复数的概念课件

2.复数的代数形式： 用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式 实部a 虚部b
规定: 0i=0,0+bi=bi
3.复数的分类：
复数z=a+bi (a,bR) 条件 数的类型 b=0 实数 a=b=0 实数0 虚数 b≠0 a=0且b≠0 纯虚数 复数 z=a+bi (a,bR) 实数 (b=0) 纯虚数(a=0) 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0) 实数集R是复数 集C的真子集，
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课堂小结：
1. 数系的扩充: 自然数集(N) 整数集(Z) 有理数集(Q) 复数集(C) a——实部 实数集(R) 2. 复数—— 形如 a+bi (a,b∈R)的数 纯虚数（a=0且b≠0） b——虚部 非纯虚数（a≠0,b≠0) 3 .两个复数相等的充要条件 a=c a+bi=c+di （a，b，c，d∈R） b=d 4. 两个复数（不全为实数）不能比较大小。
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
• [点评] ①判断一个含有参数的复数在什么情况 下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值 有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的 分母 m＋ 3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对 参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常 关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是 很有必要的． • ②对于复数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ，既要从整体的 角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从 实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这 是解复数问题的重要思路之一．
2 k －3k＜0 (2)∵z＜0，k∈R，∴ 2 k －5k＋6＝0
∴k＝2.
自然数
自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。 古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus
（石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：
「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」
（3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数
其中真命题的个数为（ B ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
思考 1.数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？
N
Z
Q
R
C
N Z RQ
C
2.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集数集
4.两个复数相等
有两个复数Z1=a+bi (a,b∊R)和Z2=c+di(c,d∊R)
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实数
实数系的逻辑基础直到 19 世纪 70 年代才得以奠 定。从 19 世纪 20 年代肇始的数学分析严密化潮流，
使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论，尤
其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔 斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金 （1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的贡献。
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤勤 为 奋，努 径，学 崖 苦成 作 功！ 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习，老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能
教学目的： (1)理解数系的扩充是与生活密切相关; (2)明白复数及其相关概念。 教学重点： (1)复数及其相关概念; (2)能区分虚数与纯虚数; (3)明白各数系的关系。 教学难点： 复数及其相关概念的理解 教学方法： 讲练结合法，数形结合法，演示法 教学设计： 多媒体教学 课时计划： 2课时
即：将实数a和数i相加记为: a+i； 把实数b与数i相乘记作: bi； 将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
知识讲解
一.复数的有关概念
1.复数： 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit)
全体复数所组成的集合叫复数集,用字母C表示
C {z | z a bi, 其中a, b R ｝
分 数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说 文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从 刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分
数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实
如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译 是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一 个分数。 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
引言：在人和社会的发展过 程中，常常需要立足今天，回顾 昨天，展望明天。符合客观发展 规律的要发扬和完善，不符合的 要否定和抛弃。那么，在实数集 向复数集发展的过程中，我们应 该如何发扬和完善，否定和抛弃 呢？
复习回顾
自然数
数 系 的 扩 充
用图形表示包含关系： 整数 有理数 Q
R
实数 ？
Z
N
知识引入
（ C）
复 数
实数（b=0） 虚数 (b≠0)
5.共轭复数（实部相等，虚部互为相反数）
作业：
练习3.1.1 第1题（1），（2） 第2题（1），（3）
变式练习：
• (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值． • (2)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z ＜0，求k的值．
[解析] (1)∵x、y∈R，∴由复数相等的条件，得
x＝1， 解得 y＝1， x＝－1， 或 y＝－1.
2 2 x －y ＝0， 2xy＝2.
例 1 (补 ) m2－m－6 m 取何实数时，复数 z＝ ＋(m2－2m－15)i m＋3 (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
• [分析] 在本题是复数的标准形式下，即z ＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要 对实部和虚部分别计算，总体整合即可．
[解析]
2 m －2m－15＝0 m＝5或m＝－3 (1)当 时， m＋3≠0 m≠－3
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无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物 理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边 长为1的正方形的对角线的长度（即 2 ）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开 普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状” 的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回 答：无理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人 们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直 至19世纪中叶以前的实际做法。
a＋b≠0 则 a－b＝0
，⇒a＝b≠0，
即 a＝b≠0 为该复数为纯虚数的充要条件， ∴a＝b 是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．故选 C.
B
nZ
*
i
i
4n


1
4n2
-1
i i 4 n 3 i i
4 n 1
新授课 例2 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ，其中 x, y R ， 求 x与 y . 解：由复数相等的定义，得方程组
我们已知知道：
对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根．
2
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
虚数单位
为了解决负数开方问题， 引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于－1，即
i
2
1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
2 x 1 y 1 ( 3 y )
解得 x 5 , y 4 2
• [ 点评 ] (1) 复数相等的条件，是求复数值 及在复数集内解方程的重要依据． • (2) 根据复数相等的定义可知，在 a ＝ c ， b ＝ d 中，只要有一个不成立，那么 a ＋ bi≠c ＋ di. 所以，一般地，两个复数只有说相等 或不相等，而不能比较大小，例如， 1 ＋ i 和3＋5i不能比较大小．
∴当 m＝5 时，z 是实数．
2 m －2m－15≠0 m≠5且m≠－3 (2)当 时，即 m＋3≠0 m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0
m＝3或m＝－2 时，即m≠－3 m≠5且m≠－3
例如：5+3i和5-3i互为共轭复数
例题分析 例1：实数m取什么值时，复数z m 1 (m 1)i是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数． （2）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是虚数．
（3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时， 复数z 是纯虚数．
变式练习：
• • • • • • • (1)下列命题中假命题是 ( ) A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集交集为实数集 C．实数集与虚数集交集是{0} D．纯虚数集与实数集交集为空集 [答案] C [ 解析 ] 复数可分为实数和虚数两大部分， 虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数 集没有公共元素，C是假命题．故选C.
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复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复 数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负 数开平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐 述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复 数及其代 数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪 30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。 他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯 莱又 用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称 为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还 可扩张到十六元数、三十二元数等等。