关于函数f(x)的均值问题
统计学基础：均值与方差
统计学基础：均值与方差统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
在统计学中，均值和方差是两个重要的概念，它们用于描述数据的集中趋势和离散程度。
本文将介绍均值和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、均值均值是一组数据的平均值，它是描述数据集中趋势的一个重要指标。
均值的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，那么均值的计算公式为：均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n均值可以用来表示数据的中心位置，它是数据集中的一个典型值。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，那么这些成绩的均值为(80+85+90+95+100)/5=90，可以认为90是这个班级的平均水平。
均值的计算方法简单直观，但它对极端值比较敏感。
如果数据中存在极端值，那么均值可能会被拉向极端值的方向。
因此，在某些情况下，均值可能不是一个很好的描述数据集中趋势的指标。
二、方差方差是一组数据的离散程度的度量，它描述了数据与均值之间的差异程度。
方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，均值为μ，那么方差的计算公式为：方差 = ((x1-μ)^2 + (x2-μ)^2 + ... + (xn-μ)^2) / n方差可以用来衡量数据的离散程度，它越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，这些成绩的均值为90，那么方差的计算为((80-90)^2 + (85-90)^2 + (90-90)^2 + (95-90)^2 + (100-90)^2) / 5 = 50，可以认为这个班级的成绩离散程度较大。
方差的计算方法中，将差的平方相加的目的是为了消除正负差值的抵消效应。
方差的单位是数据的单位的平方，因此在比较不同数据集的方差时，需要注意它们的单位是否一致。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
[精品]均值不等式的推广
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[精品]均值不等式的推广均值不等式是广义的数，是表示数论中所有的数学问题都是均值不等式的一种形式。
是从均值不等式在广义分布中所取的位置以及参数所对应的区间之和。
也是根据均值不等式的特征所求。
在实际应用中常用。
但均值不等式在应用中存在很多缺陷。
比如：均值不等式一般应用于一些较复杂的问题及较大系统中，但对于大部分情况则不适用。
因此很多时候它就成为一个较难解答的问题。
为了解决这一问题用很多方法解决这类问题，本文主要就均值不等式展开推导求解其数学原理和应用问题，并应用在实际数学中。
问题背景：求出均值不等式时可以选择在任意数点上分别取和对应到均值不等式中的任意点所对应到集合之中来推导出这个数项所对应的区间（或者整个区间）之中所对应到什么位置的点所对应的解，如果所对应到相应点，则这个点对应到什么位置上去了这个点所对应到集合上所对应到每个点之上的最大值便是该最值，那么我们把这个最值叫做“均值”。
求出这个点所对应到的均值不等式是有正负两个参数（一个）是一个常数且均不小于0,即它等于1.也就是我们说的1;或2.等于1.如果求出其中一个（或者另有）就取另有一定大小了所以就等于无穷大为最小值为无穷小(n)等式则不成立.当用均值不等式来求解时需证明。
应用范围：求均值不等式及应用在随机变量统计分析中常用到它来解决一般问题。
此问题由线性代数方程组和非线性方程组可以证明（二);本文结合实际应用得到如下具体应用为图1所示: a、当集不大于2时存在四个参数满足均值不等式的正解时，求出 a+ b分别对应最大值为 k的均值大小和范围（一般情况);且在求极限中有最小二乘支持项 B和 C即 A和 B之间也存在1、设给定的值 a为整数 n,且满足以下条件：、对任意一个均值不等式可得且其中设{}-{c}是满足其正解的集合。
所以求出 a+ b可得，由概率论的角度讲求解这个问题为常微分方程组（三）。
而不考虑函数 R是均值不等式中包含正解的唯一方程，其公式是 a? p| f 1+ f 2? f (g)=1.所以它即为均值不等式。
第六章 第二节 均值不等式
(a， 同号且不为零 同号且不为零)． ≥ 2 ，b同号且不为零 ．
3．算术平均值与几何平均值 ． 设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为 ， ， ， 的算术平均值为 值为 ，几何平均
(2009·湖北高考 围建一个面积为 湖北高考)围建一个面积为 湖北高考 围建一个面积为360m2的矩形场 利用的旧墙需维修)， 地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修 ， 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面围墙要新建， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度 的进出口， 已知旧墙的维修费用为45元 ， 为2 m的进出口，如图所示 已知旧墙的维修费用为 元/m， 的进出口 如图所示.已知旧墙的维修费用为 新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 单位：m)， 元 设利用的旧墙长度为x(单位 新墙的造价为 设利用的旧墙长度为 单位： ， 修建此矩形场地围墙总费用为y(单位： 修建此矩形场地围墙总费用为 单位：元). 单位
的最大值； 的最大值；
(3)已知 ＞0，y＞0，且x＋y＝1，求 已知x＞ ， ＞ ， ＋ ＝ ， 已知
的最小值. 的最小值
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 题可直接利用均值不等式 不等式的条件． 不等式的条件．
[特别警示 证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基 特别警示] 证明不等式时要注意灵活变形， 特别警示 本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意 本不等式时，要注意每次等号是否都成立， 基本不等式的变形形式的应用. 基本不等式的变形形式的应用
专题5-1 均值不等式及其应用归类(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(解析版)
专题5-1均值不等式及其应用归类目录讲高考................................................................................................................................................................................1题型全归纳......................................................................................................................................................................4【题型一】公式应用及限制条件.............................................................................................................................4【题型二】构造“公式型”......................................................................................................................................6【题型三】“1”的代换.............................................................................................................................................7【题型四】“积”与“和”混合型........................................................................................................................8【题型五】构造分母代换型......................................................................................................................................9【题型七】分离常数消去型...................................................................................................................................11【题型八】消去型......................................................................................................................................................12【题型九】多次均值.................................................................................................................................................14【题型十】多元均值.................................................................................................................................................15【题型十一】权方和不等式...................................................................................................................................17【题型十二】万能“k”法......................................................................................................................................19【题型十三】整体换元.............................................................................................................................................20【题型十四】均值应用：恒成立..........................................................................................................................21专项训练. (22)讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -=，由9log 10(1,1.5)m =∈知0(0,1)x ∈.()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国·统考高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．4．（陕西·高考真题）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由()11a xa yx y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>> ，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当xa yy x=即=y时等号成立，19a∴+≥，2≥4(≤-舍去)，即4a≥所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.5．（·天津·高考真题）已知函数23,1,()2, 1.x x xf xx xx⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R∈，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是A．47[,2]16-B．4739[,1616-C．[-D．39[]16-【答案】A【详解】不等式()2xf x a≥+为()()2xf x a f x-≤+≤(*)，当1x≤时，(*)式即为22332xx x a x x-+-≤+≤-+，2233322xx a x x-+-≤≤-+，又22147473()241616xx x-+-=---≤-（14x=时取等号），223339393()241616x x x-+=-+≥（34x=时取等号），所以47391616a-≤≤，当1x>时，(*)式为222xx a xxx--≤+≤+，32222xx ax x--≤≤+，又3232()22x xx x--=-+≤-3x=时取等号），222xx+≥=（当2x=时取等号），所以2a-≤≤，综上216a-≤≤．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2xf x a≥+转化为()()22x xf x a f x--≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围.题型全归纳综述1．基本不等式：ab ≤a ＋b2；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b.(3)基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a ，b ∈R)；(2)重要不等式链：a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ；【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中，一定成立的是（）A ．44x x +≥B ．1ln 2ln x x +≥C 2a b+≤D ．222x x -+≥【答案】D.【详解】对于A ，取2x =-，则444x x +=-<，故A 错.对于B ，取1x e -=，则1ln 22ln x x+=-<，故B 错..对于C ，取1a b ==-112a b+=>-=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x -+≥=，当且仅当0x =时等号成立，故选：D.例题2.）若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a b a b +>>>B ．2a ba b +>>>C ．2a b a b +>>>D ．2a ba b +>>>【答案】C【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b >，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>.故选：C.1.下列不等式的证明过程正确的是（）A ．若,a b ∈R ，则2b a a b +≥=B ．若0x >，则1cos 2cos x x +≥C ．若0x <则44x x +≤D ．若,a b ∈R ，且0ab <，则2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】D【分析】利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.【详解】对于A 选项，当0ab <时，0b aa b +<，所以A 选项错误.对于B 选项，如x π=时，1cos 20cos x x+=-<，所以B 选项错误.对于C 选项，由于0x <，则0x ->444x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，所以C 选项错误.对于D 选项，根据基本不等式成立的条件可知D 选项正确.故选：D2.给出下列条件：①0ab >；②0ab <；③0a >，0b >；④0a <，0b <.其中能使2ab b a +≥成立的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据基本不等式可知，当2ab ba+≥成立时，则0ab>，可知a 、b 同号，据此可得出结论.【详解】由基本不等式可知，要使得2ab b a+≥成立，则0ab>，所以，a 、b 同号，所以①③④均可以.故选：C.3.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A ．2a b +B 2a b +C2a b +D ＜2a b +【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+，而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +B【题型二】构造“公式型”【讲题型】例题1.若x >1，则121x x +-的最小值为（）A ．2B ．-C ．2-D ．【答案】A【解析】由1x >，可得10x ->，化简可得1122(1)211x x x x +=-++--，利用基本不等式即可得解.【详解】由1x >，可得10x ->，1122(1)222211x x x x +=-+≥=--，当且仅当12(1)1x x -=-，即x =取等号，11x x +-的最小值为2，故选：A.例题2.）若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的取值集合为A ．（－1，4]B ．（0，4）C ．（0，4]D ．（1，4]【答案】C【分析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--对任意2x >恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得a 的取值集合.【详解】由题意可得4(2)1842x a x a -+--对任意2x >恒成立，由0,2a x >>，可得4(2)122xa x -+-当且仅当4(2)12x a x -=-即2x =84a -04a <.故选：C.【练题型】1.设0x y >>，则41x x y x y+++-的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．2【答案】A【分析】原式可变形为()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦，然后根据基本不等式即可求解【详解】0x y >> ，0x y ∴->，()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤∴++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦≥=+=()()1411,22x y x y x y x y+=-=+-，即,22x y ==时取等号故选：A 2.已知1ab >>且b =，则211a b +-的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据题意，只需求11a a +-的最小值，再根据基本不等式求解即可.【详解】∵1a b>>且b =211a b +-11a a =+-1111a a =-++-1≥3=.当且仅当111a a -=-即2a =时取等号，此时211a b +-取得最小值小3.故选:A.【题型三】“1”的代换【讲题型】例题1.已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y +的最小值是（）A ．2B ．8C ．4D ．6【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.【详解】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4．故选：C ．例题2.已知正实数x 、y 满足22x y +=，则12x y+的取值可能为（）A ．72B ．113C ．165D ．214【答案】D【分析】利用基本不等式求得12x y+的最小值判断.【详解】解：因为正实数x 、y 满足22x y +=，所以()121122252122+⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭y x x y x y y y x x，95212⎛⎫+= ⎪⎝≥，当且仅当22y x x y =，即23x y ==时，等号成立，故选：D【练题型】1.若0x >，0y >，且131x y +=，则3x y +的最小值为（）A．6B．12C．14D．16【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为0x >，0y >，且131x y+=，所以()139336612y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当36y x ==时等号成立，所以，3x y +12.故选：B2.已知0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【分析】根据基本不等式可取x y +的最小值，从而可求实数m 的取值范围.【详解】∵0,0x y >>，且141x y +=，∴144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min (x ，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.【题型四】“积”与“和”混合型【讲题型】例题1.已知0a >，0b >，且满足2a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．3+D ．32【答案】C【分析】由题意得121a b+=，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.【详解】因为2a b ab +=，所以121a b +=，所以()122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=时，即1a =，2b =+所以a b +的最小值为3+.故选：C例题2.若正实数,x y 满足412x y xy ++=，则xy 的最小值为（）A ．4B ．6C ．18D ．36【答案】D【分析】由412x y xy ++=可得124xy x y -=+，由基本不等式可得4x y +≥=即12xy -≥.【详解】由412x y xy ++=可得124xy x y -=+，因为0x >，0y >，所以4x y +≥=4x y =时等号成立，所以12xy -≥即2120-≥，所以)620≥，6≥，所以36xy ≥，当且仅当412x y xy ++=⎧⎨=即3x =⎧⎨=时等号成立，xy 的最小值为36.故选：D.1.若,0a b >，且1131a b ab=++，则a b +的取值范围（）A ．3a b +≥B ．06a b <+≤C ．03a b <+≤D ．6a b +≥【答案】D【分析】化简整理式子可得3a b ab ++=，再利用基本不等式即可求解.【详解】由,0a b >，且1131a b ab =++，则31a b ab ++=，即3a b ab ++=，由基本不等式可得232a b a b ab +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，整理得()()24120a b a b +-+-≥，即()()620a b a b+-++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为,0a b >，所以20a b ++>，所以60a b +-≥，解得6a b +≥.故选：D2.已知a ，b 是正实数，32a b ab +=，则2a b+的最小值是（）A ．B ．7+C ．5+D ．7+【答案】D【分析】先化简条件等式，再结合基本不等式求最值中“1”的妙用的技巧转化需要求解的代数式，最后运用基本不等式得出结果即可.【详解】等式32a b ab +=的两边同除以ab 可得：321b a+=()326222747a ba b a b b a ba ⎛⎫∴+=+=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当62ab b a=，即b =时，取等号，此时23a b ==+选项D 正确，选项ABC 错误.故选：D.【题型五】构造分母代换型【讲题型】例题1.若正实数x ，y 满足1x y +=，且不等式241312m m x y +<++有解，则实数m 的取值范围是（）A ．3m <-或32m >B ．332m -<<C ．3m ≤-或32m ≥D ．332m -≤≤【答案】A【分析】由题意可得2min34121m m x y ⎛⎫+>+⎪+⎝⎭，将()411411121x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭展开利用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解.【详解】若不等式241312m m x y +<++有解，则2min 34121m m x y ⎛⎫+>+ ⎪+⎝⎭()411411411512121y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()1195522222⎛≥+=+⨯= ⎝，当且仅当4111y x x y x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩即1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，411x y ++最小值为92，所以23922m m +>，即22390m m +->，所以()()2330m m -+>，解得：3m <-或32m >，故选：A.例题2.若正数a ，b 满足7a b +=，则1911a b +++的最小值是（）A ．1B ．169C ．6D ．25【答案】B【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．【详解】解：由题意，正数a ，b 满足7a b +=，1119a b +++∴=，191911119911619(101111991199a b b a a b a b a b +++++⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅=+++≥⨯= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当54a =，234b =时取等号，故选：B.【练题型】1.若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为（）A ．2B ．98C ．94D ．32【答案】B【分析】根据47x y +=，可将111x y++化为111[(1)4]()81x y x y ++++，结合结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：若0x >，0y >，且47x y +=，则(1)48x y ++=，所以1111114119[(1)4]()(5)5]1818188y x x y x y x y x y ++=+++=++⨯=+++，当且仅当47411x y y x x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即5343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．故选：B ．2.已知实数x ，y 满足20x y >>，且2x y +=，则4142x y x y++-的最小值为（）A ．15-B ．52C ．1D ．94【答案】D【分析】利用2x y +=变形为424x y x y ++-=，将4142x y x y++-变形后利用均值不等式求解.【详解】因为2x y +=,所以424x y x y ++-=，()4114114(2)(4)(412442424442y x y x y x y x y x x y x x y x y x y y ⎛⎫-++=+=+++ ⎪+-++---⎭++⎝(4(2)(4)1195544442x y x y x y x y ⎛⎫=≥-++++⎪⎝-+= ⎭，当且仅当4(2)(4)42x y x y x y x y -+=+-，即162,99x y ==时，等号成立.故选：D 【题型七】分离常数消去型【讲题型】例题1.已知102x <<，则112x x-的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】1121211212x x x x x ++=+---，根据()1212121211212x x x x x x ⎛⎫+-=++--⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：()1221121121121212x x x x x x x x--+++=+=+----，因为2121x x +-=，又102x <<，所以120x ->，则()1212124121213327121212x x x x x x x x x x -⎛⎫+-=++--=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当12412x x x x -=-，即14x =时，取等号，即11212x x x++-的最小值是7.故选：C 例题2.已知0a >，0b >，21a b +=，则21b a ab ++的最小值为（）A．4B．4+C．6D．6+【答案】D【分析】将所求的代数式整理为2111112521222b a b a a b ab a b ab a b ab a b ++-+=++=++=+-，再利用1的代换即可求解.【详解】因为21a b +=，所以12ab -=，所以21111122b a b a a b ab a b ab a b ab ++-+=++=++11225212222a b a a b =-++=+-()521522622b a a b a b a b ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭66≥++，当且仅当5221b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，21b a ab ++的取得最小值为6+ D.【练题型】1.已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b+的最小值为（）A ．32B1+C ．52D ．3【答案】D【分析】由题知11221b a b a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为,a b 为正实数且2a b +=，所以2b a =-，所以，2221212211b a b a b a b a a b ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝因为()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；所以2222213b a b a b a a b++=+--=≥，当且仅当1a b ==时等号成立；故选：D 2.已知a b <，则1b a b a b a-++--的最小值为（）A ．3B ．2C ．4D ．1【答案】A【分析】因为a b <，所以0b a ->，将1b a b a b a-++--分离常数既可以用基本不等式求最值.【详解】因为a b <，所以0b a ->，由均值不等式可得111+()13b a b a b a b a b a -++-=+-≥+=--，当且仅当1()b a b a =--()b a >，即当1b a -=时，等号成立，因此，1a b a b a-++--的最小值为3，故选：A【题型八】消去型【讲题型】例题1.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y+=上运动，则22121x y ++最小值是__________．【答案】95详解：点P （x ，y ）在椭圆x 2+2y 2=3上运动，∴x 2+2y 2=3即x 2=3-2y 2则即最小值为95，故答案为95例题2.已知0,0x y >>，且2320x xy +-=，则2x y +的最小值是（）A.2103B.3C.3D.3【答案】A 【详解】由题意，可知0,0x y >>，且2320x xy +-=，则223xy x-=，则22215212122(5)33333x x x y x x x x x -++=+=⋅=⋅+≥⋅=，当且仅当25x x =，即105x =等号成立，即2x y + A.【练题型】1.已知1m ＞，0n ＞，且223m n m +=，则214mm n+-的最小值为（）A ．94B ．92C ．32D ．2【答案】A【分析】由已知得2230n m m =->，所以()22114123m m n m m +=+---，记1,3a m b m =-=-，可得291444m b a m n a b+=++-，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n ＞，1m ＞，所以2230n m m =->，得13m <<，所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----，记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=，所以12a b+=，且0,0a b >>，所以()221219141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b+++=+=++=++---9944≥+=，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立，此时73m =，4977929n -==.故选：A.2.已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（）A ．49B C ．1327D 【答案】A【分析】利用72+1ba b -=，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.【详解】因为ab +a +2b =7，所以72+1b a b -=，72+2297+2,+112b b a b b b -+==<+，所以141442999999b a b b ++=+≥+++，当且仅当51,2b a ==时等号成立，故选：A3.已知正数x ，y 满足2210x xy +-=，则2234x y +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】经转化可得122x y x =-，22221342242x x x y =+-≥-=+，条件均满足，即可得解.【详解】根据题意可得221xy x =-，由0x >，所以211222x x y x x -==-，由1022xy x =->，可得21x <，即01x <<，222222134134()222242x x x x x y x =+=+-≥--=+，【题型九】多次均值【讲题型】例题1.已知0,0a b >>2b++的最小值是（）A ．2B ．C ．D ．6【答案】B【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因0,0a b >>，则122a b +=≥=当且仅当122a b ==a b ==时取“=”，所以当a b ==122a b+取最小值故选：B例题2.已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（）A ．14a b ≤+≤B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>【答案】A【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A 选项正确.【详解】当2a b ==时，115a b a b +++=，4a b +=，所以CD 选项错误.当12a b ==时，115a b a b +++=，1a b +=，所以B 选项错误.211452a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ++=+++=++≥++=++++⎛⎫⎪⎝⎭，即45a b a b ++≤+当且仅当2a b ==或12a b ==时等号成立.则()()2540a b a b +-++≤，()()140a b a b +-+-≤，解得14a b ≤+≤.故选：A【练题型】1.设0a b >>，则()21a b a b +-的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为0a b >>，所以0a b ->，所以()()22=24b a b a b a b +-⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦（当且仅当b a b =-时取等号），所以()214b a b a ≥-，所以()22214a a b a b a +≥+≥-，（当且仅当224a a=，即a 时取等号）.故答案为：D2.若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．2【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=，当且仅当222a c b b +=，且a c =，即a b c ==时取等号，则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．【题型十】多元均值【讲题型】例题1.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为（）A ．0B ．98C ．2D ．94【答案】C 【分析】化简zxy 43x y y x=+-，然后由基本不等式得最值，及2x y =，这样2x y z +-可化为y 的二次函数，易得最大值．【详解】22344331,z x xy y x y xy xy y x -+==+-≥=当且仅当2x y =时成立，因此22224642,z y y y y =-+=所以222422(1)2 2.x y z y y y +-=-=--+≤1y =时等号成立．故选：C ．例题2.已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则1y z x y z+++的最小值是（）A B C ．13D ．3【答案】D【分析】由题意得出1x y z ++=，原式可化为1111111y z x x xx y z x x x x+--+=+=+++--，利用基本不等式求出最小值．【详解】解：因为三角形的面积为1S x y z =++=，且0x >，0y >，0z >，所以111111113111y z x x x x x xx y z x x x x x x +---+-+=+=+=+++=+---≥，当且仅当11x x x x -=-，即12x =时取等号，即最小值为3．故选：D ．【练题型】1.若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC 可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，从而可以得结论．【详解】解：A.都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c+，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项C 错误.由题意，∵a ，b ，c 均为正实数，∴1111112226a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥++=．当且仅当a b c ==时，取“=”号，若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立，∴1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确；故选：D ．2.设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <，另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=，又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤．令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤，当13c =时，可得2min 111113(2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<，当且仅当13a b c ===时取等号．故选：B ．【题型十一】权方和不等式【讲题型】例题1.若正数x y 、满足40x y xy +-=，则4x y+的最大值为（）A ．2/5B ．4/9C ．1/2D ．4/7解：∵正数x y 、满足40x y xy +-=，∴04xy x =>-，解得4x >，∴44444449145444x x y x x x x x x ===≤=++++-++---，当且仅当444x x -=-时，等号成立，∴4x y +的最大值为49．故选：B ．权方和：2221412(1+2)944401++y y x+x+9x+x y xy x x y y y +-=⇒==≥=⇒≥例题2.已知,x y 为正数，且13310x y x y+++=，则3x y +的最大值为．【答案】8试题分析：因为13310x y x y +++=，所以13310()x y x y+=-+，所以()()213310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，即()()23103103y x x y x y x y ⎛⎫+=+--+ ⎪⎝⎭，令3t x y =+，则231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭，而2y xx y +≥，所以210160t t -+≤，即28t ≤≤，故应填8．权方和：21313191631010(3)y 3y +310(3)(3)1624811=10(4)10-2=8yx y x y x y x x x yx y x y x y x y x +++=⇒-+=+=+≥⇒+-+≥⇒≤+≤⇒+-+≤1.已知实数s ∈(0,+∞)且+=1，则43r +1r3的最小值为__________．【答案】94【详解】令3+=，+3=，∴+=4，∴43r +1r3=4+1=14(4+1)(+p =14(5+4+)≥94，当且仅当=2s +=4，即=83=43，即=56,=16时等号成立.43r+1r3的最小值为94，故答案为9.权方和：41993m+n +34(+)4m n mn +≥=2.已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为（）A ．32+B ．3242+C ．3+D ．1223+【详解】由题意知1,0,2a b a b >>+=，可得：(1)1,10a b a -+=->，则11111133[(1)]()1121222122a b a b a b a b b a -+=-++=+++≥+=---当且仅当121a b b a -=-时，等号成立，则1112a b +-的最小值为32+。
积分中值(函数平均值)
解 建立坐标系如图， 建立坐标系如图，
o
x
x 为积分变量， 取x 为积分变量， ∈ [0,5]
取任一小区间[ x , x + dx ],
5
x + dx
x
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第三章 一元函数积分学
课题十九 定积分在物理上的应用
这一薄层水的质量为 功元素为
y0 + y1 + y2 + L yn−1 y = lim , n→ ∞ n y0 + y1 + y2 + L yn −1 b − a ∴ y = lim ⋅ n →∞ b−a n = ∆x
n n 1 1 lim ∑ yi −1∆x = = lim ∑ f ( xi −1 )∆x , b − a ∆ x → 0 i =1 b − a ∆ x → 0 i =1 1 b y= 连续函数的平均值 平均值公式 ∫a f ( x )dx 连续函数的平均值公式 b−a ⇒ (b − a) y= (b− a) f (ξ ) −
第三章 一元函数积分学
课题十九 定积分在物理上的应用
2
[例 6] 求函数 f ( x) = 2x − 3x + 3 在区间［1,4］ 上的平均值.
解
4 1 y= ( 2 x 2 − 3 x + 3) dx 4 − 1 ∫1
区间长度
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第三章 一元函数积分学
课题十九 定积分在物理上的应用
性质7 定积分中值定理） 性质7（定积分中值定理） 上连续， 若函数 f ( x ) 在闭区间[a, b]上连续，则在积分区间 [a , b]上至少存在一个点 ξ ，使得 积分中值公式
高二数学必修人教B第三章同步检测均值不等式
3.2 第3课时 均值不等式习题课基础巩固一、选择题1．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥1[答案] B[解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B. 具体比较如下：∵0<x ＋y ≤4∴1x ＋y ≥14故A 不对；∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14∴D 不对；1x ＋1y＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[答案] A[解析] 令2x ＝1x ，由x <0得x ＝－22，∴在x ＝－22两侧，函数f (x )的单调性不同，排除C 、D.f (x )＝2x ＋1x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －1x －1≤－2(－2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －1＝－22－1， 等号在x ＝－22时成立，排除B. 3．设实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，则ax ＋by 的最大值是( )A ．2 B. 3 C. 5 D.1210 [答案] B[解析] 令a ＝cos α，b ＝sin α α∈[0,2π)， x ＝3cos β，y ＝3sin β，β∈[0,2π)． ∴ax ＋by ＝3cos αcos β＋3sin αsin β ＝3cos(α－β)≤ 3. ∴ax ＋by 的最大值为 3.4．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 [答案] D[解析] f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝x －22＋12(x －2)，∵x ≥52，∴x －2≥12，f (x )≥2x －22·12(x －2)＝1. 当且仅当x ＝3时等号成立．5．设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)，且a ＋b ＋c ＝1(其中a ，b ，c ∈R＋)，则M 的取值范围是( ) A ．[0，18)B ．[18，1)C ．[1,8)D ．[8，＋∞)[答案] D[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴M ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc －1)， ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c )≥2bc a 2·2ac b 2·2ab c 2＝8. ∴M ∈[8，＋∞)．6．若x 、y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2取得最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92[答案] C[解析] (x ＋12y )2＋(y ＋12x )2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝x 2＋14x 2＋y 2＋14y2＋y x ＋x y .∵x 2＋14x2≥214＝1， y 2＋14y 2≥214＝1， y x ＋xy ≥2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14x2y 2＝14y 2y x ＝x y时成立，即x ＝y ＝22时，(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2取得最小值为4.二、填空题7．(2010·山东文)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4，即x ＝32，y ＝2时取等号．8．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________[答案] 12(a －b )2[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2更简捷．∴y ＝(x －a )2＋(x －b )2≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22.当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2，y min ＝(a －b )22.三、解答题9．已知a >0，b >0，c >0，d >0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac ≥4. [解析] ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋dc＝(a b ＋b a )＋(c d ＋dc )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 且c ＝d 时，取“＝”)．10．已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by ) ＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2等号在ay x ＝bx y 即y x ＝ba 时成立∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根 ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升一、选择题1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D [解析]由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＝x ＋ycd ＝xy，∴(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2， ∵x >0，y >0，∴x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4(当且仅当x ＝y 时，取“＝”号)． 2．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B [解析]∵x 、y 、a ∈R ＋，∴(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥1＋2a＋a ＝(1＋a )2，即9≤(1＋a )2，∴a ≥4，故选B.二、填空题3．2008年的四川大地震震惊了整个世界，四面八方都来支援．从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v 千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于(v 20)2千米，问这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．[答案] 8[解析] 物资全部运到灾区需t ＝400＋16×(v 20)2v＝400v ＋16v 400≥8，当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，∴t min ＝8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时．4．(2010·浙江文)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵x >0，y >0， ∴2x ＋y ≥22xy ，∴2x ＋y ＋6＝xy ≥22xy ＋6，∴(xy )2－22xy －6≥0， 解得xy ≥32，即xy ≥18. 三、解答题5．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．[解析] 12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x1x 2≤(x 1＋x 22)2， 而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22.即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．6．图画挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a 米处，而上边缘在b 米处，问观察者站在离墙多远的地方，才能使视角最大？(如下图)[解析] 要求何时θ达最大值，可先求何时tan θ达到最大值． 如图，tan α＝a x ，tan β＝bx .∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝b x －ax 1＋ab x 2＝b －ax ＋ab x， ∵x ＋ab x ≥2x ·ab x ＝2ab (x >0，a >0，b >0)．∴tan θ≤b －a2ab， 当且仅当x ＝abx 即x ＝ab 时取“＝”． 又∵x ∈(0，π2)，y ＝tan x 是增函数，∴x ＝ab 时，θ有最大值．答：观察者站在离墙ab 米的地方时，θ有最大值。
均值不等式的简介
●【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2 ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^22/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x 2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16对数的运算法则及变式法则答：若a^b=C,(a>0,a≠1),则b=log(a)C.把b=log(a)C代回去，便得a^log(a)C=C.（此式很有用）log(a)MN=log(a)M+log(a)Nlog(a)(M/N)=log(a)M-log(a)Nlog(a)(M^n)=nlog(a)Mlog(a)M=log(b)M/log(b)a.(换底公式）log(a^n)(M^n)=log(a)M此式由换底公式演化而来：log(a^n)(M^n)=log(a)(M^n)/log(a)(a^n)=nlog(a)M/nlog(a)a =log(a)M.例如：log(8)27=log(2³)3³=log(2)3再如：log(√2)√5=log(2)5.这些公式度可倒过来用。
高中求最值的方法总结
高中求最值的方法总结三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一。
以下是小编整理的高中求最值的方法总结,欢迎大家前来查阅。
高中求最值的方法总结篇1方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。
例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。
分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。
解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。
当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。
所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。
其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。
例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。
连续函数平均值与积分中值定理分析
连续函数平均值与积分中值定理分析1. 引言1.1 连续函数的概念连续函数是一种在实数集上具有特定性质的函数。
在数学上，连续函数是指在一个区间内能够被无限接近，即函数在该区间内没有断点或跳跃。
简单来说，就是函数的图像可以被画成一条连续的曲线，没有间断或断裂。
为了更清晰地理解连续函数的概念，我们可以通过几个例子进行说明。
考虑一个线性函数，比如f(x)=2x+1。
这个函数是连续的，因为它的图像是一条直线，没有间断。
另一个例子是f(x)=sin(x)，这是一个周期性函数，但在任意一个区间内它也是连续的，因为它的图像是一条平滑的曲线。
连续函数的概念在数学分析中扮演着重要的角色，它使我们能够更深入地研究函数的性质和行为。
通过对连续函数的研究，我们可以推论出许多关于函数的重要结论，比如平均值定理和积分中值定理。
在接下来的正文中，我们将更详细地探讨这些定理，并展示它们的应用和证明方法。
【内容达到200字】1.2 平均值定理与积分中值定理简介平均值定理与积分中值定理是微积分中的两个重要定理，它们揭示了函数在区间上的平均值与积分值之间的关系。
这两个定理在分析中具有重要的作用，广泛应用于各种领域的问题求解中。
平均值定理指出，如果一个函数在闭区间上连续，那么在该区间上一定存在一点，使得该点的函数值等于函数在整个区间上的平均值。
这个定理直观地表达了连续函数在一个区间上的均匀性。
平均值定理与积分中值定理提供了在分析问题时的重要工具，可以帮助我们更好地理解函数在区间上的性质，进一步分析函数的行为。
通过深入研究这两个定理的证明和应用，我们能够更准确地把握函数的变化规律，为进一步的数学研究提供重要参考。
2. 正文2.1 连续函数的性质连续函数的性质是数学分析中非常重要的内容，它们涉及到函数在定义域上的连续性、单调性和有界性等方面的性质。
连续函数的定义是指在一个区间上函数的函数值能够无限接近于函数在该区间上的某一点处的函数值。
这就意味着连续函数在整个区间上都没有间断点，可以通过画出函数图像来帮助理解。
如何使用均值定理求函数的最值
均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。
因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。
我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。
下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。
1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。
解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。
又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。
点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。
例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。
因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。
因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。
因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。
均值不等式---含答案
均值不等式---含答案课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号，∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n(m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋n ax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12. 方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大． 4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －cC.1a －b ＋1b －c ≥2a －cD.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －ca －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b 2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2.7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【解析】x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0.∴[(x＋y)＋2]2≥12.∵x＋y>0，∴x＋y＋2≥12.∴x＋y≥23－2，当且仅当x＝y＝3－1时取“＝”．故x＋y的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，当且仅当x＝y＝3－1时取“＝”．∴(xy)2＋2xy≤2.∴(xy＋1)2≤3.又x、y>0，∴xy＋1>0.∴xy＋1≤ 3.∴0<xy≤3－1.∴0<xy≤4－23，即xy的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－[12×n＋n(n－1)2×4]＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20 ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12 当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
离散函数平均值定理
离散函数平均值定理离散函数平均值定理（也称为离散积分第一中值定理或离散介值定理）是数学中的一项基本定理，它描述了在某个区间内任意的一组离散函数的平均值与函数极值之间的关系。
本文将对离散函数平均值定理进行详细介绍。
1. 定义假设 $f(x)$ 是一个在区间 $[a,b]$ 上离散的函数，也就是说 $f(x)$ 只在有限个点处有定义。
假设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是区间 $[a,b]$ 内的 $n$ 个不同的点，每个点$x_i$ 有相应的函数值 $y_i=f(x_i)$。
轮廓图是由这些点绘制出的离散函数图像。
离散函数平均值定理描述了在该轮廓图中，函数值的平均值与函数的极值之间的关系。
设$M$ 和 $m$ 分别表示 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则离散函数平均值定理表述如下：$$m\leq \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}\leq M$$$\sum_{i=1}^{n}y_i$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的和。
2. 证明为了证明离散函数平均值定理，我们定义一个辅助函数 $g(x)$，该函数的定义域为$[a,b]$，且$$\sum_{i=1}^{n}g(x_i)=\sum_{i=1}^{n}\left(f(x_i)-\frac{\sum_{j=1}^{n}y_j}{n}\ right)$$由于 $M$ 和 $m$ 分别表示 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，因此在区间 $[a,b]$ 上有：逐项减去 $y_i$，得到$$M-y_i\geq (f(x_i)-y_i)\geq m-y_i,\quad i=1,2,\cdots,n$$即，证毕。
3. 应用离散函数平均值定理在计算机科学、信号处理、概率论等领域有广泛的应用。
它可用于计算信号处理中的平均功率、计算某些概率分布的期望值等。
在实际应用中，由于离散数据的采样点较少，有时会出现 $M$ 和 $m$ 的值不准确的情况。
高中数学均值不等式最小值最大值
高中数学均值不等式最小值最大值答案：数学中一般没有特定的最大值或最小值的计算公式，如果是二次函数问题有一个，当二次函数二次项系数大于零时，函数有最小值：当二次项系数小于零时，函数有最大值。
当x=-b/2a时，在极值y=(4ac-b^2)/4a一.高中函数求最值的方法1、分体式方法:形似的函数，根据二次函数的极值点或边界点的值域确认函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，∴≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明晰函数的定义域和单调性，Ploudalm最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及≥≤，注意正，定，等的应用条件，即:a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形似的函数，而令，反解出来x，代入上式，得出结论关于t的函数，特别注意t的定义域范围，Ploudalm关于t的函数的最值。
除了三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法形：如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值：首先建议定义域关于原点等距然后推论f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。
二.函数最值简介通常的，函数最值分成函数最小值与函数最大值。
最小值设立函数y=f（x）的定义域为i，如果存有实数m满足用户：①对于任一实数x∈i，都存有f(x)≥m，②存有x0∈i。
使f(x0)=m，那么，我们表示实数m就是函数y=f(x)的最小值。
最大值设立函数y=f（x）的定义域为i，如果存有实数m满足用户：①对于任一实数x∈i，都存有f(x)≤m，②存有x0∈i。
使f(x0)=m，那么，我们表示实数m就是函数y=f(x)的最大值.。
连续函数平均值与积分中值定理分析
连续函数平均值与积分中值定理分析【摘要】本文主要讨论了连续函数平均值与积分中值定理的相关内容。
首先介绍了平均值定理和积分中值定理的定义及证明过程，然后通过应用举例分析展示了这两个定理的实际应用。
接着深入探讨了连续函数的特性，以及函数图像与导数之间的关系。
最后总结了连续函数平均值与积分中值定理在数学研究中的重要性，并探讨了未来进一步研究的方向。
通过本文的阐述，读者能够更深入地理解和运用这些重要的定理，为数学领域的发展提供新的思路和启示。
【关键词】连续函数、平均值定理、积分中值定理、定义、证明、应用举例、特性分析、函数图像、导数、重要性、研究方向、总结、展望。
1. 引言1.1 连续函数平均值与积分中值定理分析连续函数平均值与积分中值定理是微积分中重要的定理之一，它们帮助我们理解函数在一定区间内的平均值和中值特性。
在数学分析中，平均值定理和积分中值定理是建立在函数连续性的基础上，通过对函数的平均值和积分中值的推导和研究，揭示了函数在一定范围内的性质和规律。
平均值定理是指对于一个连续函数在闭区间[a, b]上，存在一个点c∈(a, b)使得函数在该点处的函数值等于函数在该区间上的平均值。
这个定理可以用来证明函数在某个点处的性质，如连续性、可导性等。
证明平均值定理的关键在于利用介值定理和连续函数的性质来推导出结论。
2. 正文2.1 平均值定理的定义与证明平均值定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以帮助我们理解连续函数在一个闭区间上的平均值与极限值之间的关系。
具体来说，平均值定理告诉我们，如果一个函数在一个闭区间上是连续的，那么它在这个区间上的某一点的函数值一定等于这个函数在这个区间上的平均值。
更具体地说，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在一个点c∈(a,b)，使得f(c)等于该函数在闭区间[a,b]上的平均值，即f(c)=(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx。
证明这个定理并不难。
我们可以利用积分和中值定理来证明。
关于级数傅里叶系数的若干问题
需要找到合适的递推关系式，对于某些信号 可能不存在递推关系式。
数值逼近方法
01
定义
数值逼近方法是一种通过数值计 算来逼近傅里叶系数的方法，如 最小二乘法、牛顿插值法等。
03
优点
可以通过数值计算得到较为精确 的傅里叶系数，适用范围广。
02
适用范围
适用于复杂信号或难以直接计算 的信号，如非周期信号、随机信
采用更高效的算法来计算傅里叶系数，从而 减小计算误差。例如，可以采用快速傅里叶 变换（FFT）等算法来提高计算效率。
05
在信号处理中应用举例
频谱分析和滤波设计
频谱分析
通过傅里叶变换将信号从时域转换到频域， 便于观察信号的频率成分和能量分布。
滤波设计
根据信号的频谱特性，设计合适的滤波器， 实现对信号的频率选择、噪声抑制等功能。
解调过程
在接收端通过傅里叶反变换将高频信号恢复为原始低 频信号，实现信息的准确传输。
06
总结与展望
关键知识点总结回顾
级数傅里叶系数的定义
级数傅里叶系数是一种数学工具，用于将一个周期函数展开为无穷级数，以便于分析和计算。
级数傅里叶系数的性质
级数傅里叶系数具有线性性、平移性、尺度变换性等重要性质，这些性质在信号处理和图像处理等领域有着广泛的应 用。
图像压缩和重构技术
图像压缩
利用傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，通过去 除高频分量实现图像压缩，减少存储和传输成本。
重构技术
在接收端通过傅里叶反变换将压缩后的图像恢复到原始 图像，保证图像质量和分辨率。
频信号通过傅里叶变换转换为高频信号，便于在 信道中传输，提高通信效率。
THANKS
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2018版高中数学第三章不等式3.2均值不等式二学案新人教B版
3.2 均值不等式（二）学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立．梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b________ab ________a ＋b 2________a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．类型二 均值不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？反思与感悟利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－22．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b≥21ab >0，∴11a ＋1b≤ab2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)， 当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时，等号成立．梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x＝1时有公共点．使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究 类型一例1 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9xy＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时不等式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 跟踪训练1 解 (1)∵x >0， ∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋x －＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2x －16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 类型二 命题角度1例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x) ＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 命题角度2例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8 当堂训练1．C 2.D 3.C 4.2－2 5。