , N 0 , 使 得 当 n , m N 时 有
xn,xmU0(x0;), 从 而 有 f(xn)f(xm ).
于 是 按 数 列 的 柯 西 收 敛 准 则 , 数 列 { f ( x n ) } 的 极 限 存 在 , 记 为 A ,
设 f 在 U ( ) 内 有 定 义 . 则 l i m f ( x ) 存 在 的 充 要 条 件 是 : x
对 任 何 含 于 U ( )内 的 无 上 界 数 列 { x n } ,只 要 ln i m x n , 那 么 ln i m f(x n )必 存 在 ,且 任 何 这 样 的 数 列 的 极 限 都 相 等 .
.
充 分 性 设 数 列 { x n } U 0 (x 0 ;)且 ln i m x n x 0 .
按 假 设 , 0 , 正 数 ( ) , 使 得 对 任 何 x , x U 0 ( x 0 ;) 有
f(x)f(x) .
易 见 {zn}U0(x0;)且lnimzn x0,仍 如 上 所 证 ,{f(zn)} 也 收 敛 .
于 是 , 作 为 { f(z n )} 的 两 个 子 列 , { f(x n ) } 与 { f(y n ) } 必 有 相 同 的 极 限 .
函数极限存在的条件教案
§3 函数极限存在的条件重点难点1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.基本内容在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。
一、归结原则定理 3.8(归结原则) 设f 在()δ';00x U 内有定义. ()x f x x 0lim→存在的充要条件是: 对任何含于()δ';00x U且以0x 为极限的数列{}n x , 极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等.分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞→lim ,则()A x f x x =→0lim .因为在已知条件中,具有这种性质的数列{}n x 是任意的(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设()A x f x x ≠→0lim ,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列}{n x ,0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,但是()A x f n n ≠∞→lim ,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证明.注1 归结原则也可简述为()⇔=→A x f x x 0lim 对任何()∞→→n x x n 0有().lim A x f n n =∞→注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如若)0()(lim ,)(lim 0≠==→→B B x g A x f x x x x , 则)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f x x x x x x →→→=.证 已知B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0与,根据海涅定理的必要性,对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞→lim ,()B x g n n =∞→lim .由数列极限的四则运算,对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有BA x g x f n n n =∞→)()(lim.再根据海涅定理的充分性,由)(lim )(lim )()(lim)()(limx g x f BA x g x f x g x f x x x x n n n x x →→∞→→===.注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ,使()n n x f ∞→lim 不存在,或找到两个都以0x 为极限的数列{}nx '与{}n x '',使)'(lim n n x f ∞→与)(lim n n x f ''∞→都存在而不相等,则)(lim 0x f x x →不存在.例1 证明极限xx 1sinlim 0→不存在.函数xy 1sin=的图象如图3-4所示,由图象可见,当0→x 时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.对于+∞→→→-+x x x x x ,,00和-∞→x 为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以+→0x x 这种类型为例阐述如下：定理 3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域)(00x U +有定义.A x f x x =+→)(lim 0的充要条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{})(0x U x n+⊂,有A x f n n =∞→)(lim .注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取},min{01x x nn n-=-δδ,以保证所找到的数列{}n x 能递减的趋于0x .二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以+→0x x 这种类型为例叙述如下：定理3.10 设f 为定义在)(00x U +上的单调有界函数,则右极限)(lim 0x f x x +→存在.注6 (1)设f 为定义在)(00x U +上的有界函数.若f 递增,则)(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+;若f 递减,则)(sup)0()(000x f x f x U x +∈=+.(2) 设f 为定义在)(00x U 上的递增函数,则)(sup)0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.三 函数极限的柯西收敛准则定理3.11(柯西准则) 设函数f 在)';(0δx U 内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：任给0>ε,存在正数)'(δδ<,使得对任何);(,'0δx U x x ∈''有ε<''-)()'(x f x f . [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以0x 为极限的数列{});(0δx U x n⊂, 数列{})(n x f 的极限都存在; 2)证明对任何以0x 为极限的数列{});(0δx U x n⊂,数列{})(n x f 的极限都相等.注7 可以利用柯西准则证明函数极限)(lim 0x f x x →的不存在:设函数f 在)';(0δx U内有定义.)(lim 0x f x x → 不存在的充要条件是：存在 00>ε,对任意正数)'(δδ<,存在);(,'0δx U x x∈'', 有0)()'(ε≥''-x f x f .如在例1中我们可取210=ε,对任何0>δ,设正整数δ1>n ,令21,1'πππ+=''=n x n x ,则有);0(,'δU x x ∈'',而011sin'1sin ε>=''-x x 于是按柯西准则,极限xx 1sinlim 0→不存在.小结1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1) 用定义证明函数极限的方法且A x f =)(lim ,尤其是分段函数的分段点. (2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值. (4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值. (5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在. 2. 证明函数极限不存在的主要方法:(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.§4 两个重要的极限重点难点利用两个重要极限, 可推出一些基本结果:1tan lim0=→xx x 1arctan lim0=→xxx 21cos 1lim2=-→xxx()e x x x =+→11lim 1)1ln(lim=+→xx x )0(ln 1lim>=-→a a xa x x又可利用复合函数极限的方法, 可得(1) 若0)(lim 0=→t t t ϕ, 且当0t t ≠时0)(≠t ϕ, 则1)()(sin lim=→t t t t ϕϕ.(2) 若∞=→)(lim 0t t t ϕ, 则e t t t t =+→)())(11(lim 0ϕϕ.基本内容一 为什么称为“两个重要极限”?导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的基础是基本初等函数的导数公式.其中求三角函数x y sin =的导数公式必须使用极限1sin lim=→xx x ,求对数函数x y a log =的导数公式必须使用极限e y xyy x x =+=+→∞→1)1(lim )11(lim .因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.二 1sin lim=→xx x 的证明 函数xx y sin =的图象如图3-5所示.三 1sin lim=→xx x 的应用例1 试求下列极限 1) xxx -→ππsin lim , 2) 2cos 1limxxx -→ , 3) xx x 1sinlim 0→注1 注意变量的趋向是非常重要的. 四 证明 e xxx =+→∞)11(lim以后还常用到e 的另一种极限形式：()e =+→ααα11lim .问题: 为什么在推导过程中不直接利用不等式)1(,11111111+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n x n n x n n x n ,其中令∞→n , 由 =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n 111lim e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→111lim 得到e xxx =++∞→)11(lim ?五 e xxx =+→∞)11(lim 的应用例2 求 ()x x x 121lim +→例3 求 ()x x x 11lim -→结合海涅归结原则以及重要极限,我们可以求一些比较复杂的数列极限.例4 求下列数列极限: 1) nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2111lim , 2) n n n 1sin lim ∞→.§5 无穷小量与无穷大量重点难点1.比较两个无穷小量的阶, 就是比较它们趋于零的速度, 无穷小量的阶越高,说明它趋于零的速度就越快.2.利用等价无穷小量是一种计算极限非常有效且简便的方法, 应该熟记常用等价代换公式.3.若)()(limx g x f x x →不存在, 则不能比较f 与g 的阶.基本内容一 无穷小量、无穷大量、有界量 1. 无穷小量定义1 设f 在某)(0x U 内有定义,若0)(lim 0=→x f x x ,则称f 为当0x x →时的无穷小量.类似地定义当-∞→+∞→→→-+x x x x x x ,,,00以及∞→x 时的无穷小量.例1 当0→x 时, x x sin ,2与x cos 1-都是无穷小量.例2 x -1 是当-→1x 时的无穷小量,21x,xx sin 为∞→x 时的无穷小量.由无穷小量及极限的定义或极限四则运算定理, 可立刻推得如下性质： 1) 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 问题: 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？ 2) 极限A x f ax =→)(lim 存在⇔A x f -)(是当a x →时的无穷小量.注1 “无穷小量”这个术语, 并不是表达量的大小, 而是表达它的变化状态, 它与“很小的量”或“可以忽略不计”这些术语有本质的区别, 后者皆指一个确定的数值, 而“无穷小量”是一个以零为极限的变量, 因此与自变量的变化过程有关.2. 无穷大量定义 2 设函数f 在某()0x UO内有定义,若对任给的0>G,存在0>δ,使得当()()()0000;x U x Ux ⊂∈δ时有)G x f >, (2)则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞,记作 ()∞=→x f x x 0lim .关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列{}n a 当∞→n 时的非正常极限的定义,都可类似地给出.定义3 对于自变量x 的某种趋向(或∞→n ),所有以∞-+∞∞或,为非正常极限的函数(包括数列),都称为无穷大量.例3 证明+∞=→21limxx .例4 证明：当1>a 时,.lim +∞=+∞→xx a注2 无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数.如由例3知21x是当0→x 时的无穷大量,由例4知)1(>a a x 是当+∞→x 时的无穷大量.根据无穷大量的定义,无穷大量有以下性质: 1) 两个(相同类型的)无穷大量之积仍为无穷大量.问题: 两个（相同类型的）无穷大量之和、差、商是否仍为无穷大量？ 3) 若函数)(x f (a x →)是无穷大量, 函数)(x g 在a 的某个去心邻域内有界, 则)()(x g x f +函数为a x →时的无穷大量.3. 有界量定义4 若函数g 在某)(0x U内有界,则称g 为当0x x →时的有界量.例如x sin 是当∞→x 时的有界量,x1sin是当0→x 时的有界量.关于无穷小量、无穷大量、有界量需注意以下几个问题:注3 不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 必须注明自变量x 的变化趋势. 例如, 当0→x 时, x1是无穷大量, 但当∞→x 时却是无穷小量; x sin 是当0→x 时是无穷小量, 当2π→x 时不是无穷小量, 而只能是有界量.注4不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 都不是数, 而是具有某种状态(极限为0,具有非正常极限,有界)的函数.注5 任何无穷小量也必是同一状态下的有界量, 反之不成立. 例如 x x f sgn )(=. 任何无穷大量也必是同一状态下的无界函数, 但无界函数不一定是无穷大量. 例如x x x f sin )(=在)(+∞U 上无界,因对任给的,0>G 取,22ππ+=n x 这里正整数,2πGn >则有G n n n x f >+=++=22)22sin()22()(ππππππ.但,)(lim ∞≠+∞→x f x 因若取数列),,2,1(2 ==n n x n π则),(∞→+∞→n x n 而0)(lim =+∞→n n x f .注6 若函数)(x f (a x →)是无穷小量, 函数)(x g (a x →)为有界量, 则函数)()(x g x f 为a x →时的无穷小量.例如,当0→x 时,2x 是无穷小量,x1sin为有界量,故由性质2即得01sinlim 2=→xx x函数xx y 1sin2=的图象如图3-6所示.注7 无穷大量和无穷小量在一定条件下可以相互转化.(i) 设f 在)(00x U 内有定义且不等于0. 若f 在0x x →时的无穷小量,则f1为0x x →时的无穷大量.(ii) 若g 为0x x →时的无穷大量,则g1为0x x →时的无穷小量.因此, 对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论. 二 无穷小量阶的比较我们知道, 当0x →时, 32,,x x x 都是无穷小量, 但它们趋近于零的速度是不同的,为了比较同一变化过程中两个无穷小量趋近于零的速度, 下面给出无穷小量的阶的概念.1. 无穷小量阶的比较设当0x x →时,f 与g 均为无穷小量.1) 若0)()(lim=→x g x f x x , 则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量, 或称g 为f 的低阶无穷小量,记作 )))((()(0x x x g o x f →=.特别,f 为当0x x →时的无穷小量记作 ))(1()(0x x o x f →=. 例如,当0→x 时,n x x x ,,,2 (n 为正整数)等都是无穷小量,因而有,,2,1),0)(1( =→=k x o xk而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有)0)((1→=+x x o xkk .又如,由于02tanlim sin cos 1lim==-→→x xx x x 故有)0)((sin cos 1→=-x x o x .2) 若存在正数K 和L ,使得在某)(0x U上有 ,)()(L x g x f K ≤≤则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量, 特别当 0)()(lim≠=→c x g x f x x时,f 与g 必为同阶无穷小量.特别地, 若无穷小量f 与g 满足关系式()()(),,0x Ux L x g x f o∈≤则记作()()()()0x x x g O x f →=若f 在某()00x U内有界,则记为()()()01x x O x f →=注8 本段中的等式()()()()0x x x g o x f →=与()()()()0x x x g O x f →=等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类,而中间的等号的含义是“属于”. 例如,前面已经得到()(),0sin cos 1→=-x x o x (1)其中()(),0sin lim sin 0⎭⎬⎫⎩⎨⎧==→x x f f x o x等式(1)表示函数x cos 1-属于此函数类.3) 若()()1lim=→x g x f x x , 则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量,记作()()()0~x x x g x f →注9 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较. 2. 等价无穷小量在求极限问题中的应用. 定理3.12 设函数h g f ,,在()00x U内有定义,且有()()()0~x x x g x f →(i) 若()()A x h x f x x =→0lim ,则()()A x h x g x x =→0lim ；( ii) 若()()B x f x h x x =→0lim, 则()()B x g x h x x =→0lim.例5求 xx x 4sin arctan lim→.例6 利用等价无穷小量代换求极限 3sin sin tan lim xx x x -→.注10 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若因有 ()()0~sin ,0~tan →→x x x x x x , 而推出0sin limsin sin tan lim33=-=-→→xx x xx x x x则得到的是错误的结果问题: 讨论无穷小有什么意义?三 曲线的渐近线引例: 由平面解析几何知道,双曲线12222=-by ax 有两条渐近线0=±by ax (图3—7).那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？怎样来求一般曲线的渐近线?一般地,曲线的渐近线定义如下：定义4 若曲线C 上的P 沿着曲线无限地远离原点时,点P 与某定直线L 的距离趋于0,则称直线L 为曲线C 的渐近线(图3—8).曲线()x f y =在什么条件下存在斜渐近线b kx y +=与垂直渐近线0x x =,以及怎样求出渐近线方程.由 ()k xx f x =+∞→lim, ()[]b kx x f x =-+∞→lim确定常数k与b , 则b kx y +=就是曲线()x f y =的斜渐近线.若函数f 满足 ()∞=→x f x x 0lim (或∞=∞=-+→→)(lim ,)(lim 0x f x f x x x x ),则曲线()x f y =有垂直于x 轴的渐近线0x x =,称为垂直渐近线.例7 求曲线32)(23-+=x x xx f 的渐近线.第三章由于自变量的变化趋势不同, 所以函数极限有如下不同的类型.等式性、迫敛性、四则运算法则等.求极限的方法常见的有以下几种: 归结原则、单侧极限的单调有界定理、柯西准则、两个重要极限等. 在实际求极限过程中, 往往是几种方法并用. 当然以后还会有新的求极限方法(如洛必达法则等).在本章中还介绍了两类函数——无穷小量和无穷大量, 熟悉此类函数性质及阶的比较有助于了解计算函数极限.知识结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→∞→∞→→)()11(lim 1sin lim 00求曲线的渐近线应用等价无穷小量同阶无穷小量高阶无穷小量无穷小量阶的比较定义无穷小量与无穷大量两个重要极限柯西准则单调有界定理单侧极限普通极限归结原则极限存在准则四则运算法则迫敛性保不等式性局部有界性唯一性函数极限的性质单侧极限时当时当函数极限的概念函数极限e x xx x x x x x x。
数学分析中的极限存在与连续性证明
数学分析中的极限存在与连续性证明数学分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的性质和变化规律。
在数学分析中，极限存在与连续性是两个基本概念和重要定理。
本文将从数学分析的角度，探讨极限存在与连续性的证明过程。
一、极限存在的证明在数学分析中，极限存在是研究函数性质的基础。
对于一个函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
为了证明一个函数在某一点的极限存在，我们需要利用数学分析中的一些基本定理和方法。
其中最常用的方法是ε-δ证明法。
这种证明方法的核心思想是，通过构造一个与ε相关的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数f(x)的值与极限L的差距小于ε。
例如，我们考虑证明函数f(x)=x^2在点x=1处的极限存在。
首先，我们先假设存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-1|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
接下来，我们可以通过一系列推导和计算，来确定δ的取值范围。
首先，我们可以将函数f(x)=x^2进行展开，得到f(x)-L=(x^2-L)=(x-1)(x+1)+(1-L)。
由于我们希望|f(x)-L|<ε，所以可以设|x-1|<1，即1-δ<x<1+δ。
那么我们可以将f(x)-L进行进一步的化简，得到|(x-1)(x+1)+(1-L)|<ε。
接下来，我们可以继续对式子进行化简，得到|(x-1)(x+1)+(1-L)|=|x-1||x+1|+|1-L|。
由于我们已经设定了|x-1|<1，所以可以进一步确定|x+1|的取值范围。
假设|x-1|<1，那么1-δ<x<1+δ，于是2-δ<x+1<2+δ。
数学分析函数极限
极限的数学符号表示
表示方法
lim f(x) = A 当 x→x0
符号表示的意义
表示当x趋向于x0时，f(x)趋向于A。
03
函数极限的性质
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B。
数学分析函数极限
• 引言 • 函数极限的定义 • 函数极限的性质 • 函数极限存在的条件 • 无穷小量与无穷大量 • 函数极限的应用
01
引言
主题简介
01
函数极限是数学分析中的一个基 本概念，它描述了函数在某一点 附近的性质和行为。
02
极限的概念是微积分的基础，对 于理解连续函数、导数、积分等 概念至关重要。
极限的减法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) - g(x)] = A - B。
极限的乘法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) * g(x)] = A * B。
极限的除法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B（B≠0），则 lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = A
/ B。
极限的唯一性
极限的唯一性定理
若lim(x→∞) f(x)存在，则lim(x→∞) f(x)只有一个值。
唯一性定理的意义
确保函数在无穷大处的行为是确定的，没有歧义。
利用函数极限求函数的值
函数极限存在的条件和运用
基层教育农家参谋-247-NONG JIA CAN MOU函数极限存在的条件和运用罗紫雯（黄淮学院数学科学系，河南驻马店，463000）【摘 要】函数是高等数学研究的基本对象之一,可是极限是其研究的重要工具，所以是大家所必须掌握的内容之一,但由于函数的种类繁多，因而在如何求解函数的极限问题上尤为困难，故掌握一定的求解函数极限的方法是十分必要的。
并且极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，使用极限概念可以帮助我们分析问题和解决问题。
本文介绍了对函数极限的初步认识，从函数极限的概念，性质及存在条件出发，证明了两个重要极限，并简单阐述了无穷大量和无穷小量。
并且掌握极限存在的判定方法，能熟练利用各种方法来讨论函数极限的存在性。
【关键词】函数极限；性质；各种判定方法的证明和应用1 函数极限的概念1.1x 趋于∞时函数的极限1.2x 趋于0x时函数的极限2 函数极限存在的条件此外，还有四则运算法则等方法，因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n 或x 增大最快的项除分子、分母, 使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0。
总之，高等数学中极限的地位非常突出，而在数列极限与函数极限中，函数极限的作用尤其突出。
作者简介：罗紫雯，1998年生，女。
参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册、下册)[M].北京:高等教育出版社,1997.。
函数在某点有极限的条件
函数在某点有极限的条件函数在某点有极限的条件函数在某点有极限是数学中一个研究点极限概念的问题，这个问题有严格的数学定义和推导方法。
点极限是一种非常重要的数学概念，对于学习微积分、数学分析、物理等领域都有着广泛的应用。
函数在某点有极限的条件需要满足一些基本的条件：1. 函数必须在该点的左边和右边都有定义。
2. 函数必须在该点的左右两边都存在，并且相等。
3. 对于任意给定的正数，都存在另一个正数，使得函数在该点附近的所有取值和此点的函数值之差小于它。
这些条件是函数在某点有极限的基本条件，我们可以从几个方面来对这些条件进行进一步的解析。
首先，函数必须在该点的左边和右边都有定义。
这是因为我们在考虑某个函数在某点是否有极限时，需要知道这个点左右两边的函数取值是多少，而函数在该点左右两侧都有定义，才能够进行这种讨论。
其次，函数必须在该点的左右两边都存在，并且相等。
这个条件是点极限的重要定义，它表明在该点附近的函数值非常接近，可以近似看作等于。
这个条件也可以表述为“函数的左极限和右极限相等”。
最后，对于任意给定的正数，都存在另一个正数，使得函数在该点附近的所有取值和此点的函数值之差小于它。
这个条件是点极限的收敛性条件，它表明我们可以找到一个足够小的邻域，使得在这个邻域内函数值都非常接近指定的极限值。
这些条件是函数在某点有极限的基本条件，我们可以通过一些例子来更加深入地理解这些条件。
例如，我们考虑函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。
首先，这个函数在$x=1$处除数为零，不满足条件1。
接着，我们通过计算发现，在$x=1$左侧$f(x)$的取值为$x+1$，在$x=1$右侧$f(x)$的取值为$x-1$，两者并不相等，因此也不符合条件2。
因此，我们可以得出，函数$f(x)$在$x=1$处没有极限。
再例如，我们考虑函数$g(x)=\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的极限。
理解函数与导数的极限存在问题
理解函数与导数的极限存在问题在数学领域中，函数与导数的极限存在问题是一个非常重要且经典的问题。
理解这个问题的本质对于进一步学习和研究微积分和数学分析都具有重要的意义。
本文将从函数与导数的定义、极限的概念以及极限存在的条件等方面展开论述，帮助读者深入理解函数与导数的极限存在问题。
一、函数与导数的定义在讨论函数与导数的极限存在问题之前，我们首先来了解一下函数与导数的定义。
函数是一种将一个数域的集合映射到另一个数域集合的数学关系。
常见的函数表示方式包括显式函数、隐式函数和参数方程等。
导数是函数在某一点处的变化率，反映了函数图像在该点附近的变化趋势。
导数的定义可以用极限来表达，即函数在某一点x处的导数等于函数f(x)在x点偏离的极限。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
二、极限的概念极限是微积分中的基本概念之一，它描述了一个变量趋于某个确定值时的性质。
对于函数与导数的极限存在问题来说，我们主要关注函数在某一点处的极限是否存在。
当自变量无限逼近某一点时，函数值是否有确定的趋势，即是否存在一个确切的数值作为极限，这就是极限存在的问题。
如果函数在某一点的左极限与右极限都存在且相等，那么该点的极限存在。
否则，该点的极限不存在。
三、极限存在的条件要确保函数在某一点的极限存在，有一些条件需要满足。
1. 函数在该点附近有定义：函数在某一点附近都有定义，即使在该点处没有定义，也不能影响函数在该点的极限存在。
2. 函数在该点附近有界：函数在某一点附近存在上下界，这是确保极限存在的重要条件。
3. 函数在该点附近连续：函数在该点处连续，即函数在该点的左极限与右极限都存在且相等。
连续性是确保函数在某一点的极限存在的关键所在。
通过满足以上条件，我们可以判断函数在某一点的极限是否存在。
四、函数与导数的极限存在问题在函数与导数的极限存在问题中，我们主要关注函数在某一点的导数是否存在。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
当函数在某一点的导数存在时，我们可以得到该点处的切线斜率，从而推断函数图像在该点的变化趋势。
数学分析中的极限存在与极限计算
数学分析是数学中的一个重要分支，而极限则是数学分析中的核心概念之一。
在数学分析中，极限的存在性以及如何计算极限都是非常关键的内容。
本文将从数学分析的角度探讨极限存在与极限计算的问题。
首先，我们先来了解何为极限存在。
在数学中，极限存在意味着当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于一个确定的有限值或无穷大。
极限存在的概念为我们提供了研究函数在某一点附近行为的工具。
极限的存在性可以通过数学分析中的严谨定义来确定。
设函数f(x)定义在区间(a, a+h)上（其中h>0），如果对于任意给定的ε>0（ε是一个任意小的数），存在一个正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ（其中|x-a|表示x与a之间的距离）时，有|f(x)-A|<ε，则我们称A为函数f(x)当x趋于a时的极限，记为lim(x→a) f(x)=A。
通过极限的存在性，我们可以研究函数在某一点附近的变化趋势。
例如，当我们研究函数在点x=a附近的变化时，可以通过计算极限来得到函数在这一点的趋势，进而进行更深入的分析和研究。
接下来，我们来探讨极限计算的问题。
极限的计算是数学分析中重要的计算方法之一。
在计算极限时，我们可以利用一些基本的极限性质和公式来简化计算过程。
首先，我们可以利用极限的四则运算法则来计算复杂函数的极限。
比如，当我们需要计算函数f(x)=sin(x)/x在x趋于0时的极限，我们可以利用sin(x)在x趋于0时的极限等于1的性质来简化计算过程，得到lim(x→0) sin(x)/x=1。
此外，我们还可以利用一些常用的极限公式来计算极限。
例如，当我们需要计算lim(x→∞) (1+1/x)^x时，我们可以利用自然对数的极限lim(x→∞)(1+1/x)^x=e来得到该极限的值。
在实际计算极限时，我们还会遇到一些特殊的极限形式，比如0/0、∞/∞、∞-∞等。
对于这些特殊的极限形式，我们可以利用洛必达法则来求解。
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x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
x 前页 后页 返回
证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
(
x0
)
由确界定义, 对于 0, x* U ( x0 ), 使
A f ( x*) A.
令 x* x0, 当 0 x x0 时,
由 f (x) 的递减性,
1、为什么这样取？
n
1 yn
,
故
lim
x0
sin
1 x
不存在.
同理可取
xn
2nπ
,
yn
2nπ
π 2
,
有
lim cos
n
xn
1
0
lim cos
n
yn ,
故 limcos x 不存在. x
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y
1
-1 -0.5
0.5 1 x
-1
从几何上看，y sin 1 的图象在 x = 0 附近作无比
x
密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. 为了让大家更好地掌握其他五类极限的归结原则, 我们写出 x x0 时的归结原则如下：
但是
lim
n
f
( xn )不存在,
则 lim f ( x)不存在. x x0
4、可以利用归结原则证明函数极限的很多命题.
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例1 证明 lim sin 1 , lim cos x 都不存在.
x0 x x
解
取
xn
1 2nπ
0,
yn
1 2nπ
π 2
0
,
有
lim sin
n
1 xn
0
1
lim sin
2、还可以取什么值？
A f (x*) f (x) A A .
这就证明了 lim f ( x) A. x x0
易证:设f
(
x
)
是U
(
x0
)中的单调函数，则
lim
x x0
f
(x) 存在的
充要条件是：f ( x) 在U ( x0 )中的有界. 前页 后页 返回
对于单调函数, 归结原则பைடு நூலகம்条件就要简单得多:
使得 f x f x 0.
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容易证明， 柯西准则有以下数列形式：
注2. lim f ( x) 存在的充要条件是： x {xn} ,{yn} , (xn M , yn M ) 当xn ，yn 时，
恒有 lim n
f xn f yn
0.
lim f ( x) 不存在的充要条件是：
这就说明lim sin x 不存在 x 问：limsin 1 是否存在？ x0 x
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复习思考题
1.定理3.8 中的条件“并且相等”这几个字是否可以 省略? 可以 3.总结证明函数收敛或发散的常用方法
作业
P57 1. 2. 3. 4.
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)上有定
义. 那么 lim f ( x) A 的充要条件是任给严格递减 x x0
的
{
xn
}
U
0
(
x0
,
),
xn
x0 ,
必有 lim n
f ( xn )
A.
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证 必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性.
假若 x x0 时, f(x) 不以 A 为极限. 则存在正数
0 ,
0,
存在
x
U
(
x0
,
),使
|
f
( x
)
A|
0.
取 1 , x1 , 0 x1 x0 1 , | f ( x1 ) A | 0 ;
2
min{
2
,
x1
x0 },
x2 , 0 x2 x0 2 , | f ( x2 ) A | 0 ;
n
min{
, n
xn1
x0 },
前页 后页 返回
x
任给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x, x X , 均有
f ( x) f ( x)
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证（必要性）设 lim f ( x) A, 则对于任意 0, x
存在 X ( M ), 对一切 x >X，
| f ( x) A | .
2
所以对一切 x, x X , 有:
例3*
设
f
(
x)
在U
(
x0
,
)上单调，则
lim
x x0
f (x)
存在的充要条件是存在一个数列
{ xn}
U
(
x0,
)
,
xn
x0
,
使
lim
n
f
( xn )
存在
.
证 必要性可直接由归结原则得出, 下面证明充分
性. 假设 f ( x)递减．
设 {xn} U (x0,) , xn x0 ,
lim
n
f
( xn )
x x0
的充要条件是: 对于在 U ( x0,) 内以 x0 为极限的
任何数列
{xn} ,
极限 lim
n
f ( xn ) 都存在,
并且相等.
证 (必要性) 设 lim f ( x) A, 则对任给 0, 存 x x0
在 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
| f (x) A| .
则对
{xn
},
若
lim
n
xn
=x0时,
有 lim n
f
( xn)
A
2、若存在 { xn }, { yn } U ( x0 ), xn x0 , yn x0 ,
但是
lim
n
f
( xn )
A
B
lim
n
f
(
yn ),
则 lim f ( x)不存在. x x0
3、若存在 { xn } U ( x0 ), xn x0 ,
设 { xn } U ( x0 ,) , xn x0 ,
那么对上述 , 存在N , 当 n N 时 , 有
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0 | xn x0 | ,
所以
|
f ( xn )
A|
.
这就证明了
lim
n
f
( xn )
A.
(充分性)（下面的反证法很有典型性，大家必须
学会这种方法.）
设任给 { xn } U ( x0 , ), xn x0 ,
xn , 0 xn x0 n , | f ( xn ) A | 0;
1、为什么这样取？ 2、还可以取什么值？
这样就得到一列严格递减的数列
{
xn
}
U
(
x0
,
),
xn x0, 但 | f ( xn ) A | 0, 这与条件矛盾.
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二、单调有界定理
定理 3.11
设
恒有
lim
n
f
( xn )
A
.
若 f ( x) 在 x x0 时, 不以 A 为极限, 则存在正数
0 , 对于任意正数 , 存在 x U ( x0, ), 使得
| f ( x ) A | 0 .
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现分别取
1、为什么这样取？
2、还可以取什么值？
1
,
2
2
,,
n
n
,
,
存在相应的
f ( x) f ( x) | f ( x) A | | f ( x) A | .
(充分性)
任给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x, x X , 均有
f ( x) f ( x)
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任取 { x n } , xn ，
对上面的X , 存在 N， 当 n N 时, xn X .
A.
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故 0, N , 当 n N 时, 有：