高一数学不等式的解法举例
高一数学学习单不等式的解法(1)完全解析
高一数学学习单 不等式的解法（一） 姓名________________班级___________2011年10月13日一、自我诊断：1．解关于x 的不等式：()210x m x m +--≥；解：1x m =-，21x =①当1m =-时，解集是{}1x x ≠②当1m >-时，1m -<，解集是{}1x x x m ≥≤-或③当1m <-时，1m ->，解集是{}1x x m x ≥-≤或2．解不等式：2111x x +≤-； 解：21101x x +-≤-，201x x +≤-，口上，两根之间[]2 1-，．3．解不等式：ax b >；解：①若0a >，则解集是bx a >②若0a =，且0b <，则解集是任意实数；若0a =，且0b ≥，则解集是∅． ③若0a <，则解集是bx a <4．若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为{|2x x <-或1}2x >-，求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．二、问题讨论：1．解一元二次不等式的基本思路；2．含参不等式需要注意的问题；3．分式不等式的解题技巧；4．不等式恒成立问题．三、例题分析：例1、解关于x 的不等式：()2110ax a x -++<．（1）若0a =，则1x >；（2）若0a ≠，则11x =，21x a =①当1a =时，121x x ==，口上，∅②当10a >>时，12x x <，口上，11 a ⎛⎫⎪⎝⎭，③当0a <或1a >时，12x x >，口下，()1 1 a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，例2、不等式()2110mx m x --+>对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围． 解：当0m =时，10x -+>没有恒成立；()20140m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩，解得：(0 3+，． 四、巩固练习：1．不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 都成立，求自然数m 的值．解析：因为210x x ++>恒成立，所以原式可以转化为：22322x x mx mx m ++≥++，即：()()23220m x m x m -+-+-≥，需要恒成立，故()()()23024320m m m m ->⎧⎪⎨∆=----≤⎪⎩ 解得：2m ≤因为取自然数，所以m =0，1，2．五、课后作业：1．解下列不等式：（1）214602x x -+<；（2）21111x x ≥--；（3）3224x x +≥-．解：（1）()2 6，（2）(]()1 01 -+∞ ，， （3）(]() 104 -∞-+∞ ，， 2．解关于x 的不等式：()210x a x a -++>． 解：原不等式因式分解得()()10x x a -->，若1a >，则不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞ ；若1a <，则不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞ ；若1a =，则不等式的解集为实数集(,1)(1,)-∞+∞ ；3．解关于x 的不等式()22140ax a x -++> 解：若0a =，原不等式化为240x -+>，从而解集为(,2)-∞； 若0a ≠，原不等式因式分解得()()220x ax -->；若1a >，22a <，则不等式的解集为2(,)(2,)a -∞+∞ ；若1a =，原不等式化为()220x ->，从而解集为(,2)(2,)-∞+∞ ； 若01a <<，22a >则不等式的解集为2(,2)(,)a -∞+∞ ； 若0a <，22a <，则不等式的解集为2(,2)a ；4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为()m n ，，且0n m >>，求不等式20cx bx a ++>的解集． 解：由题知两个信息：①方程20ax bx c ++=的两根分别是m 、n ，所以b m n a -=+，c m m a =，②0a <， 所以20cx bx a ++>可变为：210c b x x a a ++<，即()210mnx m n x -++<，其中0n m >>，0m n > 11n m <，所以解集是11 nm ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 5．关于x 的不等式()2310mx m x -+-<对于任意实数x 均成立，求实数m 的取值范围．解析：若0m =，则310x --<没有恒成立；若0m ≠，则：()20340m m m <⎧⎪⎨∆=++<⎪⎩，解得：()9 1--，．。
高一数学运用的基本计算：分式不等式的解法(一)
高一数学运用的基本计算解不等式（二）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心第二部分：解分式不等式（一）一、第一种题型： 【题型】：解不等式：0)()(>x g x f 。
【解法】：分为两种情况进行计算：0)(>x f 或者 0)(<x f 0)(>x g 0)(<x g解两个不等式组，求两个不等式组的并集得到分式不等式的解。
【经典题型】：【例题一】：解不等式：0121>--x x。
【解析】：第一步：分为两种情况进行计算： 01>-x 或者 01<-x 012>-x 012<-x 第二步：解第一个不等式组：1101<⇒->-⇒>-x x x ，2112012>⇒>⇒>-x x x ； 画数轴求两个不等式的交集得到不等式组的解：如下图所示：所以：第一个不等式组的解为：)1,21(∈x 。
第三步：解第二个不等式组：1101>⇒-<-⇒<-x x x ，2112012<⇒<⇒<-x x x ； 画数轴求两个不等式的交集得到不等式组的解：如下图所示：所以：第二个不等式组的解为：∅∈x 。
第四步：对两个不等式组的解求并集得到分式不等式的解： 用数轴求两个不等式组的并集，如下图所示：所以：分式不等式的解为：)1,21(∈x 。
【例题二】：解不等式：021322>---xx x 。
【解析】：第一步：分为两种情况进行计算：0322>--x x 或者 0322<--x x 021>-x 021<-x 第二步：解第一个不等式组： （1）、解不等式：0322>--x x ：求判别式0416124)3(14)2(22>==+=-⨯⨯--=∆。
解一元二次方程：0322=--x x 得到：11-=x ，32=x 。
二次函数：322--=x x y 的图像，如下图所示：所以：不等式：0322>--x x 的解为：),3()1,(+∞⋃--∞∈x 。
高中不等式的解法全集
1、一元二次不等式的解法
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
2、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
3、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
5、指数不等式的解法：
规律：根据指数函数的性质转化.
6、对数不等式的解法
规律：根据对数函数的性质转化.
7、含绝对值不等式的解法：
⑶同解变形法，其同解定理有：
规律：关键是去掉绝对值的符号.
8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
9、含参数的不等式的解法
10、恒成立问题
.。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。
本文将介绍几种常用的不等式的解法。
一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。
1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。
例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。
所以x的取值范围为大于2的所有实数。
2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。
例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。
所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。
因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。
二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。
1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。
例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。
然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。
2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。
例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。
然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。
解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。
因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。
三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法不等式是数学中的重要概念之一，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。
在高中数学中，学生将接触到基本不等式的概念和解题方法，这是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，帮助学生更好地掌握不等式的知识。
一、基本不等式的概念在数学中，不等式是指两个数或表达式之间的大小关系。
基本不等式是指形如a < b、a > b、a ≤ b、a ≥ b这样简单的不等式，其中a和b是实数。
不等式的解集是所有满足不等式关系的实数集合。
在高一阶段，学生将学习不等式的基本性质、解法和应用。
掌握不等式的基本概念是解决各种不等式问题的重要基础。
二、不等式的解法不等式的解法主要有两种：代入法和图像法。
1.代入法代入法是解决不等式问题的常用方法，它的基本思想是根据题目的给定条件，找到合适的实数值代入不等式进行验证，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x + 5 > 1，可以通过代入x的不同取值进行验证。
找到一个合适的x值，使得3x + 5 > 1成立，这样就确定了不等式的解集。
2.图像法图像法是通过解不等式对应的方程，将不等式表示的数学关系用图像表示出来，从而直观地看出不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 ≤ 5，可以将不等式表示的数学关系用数轴上的图像表现出来，找出满足不等式关系的实数解。
通过代入法和图像法，可以有效地解决各种不等式问题，帮助学生更好地理解不等式的概念和解题方法。
三、常见的基本不等式题型在高一数学中，常见的基本不等式题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只有一个变量，并且变量的次数是一次的不等式。
解决一元一次不等式的关键是要找到不等式的解集，通常可以通过代入法或图像法来解题。
例如，解不等式2x - 3 > 5，可以通过将给定条件代入不等式进行验证，找到满足不等式关系的实数解。
高一基本不等式各种解题方法全部
高一基本不等式各种解题方法全部
本文将介绍高一基本不等式的各种解题方法，包括基本不等式的证明、绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、特殊不等式等内容。
1. 基本不等式的证明
基本不等式是高中数学中非常重要的一个不等式，它是指对于任意正实数a1、a2、……、an，有如下不等式成立：
(a1+a2+……+an) / n >= √(a1×a2×……×an)
其证明可以通过数学归纳法进行，具体过程可参考相关的数学教材。
2. 绝对值不等式
绝对值不等式是指对于任意实数a和b，有如下不等式成立： |a+b| <= |a|+|b|
该不等式的证明可以通过考虑a和b的正负性，以及绝对值的三角不等式来得到。
3. 平均值不等式
平均值不等式是指对于任意正实数a1、a2、……、an，有如下不等式成立：
(a1+a2+……+an) / n >= (a1×a2×……×an)的1/n 该不等式可以通过对数函数和基本不等式的运用得到。
4. 柯西不等式
柯西不等式是指对于任意实数a1、a2、b1、b2，有如下不等式
成立：
(a1×b1+a2×b2)^2 <= (a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)
该不等式可以通过向量的内积和向量的长度之间的关系来得到。
5. 特殊不等式
在解题中，还会遇到一些特殊的不等式，如均值不等式、威布尔不等式、多项式不等式等。
对于这些不等式，需要根据具体情况选择相应的解题方法。
总之，在高一数学中，不等式是一个非常重要的知识点，掌握不等式的各种解题方法对于提高数学成绩具有重要作用。
高一基本不等式知识点笔记
高一基本不等式知识点笔记在高一的数学学习中，基本不等式是一个非常重要的知识点。
掌握好基本不等式的相关概念和性质，对于解决各种数学问题和提高数学思维能力都具有重要的作用。
本文将为大家总结高一基本不等式的知识点，并提供相关例题进行讲解。
一、基本不等式的定义在数学中，不等式是通过“大于”、“小于”等符号来表示大小关系的数学语句。
基本不等式是指那些具有普遍适用性的不等式，它们是数学思维的基础。
二、基本不等式的性质1. 加法性质：如果a＞b，则a+c＞b+c，其中c为任意实数。
2. 减法性质：如果a＞b，则a-c＞b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法性质：如果a＞b，且c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，且c ＜0，则ac＜bc。
4. 除法性质：如果a＞b，且c＞0，则a/c＞b/c；如果a＞b，且c＜0，则a/c＜b/c。
5. 倒数性质：如果a＞b，且a、b为正数，则1/a＜1/b。
三、基本不等式的解法1. 原则一：不等式两边同时加（或减）一个相同的数，不等式的大小关系保持不变。
2. 原则二：不等式两边同时乘以（或除以）一个相同的正数，不等式的大小关系保持不变；不等式两边同时乘以（或除以）一个相同的负数，不等式的大小关系颠倒。
3. 原则三：同一个不等式两边可以加（或减）同一个数，可以乘以一个正数，但不能除以一个有可能为零的数。
四、基本不等式的例题解析例题一：如果3x+4y＞2，且x＞1，求x和y的取值范围。
解析：根据题目条件，可以得到不等式3x+4y＞2，以及x＞1。
首先，解不等式 x＞1，可以得到 x 的取值范围为 x＞1。
然后，将 x 代入不等式 3x+4y＞2 中，得到 3(1)+4y＞2，化简为 4y＞-1，再化简为 y＞-1/4。
综合以上两个条件，可以得到不等式 x＞1 且 y＞-1/4，即 x 的取值范围为 x＞1，y 的取值范围为 y＞-1/4。
例题二：已知 a＞0，b＞0，c＞0，证明 (a+b+c)/3＞√(abc)。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法高一基本不等式是数学中的重要内容，它在实际生活中有着重要的应用价值。
通过学习基本不等式，可以帮助学生理解数学的逻辑推理和解决实际问题的能力。
在高中数学的学习中，基本不等式是一个非常基础的知识点，因此学生需要掌握其基本概念和解题方法。
一、基本不等式的定义基本不等式是指在数字和代数问题中最基础的不等式关系。
它通常以不等式的形式表示，包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
不等式的解是指满足不等式关系的一组实数。
在解不等式时，通常需要找出使不等式成立的一组解集。
解不等式的方法通常包括化简、加减法则、乘除法则、分拆法则、平方法则等。
学生需要掌握这些方法，并能够灵活应用于解题过程中。
二、基本不等式的题型在高一的数学学习中，基本不等式通常包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
以下将分别介绍这些不等式的解题方法。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指含有一个未知数的一次不等式。
其一般形式为ax+b＞0或者ax+b＜0，其中a和b为常数，x为未知数。
解一元一次不等式的基本步骤通常为：（1）移项：把不等式中的常数项移到一边，未知数移到另一边；（2）合并同类项；（3）整理化简；（4）根据不等式的正负情况给出解的范围。
例如，解不等式2x+3＞5，首先将常数项3移到另一边，得到2x ＞2，然后除以2得到x＞1。
因此，不等式的解为x的取值范围为大于1的实数。
2.一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
其一般形式为ax^2+bx+c＞0或者ax^2+bx+c＜0，其中a、b和c为常数，x为未知数。
解一元二次不等式的基本步骤通常为：（1）化简：将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；（2）求解方程：求出二次方程ax^2+bx+c=0的两个根；（3）根据方程的根和系数的关系求解不等式的解集。
例如，解不等式x^2+2x-3＞0，首先化简得到(x+3)(x-1)＞0，然后求出方程x^2+2x-3=0的解为x=-3和x=1，再根据不等式的正负情况得到不等式的解集为x＜-3或者x＞1。
高一不等式的知识点及解法
高一不等式的知识点及解法高中数学中，不等式是一个重要且常见的数学概念。
不等式是数学中表示两个数或两个函数之间大小关系的一种符号表达方式。
在高一阶段，学生将开始接触到不等式的知识，并学习如何解决不等式的问题。
本文将介绍一些高一不等式的基本知识点和解题方法。
一、基本概念和符号首先，我们需要了解不等式的基本概念和符号。
不等式可分为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”四种类型。
分别用符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示，例如“a > b”表示a大于b。
在解不等式时，我们需要用到一些基本的性质。
例如，如果a > b，那么对于任意的正整数c，我们有a + c > b + c。
另外，如果a > b且b > c，那么a > c，这是不等式的传递性。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数的一次方程。
例如，2x + 3 > 5是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以2x + 3 > 5为例，我们首先将其转化为等式2x + 3 = 5，得到x = 1。
然后，在数轴上标出1，再根据函数的斜率和截距，判断解集在1的左边或右边。
代数法是通过一系列的变换，将不等式转化为更简单的形式。
对于2x + 3 > 5，我们可以进行如下的代数变换：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1因此，不等式的解集为x > 1。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指包含一个未知数并且最高次幂为2的不等式。
例如，x^2 - 4x + 3 > 0是一个一元二次不等式。
解一元二次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法同样是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以x^2 - 4x + 3 > 0为例，我们先将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0，然后求得方程的根x = 1和x = 3，并且找到抛物线在x轴上的开口方向。
高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)
“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。
跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中非常重要的一个概念，通过学习基本不等式可以帮助学生建立正确的数学思维和解题方法。
下面我们将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。
一、基本不等式的定义基本不等式是指在数学中常见的一种不等式形式，通常是指关于未知数的一种关系式，其特点是不等式的左边和右边可以通过一定的运算关系来进行比较。
在高中数学中，我们通常会遇到一元一次不等式、一元二次不等式以及多项式不等式等基本不等式的形式。
二、一元一次不等式题型及解题方法1.解一元一次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元一次不等式；（2）合并同类项，消去括号；（3）进行移项操作；（4）化简不等式，解得不等式的解集。
2.举例说明一元一次不等式的解题方法：解不等式：2x+3 < 5x-2解：（1）将不等式化为一元一次不等式：2x - 5x + 3 + 2 < 0 （2）合并同类项，消去括号：-3x + 5 < 0（3）进行移项操作：-3x < -5 + 3（4）化简不等式，解得不等式的解集：x > 2/3三、一元二次不等式题型及解题方法1.解一元二次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元二次不等式；（2）将不等式化为标准形式；（3）确定不等式的开口方向和位置；（4）求出不等式的解集。
解不等式：x^2 - 4x + 3 > 0解：（1）将不等式化为一元二次不等式：x^2 - 4x + 3 > 0（2）将不等式化为标准形式：(x-1)(x-3) > 0（3）确定不等式的开口方向和位置：不等式开口向上，开口在1和3的位置；（4）求出不等式的解集：x<1或x>3四、多项式不等式题型及解题方法1.解多项式不等式的基本步骤：（1）将多项式不等式化为标准形式；（2）确定多项式的零点和不等式的区间；（3）确定区间内的符号变化；（4）求出不等式的解集。
高一数学不等式知识点总结及例题
高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。
（一）不等式的基本性质。
1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。
2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。
- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。
- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。
4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。
- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
（二）一元二次不等式及其解法。
1. 一元二次不等式的一般形式。
- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。
2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。
- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。
- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
高一数学两种不等式的解法知识精讲
高一数学两种不等式的解法【本讲主要内容】两种不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】1.的解集是；2.的解集是{}x x a x a＞，或＜-解绝对值不等式时要注意不要丢掉这部分解集。
或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法。
3. 一元二次不等式的解法：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a>0),△＝b 2－4ac,（1）△>0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1,x 2，设x 1<x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x<x 1或x>x 2}一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：{x ∣x 1<x<x 2}（2）△＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1＝x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x ≠x 1} 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：。
（3）△<0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)无实根，一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：实数集R 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：【解题方法指导】例1. 解不等式（）分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论． 解：原不等式可化为即当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭51＜＜ 当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭15＜＜ 评析：1. 遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向。
2. 若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率。
例2. 解不等式x x ++-214＜点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论。
高中数学知识要点重温之不等式的解法及其综合应用
高中数学知识要点重温之不等式的解法及其综合应用江苏 郑邦锁1．解分式不等式不能轻意去分母，通常采纳：移项〔化一边为零〕→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，〔即不等式两边同除以变量系数，假设它的符号不能确定即需要讨论〕→〝序轴标根〞〔注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论〕； [专门关注] 求一个变量的范畴时，讨论的也是那个变量，结果要并；讨论的假设是另一个变量，结果不能并。
[举例1]关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，那么关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集是〔 〕A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞) 解析：不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)⇒a>0且a=b ，那么不等式02>-+x b ax 等价于： 021>-+x x ⇔(x+1)(x -2)>0⇔x>2或x<-1,选A 。
[举例2] 解关于x 的不等式：12)1(>--x x a 解析：12)1(>--x x a ⇔02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a 以下不等式两边同除以a -1，需讨论其正负；①假设a>1，等价于：0)2)(12(>----x a a x 现在需知不等式相应的方程的两根121--=a a x 与2x =2的大小，比差：212---a a =12--a a ， 可见a>1时，1x <2x ,∴不等式的解为：(-∞，12--a a )∪〔2，+∞) ②假设a<1，不等式等价于：0)2)(12(<----x a a x ，〔ⅰ〕假设0<a<1, 1x >2x ,不等式的解为：〔2,12--a a 〕；〔ⅱ〕假设a<0，1x <2x ,不等式的解为：〔12--a a ,2〕；(ⅲ) 假设a=0, 不等式等价于：0)2(2<-x ，不等式的解为φ；综上所述：当a>1时不等式的解为(-∞，12--a a )∪〔2，+∞)；当0<a<1时不等式的解为〔2,12--a a 〕；当a=0时不等式的解为φ；当a<0时不等式的解为：〔12--a a ,2〕。
高一数学不等式解法经典例题
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典型例题一
例1解不等式：（1）015223x x x
；（2）0)2()5)(4(32x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(x f （或0)(x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
0)
3)(52(x x x 把方程0)3)(52(x x x 的三个根3,25,0321x x x 顺次标上数轴．然后从右上
开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为
3
025x x x 或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x
x x x x
x x
x 或∴原不等式解集为2
455x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”
，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题二
例2 解下列分式不等式：
（1）22
123
x x ；（2）1
2731422
x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()
(或x g x f 时，要注意它的等价变形。
高一基本不等式各种解题方法全部
高一基本不等式各种解题方法全部
1.利用基本不等式的定义，即对于任意非负实数 $a,b$，有$a^2+b^2geq 2ab$，可得出不等式的解法。
2. 利用不等式的推论，如柯西不等式、均值不等式等，将不等式转化为等式或者更加简单的形式，从而解决问题。
3. 利用逆向思维，即将不等式中的变量进行换元，或者将不等式中的条件进行反转，从而转化为更简单的形式。
4. 利用几何意义，将不等式中的变量或者条件进行几何化，从而更加直观地理解和解决问题。
5. 利用数学归纳法，将不等式的证明过程进行归纳，从而推广到更加普遍的情况。
6. 利用反证法，即假设不等式不成立，从而导出矛盾，进而得出不等式成立的结论。
7. 利用数学分析方法，如导数、积分等，对不等式进行求解，并得出最优解。
8. 利用不等式的特殊性质，如对称性、单调性等，进行分析和求解，从而得出不等式的结论。
以上这些方法都可以用来解决高一基本不等式的各种问题。
对于不同的题目，需要根据其特点和要求选择合适的方法进行求解。
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高一数学不等式经典例题与解析
高一数学不等式经典例题与解析
对于即将升入高中的同学来说，高中数学是一个让人比较头疼的科
目，下面是小编为大家整理的高一数学不等式经典例题与解析，希望能对大
家有所帮助。
高一数学不等式经典例题与解析 例1 解下列不等式(1)(x-1)(3-x);3(x2+2)分
析将不等式适当化简变为ax2+bx+c>;0(;4}解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>;0.
分析不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论.解1° 当a=0时，
原不等式化为x-2;0，其解集是{x|x≠2};从而可以写出不等式的解集为：a=0
时，{x|x 例2 若不等式ax2+bx+c>;0的解集为{x|α分析
由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上
是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使
用韦达定理：解法一由解集的特点可知a;0，c;0解为α说明：要在一题多解
中锻炼自己的发散思维.分析将一边化为零后，对参数进行讨论.进一步化为
(ax+1-a)(x-1);0时，不等式化为(2)a=0时，不等式化为x-1 例3 绝对值大
于2且不大于5的最小整数是[ ]A.3 B2C.-2 D5分析列出不等式.解根据题意得2 例5 实数a，b满足ab;|a-
b|C.|a+b|;0，原不等式的解集为{x|a-b答选D.说明：本题实际上是利用端点
的位置关系构造新不等式组.以上是小编整理的《高一数学不等式经典例题与
解析》，了解更多关于高中数学的最新资讯，请随时关注!。
高一数学分式不等式的解法
高一数学分式不等式的解法嘿，大家好，今天咱们聊聊高一数学里面的一个“老大难”——分式不等式。
这玩意儿一听名字就有点儿吓人，但其实呢，认真看一下，也没那么复杂。
你知道的，分式不等式就是把一个分式和一个数字比大小，像一场“谁更厉害”的比赛。
咱们得找出分式在哪些情况下比数字大，或者比数字小，这就像是在追求完美的爱情，得找对的人。
咱们得认识一下分式不等式的基本构造。
分式就是一个分子和分母组合在一起的家伙。
比如说，( frac{a{b ) 这样的形式。
这里，( a ) 和 ( b ) 都是表达式，( b ) 不能为零，否者就麻烦了，简直是自讨苦吃。
就像是你去买东西，结果发现钱包空空如也，尴尬得很。
然后，我们在解分式不等式的时候，最重要的就是要确定分母的符号。
没错，分母的正负号决定了结果的好坏。
就像生活中的各种选择，正面的选择总能带来好运，而负面的选择，嘿嘿，后果可就不妙了。
我们在解题时，可以把分式的分子和分母分别考虑，比如 ( frac{a{b > c )。
你得知道，当 ( b ) 是正数的时候，分式和右边的数是同向的，简直就是一对小情侣，心有灵犀。
而当 ( b ) 是负数的时候，情况就反转了，分式和右边的数就成了敌人，谁也不让谁。
接着呢，咱们就要把这个分式不等式化简一下了。
化简的过程就像是给生活中的复杂关系理顺一下，有时候会有些麻烦，但一旦理清楚，哇，清爽得很。
比如说，如果你遇到的是 ( frac{x2{x+1 > 3 )，那么首先我们就可以把 ( 3 ) 变成 ( frac{3(x+1){x+1 )，记得这里不能让 ( x + 1 ) 为零哦，那可不妙。
这样一来，分式就变成了一个新花样，简化成了 ( x 2 3(x + 1) > 0 )，这就是要好好把这条不等式化为线性不等式，轻松得像喝水。
接下来的步骤就比较简单啦，我们把一切移到一边，像在舞会上找舞伴一样，把自己最喜欢的都聚在一起。
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1 O
| AB || a b |
在△OAB中，
a
b
| 由三角形两边之差小于第三边得：
f (a) f (b) | | a b |
|a||b| | ab| 例2.求证： 1 | a | | b | 1 | a b |
证明：（分析法）
|a||b| |ab| 为了证明 1 | a | | b | 1 | a b |
二、典型例题：
2 当a b时，求证： f ( x ) 1 x 例1.已知
| f (a) f (b) | | a b |
证明1：| f (a) f (b) || a 2 1 b2 1 |
a 2 1 b2 1 a 1 b 1
2 2
| a 2 b2 | a 2 1 b2 1
2017年12月22日星期五
一、复习：
定理： || a | | b ||| a b || a | | b | 推论1： | a1 a2 a3 | | a1 | | a2 | | a3 |
推论2：|| a | | b ||| a b || a | | b |
| A | | B | lg | A | lg | B | lg ( AB 0) 2 2
作业：
1.设a 0, 且a 1, 求证： log2 (a2 1) 1 log2 a
2.已知 | an t | ( 0), 求证： | an | | t |
| (a b)(a b) | a 2 b2
| a b || (a b) | |a||b|
(| a | | b |) | a b | |a||b|
| a b |
证明2：（构造法） 如图 OA f (a) 1 a 2
A B
OB f (b) 1 b 2
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北冥等人的身影接着出现，接着白光消失。除了夜北冥，其他人都好奇的看着周围，一眼望去全是褐色的土地，连根草都没有，散发着荒凉 的气息，这就是未央大陆吗？低等位面都是这样鸟不拉屎的吗？众人集体向夜北冥看去，夜北冥摸着怀里的焱，对焱说道；“把地图拿出来 吧！”众人又集体把目光投向夜北冥怀里那一团紫色的小东西，之间焱睁开黑晶石似的大眼睛，张着小嘴吧打了一个哈欠，然后抖了抖身体， 从嘴巴吐出一个黑色圆球。圆球飘到月如面前，月如抬起手撑着，只听啵~的一声，圆球破开，露出里面的一个卷起来的纸，纸掉落到月如 撑起来的手上。月如将纸打开，看到一张地图，立马就猜到这是未央大陆的地图，虽然不知道主上是哪里弄来的，但对作为主上最为忠实的 脑残粉，月如表示没什么是主上做不到的。于是当场研究起了手中的地图，梦瑶跟濯清凑过去看，从暗门带来的十二手下依旧不动如山的站 在夜北冥身后。夜北冥朝月如吩咐道：“月如，找到青龙王朝，我们去王宫拜访一个老朋友！”月如称是，又低头埋在地图中继续研究寻找。 夜北冥抱着怀中的焱，从自己的空间中找出一顶黑色暗金的轿子摆在眼前的空地上。轿身前面还有四头白龙马，通体雪白，健壮的四肢还有 头顶上一对雪白的龙角。白龙马含有龙族白龙的血脉，可飞天也可以海中游，在陆地上更是速度飞快，就算称是一日千万里也不为过。也因 为如此想得到白龙马为坐骑的不在少数，可是白龙马特别的稀少，加上海陆空三栖的行动地方很少有人能扑捉。这几匹白龙马是夜弑天在夜 北冥说要来未央大陆的那三天时间内准备的，夜家作为朝凰大陆唯一的上古家族，白龙马是不少的，而且还有专门为白龙马而修建的马场， 白龙马数量达到上百头。夜北冥的这四匹白龙马个个实力都达到了先天初期，要是让朝凰大陆那帮因为自己驯服了一头白龙马而骄傲自得的 人知道、夜北冥让实力已经到达先天初期的白龙马拉轿子恐怕会心痛死。夜北冥飞身进入轿子坐好，然后说道：“找到了我们就出发！”然 后月如立马说道：“已经找到了，我们现在所处未央大陆的荒凉之地中，向西行一千里路过落叶森林就到了青龙王朝的边界，抵达边界再到 青龙王朝王宫只需路过四五个城池就到了！”说完就走到轿子前面坐上去当轿夫，十二属下来到轿子旁边站定。而濯清一见这么高档的轿子、 还有白龙马，恨不得好好的将白龙马全身上下摸个遍，可是还没靠近就被白龙马身上的龙威压得不等靠近。于是撇撇嘴低着头跟个战败的公 鸡似的拉着偷笑的梦瑶走入到轿子里坐在夜北冥身边。月如一牵起缰绳，白龙马就自发的向前奔跑，接着腾空飞起，十二下属也跟着运功飞 起，直到飞入云层消失不见。第011章 未央大陆夜北冥从自己的空间
而 | a | | b | | a b | 显然成立，
所以原不等式成立
| A | | B | lg | A | lg | B | 例3.求证： lg ( AB 0) 2 2
|A|+|B| 证明： AB 0， | A|| B | +)为增函数 lg(| A | | B |) | A| | B| 所以 lg lg | A | | B | 2 2 lg | A | lg | B | 2
只需证明(| a | | b |)(1 | a b |) | a b | (1 | a | | b |) 即证 | a | | b | (| a | | b |) | a b | | a b | (| a | | b |) | a b |
只需证明 | a | | b | | a b |